لثانوىنى الثا الصف اطبيقات تطبيقات تلثانوىنى الثا الصف اا�ضيات الريطبيقات تلطالــــبب ا كتــــاعلمى القسم ال هو أفضل تنافس.فس مع الذاتلتنا إن ا كفاه. عليهمن توكل أغناه و من وثق با ا. ا أبد يكون حر، فلن خوف من يعش ا.ً ا وعاتبهً امدح صديقك علنتحدث.تك قبل أن ت كل اخمها.يق أحقرير نفسها ولقادرة ع هى اب وحدها الشعولثانوىنى الثا الصف الطالبب ا كتا
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
الصف الثانى الثانوى
تطبيقاتتطبيقات
وىثان
ى الثان
ف الص
الت
يا�ض
يالر
اات
يقطب
ت
كتــــاب الطالــــب
القسم العلمى
إن التنافس مع الذات هو أفضل تنافس.
من وثق باهلل أغناه ومن توكل عليه كفاه.
ا. ا أبد من يعش ىف خوف، فلن يكون حر
امدح صديقك علنا وعاتبه رسا.
اخرت كلامتك قبل أن تتحدث.
الشعوب وحدها هى القادرة عىل حترير نفسها وحتقيق أحالمها.
واالبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت
وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.
وفى �سوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:
الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها تقسيم
واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية، ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت
عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة
العلمية من السهل إىل الصعب ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى
تناسب القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.
كما قدم ىف كل درس أمثلة تبدأ من السهل إىل الصعب، وتشمل مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت
عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند »تمارين« وتشمل مسائل متنوعة تتناول املفاهيم واملهارات التي
درسها الطالب يف الدرس.
تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة وتمارين عامة تشمل مسائل متنوعة
عىل املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب يف هذه الوحدة.
ينتهي الكتاب بإختبارات عامة تشمل جميع املفاهيم واملهارات التي درسها الطالب يف وحداته.
وأخيرا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.
�له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل وال�
المقدمة
المحتوياتكــا
ستــاتيال
ا
مقدمة عن تطور علم الميكانيكا. ................................................................................................................................................................................................................... 2
تحليل القوى. ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 16
21 ....................................................................................................................................................................... محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة.
اتزان جسيم تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة. ............................................................................... 26
الحركة المستقيمة. ........................................................................................................................................................................................................................................................ 42
الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. .................................................................................................................................................................................... 53
قانون الجذب العام. ......................................................................................................................................................................................................................................................... 67
المساحة الكلية لكل من الهرم والمخروط. ................................................................................................................................................................................... 85
89 ........................................................................................................................................................................................................................ حجم الهرم والمخروط القائم.
وصف البيانات. ................................................................................................................................................................................................................................................................. 116
اجابات بعض التمارين............................................................................................................................................................................................................................................ 164
الوحدة الثالثة
الوحدة الرابعة
سة و القيا
سالهند
حتمالال
صاء واح
الا
مقدمة عن تطور علم الميكانيكاالميكانيكا بالمفهوم العام هو العلم الذى يقوم بدراسة حركة أو اتزان األجسام المادية، وذلك باستخدام ½
إطالق الصواريخ القوانين الخاصة بها، فمثالا هناك قوانين تسرى على دوران األرض حول الشمس و
أو قذيفة المدفع أو غير ذلك. ويقصد بها التغير الذى يحدث بمرور الزمن لمواضع األجسام المادية
فى الفراغ ، والتأثير الميكانيكى المتبادل بين األجسام هو التأثير الذى تتغير له حركة هذه األجسام ،
ا لتأثيرات القوى المختلفة عليها ، لذلك فإن المسألة األساسية فى الميكانيكا هى دراسة القوانين طبقا
العامة لحركة واتزان األجسام المادية تحت تأثير القوى عليها. وتنقسم الميكانيكا إلى:
Statics )1(اال�ستاتيكا
، القوى تسمى المؤثرات تأثير مجموعة من يبحث فى سكون األجسام تحت توازن األجسام( )علم
وتوصف القوى التى ال تغير من حالة الجسم بأنها متزنة، ويقال للجسم: إنه فى حالة توازن تحت تاثير
هذه القوى.
Dynamics )2(الديناميكا
)علم حركة األجسام( والتى تتضمن قوانين حركة األجسام المادية تحت تأثير القوى ، وتنقسم الديناميكا
إلى: الكينماتيكا Kinematics وهى تبحث فى خصائص الحركة من الوجهة الهندسية )وصف الحركة
ا دون التعرض للقوى المسببة لها(، و الكيناتيكا Kinetics وهى تبحث فى تأثير القوى ا مجردا وصفاالمسببة أو المغيرة للحركة.
وهناك:
ميكانيكا النقطة المادية )أى الجسم الذى يمكن إهمال أبعاده عند بحث حركته أو اتزانه(.
ا من الجسيمات المترابطة ميكانيكا الجسم الجاسئ Rigid Bodies )أى الجسم المكون من عدد كبير جد
مع بعضها بحيث إن المسافه بين أي جسيمين منها تكون ثابتة وال تتأثر بأي مؤثر خارجي(.
1- سوف ندرس فى هذه الوحدة مفهوم القوة وخواصها ووحدات قياسها وتحليل القوة إلى مركبتين ، وإيجاد محصلة عدة قوى متالقية فى نقطة ، ثم دراسة اتزان نقطة مادية تحت تأثير مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة وتطبيقات عليها.
2- سوف ندرس فى هذه الوحدة )الكينماتيكا( وهى التى تختص بوصف حركة األجسام دون التعرض للقوى المسببة لها وتتناول هذه الدراسة حركة األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسببات الحركة وقوانينها وتطبيقات على الحركة األفقية والرأسية بعجلة منتظمة وقانون
الجذب العام لنيوتن.
تطبيقات الرياضيات - علمى 2
ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة )توجد لبعض األنظمة واألجسام تغيرات تطرأ عليها تتغير فيها
الكتلة بتغير الزمن كأن ينفصل عنها أو يتحد بها جسيمات تنقص أو تزيد من كتلتها فى أثناء الحركة،
ومن هذه األجسام الصواريخ النفاثة وعربات المناجم التى تتغير كتلتها نتيجة استهالك الوقود وغيرها
من األنظمة المختلفة(.
ميكانيكا األجسام القابلة للتشكيل )المرونة Elasticity( هى خاصية األجسام التى لها القدرة على الرجوع
إلى شكلها و أبعادها األصلية بعد تشكيلها، أما اللدونة Plasticity وهي عند تعرض األجسام إلى مؤثرات
خارجية ال تعود إلى حالتها الطبيعية عند زوال المؤثر الخارجي.
Fluid Mechanics ميكانيكا الموائع
ا الموائع )سوائل، غازات، ...( والقوى المؤثرة عليها وينقسم أحد فروع ميكانيكا الكم وهو يدرس اساسا
إلى استاتيكا الموائع أو دراستها فى حالة السكون وديناميكا الموائع أو دراستها فى حالة الحركة ويندرج
تحتها تخصصات أخرى مثل الديناميكا الهوائية )ايروديناميك( والديناميكا المائية )هيدروديناميك(.
:Biomechanics الميكانيكا الحيوية
هى تطبيق للمبادئ الميكانيكية على الكائنات الحية ، وهذا يشمل دراسة وتحليل ميكانيكا الكائنات
الحية وتطبيق المبادئ الهندسية واستقائها من األنظمة الحياتية.
األطراف على المؤثرة القوى دراسة تشمل الحيوية الميكانيكا ألبحاث البسيطة األمثلة ومن
وفى القرن الثامن عشر بدأت تتطور الطرق التحليلية فى الميكانيكا، والتى بنيت على تطبيق حساب
اآللى الحاسب باستخدام العددية الطرق إلى )باإلضافة التفاضلية المعادالت التفاضل والتكامل وحل
الحالى، ويرجع الوقت الديناميكا، والتى مازالت متبعة حتى العديد من مسائل المتبع حالياا( فى حل
الفضل فى ذلك إلى أبحاث العالمين الفرنسيين دالمبير )1717 – 1783( والجرانج )1736 – 1813(.
وقد وضع أساس ميكانيكا األجسام ذات الكتل المتغيرة العالم الروسى تسيلكوفسكى )1847 – 1921(
الروسى للعالم وكان ، الصواريخ وحركة النفاثة الحركة نظرية فى أساسية باكتشافات قام حيث
كريلوف )1863 – 1945( دور بارز فى وضع نظرية السفن وتطوير نظرية األجهزة الجيروسكوبية.
General relativity theory النظرية الن�سبية العامة
الفيزياء: بالمصطلحات األساسية في يتعلق بما المفاهيم الكثير من النسبية ألينشتاين غيرت النظرية
المكان، الزمان الكتلة والطاقة. حيث أحدثت نقلة نوعية في الفيزياء النظرية وفيزياء الفضاء في القرن
العشرين. عند نشرها ألول مرة وعدلت النظرية الميكانيكة لنيوتن التي كانت قائمة لمدة 200 عام.
ت بأن كل الحركة نسبية. ومفهوم الوقت قامت نظرية النسبية بتحويل مفهوم الحركة لنيوتن، حيث نص
ا بعد أن تغير من كونه ثابتاا ومحدد، إلى كونه بعد آخر غير مكاني. وجعلت الزمان والمكان شيئاا موحدا
كان يتم التعامل معهما كشيئين مختلفين. وجعلت مفهوم الوقت يتوقف على سرعة األجسام، وأصبح
ا أساسياا لفهم الكون.وبذلك تغيرت كل الفيزياء الكالسيكية النيوتونية. د الزمن مفهوما تقلص وتمد
تطبيقات الرياضيات - علمى 4
الحادثة التفاعالت فهم من عمقت حيث كبيرة، أهمية النسبية للنظرية الفيزياءكان مجال في
بين الجسيمات، مما أدى لقدوم العصر النووي، وكذلك باستخدام النظرية النسبية استطاع علماء الكون
والفضاء التنبؤ بظواهر طبيعية وكونية مثل الثقوب السوداء وموجات الجاذبية.
:Quantum mechanics ميكانيكا الكم
على الظواهر لتفسير وذلك العشرين، القرن في ظهرت التي الفيزيائية النظريات من مجموعة هي
مصطلح ليظهر الموجية والخاصية الجسيمية الخاصية بين دمجت وقد والجسيمات الذرة مستوى
ازدواجية )الموجة – الجسيم( ، وبهذا تصبح ميكانيكا الكم مسئولة عن التفسير الفيزيائي على المستوى
ا تطبق على الميكانيكا الكالسيكية، ولكن التظهر تأثيرها على هذا المستوى، لذلك الذري، كما أنها أيضا
فإن ميكانيكا الكم هي تعميم للفيزياء الكالسيكية إلمكانية تطبيقها على المستويين الذري والعادي.
وسبب تسميتها بميكانيكا الكم يعود إلى أهمية الكم في بنائها )وهو مصطلح فيزيائي يستخدم لوصف
أصغر كمية من الطاقة يمكن تبادلها بين الجسيمات، ويستخدم لإلشارة إلى كميات الطاقة المحددة التي
تنبعث بشكل متقطع، وليس بشكل مستمر(.
Femtosecon الفيمتو ثانية
بين )-15(( والنسبة للقوة أي )عشرة مرفوعة الثانية، مليار جزء من مليون ثانية: هو جزء من الفيمتو الثانية والفيمتو ثانية هي النسبة بين الثانية و32 مليون سنة.
في العام1990 تمكن العالم المصرى أحمد زويل من تثبيت اختراعه المعروف بكيمياء الفيمتو، وذلك
ص اختراعه بعد جهد مضن مع فريق بحثه القابع في معهد كاليفورنيا للتقنية امتد منذ العام1979 ، ويتلخ
ل هذا العالم في اختراع وحدة زمنية تخطت حاجز الزمن العادي إلى وحدة زمن الفيمتو ثانية ، وتوص
إلى اكتشافه العلمي باستخدام نبضات ليزر قصيرة المدى وشعاع جزيئي داخل أمبوب مفرغ ، وكاميرا
رقمية ذات مواصفات فريدة، وذلك لتصوير حركة الجزيئات منذ والدتها وقبل التحاقها لباقي الجزيئات
األخرى ، وأصبح باإلمكان التدخل السريع ومباغتة التفاعالت الكيميائية عند حدوثها باستخدام نبضات
العربي العالم هذا جعل وقد الخلية، في والبناء الهدم عمليات ومتابعة للمشاهدة كتليسكوب الليزر
الفضاء أبحاث ، الفيزياء ، الطب في مجال العلمي االكتشاف ا الستخدام هذا مفتوحا الباب العمالق
لت باسمه مدرسة علمية جديدة عرفت باسم كيمياء الفيمتو. وغيره الكثير وسج
5كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
الوحدةاألولى
فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:
يتعرف وحدات القياس المختلفة )عند �دراسة الموضوعات المتعلقة بها(
التى � – اإلزاحة المسافة وحدات قياس تستخدم فى قياس األطوال الكبيرة )مثل تستخدم والتى والميل(، الكيلومتر الصغر فى المتناهية األطوال لقياس
)مثل النانومتر( ودراسة العالقة بينها.وحدات قياس الزمن )... – الساعة – �
الدقيقة – الثانية -.... – الفيمتوثانية(، ودراسة العالقة بينها.
وحدات قياس الكتلة )... _ كيلوجرام �– جرام -...( ودراسة العالقة بينها.
وحدات قياس السرعة، والعجلة، والقوة. �
يتعرف مفهوم القوة ، والقوة كمتجه ، �ووحدات قياس مقدار القوة فى ضوء
وحدات القياس السابقة.واتجاها � مقدارا قوتين محصلة يوجد
)القوتان تؤثران فى نفس النقطة(.إلى � معلومة قوة تحليل يتعرف
مركبتين.إلى � معلومة قوة تحليل يتعرف
مركبتين متعامدتين.يوجد محصلة عدة قوى مستوية متالقية �
فى نقطة.يبحث اتزان نقطة مادية )جسيم( تحت �
المستوية القوى من مجموعة تأثير
المتالقية فى نقطة فى الحاالت اآلتية:متالقيتان مستويتان قوتان اتزنت إذا
فى نقطة.اتزنت ثالث قوى مستوية متالقية إذا
فى نقطة.إذا اتزنت عدة قوى مستوية متالقية فى
نقطة.ا � وجبري هندسيا قوتين محصلة يوجد
فى المعلومات تكنولوجيا مستخدما صورة أنشطة.
فى � درسه ما تطبيقات يتعرف فيزيائية مواقف فى االستاتيكا
وحياتية.
االستــاتيكــا Statics
البكالوريوس وكان نال درجة بإنجلترا حيث أمضى دراسته فى جامعة كامبردج حتى لنكولن نيوتن عام 1642م فى مقاطعة ولد إسحق
ألستاذه »إسحاق بارو« الفضل األكبر فى تنمية معارفه الرياضية، حيث ابتكر نيوتن قوانين الميكانيكا األساسية كما اكتشف قانون الجاذبية
البصريات، أبحاث فى لنيوتن ، كما كان للحركة التفاضلية المعادالت التفاضل واكتشف ابتدع حساب ، كما السماوية األجرام وطبقه على
الذى يتكون الطبيعية للفلسفة الرياضية المبادئ ابتكر تلسكوبا عاكسا بقوة تكبير 30 ضعفا، وقد عرض نيوتن عام 1687م كتاب حيث
العام، الجذب لقانون باإلضافة للحركة نيوتن بقوانين بعد فيما عرف والذى الكالسيكى الميكانيكا علم أساس ويعتبر أجزاء ثالثة من
نفسه عن المشهورة نيوتن أقوال ومن 1727م عام توفى حتى المنصب هذا فى وظل فارس لقب 1705م عام إنجلترا ملكة منحته وقد
»لست أعلم كيف ابدوا للعالم، ولكننى أبدوا لنفسى وكأننى صبى يلعب على شاطئ البحر ، ألهو بين الحين والحين بالعثور على حصاة ملساء
أو صدفة أجمل من العادة، بينما ينبسط محيط الحقيقة العظيم مغلق األسرار أمامى«.
محصلة عدة قوى مستوية متالقية فى نقطة الدرس )1 - 3(:
تأثير مجموعة من الدرس )1 - 4(: اتزان جسم جاسئ تحت
القوى المستوية المتالقية فى نقطة.
Ñ Statics استاتيكا Ñ Force قوة Ñ Rigid body جسم جاسئ Ñ Gravitation force قوة التثاقل Ñ acceleration of gravity عجلة السقوط الحر Ñ Newton نيوتن Ñ Dyne داين Ñ Kilogram weight ثقل كيلو جرام Ñ Gram weight ثقل جرام Ñ Line of action of the force خط عمل قوة
Ñ Resolving force تحليل قوة Ñ force Component مركبة قوة Ñ equilibrium of a body اتزان جسم Ñ triangle of forces قاعدة مثلث القوى Ñ lami's rule قاعدة المى Ñ Equilibrium of rigid body اتزان جسم جاسئ Ñ smooth plane مستوى أملس Ñ inclined smooth plane مستوى مائل أملس Ñ centre of gravity مركز ثقل
اتزان جسيم تحت تأثيرالقوى
تطبيقات فيزيائية وحياتية
استخدام التكنولوجيا
إيجاد محصلة القوى
مفاهيم
تحليلياهندسيا
عدة قوىثالث قوىقوتين وحدات قياسخواص
قاعدة مثلث القوى
مضلع القوىالتحليل فى اتجاهين متعامدينالتحليل فى اتجاهين معلومين
قاعدة المى
تحليل القوى إلى مركبتين متعامدتين ووضع س = 0 ، ص = 0
تمهيد:علمت أن االستاتيكا هى فرع الميكانيكا الذى يدرس
القوى وشروط اتزان األجسام المادية التى تؤثر عليها القوى , وستكون دراستنا فى هذه الوحدة على اتزان
األجسام الجاسئة )1( فقط.
الكمية بين الفرق المتجهات علمت فى دراستك ومن
القياسية والكمية المتجهة.
Force القوة: تتوقف حالة اتزان أو حركة الجسم على طبيعة التأثير
أى األخرى، األجسام وبين بينه المتبادل الميكانيكى
نتيجةا لهذا التى تحدث للجسم التنافر أو التجاذب الشد أو على حاالت الضغط أو
التأثير.
تعرف القوة بأنها تأثير أحد االجسام الطبيعية علي جسم طبيعي آخر. ½
يف1عر
ت
خوا�ص القوة:يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية:
أوال: مقدار القوة )قيمتها العددية(.فى القوة لقياس األساسية والوحدة القوى بوحدة بمقارنتها القوة مقدار يتعين
الميكانيكا هى النيوتن )N( أو ثقل الكيلوجرام )kg.wt( حيث:
1 نيوتن = 510 داين ½ 1 ث كجم = 1000 ث جم ،
1 ث جم = 980 داين ½ 1 ث كجم = 9.8 نيوتن ،
) مالم يذكر خالف ذلك( )2(
1- الجسم الجاسئ هو الجسم الذى يحتفظ بشكله دون تشوه إذا وقع تحت تأثير عوامل خارجية.التثاقل )أو الوزن( هى مقدار جذب األرض للجسم ، حيث إن االرض تجذب األجسام الساقطة 2- قوة نحوها وتختلف قيمة عجلة السقوط الحر لألجسام من مكان ألخر على سطح األرض والقيمة التقريبية لها تساوى 9.8 م/ث2 مالم يذكر خالف ذلك.وسيعرض هذا الموضوع بالتفصيل فى مواضع أخرى
polar angle الزاوية القطبيةالتى الموجبة الزاوية هى االتجاه مع المتجه يصنعها
الموجب لمحور السينات.
ق: : : :C ب جـ
شكل )2(
ق 2 I
C
ب جـ
و
C
بشمال
غرب شرق
جـ
00 14- 23- 32- 41-
1234
وc120
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
1ىوـققلا سدرال
9
نكمل رسم متوازى األضالع و C جـ ب.
ق2 ممثلة بالقطعة المستقيمة الموجهة و جـ. ق1 ، فتكون محصلة القوتين
أى أن ح - 3.6 * 100 = 360 نيوتن. نحدد باستخدام البرنامج ||و جـ || - 3.6 سم.
ق2 مقدارها 360 نيوتن ق1 ، و C زاوية قياسها c73 /53 / /53 أى أن محصلة القوتين و جـ يصنع مع
.c73 /53 //53 ق1 زاوية قياسها تقريباا وتصنع مع حاول أن تحل
ق2 اللتين تؤثران فى نقطة من جسم جاسئ ق1 ، استخدم برنامج )GeoGebra( فى إيجاد محصلة القوتين 1 ق2 = 500 نيوتن وتعمل في اتجاه c80 شمال الشرق. ق1 = 400 نيوتن وتعمل في اتجاه الشرق ، حيث
The resultant of two force meeting at apoint analytically اإيجاد مح�سلة قوتين متالقيتين فى نقطة تحليليا:
ق 2
ق 1
I
C
ب جـ
وى
هـ
ب جـ
ق 2
و هـى
I
ق 1 C
ق2 قوتان متالقيتان فى نقطة )و( وأن قياس الزاوية بين اتجاهى ق1 ، نفرض أن
و جـ تمثل المحصلة ق2 فإن ق1 ، و ب تمثالن ، C و القوتين )ى( فإذا كان
ق1 فإنه كما سبق فى I مع I وبفرض أن هـ هو قياس الزاوية التى تصنعها
من العالقات: ق2 ق1 ، دراسة قاعدة جيب التمام يمكن إيجاد مقدار واتجاه محصلة القوتين
ق2 جا ى ق1 + ق2 جتا ى
+ 2 ق1 ق2 جتا ى ، ظاهـ = 2ق2 +
2ق1 = I
I علي الترتيب ق2 ، ق1 ، حيث: ق1 ، قI ، 2 مقادير القوى
مثال
2 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية والزاوية بين اتجاهيهما c45. أوجد مقدار محصلتهما قوتان مقدارهما 3 ، 3 2 وزاوية ميلها مع القوة األولى.
