القســمدبــى الطالبب ا كتاول الدراسى افصل اللثانوىنى الثا الصف الثانوىنى الثا الصف العامةت ااضيا الريدبى القسم اول الدراســى افــصـل اللطــالــبب ا كــتــا هو أفضل تنافس.فس مع الذاتلتنا إن ا كفاه. عليه من توكل أغناه وله من وثق بال ا. ا أبد يكون حر، فلن خوف من يعش ا.ً ا وعاتبهً امدح صديقك علنتحدث.تك قبل أن ت كل اخيققرير نفسها ولقادرة ع هى ا ب وحدها الشعو مها. أحلعامةت اـاضيــا الريدبى القسم اول الدراسى ا فصللطالبب ا كتالعامة ا
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
�أ/ جمدى عبد الفتاح ال�شفتى �أ/ �شريافيم اإليا�س اإ�شكندر
�أ/ اأ�شامة جابر عبد احلافظ
جميع الحقوق محفوظة ال يجور نشر أى جزء من هذا الكتاب أو تصويره أو تخزينه أو تسجيله بأى وسيلة دون موافقة خطية من الناشر.
شركة سقارة للنشر�ش. م. م
بسم اهلل الرحمن الرحيميسعدنا ونحن نقدم هذا الكتاب أن نوضح الفلسفة التى تم فى ضوئها بناء المادة التعليمية ونوجزها فيمايلى:
التأكيد عىل أن الغاية األساسية من هذا الكتاب هى مساعدة املتعلم عىل حل املشكالت واتخاذ القرارات ىف حياته 1اليومية, والتى تساعده عىل املشاركة ىف املجتمع.
التأكيد عىل مبدأ استمرارية التعلم مدى الحياة من خالل العمل عىل أن يكتسب الطالب منهجية التفكري العلمى، وأن 2يمارسوا التعلم املمتزج باملتعة والتشويق، وذلك باالعتماد عىل تنمية مهارات حل املشكالت وتنمية مهارات االستنتاج
آراء اآلخرين، واملوضوعية ىف إصدار األحكام، باإلضافة إىل التعريف ببعض األنشطة واإلنجازات الوطنية.
تقديم رؤى شاملة متماسكة للعالقة بني العلم والتكنولوجيا واملجتمع(STS) تعكس دور التقدم العلمى ىف تنمية 3ف الواعى الفعال حيال استخدام األدوات التكنولوجية. املجتمع املحىل، باإلضافة إىل الرتكيز عىل ممارسة الطالب الترص
تنمية اتجاهات إيجابية تجاه الرياضيات ودراستها وتقدير علمائها. 4تزويد الطالب بثقافة شاملة لحسن استخدام املوارد البيئية املتاحة. 5
االعتماد عىل أساسيات املعرفة وتنمية طرائق التفكري، وتنمية املهارات العلمية، والبعد عن التفاصيل والحشو، 6واالبتعاد عن التعليم التلقينى؛ لهذا فاالهتمام يوجه إىل إبراز املفاهيم واملبادئ العامة وأساليب البحث وحل املشكالت
وطرائق التفكري األساسية التى تميز مادة الرياضيات عن غريها.
وفى �سوء ما �سبق روعى فى هذا الكتاب ما يلى:الكتاب إىل وحدات متكاملة ومرتابطة لكل منها مقدمة توضح أهدافها ودروسها ومخطط تنظيمى لها تقسيم
واملصطلحات الواردة بها باللغة العربية واإلنجليزية، ومقسمة إىل دروس يوضح الهدف من تدريسها للطالب تحت
عنوان سوف تتعلم، ويبدأ كل درس من دروس كل وحدة بالفكرة األساسية ملحتوى الدرس وروعى عرض املادة
العلمية بطريقة شيقة ويتضمن مجموعة من األنشطة التى تتناول الربط باملواد األخرى والحياة العملية والتى تناسب
القدرات املختلفة للطالب وتراعى الفروق الفردية بينهم وتؤكد عىل العمل التعاونى، وتتكامل مع املوضوع.
كما قدم ىف كل درس أمثلة مشوقة وسهلة، وتشمل بعضها مستويات تفكري متنوعة، مع تدريبات عليها تحت
عنوان حاول أن تحل وينتهى كل درس ببند تمارين وتشمل مسائل متنوعة تتناول املفاهيم واملهارات التى دراسها
الطالب ىف الدرس وتشمل أيضا تطبيقات متنوعة ىف مجاالت مختلفة.
تنتهى كل وحدة بملخص للوحدة يتناول املفاهيم والتعليمات الواردة بالوحدة وتمارين عامة تشمل مسائل وتطبيقات
متنوعة عىل املفاهيم واملهارات التى درسها الطالب ىف هذه الوحدة.
ينتهى الكتاب باختبارات عامة تشتمل عىل املفاهيم واملهارات التى دراسها الطالب ىف هذه الوحدة.
وأخيرا ..نتمنى أن نكون قد وفقنا فى إنجاز هذا العمل لما فيه خير لأولادنا، ولمصرنا العزيزة.
�له من وراء القصد، وهو يهدى إلى سواء السبيل وال�
المقدمة
المحتويات
الوحدة األولى: الدوال ذات المتغير الحقيقى ورسم المنحنيات
مقدمة فى النهايات���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 86 الدرس األول:
ايجاد نهاية الدالة جبريا���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 92 الدرس الثانى:
نهاية الدالة عند الال نهاية���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 99 الدرس الثالث:
إجابات بعض التمارين������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 151
الوحدة األولى
المصطلحات األساسية
فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:
يتعرف مفهوم الدالة ذات المتغير الحقيقى يحدد مجال الدوال ذات المتغير الحقيقى، والمجال المقابل والمد لها. يتعرف الدوال الزوجية والدوال الفردية ويفرق بينهما. تناقص - الدوال (تزايد الحقيقى المتغير ذات الدوال إطراد يستنتج
) ويستنتج خواص كل منها. التكعيبية - الدالة الكسرية د(س) = (س١يستنتج تأثير كل من التحويالت:
د(س ! C)، د(س) ! C على الدوال السابقة. يستنتج تأثير د(Cس)، Cد(س) على الدوال السابقة.
المتغير ذات الدوال منحنيات رسم على السابقة التحويالت يطبق الحقيقى.
يحل معادالت على الصورة: |C س + ب| = ج ، |C س + ب| = |د س + ج |
يحل متباينات على الصورة: |C س + ب| < ج ، |C س + ب| > ج ،
|C س + ب| H ج , |C س + ب| G ج يستخدم الدوال ذات المتغير الحقيقى فى حل مشكالت رياضية
وحياتية فى مجاالت مختلفة فى صورة مختلفة.
