ندسة منهج ا الفراغية– الصفلثانوىلث الثا ا( 0 ) منتدىاضياته الري توجي– h / دل إدوار عا
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (0)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (1)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
زالزة أ بؼاد )ح ىف املخؼامد الإحداىث امنظام3
) حدازيات مذؼامد امشلك امللابل ميثل مذوازى مس خطيالتـال 1مثـ ىف هظام اإ
(0،0،0أ حد رؤوسو ينطبق ػىل هلطة ال ضل و)
(0 ، 4 ،6) فاإن اإحدازيات امنلطة ب ىه
حدازيات امنلطة جػ ىه (2 ، 0 ،6)واإ
= ضفراإذا اكهت )س،ص،ع( ثلع ىف املس خوى ص ع فاإن س (1)أكمل ـال2مثـ
س س( املس خلامين 2) /
، ع ع /
0ص = اذلى مؼادمخو س عيكوانن املس خوى الإحداىث
خرت الاجابة امطحيحة ـال3مثـ اإ
س خوى س ع يساوى ....... وحدة طول( غن امل 1،2،ػػ3ؼد امنلطة ) ب (1)
3 1ػػ 2 1
( ػىل حمور س يساوى ..... وحدة طول2،3،4طول امؼمود املرسوم من امنلطة )ػػ (2)
2 3 5 4
حدازيات هلطة منخطف كطؼة مس خلمية اإ ( 2، ع 2ص، 2( ، ب) س 1، ع 1، ص 1بفرض أ ن أ ) س
فاإن منخطف أ ب = ) ، ، (
(8، 2، ػػ 5( ، ) 4، 2، 3هلطة منخطف املطؼة املس خلمية امىت طرفاىا ) ػػأ وجداإحدازيات ـال1مثـ
( 6، 0، 1= ) منخطف املطؼة املس خلمية = ) ، ، (
ذا اكهت جػ ـال2مثـ أ وجد اإحدازيات امنلطة ب (4،0، ػػ1) hب حير h هلطة منخطف ( ىه2،2،6) اإ
= 6 ،،= 2 ،،= 2( حير 2، ع 2، ص 2ب ) س
E 12= 2، ع 8= 4+ 4= 2، ص 3= 1ػػ4= 2س
E (12، 8، 3) ( = 2، ع 2، ص 2ب ) س
2س +1س
2
2ص +1ص
2
2ع +1ع
2
5 +3ػػ
2
2ػػ 2
2
4 +8
2
2س +1
2
2ص +4ػػ
2
2ع +0
2
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (2)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
امبؼد بني هلطخني ىف امفراغ ، ب hمنلطخني ( هلطخني ىف امفراغ ، فاإن امب ؼد بني ا2، ع 2، ص 2( ، ب )س1، ع 1، ص 1)س hاإذا اكهت
h = ب ( 1ػػ س 2)س2
( 1ػػ ص 2)ص + 2
( 1ػػ ع 2)ع + 2
(6، 1، 2( ، ب ) 4 ،1 ،9) hأ وجد امبؼد بني امنلطخني ـال1مثـ
h = ب (2 4ػػ)2
(1ػػ 1) + 2
(9ػػ 6) + 2
= 4 +0 +9 =13 وحدة طول
( كامئ امزاوية ، 0، 5، 2( ، جػ ) ػػ2، 1، ػػ 2( ، ب) 1، 4، 4ػػ )hأ زبت أ ن املثور اذلى رؤوسو ـال2مثـ
وأ وجد مساحذو :
h = ب (2 +4)2
(4ػػ 1)ػػ + 2
(1ػػ 2) + 2
= 36 +25 +1 =62 وحدة طول
h = جػ (4+ 2)ػػ2
(4ػػ 5) + 2
(1ػػ 0) + 2
= 4 +1 +1 =6 وحدة طول
(2 + 2)ب = حػ2
(5ػػ 1ػػ) + 2
(0ػػ 2) + 2
= 16 +36 +4 =56 وحدة طول
( h )ب2
= ) ب جػ ( 2
( +h)جػ2 E " h ب جػ كامئ امزاوية ىف جػ