ونالحظ من الشكل المرسوم أن: ق1 = قI = 2 = 16 نيوتن وأن المحصلة
المحصلة ميل زاوية أن أى المتساويتين، القوتين بين الزاوية تنصف
c60 = على أى من القوتين
حاول أن تحلق2 فى كل حالة من الحاالت اآلتية: ق1 ، أوجد مقدار واتجاه المحصلة لكل من 3
c90 ق1 = 4.5 نيوتن ، ق2 = 6 نيوتن وقياس الزاوية بينهما أ
c60 ق1 = ق2 = 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما ب
حاالت خاصة:1- إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى نفس االتجاه:
المحصلة ½ إيجاد قانون فى وبالتعويض 1 = جتاى يكون الحالة هذه فى
: I = ق1 + ق2 ويكون اتجاه المحصلة فى نفس اتجاه القوتين ، نجد أنوتسمى I فى هذه الحالة بالقيمة العظمى للمحصلة.
2- إذا كانت القوتان لهما نفس خط العمل وفى اتجاهين متضادين:المحصلة ½ إيجاد قانون فى وبالتعويض 1 - = جتاى يكون الحالة هذه فى
: I = |ق1 - ق2| ويكون اتجاه المحصلة يعمل فى اتجاه القوة األكبر نجد أن
ا ، وتسمى I فى هذه الحالة بالقيمة الصغرى للمحصلة. مقدارا
مثال: أوجد القيمتين العظمى والصغرى لمحصلة القوتين 4 ، 7 نيوتن.وتعمل فى اتجاه القوتين. ½ القيمة العظمى = 4 + 7 = 11 نيوتن
وتعمل فى اتجاه القوة 7 نيوتن. ½ القيمة الصغرى = |4 – 7| = 3 نيوتن
مثال
قوتان مقدارهما ق ، 4 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 فإذا كان مقدار محصلتهما 4 . ق1 ق وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع 3 نيوتن فأوجد: مقدار يساوى 4
c30 = 1ق أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع
حل آخر للجزء الثاني:ح
جا ى ق2 = جا هـ 2
I نستخدم قانون الجيب: ق ، إليجاد الزاوية بين
3 4جا 120
= 4جا هـ 2
`
باالختصار والتبسيط 12 جا هـ2 =
c30 ق تساوى أى أن قياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع
حاول أن تحلقوتان مقدارهما 6 ، ق ث كجم تؤثران قى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c135. أوجد مقدار المحصلة إذا 4
كان خط عمل المحصلة يميل بزاوية قياسها c45على خط عمل القوة التى مقدارها ق.
تعبير شفهى: أوجد محصلة قوتين متساويتين فى المقدار، ولهما نفس خط العمل ويعمالن فى اتجاهين متضادين.
تمــــاريــن الدرس األول
اأكمل ماياأتى:يتحدد تأثير قوة على جسم باآلتى .................................................................................................................................................................................................. 1
القيمة العظمى لمحصلة قوتين مقدارهما 4 ، 6 نيوتن متالقيتان في نقطة يساوى .............................................................. 3
القيمة الصغرى لمحصلة قوتين مقدارهما 5 ، 9 نيوتن متالقيتان في نقطة يساوى ............................................................. 4
2 ، 3 نيوتن قوتان فإذا كان قياس الزاوية بينهما c60 فإن مقدار محصلتهما تساوى ....................................................... 5
اختر االجابة ال�سحيحة من بين االإجابات المعطاة:مقدار محصلة القوتان 3 ، 5 نيوتن وقياس الزاوية بينهما c60 تساوى. 6
8 نيوتن د 7 نيوتن ج 6 نيوتن ب 2 نيوتن أ
قوتان مقدارهما 3 ، 4 نيوتن ومقدار محصلتهما 5 نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى 7
c90 د c60 ج c45 ب c30 أ
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
1ىوـققلا سدرال
13
قوتان متساويتان، مقدار كل منهما 6 نيوتن ومقدار محصلتهما 6 نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما تساوى 8
c150 د c120 ج c60 ب c30 أ
قوتان مقدارهما 3 ، ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 ، فإذا كانت محصلتهما عمودية على القوة األولى فإن 9 قيمة ق بالنيوتن تساوى:
6 د 3 3 ج 3 ب 1.5 أ
إذا كانت القوتان 6 ، 8 نيوتن متعامدتان فإن جيب زاوية ميل محصلتهما على القوة األولى تساوى: 10
43 د 34 ج 45 ب 35 أ
اأجب عن االأ�سئلة االآتية:مقدار أوجد .c120 قياسها زاوية بينهما وتحصران مادية نقطة فى تؤثران نيوتن 10 ، 5 مقدارهما قوتان 11
المحصلة وقياس الزاوية التى تصنعها المحصلة مع القوة األولى.
بينهما c45 أوجد مقدار واتجاه الزاوية تؤثران فى نقطة مادية وقياس 2 ث.كجم 3 ، قوتان مقدارهما 3 12 محصلتهما.
قوتان مقدارهما 15 ، 8 ث. كجم تؤثران فى نقطة مادية ، إذا كان مقدار محصلتهما 13 ث. كجم. فأوجد قياس 13 الزاوية بين هاتين القوتين.
قوتان مقدارهما 8 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 ، فإذا كان مقدار محصلتهما 14 3 نيوتن فأوجد مقدار ق. ق
قوتان مقدارهما 4 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c135 فإذا كان اتجاه محصلتهما يميل 15 بزاوية c45 على ق. أوجد مقدار ق.
قوتان مقدارهما 4 ، ق نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وقياس الزاوية بينهما c120 ، إذا كانت محصلتهما عمودية 16 على القوة األولى. أوجد مقدار ق.
3 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية فإذا كان مقدار محصلتهما يساوى 2ق نيوتن. فأوجد قوتان مقدارهما ق ، ق 17 قياس الزاوية بين هاتين القوتين.
- 4 أوجد مقدار 5 قوتان مقدارهما 12 ، 15 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية وجيب تمام الزاوية بينهما يساوى 18
محصلتهما وقياس زاوية ميلها على القوة األولى.
إذا تضاعفت القوتان و c120 قوتان متساويتان مقدار كل منهما ق ث.كجم تحصران بينهما زاوية قياسها 19 وأصبح قياس الزاوية بينهما c60 زادت محصلتهما بمقدار 11 ث.كجم عن الحالة األولى. أوجد مقدار ق.
c60 قوتان مقدارهما 12 ، ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ، تعمل األولى فى اتجاه الشرق وتعمل الثانية فى اتجاه 20
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
14
علم أن خط عمل المحصلة يؤثر فى اتجاه c30 جنوب إذا جنوب الغرب. أوجد مقدار ق ومقدار المحصلة
الشرق.
إذا 19 نيوتن. و ق1 ، ق2 قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها c120 ومقدار محصلتهما 21 أصبح قياس الزاوية بينهما c60 فإن مقدار المحصلة يساوى 7 نيوتن. أوجد قيمة كل من ق1 ، ق2.
قوتان مقدارهما ق ، 2ق ث.كجم تؤثران فى نقطة ما ، إذا ضوعف مقدار الثانية وزيد مقدار األولى 22 15 ث.كجم ال يتغير اتجاه محصلتها. أوجد مقدار ق.
تفكير إبداعى:
إذا عكس اتجاه قوتان متساويتان فى المقدار ومتالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتهما يساوى 12 ث.كجم. و 23 إحداهما فإن مقدار المحصلة يساوى 6 ث.كجم. أوجد مقدار كل من القوتين.
الزاوية إذا تغير قياس ، و بينهما هـ الزاوية إذا كان قياس ، ق ومقدار محصلتهما 2ك قوتان مقدارهما ك 24 وأصبحت ) c180 – هـ( فإن مقدار محصلتهما ينقص إلى النصف. أوجد مقدار كل من ك ، ق.
ق ، 2ق قوتان تؤثران فى نقطة مادية وتحصران بينهما زاوية قياسها ى ومقدار محصلتهما يساوى 25
5 ق )م - 1(. إذا كان قياس الزاوية بينهما )c90 – ى( فإن مقدار المحصلة يساوى 5 ق )م + 1( و
م - 2
م + 2أثبت أن ظا ى =
نشاط
25 I 1 فإن المحصلة تصبحX 2X قوتان متالقيتان فى نقطة ومقدار محصلتها I نيوتن ، إذا عكس اتجاه ، 1X
نيوتن وفى اتجاه عمودى على المحصلة األولى. أوجد قياس الزاوية بين القوتين.
1- اعتبر أن قياس الزاوية بين القوتين ى وزاوية ميل المحصلة مع 1X قياسها هـ.
2X 2- أوجد ظا هـ ثم أوجد ظا )90 - هـ( عند عكس اتجاه
3- أثبت أن 2X = 1X = ق من الخطوة السابقة.
.2X 2 قبل وبعد عكس اتجاهX ،1X 4- أوجد باستخدام قانون مقدار المحصلة محصلة القوتين
1 إليجاد قياس الزاوية بين القوتين؟ استنتج ذلك من العالقات السابقة.5- هل يمكنك استنتاج أن حتا ى = - 2
6- هل لديك طرقا أخرى للحل؟ اذكر إحدى هذه الطرق.
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
1ىوـققلا سدرال
15
تمهيد:ة ة مركبات بوجه عام يعنى إيجاد مجموعة مؤلفة من عد إن تحليل قوة معلومة إلى عد
فى قوة تحليل دراسة على وسنقتصر محصلتها، هى المعلومة القوة تكون ، قوى
اتجاهين معلومين.
تحليل قوة فى اتجاهين معلومينResolution of a force into two components
تحليلها المراد I المحصلة متجه :)1( شكل يبين واللتين و ب ، C و االتجاهين فى مركبتين إلى
I ولتكن تصنعان زاويتين هـ1 ، هـ2 على الترتيب مع
ق2 ق1 ، المركبتان هما:
يبين شكل )2(: مثلث القوى مع مالحظة أنوب C جـ =
)من خواص متوازى األضالع(وبتطبيق قاعدة الجيب نجد أن:
½ ح
جا )هـ1 + هـ2(ق2 =
جا هـ 1ق1 =
جا هـ 2
مثال
، c60 حلل قوة مقدارها 12 نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين 1 c45 فى اتجاهين مختلفين منها.
الحلبتطبيق قاعدة الجيب:
12
c105 جاق2 =
c60 جاق1 =
c45 جا
- 8.7846 نيوتن 12
c105 جا * c45 ق1 = جا `
- 10.7589 نيوتن 12
c105 جا * c60 ق2 = جا
ق 2
ق1
I
C
ب جـ
و هـ2هـ1
شكل )1(
ق 2
ق1
I
C
جـ
و هـ1 هـ1 + هـ2
شكل )2(
ق2I
ق1c60
c45
تحليل القوى Forces resolution
سوف تتعلم
حتليل قوة ىف اجتاهني معلومني. �حتليل قوة ىف اجتاهني متعامدين. �
2 سدرال
المصطلحاتاألساسية
� force Component مركبة قوة
� triangle of forces مثلث قوى
� centre of gravity مركز نقل
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية - برامج �رسومية للحاسوب
تطبيقات الرياضيات - علمى 16
حاول أن تحلحلل قوة مقدارها 36 نيوتن إلى مركبتين تميالن على اتجاه القوة بزاويتين c45 ، c30فى اتجاهين مختلفين منها. 1
تطبيقات حياتيةمثال
ب جـ ، C جـ بحبلين معدنيين نيوتن معلق مصباح وزنه 20 2 .c5 يميالن على األفقى بزاويتين متساويتين قياس كل منهما
،ب جـ مقرباا الناتج ½ C جـ حلل وزن المصباح فى االتجاهين
ألقرب نيوتن.
الحلنمثل قوة الوزن )20 نيوتن( بمتجه يعمل رأسيا ألسفل نقطة بدايته هى النقطة و.
نحلل متجه الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين كما يلى:
أى أنه: 20جا 170
و2 = جا 85
و1 = جا 85
ومن ذلك تكون: جا 85جا 170
و1 = و2 = 20 ×
و1 = و2 = 114.73713 - 115 نيوتن.
تفكير ناقد: ماذا يحدث لمقدار مركبة الوزن فى اتجاهى الحبلين المعدنيين إذا نقص قياس زاويته مع األفقى عن ر إجابتك. c5؟ وماذا تتوقع لمقدار مركبة الوزن عندما يصبح الحبل المعدنى أفقيا؟ فس
حاول أن تحلالشكل المقابل: 2
في إحداهما مركبتين إلى 120ث.جم الرأسية القوة حلل
االتجاه األفقي واألخرى في اتجاه يصنع مع خط عمل القوة
.c48 زاوية قياسها
Resolution of a force into two perpendicular components تحليل قوة فى اتجاهين متعامدين
I فى نقطة مادية )و( كما فى الشكل المجاور وكانت إذا أثرت القوة
اتجاه يميل على ق1 اتجاه ق2 حيث ، ق1 المتعامدتين مركبتيها
I بزاوية قياسها هـ ، فإن متوازى األضالع يؤول فى هذه الحالة إلى
المستطيل Cجـ ب و ، وبتطبيق قانون الجيب على المثلث وC جـ فإن:
ق2 = ح ½جا هـ
ق1 = جتا هـ
: أى أن ح
جا 90ق2 =
جا هـق1 =
جا )90 - هـ(
20
جـ
C
و2 و1
ب
وc85 c85
120
C
الرأسي
c48
ب
جـ
ق2
ق1
ق2
ق1
I
C
ب جـ
و هـc90 - هـ
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
2وقـا ىوـلا سدرال
17
: ومن ذلك نسنتنتج أنق1 )مقدار المركبة فى اتجاه معلوم( = I جتا هـ ½
ق2 )مقدار المركبة فى االتجاه العمودى على االتجاه المعلوم( = I جا هـ ½
مثال
مع تصنع إحداهما متعامدين اتجاهين فى نيوتن 18 مقدارها قوة حلل 3 القوة زاوية قياسها 60
الحل1 = 9 نيوتن
2 * 18 = c60 ق1 = 18 جتا
3 نيوتن. 9 = 32
ق2 = 18 جا 60 = 18 *
حاول أن تحل2 والتى تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى إلى مركبتين إحداهما فى اتجاه الشرق واألخرى حلل قوة مقدارها 6 3
فى اتجاه الشمال.
Inclined Plane الم�ستوى المائل المستوى المائل هو سطح يميل على األفقى بزاوية معلومة، كما هو موضح بالشكل
ح فى األشكال الجانبية باللون األزرق وخط أكبر ميل للمستوى هو الخط الموض
إذا رمزنا لطول خط أكبر ميل بالمسافة )ف( و
وارتفاع السطح المائل بالمسافة )ع( ،
زاوية ميل المستوى على األفقى بالرمز )هـ(
.ع
ففإن جاهـ =
ولرفع جسم وزنه )و( نستخدم قوة موازية للسطح مقدارها )ق(.
ا أقل من وزن الجسم، كما ويستخدم السطح المائل لتقليل الجهد الالزم لرفع األجسام، حيث إن )ق( تكون دائما
يتضح من المثال اآلتى:
مثال
.c30وضع جسم وزنه 6 نيوتن على مستوى مائل أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها 4 أوجد مركبتى وزن الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.
الحلشكل )1(: يبين قوة وزن الجسم 6 نيوتن وتؤثر رأسيا إلى أسفل ، مركبة ، للمستوى وألسفل ميل أكبر اتجاه خط فى تعمل ق1 الجسم وزن
ق2 وتعمل فى االتجاه العمودى للمستوى وألسفل. والمركبة األخرى
c60ق1
ق2
18 نيوتن
ف ع
هـ
ف
هـ
ع
ق1
6ق2
c30
c30
شكل )1(
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
18
شكل )2(: يبين تمثيل القوى الثالث بمتوازى أضالع القوى وC جـ ب. )الحظ أن الشكل مستطيل(.
شكل )3(: يبين مثلث القوى وC جـ وبتطبيق قاعدة الجيب:
6 = ق2جا 60 = ق1
جا 30
: ق1 = 6 جا 30 = 3 نيوتن ، أى أن
3 نيوتن. ق2 = 6 جتا 30 = 3
ق نفسها ؟ فسر إجابتك. ق أقل من القوة تعبير شفهى: هل مركبتى القوة
حاول أن تحلاألفقى على يميل مستو على موضوع نيوتن 36 وزنه مقدار جاسىء جسم 4 ألسفل للمستوى موازى اتجاه فى الوزن مركبتى أوجد .c60 قياسها بزاوية
واالتجاه العمودى عليه.
تمــــاريــن الدرس الثانى
اأكمل ماياأتى:
قوة مقدارها 6 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال تم تحليلها الي مركبتين متعامدتين 1 فإن مركبتها فى اتجاه الشرق تساوى ............................... نيوتن.
اتجاه فى مركبتها فإن متعامدتين مركبتين الي تحليلها تم الشرق اتجاه فى تعمل نيوتن 2 4 مقدارها قوة 2 الشمال الشرقى تساوى ............................... نيوتن.
فى شكل )1(: 3
معها تصنعان اللتين ق2 ، ق1 مركبتين إلى I القوة حللت أ إذا
|| = 12 نيوتن ، I زاويتين قياساهما c45 ، c30 من جهتيها وكان ||
2 نيوتن تعمل فى اتجاه c30 شمال الغرب. قوة مقدارها 12 أ
مقدار مركبة القوة فى اتجاه الغرب =................................................... نيوتن. ½
مقدار مركبة القوة فى اتجاه الشمال =................................................ نيوتن. ½
.c45 ، c30 قوة مقدارها 600 ث جم تؤثر فى نقطة مادية. أوجد مركبتيها فى اتجاهين يصنعان معها زاويتين 7
قوة مقدارها 120 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى. أوجد مركبتيها فى اتجاه الشرق واتجاه الشمال. 8
حلل قوة أفقية مقدارها 160 ث جم فى اتجاهين متعامدين أحدهما يميل على األفقى بزاوية قياسها c30 إلى 9 أعلى.
قوة مقدارها 18 نيوتن تعمل فى اتجاه الجنوب. أوجد مركبتيها فى اتجاهى c60 شرق الجنوب، واألخرى فى 10 اتجاه c30 غرب الجنوب.
جسم جاسىء وزنه 42 نيوتن موضوع على مستو يميل على األفقى بزاوية قياسها c60. أوجد مركبتى وزن هذا 11 الجسم فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.
تفكير إبداعى:مستوى مائل طوله 130 سم وارتفاعه 50 سم وضع عليه جسم جاسىء وزنه 390 ث جم. أوجد مركبتى الوزن 12
فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى واالتجاه العمودى عليه.
ق2
ق1
ق
شكل )3(
ق2
ق1 c30
شكل )4(
2 نيوتن 12
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
20
سوف تتعلمسبق أن درست إيجاد محصلة قوتين مؤثرتين على جسم جاسئ فى نقطة واحدة، حيث
16 = 4 نيوتن = 12 + 4 س2 + ص2 = = I ويكون ص 3 س + 2 2 - = I `
3 - = 232- ص =
سظا هـ =
a س > 0 ، ص < 0
c120 = هـ `
c120 أى أن مقدار محصلة القوى يساوى 4 نيوتن وتصنع زاوية قطبية قياسها
حاول أن تحل3, 40 نيوتن فى نقطة، بحيث كانت الزاوية بين اتجاهى تؤثر القوى المستوية التى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 1 والرابعة الثالثة القوتين اتجاهى c90 وبين والثالثة الثانية القوتين اتجاهى والثانية c60 وبين األولى القوتين
c150. أوجد مقدار واتجاه المحصلة.
مثال
3 ، 4 ث كجم فى نقطة C فى 2 ، 8 ، 3 C ب جـ E هـ و شكل سداسى منتظم تؤثر القوى التى مقاديرها 2 ، 4 3 C و على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C هـ ، ، E C C جـ ، C ب ، االتجاهات
3 3
س
ص
س
ص
c60c60c60c30
25
4و
تذكر اأن
)سيجما( الرمز يسمى
ن
1 = Sوالعبارة التجميع برمز
من بدأ عنصرا ن مجموع العنصر األول.
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3ةطـقم ف ة قلا ـكلتم كوقـم ع لـحم سدرال
23
الحلC ب هو اتجاه القوة األولى فتكون الزوايا القطبية للقوى هى: c120 ، c90 ، c60 ، c30 ، c0 على باعتبار
ظا هـ = 3(2 = 20 نيوتن 10( + 2)10( س2 + ص2 = = I `
EC أي أن المحصلة تعمل في اتجاه c60 = )هـc(X ` a س < 0 ، ص < 0
تمــــاريــن )3-1(
اأكمل ماياأتى:
N فإن: ق3 = 6 ، N 2 - M ق2 = ، M ق1 = 2 إذا كانت القوى 1 مقدار محصلة القوى = ......................................... واتجاهها = .........................................
N M - 3ب C 2 = I ، N 8 - M ق2 = 4 ، N 2 - M ق1 = 2 إذا كانت القوى 2 فإن: C = ......................................... , ب = .........................................
N 4 - M 6 = I ، N M - ب ق3 = 4 ، N - M C = 2ق ، N 2 - M ق1 = 3 إذا كان 3 فإن: C = ......................................... , ب = .........................................