Function دالة Increasing function دالة تزايدية Modulus function دالة مقياس Even function دالة زوجية Decreasing function دالة تناقصية Quadratic function دالة تربيعية
Odd function دالة فردية Constant function دالة ثابتة Cubic function دالة تكعيبية polynomial function دالة كثيرة الحدود Rational function دالة كسرية Range مد
Transformation تحويل هندسى Domain مجال Co-Domain مجال مقابل Monotony of a function إطراد دالة
الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات Real Functions
دةوح
س الرود
أهداف الوحدة
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
الدالة الحقيقية. الدرس األول:
أطراد الدوال. الدرس الثانى:
الدوال الزوجية والدوال الفردية. الدرس الثالث:
التحويالت الهندسية على الدوال. الدرس الرابع:
الدرس الخامس: المعادالت والمتباينات.
مقدمة الوحدة
مخطط تنظيمى للوحدة
كان لبردية الكاتب المصرى أحمس التى نسخها عام ١٦٥٠ق.م والتى تتناول دراسة حول المتتابعات الحسابية والهندسية ومعادالت الدرجتين األولى والثانية
٣ س، س٢ + ص٢ = ١٠٠ الدور األكبر واألساس فى اكتشاف نظرية فيثاغورث، وقد نقل البابليون هذه الدراسات بعد ذلك بوضع ٤
مثل المعادلتين ص =
جداول للمربعات والمكعبات، وحلوا معادالت الدرجة الثانية والثالثة، كما عرف اإلغريق الحل الهندسى لهذه المعادالت ، ولقد اشتغل العرب بالجبر وأعدوه
بطريقة علمية منظمة، وكان من أبرز علمائهم الخوارزمى والخيام، وقد استمرت المؤلفات العربية سارية المفعول قام علماء الغرب بتطوير األبحاث العربية
فى الرياضيات ومن أبرز علمائهم العالمان الفرنسييان إيناريست جالو (١٨١١ - ١٨٧٣) وهرميت شارل (١٨٢٢ - ١٨٧٦) واأللمانى كالين فيلكس (١٨٤٩
- ١٩٢٥). واألمل معقود عليكم أبناءنا الطالب فى استعادة مجدنا العلمى فى عصوره الذهبية لنهضة ورفعة بلدنا مصر الحبيبة.
ئلساالوت و
دوااأل
الدوال الحقيقية
أنواع الدوالخواص الدوال
تعريف الدالة
التماثل
إطراد الدوال
ثابتة
إزاحة أفقية إزاحة أفقيةإزاحة رأسيةورأسية معا
انعكاس الدوال
مط لمنحنى الدالة
دالة جيب التمامدالة الجيب
تكعبيةتربيعيةخطية
دوال زوجية
دوال ليست زوجيةو ليست فردية
دوال فردية
دوال مثلثية الدوال الكسرية دالة المقياس دالة معرفة بأكثر من قاعدة
دوال كثيرات الحدود
المجال المجالالمقابل
ثابتةتناقضيةتزايدية قاعدة الدالة
حل معادالت
حل متباينات
تطبيقات حياتية
التحويالت الهندسية
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
آلة حاسبة علمية - آلة حاسبة رسومية - جهاز الكمبيوتر مزود ببرامج رسومية
غير مجموعتين بين عالقة بأنها وعلمت الدالة، مفهوم السابقة األعوام فى درست
N بعنصر واحد فقط من عناصر M بحيث يرتبط كل عنصر من N ،M خاليتين
(....... ،S ،X ،د) ويرمز للدالة بأحد الرموز
N # M :) :كاآلتى N ������ �* M ������ $� ) �� +��,-د(س) وتمثل الدالة عن للتعبير �.�) الرمز ويستخدم N �* M $� �) ��",-
قيمة ص التى ترتبط بقيمة س وتكتب / = (�.�
مثال
العالقة من المجموعة M إلى المجموعة N الممثلة 1
حيث دالة تمثل المجاور السهمى المخطط فى
المجموعة M هى مجال الدالة
المقابل المجال N والمجموعة {٤ ، ٣ ، ٢ ، ١} =
للدالة = {٥ ، ٦ ، ٧ ، ٨ ، ٩}، أما مجموعة العناصر
{٦ ، ٨ ، ٩} فتعرف بمدى الدالة.
حاول أن تحلأى من العالقات المبينة بالمخططات السهمية اآلتية تمثل دالة وأيها التمثل دالة، 1
ثم اكتب المجال والمدى فى حال كونها دالة:
01
2345 6
01
2345 6
01
2345 6
MMM NNN
التعبير عن الدالةتتحدد الدالة متى علم كل من:
قاعدة الدالة. المجال المقابل. المجال.
7681
03
245
MN
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى4
:$%�"��M ��;<! �� $� �>��-�: إذا كانت د: N # M فإن مجموع األزواج المرتبة تسمى بيان � ��%! -١الدالة فى المثال السابق تكون مجموعة األزواج المرتبة هى {(١، ٦)، (٢، ٨)، (٣، ٩)،
(٤، ٦)} يمكن تمثيلها فى المستوى الديكارتى كما فى الشكل المقابل.
حيث نالحظ أن كل خط رأسى فى الشبكة البيانية يمر بنقطة واحدة فقط من النقط
التى تمثل عناصر الدالة.
�: إذا كان (س، ص) ينتميان لبيان الدالة فإن العنصر ص يسمى صورة العنصر س للدالة ونعبر عن ذلك � ?���@ -٢بالصورة ص = د(س) وتسمى هذه قاعدة الدالة.
مثال
2 أي من العالقات اآلتية دالة مع ذكر السبب?
ص٢ = ٣س٢ + ٤ ب ص = ٢س٢ - ١ أ الحل
العالقة ص = ٢س٢ - ١ دالة . أ ألن كل قيمة حقيقية للمتغير . يناظرها قيمة وحيدة فقط للمتغير /
��ABC : عندما . = 8 فإن / = 3 وهكذا عند إعطاء س أي قيمة أخرى تناظرها قيمة وحيدة للمتغير ص.
العالقة ص٢ = ٣س٢ + ٤ ليست دالة ب ��ABC : عندما . = 8 فإن ص = !٤
≈°SCGôdG §îdG QÉÑàNGإن الخط الرأسى عند أى عنصر من عناصر المجال يمر بنقطة
واحدة فقط من النقط التى تمثل العالقة فإن العالقة تكون دالة.