وحدة مربؼة 6 ×56 =2 21× مساحة املثور =
حكون مثور مدساوى امساكني( 3، 5، 3( ، جػ ) ك، 3، 5( ، ب) 7 ،1 ،3)h امنلطأ زبت أ ن ـال3مثـ
لضالعمث أ وجد ) كمي ( ك امىت جتؼل املثور مدساوى ال ، احلليلية دليع كمي ك
h = ب (7 5ػػ)2
(3ػػ 1) + 2
(كػػ 3) + 2
= 4 +4 +9 ك + ك6ػػ2
وحدة طول
hجػ = (7 + 3)2
(5ػػ 1) + 2
(3ػػ 3) + 2
= 16 +16 +0 =32 وحدة طول
(5 +3)= جػ ب2
(5ػػ 3) + 2
(3ػػ ك ) + 2
= 4 +4 +9 ك + ك6ػػ2
وحدة طول
h ب جػ ملك كمي ك = ب،" h ك ك + 6ػػ 17ب جػ مدسوى ال لضالع غندما2
=32
2 6 3= ك كمب E 0= 55ك ــ 6ــ 2ك
1
2
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (3)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
ىف امفراغ مؼادةل امكرة ث ؼرف امكرة بأ هنا مجموػة من هلط امفراغ امىت ثبؼد غن هلطة اثبخة ) مرنز امكرة (
ثلعب ؼدا اثبخًا ) يسمى هطف كطر امكرة( فاإذا اكهت امنلطة ) س ، ص ، ع(
ػىل امكرة امىت مرنزىا امنلطة ) ل ، ك ، ن ( وطول هطف كطرىا هق
)س ػػ ل ( يكون 2
ك ( + )ص ػػ 2
+ ) ع ػػ ن( 2
= هق
مالحظة : املؼادةل امؼامة نوكرة ىه :
س 2
+ ص 2
+ ع 2
= ضفر دن ع + 2ك ص + 2ل س + 2+
ل ،،، هق = ل امكرة مرنزىا ) ػػ ل ، ػػ ك ، ػػ ن (متث 2
+ ك 2
+ ن 2
دػػ
وحدات 7( وطول هطف كطرىا 4، ػػ 5، 3امىت مرنزىا امنلطة ) أ وجد امطورة املياس ية ملؼادةل امكرة ـال1مثـ
( 3) س ػػ مؼادةل امكرة : 2
( 5+ ) ص ػػ 2
( 4+ ) ع + 2
=49
( هنائيًا كطر فهيا 1، 2، 1) ب ( ، 3، ػػ 3 ،4) hأ وجد مؼادةل امكرة اإذا اكن ـال2مثـ
( 1، ػػ 3، 2، ، ( = ) مرنز امكرة )
E " م =h = (3 +2)2
(3ػػ 4) + 2
(1 +3ػػ) + 2
= 25 +1 +4 =30 وحدة طول
( 2) س ػػ مؼادةل امكرة : 2
( 3+ ) ص ػػ 2
( 1+ ) ع + 2
=30
( 5، 1، ػػ 2( ومتر ابمنلطة ) 1، 6، ػػ 1ا امنلطة ) أ وجد مؼادةل امكرة اإذا اكن مرنزى ـال3مثـ
(1ػػ 2) = هق2
(6+ 1ػػ ) + 2
(1ػػ 5) + 2
= 1 +25 +16 =42 وحدة طول
( 1) س ػػ مؼادةل امكرة : 2
( 6+ ) ص+ 2
( 1+ ) ع ػػ 2
=42
أ وجد مرنز وطول هطف كطر امكرة : س ـال4مثـ2
+ ص 2
ع+ 2
0ص = 4س + 2ػػ
( 0، 2، ػػ 1مؼامل ص ، ػػ مؼامل ع ( = ) مؼامل س ، ػػ مرنز امكرة ) ػػ
ل هق = 2
+ ك 2
+ ن 2
(1) = دػػ 2
(2+ )ػػ 2
5= 0ػػ 0+
3 +1
2
4 +2
2
1+ 3ػػ
2
1
2
1
2
1
2
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (4)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
س2أ وجد مرنز وطول هطف كطر امكرة : ـال5مثـ2
ص2+ 2
ع2+ 2
0= 5+ 4ص ػػ 6س ػػ 2ػػ