أوجد مقدار واتجاه محصلة القوى المبينة فى كل شكل من األشكال اآلتية: 4
شكل )2(
س
ص
و
ص
c30c45
3 4
2 3
3 2
س
شكل )3(
سc30
ص
1
2
ص
c60
3 3
3 4
س
شكل )1(
سc45
ص
و
2
4
ص
2 4
س
Cس
ب
ص
وجـ
Eهـ
3 2
3 4
8
2
4c30
c30
c30c30
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
24
شكل )5(مستطيل بعداه 6سم ، 8سم
C ب
Eجـ
7
5
10
6 سم
8 سم
شكل )6(
C ب
وجـ
Eهـ4
8
6
سداسى منتظم
3 4
3 2
شكل )4(
C
جـب
3 6
4
4
مثلث متساوى الساقين
c120
3 ، 12 ث كجم فى نقطة مادية وكان قياس الزاوية بين األولى والثانية c60 وبين الثانية أثرت القوى 3 ، 6 ، 9 5 والثالثة c90 وبين الثالثة والرابعة c150. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى
c30 ثالث قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 نيوتن تؤثر فى نقطة مادية األولى نحو الشرق والثانية تصنع زاوية 6 غرب الشمال والثالثة تصنع c60 جنوب الغرب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
3 ، 40 ث جم تؤثر فى نقطة مادية األولى تؤثر فى اتجاه الشرق والثانية أربع قوى مقاديرها 10 ، 20 ، 30 7 c60 شمال الغرب والرابعة تؤثر فى اتجاه يصنع c30 شمال الشرق والثالثة تؤثر فى اتجاه c60 تؤثر فى اتجاه
جنوب الشرق. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
C ب جـ مثلث متساوى األضالع ، م نقطة تالقى متوسطاته أثرت القوى التى مقاديرها 15 ، 20 ، 25 نيوتن فى 8 . أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C م م ب ، م جـ ، نقطة مادية فى االتجاهات
9 ، 2 ب جـ بحيث ب هـ = 5سم. أثرت قوى مقاديرها 2 ، 13 ، 4 C ب جـ E مربع طول ضلعه 12سم ، هـ ∋ 9 E C على الترتيب. أوجد محصلة هذه القوى. ، C جـ C هـ ، C ب ، ث جم فى االتجاهات
تفكير إبداعى:
N ثالث قوى مستوية M + ب ق3 = -14 ، N 6 + M C = 2ق ، N 3 + M ق1 = 5 إذا كانت 10 c135 ، 2(. أوجد قيمتي C ، ب. 10( = I ومتالقية في نقطة وكانت المحصلة
الشكل المقابل: يبين أربع قوى مستوية ومتالقية فى نقطة )و( فى 11 القوى 4 وكانت محصلة هذه
5 االتجاهات الموضحة حيث حا هـ =
و س 2 نيوتن وتصنع زاوية قياسها c135 مع تساوى 8
أوجد قيمتى X ، ك.
س
ص2ك
س
ص
ك
هـ
هـ وهـ
هـ
X2
X4
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3ةطـقم ف ة قلا ـكلتم كوقـم ع لـحم سدرال
25
اتزان ج�سيم تحت تاأثير مجموعة من القوى الم�ستوية المتالقية فى نقطة
Equilibrium of a particle under the action of coplanar forces meeting at a point
اتزان ج�سم جا�سئ تحت تاأثير قوتينEquilibrium of a rigid body under the action of two forces
عمل تعاونى
ا وزنة 20 ث كجم على كفة ميزان 1- ضع جسماالميزان قراءة والحظ ملساء أفقى ضغط
حينئذ. كما فى الشكل )1(.
الجسم نفس يربط أن زميلك من اطلب -2الخيط نهاية ويربط أملس خفيف بخيط
فى خطاف ميزان زمبركى، ويالحظ قراءة
الميزان فى وضع السكون.
3- قارن بين النتائج فى كل من التجربتين ماذا تالحظ؟نالحظ أن:
كل من قوتى رد الفعل S فى التجربة األولى ½
الثانية التجربة فى الخيط فى الشد وقوة
تساوى 20 ث كجم وهو وزن الجسم.
�سروط اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير قوتين
يتزن الج�سم الجا�سىء تحت تاأثير قوتين فقط اإذا كانت القوتان:1- متساويتين فى المقدار. 2- متضادتين فى االتجاه. 3- خطا عملهما على استقامة واحدة
مثال
نيوتن واللتان 3 ، 5 تتزن مع قوتان مقدارهما التى مقدارها ق القوة إذا كانت 4 تحصران بينهما زاوية قياسها c60 فأوجد قيمة ق؟
` ق = 7 نيوتن a القوة )ق( ومحصلة القوتان 5 ، 3 نيوتن فى حالة اتزان.
رد فعل الميزان
الشد فى الخيط
S = 20 ث كجم
و = 20 ث كجم
ش = 20 ث كجم
و = 20 ث كجم
وزن الجسم 20 ث كجم
وزن الجسم 20 ث كجم
)1ل )
شك)2
ل )شك
c60
3
5X
سوف تتعلم
اتزان جمموعة من القوى �املستوية املتالقية ىف نقطة.
اتزان جسم حتت تأثري قوتني. �اتزان جسم حتت تأثري ثالث �
قوى سنوية ومتالقية ىف نقطة.قاعدة مثلث القوى. �قاعدة الجما. �نظرية القوى الثالث. �
المصطلحاتاألساسية
قاعدة مثلث القوى. �Triangle of forces rule
� Lami`s rule قاعدة المى. � Triangle مضلع القوى.
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية � Scientific calculator
برامج رسومية للحاسوب. �
4 سدرال
تطبيقات الرياضيات - علمى 26
حاول أن تحلإذا كانت القوة التى مقدارها ق تتزن مع القوتين المتعامدتين التى مقدار كل منها 5 ، 12 نيوتن فأوجد قيمة ق. 1
اتزان ج�سم ج��سئ تحت ت�أثير ثالث قوى م�ستوية ومتالقية فى نقطة Equilibrium of arigid body under the action of three coplanar forces meeting at apoint نقطة، تأثير عدة قوى مستوية ومتالقية فى الالزم والكافى التزان جسم جاسئ تحت الشرط سبق وأن درست وعلمت أنه يمثل بمضلع مقفل، كذلك يمكن تمثيل ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة ومتزنة بأضالع مثلث
مأخوذة فى ترتيب دورى واحد.
Triangle of forces قاعدة مثلث القوى ق2 تؤثران على جسم جاسىء ق1 ، شكل )1(: يمثل القوتان
و ب ، C و تعمالن فى
تعمل فى والتى ) ق2 + ق1 القوتين هي ) وتكون محصلة هاتين
القطر و جـ من متوازى األضالع و C جـ ب.
( فى المقدار وتضادهها فى االتجاه ق2 ق1 + ق3 تساوى )
ق3 مجموعة متزنة. ق2 , ق1 , Ñ 0 ق3 = ق2 + ق1 + : أى أن
ق3 ق2 , ق1 , شكل )2(: يمثل مثلث القوى للمجموعة المتزنة حيث إن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المتناظرة.
ق3جـ و
= ق2C جـ
= ق1C و
: أى أن
مثال
علق ثقل مقداره 12 نيوتن فى أحد طرفى خيط خفيف طوله 130سم والطرف اآلخر للخيط مثبت فى نقطة 5 على حائط رأسي. جذب الجسم بتأثير قوة أفقية حتى اتزن وهو على بعد 50سم من الحائط. أوجد مقدار كل
حاول أن تحلعلق ثقل مقداره 16 نيوتن فى آحد طرفى خيط خفيف مثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى ، أزيح 2 الثقل بقوة فى اتجاه عمودى على الخيط حتى أصبح الخيط فى وضع التوازن يميل على الحائط بزاوية قياسها
c30. أوجد مقدار القوة والشد فى الخيط.
lami''s theorem قاعدة المى
C
بجـ
هـ2
هـ1
هـ3
3Xق2
شكل )2(1X2هـ
هـ3هـ1
3X
2X
1X)1( شكل
باستخدام قاعدة الجيب نجد أن:
ق3
حا هـ3ق2 =
حا هـ2ق1 =
حا هـ1أى أن C ب
حا )180 - هـ3( = C جـ
حا )180 - هـ2(ب جـ =
حا )180 - هـ1(
: مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين األخريين عندما تكون القوى الثالث أى أن متزنة ومتالقية فى نقطة.
مثال
ثالث قوى مقاديرها 60 ، ق ، ك نيوتن متزنة ومتالقية فى نقطة فإذا كان قياس الزاوية بين القوتين األولى 6 والثانية c120 وبين الثانية والثالثة c90. فأوجد مقدار كل من ق ، ك.
الحل
المجموعة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث االآتية:القوة 60 نيوتن ، القوة ق نيوتن ، القوة ك نيوتن بتطبيق قاعدة المى:
ك
c120 حاق =
c150 حا = 60
c90 حا
3 نيوتن : ق = 30 نيوتن ، ك = 30 أى أن 2ك 3
60 = 2ق = 1
حاول أن تحلفى الشكل المقابل ثقل مقداره 10 نيوتن معلق بخيطين يميل األول على 3 .c40 ويميل األخر على األفقى بزاوية قياسها c30 األفقى بزاوية قياسها
أوجد ق1 ، ق2 فى حالة االتزان.
c150c120
60
X
ك
c40 c30ش1 نيوتن
10 نيوتن
2 نيوتن ش
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
28
نظرية القوى الثالث:إذا اتزن جسم جاسئ تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية
فإن خطوط عمل هذه القوى تتالقى فى نقطة واحدة.
السمك والكثافة وزنه )و( على حائط اتزن قضيب منتظم إذا مثال:
رأسى أملس وأرض أفقية خشنة فإن:
مركز ثقل وزن القضيب يعمل فى منتصفه واتجاهه رأسيا ألسفل. ½
رد فعل الحائط الرأسي )1S( يكون عموديا على الحائط ويعمل ½
. E ب فى اتجاه
رد فعل األرض األفقية الخشنة )2S( غير محدد االتجاه ولتحديد ½
( كما فى الشكل. 1S ، و E C الذى يمر بالنقطة E )نقطة تالقى خطى عمل اتجاهه نرسم
مثال
كرة معدنية منتظمة وزنها 1.5 ث كجم وطول نصف قطرها 25سم ، ربطت من إحدى نقط سطحها ب بخيط 7 طوله 25سم ومربوط طرفه اآلخر C من نقطة فى حائط رأسى فاتزنت الكرة وهى مستندة على الحائط. أوجد
مقدار الشد فى الخيط ومقدار رد فعل الحائط.
الحل
الكرة متزنة تحت تاأثير القوى الثالث:وزن الكرة 1.5 ث كجم ويؤثر رأسيا ألسفل. ½
رد فعل الحائط على الكرة )S( ويوثر عند نقطة تماس الكرة مع الحائط، ويعمل فى إتجاه عمودى على الحائط ½
ا بالمركز )م(. مارا
ويمر ½ C ب اتجاه فى ويعمل )ش( الخيط فى الشد
فعل ورد الكرة وزن قوتي تالقى نقطة )م( بالمركز
الحائط.
المثلث م C جـ هو مثلث القوى، حيث
م C = 25 + 25 = 50سم 2)25( - 2)50( ومن نظرية فيثاغورث: C جـ =
فكر: هل يمكنك حل المسألة السابقة بطرق أخرى؟ اذكر هذه الطرق ثم حل المسألة بإحدى هذه الطرق.
حاول أن تحلكرة منتظمة ملساء وزنها 100 ث جم وطول نصف قطرها 30سم معلقة من نقطة على سطحها بأحد طرفى 4 خيط خفيف طوله 20سم ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس. أوجد فى وضع التوازن كال من
الشد فى الخيط ورد فعل الحائط.
مثال
فإذا كان ، خطاف فى ثبت طرفاهما بحبلين نيوتن من طرفيه 30 منتظم طوله 100سم ووزنه علق قضيب 8 ا الحبالن متعامدين وطول أحدهما 50سم. فأوجد مقدار الشد فى كل من الحبلين عندما يكون القضيب معلقا
ا وفى حالة اتزان. ا مطلقا تعليقاا حر
الحل
الق�سيب متزن تحت تاأثير القوى الثالث:وزنه 30 نيوتن ويعمل رأسيا ألسفل ويؤثر عند منتصفه ، الشد فى
ب جـ على ، C جـ االتجاهين ، ش2 ويعمالن فى الحبلين ش1
الترتيب ويتقاطعان على التعامد عند نقطة جـ.
جـ E مرسومة من رأس القائمة إلى منتصف الوتر a
C 1 ب = 50سم2 = E جـ `
` C جـ E مثلث متساوى األضالع
c30 = )E ب جـc(X ، c60 = )E جـ Cc(X `
بتطبيق قاعدة المى:
3 نيوتن ومنها ش1 = 15 نيوتن ، ش2 = 15 30
c90 حاش2 =
c120 حاش1 =
c150 حا
فكر: استخدام طرق أخرى لحل المسألة السابقة.
مثال
خيط طرف فى معلق ك مقداره ثقل المقابل: الشكل فى 9 وينتهى طرف الخيط بخيطين يمران على بكرتين ملساوين
عند ب ، جـ ويحمالن ثقلين مقدار كل منهما 30 ، 20 ث جم
أوجد مقدار الثقل ك ، قياس زاوية هـ في وضع اإلتزان
C
ش2ش1
50 سم
50 سم
50c60 سم
c30
ب
جـ
E
30 نيوتن
اأ�سف اإلى معلوماتك
ملساء بكرة على خيط مر إذا فإن مشدودا الخيط وكان البكرة جانبى على الشدين
متساوى.
1 ش
ش2
ش1ش2
C
30 ث كجم 20 ث كجم
ك ث كجم
األفقيc60
ب جـ
هـ
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
30
الحلفي الشكل السابق: نفرض أن ش1 ، ش2 هما الشدان فى الخيطين
نستنتج من ذلك أنه لكى تكون مجموعة القوى المستوية والمتالقية فى نقطة متزنه يجب أن تكون:و س = صفر ½ المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه
المجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه و ص = صفر ½
س = صفر ، ص = صفر أى أن
مثال
N فأثبت أن مجموعة القوى + M ق3 = 2 ، N 2 + M ق2 = - 7 ، N 3 - M ق1 = 5 إذا كانت 1 ق3 متوازنة. ق2 ، ق1 ،
الحل
ق3 ق2 + ق1 + = I a
أى أن مجموعة القوى متزنة. 0 = N )1 + 2 + 3 - ( + M )2 + 7 - 5( = I `
حاول أن تحلN متالقية فى نقطة M + ب ق3 = - 6 ، N 2 - M C - = 2ق ، N 3 - M ق1 = 4 إذا كانت القوى 6
ومتزنة فأوجد قيمة كل من C ، ب.
مثال
5 نيوتن ،والتى توثر 4 ، 2 الشكل المقابل: يمثل القوى 16 ، 20 ، 12 2 هـ C على ، C جـ ، E C C ب ، E فى االتجاهات C ب جـ فى المربع
الترتيب حيث هـ منتصف جـ E. أثبت أن مجموعة القوى متزنة.
الحل5 نيوتن 4 ، 2 من الشكل المقابل نجد أن القوى 16 ، 20 ، 12
)i + c180( ، c225 ، c90 ، c0 :زواياها القطبية هي
c90 20حتا + c0 س = 16 حتا `
)i + c180( حتا 5 4 + c225 2 حتا 12 +
i 5 * حتا 4 - 12
* 2 12 - 0 + 16 =
C
20
16 ب
Eجـ هـ
54
2 12
1-
2- 5
i + c180
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
32
1 = صفر5
* 5 4 - 12 - 16 =
c225 2 حا 12 + c90 20حا + c0 ص = 16 حا
)i + c180( حا 5 4 +
i 5 حا 4 - 12
* 2 12 - 20 + 0 =
2 = صفر5
* 5 4 - 12 - 20 =
س = صفر ، ص = صفر
` المجموعة متزنة.
حاول أن تحل 10 الشكل المقابل: يمثل القوى التى مقاديرها ق ، 5 ، ك ، 6 7 نيوتن والمتزنه والتى تؤثر فى المستطيل C ب جـ E فى اإلتجاهات
هـ جـ حيث C ب = 6سم ، ب جـ = 8سم ، ,E جـ ، C جـ جـ ب ،
C هـ = 6سم. أوجد قيمة ق ، ك.
تمــــاريــن الدرس الرابع
اأكمل ماياأتى:
الشرط الالزم والكافى التزان مجموعة من القوى المستوية والمتالقية فى نقطة هو أن تمثل هندسيا بـ ................ 1
الطريقة التحليلية التزان مجموعة من القوى المستوية المتالقية فى نقطة هى أن تكون ........................... ، ........................... 2
N متزنة فإن: 3 - M C = 3ق ، N 2 - M ق2 = - 7 ، N M + ب ق1 = 4 إذا كانت 3 C = .................................................... ، ب = ....................................................
إذا كانت القوة التى مقدارها ق متزنة مع قوتان متعامدتان مقدارهما 3 ، 4 نيوتن فإن مقدار ق = ................................... 4
إذا مثلت ثالث قوى مستوية ومتزنة ومأخوذه فى اتجاه دورى واحد بأضالع مثلث فإن أطوال أضالع المثلث 5 تكون متناسبة مع ....................................................................................................................................................
إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى مستوية ومتالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ................................... 6
إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى غير متوازية ومستوية فإن خطوط عمل 7 هذه القوى .............................................................................................................................................................
ثالث قوى متساوية فى المقدار ومتالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين 8 أى قوتين يساوي .................................................................................................................................................
فى الشكل المقابل: مجموعة القوى متزنة ومتالقية فى نقطة 9 ش1 = ................................ نيوتن ، ش2 = ................................نيوتن.
القيمة المتزنة والمتالقية فى نقطة. أوجد المستوية القوى يمثل كل شكل من األشكال اآلتية مجموعة من 10 المجهولة سواء كانت قوة أو قياس زاوية.
شكل )1(
60 نيوتن
c150
ك
X
شكل )2(
ش2ش1
12 نيوتن
c120 c150
شكل )3( 100 نيوتن
40 سم
20 سم X
ك
حلقة ملساء
شكل )5(40 ث جم
هـهـش ش
شكل )4(
150 سم
90 سم120 سم
30 نيوتن
ش2 ش1
شكل )6(
ش2ش1
c30
8و
هـ
3 8
ش1ش2
6 نيوتن
c120
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
34
علق ثقل مقدار وزنه 60 ث جم من أحد طرفى خيط طوله 28سم مثبت طرفه اآلخر فى نقطة فى سقف حجرة، 11 القوة فى وضع فإذا كانت ، السقف أسفل بعد 14سم رأسيا الجسم وهو على فاتزن قوة الجسم أثرت على
االتزان عمودية على الخيط فأوجد مقدار كل من القوة والشد فى الخيط.
علق ثقل مقداره 200 ث جم بخيطين طوالهما 60سم ، 80سم من نقطتين على خط أفقى واحد البعد بينهما 12 100سم. أوجد مقدار الشد فى كل من الخيطين.
قياسها هـ ويميل الرأسى بزاوية علق جسيم وزنه 200 ث جم بواسطة خيطين خفيفين يميل أحدهما على 13 الخيط اآلخر على الرأسى بزاوية قياسها c30 ، فإذا كان مقدار الشد فى الخيط األول يساوى 100 ث جم.
فأوجد هـ ومقدار الشد في الخيط الثاني.
وضع جسم وزنه 800 ث جم على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها هـ حيث حا هـ = 0.6 وحفظ 14 الجسم فى حالة توازن بواسطة قوة أفقية أوجد مقدار هذه القوة ورد فعل المستوى على الجسم.
وضع جسم وزنه )و( نيوتن على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية قياسها c30 وحفظ الجسم فى حالة 15 توازن بتأثير قوة مقدارها 36 نيوتن تعمل فى اتجاه خط أكبر ميل للمستوى ألعلى. احسب مقدار وزن الجسم
ومقدار رد فعل المستوى.
كرة معدنية منتظمة ملساء وزنها 3 نيوتن مستقرة بين حائط رأسى أملس ومستوى أملس يميل على الحائط 16 الرأسى بزاوية قياسها c30. أوجد الضغط على كل من الحائط الرأسى والمستوى المائل
علق قضيب منتظم طوله 50سم ووزنه 20 نيوتن من طرفيه بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى نقطة واحدة. فإذا 17 كان طوال الخيطين 30سم ، 40سم على الترتيب فأوجد الشد فى كل من الخيطين.
2 ، ك ث كجم متزنة وتؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات الشرق 5 ، 2 خمس قوى مقاديرها ق ، 6 ، 4 18 والشمال والشمال الغربى والجنوب الغربى والجنوب على الترتيب. أوجد مقدار كل من ق ، ك.
أثرت القوى المستوية 5 ، 4 ، ق ، 3 ، ك ، 7 ث كجم فى نقطة مادية والزاوية بين كل قوتين متتاليتين منها 19 c60. أوجد مقدار كل من ق ، ك حتى تكون المجموعة فى حالة اتزان.
تفكير إبداعى:مستوى على موضوع كجم ث 6 وزنه جسم المقابل الشكل فى 20 بواسطة توازنه قياسها 30 وحفظ بزاوية األفقى يميل على أملس
3 ث كجم تعمل فى خيط مثبت أحد طرفيه قوة شد ش مقدارها 2
بالجسم واآلخر فى حائط رأسى. أوجد قياس الزاوية التى يصنعها
c30الخيط مع المستوى ومقدار رد فعل المستوى على الجسم.
�ص الوحدة ملخاالستاتيكا: هى علم دراسة سكون األجسام تحت تأثير مجموعة من القوى.
القوة: هى المقياس الكمي للتأثير الميكانيكى على األجسام المادية.