تحديد العالقات التى تمثل دالةمثال
ص كانت إذا ما بين: اآلتية األشكال من شكل كل فى 3
تمثل دالة فى س أم ال?
777−8− -
8
8
/
.
�0� ��D
7
77−8− -
8
8
/
.
�7� ��D
777−
7−8− -
8
8
/
.
�8� ��D�2� ��D
7-
8
8 0 2
/
.7
8214
7E
7 8 0 2 M
N
�) FG%
7−8−
87
87 07−
/
.
�)
7−8−
87
87 07−
/
.
á«≤«≤◊G ádGódG
5 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
1 سدرال
الحل�� ��7 يمثل دالة .D
�� ��8 ال يمثل دالة؛ ألن الخط الرأسى المار بالنقطة (١، ٠) يقطع الشكل البيانى فى نقطتين.D�� ��0 يمثل دالة.D
�� ��2 ال يمثل دالة؛ ألنه يوجد خط رأسي يقطع المنحنى في أكثر من نقطة.D حاول أن تحل
فى كل عالقة مما يأتى حدد: ما إذا كانت ص تمثل دالة في س أم ال? 2
تمثل س رقم جلوس الطالب، ص مجموع درجاته فى امتحان الفصل الدراسى األول. أ
تمثل مجموعة األزواج المرتبة {(٢، ٣)، (٣، ٤)، (-٢، ١)، (٣، ٥)} بيانا لعالقة ما. ب
Some geometric transformations on the curve of the function ، C ! (س) د ، (C ! س)نتبع نفس التحويالت الهندسية السابق دراستها فى دالة المقياس على الدالة التربيعية، وهى د
د (Cس)، C د(س) واألمثلة اآلتية توضح ذلك:
مثال
استخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 6 ع (س) = - (س + ٣)٢ ب S(س) = (س + ٢)٢ أ
á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG äÓjƒ–
23 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
4 سدرال
الحل
أ 0
78
2−1− 0−6− 88− 77−.
-
ب/
8−7−
0−
0−1−3− 8−6− 77−2−/ .-
منحنى S (س) = (س + ٢)٢ هو منحنى
د(س) = س٢ بإزاحة وحدتين في االتجاه
السالب لمحور السينات.
منحنى ع (س) = -(س + ٣)٢ هو منحنى
محور فى باالنعكاس س٢ = د(س)
فى وحدات بثالث إزاحته ثم السينات،
االتجاه السالب لمحور السينات.
حاول أن تحلاستخدم منحنى الدالة د حيث د(س) = س٢ لتمثيل كل من الدالتين S، ع حيث: 6 ع (س) = (س – ٣)٢ ب S(س) = (س – ٤)٢ أ
١- استخدم برنامج جيوجبرا (Geo Gebra) وأعد البرنامج بحيث يكون التدريج على محور السينات بالراديان، وذلك بأن تضغط بالفأرة (كليك يمين) وتختار منها فى آخر سطر محور الفاصالت (السينات) x ثم اختر منه
.(r) نظام التدريج
٢- فى أسفل البرنامج (كتابة األوامر) اكتب األمر: �sin�x ثم أضغط (Enter) فتعطى لك شكل المنحنى األحمر فى فيظهر شمال) بالفأرة (كليك المنحنى على بالضغط وذلك المنحنى وسمك اللون فى التحكم تستطيع ،
أعلى النافذة اللون وسمك الخط وشكل الخط ٠ منقط ، شرطى ، متصل ،...).
ن ) ثم اضغط (Enter) ولو r٣
٣- بنفس الطريقة السابقة اكتب األمر: ((sin �x + �r/3 أى: ص = جا (س + هذا المنحنى بلون آخر.
?\;B, Z�� #$%%�_�� $%! ���@ -٤r ، كما
٣نالحظ أن منحنى دالة الجيب قد تمت إزاحته أفقيا جهة اليسار على محور السينات بمقدار يساوى
( r٣ نالحظ أن مدى الدالة الثانيةهو [ - ١ ، ١] وهو نفس مدى الدالة حا س، كما نالحظ أن الدالة حا (س +
ليست زوجية وليست فردية، ألنه اليوجد تماثل لمنحناها حول محور الصادات أو نقطة األصل.
فكر: ?( r٣ ماذا تتوقع أن يكون اتجاه اإلزاحة السينية إذا كانت قاعدة الدالة هى: جا (س -
äGOÉ°üdG Qƒëe ≈∏Y áMGRE’G :É«fÉK
١- ارسم منحنى الدالة ص = جا س كما سبق.?\;B, Z�� #$%%�_�� ��D $%! �٢- ارسم منحنى الدالة ص = جا س + ٢ بلون آخر -@��
äÉ«æëæŸG º°SQh á«≤«≤◊G ∫GhódG :الوحدة األولى
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى30
<%��H نجد أن منحنى الدالة الثانية هو نفسه منحنى الدالة ص = جا(س) ولكن تمت إزاحته بمقدار وحدتين �%C�� $�ألعلى.
ونالحظ أن مدى الدالة الثانية هو T0 , 7V ألنه تم إزاحته بمقدار وحدتين فى االتجاه الموجب لمحور الصادات
الدالة األولى، وأن الدالة ص = حا س + ٢ ليست زوجية وليست فردية.
حاول أن تحلأوجد على صورة فترة مجموعة حل كل من المتباينات اآلتية: 6
٨ H |٣س + ٧| ب |س - ٧| < ١١ أ
تمـاريــن الدرس الخامس
:≈JCÉjÉe πªcCG
١٢ هى.............................................................................................................................................. مجموعة حل المعادلة |س| = 1
مجموعة حل المعادلة |س| + ٣ = ٠ هى.............................................................................................................................................. 2
مجموعة حل المتباينة |س – ٢| H ٠ هى............................................................................................................................................ 3
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى42
IóMƒdG ¢üî∏e
M بحيث يكون لكل عنصر من عناصر المجموعة ،N ، M الدالة: هى عالقة بين مجموعتين غير خاليتين ١صورة واحدة فقط من عناصر N وتكتب رمزيا بالصورة د: N # M، وتتحدد الدالة بثالثة عناصر هى
المجال، المجال المقابل، قاعدة الدالة.
اختبار الخط الرأسى: إذا مثلت مجموعة من النقاط فى مستوى إحداثى متعامد وقطع الخط الرأسي عند كل ٢عنصر من عناصر المجال تمثيلها البيانى فى نقطة وحيدة فإنه مجموعةهذه النقاط تكون دالة.