س امطورة امؼامة ( 2)ابملسمة ػىل 2
ص + 2
+ ع 2
0= + 2ص ػػ 3ػػ س ػػ
( 1مرنز امكرة ) ػػ مؼامل س ، ػػ مؼامل ص ، ػػ مؼامل ع ( = ) ، ،
ل هق = 2
+ ك 2
+ ن 2
) ( = دػػ 2
) ( +2
وحدة طول 1 = 1ػػ = 1+
، ومتس مس خوايت الإحدازيات املوجبة ؟ طول وحدات 3 أ وجد مؼادةل امكرة امىت طول هطف كطرىا ـال6مثـ
وحدة طول 3، هق = ( 3، 3، 3مرنز ادلائرة )
( 3) س ػػ مؼادةل امكرة : 2
( 3+ ) ص ػػ 2
( 3+ ) ع ػػ 2
=9
املخجيات ىف امفراغ مذجو املولضع ىف امفراغ
ىو طول امطؼة املس خلمية املوهجة امىت متثل املخجو مؼيار املخجو
( سh) h║ =║فاإن ( عh، صh، سh= ) hاإذا اكن 2
( +hص )2
( + hع)2
.............= ║ ║h( فاإن 2، 4، 3= ) ػػ hن اإذا اك أكمل ـال1مثـ
║h║ = (3)ػػ2
( +4)2
( +2)2
= 9 +16 +4 =29 وحدة طول
اإذا اكنh واكن ( 1، ك، 2= ) ػػ h║ ║ =3 ........... = وحدات فاإن ك
║h║ = (2)ػػ2
(ك+ ) 2
( +1)2
+ ك 4ابمرتبيع 3= 2
+1 =9 E = ك2
مذجو اموحدة ىو مذجو مؼياره يساوى وحدة امطول
1
2
1
2
1
2
5
2
1
2
3
2
1
2
3
2
5
2
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (5)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
S ( =5 ،0 ،0 ) W ( =0 ،1 ،0 ) U ( =0 ،0 ،1 )
S║ ║ =5=5 ║ W ║ =5=5 ║ U ║= 5=5
امخؼبري غن مذجو بدلةل مذجيات اموحدة ال ساس ية
U عW + h صS + h سh = h ميكن نخابة فاإن ( عh، صh، سh= ) hاإذا اكن
W +U 5ػػ h =2 Sفاإن (1، 5، ػػ 2) = hمفثاًل
مجع وطرح املخجيات ىف امفراغ
( فاإن عب، صب، سب( ، ب = ) عh، صh، سh= ) hاإذا اكن
h = ب + (hسب+ س ،hصب+ ص ،hعب + ع )
h = ػػ ب (hسبػػ س ،hصبػػ ص ،hعب ػػ ع )
ػػ ب h أ وجد ف Uػػ W 3= ب، W +3 U 2ػػ h =Sاإذا اكن ـال 2مثـ
h ( =1 3، 2، ػػ ، ) ( 1، ػػ 3، 0= ) ب
E h ( = 4، 5، ػػ 1( = ) 1+ 3، 3ػػ 2، ػػ 0ػػ 1ػػ ب = )S 5ػػ W +4 U
ىف ػدد حليلى رضب املخجو
( عhك، صhك، سhك= ) hك ح فاإن Jك ( ، عh، صh، سh= ) hاإذا اكن
6Uػػ 4S +3 W، جػ = 2Uػػ W 4= ب، W +5 U 3ػػ h =2Sاإذا اكن ـال 3مثـ
جػ 2ػػ 3 hب + 2h أ وجد الًك من املخجيني
2h ( 2ػػ، 4، 0+ ) ( 5، 3، ػػ 2) 2= + ب
( 8، 2، ػػ 4( = ) 2ػػ 10، 4+ 6، ػػ 0+ 4= )
3 h (6، ػػ 3، 4) 2ػػ ( 5، 3، ػػ 2) 3= جػ 2ػػ
(27، 15، ػػ 14( = )12+ 15، 6 ػػ 9، ػػ 8 +6 = )
جساوى املخجيات ىف امفراغ
( فاإن عب، صب، سب( = ) عh، صh، سhاإذا اكن )
hسب= س ، hصب= ص ، hعب= ع
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (6)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