خواص القوة: يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية:
نقطة التأثير. -3 االتجاه. -2 المقدار. -1
بزاوية ½ق1 I وتميل على ق2 قوتان يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكانت محصلتها ،
ق1 إذا كانت ق2 حا ى
ق1 + ق2 حتا ى ظا هـ = + 2 ق1 ق2 جتا ى
2ق2 +
2ق1 = I :قياسها هـ فإن
Iحا ى
ق2 = حا هـ2
ق1 = حا هـ1
أو باستخدام قاعدة الجيب:
القيمة العظمى المحصلة للقوتان ق1 ، ق2 = ق1 + ق2 وتعمل نفس اتجاهيهما. ½
القيمة الصغرى المحصلة للقوتان ق1 ، ق2 = |ق1 - ق2| وتعمل في اتجاه القوة الكبرى. ½
I زاويتين هـ1 ، هـ2 على الترتيب فإن: ½ I ، يصنعان مع ق2 مركبتى القوة ق1 ، إذا كانت I
حا )هـ1 + هـ2(ق2 =
حا هـ1ق1 =
حا هـ2
ق1 ½ I مع خط عمل I المتعامدتين والتى تميل فيها خط عمل ق2 مركبتى القوة ق1 ، إذا كانت
بزاوية قياسها هـ فإن قI = 1 حتا هـ ، قI = 2 حا هـ
مضلع القوى: إذا مثلت مجموعة من القوى المستوية المتالقيه في نقطة تمثيالا بأطوال أضالع مضلع مأخوذة فى ½
ترتيب دورى واحد فإن محصلة هذه القوى تساوي طول الضلع الذى يقفل هذا المضلع فى االتجاه الدورى المضاد.
إذا أثرت عدة قوى مستوية ومتالقية فى نقطة )فى نظام إحداثى متعامد( وكان المجموع الجبرى لمركبات هذه ½صس
س2 + ص2 ، ظا هـ = = I:القوى فى اتجاهين متعامدين هما س ، ص فإن
ا بأطوال مضلع قوى مقفل كانت هذه المجموعة متزنة. ½ إذا مثلت مجموعة من القوى المستوية تمثيالا تاما
تكون مجموعة القوى المستوية المتالقية فى نقطة متزنة إذا كانت ½
وس = صفر 1( المجموع الجبرى لمركبات القوي فى اتجاه
وص = صفر. 2( والمجموع الجبرى لمركبات القوى فى اتجاه
اتزان جسم تحت تأثير قوتين هو أن تكون القوتان: متساويتان فى المقدار ، متضادتين فى االتجاه ، خط عملها ½
على استقامة واحدة.
قاعدة مثلث القوى: إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة ورسم مثلث أضالعه توازى خطوط ½
عمل هذه القوى وفى اتجاه دورى واحد فإن أطوال أضالع المثلث تكون متناسبة مع مقادير القوى المناظرة.
قاعدة المى: إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع جيب الزاوية ½
المحصورة بين القوتين األخريين.
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
36
تمارين عامة )الوحدة األولى(
اكمل ما ياأتى:
قوتان مقدارهما 4 ، ق داين وقياس الزاوية بينهما ∋ [r ،0]، محصلتها تنصف الزاوية بينهما فإن ق = ..... ث جم. 1
قوتان تؤثران فى نقطة مادية مقدارهما 5 ، 8 نيوتن فإن أكبر قيمة للمحصلة = ........................................... نيوتن ، أصغر 2 قيمة للمحصلة = .................................. نيوتن.
إذا وضع جسم وزنه )و( على مستوى أملس يميل على األفقى بزاوية هـ فإن مركبة وزنه فى اتجاه المستوى 3 تساوى ..................................................
مع قوتين متعامدتين مقدارهما 6 ، 8 ث كجم فإن مقدار القوة ق يساوى ..................... ث كجم. ق إذا اتزنت القوة 4
N متزنة فإن M + ب ق3 = 9 ، N 4 + M ق2 = - 3 ، N 6 - M C = 1ق إذا كانت القوى 5 C = .............................. ، ب = ..............................
كل شكل مما يأتى مكون من ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة. أكمل ما يأتى: 6
ق = ........................
ك = ........................
X
ك
6
شكل )1(
ق = ........................
ك = ........................
ش
سم 6
8 سم
12
جـ
شكل )3(
X
ق = ........................
ك = ........................
ك
c135
شكل )2(
X
2 4
C ب قضيب متزن تحت تأثير ثالث قوى مستوية كما هو موضح فى كل شكل. أكمل: 7
4 ث جم
ش2
Cب
جـ
8 سم6 سم ش
20 ث جم
C
Sش
30 سم
20 سم 20 سم ب
جـ
Eش2
ب
ش1
39 ث جمC
65 سم
65 سم
50 سم
120 سم
جـ
ش1 = ........................... ث جم. ج ش = ........................... ث جم. ب ش1 = ........................... ث جم. أ
ش1 = ........................... ث جم. و S = ............................... ث جم. ه ش2 = ........................... ث جم. د
37كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
طا ىولح ة - متلرتا فل م )ىولح ة ىاووو ( قحو
ق2 اللذين يحصران بينهما زاوية قياسها ى وكان قياس زاوية ق1 ، I هى محصلة القوتين إذا كانت 8 ق1 يساوى هـ فأوجد: ميل المحصلة على
.c90 = عندما ق1 = 8 نيوتن ، ق2 = 15 نيوتن ، ى ، I مقدار أ
c60 = وقياس زاوية هـ عندما ق1 = ق2 = 60 داين ، ى I مقدار ب
I وقياس زاوية هـ عندما ق1 = 6 نيوتن ، ق2 = 3 نيوتن والمحصلة عمودية على ق2. مقدار ج
3 نيوتن ، ق2 = 6 نيوتن والمحصلة عمودية على ق1. I وقياس زاوية ى إذا كان ق1 = 3 مقدار د
c150 = 3 نيوتن ، ى قيمة ق1 عندما I = 12 نيوتن ، ق2 = 12 ه
أوجد مقدار المحصلة وزاوية ميلها مع محور السينات فى كل شكل من األشكال اآلتية: 9
شكل )3(
سc30
ص
3
2
ص
c60
3 3
3 2
س
شكل )1(
س
ص
و
ص
c30
3
س
2 32 3
2c45س
ص
س
ص
شكل )2(
و
3 4
3 12
16
36
c60c60
c30
أوجد مقدار كل من ق ، ك بحيث تصبح كل مجموعة مما يأتى متزنة. 10
C
25
ب
Eجـ
ك2 8
6 سم
6 سم 2 سم
8 سم X
شكل )2(C ب
جـ
ك
3 6
شكل )1(
c120
X
شكل )3(
C ب
وجـ
ك
Eهـ
3 4
32
12
X
تطبيقات الرياضيات - علمى
ىاــكققلــتققل
38
اختبار تراكمىمقدار أوجد .c150 قياسها زاوية بينهما مادية وتحصران نقطة فى توثران نيوتن 8 ، 3 8 مقدارهما قوتان 1
محصلتهما وقياس الزاوية التى تصنعها مع القوة األولى.
قياس نيوتن. أوجد إذا كان مقدار محصلتهما 26 ، مادية نقطة تؤثران فى نيوتن 16 ، قوتان مقدارهما 30 2 الزاوية بين هاتين القوتين.
قوتان مقدارهما 2 ، ق نيوتن وقياس الزاوية بينهما c120 أوجد ق عندما: 3 اتجاه المحصلة عمودى على القوة الثانية. ب مقدار المحصلة يساوى ق. أ
المحصلة تنصف الزاوية بين القوتين. ج
.c60 حلل قوة مقدارها 90 فى خيط قوة إلى قوتين متساويتين فى المقدار وقياس الزاوية بين اتجاهيهما 4
أن علم إذا نيوتن 80 ومقداره أفقي مستوى على موضوع جسم لوزن المتعامدتين، المركبتين مقدار أوجد 5 إحداهما تميل على األفقى بزاوية قياسها c30 إلى أسفل.
ثالث قوى مقاديرها 2ق ، 4ق ، 6ق تؤثر فى نقطة مادية فى اتجاهات موازية ألضالع مثلث متساوى األضالع 6 مأخوذة فى ترتيب دورى واحد أوجد مقدار واتجاه المحصلة.
C ب جـ E مستطيل فيه C ب = 8سم ، ب جـ = 6سم ، و ∋ جـ E بحيث و E = 6سم. أثرت قوى مقاديرها 6 ، 20، 7 E C على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى. C و ، ، C جـ C ب ، 3 ، 2 نيوتن فى 13
علق ثقل مقداره 80 ث جم فى طرف خيط مثبت طرفه اآلخر فى حائط رأسى أزيح الثقل بقوة عمودية على 8 الخيط حتى أصبح الخيط مائالا على الحائط بزاوية قياسها c30. أوجد فى وضع االتزان مقدار القوة، وكذلك
الشد فى الخيط.
4 ومنع من 5 وضع ثقل قدره 20 ث كجم على مستو مائل أملس يميل على األفقى بزاوية ى، حيث حتا ى = 9
االنزالق بتأثير قوة أفقية مقدارها )ق( أوجد ق وكذلك رد فعل المستوى.
.c30 ، c60 قضيب منتظم يرتكز بطرفيه على مستويين أملسين مائلين يصنعان مع األفقى زاويتين قياساهما 10 إذا كان مقدار وزن القضيب يساوى أوجد قياس الزاوية التى يصنعها القضيب مع األفقى فى وضع االتزان ، و
24 نيوتن عين مقدار رد الفعل لكل من المستويين.
39كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
ىوخكبلر ـرىكا
40
الوحدةالثانية
فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:
ف مفهوم الجسيم على أنه نقطة افتراضية. � يتعريتفهم المقصود بالحركة االنتقالية لجسيم من موضع آلخر. �نقاط � جميع كانت إذا تحدث االنتقالية الحركة أن يدرك
الجسم المتحرك فى خطوط موازية لبعضها فى أثناء الحركة.يميز بين اإلزاحة والمسافة. �الحركة � - السرعة )متجه المنتظمة السرعة مفهوم يتعرف
المنتظمة - متجه السرعة المتوسطة - متجه السرعة اللحظية - السرعة النسبية - وحدات قياس السرعة(.
يتعرف مفهوم السرعة النسبية. �متجهى � بداللة والسرعة الموضع متجهى من كل عن يعبر
. N ، M الوحدة يتعرف الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة - وحدات �
قياس العجلة (.يتعرف الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. �
يستنتج قوانين الحركة بعجلة منتظمة )إذا تحرك جسيم بعجلة � منتظمة وتغيرت سرعته من ع0 إلى ع خالل فترة زمنية ن فإن:1 جـ ن2 ، ع2 = ع2 + 2جـ ف
2 ع = ع0 + جـ ن ، ف = ع ن + يتعرف تطبيقات على قوانين الحركة المستقيمة ذات العجلة �
المنتظمة.تأثير الجاذبية األرضية � الرأسية تحت يتعرف قوانين الحركة
فى حالة صعود الجسم أو هبوطه.يتعرف الجاذبية األرضية )قانون نيوتن للجذب العام (. �
ثابت الجذب العام .منحنى � ، الزمن مع اإلزاحة لمنحنى البياني التمثيل يتعرف
السرعة مع الزمن.يستخدم اآللة الحاسبة البيانية فى تمثيل العالقة بين اإلزاحة �
مع الزمن والسرعة مع الزمن فى صورة أنشطة.
يختص علم الديناميكا بدراسة حركة األجسام, حيث ينقسم إلى الكينماتيكا والكيناتيكا وسوف نقتصر فى هذه الوحدة على دراسة الكينماتيكا
kinematics ذلك العلم الذى يبحث فى حركة األجسام من الوجهة الهندسية فقط دون األخذ فى االعتبار للقوى المؤثرة عليها، وجدير بالذكر أن
الكينماتيكا لها أهميتها التطبيقية فى حياتنا العملية مثل انتقال الحركة فى اآلالت ومتطلباتها، ومن هنا سنتناول فى هذه الوحدة دراسة حركة
األجسام والظواهر المصاحبة لهذه الحركة ومسبباتها.
مقدمة الوحدة
أهداف الوحدة
الديناميكا Dynamics
41
المصطلحات األساسية
دروس الوحدة
األدوات والوسائل
مخطط تنظيمى للوحدة
Ñ Scientific calculator آلة حاسبة علمية Ñ Graphical calculator آلة حاسبة رسومية
Ñ Graphical programs برامج رسومية للحاسوب
الحركة المستقيمة. الدرس )2 - 1(:
الحركة المستقيمة ذات العجلة المنتظمة. الدرس )2 - 2(:
الحركة الرأسية تحت تأثير الجاذبية األرضية. الدرس )2 - 3(:
قانون الجذب العام. الدرس )2 - 4(:
Ñ Rectilinear Motion حركة مستقيمة Ñ Distance مسافة Ñ Vector Velocity متجه سرعة Ñ Average Velocity السرعة المتوسطة Ñ Relative Velocity السرعة النسبية Ñ Vertical Motion حركة رأسية Ñ Universal Gravitation جذب عام
Ñ Displacement إزاحة Ñ Uniform Velocity سرعة منتظمة Ñ Instantaneous Velocity سرعة لحظية Ñ Position Vector متجه موضع Ñ Uniform Acceleration عجلة منتظمة Ñ Gravity جاذبية أرضية
الديناميكا
مفا هيم أساسية
منحنى اإلزاحة الزمن
الحركة األفقية
منحنى السرعة الزمن متجه السرعة
السرعة اللحظية
متجه الموضع
السرعة المتوسطة
المسافةمتجه العجلة
العجلة السرعة حركة تقصيريةحركة متسارعةالمسافة الزمن
السرعة النسبية
متجه اإلزاحة
الحركة الرأسية
تمثيالت بيانية
الحركة ذات العجلة المنتظمة
الحركة المستقيمة
وحدات القياس
قوانين الحركة
ثابت الجذب العام
قانون الجذب العام لنيوتن
1 سدرال
وحدات النظام املرتى. �العالقة بني متجه املوضع ومتجه �
.............................. = Eع ى فإن عحـ = 50 ى ، 70 = Eإذا كان عحـ 2
إذا تحركت سيارتان C ، ب بالسرعتين 65كم/س ، 75 كم/س فإن 3
Cب = .............................. إذا كانتا فى اتجاه واحد.ع أ
Cب = .............................. إذا كانتا فى اتجاهين متضادين.ع ب
بدأت سيارة الحركة من سكون بعجلة منتظمة 20سم/ث لمدة 10 ثوان. 4
السرعة النهائية للسيارة = .............................. م/ث. أ
المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = .............................. متر. ب
بدأ جسم حركته بسرعة 72كم/س بعجلة تقصيرية 2م/ث2. 5
الزمن الذي يستغرقه الجسم حتى يقف = .............................. ثانية. أ
المسافة المقطوعة خالل تلك الفترة = .............................. متر. ب
استخدمت سيارة فراملها فتوقفت خالل 10 ثوان بعد أن قطعت 25 مترا. 6
عجلة الحركة فى أثناء استخدام الفرامل = .............................. م/ث2. أ
سرعة السيارة عند بدء استخدام الفرامل = .............................. م/ث. ب
سقط جسم من قمة برج رأسي فوصل إلى سطح األرض بعد 5 ثوان: 7
سرعة الجسم عند وصوله إلى سطح األرض = .............................. م/ث. أ
ارتفاع البرج = .............................. متر. ب
قذف جسم رأسيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد 4 ثوان: 8
سرعة قذف الجسم = .............................. م/ث. أ
أقصى ارتفاع وصل إليه الجسم = .............................. متر. ب
من قمة برج ارتفاعه 20 متر قذف جسم ألعلى بسرعة 7م/ث: 9
سرعة الوصول إلى سطح األرض = .............................. م/ث. أ
زمن الوصول إلى سطح األرض = .............................. ثانية. ب
كوكب كتلته مساوية ثالث مرات كتلة األرض وقطره يساوي ثالث مرات قدر قطر األرض، فإن النسبة بين 10
عجلة الجاذبية على سطح الكوكب إلى سطح األرض كنسبة .................. : ..................
تطبيقات الرياضيات - علمى
لاكيملنحدل
74
لمدة االتجاه نفس فى 8م/ث بسرعة تحرك ثم 5م/ث بسرعة 100م مسافة مستقيم خط فى جسم يتحرك 11
10ثوان أوجد السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها.
ب C بالسرعتين 1000 م/د، 120كم/س فإذا كانت المسافة يتحرك جسمان C ، ب فى خط مستقيم فى االتجاه 12
بينهما 30كم. أوجد متى وأين يلتقيان.
المضاد االتجاه فى قادمة )ب( لسيارة النسبية السرعة بقياس مستقيم طريق على تتحرك )C( سيارة قامت 13
أصبحت )ب( سرعة أن وجدت القياس وأعادت سرعتها )C( السيارة ضاعفت ولما 130كم/س، فوجدتها
180كم/س أوجد السرعة الفعلية لكل من السيارتين.
سيارة لمراقبة السرعة على الطرق السريعة تسير بسرعة 30كم/س راقبت حركة شاحنة نقل قادمة فى االتجاه 14
المضاد فبدت وكأنها تتحرك بسرعة 110كم/س أوجد السرعة الفعلية للشاحنة.
تحرك جسم فى خط مستقيم بسرعة 7م/ث وبعجلة منتظمة 4م/ث. أوجد سرعته والمسافة التي يقطعها خالل 6 ثوان. 15
بدأ جسم حركته من سكون فى خط مستقيم بعجلة منتظمة 20كم/ث2 وعندما أصبحت سرعته 8م/ث تحرك 16
بتقصير منتظم حتى سكن بعد 112 ثانية من بداية الحركة احسب العجلة التقصيرية والمسافة الكلية.
بالسرعة وسار العجلة انقطعت 54كم/س سرعته أصبحت وعندما 150م فقطع سكون من جسم تحرك 17
3 م/ث2 حتى سكن. احسب السرعة 2 التي اكتسبها مسافة 300 متر، ثم تحرك بعد ذلك بتقصير منتظمة قدره
المتوسطة خالل الرحلة كلها.
يتحرك جسم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع 52 مترا فى الثوان األربع األولى ثم قطع مسافة 92 مترا فى الثوان 18
األربع التالية لها. احسب عجلة الحركة والسرعة االبتدائية والمسافة المقطوعة خالل 10 ثوان األولى من حركته.
ى S = )3ن2 - 3( S متجه موضع جسيم يتحرك فى خط مستقيم من نقطة و يتحدد بالعالقة إذا كان 19
فأوجد متجه اإلزاحة بعد 4 ثوان من بدء الحركة.
سقط جسم من ارتفاع ف عند سطح األرض فقطع فى الثانية األخيرة من حركته 34٫3 مترا. أوجد: 20
االرتفاع الذي سقط منه الجسم. ب سرعة وصول الجسم إلى سطح األرض. أ
قذف جسم رأسيا إلى أعلى بسرعة 14م/ث من نقطة على ارتفاع 350 مترا من سطح األرض. أوجد: 21
الزمن الذي يأخذه الجسم حتى يصل إلى سطح األرض. أ
المسافة الكلية التي قطعها الجسم حتى وصوله لسطح األرض. ب
وضعت قطعة من الحديد على بعد 40سم أخرى من النيكل كتلتها 50كجم فكانت قوة التجاذب بينهما 12 * 10 - 8 22
نيوتن فكم تكون كتلة كرة الحديد إذا علمت أن ثابت الجذب العام يساوي 6٫67 * 10 - 11 نيوتن . م2/كجم2
75كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
متارينقعا�ةق)سحط���قسحثالية(
اختبار تراكمي
قوتان مقدارايهما 8٫16 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية أوجد: 1
مقدار أكبر محصلة لهما. أ
مقدار أصغر محصلة لهما. ب
.c120 مقدار واتجاه محصلتهما عندما يكون قياس الزاوية بينهما ج
2 ، 8 ث جم تؤثر فى نقطة مادية نحو الشرق ، الشمال الغربي والجنوبي الغربي 2 ، 2 القوى 12 ، 5 2
والجنوب على الترتيب. أوجد مقدار واتجاه محصلة هذه القوى.
جسم وزنه 28 ث كجم معلق بواسطة خيطين مثبت طرفاهما اآلخرين، فإذا كان الخيطان متعامدين وقياس 3
الزاوية بين إحداهما وخط عمل وزن الجسم c120. احسب الشد فى كل من الخيطين.
الجسم فى حالة قياسها c30. حفظ بزاوية األفقي يميل على جسم وزنه 90ث كجم موضوع على مستوى 4
توازن بواسطة قوة ق تؤثر على الجسم إلى أعلى فى اتجاه يميل على المستوى بزاوية قياسها c30. أوجد مقدار
ق ورد فعل المستوى.
قضيب منتظم وزنه 800ث يتصل طرفه )C( بمفصل مثبت فى حائط رأسي وأثرت على طرفه اآلخر )ب( قوة 5
أفقية مقدارها 400 ث جم لتجعله فى حالة توازن. أوجد قياس زاوية ميل القضيب على الحائط ومقدار رد فعل
المفصل.
تتحرك سيارة شرطة )C( على طريق مستقيم بسرعة 25كم/س. شاهدت سيارة أخرى )ب( تتحرك على نفس 6
الطريق بسرعة 75كم/س. أوجد سرعة السيارة )ب( بالنسبة للسيارة )C( عندما:
السيارتان تتحركان فى نفس االتجاه. أ
.)C( تتحرك فى اتجاه مضاد للسيارة )السيارة )ب ب
لهذا االبتدائية السرعة اتجاه نفس وفي 5كم/ث2 مقدارها منتظمة بعجلة مستقيم خط فى جسيم يتحرك 7
الجسيم وقدرها 40سم/ث. أوجد:
إزاحته فى نهاية 24 ثانية من بدء الحركة. مقدار كل من سرعة الجسم و أ
مقدار كل من سرعة الجسم بعد أن قطع مسافة 56 مترا من البداية. ب
تتحرك سيارة فى طريق مستقيم بتقصير منتظم مقداره 14 سم/ث2 ، فتوقفت عن الحركة بعد مرور 20 ثانية 8
من لحظة البداية. أوجد:
مقدار سرعتها االبتدائية. أ
المسافة التي قطعتها خالل نصف دقيقة. ب
المسافة التي قطعتها حتى سكنت. ج
تطبيقات الرياضيات - علمى
لاكيملنحدل
76
سقط جسم رأسيا إلى أسفل من ارتفاع ما نحو أرض رخوة فغاص فيها مسافة 14سم قبل أن يسكن فإذا كان 9
الجسم يتحرك داخل األرض بتقصير منتظم مقداره 63م/ث2 فما هو االرتفاع الذي سقط منه الجسيم.