الدالة الزوجية والدالة الفردية: ٣د(-س) = د(س) لكل س ، -س ∈ المجال. '-)%�: يقال للدالة د إنها زوجية إذا كان ��
د(-س) = -د(س) لكل س ، -س ∈ المجال. ��: يقال للدالة د إنها فردية إذا كان )�a ��
فإن١ > س
٢ ∈ ]C ، ب[ ، س
٢ ، س
١إطراد الدوال: تكون الدالة تزايدية فى الفترة ]C ، ب[ إذا كان لكل س ٤
: (١) > د(س
٢د(س
(١) < د(س
٢ فإن د(س
١ > س
٢ ∈ ]C ، ب[، س
٢ ، س
١� ,��@�%� فى الفترة ]C ، ب[ إذا كان لكل س� ���,-
(١) = د(س
٢ فإن د(س
٢ > س
١ ∈ ]C ، ب[ ، س
٢، س
١� [�!�� فى الفترة ]C ، ب[ إذا كان لكل س� ���,-
٠ ! C ، ب + س C = د(س) بالصورة: وتكتب مستقيم خط على نقاطها جميع تقع دالة هى الخطية: الدالة ٥حيث C هو ميل الخط المستقيم، ب طول الجزء المقطوع من محور الصادات.
دالة المقياس: ٦٠ G س ، س - س ، س <٠
أبسط صورة لدالة المقياس هى د(س) = |س| ، وتعرف على النحو التالى:د(س) =
وتكتب دالة المقياس على الصورة: د(س) = ك |س- C| + ب حيث ك ! ٠ ومن خواصها:
نقطة رأس المنحنى هى ( C ، ب).
C = معادلة محور التماثل هى س
إذا كانت |ك| > ١ فإن الرسم يكون أضيق من رسم الدالة د حيث د(س) = |س|،
وإذا كانت ٠ < ك < ١ فإن الرسم يكون أوسع من رسم الدالة د حيث د(س) = |س|
يمكن إزاحة دالة المقياس إزاحة أفقية فقط أو إزاحة رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.
الدالة التربيعية: تكتب الدالة التربيعية على الصورة: د(س) = ك (س - C )٢ + ب حيث ك ! ٠: ٧نقطة رأس المنحنى هى ( C ، ب ).
C = معادلة محور التماثل هى: س
43 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
IóMƒdG ¢üî∏e
إذا كانت ك > ١ فإن الرسم يكون أضيق من رسم الدالة د حيث د(س) = س٢ ، وإذا كانت ٠ < ك < ١
فإن الرسم يكون أوسع من رسم الدالة د حيث د(س) = س٢
أبسط صورة للدالة التربيعية هى د(س) = س٢ ويمكن إزاحة منحنى الدالة إزاحة أفقية فقط أو إزاحة
رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.
الدالة التكعيبية: تكتب الدالة التكعيبية على الصورة: د(س) = ك ( س - C)٣ + ب حيث ك! ٠: ٩نقطة التماثل هى ( C ، ب ).
أبسط صورة للدالة التكعيبية هى د(س) = س٣ ويمكن إزاحة منحنى الدالة إزاحة أفقية فقط أو إزاحة
رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.
الدالة الكسرية: ١٠ ك + ب ، ك! ٠ ، س! C حيث:
C-ستكتب الدالة على الصورة: د(س) =
نقطة تماثل الدالة هى ( C ، ب ).
١ حيث س ! ٠ ويمكن إزاحة منحنى الدالة إزاحة أفقية فقط أو س
أبسط صورة للدالة هى د(س) =
إزاحة رأسية فقط أو إزاحة أفقية ورأسية معا.
التحويالت الهندسية: للدالة د حيث ص = د(س) ، C > ٠ تحدد باآلتى: ٩إذا كانت ص = د(س) + C فإنها تمثل بإزاحة منحنى د بمقدار C فى االتجاه الموجب لمحور الصادات
إذا كانت ص = د(س - C) فإنها بإزاحة منحنى د بمقدار C فى االتجاه السالب لمحور السينات.
المعادلة: هى جملة رياضية تحتوى على عبارتين جديتين، يفصل بينهما باإلشارة (=) وعادة ما تحتوى المعادلة ١٠على مجهول أو أكثر يطلق عليها بالمتغيرات.
في نهاية هذه الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:يتعرف�الدالة�األسية. �يتعرف�التمثيل�البيانى�للدالة�األسية،�ويستنتج�خواصها. �يتعرف�قوانين�األسس�الكسرية. �يحل�معادلة�أسية�على�الصورة�:�Cس�=�ب. �يتعرف�الدالة�اللوغاريتمية. �اللوغاريتمية� � الصورة� إلى� األسية� الصورة� من� ا� جبري يحول�
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 5
أوجد فى ح مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:
27 = س3 ج 1128 =
72 س ب 5 = 1
2 أ س
162
2 3س - 1 = و 38 = 3
4 هـ 3 س- 32 = 52 ) س- 5( د
بالعلقة تعطى سنة )ن( بعد )C( وقدره مبلغ على البنوك ألحد )ر( الفائدة أن علم إذا باالقتصاد: الربط -1 حيث جـ جملة المبلغ بعد ن سنة . فإذا أودع جمال مبلغ 10000 جنيه وبعد 3 سنوات أصبح
تقطع محور الصادات فى النقطة ................................ الدالة د)س(=2 1- س ب
................................ = C بالنقطة )1، 3( فإن سC = )إذا مر منحنى الدالة د)س ج
1( س باالنعكاس فى ................................منحنى الدالة د)س( = 3س هو صورة منحنى الدالة ر)س( = )3 د
................................ ∈ C س تكون تناقصية إذا كانC = )الدالة د حيث د)س ه
................................ ∈ C تكون متزايدة عندما س
)C2( = )الدالة د حيث د)س و
نسمة، وكان معدل نهاية عام 2000 هو 43265341 فى الدول إذا كان عدد سكان إحدى بالسكان: الربط الزيادة السكانية فى السنة يساوى ٪1٫5 :
أوجد صيغة تمثل عدد السكان لهذه الدولة بعد مرور ن سنة من عام 2000. أ
ب استخدم هذه الصيغة إليجاد عدد السكان المتوقع لهذه الدولة عام 2020، وذلك إذا استمرت الزيادة بنفس المعدل.