S +2 W +4Uنجػ = ، Uلػػ W 4= ب، W +5 U ك + h =2Sاإذا اكن ـال 4مثـ
فأ وجد كمي ك ، ل ، ن جػ =ب 2h + 3 واكن
2h +3 ( ل ، ػػ 4، 0) 3+ ( 5، ك، 2) 2= ب
( 4، 2، ن( = ) ل 3 ػػ 10، 12+ ك 2، 0+ 4= )
E = 2= 12ك + 2، 4ن D 4ل = 3ػػ 10، 5ك = ػػ D 2ل = ػػ
حدازيات طرفهياامخؼبري غن كطؼة مس خلمية ىف امفراغ بدل ةل اإذا اكن ، ب ػىل امرتثيب h، ب هلطخني ىف امفراغ مذجو مولضؼهيام hاإ
hب ػػ ب =hفاإن
W 4ػػ S= د ، U= ( ، جػ 2، ػػ 2، 1= ) ب( ، 0، 1، ػػ 2= ) hاإذا اكن ـال 5مثـ
د 5h ║ب جػ ║ ب hفأ وجد
h ب = ب ػػh = (1 ،2 2، ػػ 3، 1( = ) ػػ0، 1، ػػ 2( ػػػ ) 2، ػػ )
( 3 ، 2ػػ، 1= ) ػػ (2، ػػ 2، 1) ( ػػػ 1، 0، 0) =ب جػ ػػ = جػ ب
E ║ ب جػ ║ = (5)ــ2(2+ )ــ
2 ( +3)
2 = 5+4+9 =54
h ــ د= دh ( =1 0، 3، ػػ 1( = ) ػػ0، 1، ػػ 2( ػػػ ) 0، 4، ػػ )
5h ( 0، 15، ػػ 5( = ) ػػ0، 3، ػػ 1) ػػ 5= د
حدازيات امنلطة ب 2، 1، ػػ 4) = ب h( ، 2، ػػ 1 ،1= ) hاإذا اكن ـال 6مثـ ( أ وجد اإ
h ب = ب ػػh E = ب h + بh= (4 2، 1، ػػ)+(0، 0، 5( = )2، ػػ 1، 1)
مذجو اموحدة ىف اجتاه مذجو مؼووم
hه يسمى مذجو اموحدة ىف اجتا hىاملخجو ( فاإن عh، صh، سhاإذا اكن )
= hىويؼطى ابملاػدة
( أ وجد مذجو اموحدة ىف اجتاه لك من2، ػػ 1، 3= ) ب( ، 1، 2، 2= ) ػػ hاإذا اكن ـال 7مثـ
h ، ، بh ب
h
║ h ║
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (7)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
= ، ، = = hى
= = ، ، = ب ى
h ب = ب ػػh = (3 ،1 3، ػػ 1ػػ ، 5( = )1، 2، 2ػػ( ػػػ ) 2، ػػ )
= = ، ، = ب hى
زوااي الاجتاه وجيوب متام الاجتاه املخجو ىف امفراغ مع الاجتاىات ( عh، صh، سh) = hكياسات امزوااي امىت يطنؼيا املخجو ( ع c، صc، سcاإذا اكهت )
ب فإن : على الترتي S ،W ،Uاملوجبة نومحاور
hس =h║ ║ جذا cس ،hص =h║ ║ جذا cص ،hع =h║ ║ جذا cع
(cس ،cص ،c ع) جسمى بزوااي الاجتاه نومخجوh
جذاcجذا ، سcجذا ، صcجسمى جبيوب متام الاجتاه نومخجو عh
جذاcسS + جذاcص W + جذاcع U ة ىف اجتاه املخجومتثل مذجو اموحد h
جذا ويكون2
cجذا+ س2
cجذا+ ص2
c1= ع
( اموحدة ىف اجتاه لك من1، 2، 2= ) ػػ hأ وجد جيوب متام زوااي الاجتاه نومخجو ـال 1مثـ
= = = سcجذا
= = عcجذا ، = = صcجذا وابملثل
Sمع الاجتاه املوجب حملور U 2ػػ h =3 S +Wاملخجو امىت يطنؼيا أ وجد كياس امزاوية ـال 2مثـ
57= سE c = = = سcجذا //
41/
36°
ع مع الاجتاه املوجب حملور S +2W= باملخجو امىت يطنؼيا أ وجد كياس امزاوية ـال 3مثـ