قذف جسيم من قمة برج رأسيا إلى أعلى بسرعة مقدارها 24٫5 م/ث فوصل إلى سطح األرض بعد 8 ثواني. 10
أوجد:
ارتفاع البرج. أ
أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم عن سطح األرض. ب
المسافة التي يقطعها الجسم خالل هذه المدة. ج
77كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
سختبارقتاسكمي
الوحدةالثالثة
فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:
يتعرف بعض المجسمات )الهرم - الهرم المنتظم - الهرم القائم �- المخروط - المخروط القائم( ، وخواص كل منها.
يستنتج المساحة الجانبية والمساحة الكلية لكل من الهرم القائم �- المخروط القائم.
يستنتج حجم كل من الهرم القائم - المخروط القائم . �يوجد معادلة الدائرة بداللة إحداثيات كل من مركزها، وطول �
نصف قطرها.
يستنتج الصورة العامة لمعادلة الدائرة. �قطرها � نصف وطول الدائرة، مركز من كل إحداثيات يعين
بمعلومية الصورة العامة لمعادلة الدائرة.يطبق ما درسه بالهندسة والقياس فى نمذجة مواقف رياضية �
وحياتية.
والمعابد األهرامات وبناء األراضى مساحات تحديد فى المصريين قدماء فاستخدمها العملية بالناحية مرتبطة بدايتها فى الهندسة نشأت
فأوجدوا مساحات بعض األشكال وحجوم بعض المجسمات. وعندما زار طاليس )640 - 546 ق.م( اإلسكندرية راقت له طرق المصريين فى
قياس األرض وأطلق عليها كلمة Geo-metron المأخوذة عن اللغة اليونانية والمكونة من كلمتى Geo وتعنى األرض، metron وتعنى قياس
واهتم بدراسة الهندسة على أنها تعبيرات صريحة مجردة خاضعة للبرهان.
تطورت الهندسة على يد اإلغريق )طاليس - فيثاغورث- إقليدس( بظهور سلسلة من النظريات المبنية على بضع مسلمات وتعاريف مرتبة فى
نظام منطقى دقيق ضمنه إقليدس فى كتابه األصول المكون من 13 جزءا، واستمرت االسكندرية منارة المعرفة إلى أن جاء العرب وحفظوا ذلك
التراث بترجمته إلى اللغة العربية وأضافوا إليه إضافات كثيرة ونقلوه إلى أوربا فى القرن الثانى عشر.
فى القرن السادس عشر بدأ عصر النهضة فى الرياضيات وميالد علوم جديدة فقدم ديكارت )1596-1650( أسس الهندسة التحليلية وقام
Euler بتمثيل المعادالت بأشكال بيانية وهندسية والتعبير عن األشكال بمعادالت واستخلص معادلة الدائرة س2 + ص2 = نق2 كما توصل أويلر
إلى وجود عالقة بين عدد األوجه وعدد الرؤوس وعدد األحرف ألى مجسم قاعدته منطقة مضلعة وهى:
عدد األوجه + عدد الرؤوس = عدد األحرف + 2.
مقدمة الوحدة
أهداف الوحدة
الهندسة و القياسGeometry and Measurement
78
المصطلحات األساسية
دروس الوحدة
األدوات والوسائل
مخطط تنظيمى للوحدة
Ñ الة حاسبة علميةÑ برامج رسومية للحاسوب
الهرم والمخروط. الدرس )3 - 1(:
المساحة الجانبية والمساحة الكلية للهرم والمخروط. الدرس )3 - 2(:
حجم الهرم والمخروط الدرس )3 - 3(:
معادلة الدائرة. الدرس )3 - 4(:
Ñ Vertex رأس Ñ Base قاعدة Ñ Axis محور Ñ Circle دائرة Ñ Center مركز Ñ Radius نصف قطر Ñ Diameter قطر Ñ Pyramid هرم
Ñ Cone مخروط Ñ Lateral face وجه جانبى Ñ Lateral edge حرف جانبى Ñ Hight ارتفاع Ñ Slant hight ارتفاع جانبى Ñ Regular pyramid هرم منتظم Ñ Right pyramid هرم قائم Ñ Net of a pyramid شبكة هرم
Ñ مخروط دائرى قائمRight circular cone
Ñ Lateral area مساحة جانبية Ñ )مساحة كلية )سطحية
Surface area
أشكال ثالثية األبعاد )المجسمات(
المضلعاتالهرم الدائرةالمخروط
الحجم
القطاع الدائرى
معادلة الدائرةتطبيقات حياتية
المساحة السطحية )الكلية(
اشكال ثنائية البعد
79
1 سدرال
سوف تتعلم
خواص بعض املجسامت �اهلرم- اهلرم املنتظم - اهلرم القائم
- املخروط - املخروط القائم.مفهوم شبكة املجسم واستنتاج �
خواص املجسم من شبكته - رسم شبكة جمسم.
نمذجة و حل مشكالت رياضية �و حياتية باستخدام خواص اهلرم
و املخروط القائم.
تصنع العديد من العبوات بطى ورق الكرتون
لتعبئة البعد ثالثية أشكال إلى المسطح
فتشغل تسويقها قبل المصانع منتجات
متوازى ، المكعب مثل ، الفراغ من حيزا
المستطيالت...
كم وجها للمكعب؟ وكم رأسا له؟ ½
كم حرفا لمتوازى المستطيالت؟ ½
فسر ½ متطابقة؟ المكعب أوجه جميع هل
إجابتك.
نسمى الشكل الذى يمكن طيه لتكوين مجسما
بشبكة المجسم ومنها نستنتج خواص المجسم.
دائرية اسطوانة شبكة المقابل الشكل يبين قائمة ، الحظ:
منهما وكل متطابقتين االسطوانة قاعدتا - 1على شكل دائرة.
قبل طيه هو لألسطوانة الجانبى السطح - 2فيكون 10سم ، 44سم بعداه مستطيل
إرتفاع االسطوانة 10سم.
ما طول نصف قطر قاعدة االسطوانة؟
فكر:هل يمكنك معرفة اسم المجسم الذى يمكن تكوينه من
طى الشبكة المقابلة؟ استنتج بعض خواصه.
هل يمكن رسم اكثر من شبكة للمجسم الواحد؟
فسر إجابتك.
10 سم
44 سم
الهرم والمخروطPyramid and Cone
المصطلحاتاألساسية
� Pyramid هرم � Cone خمروط � Lateral face وجه جانبى � Lateral edge حرف جانبى � Height ارتفاع � Slant hieght ارتفاع جانبى � Regular pyramid هرم منتظم � Right pyramid هرم قائم � Net شبكة خمروط دائرى قائم �
Right circular cone
األدوات والوسائل
آلة حاسبة علمية �برامج رسومية �
وجه
حرف رأس
تطبيقات الرياضيات - علمى 80
Pyramid الهرم
هو مجسم له قاعدة واحدة وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك فى رأس واحدة ويسمى هرما ثالثيا أو رباعيا أو خماسيا... حسب عدد أضالع مضلع قاعدته.
الحظ: فى الشكل المقابل م C ب جـ E هـ هرم خماسى ، رأسه م وقاعدته المضلع C ب جـ E هـ ، أوجهه الجانبية Lateral faces سطوح المثلثات م C ب،
، C م Lateral edges وأحرفه الجانبية ، C هـ ، م هـ E م ، E م ب جـ ، م جـ
. م هـ , E م م جـ ، م ب ،
ارتفاع الهرم height )م ن( هو بعد رأس الهرم عن مستوى قاعدته. االرتفاع الجانبى Slant height )م س( هو بعد رأس الهرم عن أحد أضالع قاعدته .
Regular pyramid الهرم المنتظم هو الهرم الذى قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من رأس الهرم عليها. ف
C)1 ، 3( ، ب)2 ، -4( ويقع مركزها على محور بالنقطتين التى تمر ابداعى: أوجد معادلة الدائرة تفكير 18
السينات.
10
س
ص
تطبيقات الرياضيات - علمى
ا رخ�����الا ر�����
10
ملخ�ص الوحدةشبكة هى شكل ذى بعدين يمكن طيه ليكون شكال ثالثي األبعاد.
الهرم هو مجسم له قاعدة واحدة وجميع أوجهه األخرى مثلثات تشترك
فى رأس واحدة. ويسمى الهرم حسب عدد أضالع مضلع قاعدته فيكون
هرما ثالثيا أو رباعيا أو خماسيا .. وهكذا.
الهرم المنتظم هرم قاعدته مضلع منتظم مركزه موقع العمود المرسوم من
رأس الهرم عليها فنجد:
أحرفه الجانبية متساوية فى الطول. ½
أوجهه الجانبية سطوح مثلثات متساوية الساقين ومتطابقة. ½
االرتفاعات الجانبية متساوية ½
الهرم على قاعدته يمر بمركزها المرسوم من رأس العمود إذا كان موقع إذا وفقط قائما الهرم القائم يكون الهرم
الهندسي.
المخروط الدائري القائم هو الجسم الذى ينشأ من دوران مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعى القائمة دورة كاملة.
1 محيط قاعدته * ارتفاعه الجانبى2 المساحة الجانبية للهرم =
المساحة الكلية للهرم = مساحته الجانبية + مساحة قاعدته
المساحة الجانبية للمخروط القائم =r لH حيث ل طول راسمه ، H طول نصف قطر قاعدته
) H+ ل ( H r= 2Hل r+ Hل r = المساحة الكلية للمخروط القائم
حجم الهرم يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه.
حجم المخروط يساوى ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته * ارتفاعه
الدائرة: هى مجموعة نقط المستوى التى تكون علي نفس البعد الثابت من نقطة ثابتة فى المستوى.
معادلة الدائرة 2H= 2)(2 + )ص - هـE- س ( :هى Hوطول نصف قطرها يساوى )هـ ،E( معادلة الدائرة التى مركزها النقطة
الصورة العامة لمعادلة الدائرة
H الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها النقطة )-ل ، -ك( وطول نصف قطرها يساوى
هى: س2 +ص2 + 2 ل س + 2 ك ص + جـ = صفر
، ل2 + ك2 - جـ <0 ل2 + ك2- جـ = Hحيث
ارتفاع جانبى
قاعدة
ارتفاع الهرم )ع(
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
للر��ا ر�ا�م
10
للر��ا ر�ا�م
لتعيين إحداثيا مركز دائرة وطول نصف قطرها من الصورة العامة لمعادلتها
تحقق أوال من وضع المعادلة فى الصورة العامة حيث: معامل س2 = معامل ص2 = الوحدة ½
½ ) - معامل ص2 - معامل س ،
2 إحداثيا المركز )-ل ، - ك( أى )
ل2 + ك2 - جـ ، حيث ل2 + ك2 - جـ < 0 ½ = H طول نصف قطر الدائرة يتعين من العالقة
تمارين عامة )الوحدة الثالثة(
1 أكمل كل ممايأتى:
األوجه الجانبية فى الهرم المنتظم .......................................................................................................................................................... أ
االرتفاعات الجانبية فى الهرم المنتظم ................................................................................................................................................. ب
ارتفاع المخروط القائم ................................................. طول راسمه ج
حجم الهرم = ................................................... * .................................................... د
طول نصف قطر الدائرة س2 + ص2 - 18 = 0 يساوى ......................................................................................................... ه
معادلة الدائرة التى مركزها النقطة )2 ، 3( وطول نصف قطرها 4 وحدات هى ................................ و
يعد علم االحصاء علما هاما من بين علوم الرياضيات التى تخدم باقى العلوم فقد تطور علم االحصاء من مجرد عمليات العد التى كانت تجريها
الدول فى العصور الوسطى للتعرف على قدراتها البشرية والمادية إلى علم له أصول وقواعد واستخدامات كثيرة فى مختلف المجاالت من فلك
ووراثة وعلم نفس وسياسة واقتصاد وطب... ، وكذلك فى مجاالت التخطيط ورسم السياسات واتخاذ القرار فى شتى مجاالت المعرفة، فهو يساعدنا
علي فهم ما حدث فى الماضى الستخدامه فى التنبؤ بالمستقبل ورسم الخطط المستقبلية ، ويرجع التطور الهائل فى استخدام نظرية االحتماالت
بصورة واضحة إلي عام 1932 حيث تمت أول معالجة حديثة لهذه النظرية على يد العالم " نيومان" والعالم " بيركوف" باستخدام كثير من
مفاهيم الرياضيات الحديثة مثل مفهوم المجموعات وأشكال ڤن وصار تطبيقها فى الحياة العملية أوسع فإنتاج المصانع يعتمد فى تحسين نوعيته
وتسويقه على االحتماالت كذلك التخطيط للتنمية االقتصادية واالجتماعية بل أن سياسات الدول فى األمم المتقدمة تعتمد علي االحتماالت .
فى هذه الوحدة نتناول مخطط الساق واألوراق لعرض البيانات واستخدامه فى حساب بعض مقاييس التشتت وكذلك مفهوم االحتمال وكيفية
تطبيقه عندما تكون جميع النتائج الممكنة الحدوث عددها محدود ومتساوية االمكانات )متكافئة الفرص(
فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:
يمثل مجموعة من البيانات بطريقة الساق واألوراق. �يتعرف بعض مقاييس التشتت والتى تعتمد على حساب قيم �
الربيع األدنى - الربيع األعلى - الربيع األوسط ( واألوسط � واألعلى األدنى الربيع من كل قيمة يستنتج
باستخدام طريقة الساق واألوراق .يتعرف التجربة العشوائية، وبعض التجارب العشوائية الشهيرة �
مثل : القاء قطعة نقود مرة واحدة أو مرتين أو ثالث مرات ،القاء حجر النرد مرة واحدة أو مرتين.
مايعرف � أو ( االحداث على اآلتية العمليات يتعرف باألحداث المركبة( ويعبر عنها لفظيا ورمزيا ويمثلها باشكال ڤن )بمعلومية ف فضاء نواتج تجربة عشوائية ، C، ب حدثين
فى ف(:Ñ Cوقوع الحدث
Ñ .C عدم وقوع الحدث
Ñ )أو ب )وقوع أحدهما على األقل C وقوعÑ )و ب )وقوعهما معا CوقوعÑ )وعدم وقوع ب C فقط )وقوع C وقوع الحدثÑ )C وقوع الحدث ب فقط )وقوع ب وعدم وقوعÑ )فقط أو وقوع ب فقط Cوقوع أحدهما فقط ( وقوعÑ )أو عدم وقوع ب C عدم وقوع أى من الحدثين )عدم وقوعÑ )أو عدم وقوع ب C عدم وقوع الحدثين معا)عدم وقوعÑ )أو عدم وقوع ب C عدم وقع ب فقط ( وقوعÑ )C فقط )وقوع ب أو عدم وقوع C عدم وقوعاإلحصاء � على بسيطة وحياتية رياضية تطبيقات يتعرف
واالحتمال
االحصاء واالحتمال Statistics and
Probability
110
المصطلحات األساسية
األدوات والوسائلدروس الوحدة
مخطط تنظيمى للوحدة
المصطلحات األساسية
Ñ Scientific calculator الة حاسبة علمية Ñ Graphical calculator الة حاسبة رسومية Ñ Graphical programs برامج رسومية للحاسوب
تمثيل البيانات. الدرس )4 - 1(:
وصف البيانات. الدرس )4 - 2(:
االحتمال. الدرس )4 - 3(:
Ñ Statistics إحصاء Ñ Probability احتمال Ñ Representing Data تمثيل البيانات Ñ Stem-and -leaf plots مخطط الساق واألوراق Ñ Descripting Data وصف البيانات Ñ Central Tendency نزعة مركزية Ñ Disperison تشتت Ñ Quartiles ربيعات Ñ Lower Quartile ربيع أدنى Ñ Upper Quartile ربيع أعلى Ñ Interquartile Range المدى الربيعى
Ñ Random Experiment تجربة عشوائية Ñ Sample space فضاء العينة - فضاء النواتج Ñ Coin قطعة نقود Ñ Die حجر نرد Ñ Event حدث Ñ Simple Event حدث بسيط )أولى( Ñ Compound Event حدث مركب Ñ Certain Event حدث مؤكد Ñ Impossible Event حدث مستحيل Ñ Operation of the Events العمليات على األحداث Ñ Mutually Exclusive Events احداث متنافية
تشتتنزعة مركزية
شجرة بيانيةقائمة
وسيط
تمثيل هندسي
تطبيقات حياتية وحل مشكالت
مسلمات االحتمال تجارب عشوائية
االحتمالاالحصاء
وصف البياناتتمثيل البيانات
مدى ربيعى ربيع أعلى ربيع أدنى
فضاء العينة
الحدث
احداث متنافيةمحتملمستحيل مؤكد مخطط الساق واألوراق
العمليات على االحداث
111
1 سدرال
متثيل جمموعة من البيانات بطريقة �اجلذع )الساق( والورقة .
استنتاج املعلومات من خمططات �الساق والورقة.
تقديم:سوف تتعلم
ثم الدراسة المشكلة محل البيانات حول نقوم بجمع ما، أو مشكلة لدراسة ظاهرة
تنظم وترتب البيانات بشكل يساعد على إستخالص المعلومات منها ، ويتوقف إختيار
)أسمية بيانات كيفية أكانت البيانات سواء نوع البيانات على تمثيل وعرض طرق
أو مرتبة( أم بيانات كمية )متصلة أو متقطعة( وقد سبق لك تنظيم البيانات فى صورة
جداول تكرارية بسيطة أو جداول تكرارية ذى مجموعات.
وفيمايلى سوف نوضح كيفية تنظيم وتمثيل مجموعة من البيانات بطريقة الساق واألوراق.
Stem - and - leaf plats مخطط ال�ساق والورقة
مخطط الساق والورقة هو إحدى الطرق السريعة لتنظيم وتمثيل مجموعة صغيرة من
البيانات الكمية على شكل شجرة تتكون من جذع )ساق( وأوراق، فيتم تقسيم كل
قيمة من البيانات الكمية إلى جزأين أحدهما يمثل الساق واألخر يمثل الورقة.
األرقام وباقى الورقة لتمثيل اآلحاد( )رقم أرقامه أول نختار 137 العدد تمثيل عند
لتمثيل الساق وتكتب على النحو التالى:
الورقة # 7 | 13 # الساق ، والشكل المقابل يبين نماذج من تمثيل بعض االعداد بهذا المخطط .
الساق واألوراق بطريقة الكمية البيانات يتم عرض
وفق الخطوات التالية :
1- تحديد الساق وكتابة وحداته بترتيب تصاعدى فى شكل عمود رأسى . 2- تسجيل قيم األوراق المناظرة لكل وحدة ساق فى صف هذه الوحدة .
3- ترتيب قيم األوراق تصاعديا وكتابة مفتاحا يوضح كيفية قراءة الساق واألوراق. مثال
توضح البيانات التالية درجات 20 طالبا فى احد االختبارات 1
والتعبري عنها لفظيآ ورمزيا.توظيف مسلامت االحتامل ىف �
إجياد احتامالت وقوع أحداث معينة وتطبيقات حياتية
المصطلحاتاألساسية
جتربة عشوائية �random experiment
� sample space فضاء العينة � event حدث � simple event حدث بسيط � certain event حدث مؤكد حدث مستحيل �
impossible event احداث متنافية �
mutually exclusive events
األدوات والوسائل
آلة حاسبة .
تطبيقات الرياضيات - علمى 122
القاء حجر نرد منتظم مرقم من 1 إلى 6 مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر ب
على الوجه العلوى.
الحلالتجربة )أ(: ليست تجربة عشوائية ألن ملمس الكرات البيضاء مختلف عن ملمس
الكرات السوداء, فيستطيع الشخص الذى يسحب الكرة أن يسحب من الكيس اللون
الذى يريده وبالتالى فهو يتحكم فى نواتج التجربة قبل وقوعها.
التجربة )ب(: تجربة عشوائية ألن جميع النواتج معروفة مقدما وهى من 1 إلى 6 ولكن
اليمكن أن نتنبأ بصفة مؤكدة أى هذه النواتج سوف تحدث عند القاء حجر النرد.
إلى 20 1 بطاقة متماثلة مرقمة من بها 20 بطاقة واحدة من حقيبة فكر : هل تجربة سحب ومالحظة العدد الذى يظهر علي البطاقة المسحوبة ، هى تجربة عشوائية ؟ فسر إجابتك.
تعلم
Sample space (outcomes space( : )ف�صاء العينة )ف�صاء النواتج
فضاء العينة لتجربة عشوائية هو مجموعة كل النواتج الممكنة لهذه التجربة ويرمز له بالرمز ف ½ يف2عر
ت
يرمز لعدد عناصر فضاء العينة ف بالرمز ن )ف( . ½
يكون فضاء العينة منتهيا إذا كان عدد عناصره محدودا، أو غير منته إذا كان عدد ½
عناصره غير محدود ، وسندرس فقط فضاء النواتج المنته.
مالحظة:
تجارب ع�سو�ئية �سهيرة :
Tossing a coin : اأول: اإلقاء قطعة نقود
1- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرة واحدة
ومالحظة الوجه الظاهر هو: ف = } ص، ك{
حيث ص ترمز للصورة ، ك ترمز للكتابة
ويكون : ن)ص( = 2
2- فضاء العينة لتجربة إلقاء قطعة نقود مرتين متتاليتين
الحظ 1- عند رمى قطعة نقود م من المرات المتتالية يكون ن )ف( = 2 م
2- ) ص، ك( ! ) ك، ص( لماذا؟3- فضاء العينة لتجربة القاء قطعتى نقود متمايزتين )مختلفتين فى الشكل أو الحجم( مرتين واحدة نقود قطعة إلقاء عند العينة فضاء نفس هو واحد( آن فى ( معا
متتاليتين ويكون كل ناتج من نواتج التجربة على الشكل الزوج المرتب: ) وجه
القطعة األولى ، وجه القطعة الثانية (.