الربط باالستثمار: إذا استثمر رجل مبلغ 100000 جنيه في مشروع، بحيث ينمو هذا المبلغ تبعا لدالة أسية بزيادة سنوية قدرها 6٪، أوجد :
صيغة توضح نماء هذا المبلغ بعد ن سنة. أ
قدر هذا المبلغ بعد مرور 10 سنوات. ب
أوجد جملة مبلغ 8000 جنيه موضوع فى بنك يعطى فائدة سنوية مركبة قدرها 5٪ لمدة 7 سنوات. 5
النمو األسى لدالة تبعا يتزايد البحيرات السلمون فى إحدى أسماك إذا كان عدد : السمكية بالثروة الربط د)K)1٫03( 200 = )K حيث ن عدد األسابيع أوجد عدد أسماك السلمون فى هذه البحيرة بعد مرور 8 أسابيع.
د)س( * د)س - 1( = 1د)س-2( * د)س+1(
إذا كانت د)س(= 5س+1 أثبت أن
������� ������
1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
الوحدة الثانيةحل المعادلت الأ�سية وتطبيقاتها
Solving power equations and Their applications س درال
إلة حاسبة علمية �برامج رسومية �
� power equation معادلة أسية. � Graphical solution حل بيانى.
أوجد عدد الخليا الناتجة من خلية واحدة بعد 9 فترات زمنية. 1أوجد عدد الفترات الزمنية اللزمة إلنتاج 8192 خلية من هذه الخلية. 2
تعلم
Power equation المعادلة الأ�سية إذا تضمنت المعادلة متغيرا في األس فإنها تسمى معادلة أسية مثل )2س+1 = 8( ولحل
المعادلة األسية نوجد:
.K = 0، 1، -1{ فإن م{ ∉ C حيث KC =
مC أوال: إذا كان
مثال
أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 1 (س 1
3س-2 = )27 ب 2س+3 = 8 أ
الحل` 2س+3 = 32 2س+3 = 8 أ
ومنها س = صفر ` س + 3 = 3
` مجموعة الحل = }صفر{
` 3س-2 =3-3س (س 13س-2 = )27 ب
` س + 3س = 2 ` س - 2 = -3س
1ومنها س = 2 ` 4س = 2
} 1` مجموعة الحل = } 2
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
حاول أن تحل
أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 1 18 2 1-س2 = ب 5س+1 = 25 أ
حيث C، ب ∌ }0، 1، -1{, فإن م = ب
مC ثانيا: إذا كان
1- م = صفر إما: عندما م عدد فردي. C -2 = ب أو:
عندما م عدد زوجي. C -3 = |ب|
مثال
أوجد في I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية: 4س-2 = 23س-4 ب 3س+2 = 7س+2 أ
الحلa 3س+2 = 7س+2 أ
ومنها س = -2 ` س + 2 = صفر
` مجموعة الحل = }-2{
` 4س-2 = 23)س-2( a 4س-2 = 23س-4 ب ` 4س-2 = 9س-2
ومنها س = 2 ` س - 2 = صفر
` مجموعة الحل = }2{
حاول أن تحل
أوجد في I مجموعة حل المعادلة: 22س-6 = 7س-3 ب 5س-1 = 4س-1 أ
مثال
إذا كانت د)س( = 2س+1 أوجد قيمة س التي تحقق د)س( = 32 الحل
` 2س+1 = 32 a د)س( = 32
` س + 1 = 5 ` 2س+1 = 52
` مجموعة الحل = }4{ ` س = 4
حاول أن تحل
إذا كانت د)س( = 7س، أوجد قيمة س التي تحقق د)س+1( = 49
هت �يب�ت�� ������� ����������
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
Solving the power equation grophically ا: حل المعادلت الأ�سية بياني
مثال
ارسم في شكل واحد المنحنى البياني لكل من الدالتين د1 حيث د1)س( = 2س , د2 حيث د2)س( = 6 - س ومن الرسم أوجد مجموعة حل المعادلة 2س = 6-س
الحل0123-1-2-3س
2س18 1
4 121248
69876543 - س
من الرسم: اإلحداثي السيني لنقطة التقاطع يساوي 2
` مجموعة حل المعادلة = }2{
حاول أن تحل
، 2س+1 = د1)س( الدالتين من كلا واحد شكل في ارسم )geogebra( الرسومية البرامج أحد باستخدام د2)س( = 3 ومن الرسم أوجد مجموعة حل المعادلة 2س+1 = 3.
مثال
الربط باألحياء: يتكاثر أحد الكائنات الدقيقة بطريقة االنقسام الثنائي بحيث تتضاعف عدد هذه الكائنات 5 كل ساعة نتيجة انقسام كل خلية إلى خليتين، فإذا كان عدد الخليا عند بداية القياس 20 ألف خلية أوجد:
عدد الخليا بعد مرور 5 ساعات. أ
بعد كم ساعة يصبح عدد الخليا 2 مليون و 560 ألف خلية. ب
الحليمكن كتابة عدد الخليا على صورة دالة أسية.
K) C ( ب = )K(د
حيث K عدد الساعات K)2( 20000 =
)5 = K عدد الخليا بعد مرور 5 ساعات )بوضع أ = 20000 * 52 = 640000 خلية
إليجاد عدد الساعات التي يكون بعدها عدد الخليا 2 مليون و 560 ألف خلية نضع د)س( = 2560000 ب
د لو0٫001 = ............................................ ج
لو 128 = س + 1 فإن س = ..........................................2
إذا كان و 4 = 2 فإن س = ............................................ لوس
إذا كان ه
..................... ∈ C س متناقصة لكل لوC
الدالة د حيث د)س( = ح س هو............................................ لو2
مجال الدالة د)س( = ز
س يمر بالنقطة )8، .........................( لو2
منحنى الدالة د حيث د)س( = ط
إذا كان لو3 = س ، لو5 =ص فإن لو 15 = ......................... )بداللة س،ص( ى
أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:- 23 = 9 لو
سج )س + 2( = 3 لو
5ب )س - 1( = 2 لو
3أ
2 = 9 لوس
و )س + 2( = 2 لوس
ه 34 = 8 لوس + 1
د
بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة
2 لو6
+ 3 لو6
د 9 لو3
ج 7 لو7
ب 1 لو5
أ
مثل بيانياا الدالة د فى كل مما يأتى اآلتية ومن الرسم أوجد مداها وابحث اطرادها:
)س + 1( لو13
د)س( = د س لو12
د)س( = ج س لو3
د)س( = ب س لو2
د)س( = أ
استخدم الحاسبة فى إيجاد قيمة كل من:- 5
4لو 7 - 5لو13 ج 27 لو2
ب لو 15 أ
العلقة تتبع االجتماعية النوادى أحد فى ألسرة بالجنيه السنوى االشتراك مصاريف كانت إذا س = 500 + 100لو )ن س( حيث ن عدد سنوات االشتراك س عدد األفراد. أوجد قيمة اشتراك أسرة مكونة من
5 أفراد للسنة الرابعة فى هذا النادى.