90= عE c= = = ضفر عcجذا °
h
║ h ║ ( 1، 2، 2) ػػ
4+4+1
1
3
2ػػ
3
2
3
ب
║ب ║ ( 2ػػ، 1، 3)
9+1+4
2ػػ
14
3
14
1
14
( 3ػػ، 1ػػ، 5)
22+1+9
hب
║ hب║ 5
35
1ػػ
35
3ػػ
35
hس
║h║
2ػػ
4+4+1 2ػػ
3
hع
║ h ║
1 3
hص
║ h ║
2
3
1
3
2ػػ3
2
3
hس
║ h║
3
9+1+4
3
14
عب
║ب║
ضفر
1+4+0
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (8)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
امرضب املياىس ملخجيني
ذا اكن ، ب مذجيني ىف ح hاإ3
cكياس امزاوية بيهنام
c 180 0حير °
cجذا ║ب ║ ║ h ║= ب • hفاإن
60وكاس امزاوية بيهنام 8= ║ب ║، h║ =6 ║اإذا اكن ـال 1مثـ°
ب • hأ وجد h • ب =║ h║ ║ جذا ║ بc =6 ×8 60جذا
° =24
مس ، 10ب جػ د مربع طول لضوؼو h ـال 2مثـ h جػ • دب د h • ب جػ جػ h • ب hأ وجد
hب • h 10× 10 = جػ2 100= °45جذا
ب جػ • h 100= °0جذا 10× 10= د
جػ • دب h = 10 2 ×10 2 ضفر= °90جذا
خواص امرضب املياىس ملخجيني
(1) h • = ب ب• h خاضية ال بدال
(2) h • = ) ب + جػ (h • + بh • جػ
ب ( حير ك ػدد حليلى •h) ك ب ( = ك ) • hب = •( h) ك (3)
(4) h • h =║ h ║2
ب E h nب = ضفر • h اإذا اكن : (5)
(6) S • S =W • W =U • U =1 ،،،،S • W =W • U =S•U =0
حدا مذؼامدىثامرضب املياىس ملخجيني ىف هظام اإ
( فاإن عب، صب، سب) = ب، ( عh، صh، سh) = hاإذا اكن
h • ب =hسب س + hصب ص + hعب ع
( 3، 4، ػػ 4) ب =( ، 2، ػػ 5 ،1= ) hب حير • hأ وجد ـال 1مثـ h • = 10= 6ػػ 4ػػ 20 = 3( × 2+ )ػػ (4 ػػ) ×1+ 4 × 5 ب
ب
ا
ج
د
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (9)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
S +4 W +2 U 6 ب =، Uػػ W 2ػػ h =3 Sب حير • hأ وجد ـال 2مثـ h • = 8= 2ػػ 8 ػػ 18 = 2( × 1+ )ػػ 4 ×( 2) ػػ + 6 × 3 ب
= cجذا امزاوية بني مذجيني
// ب وىف هفس الاجتاه hفاإن c =1اإذا اكن جذا
اإذا اكن جذاc فاإن 1= ػػh ب وىف غكس الاجتاه //
اإذا اكن جذاc ضفر فاإن =h n ب
U ػػ S +W ب =، 2Uػػ h =5 S +Wحير كياس امزاوية بني املخجينيأ وجد ـال 1مثـ
h • = 8= 2+ 1+ 5( = 1( )ػػ 2+ )ػػ 1× 1+ 1× 5ب
║ h ║║ ب║ =25+5 +4 ×5+5+5 =90
c = =E c = 45جذا //
30 /
32°
( 4، 6، 2) ب =( ، 10، ػػ 7 ،2= ) hحير زاوية بني املخجينيكياس امأ وجد ـال 2مثـ
h • = 14= ػػ 40ػػ 12+ 14= 4( × 10+ )ػػ 6× 2+ 2× 7ب
║ h ║║ ب║ =49 +4 +500 × 4 +36 +56 = 553 ×56
c = =E c =58جذا //
41 /
98°
ىف لك مما يأ ىت بني ما اإذا اكن املخجيان مذوازاين أ م مذؼامدين أ م غري ذكل ـال 3مثـ