Tossing a die : ثانيا : اإلقاء حجر نرد
1- فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه
العلوى هو :
ويكون : ن )ف( = 6 ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6 {
2- فضاء العينة لتجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر فى كل
مرة على الوجه العلوى هو مجموعة األزواج المرتبة التى مسقطها األول هو ناتج الرمية األولى ومسقطها
فكر : هل يمكن تمثيل ف بطريقة هندسية ؟ وضح إجابتك بالرسم .إذا ألقى حجر النرد أوال ثم قطعة النقود ، هل يتغير عدد النواتج الممكنة ؟ هل يتغير فضاء العينة ؟ فسر إجابتك .
حاول أن تحلقرر باسم القيام برحلة من القاهرة إلى أسوان فى إجازة نصف العام لمشاهدة آثار مصر الفرعونية على مرحلتين 1
)القاهرة - األقصر ، األقصر - أسوان( فإذا كانت وسائل المواصالت المتاحة فى كل مرحلة هى القطار أو
السيارة أو الطائرة ، فاكتب فضاء العينة المرتبط بوسائل المواصالت لهذه الرحلة.
حجم النردقطعة النقود
ص
ل
123456
123456
2
1
نواتج الرمية األولي
34
5
6
نواتج الرمية الثانية
6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1
6 5 4 3 2 1
6 5 4
3 2 1
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
12
مثال
كيس به ثالث كرات متماثلة إال من حيث اللون: األولى حمراء والثانية بيضاء والثالثة صفراء . اكتب فضاء 3
العينة فى الحاالت اآلتية :
أوال: إذا سحبت كرتين الواحدة بعد اآلخرى مع إعادة الكرة المسحوبة قبل سحب الكرة الثانية ) مع اإلحالل ( ومالحظة تتابع األلوان.
ثانيا: إذا سحبت كرتين الواحدة بعد األخرى بدون إحالل ومالحظة تتابع األلوان .
الحلنرمز إلى الكرة الحمراء بالرمز )ح( والكرة البيضاء بالرمز )ب(
والكرة الصفراء بالرمز )ص(:
أوال: عندما تعاد الكرة المسحوبة إلى الكيس قبل السحبة فرصة لها الثالث الكرات من كرة كل تصبح الثانية
أن الممكن من ويصبح الثانية السحبة فى الظهور
تسحب نفس الكرة مرة ثانية ويوضح الشكل المقابل
الشجرة البيانية لفضاء العينة حيث ن )ف( = 23 = 9
، ح( ، )ب ، ص( )ح، ، ب( ح، ( ، ح( ف = } )ح،
) ب ، ب( ، )ب، ص( ، )ص ، ح( ، )ص ، ب( ،
)ص، ص( {
إلى الكرة إعادة عدم ) إحالل )دون بعبارة ثانيا: يقصد فرصة هناك يكون لن وبذلك سحبها بعد الكيس
لظهورها فى السحبة الثانية
` ن )ف( = 3 * 2 = 6
ف = }) ح ، ب( ، ) ح، ص( ، )ب ، ح( ، )ب ، ص( ،
)ص ، ح( ، ) ص ، ب( {
حاول أن تحلصندوق به ثالث كرات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 3 سحبت كرتين الواحدة بعد األخرى مع اإلحالل ومالحظة 2
رقم الكرة . اكتب فضاء العينة وبين عدد عناصره.
The event الحدث
الحدث هو مجموعة جزئية من فضاء العينة ½ يف1عر
ت
السحبة الثانيةالسحبة األولى
حح
ح
ح
ص
ص
ص
ب
ب
ب
ب ص
)ح، ح( ) ح، ب( )ح، ص()ب ، ح(
) ب ، ب()ب، ص()ص ، ح( )ص ، ب( )ص، ص(
ف
السحبة الثانيةالسحبة األولى
) ح ، ب() ح، ص()ب ، ح(
)ب ، ص()ص ، ح(
) ص ، ب(
حب
ح
ح
ص
ص
ب
ب
ص
ف
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
12
الحظ :الكبيرة بالحروف لألحداث نرمز لذلك ف، العينة فضاء من جزئية مجموعات هى األحداث أن حيث -1
venn diagram ب ، ج ، ... كما يمكن تمثيلها باشكال ڤن ، C
2- إذا كان C حدثا لتجربة عشوائية ، ف فضاء العينة لها فإن : C ⊂ ف ، وباعتبار ف المجموعة الشاملة نستطيع التعبير عن الحدث C بشكل ڤن المجاور .
3- نقول أن حدثا ما قد وقع )تحقق ( إذا كان ناتج التجربة العشوائية عنصرا من عناصر المجموعة التى تعبر عن هذا الحدث.
فمثال عند إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه
العلوى نجد أن : ف = }1، 2، 3، 4، 5، 6{
فتكون المجموعة C = } 2، 4، 6{ وهى مجموعة جزئية من ف تعبر عن حدث
" ظهور عدد زوجى " ونقول أن الحدثC قد وقع )تحقق ( إذا ظهرت أى األعداد 2 أو 4 أو 6 عند إجراء التجربة.
مثال
فى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى .
إذكر عدد عناصر كل منها أ اكتب فضاء العينة ثم عين األحداث اآلتية و
الحدث C " ظهور عدد اكبر من 5" ، الحدث ب " ظهور عدد أولى "
الحدث ج " ظهور عدد أصغر من 9" ، الحدث د " ظهور عدد يقبل القسمة على 4"
الحدث هـ" ظهور عدد يقبل القسمة على 7"
ب إذا ظهر العدد 3 على الوجه العلوى عند إجراء التجربة ، فأى االحداث السابقة يكون قد وقع ؟
الحل
ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ ويكون أ
1 = )C( 6{ ، ن{ = C ` "5 ظهور عدد اكبر من " C الحدث
الحدث ب " ظهور عدد أولى " ` ب = } 2، 3، 5{ ، ن )ب( = 3
الحدث ج " ظهور عدد أصغر من 9 ` ج = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{ = ف ، ن )ج( = 6
` د = } 4{ ، ن )د( = 1 الحدث د " ظهور عدد يقبل القسمة على 4"
الحدث هـ " ظهور عدد يقبل القسمة على 7"
اليوجد أى ناتج من نواتج التجربة )فضاء العينة ( يقبل القسمة على 7
` هـ = } { =z )المجموعة الخالية ( ، ن)هـ( = صفر
ب عند ظهور العدد 3 كناتج للتجربة نقول أن كل من الحدثين ب ، ج قد وقع ألن 3∋ ب ، 3 ∋ج
Cف
1 2 3
5 46
Cف
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
12
حاول أن تحلفى تجربة إلقاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى، اكتب فضاء النواتج ثم 3
عين االحداث التالية واذكر عدد عناصر كل منها.
الحدث C " ظهور عدد يقبل القسمة على 3"
"4 Hالحدث ب " ظهور عدد يحقق المتباينة س
الحدث ج" ظهور عدد يحقق المعادلة س )س-2( + 15 = 0"
The simple event الحدث الب�صيط )الحدث الأولى (
هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحتوى عنصرا واحدا فقط. ½ يف4عر
ت
فى مثال 4: الحدثان C ، د كل منهما حدث بسيط )أولى( ، أما الحدثان ب ، ج فكل منهما اليعتبر حدثابسيطا compound event الحتواء الحدث على اكثر من عنصر من عناصر ف ويسمى عندئذ بالحدث المركب
نعلم من دراستنا للمجموعات أن المجموعة ف والمجموعة الخاليةz هما مجموعتان جزئيتان من المجموعة ف ،
ومن ثم فإن ف،z هما حدثان من فضاء العينة ف.
The certain event الحدث الموؤكد :
هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ف
The impossible event الحدث الم�صتحيل
z هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز
يف5عر
تفى مثال )4( الحدث ج هو حدث مؤكد أما الحدث هـ فهو حدث مستحيل
حاول أن تحلصندوق به 9 بطاقات متماثلة مرقمة من 1 إلى 9 سحبت بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المسجل علي هذه
البطاقة . عين كل من االحداث التالية مع وصفها )حدث مؤكد - حدث مستحيل - حدث بسيط - حدث مركب(
الحدث C" ظهور عدد زوجى "
الحدث ب " ظهور عدد أولى "
الحدث ج" ظهور عدد اكبر من 8"
الحدث د" ظهور عدد يقبل القسمة على 7"
الحدث هـ" ظهور عدد يقبل القسمة على 11"
الحدث و" ظهور عدد مربع كامل "
الحدث ز" ظهور عدد يحقق المعادلة س2 - 7 س = 60 "
"15 H 3 - الحدث ع " ظهور عدد يحقق المتباينة 2 س
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
12
فكر : هل يمكن تعين مجموعة جزئية من عناصر ف تحقق فسر إجابتك 2- وقوع الحدث ج أو د؟ 1- وقوع الجدثين C , و معا ؟
الحظ: عند الربط بين حدثين أو أكثر نحصل على أحداث جديدة تعرف باألحداث المركبة ويمكن التعبير عنها لفظيا أو رمزيا كما يمكن تمثيلها بأشكال ڤن.
Operation of the events العمليات على الأحداث
نظرا ألن األحداث هى مجموعات جزيئة من فضاء العينة ، لذا فإن العمليات على االحداث هى نفس العمليات على
المجموعات مثل االتحاد والتقاطع والفرق واالكمال وباعتبار فضاء العينة ف المجموعة الشاملة نستطيع التعبير
عن الحدثين C، ب من ف والعمليات عليها لفظيا ورمزيا وتمثيلها بأشكال ڤن كمايلى :
�أوال: �لتقاطع تقاطع الحدثين C ، ب هو الحدث C ∩ ب الذى يحوى كل عناصر فضاء العينة التى
تنتمى إلى C، ب معا ويعنى وقوع C و ب )وقوع الحدثين معا(
ثانيا : �التحاد :العينة فضاء عناصر كل يحوى الذى ∪ب C الحدث هو ب ، C الحدثين إتحاد
التى تنتمى إلى C أو ب أو كليهما معا ويعنى وقوع C أو ب )وقوع أحدهما على
األقل(
ثالثا : �الكمال يحوى كل عناصر فضاء
/
C إذا كان ، C يسمى الحدث المكمل للحدث /
C الحدث
. C ويعنى عدم وقوع الحدث ، C العينة التى التنتمى إلى الحدث
z = /
C ∩ C ، ف = /
C ∪ C : الحظ
ر�بعا: �لفرقالحدث C - ب يحوى كل عناصر فضاء العينة التى تنتمى إلى C وال تنتمى إلى ب
وهى أيضا نفس عناصر C ∩ ب/
ويعنى وقوع C وعدم وقوع ب )وقوع C فقط(
C
ف
بC ∩ ب
C
ف
بC ∪ ب
C
ف
C
C
ف
بC -ب = C∩ ب/ = C ( - C ∩ ب (
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
12
تعبير شفهى :إذا كان C، ب حدثان من فضاء العينة ف ، أكمل الجدول وظلل تمثيل الحدث :
تمثيل الحدثالتعبير عن الحدث رمزياالتعبير عن الحدث لفظيا
وقوع الحدث ب فقط
)C وقوع ب وعدم وقوع(
C
ف
ب
وقوع أحدهما فقط
)وقوع C فقط أو وقوع ب
فقط(C
ف
ب
مثال
ثمانى بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 8 سحبت منها بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المسجل على هذه
البطاقة اكتب فضاء العينة ثم عين كل من االحداث اآلتية :
الحدث ب " ظهور عدد أولى " ب الحدث C " ظهور عدد فردى" أ
حدث وقوع أحدهما على األقل. د حدث وقوع C و ب معا ج
حدث وقوع C فقط. و Cحدث عدم وقوع ه
ح حدث وقوع احدهما على االكثر . ز حدث وقوع ب فقط
الحلف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8{
a الحدث C" ظهور عدد فردى" أ
}7 ،5 ،3 ، 1 { = C `
a الحدث ب " ظهور عدد أولى " ` ب = } 2، 3، 5، 7{ ب
ج وقوع C وب معا = C ∩ ب = } 3، 5، 7{
حدث وقوع أحدهما على األقل = C ∪ ب = } 1، 2، 3، 5، 7{ د
}8 ،6 ،4 ،2 { = /
C = C حدث عدم وقوع ه
حدث وقوع C فقط = C - ب = }1{ و
}2{ = C - ز حدث وقوع ب فقط = ب
}2 ،1{ = ) C - ب ( ∪ ) ب - C ( = ح حدث وقوع أحدهما فقط
C
ف
ب
12 3 5 7
4
6
8
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
130
حاول أن تحلسجلت أرقام العدد 95743862 فى بطاقات صغيرة متماثلة . سحبت احداها عشوائيا ولوحظ العدد المسجل
بالبطاقة ، اكتب فضاء العينة لهذه التجربة ثم عين كل من االحداث التالية:
أ الحدث C " العدد الظاهر عددا فرديا "
ب الحدث ب " العدد الظاهر يقبل القسمة على 3"
حدث وقوع ب فقط. د ج حدث وقوع C و ب
و وقوع أحد الحدثين على األقل. ه وقوع أحد الحدثين فقط.
تفكير ناقد :إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف ، عبر عن االحداث التالية بلغة المجموعات ومثل كل منها بشكل ڤن .
ب عدم وقوع C وعدم وقوع ب أ وقوع C أو عدم وقوع ب
وقوع أحد الحدثين على األكثر. د ج عدم وقوع الحدثين معا
الحظ أن:حدث وقوع C =C , حدث عدم وقوع ب =ب/ أ
` الحدث المطلوب = C ∪ ب/ = عدم وقوع ب فقط
C أى أن : عدم وقوع ب فقط هو نفسه عدم وقوع ب أو وقوع
، عدم وقوع ب = ب/ /
C = C ب عدم وقوع /
∩ ب/ = ) C ∪ ب(/
C = ` الحدث المطلوب
= عدم وقوع أى من الحدثين
أى أن : عدم وقوع أى من الحدثين هو نفسه عدم وقوع C وعدم وقوع ب .
∪ ب//
C= /
= )C ∩ ب( ج عدم وقوع الحدثين معا
= عدم وقوع C أو عدم وقوع ب
أى أن : عدم وقوع الحدثين معا هو نفسه عدم وقوع C أو عدم وقوع ب
/
د وقوع أحد الحدثين على األكثر = عدم وقوع الحدثين معا = )C ∩ ب (
أى أن : عدم وقوع الحدثين معا = عدم وقوع C أو عدم وقوع ب = وقوع أحد الحدثين على األكثر
حاول أن تحلإذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف ، عبر عن األحداث التالية بلغة المجموعات ومثل كل منها بشكل ڤن.
وقوع C وعدم وقوع ب ب أ عدم وقوع C ووقوع ب
C
ف
ب
C
ف
ب
C
ف
ب
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
131
Mutually exclusive events الحداث المتنافية
يقال لحدثين C ، ب أنهما متنافيان إذا كان وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر
فمثال: 1- إذا كان C" حدث النجاح فى امتحان ما" ، ب" حدث الرسوب فى نفس االمتحان" فإن وقوع أحدهما
ينفى وقوع اآلخر.
2- فى تجربة القاء حجر نرد مرة واحدة ومالحظة العدد الظاهر على الوجه العلوى فإن ف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6{
}5 ،3 ،1 { = C : أى إذا كان C حدث ظهور عدد فردى
أى : ب = } 3، 4، 6{ ب حدث ظهور عدد زوجى
فإن C ∩ ب = z أى وقوع أحدهما ينفى وقوع اآلخر .
½ z= ب ∩ C ب متنافيان إذا كان , C يقال أن الحدثين
يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى ½
يف6عر
ت
الحظ :1- إذا كان C ∩ ب = z فإن C ، ب حدثان متنافيان
z = C ∩ ج ، z = ب ∩ ج ، z = ب ∩ C : ب ، ج ثالثة أحداث من ف وكان ، C إذا كانت و
فإن: C ، ب، ج إحداث متنافية والعكس صحيح.
2- االحداث البسيطة )األولية( فى أى تجربة عشوائية تكون متنافية.
هما حدثان متنافيان./
C ومكمله C 3- أى حدث
مثال
فى تجربة إلقاء حجرى نرد متمايزين ومالحظة العددين الظاهرين على الوجهين العلويين لها.
أوال: مثل فضاء العينة هندسيا واكتب كال من احدثين اآلتيين. الحدث ب " ظهور عددين مجموعهما 7". الحدث C " ظهور نفس العدد على الوجهين"
ثانيا : هل الحدثان C ، ب متنافيان ؟ فسر إجابتك .
الحلأوال : عناصر فضاء العينة لهذه التجربة هى أزواج مرتبة عددها = 26 = 36 الشكل المقابل هو التمثيل الهندسى لفضاء العينة حيث كل عنصر
حاول أن تحلفى مباريات الدورى العام لكرة القدم يحصل الفريق الفائز على 3 نقاط والمتعادل على نقطة واحدة والفريق
المهزوم اليحصل على أى نقطة ، فإذا لعب الفريق مبارتين متتاليتين اكتب فضاء العينة لما يحصل عليه الفريق
من نقط ثم أوجد كال من األحداث اآلتية :
ب حدث عدم هزيمة الفريق أ حدث حصول الفريق على اكثر من 4 نقط.
حدث وقوع C أو ب د ج حدث وقوع C و ب
حدث عدم وقوع ب فقط. و ه حدث وقوع C فقط.
Probability الحتمال
تعين نظرية االحتماالت لكل حدث من أحداث التجربة العشوائية عددا حقيقيا يسمى احتمال الحدث، وهو العدد الحقيقى
الذى يعبر عن إمكانية وقوع الحدث ويتوقف حسابه على النسبة بين عدد عناصر الحدث إلى عدد عناصر فضاء العينة .
فإذا كان C حدث من ف أى C ⊂ ف ، عدد عناصر C = ن )C( ، عدد عناصر ف = ن)ف( .
)C( بالرمز ل C ورمزنا الحتمال وقوع الحدث
)C( ن
ن )ف( = )C( فإن : ل
الحظ :1- ل دالة حقيقية مجالها مجموعة أحداث التجربة العشوائية، وتعرف بدالة االحتمال
1H )C( ل H0 ويكون )ف( ن H )C( ن H 0 ` C -2 ⊂ ف ) إحتمال وقوع الحدث المؤكد ( ن )ف( = 1
ن )ف(3- ل )ف( =
تعلم
Axioms of probability م�صلمات الحتمال
)C(يرمز له بالرمز ل C ف يوجد عدد حقيقى يسمى إحتمال الحدث ⊃ C 1- لكل حدث 1 H )C( ل H 0 حيث :
2- ل )ف( = 1 3- إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف
وكان C ، ب حدثين متنافيين فإن : ل )C ∪ ب( = ل)C( + ل )ب( C
ف
ب
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
133
تسمى المسلمة )3( بقاعدة الجمع إلحتماالت األحداث المتنافية وتعمم ألى عدد منته من األحداث المتنافية.ل )C ∪ ب ∪ ج ∪ د∪ .......( = ل )C( + ل )ب(+ ل )ج(+ ل )د( ....... حيث C ، ب، جـ ، E ....... أحداث متنافية مثنى مثنى
أى أن : احتمال )اتحاد االحداث المتنافية( = مجموع احتماالتها .
مثال
صندوق به 9 بطاقات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 9 سحبت بطاقة واحدة عشوائيا ولوحظ العدد المدون عليها.
أوجد احتمال كل من األحداث التالية :
ب هو حدث ظهور عدد أكبر من 5 C هو حدث ظهور عدد أصغر من 3
ج هو حدث ظهور عدد مضاعف للعدد 3 ، د حدث وقوع C أو ب
الحلف = } 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9{ ، ن )ف( = 9
29 =
)C( نن )ف(
= )C( ل ` 2 = )C( 1، 2{ ، ن { = C
49 ن )ب( =
ن )ف(` ل )ب( = ن )ب( = 4 ب = } 6، 7، 8، 9{ ،
13 = 3
` ل )ج( = 9 ج = } 3، 6، 9{ ، ن )ج( = 3
z = ب∩ C ب حدثان متنافيان ألن ، C إليجاد ل )د( الحظ أن
مسلمة )3( ` احتمال وقوع C أو ب = ل ) C ∪ب ( = ل )C( + ل )ب(
12 = 6
9 = 49 + 2
9 =
فكر :إحسب احتمال وقوع C أو ج . هل C، ب ، ج أحداث متنافية مثنى مثنى ؟ فسر إجابتك ، و
مسترشدا بحل مثال 6 تحقق من صحة النتائج التالية :
نتائج هامة :1- احتمال وقوع أى حدث = مجموع احتماالت االحداث األولية لهذا الحدث.