������ ������������ �را���� �����لا
1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
الوحدة الثانيةبع�س خوا�س اللوغاريتمات
Some properties of logarithms 5 سدرال
سوف تتعلم
المصطلحات األساسية
األدوات المستخدمة
آلة حاسبة علمية �حاسب آىل مزود بربامج رسومية �
بيانياا اللوغاريتمية الدالة تمثيل وكيفية اللوغاريتم معنى السابق الدرس فى تعلمت
المقادير تبسيط فى تساعد التى اللوغاريتمات خواص بعض ندرج يلى وفيما
اللوغاريتمية أو حل المعادالت التى تحتوى على لوغاريتم.
تعلم
Some properties of logarithms بع�س خوا�س اللوغاريتمات إذا كان I ∈ C+ - }1{ ، س ، ص∋ I+ فإن
1 = C لوC
-1
3 = 1 ، لو 10 = 1 لو3
فمثل
1 = صفر لوC
-2
1 = صفر ، لو 1 = صفر لو5
فمثل
حاول إثبات كل من 1، 2 من تعريف اللوغاريتم
خاصية الضرب في اللوغاريتمات: -3+I ∈ حيث س، ص ص لو
C
س + لوC
س ص = لوC
إلثبات صحة هذه الخاصية: ص لو
C
س ، جـ = لوC
ضع ب =
ومن تعريف اللوغاريتمات فإن: جـC = ص ،
بC = س
ب + جـC = أي أن س ص
جـC *
بC = فتكون س ص
س ص = ب + جـ لوC
وبتحويل هذه الصورة إلى الصورة اللوغاريتمية تكون:
ص لوC
س + لوC
س ص = لوC
وبالتعويض عن قيمتي ب، جـ تكون
مثال
17 لو34
+ 2 لو34
1 بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة
معادلة لوغاريتمية. �logarithmic equation
استخدام بعض خواص �اللوغاريتامت.
حل املعادالت اللوغاريتمية. �استخدام احلاسبة يف حل �
املعادالت األسية.تطبيقات حياتية عىل �
اللوغاريتامت.
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
الحلاستخدام خاصية )3( لو )2 * 17(
34 = المقدار
34 لو34
=
استخدام خاصية )1( 1 =
حاول أن تحل91 لو
2لو 13 - 3٫7 أوجد بدون استخدام الحاسبة قيمة
2لو 7- 2٫8 ،
2إذا كان 1
خاصية القسمة في اللوغاريتمات: -4)حاول بنفسك إثبات صحة العلقة( لو ص
Cلو س -
C س =
صلو C
مثال
بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة لو 50 - لو 5 الحل
استخدام خاصية القسمة 505 = لو المقدار
= لو 10
استخدام خاصية )1( 1 =
حاول أن تحللو 3٫5
2 - 7 لو
2بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة
خاصية لوغاريتم القوة: -5حيث س < 0 ) حاول إثبات صحة العلقة بنفسك( لو س
C K = K لو س
C
مثال
125 لو5
بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة الحل
35 لو5
= المقدار
استخدام خاصية القوة 5 لو5
3 =
استخدام خاصية )1( 1* 3 =
3 =
حاول أن تحل
لو 273
أوجد فى أبسط صورة
لو س ؟ فسر إجابتكC
لو س2 هو نفسه مجال الدالة S)س( = 2C
تفكير ناقد: هل مجال الدالة د)س( =
�ب�� ����� ������������
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
5 سدرال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
خاصية تغيير األساس - 6
وإثبات صحة هذه الخاصية لو س
Cلو ص
C
س = لوص
س لوص
ع = بوضع:
بالتحويل إلى الصورة األسية صع = س
C يأخذ لوغاريتم الطرفين لألساس س لوC
ص = لوC
ع
لو سC
لو صC
س = لوص
أي أن: لو س
Cلو ص
C
ع = فتكون
مثال
لو 492
لو 16 * 7
اختصر ألبسط صورة الحل
استخدام خاصية )6( لو 49 لو 2
لو 16 * لو 7
= المقدار لو 27لو 2
* لو 42لو 7
=
استخدام خاصية )5( 2 لو 7 لو 2 4 لو 2 *
لو 7 =
8 = 2 * 4 =
حاول أن تحلأوجد حل المثال السابق بتغيير األساس لعدد آخر غير 10 5
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
)التحقق من صحة اإلجابة باستخدام الحاسبة(
3 x ans + 1 ÷ 5 x ans – 2 = 1
حاول أن تحلأوجد ألقرب رقمين عشريين مجموعة حل كل من المعادالت :
ب 4 س -1 = 3س أ 7 س = 2
مثال
الربط بالصناعة: إذا كانت كفاءة عمل أحد اآلالت تتناقص سنوياا طبقا للعلقة K)0٫9( = 0حيث 10
علم أن اآللة تتوقف عن K عدد سنوات عمل اآللة. فإذا ، الكفاءة االبتدائية لآللة 0 كفاءة اآللة، العمل إذا بلغت كفاءتها 40٪ فما عدد السنوات التى تعملها هذه اآللة قبل أن تتوقف عن العمل.
