Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ- νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ- γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι- στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη- ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό- σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών
20
Embed
τα βιβλία των επιτυχιών · 2019-08-06 · 24. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων ... 26. ΓΡΑΦΙΚΗ
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ-νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ-γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι-στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη-ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό-σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών.
Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων.Αριθμός έκδοσης: 1η | Αριθμός αντιτύπων: 1100
16. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥΜεθοδολογίες – Εφαρμογές .........250Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ..................................255
1. Πώς ορίζεται η έννοια της πρότασης στη Μαθηματική Λογική;
ΑπάντησηΠρόταση είναι κάθε ισχυρισμός του οποίου το περιεχόμενο μπορούμε να χαρακτηρί-σουμε ως αληθές ή ψευδές.
Παραδείγματα
• Η φράση «Ο Ολυμπιακός έχει κατακτήσει τα περισσότερα πρωταθλήματα ποδο-σφαίρου στην Ελλάδα» είναι μία πρόταση, διότι είναι αληθής.
• Η φράση «Ο Ολυμπιακός θα κατακτήσει την επόμενη χρονιά το πρωτάθλημα ποδο-σφαίρου στην Ελλάδα» δεν είναι πρόταση, διότι δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής.
i. Προσοχή! Στα Μαθηματικά, για να ελέγξουμε αν ένας ισχυρισμός είναι πρόταση, δεν εξετάζουμε αν είναι γραμματικά και συντακτικά ορθώς.
ii. Τις προτάσεις τις συμβολίζουμε συνήθως με τα λατινικά γράμματα P, Q.iii. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν μπορεί να χρησι-
μοποιηθεί για να δημιουργήσει μία άλλη πρόταση.iv. Μία πρόταση χαρακτηρίζεται σύνθετη όταν μπορούμε να τη χωρίσουμε σε δύο ή
περισσότερες προτάσεις.
Σχόλια
2. Πώς ορίζεται η συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q.Συμβολίζουμε:
P ⇒ Q
1ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων
14
ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ
Παραδείγματα
i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει:Αν φας το φαγητό σου ⇒ θα σου πάρω παγωτό.
ii. Αν α = 4 ⇒ √α_ = 2.
i. Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q».
ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι αληθής. π.x. √
_9 = 3 ⇒ ( √
_9)2 = 32
Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. –1 = 1 ⇒ (–1)2 = 12
Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. –1 = 1 ⇒ 2 · (–1) = 2·1iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. (–1)2 = 12 ⇒ –1 = 1v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως
με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς.vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός
στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.
Σχόλια
3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q.Συμβολίζουμε:
P ⇔ Q
Παραδείγματα
i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» ⇔ «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.»ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι:
α = β ⇔ α + γ = β + γiii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:
ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο ⇔ A = B = Γ
i. Ο ισχυρισμός «Ρ ⇔ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q».
ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς.
Σχόλια
4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.
Παραδείγματαi. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μα-
γειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσλη-φθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά.
ii. Όταν γράφουμε:α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0
εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή:(α = 0 και β ≠ 0), (α ≠ 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0)
i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q
είναι ψευδείς.iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι
αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής.
Σχόλια
5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.
Παραδείγματαi. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε:
α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α ≠ 0», «β ≠ 0».
Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q.Σχόλια
6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης;
ΑπάντησηΑν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή –Ρ και χαρακτηρίζεται ως:
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
15
Παραδείγματα
i. Μια μητέρα, προκείμενου να πείσει το παιδί της να φάει όλο το φαγητό του, του λέει:Αν φας το φαγητό σου ⇒ θα σου πάρω παγωτό.
ii. Αν α = 4 ⇒ √α_ = 2.
i. Ο ισχυρισμός «P ⇒ Q» λέγεται συνεπαγωγή και πολλές φορές διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q» ή «ο Ρ συνεπάγεται τον Q».