2- مجموع إحتماالت وقوع جميع األحداث األولية لفضاء العينة = 1
مثال
إذا كان ف = } C، ب، ج، د{ فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل دالة إحتمال لهذه التجربة أوجد :
11 ، ل )ب( = ل )ج( = 8
4 = ) C (إذا كان ل )ل)د أ
3ل )د( إذا كان ل ) C ( = ل ) ب ∪ ج( = 8 ب
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
13
الحلC a ، ب، ج ، د هى جميع األحداث األولية لهذه التجربة أ
نتيجة )2( ` ل )ف( = ل)C( + )ب( + ل )ج( + ل )د( =1
12 = 1
` ل )د( = 1 - 2 1 + ل )د( = 1 8 + 1
8 + 1ويكون : 4
نتيجة )1( 3 = ل )ب( + ل )ج( a ل ) ب∪ ج( = 8 ب
نتيجة )2( ، ل )ف( = ل )C( + ل )ب( + ل )ج( + ل )د( =1
14 = 6
` ل )د( = 1 - 8 3 + ل )د( 8 + 3
8 فيكون : 1 =
حاول أن تحلإذا كان ف = } C ، ب ، ج { فضاء العينة لتجربة عشوائية ، ل دالة إحتمال لهذه التجربة . أوجد :
1ل )C( إذا كان ل )ب( = 2 ل )C( ، ل )ج( = 4 أ
1 ، 2 ل )C( = 3 ل )ب(ل )C( ، ل )ب( إذا كان ل )ج( = 6 ب
خوا�س دالة الحتمال
0 = )z( 1- احتمال وقوع الحدث المستحيل = صفر أى أن ل
المكمل للحدث C بالنسبة إلى ف/
C2- احتمال وقوع الحدث
حدثان متنافيان(/
C ،C الحظ أن ( ) C ( 1 - ل = ) /
C (ل هو :
3- احتمال الفرق بين حدثين من فضاء العينةإذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف
فإن ل ) C - ب ( = ل )C( - ل ) C ∩ ب (
تفكير ناقد : ) C - اكتب مايساويه ل ) ب أ
ب إذا كان C ، ب حدثين متنافيين ، فاكتب ما يساويه كل من
)C - ب (، ل ) ب- C( ل
4 - قاعدة الجمع ألى حدثين من فضاء العينة إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف
فإن ل ) ) C ∪ ب ( = ل )أ( + ل)ب( - ل )C ∩ ب (
C
ف
C
) C- ب ( ، C ∩ ب حدثان متنافيانل )C( = ل )C- ب( + ل )C ∩ ب(
C
ف
ب
C ∩ ب)C - ب(
C ، ب - C حدثان متنافيان )C - ( + ل ) ب C( ل = )ب ∪ C( ل
C
ف
ب
C - ب
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
13
مثال
C ، ب حدثان من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ل دالة احتمال معرفة على ف، حيث :
ل )ب( = 3 ل )C( ، ل )C ∪ ب (= 0٫72 أوجد ل )C( ، ل )ب(
ثانيا:إذا كان C ⊂ ب أوال: إذا كان C ، ب حدثان متنافيان
الحل ` ل )ب( = 3 س بفرض أن ل )C( = س
أوال: C a ، ب حدثان متنافيان ` ل ) C ∪ ب ( = ل )C( + ل )ب( فيكون : 0٫72 = 3 س + س
` س = 0٫18، ل )C( = 0٫18 ، ل )ب( = 0٫54
` C ∪ ب = ب ثانيا: C a ب ل ) C ∪ ب ( = ل )ب( = 3س = 0٫72
` ل )C( = 0٫24 ، ل )ب( = 0٫72
حاول أن تحل C ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ل دالة إحتمال معرفة على ف ، حيث :
)C( 1 أوجد ل1 ، ل ) C ∪ ب( = 3
ل)ب( = 25
C ⊃ ثانيا: إذا كان ب أوال: إذا كان C ، ب حدثان متنافيان
تفكير ناقد:بين كيف يمكن حساب ل )C( إذا كانC ⊂ ف ، ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ،
37 = )
/
C( ل)C( ل
ل دالة إحتمال معرفة على ف إذا كان:
حاول أن تحل
، ف على معرفة احتمال دالة ل ، ج{ ، ب ، C { = ف حيث عشوائية لتجربة عينة فضاء ف كان إذا 10
5 , أوجد ل)ج(2 = )
ل )ب/ل )ب(
، 23= )
/
C( ل)C( ل
وكان
مثال
إحتمال نجاحه فى امتحان الرياضيات 0٫9 إذا كان إحتمال نجاح طالب فى امتحان الفيزياء يساوى 0٫85، و 10
إحتمال نجاحه فى االمتحانين معا 0٫8 أوجد احتمال : و
ب نجاح الطالب فى امتحان الرياضيات فقط. أ نجاح الطالب فى أحد االمتحانين على األقل.
ج عدم نجاح الطالب فى االمتحانين معا.
C
ف
ب
C
ب
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
13
الحلليكن C حدث نجاح الطالب فى امتحان الفيزياء ، ب حدث نجاح الطالب فى الرياضيات
فيكون : ل )C( = 0٫85 ، ل )ب( = 0٫9 ، ل )C ∩ ب ( = 0٫8
أ احتمال نجاح الطالب فى احد االمتحانين على األقل = ل )C ∪ ب (
0٫95 = 0٫8 - 0٫9 + 0٫85 = ` )C ∪ ب(= ل ) C( + ل )ب( - ل ) C ∩ ب(
الرياضيات وعدم امتحان يعنى احتمال نجاحه فى الرياضيات فقط امتحان الطالب فى ب احتمال نجاح
) C - نجاحه فى امتحان الفيزياء أى ل ) ب
0٫1 = 0٫8 - 0٫9 = )C ∩ ( = ل )ب( - ل )ب C -ل ) ب `
ج حدث عدم نجاح الطالب فى االمتحانين معا = )C ∩ ب ( / وهو حدث مكمل للحدث )C ∩ ب (
` ل)C ∩ ب( / =1 - ل )C ∩ ب ( = 1 - 0٫8 = 0٫2
حاول أن تحلللحصول على وظيفة فى إحدى الشركات يتقدم الشخص الختبارين ، أحدهما نظرى واآلخر عملى، إذا كان 11
معا 0٫5 النجاح فى االختبارين العملى 0٫6 واحتمال النظرى 0٫75 واالختبار النجاح فى االختبار احتمال
فإذا تقدم شخص ما للحصول على هذه الوظيفة ألول مرة أوجد احتمال :
ب نجاحه فى أحد االختبارين على األقل أ نجاحه فى االختبار النظرى فقط
تفكير ناقد:صرح مدرب أحد الفرق الرياضية أثناء لقاء صحفى معه بأن إحتمال فوز فريقه فى مباراة الذهاب )0٫7( ، واحتمال
فوز فريقه فى مباراة اإلياب )0٫9( ، وأن إحتمال فوزه فى المبارتين معا )0٫5( هل يتفق ما صرح به مدرب الفريق
مع مفهوم االحتمال ؟ فسر إجابتك.
دالة الحتمال المنتظم
جميع كان إذا وفقط كان إذا منتظم إحتمال دالة تسمى ل الدالة فإن عشوائية، لتجربة عينة فضاء ف كان إذا
)ون( ، ل = ...... = )و3( ل = )و2( ل = )و1( ل ون{ ، وكان ........... ، و3 و1،و2، { = ف كانت أى أن : إذا فإن ل دالة إحتمال منتظم
الحظ أن : 1
ن1- ل )و1( = ل )و2( = ل)و3( = ........... = ل ) ون( =
2- إذا كان C ⊂ ف ، C= } و1، و2، و3، ........... وم{
)C م عدد عناصر العدد( م ن
فإن ل )C( = ل )و1( + ل )و2( + ل)و3( + ........... + ل)وم( =
C عدد النواتج التى تؤدى إلى وقوع الحدث
عدد جميع النواتج الممكنة = )C( أى أن: ل
كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
3لءاصحمل سدرال
13
3- فى أى تجربة عشوائية تعتمد على إختيار عنصر من مجموعة بها عدد محدود من العناصر فإن عملية االختيار تتم بطريقة عشوائية ، وهذا يعنى أن كل عنصر يكون له نفس الفرصة فى اإلختيار أى أن جميع نواتج فضاء
استناج الوسيط ، الربيع األعلى ، الربيع األدنى ، المدى الربيعى لبيانات ممثلة بطريقة الساق واألوراق. 5
التجربة العشواذية: هى كل تجربة يمكن معرفة جميع النواتج الممكنة لها قبل إجرائها ولكننا ال نستطيع أن 6نحدد بصفة مؤكدة أيا من هذه النواتج سيتحقق فعال عند إجرائها.
التجربة لهذه الممكنة النواتج لتجربة عشوائية هو مجموعة كل العينة النواتج(: فضاء العينة )فضاء فضاء 7ويرمز له بالرمز ف
الحدث : هو مجموعة جزئية من فضاء العينة 8
حدث بسيط )أولى(: هو مجموعة جزئية من فضاء العينة تحوى عنصرا واحدا فقط 9
حدث مؤكد : هو الحدث الذى عناصره هى عناصر فضاء العينة ب. 10
z حدث مستحيل: هو الحدث الخالى من أى عنصر ويرمز له بالرمز 11
العمليات على االحداث: التقاطع - االتحاد - االكمال - الفرق 12
االحداث المتنافية 13½ z = ب ∩ C ب متنافيان إذا كان ،C يقال أن الحدثين
يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا كانت وفقط إذا كانت متنافية مثنى مثنى ½
مسلمات االحتمال 13½ 1 H )C(ل H 0 : يرمز له بالرمز ل حيث C ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث ⊃ C لكل حدث
ل)ف( = 1 ½
ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( ½ إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف وكان C، ب حدثين متنافيين فإن:
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
1
األحداث بالصورة اللفظية وتمثيلها بشكل ڤن واحتماالتها )C ⊂ ب، ب ⊂ ف(: 14
احتمال وقوع الحدثتمثيل الحدث بشكل ڤنالحدث فى صورة لفظية
C عدم وقوع الحدث
C
ف
C)C(1 - ل = )
/
C(ل
وقوع C أو ب )وقوع أحدهما
على األقل(C
ف
بC ∪ ب
ل)C ∪ ب( = ل)C( + ل)ب( - ل) C ∩ ب(
وقوع C و ب )وقوعهما معا(C
ف
بC ∩ ب
ل)C ∩ ب( = ل)C( + ل)ب( - ل)C ∪ ب(
وقوع الحدث C فقط
C)وقوع C وعدم وقوع ب(
ف
بC -ب = C∩ ب/ = C ( - C ∩ ب (
ل)C - ب( = ل)C( - ل) C ∩ ب( = ل) C ∩ ب/(
وقوع أحدهما فقط
C)وقوع C فقط أو وقوع ب فقط(
ف
ب)C - ب( ∪ )ب - C (
))C - ب( ∪ )ب - C ((ل
) C - ب( + ل) ب - C (ل =
= ل) C ∪ ب( - ل) C ∩ ب(
عدم وقوع أى من الحدثين
C)عدم وقوع C وعدم وقوع ب(
ف
ب ∩ ب/
/
C = /)ب ∪ C(
( = 1 - ل )C ∪ ب( ∩ ب//
C(ل = /
ل) C ∪ ب(
عدم وقوع الحدثين معا
)عدم وقوع C أو عدم وقوع ب(
/ ∪ ب/
C = / )ب ∩ C(C
ف
ب ∪ ب/( = 1 - ل)C ∩ ب(
/
C(ل = / )ب ∩ C(ل
عدم وقوع C فقط
)C وقوع ب أو عدم وقوع(C
ف
ب / C ∪ ب( / = ب - C (
)/
C ∪ ب( = ل )ب - C(1 - ل = /)ب - C (ل
)/
C ∪ ب/(/ = ل )ب ∩ C( ل =
1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
���ت� لا�ا��
تمارين عامة )الوحدة الرابعة(
أوجد ثم للبيانات المناسب المفتاح باختيار الساق واألوراق اآلتية بمخطط البيانات مثل كل مجموعة من 1
بين كيف يمكن تمثيل البيانات التالية بمخطط الساق واألوراق ثم استنتج قيمة الوسيط - المدى الربيعى: 3
900750770850860780810920
680820780950
توضح البيانات اآلتية المبيعات اليومية ألحد المطاعم الشهيرة فى فرعيها C، ب مقدره بآالف الجنيهات:
C 213220281418251417241622 فرع
362318342428272111161413فرع ب
مثل هذه البيانات بمخطط الساق واألوراق ظهرا لظهر. أ
استنتج الوسيط لكل من الفرعين وقارن بينهما. ب
باستخدام المدى الربيعى بين أى البيانات أكثر تجانسا. ج
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
1
سحبت بطاقتان عشوائيا من كيس به أربع بطاقات كتبت عليها االحرف C، ب، جـ، E اكتب فضاء العينة لهذه
التجربة فى كل من الحاالت اآلتية:
سحبت البطاقتان واحدة بعد اآلخرى مع االحالل. أ
سحبت البطاقاتان واحدة بعد األخرى دون إحالل. ب
مطاعم:يقدم أحد المطاعم وجبات كاملة مكونة من طبق رئيس - مقبالت - عصائر، يمكن إختيارها من نوعين C، ب
للطبق الرئيس، وثالثة أنواع من المقبالت جـ، E، هـ ونوعين من العصائر س ، ص، إرسم الشجرة البيانية لتتابع
عملية االختيار واكتب عدد الوجبات الكاملة التى يقدمها هذا المطعم.
هندسة:ضلعان فيه واآلخر متعامدان قطراه األول عشوائية، بصورة رباعيين شكلين رسم طالبه من معلم طلب
متوازيان على األقل. مثل فضاء العينة بالشجرة البيانية والصورة الهندسية، ثم اذكر عدد نواتج فضاء العينة.
تفكير ناقد:صندوق يحتوى 5 كرات متماثلة ومرقمة من 1 إلى 5 سحبت منه عشوائيا ثالث كرات الواحدة تلو األخرى
بدون إحالل. ما عدد عناصر فضاء العينة؟
إذا كان فى الصندوق ن كره متماثلة فما عدد عناصر فضاء العينة عندئذ؟ و
هل يمكن استخدام التباديل فى حساب عدد عناصر فضاء العينة؟ فسر إجابتك.
القرص الدوار:الموضح الدوار القرص الالعب فيدير الدوار، القرص لعبة ويوسف أحمد يلعب
بالشكل مرتين ويالحظ العدد الذى يتوقف عليه المؤشر كل مرة فإذا كان المجموع
إذا كان المجموع زوجيا يكسب يوسف. احسب إحتمال فوز فرديا يكسب أحمد و
أحمد. هل اللعبة عادلة؟ فسر إجابتك.
إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمال معرفة على ف. 10
أكمل لتكون العبارة صحيحة فيما يأتى:إذا كان C، ب حدثين متنافيين: أ
ب - C½ ...................................................... = C - ب = ............................................ ½C ∩ ب = ............................................. ½
إذا كان ب ⊂ C فإن: ب
ب - C½ ..................................................... = C ∪ ب = ........................................ ½)C ∩ ب( = ................................. ½
إذا كان ل)C( = 0٫3 ، ل)ب( = 0٫5 ، ل )C ∩ ب( = 0٫1 فإن: ج
وكان ف، على معرفة احتمال دالة ل عشوائية، لتجربة ف العينة فضاء من حدثين ب ،C كان إذا 11
1، احتمال وقوع ب فقط = 0٫2. احسب إحتمال عدم وقوع ب.2 = )C(ب ، ل ⊃ C
وكان ف، على معرفة إحتمال دالة ل عشوائية، لتجربة ف العينة فضاء من حدثين ب ،C كان إذا 12
13 1، ، ل)ب( = س، ل)C ∪ ب(/ =
2 = )C(ل
أوجد قيمة س إذا كان: أ
C ⊂ ب. ½C، ب حدثان متنافيان. ½
1 فأوجد ل)C ∩ ب(.إذا كانت س = 4 ب
إذا كان C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية، اعط تعبيرا رمزيا لكل من االحداث اآلتية، ومثلها 13
بشكل ڤن:
وقوع أى الحدثين C أو ب. ب .C عدم وقوع الحدث أ
وقوع C أو عدم وقوع ب. د وقوع الحدث ب فقط. ج
وقوع أحدهما فقط. و عدم وقوع الحدثين معا. ه
فى تجربة القاء قطعة نقود منتظمة ثالث مرات متتالية ومالحظة تتابع الصور والكتابات مثل فضاء العينة لهذه 1
التجربة بالشجرة البيانية، ثم احسب إحتمال كل من األحداث التالية:
الحدث ب »ظهور صورتين على األكثر«. ب الحدث C »ظهور صورتين فقط«. أ
الحدث د »تشابه ناتج الرميات الثالث«. د الحدث ج »ظهور كتابة واحدة على االكثر«. ج
فى تجربة القاء حجر نرد مرتين متتاليتين ومالحظة العدد الذى يظهر على الوجه العلوى. 1
ارسم شكال هندسيا يمثل فضاء العينة ف موضحا عليه كل من األحداث اآلتية: أ
الحدث C »الحصول على عددين مجموعهم فردى وأكبر من 6«. ½
½ .»5 H الحدث ب »الحصول على عددين أحدهما 2 ومجموعها
الحدث ج »الحصول على عددين متساويين«. ½
أى االحداث C، ب، ج متنافية تبادليا. ب
احسب االحتماالت اآلتية: ج
، ل)ب - ج(. ½/
ل)C ∪ ب( ، ل)ب ∩ ج( ، ل)C ∪ ج(
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
1
خمسة بطاقات متماثلة مرقمة من 2 إلى 6 سحبت بطاقتين الواحدة بعد اآلخرى بدون إحالل ومالحظة الرقم 1
المسجل عليها لتكوين جميع األعداد الممكنة ذات الرقمين. أوجد احتمال:
أن يكون رقم العشرات عددا فرديا. ب أن يكون رقم االحاد عددا أوليا. أ
أن يكون رقم االحاد عددا أوليا أو رقم العشرات عدد فرديا. ج
صحف:فى عينة من 50 شخصا وجد أن 27 شخصا يقرأون الصحيفة C، 24 يقرأون الصحيفة ب، 9 أشخاص يقرأون 1
الصحيفتين معا. إختير شخصا واحدا من هذه العينة عشوائيا. أوجد احتمال أن يقرأ الشخص المختار
إحدى الصحيفتين على األقل. ب الصحيفة C فقط. أ
سياحة:والضوء الصوت مشروع عروض أحد فى 1
بالهرم حضر 200 شخص من جنسيات مختلفة
إختير فإذا ، اآلتى بالجدول موضح بيانهم
أحد الحاضرين عشوائيا عن طريق بطاقات
الدخول الخاصة بهم لمنحه جائزة تذكارية.
أوجد أحتمال أن يكون الشخص المختار
سيدة امريكية. ب رجل أوربى. أ
ذو جنسية عربية أو أوربية. د سيدة. ج
المجموعامريكىاوربىعربى32471594رجل
236320106سيدة
5511035200المجموع
1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
امرين عم�ة )لا�ا�� لارلبعة(
اختبار تراكمى
�إختر �الجابة �ل�سحيحة من بين �الإجابات �لمعطاه:فى مخطط الساق واألوراق المقابل الوسيط يساوى: 1
65 ب 4 أ
74 د 64 ج
إذا كان C ⊂ ف، ب ⊂ ف حيث ف فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان C ⊂ ب فإن: ل)C ∪ ب( يساوى 2
)C - ل)ب د ل)ب( ج )C(ل ب ل)C( + ل)ب( أ
34 = )/C(ل
)C(لإذا كان C ⊂ ف حيث ف فضاء عينة لتجربة عشوائية، ل دالة إحتمالية معرفة على ف، وكان 3
فإن ل )C( يساوى 3
10 د 47 ج 37 ب 43 أ
القى حجر نرد منتظم مرقم من 1 إلى 6 مرة واحدة ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى له فإذا كان
الحدث C هو ظهور عدد فردى، الحدث ب هو ظهور عدد أولى، فإن ل)C ∩ ب( يساوى 23 د 12 ج 13 ب 16 أ
��سئلة ذ�ت �إجابات ق�سيرة:يمثل مخطط الساق واألوراق المقابل درجات مجموعة من الطالب فى أحد
االختبارات أوجد:
عدد طالب هذه المجموعة والدرجة الوسيطية. أ
الربيع األدنى والربيع األعلى، المدى الربيعى. ب
فوج سياحى مكون من 19 سائحا من روسيا، 17 سائحا من إيطاليا،
14 سائحا من فرنسا، إختير أحدهم عشوائيا، احسب احتمال أن يكون السائح:
ليس من فرنسا. ب من روسيا أو من فرنسا. أ
من هولندا. د من أوربا. ج
إحتمال حضور مدير عام فى احتفال المدرسة بتكريم أوائل طالبها، إذا كان احتمال حضور المحافظ 0٫8، و
إحتمال حضورهما معا 0٫75 أوجد: التعليم 0٫9 و
إحتمال حضور أحدهما على األقل. ب إحتمال حضور المحافظ فقط. أ
احتمال عدم حضورهما معا. ج
الساقاألوراق3 152 4 4 6 860 1 4753 = 5|3
الساقاألوراق1 2 227 72035 8 931 146 7 8 94
8|3 = 38 درجة
تطبيقات الرياضيات - علمى
لءاتحمل ولءاصحمل
1 0
��سئلة ذ�ت �إجابات طويلة:يبين الجدول التالى أوزان العبى الفريقين C، ب لكرة القدم فى أحد النوادى بالكيلو جرام.
بمخطط البيانات هذه أ مثل
الساق واألوراق ظهرا لظهر.
لكال الوسيط الوزن ب استنتج
الفريقين وقارن بينهما.
بين الربيعى المدى ج باستخدام
أى الفريقيين اكثر تجانسا.
القى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوى فى كل مرة، مثل فضاء العينة
بطريقة هندسية ثم أوجد احتمال:
الحدث C »ظهور العدد 2 على الوجه العلوى مرة واحدة على األقل«. أ
الحدث ب »مجموع العددين الظاهرين على الوجه العلوى فى الرميتين هو 6«. ب
وقوع C أو ب. ج
C، ب حدثين من فضاء العينة ف لتجربة عشوائية ف، ل دالة إحتمال معرفة على ف. 10
فإذا كان ل)C( = 0٫6، ل)ب/( = 0٫3 ، ل)C ∪ ب( = 0٫9، أوجد إحتمال كل من االحداث اآلتية:
وقوع C فقط أو ب فقط ج ووقع C وعدم وقوع ب ب وقوع C و ب أ
12345678910إذا لم تستطع حل السؤال رقم
4-43-43-42-43-43-43-2ارجع إلى1-4
2-43-43-4
C الفريق736965798886777377906973667491
الفريق ب867384876972666774817864716373
1 1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
لخص مر ترلكحى
تطبيقات الرياضيات االختبار األول
اأجب عن جميع الأ�صئلة التالية:
السؤال األول: أكمل مايأتى:....................................................................................... = I فإن مقدار محصلتها c60 قوتان مقدارها 8 ، 12 نيوتن وقياس الزاوية بينهما 1
ثالث قوى متساوية المقدار متالقية فى نقطة ومتزنة فإن قياس الزاوية بين أى قوتين منها = ................................................ 2
يقال أن الحدثين C ، ب متنافيان إذا كان .......................................................................................................................................................................................................
السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-تظهر قوي التجاذب المادى بين األجرام السماوية بوضوح وذلك: 1
ب، جـ معا د ج لقرب المسافة بينهم لكبر كتل هذه األجسام ب لبعد المسافة بينهما أ
إذا سقط جسم من قمة برج فوصل لسطح األرض بعد 4 ثون فإن ارتفاع قمة البرج = .......................... متر. 2
43٫2 د 78٫4 ج 39٫2 ب 89 أ المساحة الجانبية لمخروط قائم طول نصف قطر قاعدته 6سم، وارتفاعه 8سم = .......................... سم2 3
r48 د r10 ج r28 ب r60 أ
النقطة التى تقع على الدائرة )س - 2(2 + ص2 = 13
)3 ،4( د )5 ،2( ج )2- ،3( ب )3 ،2( أ
السؤال الثالث:قوتان مقدارهما 32، 60 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية، إذا كان مقدار محصلتهما 52 نيوتن أوجد قياس الزاوية 1
بين هاتين القوتين.
6٫25متر مسافة قطع أن وبعد حركته اتجاه فى 4سم/ث2 منتظمة بعجلة مستقيم خط فى جسيم يتحرك 2
أصبحت سرعته 100سم/ث فما هى سرعته االبتدائية.
السؤال الرابع:قضيب منتظم طوله 100سم ووزنه 150 ث جم علق من طرفيه تعليقا حرا بواسطة خيطين ثبت طرفاهما فى 1
نقطة واحدة فإذا كان طوال الخطين 80سم، 60سم فأوجد مقدار الشد فى كل منها.
3سم. أوجد مساحته الجانبية. هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 20سم وارتفاعه 10 2
السؤال الخامس:C هـ ، E C C جـ ، C ب ، 3 نيوتن فى 4 ، 5 ، 3 C ب جـ E هـ و سداسى منتظم أثرت قوى مقاديرها 8 ، 6 1
السؤال األول: أكمل مايأتى:........................... = X 8 نيوتن متالقيتان فى نقطة واحدة ومحصلتهما تنصف الزاوية بينهما فإن ،X2 قوتان مقدارهما 1
بالسرعتين 125كم/س، 75كم/س اتجاهين متضادين C، ب على طريق مستقيم واحد وفى تتحرك سيارتان 2
................................................................................................................................................... = C على الترتيب فإن سرعة السيارة ب بالنسبة إلى السيارة
إذا اتزن جسم تحت تأثير ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ................................................................... 3
الحدث الخالى من أى عنصر يسمى بالحدث ......................................................................................................................................................................................
السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-N فإن I = ............................... نيوتن + M = 2X ، N 3 + M 2 = 1X إذا كان 1
7 د 5 ج 2 ب 13 أ
مقدار قوة الجاذبية بين كتلتين ك1، ك2 تفصل بين مركزيهما مسافة ف هو : 2 ك2 ف2
ك1X = ث * د ك1 ك2
ف2ج X = ث *
ك1 ف2
ك2X = ث * ب
ف2
ك1 ك2X = ث * أ
مركز الدائرة س2 + ص2 - 6س + 8ص = صفر هو ......................................................................................... 3
)3 ،4-( د )4 ،3-( ج )3- ،4( ب )4- ،3( أ
المساحة الجانبية لهرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 12سم وارتفاعه 8سم يساوى ............................ سم2.
240 د 144 ج 96 ب 360 أ
السؤال الثالث:الجسم اتزان قياسها 45 وحفظ بزاوية يميل على األفقى أملس وضع جسم وزنه 30 ث كجم على مستوى 1
بواسطة قوة أفقية. أوجد مقدار القوة ورد فعل المستوى.
2 يتحرك جسيم فى خط مستقيم بعجلة منتظمة فقطع فى الثوانى الثالث األولى من حركته 72سم وفى الثانيتين
السؤال األول: أكمل مايأتى:........................................ = I2 وقياس الزاوية بينهما ى فإن مقدار محصلتهماX ،1X قوتان متالقيتان فى نقطة مقدارهما 1
2X ، N 3 - M 2 = 1X 3X ثالث قوى متزنة ومتالقية فى نقطة واحدة وكانت ، 2X ، 1X إذا كانت 2
....................................................................................................................................................... = 3X N فإن 5 + M 3 =
كل األجسام تتجاذب مع األجسام األخرى بواسطة قوة تتناسب طرديا مع ............................. وعكسيا مع ............................. 3
المساحة الجانبية للهرم المنتظم = .......................................................................................................
السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-مقدار محصلة قوتان متعامدتان مقدارهما 6، 8 نيوتن يساوى: ........................................... 1
10 د 14 ج 8 ب 6 أ
تحرك جسيم بسرعة 24م/ث وبعجلة تقصيرية 6م/ث2 فإن الجسم يتوقف لحظيا بعد زمن = ................................ ثانية. 2
3ث د 4ث ج 5ث ب 6ث أ حجم مخروط دائرى قائم طول نصف قطر قاعدته 8سم، وارتفاعه 12سم = ........................................ سم3 3
r96 د r256 ج r192 ب r225 أ
الوسيط للقيم )3، 7، 5، 9، 1( هو ........................................
5 د 1 ج 7 ب 3 أ
السؤال الثالث:3 نيوتن تؤثران فى نقطة مادية ومحصلتهما عمودية على القوة األولى. أوجد الزاوية X ،X قوتان مقدارهما 1
.X بين القوتين وأثبت أن مقدار محصلتهما يساوى
سقط حجر صغير من ارتفاع 122٫5 مترا ، بعد كم ثانية يصل الحجر إلى األرض. 2
السؤال الرابع:C ب أفقيا ، C ب = 18سم فإذا انزلقت خيط أملس طوله 30سم، ربط من طرفيه في نقطتين C، ب بحيث كان 1
حلقة ملساء وزنها 150 ث جم على الخيط. أثبت أن فى وضع االتزان يكون طوال فرعى الخيط متساويا ثم
أوجد الشد فى كل منهما.
يتحرك جسيم فى خط مستقيم بعجلة منتظمه 5سم/ث2 فإذا بدأ الجسيم حركته بسرعة 40سم/ث وفى نفس 2
اتجاه العجلة فما هى المسافة التى يكون قد قطعها عندما تبلغ سرعته 60م/د
السؤال الخامس:أوجد الصورة العامة لمعادلة دائرة مركزها )2، -4( وطول نصف قطرها 5سم. 1
تطبيقات الرياضيات - علمى 1
لخص مرلت عم�ة
C ، ب حدثين من فضاء عينه لتجربه عشوائية ، ل دالة احتمال معرفة على ف حيث: 2
جـ واصبح متجه سرعته ع0 ومتجه عجلة ثابت إذا تحرك جسيم فى خط مستقيم بمتجه سرعه ابتدائية 2
جـ = ................................................................................................................................................................................................................... ع بعد فترة زمنية ن فإن
قذف جسم رأسيا ألعلى من نقطة على سطح األرض فعاد إليها بعد 6 ثوانى فإن أقصى ارتفاع وصل إليه = ......... 3
إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، C ⊂ ب فإن ل)C ∪ ب( = ...................................................................................
السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-2X يصنعان معها ، 1X فى الشكل المقابل: قوة مقدارها 10 نيوتن حللت إلى مركبتين 1
السؤال األول: أكمل مايأتى:يتحدد تأثير القوة على الجسم بالعوامل اآلتية : 1 ................................................. 2 ................................................. 3 ................................................. 1
بدأ جسم حركته بسرعة 10م/ث فأصبحت 18م/ث بعد 4ثوانى فى نفس االتجاه فإن عجلة = ........................................ 2
تتوقف قوة التجاذب بين جسمين على ................................................. , ................................................. 3
.............................................................................................................. = )C(ب حدثان متنافيان فإن ل ، C ،34، ل)ب( = 8
إذا كان ل)C ∪ ب( = 5
السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-قوتان مقدارهما 2X ،1X ث جم فإن المحصلة تكون فى قيمتها العظمى إذا كان قياس الزاوية بينهما 1
c180 د c120 ج c60 ب cصفر أ
تناقصت سرعة سيارة ة من 90كم/س إلى 36كم/س فى خالل 4 ثوان فإن المسافة خالل هذه الفترة تساوى 2
140 متر د 70 متر ج 25 متر ب 10 متر أ
الوسيط للقيم: 25، 16، 28، 3، 13، 56، هو 3
2612 د 16 ج 30 ب 28 أ
حجم المخروط القائم يساوى ................................................. حيث H طول نصف قطر قاعدته . ع ارتفاعه
2Hr 1ع3 د 2Hr 1ع
4 ج 2Hr 3ع 4 ب 2Hr 4ع
3 أ
السؤال الثالث:كرة منتظمة ملساء وزنها 10 ث جم وطول نصف قطرها 30سم، علقت من نقطة على سطحها بأحد طرفى 1
خيط خفيف طوله 20سم ومثبت طرفه اآلخر فى نقطة من حائط رأسى أملس. أوجد فى وضع التوازن كال من
الشد فى الخيط ورد فعل الحائط.
يتحرك جسيم بعجلة منتظمة فى اتجاه ثابت فإذا قطع مسافة 26 سم خالل الثانية الرابعة من بدء حركته وقطع 2
56سم خالل الثانية التاسعة من بدء حركته احسب كال من.
السرعة االبتدائية للجسم ب عجلة الجسم أ
تطبيقات الرياضيات - علمى 1
لخص مرلت عم�ة
السؤال الرابع:إذا علمت أن كتلة األرض 5٫97 * 10 24 كجم وطول نصف قطرها 6٫36 * 10 6 متر فأوجد شدة مجال الجاذبية 1
األرضية إذا علمت أن ثابت الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 -11 نيوتن.م2/كجم2
ألقيت قطعة نقود ثالث مرات متتالية ولوحظ تتابع الصور والكتابات، احسب احتماالت األحداث اآلتية: 2
حدث ظهور صورتين على األكثر. ب حدث ظهور كتابة واحدة فقط أ
السؤال الخامس: ، M S يعطى كدالة فى الزمن بداللة متجهى الوحدة األساسيين يتحرك جسيم بحيث كان متجه موضعه 1
. أوجد المسافة المقطوعة حتى اللحظة ن = 3 N M + )8ن + 1( S = )6ن - 3( بالعالقة N
إذا كان C ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، وكان C ⊂ ب فإن ل )C ∪ ب( = ....................................................... 3
المساحة الكلية للهرم المنتظم = ..........................................................................................................................
السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-قوتان مقدارهما 8 ، 13 نيوتن، القيمة العظمى والقيمة الصغرى لمحصلتهما على الترتيب هما .................... ، .................... 1
5 ، 21 د 8 ، 21 ج 5 ، 13 ب 8 ، 13 أ
إذا بدأ جسيم حركته بسرعة 30 سم/ث وبعجلة منتظمة 5 سم/ث2 فى اتجاه سرعته االبتدائية فإن المسافة 2
المقطوعة بعد 10 ثوانى من بدأ الحركة = ..................... سم
............................................................................ = )C (3 فإن ل5= )
/C(ل )C(ل
إذا كان C حدث من فضاء عينة ف لتجربة عشوائية وكان
تطبيقات الرياضيات - علمى 1
لخص مرلت عم�ة
السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين القوسين:-r فإن مقدار محصلتهما = ...................................................... نيوتن
2قوتان مقدارهما 3، 4 نيوتن ، قياس الزاوية بينهما = 1
12 د 7 ج 5 ب 1 أ
بدأ جسم حركته بسرعة 126كم/س وتوقف بعد أن قطع مسافة 122٫5 متر فإن عجلة الحركة = ..................... م/ث2 2
10 د 7 ج 5- ب 3٫5- أ
1 4 والربيع األعلى يساوى 8 فإن قيمة الربيع األدنى = ....................إذا كان المدى الربيعى لمجموعة من القيم هو2 3
312 د 12 1
2 ج 8 ب 4 12 أ
حجم مخروط دائرى قائم طول قطر قاعدته 12سم وارتفاعه 10سم يساوى ...................................................... سم3
r20 د r 22 ج r 40 ب r120 أ
السؤال الثالث:2110 نيوتن وأن كتلة كل من األرض * المتبادلة بين الشمس واألرض هى 35٫67 إذا علمت أن قوة الجذب 1
إذا علم أن ثابت المسافة بين األرض والشمس 2910 كجم وأوجد * 2410 كجم ، 19 * والشمس هما 5٫97 الجذب العام يساوى 6٫67 * 10 -11 نيوتن . م2/كجم2
هرم رباعى منتظم طول ضلع قاعدته 18سم فإذا كان حجمه 1296 سم2 فأوجد ارتفاعه الجانبى ومساحته الجانبية . 2
السؤال الرابع: E C C جـ ، C ب ، 3 ، 6 نيوتن فى ،4 ، 3 C ب جـ E هـ و سداسى منتظم أثرت القوى التى مقاديرها 5 ، 2 1
C و على الترتيب أوجد مقدار واتجاه محصلة المجموعة C هـ ، ،
قطعت سيارة مسافة 45كم على طريق مستقيم بسرعة مقدارها 60سم/س ثم عادت فقطعت مسافة 74كم فى 2
االتجاه المعاكس بسرعة 50كم/س أوجد متجه السرعة المتوسطة خالل الرحلة كلها.
السؤال الخامس:حلل قوة مقدارها 100 نيوتن فى اتجاهين يميل أولهما على القوة بزاوية قياسها c60 ، واآلخر يميل بزاوية 1
قياسها c30 من الناحية األخرى.
الوسيط واستنتج واألوراق الساق بمخطط المقابلة البيانات مثل 2
المدى احسب ثم )3S( األعلى والربيع )1S( األدنى والربيع
الربيعى.
4542474947524354565141475253585655544552
1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
لخص مرلت عم�ة
تطبيقات الرياضيات االختبار الثامن
اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:
السؤال األول: أكمل مايأتى:ق2 قوتان متالقيتان فى نقطة ، وقياس الزاوية بينهما يc فإن المحصلة تميل على القوة األولى ق1 ، إذا كانت 1
ق1 بزاوية قياسها هـc حيث طا هـ = ..............................................................................................................................................................................................
قوة مقدارها 6 نيوتن تعمل فى اتجاه الشمال الشرقى فإن مقدار مركبتها فى اتجاهى الشرق والشمال هما ....................... 2
36 كم/س = ..................... م/ث 3
2 فإن 3 =
)C( لل )ب( إذا كان ل )C ∪ ب ( = 0٫6 ، حيثC ، ب حدثين متنافيين فى فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان
ل)C( = .....................، ل )ب( = .....................
السؤال الثانى: إختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-مقدار كل فإن r
2بينهما الزاوية نيوتن وقياس 8 يساوى المقدار ومقدار محصلتهما فى متساويتان قوتان 1
منهما = .......................................... نيوتن.
8 د 2 4 ج 4 ب 2 2 أ
1 الربيع األعلى فإن قيمة كل منهما على الترتيب إذا كان المدى الربيعى يساوى 15 وكان الربيع األدنى = 2 2
40 ، 20 د 30 ،15 ج 20 ، 10 ب 10 ،5 أ
قذف جسم رأسيا ألعلى بسرعة 42 كم/س فإن أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم يساوى . 3
90 كم د 84 كم ج 98 كم ب 65 كم أ
إذا كان C , ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان C ⊂ ب فإن:
)/
C( 1 - ل = )ب ∪ C( ل ب ل )C ∪ب ( = ل )ب( أ
ل )C ∩ ب( = صفر د ل )C ∩ ب( = ل )ب( ج
السؤال الثالث:كرة معدنية وزنها 400 ث جم يؤثر فى مركزها موضوعه بين مستويين أملسين أحدهما رأسى واآلخر يميل 1
على الرأس بزاوية قياسها c60 أوجد رد فعل كل من المستويين
أوجد الصورة العامة لمعادلة الدائرة التى مركزها )-2 ، 3( وطول قطرها 8 وحدات طولية. 2
السؤال الرابع:على ق C ب قضيب منتظم وزنه 20 ث كجم يتصل طرفه C بمفصل مثبت فى حائط رأسى أثرت قوة أفقية 1
، ورد فعل المفصل. ق القضيب عند ب فاتزن القضيب وهو يميل على الرأسى بزاوية قياسها 30 أوجد مقدار
توضح البيانات التالية النسب المئوية لعدد من الطالب فى اختبار الرياضيات: 2
السؤال الخامس:بدأ جسم حركته فى اتجاه ثابت بسرعة 15سم/ث وبعجلة منتظمة 2٫5 سم/ث2 فى اتجاه السرعة االبتدائية 1
احسب المسافة التى قطعها الجسم خالل الثانية الرابعة.
سقطت كرة من ارتفاع 90م عن سطح األرض وعند وصولها لألرض ارتدت ثانية إلى أعلى بسرعة تساوى نصف 2
سرعة وصولها إلى األرض . أوجد أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة .
تطبيقات الرياضيات االختبار التاسع
اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:
السؤال األول: أكمل مايأتى:إحداهما ................ قوتان متساويتان فى المقدار ومحصلتهما تساوى أى منهما فإن قياس الزاوية بين محصلتهما و 1
إذا تحرك جسم بسرعة ابتدائية 10سم/ث وبعجلة منتظمة 4سم/ث2 فى اتجاه سرعته، فتصبح سرعته 25سم/ث 2
بعد زمن قدره .................................................................................................... ث
مقدار قوة الجذب بين جسمين كتلتاهما ك1، ك2 والمسافة بينهما ف يساوى ................................................................................. 3
........................................................................................... = )C( ل + )/
C(حدث فى فضاء عينة ف لتجربة عشوائية فإن ل C إذا كان
السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-I زاويتين قياسيهما هـ1، هـ2 من جهتيها على I يمكن تحليلها إلى قوتين ق1 ، ق2 وتصنعان مع القوة 1
الترتيب فإن ق1 = ....................................................................................................
I حا )هـ1 + هـ2( حا هـ2 د I حا هـ2
حا )هـ1 + هـ2(ج I حا هـ2
حا )هـ1 - هـ2( ب I حا هـ1 حا )هـ1 +هـ2(
أ
1 ، ل )C( = 1 - ل )ب( فإن:إذا كان C، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية وكان C ∪ب = ف ، ل )ب( =2 2
C( K( + K )ب( = 1 د C( K( > K )ب( ج C( K( < K )ب( ب C( K( = K )ب( أ
قذف جسم رأسيا ألعلى بسرعة 98م/ث فإن زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع = ................................................................................. 3
20 ث د 3 ث ج 10 ث ب 15 ث أ
مخروط دائرى قائم طول نصف قطر قاعدته 7سم وطول راسمه 14سم فإن حجمه .................................................................
343 سم3 د 3 سم3 49 ج r 343سم3 ب r 3سم3 49 أ
السؤال الثالث:كرة منتظمة ترتكز على قضيبين متوازيين يقعان فى مستوى أفقى واحد ، البعد بينهما يساوى طول نصف قطر 1
الكرة أوجد الضغط على كل من القضيبين إذا كان وزن الكرة 10 نيوتن.
C) 7، 3( ، ب )12 ، 10( على الترتيب أوجد قيمة إذا كان الجسيم عند لحظتين زمنيتين 2، 5 عند الموضعين 2
السرعة المتوسطة للجسيم خالل هذه الفترة الزمنية ثم أوجد معيار واتجاه هذه السرعة المتوسطة.
1 1كتاب الطالب - الصف الثانى الثانوى
لخص مرلت عم�ة
السؤال الرابع:القوتين بين الزاوية قياس فإذا كان مادية نقطة فى تؤثر نيوتن 7 4 ،10 ،5 مقاديرها ثالث قوى مستوية 1
األولى والثانية يساوى c60 فأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى لمحصلة القوى الثالثة.
سقطت كرة من المطاط من ارتفاع 15 مترا عن سطح األرض فاصطدمت باألرض وارتدت رأسيا ألعلى مسافة 2
6م . احسب سرعة الكرة قبل وبعد التصادم باألرض مباشرة.
السؤال الخامس:أوجد الصورة العامة لمعادلة الدائرة التى مركزها م)-2، 5( وتمر بالنقطة )3، 2( . 1
، 0٫6 = )/
C( ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ل دالة احتمال لهذه التجربة حيث ل ، C إذا كان 2
ل )ب( = 0٫25 ، ل )C ∩ ب( = 0٫2 احسب احتمال
عدم وقوع C وعدم وقوع ب ج وقوع C أو ب ب C وقوع أ
تطبيقات الرياضيات االختبار العاشر
اأجب عن جميع الأ�صئلة الآتية:
السؤال األول: أكمل مايأتى:3 ق نيوتن فإن قياس الزاوية بينهما = ................................................ قوتان مقدارهما ق ، 4ق نيوتن ، مقدار محصلتهما 4 1
إذا اتزنت ثالث قوى متالقية فى نقطة فإن مقدار كل قوة يتناسب مع ............................................................................................................... 2
................................................................................................................... * )C( ل = ) C(K حدث من فضاء عينة لتجربة عشوائية فإن C إذا كان
السؤال الثانى: اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:-إذا كان قM 5 = 1 ، قN 5 - M 7 = 2 فإن || I || =................................................................. وحدة قوة 1
5 - 12 د 13 ج 49 ب 74 + 5 أ
سقط جسم من ارتفاع 19٫6 متر على أرض رملية فغاص فيها 14 سم حتى سكن فإن عجلة حركة الجسم داخل 2