الحلالمقصود ببلوغ الكفاءة 40٪ أى 40٪ من الكفاءة االبتدائية
0 بالقسمة على 0 K)0٫9( = 0 0٫4 `
فأخذ لو للطرفين K)0٫9 ( = 0٫4 `
8٫696718 = لو 0٫4 لو 0٫9
= K ` = K لو 0٫9 ` لو 0٫4
اآللة ال تعمل أكثر من 8 سنوات ونصف السنة . أى أن حاول أن تحل
فى المثال السابق أوجد كفاءة اآللة بعد مرور 4 سنوات من تشغيلها
لو 6 = ........................ إذا كان لو2 = س ، لو 3 = ص فإن د
لوس + لو ص )4( س - ص )3( س ص )2( )1( س + ص
�ب�� ����� ������������
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
5 سدرال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
.......... = 3 لو6
2 + 2 لو6
2 ه
12 )4( 2 )3( 36 )2( 6 )1(
.................. = 2 لو5
* 5 لو2
و
صفر )4( 52 )3( 10 )2( 1 )1(
........................ = 3 لو2
* 5 لو3
* 2 لو5
ز
لو 30 )4( )3( صفر 1 )2( 30 )1(
عبر عن كل ممايأتى بداللة لوس ، لو )س + 1(
س ) س +1(2 لو ج س س +1
لو ب لو س )س +1( أ
اختصر ألبسط صورة:
23 لو
2 + 12 لو
2ج 3 لو
6 + 2 لو
6ب 9 لو
6 - 54 لو
6أ
لو49 + 3 لو 7لو 7
و 1 - لو2 لو125
ه لو 48 + لو125 - لو 6 د
لو 3جـ23
Cب - لو3
لو جـ - 3
ب + 2 لو3
12 + C لو
3 12 ح 3 + لو 0٫1 لو
3 + 16 لو
2ز
أوجد فى I مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:
2 = 2 لو5
لو س - 5
ج لو س + لو )س -3( =1 ب لو )س +2( = 3 2
لو س + 2
أ
2 = 3لوس
لو س - و 2 = 1
لو س3
+ 1
لو س2
ه لو )س +3( - لو 3 = لو س د
16 لو5
* 5 لو3
* 3 لو2
ثم احسب قيمة 1 = E لوC
جـ * لوE
ب * لوجـ
* C لوب
أثبت أن 5
أوجد قيمة س فى كل مما يأتى مقربا الناتج لرقم عشرى واحد.
2 س -3 = 3س +1 د 1 = س-2
7 * 4 ج 5س -1 = 2 ب 3س = 7 أ
إذا الزمن K)1 احسب بالصيغة ت = )2 تعطى ثانية )K( أمبير والزمن التيار )ت( بين شدة العلقة إذا كانت
كانت شدة التيار 0٫32 أمبير.
الربط باالحياء:إذا كان حجم عينة من البكتريا فى لحظة معينة هو 3 *610 وكان حجم العينة يزداد تبعا لدالة أسية ح = K)1٫15( 610* 3 فأوجد حجم البكتريا بعد 4 ساعات.
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
�س الوحدة ملخ1- الجذور النونية الحقيقية للعدد
)1 > K( عدد صحيح حيث K ،عدد حقيقى C بفرض
K عدد صحيح فردىK عدد صحيحح زوجى
C > صفر ½C ليس لها جذور نونية حقيقية
1KC = K
C C لها جذر نونى حقيقي هو
صفرK = صفرC = صفر ½ صفرK = صفرC لها جذر نونى حقيقي هو C لها جذر نونى حقيقي هو
C1 < صفر ½KC! = K
C C لها جذران حقيقيان هما !1KC = K
C C لها جذر نونى حقيقي هو
2- خواص الجذور النونية:
بI ∈ K فاإن: ، K
C �إذ� كان
حيث ب ! صفرK
CKب
= KCب ب Kب * K
C = Kب C أ
KKC C = KK إذا كان K عدد فردى،
C د (م K
C ( = KمC ج
= |C| إذا K عدد كان زوجى
I∈ KمC مK حيث
C = مKC األسس الكسرية 3
خواص األسس الكسرية 4
N ∈ 1{، م{ - +N ∈ K ،I = C حيث Kم
C = مKC أ
يمكن تعميم قوانين القوى الصحيحة على القوى الكسرية ب
C 1{ فإن د تسمى دالة أسية أساسها{ -+I∈C س لكلC = )حيث د)س + I# I :الدالة األسية: إذا كانت د 5
خواص منحنى الدالة األسية 6
+المدى ح ب I = مجال الدالة أ
الدالة متزايدة على مجالها لكل C < 1 وتسمى بدالة النمو األسى. ج
الدالة متناقصة على مجالها لكل C < 0>1 وتسمى بدالة التضاؤل األسى. د
النمو االسى: يمكن استخدام الدالة د حيث د)سK)S + 1(C = ) لتمثيل النمو األسى بنسبة مئوية ثابتة فى فترات 7زمنية متساوية حيث K هى الفترة الزمنية، C القيمة االبتدائية، S النسبة المئوية للنمو فى الفترة الزمنية الواحدة
التضاؤل األسى: يمكن استخدام الدالة د حيث د)سK)S - 1( C = ) = لتمثيل التضاؤل األسى بنسبة مئوية ثابتة 8فى الفترات زمنية متساوية حيث K هى الفترة الزمنية، C القيمة االبتدائية، E النسبة المئوية للتضاؤل فى الفترة
الزمنية الواحدة.
C
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
ر���ن ��م�
المعادلة األسية: 9K = 0، 1، -1{ فإن م{ ∉ C م حيثC = KC إذا كان
إذا كان KC = بK حيث C ، ب ∌ }0، 1، -1{ فإن
إما K = صفر أو C = ب فى حالة K عدد فردى أو C = | ب| فى حالة K عدد زوجى.
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى0
تمــــاريــن عامة
أكمل ما يأتى: 1
إذا كان س4 = 16 فإن س = ...................................... أ
...................................... = 12 4 ب
...................................... = C بالنقطة )-4، 16( فإن سC = إذا مر منحنى الدالة ص ج
لو 1000 = ...................................... د
...................................... ∈ C س تكون متناقصة لجميع قيم س عندماC = )الدالة د حيث د)س ه
منحنى الدالة د)س( = 2س هو صورة منحنى الدالة ...................................... باالنعكاس فى المستقيم ص = س و
منحنى الدالة ص = 3س هو صورة منحنى الدالة ...................................... باالنعكاس فى محور الصادات. ز
إذ كان 5 س-2 = 3 س-2 فإن 7س-2 = ...................................... ح
منحنى الدالة د حيث د)س( = 2س+1 يقطع محور الصادات فى النقطة ...................................... ط
لو س = ......................................8
س = 3 فإن لو2
إذا كان ى
...................................... =5 لو3
* 2 لو5
* 3 لو2
ك
1لو 14
7
+ 1لو 14
2
ل
أوجد أبسط صورة:
83 لو
2 + 3
2 لو2
ج 32 -
) 3210 ( ب 13 27 أ
5 لو2
- 40 لو2
و 3 لو5
* 5 لو3
ه 34 * 8
62د
أوجد فى ح مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:
لو )س + 6( = 2س
ج 181 3 س-2 = ب 9 =
23 س أ
3 س+1 = 4 و لو )س - 2( = 2 2
لو )س - 1( - 2
ه 2- = 1س
لو5
د
1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
ر���ن ��م�
مقربا الناتج لرقم عشرى واحد.200 4 * 285 7
400 8استخدم الحاسبة فى إيجاد قيمة
مثل بيانياا كلا من الدوال اآلتية: 5
)س - 1( لو12
و)س( = د س لو2
هـ)س( = ج 1(س S)س( = )3 ب د)س( = 2 س-1 أ
الربط باالقتصاد:
يزداد سعر إحدى السلع المعمرة سنوياا بمقدار 9٪ فإذا كان السعر األصلى للسلعة هو 1000 جنيه.