ii. Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής.iii. Η συνεπαγωγή είναι αληθής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι αληθής. π.x. √
_9 = 3 ⇒ ( √
_9)2 = 32
Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι αληθής. π.x. –1 = 1 ⇒ (–1)2 = 12
Ο Ρ είναι ψευδής και ο Q είναι ψευδής. π.x. –1 = 1 ⇒ 2 · (–1) = 2·1iv. Η συνεπαγωγή είναι ψευδής όταν: Ο Ρ είναι αληθής και ο Q είναι ψευδής. π.x. (–1)2 = 12 ⇒ –1 = 1v. Με βάση τα όσα αναπτύσσονται στο σχολικό βιβλίο, εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως
με την περίπτωση όπου και οι δύο ισχυρισμοί P, Q είναι αληθείς.vi. Στο τέλος της ενότητας παραθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας όπου είναι κλασικός
στο πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής.
Σχόλια
3. Πώς ορίζεται η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή και πώς συμβολίζεται;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο Ρ να αληθεύει και ο Q, και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q.Συμβολίζουμε:
P ⇔ Q
Παραδείγματα
i. «Η Στέλλα είναι η σύζυγος του Νίκου.» ⇔ «Ο Νίκος είναι ο σύζυγος της Στέλλας.»ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ ισχύει ότι:
α = β ⇔ α + γ = β + γiii. Για κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ότι:
ΑΒΓ ισόπλευρο τρίγωνο ⇔ A = B = Γ
i. Ο ισχυρισμός «Ρ ⇔ Q» λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q» ή «Ρ τότε και μόνο τότε Q».
ii. Ισοδυναμίες έχουμε στους ορισμούς.
Σχόλια
4. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος ή;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ ή Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει.
Παραδείγματαi. Για να προσληφθεί κάποιος σε ένα εστιατόριο ως μάγειρας πρέπει να ξέρει να μα-
γειρεύει ελληνικά ή ιταλικά φαγητά. Αυτό σημαίνει ότι ο μάγειρας που θα προσλη-φθεί πρέπει να ξέρει να μαγειρεύει ή μόνο ελληνικά φαγητά ή μόνο ιταλικά φαγητά ή, προφανώς, και από τις δύο κουζίνες φαγητά.
ii. Όταν γράφουμε:α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0
εννοούμε ότι αληθεύει μία τουλάχιστον από τις προτάσεις «α = 0», «β = 0», δηλαδή:(α = 0 και β ≠ 0), (α ≠ 0 και β = 0), (α = 0 και β = 0)
i. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των Ρ και Q. ii. Η διάζευξη Ρ ή Q είναι ψευδής μόνο όταν και ο ισχυρισμός Ρ και ο ισχυρισμός Q
είναι ψευδείς.iii. Ο ισχυρισμός «ή Ρ ή Q» λέγεται αποκλειστική διάζευξη των Ρ και Q και είναι
αληθής, όταν η μία είναι αληθής και η άλλη ψευδής.
Σχόλια
5. Πώς ορίζεται ο σύνδεσμος και;
ΑπάντησηΑν Ρ και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός Ρ και Q αληθεύει μόνο στην περί-πτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.
Παραδείγματαi. Η Αθήνα είναι πόλη της Ελλάδας και της Ευρώπης. ii. Όταν γράφουμε:
α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 εννοούμε ότι αληθεύουν και οι δύο προτάσεις «α ≠ 0», «β ≠ 0».
Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q.Σχόλια
6. Πώς ορίζεται η άρνηση μίας πρότασης;
ΑπάντησηΑν Ρ είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται συνήθως με Ρ ή –Ρ και χαρακτηρίζεται ως:
16
ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ
• αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής,• ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής.
Παραδείγματαi. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β».ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρό-
τασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι».iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνη-
ση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α2 ≥ 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α2 < 0».
Αν η συνεπαγωγή «Ρ ⇒ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q ⇒ Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι:
(Ρ ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ Ρ)που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής.
Σχόλια
ΠαράδειγμαΙσχύει ότι:
α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή:
α ≠ 0 και β ≠ 0 ⇔ α · β ≠ 0
7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική;
ΑπάντησηΟ πίνακας είναι ο εξής:
Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη ΣύζευξηP Q P ⇒ Q P ⇔ Q P ή Q P και Q
1.1 Να εξετάσετε ποιοι από τους ακόλου-θους ισχυρισμούς είναι προτάσεις και να τις χαρακτηρίσετε ως αληθείς ή ψευδείς.
i. Ο αριθμός 5 είναι μεγαλύτερος του 10.ii. Ο αριθμός x είναι περιττός.iii. Η Άλγεβρα είναι το καλύτερο μάθημα.
Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
17
• αληθής, αν ο Ρ είναι ψευδής,• ψευδής, αν ο Ρ είναι αληθής.
Παραδείγματαi. Αν Ρ: «α = β», τότε η άρνηση της Ρ είναι Ρ: «α < β ή α > β».ii. Η άρνηση του και είναι το ή και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνηση της πρό-
τασης «θα φάμε κρέας και ρύζι» είναι η «θα φάμε κρέας ή ρύζι».iii. Η άρνηση του για κάθε είναι το υπάρχει και αντίστροφα. Για παράδειγμα, η άρνη-
ση της πρότασης «για κάθε πραγματικό αριθμό α, ισχύει α2 ≥ 0» είναι η «υπάρχει πραγματικός αριθμός, ώστε α2 < 0».
Αν η συνεπαγωγή «Ρ ⇒ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q ⇒ Ρ» είναι αληθής και αντίστροφα. Ισχύει δηλαδή ότι:
(Ρ ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ Ρ)που είναι γνωστός ως νόμος της αντιθετοαντιστροφής.
Σχόλια
ΠαράδειγμαΙσχύει ότι:
α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0Επομένως, ισχύει και η αντιθετοαντιστροφή:
α ≠ 0 και β ≠ 0 ⇔ α · β ≠ 0
7. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας για τη Μαθηματική Λογική;
ΑπάντησηΟ πίνακας είναι ο εξής:
Ισχυρισμοί Συνεπαγωγή Ισοδυναμία Διάζευξη ΣύζευξηP Q P ⇒ Q P ⇔ Q P ή Q P και Q
1.2 Σε καθέναν από τους ισχυρισμούς Ρ, Q να εξετάσετε ποια από τις συνεπαγω-γές Ρ ⇒ Q ή Q ⇒ P ισχύει.i. Ρ: Ο Κώστας είναι μαθητής της Γ΄ Λυ-
κείου. Q: Ο Κώστας τελειώνει το σχολείο.
ii. Ρ: Σήμερα είναι 25 Δεκεμβρίου. Q: Σήμερα είναι Χριστούγεννα.iii. P: Στην Ελλάδα είναι χειμώνας. Q: Στην Ελλάδα βρέχει.iv. P: Ο Νίκος παίζει πιάνο. Q: Ο Νίκος αγαπάει τη μουσική.
1.3 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.i. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β ισχύει
ότι α2 = β2 ⇔ α = β.ii. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β, γ
ισχύει ότι α = β ⇔ α + γ = β + γ.iii. Η σύζευξη «Ρ και Ρ» είναι πάντα
ψευδής. iv. Ο ισχυρισμός «1 + 1 = 3» είναι μία
πρόταση. v. Ο ισχυρισμός «Στην Ελλάδα θα εμφα-
νιστούν εξωγήινοι» είναι μία πρόταση. vi. Ο ισχυρισμός «2014 < 2013» είναι
μία πρόταση. vii. α2 ≠ 1 ⇔ α ≠ 1 ή α ≠ –1 viii. α = 0 και β ≠ 0 ⇒ α · β = 0
ix. x = 5 ⇔ x2 = 25 x. x = 5 ⇒ x2 = 25
1.4 Να χαρακτηρίσετε ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.i. x ≠ 5 ⇔ x2 ≠ 25ii. x ≠ 5 ⇒ x2 ≠ 25 iii. x ≠ 5 και x ≠ –5 ⇔ x2 ≠ 25 iv. x2 ≠ x ⇒ x ≠ 1 v. α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 ή β ≠ 0 vi. Αν β ≠ 0, ισχύει ότι: αβ > 0 ⇔ ⇔ α · β > 0vii. α < 3 και β < 4 ⇒ α · β < 12viii. α < 1 ⇒ α2 < 1 ix. α > 1 ⇒ α2 > 1 x. Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, τότε A = B.