h ( =0 ،2 ،2 ، )= ( 4، ـ 0، 3) ب ( = 8، 4ػ ، 8( ، و =) 2ػ، 1، 2ػ ه)
) غري مذؼامدان ( 0 ≠) غري مذوازاين ( ، c = =≠ ± 1جذا
( وىف غكس الاجتاه )مذوازاين 1 = ػ = = = cجذا
h • ب
║h║║ب║
8
90
h • ب
║h║║ب║
54ــ
553 56
h • ب
║h║║ب║
h • ب
║h║║ب║
8ــ 0+ 0
8 25
و • ه
║و║║ه║
56ـ 4ـ 56ـ
9 544
36ـ
3 ×52
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (10)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
مذجو ىف اجتاه مذجو أ خر ) مسلط ( رهبةم
ب hىف اجتاه املخجو ب ويرمز هل ابمرمز hمرهبة املخجو
h ب =║ h ║ جذاc =
ب hىف اجتاه W +5U 3ػػ R =2 Sأ وجد مرهبة املوة ـال 1مثـ
( 3، 2، 1( ، ب = ) ػػ 1 ،4 ،0= ) hحير
h ب = ب ػػh ( 3، 2، ػػ 2( =) ػػ 0، 4، 1( ػػ ) 3، 2، 1= ) ػػ
= = ب h ىف اجتاه Rمرهبة املوة
= =17
زاحة ف Rامشغل املبذول من كوة لإحداث اإ
cجذا ║ف ║ ║ R ║ف = • Rامشغل =
اإذا اكهت املوةR ( ىف هفس اجتاه الإزاحةc=0 )E =ش ║ R ║ ║ ف║
اإذا اكهت املوةR ( ىف غكس اجتاه الإزاحةc=180 )E =ػػش║ R ║ ║ ف║
اإذا اكهت املوةR ( معوديةػىل اجتاه الإزاحةc=90 )E =ضفر ش
مخحريم جس مي من امنلطة R =3 S +7 Uامشغل املبذول من املوة أ وجد ـال 2مثـ
h(1 ،1 ،2 اىل امنلطة )( 5 ، 3 ، 7) ب
h ب = ب ػػh ( =7 ،3 ،5 ( ػػ )2، 1، 1 = ) (3، 2 ، 6 )
39 = 3× 7+ 0 + 6× 3( = 3، 2، 6) •( 7، 0، 3) = ف • R= ش
ومييل ػىل امرأ ىس بزاوية كياسيا خشص يرفع ضندوق بواسطة خيط مير ػىل بكرة موساء : ىف امشلك امللابل ـال 3مثـ
30°
مريثفع امطندوق غن سطح ال رض هيوحن 120هت كوة امشد ىف اخليط . فاإذا اك
فأ وجد امشغل املبذول من كوة امشد ىف اخليط أ مذار ، 3مسافة
R =120 = مرت ، 30هيوحن ، فc =30 °
cجذا ║ف ║ ║ R ║ امشغل املبذول من كوة امشد ىف اخليط =
هيوحن . مرت 3117و7= 30جذا × 30× 120=
h • ب
║ ب ║
R • h ب
║ h ب ║
( 3، 2، ػػ 2)ػػ •( 5، 3، ػ 2)
4 +4 +9
17
17
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (11)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
ملخجيني جتاىهامرضب الا
ذا اكن ، ب مذجيني ىف ح hاإ3
cبيهنام امطغرى كياس امزاوية
حير ى مذجو ى ( cجا ║ب ║ ║ h ║= ) ب × hفاإن
، ب طبلًا ملاػدة اميد اهميىن hى وحدة معودى ػىل مس خو
30وكاس امزاوية بيهنام 10= ║ب ║، h║ =12 ║اإذا اكن ـال 1مثـ°
ب× hأ وجد
h ×= ب ( ║ h║ ║ ا ج ║بc ى ) =30ا ج 10× ) 12°
ى 60= ( ى
ى مذجو وحدة معودى ػىل مس خواه مس ، 12ب جػ د مربع طول لضوؼو h ـال 2مثـ h جػ × دب د h × ب جػ h جػ × ب hأ وجد