Ερωτήσεις κατανόησης
iv. 2 · 3 = 6v. 1 + 1 = 3
vi. Ο Παναθηναϊκός θα κερδίσει το πρω-τάθλημα ποδοσφαίρου την επόμενη χρονιά.
1.5 Να αντιστοιχίσετε καθέναν από τους ισχυρισμούς της στήλης Α με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό στη στήλη Β.
ΑπάντησηΣύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.
ΠαράδειγμαΣύνολα είναι:• «τα ελληνικά νομίσματα του 20ού αιώνα»,• «οι πίνακες της Αναγέννησης στο μουσείο του Λούβρου»,• «τα αγγλικά γραμματόσημα που έχει ένας φιλοτελιστής»
i. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.ii. Όταν γράφουμε ότι ένα σύνολο είναι καλά ορισμένο, εννοούμε ότι τα στοιχεία του
μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Αν, δηλαδή, γνωρίζουμε μία χαρακτηρι-στική ιδιότητα του συνόλου, μπορούμε να ελέγχουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο.
iii. Όταν γράφουμε ότι σε ένα σύνολο τα στοιχεία πρέπει να διακρίνονται το ένα από το άλλο, εννοούμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει δύο φορές το ίδιο στοιχείο στο σύνολο.
iv. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα Α, Β, Γ, Q, R κ.λπ.
Σχόλια
Παραδείγματα• Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε στο σύνολο των μεγάλων αριθμών. Αυτό δεν είναι
σύνολο, διότι δεν υπάρχει κάποιος σαφής κανόνας που να καθορίζει αν ένας αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος.
• Το σύνολο που αποτελείται από το γράμματα της λέξης «ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ» είναι αυτό που έχει τα γράμματα: Κ, Α, Θ, Ρ, Ι, Ο, Τ, Η. Δεν μπορούμε να γράψουμε τρεις φορές το Α, ούτε δύο φορές το Τ.
2ΣύΝΟΛα
Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων
2. Ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών;
Απάντηση• Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:
= {0, 1, 2, 3, …}• Το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:
= {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}• Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:
= { αβ , α, β ϵ με β ≠ 0}• Το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό
και είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος.• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με .
i. Με * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
Με * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
Με * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
Με * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
ii. Υπενθυμίζουμε ότι ο αριθμός της μορφής 5,2 = 5,222… ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και είναι ρητός, αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα.
Σχόλια
3. Τι σημαίνουν τα σύμβολα ∈ και ∉;
Απάντηση• Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:
x∈Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∈ σημαίνει ανήκει.• Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:
x∉Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∉ σημαίνει δεν ανήκει.
Παράδειγμα
2∈, –2∉, –3∈, – 43 ∉, 3
2 ∈, √2_ ∉
4. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο;
ΑπάντησηΈνα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τρεις τρόπους:
2. ΣύΝΟΛα
19
1. Ποια είναι η έννοια του συνόλου;
ΑπάντησηΣύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.
ΠαράδειγμαΣύνολα είναι:• «τα ελληνικά νομίσματα του 20ού αιώνα»,• «οι πίνακες της Αναγέννησης στο μουσείο του Λούβρου»,• «τα αγγλικά γραμματόσημα που έχει ένας φιλοτελιστής»
i. Τα αντικείμενα ενός συνόλου ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου.ii. Όταν γράφουμε ότι ένα σύνολο είναι καλά ορισμένο, εννοούμε ότι τα στοιχεία του
μπορούν να αναγνωρίζονται με σιγουριά. Αν, δηλαδή, γνωρίζουμε μία χαρακτηρι-στική ιδιότητα του συνόλου, μπορούμε να ελέγχουμε αν ένα στοιχείο ανήκει ή όχι στο σύνολο.
iii. Όταν γράφουμε ότι σε ένα σύνολο τα στοιχεία πρέπει να διακρίνονται το ένα από το άλλο, εννοούμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει δύο φορές το ίδιο στοιχείο στο σύνολο.
iv. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου. Για παράδειγμα Α, Β, Γ, Q, R κ.λπ.
Σχόλια
Παραδείγματα• Δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε στο σύνολο των μεγάλων αριθμών. Αυτό δεν είναι
σύνολο, διότι δεν υπάρχει κάποιος σαφής κανόνας που να καθορίζει αν ένας αριθμός είναι ή δεν είναι μεγάλος.
• Το σύνολο που αποτελείται από το γράμματα της λέξης «ΚΑΘΑΡΙΟΤΗΤΑ» είναι αυτό που έχει τα γράμματα: Κ, Α, Θ, Ρ, Ι, Ο, Τ, Η. Δεν μπορούμε να γράψουμε τρεις φορές το Α, ούτε δύο φορές το Τ.
2. Ποια είναι τα βασικά σύνολα αριθμών;
Απάντηση• Το σύνολο των φυσικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:
= {0, 1, 2, 3, …}• Το σύνολο των ακέραιων αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:
= {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}• Το σύνολο των ρητών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με , είναι δηλαδή:
= { αβ , α, β ϵ με β ≠ 0}• Το σύνολο των άρρητων αριθμών, το οποίο δεν έχει κάποιον ιδιαίτερο συμβολισμό
και είναι όλοι εκείνοι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν σε μορφή κλάσματος.• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συμβολίζουμε με .
i. Με * συμβολίζουμε τους φυσικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
Με * συμβολίζουμε τους ακέραιους που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
Με * συμβολίζουμε τους ρητούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
Με * συμβολίζουμε τους πραγματικούς που δεν περιέχουν το 0, δηλαδή:* = – {0} = {x∈ / x ≠ 0}
ii. Υπενθυμίζουμε ότι ο αριθμός της μορφής 5,2 = 5,222… ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός αριθμός και είναι ρητός, αφού μπορούμε να τον γράψουμε ως κλάσμα.
Σχόλια
3. Τι σημαίνουν τα σύμβολα ∈ και ∉;
Απάντηση• Για να δηλώσουμε ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:
x∈Α και διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∈ σημαίνει ανήκει.• Για να δηλώσουμε ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε:
x∉Α και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α». Άρα το σύμβολο ∉ σημαίνει δεν ανήκει.
Παράδειγμα
2∈, –2∉, –3∈, – 43 ∉, 3
2 ∈, √2_ ∉
4. Με ποιους τρόπους μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο;
ΑπάντησηΈνα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με τρεις τρόπους:
20
ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ
• με αναγραφή, όταν δίνονται όλα του τα στοιχεία και είναι σχετικά λίγα σε πλήθος. Στην περίπτωση
αυτή βάζουμε τα στοιχεία από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με ένα κόμμα, ανάμεσα σε δύο άγκιστρα.
• με περιγραφή, όταν τα στοιχεία του είναι πολλά, ανήκουν σε ένα σύνολο Ω και έχουν μία χαρα-
κτηριστική ιδιότητα. Αναλυτικότερα, επιλέγουμε από ένα σύνολο Ω τα στοιχεία εκείνα που ικανοποιούν μία ιδιότητα Ι, οπότε έχουμε το σύνολο:
{x∈Ω / x έχει την ιδιότητα Ι}• με διάγραμμα του Venn, το οποίο θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο.
Παράδειγμα• Αναγραφή Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τους ακέραιους από το –1 έως το 4 είναι το:
Α = {–1, 0, 1, 2, 3}• Περιγραφή Το σύνολο των ακέραιων που είναι (με την ιδιότητα) από το –1 έως το 4 συμβολίζε-
ται με:Α = {x∈ / –1 ≤ x < 4}
5. Πότε δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και πώς συμβολίζουμε την ισότητα;
ΑπάντησηΔύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περί-πτωση αυτή, γράφουμε Α = Β.
ΠαράδειγμαΤα σύνολα:
Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {x∈ / 1 < x ≤ 7}είναι ίσα, διότι το σύνολο Β με αναγραφή είναι το Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, δηλαδή το Α.
Με άλλα λόγια:Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και, αντιστρόφως, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Δηλαδή:
Α = Β όταν x∈A ⇔ x∈B
Σχόλια
6. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και πώς το συμβολί-ζουμε;
Απάντηση
Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α ⊆ Β.