hجػ × ب h = (12 ×12 2 45ا ج°
ى 144= ( ى
h 90ا ج 12× 12) = جب ×ب°
ى 144= ( ى
د × جب h = (12 ×12 0جذا°
و ى= (
مؼيار حوص رضب 17و5= ║ب ║، h║ =15 ║مذجيان ىف مس خوى فاإذا اكن ، ب hـال 3مثـ
h × أ وجد كياس امزاوية بيهنام . 246و67= ب
h ×= ب ( ║ h║ ║ ا ج ║بc ى )
c = E c =70جا ى (cا ج 17و5× 15) = 246و67 °
ملخجيني جتاىهخواص امرضب الا
(1) h × = ب ػػ ب× h (2 )h × h = و
(3) h × جػ ( = + ) بh × + بh × خاضية امخوزيع جػ
(4) h × = ما و ب أ و أ حد املخجيني أ و لكهيام يساوى ى // ب hفاإ
(5) S × W =U ،، W ×U =S ،، U ×S = W
S × U ـ = W ،، U ×W ـ = S ،، W × S ـ = U
ب
ا
ج
د
246و67
17و5× 15
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (12)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
حدا جتاىهامرضب الا مذؼامدىثملخجيني ىف هظام اإ
( فاإن عب، صب، سب) = ب، ( عh، صh، سh) = hاإذا اكن
h × ب =
( 4ػػ ، 3، 1) ب =( ، 1، 3، 2ػػ= ) hب حير × hأ وجد ـال 1مثـ
h × = ب = S ( ػػ 3ػػ 12) ػػW (8 1ػػ + )U (3ػػ 6) ػ
9Uـ W 7ـ 55Sـ =
U 5ػػ W 3 ب =، 2Wػػ S= ػػ hاإذا اكن ب × hأ وجد ـال 2مثـ
h × = ب = S (10 ػػ 0 ػػ )W (5 0 ػػ + )U (0ػػ 3) ػ
= 50 S 5ـ W 3ـ U
ى = ىو ، ب hمذجو اموحدة امؼمودى ػىل مس خوى املخجيني
وداًي ػىل املس خوى اذلى وحوى املخجينيمعمذجو وحدة أ وجد ـال 3مثـ
h =2 S 3ػػW + U ، ب = ػػS + 2 W 3ػػ U
h × = ب = S (9 ػػ 2ػػ )W ( + 1+ 6) ػU (4 3ػػ )
= 7 S + 5 W + U
، ب = = hػىل املس خوى مذجو اموحدة امؼمودى
= = S + W +U = ، ( ، )
S W U
h س hص hع
عب صب سب
S W U
5 3 2ـ
4ـ 3 5
S W U
0 2ـ 5ـ
5ـ 3 0
h × ب
║ h ×ب ║
h ×ب
║ h × ب║
7 S + 5 W + U
(7)2
(5+ )ػ 2
( +1)2
7 S + 5 W + U
75
5 75
7 75
5 75
7 75
5 75
5 75
S W U
5 3ـ 2
3ـ 2 5ـ
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (13)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
ثوازى مذجيني
يكوانن مذوازاين اإذا حتلق أ ح( عب، صب، سب) = ب، ( عh، صh، سh) = hاإذا اكن
= و ب × h( 1امرشوط ال ثية )
(2) = =
(3 ) h جتاه[مذوازاين ىف غكس الا 0ك? ،،، وىف هفس الاجتاه مذوازاين 0] ك < = ك ب
ل أ م ىف لك مما يأ ىت بني ما اإذا اكن املخجيان مذوازاين ـال 4مثـ
h ( =3 ،1 ،2 ، ) = ( 4، ـ 2، 5) ب
(8 ، 4، ػ 8) = و ، ( 2، ػ 1، 2= ) ػ ه
h × و ≠ 3( = ػػ 4)ػػ × 2+ 2× 1+ 1× 3= بE h ب غري مذوازاين ،
ه 4( = ػػ 2، ػ 1، 2) ػ 4( = ػػ 8، 4، ػ 8= ) و E مذوازاين غكس الاجتاه ،ه و
أ وجد كمية لك من م ، ك ( 4، ك ، 2) ب =( يوازى املخجو ، م 9، ػػ 3= ) hاإذا اكن ـال 5مثـ
e h // ب E = = E = =
E 6ػػ = = ك E 6 = = م
ىه ) ، ، ( واكن املخجو hواكهت جيوب متام زوااي الاجتاه نومخجو h ║ =6║اإذا اكن ـال 6مثـ
ب× hأ وجد ( 5، 3، 2) ــ ب =
hس =h║ ║ جذا c4× = 6= س ، hص =h║ ║ جذا c4ػػ× = 6 = ص ،
hع =h║ ║ جذا c2× = 6= ع E h = (4 ، 2 ، 4ػػ )
h × = ب = S ( ػػ 6ػػ 20ػػ )W (20 +4 + )U (12 8ػػ )
W +4 U 24 ـ S 26ــ =
S W U
2 4ـ 4
5 3 2ـ
hع
عب
hس
سب
hص
صب
hس
سب
hص
صب
hع
عب
3 2
9ــ ك
م4
9ــ× 23
3 ×4 2
1
3
2
3
2ـ
3
2
3
2ػ
3
1
3
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (14)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
املؼىن اميندىس نورضب الاجتاىه
║h×مساحة مذوازى ال لضالع فيو = ║ بh . ب لضوؼان مذجاوران ،
، ب لضوؼان . hمساحة املثور فيو لضؼف =
اإذا اكن لمنه مذوازى ال لضالعأ حسب مساحة ـال 1مثـ
(3، 5، 2) ن ، ( 5، 4 ، 1) م ، ( 3 ، 1، 2) ل
( 2ػػ ، 3ػػ ، 1) ( = 5، 4، 1( ػػ ) 3، 1، 2) = م ػػ ل= مل
( 2ػػ ، 1 ، 1 ) ( = 5، 4، 1( ػػ ) 3، 5 ، 2) = م ػػ ن= من
U (1 +3 )( + 2+ 2ػ) W( ػػ 6 + 2 ) S = = من×مل
= 8 S (0)ـ W + 4 U
║من×مل║= (لمن ٍ) جا من× مل= ال لضالع مذوازىمساحة
= ( 8 )2
( +0)2
( + 4 )2
= 80 = 98و
(0، 4، 2) و، (3، 4ػ، 4) ه ، (2، ػ 1، 5) د اإذا اكندهو أ حسب مساحة املثور ـال 2مثـ ( 5، 5ػػ ، 1ػػ ) ( = 2ػ ، 1، 5( ػػ ) 3، 4ػ ، 4) = د ػػه = ده
( 2ػػ ، 3 ، 3ػػ ) ( = 2ػ ، 1، 5( ػػ ) 0، 4، 2) = د ػػ و= ود
(15ػػ 3) ػ W (2 +15 + )U( ػػ 15ػػ 10)ػ S = = دو×ده
U 58ـ W 57ـ S 25ــ =
║دو×ده║½= (هدو ٍ) جا دو×ده ½= "مساحة
=½ (25)ػػ2
(17+ )ػػ 2
(18+ )ػػ 2
17و6= 35و18× ½=
S W U
5 5ـ 5ـ
2ـ 3 3ـ
S W U
2ـ 3ـ 5
2ـ 5 5
عادل إدوار/h – توجيه الرياضياتمنتدى (15)الثالث الثانوى الصف – الفراغية منهج اهلندسة
امرضب امثالىث املياىس
h • جػ × ب=
املؼىن اميندىس نورضب امثالىث املياىس
اوى زالث مذجيات متثل أ حرف غري مذوازية يس ، جػ، ب hجحم مذوازى امسطوح اذلى فيو
جػ × ب • hاملمية املطولة نوملدار
متثل زالث أ حرف مذجاورةىف ىف مابىل د ، ه ، و أ حسب جحم مذوازى امسطوح اذلى فيو ـال 3مثـ
(2ػػ ، 1، 5) =و، ( 4، 1 ، 2) =ه، (3، 1، 1) = د
(5ػػ 2 ) 3( + 20ػػ 4ػػ ) 1ػػ ( 4ػػ 2ػ ػ )1 = = و×ه• د
9ـ 24+ 6 ــ =
وحدات 9 = و × ه • د =جحم مذوازى امسطوح
hS hW hU
Uب Wب Sب
Uج Wج Sج
5 5 3
2 5 4
2ـ 5 5