Παραδείγματαi. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα
Α = {1, 3, 5, 7, 9} και Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β.
Άρα το Α είναι υποσύνολο του Β. ii. Τα υποσύνολα του συνόλου Ω = {1, 2, 3} είναι τα:
Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ συνόλων:i. Α ⊆ Α, για κάθε σύνολο Α.ii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε Α ⊆ Γ.iii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α, τότε Α = Β.
Σχόλιο
7. Τι είναι το κενό σύνολο και πώς το συμβολίζουμε;
ΑπάντησηΤο σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό. Συμβολίζεται με ∅ ή { }.
ΠαράδειγμαΑς θεωρήσουμε το σύνολο
Α = {x∈ / x + 7 = 0}Είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα x + 7 = 0, αφού ο μόνος αριθμός που την ικανοποιεί είναι ο –7, για τον οποίο όμως ισχύει ότι –7∉. Συνεπώς, το σύνολο αυτό δεν έχει κανένα στοιχείο, άρα είναι κενό.
Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.Σχόλιο
8. Τι είναι το βασικό σύνολο;
ΑπάντησηΚάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω.
9. Τι είναι τα διαγράμματα Venn;
ΑπάντησηΤα διαγράμματα Venn είναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα.
i. Το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός Ω
ορθογωνίου.
Σχόλιο
2. ΣύΝΟΛα
21
• με αναγραφή, όταν δίνονται όλα του τα στοιχεία και είναι σχετικά λίγα σε πλήθος. Στην περίπτωση
αυτή βάζουμε τα στοιχεία από μία φορά το καθένα, χωρίζοντάς τα με ένα κόμμα, ανάμεσα σε δύο άγκιστρα.
• με περιγραφή, όταν τα στοιχεία του είναι πολλά, ανήκουν σε ένα σύνολο Ω και έχουν μία χαρα-
κτηριστική ιδιότητα. Αναλυτικότερα, επιλέγουμε από ένα σύνολο Ω τα στοιχεία εκείνα που ικανοποιούν μία ιδιότητα Ι, οπότε έχουμε το σύνολο:
{x∈Ω / x έχει την ιδιότητα Ι}• με διάγραμμα του Venn, το οποίο θα εξηγήσουμε σε επόμενη παράγραφο.
Παράδειγμα• Αναγραφή Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τους ακέραιους από το –1 έως το 4 είναι το:
Α = {–1, 0, 1, 2, 3}• Περιγραφή Το σύνολο των ακέραιων που είναι (με την ιδιότητα) από το –1 έως το 4 συμβολίζε-
ται με:Α = {x∈ / –1 ≤ x < 4}
5. Πότε δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα και πώς συμβολίζουμε την ισότητα;
ΑπάντησηΔύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Στην περί-πτωση αυτή, γράφουμε Α = Β.
ΠαράδειγμαΤα σύνολα:
Α = {2, 3, 4, 5, 6, 7} και Β = {x∈ / 1 < x ≤ 7}είναι ίσα, διότι το σύνολο Β με αναγραφή είναι το Β = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, δηλαδή το Α.
Με άλλα λόγια:Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και, αντιστρόφως, κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α. Δηλαδή:
Α = Β όταν x∈A ⇔ x∈B
Σχόλια
6. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και πώς το συμβολί-ζουμε;
Απάντηση
Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Στην περίπτωση αυτή, γράφουμε Α ⊆ Β.
Παραδείγματαi. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα
Α = {1, 3, 5, 7, 9} και Β = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β.
Άρα το Α είναι υποσύνολο του Β. ii. Τα υποσύνολα του συνόλου Ω = {1, 2, 3} είναι τα:
Άμεσες συνέπειες του ορισμού είναι οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ συνόλων:i. Α ⊆ Α, για κάθε σύνολο Α.ii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε Α ⊆ Γ.iii. Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α, τότε Α = Β.
Σχόλιο
7. Τι είναι το κενό σύνολο και πώς το συμβολίζουμε;
ΑπάντησηΤο σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό. Συμβολίζεται με ∅ ή { }.
ΠαράδειγμαΑς θεωρήσουμε το σύνολο
Α = {x∈ / x + 7 = 0}Είναι φανερό ότι δεν υπάρχουν φυσικοί αριθμοί που να ικανοποιούν την ισότητα x + 7 = 0, αφού ο μόνος αριθμός που την ικανοποιεί είναι ο –7, για τον οποίο όμως ισχύει ότι –7∉. Συνεπώς, το σύνολο αυτό δεν έχει κανένα στοιχείο, άρα είναι κενό.
Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.Σχόλιο
8. Τι είναι το βασικό σύνολο;
ΑπάντησηΚάθε φορά που εργαζόμαστε με σύνολα, τα σύνολα αυτά θεωρούνται υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο και συμβολίζεται με Ω.
9. Τι είναι τα διαγράμματα Venn;
ΑπάντησηΤα διαγράμματα Venn είναι κλειστές γραμμές με τις οποίες παριστάνουμε τα σύνολα.
i. Το βασικό σύνολο Ω παριστάνεται με το εσωτερικό ενός Ω
ορθογωνίου.
Σχόλιο
22
ΕΙΣαΓωΓΙΚΟ ΚΕφαΛαΙΟ
ii. Κάθε σύνολο Α, με Α ⊆ Ω, παριστάνεται με το εσωτερικό μίας
A
κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθο- γωνίου που παριστάνει το Ω.
iii. Αν Α ⊆ Β, τότε το Α παριστάνεται με μία κλειστή καμπύλη
BA
που περιέχεται σε μία επίσης κλειστή καμπύλη που παριστά- νει το Β.
ΠαράδειγμαΓια τα σύνολα , , είναι υποσύνολα του βασικού
συνόλου . Ισχύει ότι ⊆ ⊆ ⊆ και με τη βοή-θεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής:
10. Πώς ορίζεται:• Η ένωση δύο συνόλων;• Η τομή δύο συνόλων;• Το συμπλήρωμα ενός συνόλου;• Η διαφορά δύο συνόλων;
Απάντηση
Ορισμός Διάγραμμα VennΈνωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνό-λου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχειών του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α ∪ Β. Ισχύει δηλαδή:
ii. Κάθε σύνολο Α, με Α ⊆ Ω, παριστάνεται με το εσωτερικό μίας
A
κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του ορθο- γωνίου που παριστάνει το Ω.
iii. Αν Α ⊆ Β, τότε το Α παριστάνεται με μία κλειστή καμπύλη
BA
που περιέχεται σε μία επίσης κλειστή καμπύλη που παριστά- νει το Β.
ΠαράδειγμαΓια τα σύνολα , , είναι υποσύνολα του βασικού
συνόλου . Ισχύει ότι ⊆ ⊆ ⊆ και με τη βοή-θεια ενός διαγράμματος Venn προκύπτει το εξής:
10. Πώς ορίζεται:• Η ένωση δύο συνόλων;• Η τομή δύο συνόλων;• Το συμπλήρωμα ενός συνόλου;• Η διαφορά δύο συνόλων;
Απάντηση
Ορισμός Διάγραμμα VennΈνωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνό-λου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχειών του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α ∪ Β. Ισχύει δηλαδή:
Κατηγορία 1ασκήσεις στις οποίες δίνονται σύνολα με περιγραφή και ζητείται να τα γράψουμε με αναγραφή.
Μέθοδος
Ερμηνεύουμε την ιδιότητα που μας περιγράφει το σύνολο και την αναγράφουμε με αριθμούς. Οι πιο συνηθισμένες ιδιότητες είναι κάποιες ανισώσεις με αριθμούς, λύσεις εξισώσεων, ιδιότητες γινομένων κ.λπ. Χρειάζεται, επίσης, να θυμόμαστε από τη θεωρία την ερμηνεία των συνόλων , , , .
2.1 εφαρμογή
Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τα σύνολα:i. Α = {x∈ / –2 < x ≤ 1}ii. B = {x∈ / 9x2 – 3x = 0}
ΛύΣΗi. Το σύνολο των φυσικών αριθμών από το –2, χωρίς αυτό να συμπεριλαμβάνεται,
μέχρι και το 1 είναι το:Α = {0, 1}
ii. Η εξίσωση λύνεται ως εξής:
9x2 – 3x = 0 ⇔ 3x(3x – 1) = 0 ⇔ 3x = 0 ή 3x – 1 = 0 ⇔ x = 0 ή x = 13 Από τις λύσεις της εξίσωσης μόνο ο αριθμός 0 είναι ακέραιος. Συνεπώς:
Β = {0}
Κατηγορία 2
ασκήσεις στις οποίες ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε δύο σύνολα α, Β να είναι ίσα.
Μέθοδος
Δύο σύνολα είναι ίσα όταν τα στοιχεία τους είναι ίσα ένα προς ένα. Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε τις ζητούμενες παραμέτρους. α
2.2 εφαρμογή
Να προσδιορίσετε τα κ, λ, ώστε τα ακόλουθα σύνολα να είναι ίσα.Α = {(x, y) / x, y∈ και x · y = 4} και Β = {(1, κ), (2, 2), (4, λ)}
ΛύΣΗΓια x = 1 και y = 4 έχουμε: x · y = 4Για x = 2 και y = 2 έχουμε: x · y = 4
Μεθοδολογίες – ΕφαρμογέςΓια x = 4 και y = 1 έχουμε: x · y = 4Άρα το σύνολο Α αποτελείται από τα ζεύγη (1, 4), (2, 2) και (4, 1), δηλαδή:
Α = {(1, 4), (2, 2), (4, 1)}Για να είναι Α = Β πρέπει και αρκεί:
κ = 4 και λ = 1
Αν δίνονται δύο σύνολα και ζητείται να εξετάσουμε αν είναι ίσα, απλώς ελέγχουμε αν αποτελούνται από τα ίδια στοιχεία. Σε τέτοιου είδους ασκήσεις μάς συμφέρει να έχουμε παραστήσει τα σύνολα με περιγραφή.
Μεθοδολογικό σχόλιο
2.3 εφαρμογή
Να ελέγξετε αν τα παρακάτω ζεύγη συνόλων είναι ίσα.Α = {x∈ / –3 < x ≤ 4} και Β = {2, 1, –2, –1, 4, 3}Γ = {x∈ / –3 < x ≤ 4} και Δ = {4, 0, 2, 1, 3}
ΛύΣΗi. Οι ακέραιοι αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση –3 < x ≤ 4 είναι οι –2, –1, 0, 1,
2, 3, 4, δηλαδή:Α = {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
Επειδή στο σύνολο Β δεν περιέχεται το 0, τα σύνολα δεν είναι ίσα.ii. Οι φυσικοί αριθμοί που ικανοποιούν την ανίσωση –3 < x ≤ 4 είναι οι 0, 1, 2, 3, 4,
δηλαδή:Γ = {0, 1, 2, 3, 4}
Άρα τα σύνολα Γ, Δ είναι ίσα, αφού έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.
ΣχόλιοΠαρατηρήστε ότι τα σύνολα Α, Γ δεν είναι ίσα. Αυτό συμβαίνει, διότι αλλάζουν τα βασικά σύνολα. Χρειάζεται, επομένως, να δίνουμε ιδιαίτερη σημασία στο βασικό σύνολο που μας δίνεται στις ασκήσεις.
Κατηγορία 3
ασκήσεις στις οποίες δίνονται σύνολα α, Β και ζητείται ο προσδιορισμός των συνό-λων α ∩ Β, α ∪ Β, α΄, α – Β, (α ∪ Β)΄, (α ∩ Β)΄ κ.λπ.
Μέθοδος
Χρειάζεται να χρησιμοποιούμε τις εξής βασικές έννοιες:Α ∪ Β = {x∈Ω / x∈A ή x∈B}
Α ∩ Β = {x∈Ω / x∈A και x∈B}Α΄ = {x∈Ω / x∉A}
Α – Β = {x∈Ω / x∈Α και x∉Β}Τα υπόλοιπα σύνολα προκύπτουν από τον συνδυασμό των πιο πάνω βασικών εννοιών.