ح بها سعر السلعة بعد مرور ن سنة. أوجد صيغة توض أ
بعد كم سنه يصبح سعر السلعة ضعف سعرها اآلن. ب
تتناقص أعداد أحد أنواع الحيوانات فى إحدى الدول طبقا لتضاؤل أسى فإذا كانت أعداد هذا الحيوان فى عام 1960 تساوى 80540 ثم تضاءل هذا العدد عام 2000 ليصبح 53879.
اكتب صيغة توضح بها أعداد هذا الحيوان بعد مرور ن سنة من عام 1960. أ
أوجد أعداد هذا الحيوان عام 1985. ب
إلى الحيوان أعداد هذا أن تصل تتوقع أى عام ففى المعدل بهذا الحيوان أعداد هذا استمر تضاؤل إذا ج
نصف ما هو عليه عام 1960.
إذا كان لو2 = 0٫301، لو3 = 0٫477 أوجد بدون استخدام الحاسبة قيمة
لو5 ج لو 32 ب لو6 أ
أوجد فى ح مجموعة حل كل من المعادالت اآلتية:
2(س-2 = 93( ج 3س+1 = 7 ب 2س = 5 أ
2 * 5س = 7 و 3س-2 = 8س-1 ه 5 1 -س = 3 د إذا كانت د)س( = 3س 10
19 أوجد مجموعة حل المعادلة د)س + 1( = ب أثبت أن د)C( * د)ب( = د)C + ب( أ
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
اختبار تراكمى
عين مجال كل من الدوال اآلتية: 1
)س - 2( لو3
S)س( = ج س - 2 س
د)س( = ب س - 2 د)س( = أ
أم الدالة ونوعها من حيث كونها زوجية عين المدى وابحث اطراد ارسم منحنى كل مما يأتى، ومن الرسم فردية.
د)س( = 3س-1 ب د)س( = )س - 2(2 أ
س لو2
هـ )س( = 1 - د S)س( = 2 - |س| ج
اختصر: 1-)15( *
14 )81( *
23 )125( ب
122-C * C3
C أ
أوجد قيمة كل مما يأتى )بدون استخدام الحاسبة(
( صفر 315 ( * 9 * 2)1- 3( ج 32-27 ب 14 )16( أ
5 لو3
3 و 127 لو
9ه لو5 + لو15 د
أوجد فى I مجموع حل كل من المعادالت: 5 13 3س-2 = ب |س - 2| = 5 أ
لوس = لو3 + لو 10 د 116 س -4 = ج
أوجد باستخدام الحاسبة
قيمة س التى تحقق 3 س-2 = 25 مقربا الناتج لرقمين عشريين أ 750 3510 5
قيمة ب
أي الدوال اآلتية تمثل دالة نمو وأيها تمثل دالة تضاؤل:
ص = 10)2٫1(س + 1 ب ص = 3 )1٫05(س أ
ص = 0٫2 )3( 1 - س د 1(س ص = 0٫4)2 ج
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
������ ���ك�ا
المصطلحات األساسيةدة
وحس ال
رود
Ñ Unspecified quantity كمية غير معينة Ñ Undefined غير معرف�Ñ Right limit نهاية يمنى�Ñ Left limit نهاية يسرى�
Ñ Limit of a function نهاية دالة�Ñ direct substitution تعويض مباشر�Ñ Polynomial function دالة كثيرة الحدود�Ñ Limit of a function at infinity نهاية الدالة عند الالنهاية�
فى نهاية الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:
�إيجاد نهاية �لد�لة عند �لالنهايةنهــــــا )س3 + 5س2 +1(
س!∞ 1 3
س2 نهــــــا س!∞
1
س2س +3
نهــــــا س!∞
2 -7س 19 2 +3س
نهــــــا س!∞
1
ةةقدن يفايفن ة ا يف ةةقدن
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 10
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
5 - 6س - 3س22س2 +س +4
نهــــــا س!∞
1 4س2
س2 + 3نهـــا س! ∞
0
س3 - 23س2 +4س -1
نهــــــا س!∞
2 س - 1 س2 +4س +1
نهــــــا س!∞
2 س2 - 6)س -1(2
نهــــــا س!∞
2 س2 - 1 4س3 -5س - 1
نهــــــا س!∞
) 5س2 +س
- 13س2
نهــــــا )س!∞
)2 س2
) س + 3(2نهــــــا )7 +
س!∞
- س
4 + س2 نهــــــا
س!∞ 9 )
3س2)س-3(2
س + 2س+1
نهــــــا )س!∞
4س2 - 2 س + 1- 2 س( نهــــــا )س!∞
0
) 5س 2 + س+ 3 5س 2 + 4 س + 7 - نهــــــا )س!∞
1
4س 2 + 1 - 2 س( نهــــــا س )س!∞
س2 + س - 18س2 - 3
نهــــــا س!∞
4 - 3س3
س6 + 9 نهــــــا
س!∞
- 2س( = 3 فما قيمة كل من C ، ب. Cس 2 + 3 ب س + 5 نهــــــا )س!∞
إذا كان
تفكير ابداعىتنتج إحدى الشركات بطاقات معايدة بتكلفة ابتدائية قدرها 5000 جنيه، وتكلفة لكل كارت نصف جنيه فكانت
1 س + 5000 حيث س عدد البطاقات المنتجة.التكلفة اإلجمالية جـ = 2
أوجد:
تكلفة إنتاج الكارت عند إنتاج: 1 100000 كارت ب 10000 كارت أ
أوجد تكلفة إنتاج الكارت عندما تنتج الشركة عددا النهائى من الكروت.
احثلاثلاحودحولا يف ةقدقم
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 10
�ص الوحدة ملخ× }∞ ، ∞ -{ ∪ I هى I مجموعة األعداد الحقيقية المتدة
C = صفر∞ -
= C∞
∞ - = C + ∞- ∞= C + ∞ 1
0 > C إذا كان ، ∞ -
0 < C إذا كان ، ∞ = C * ∞-
0 < C إذا كان ، ∞ -
0 > C إذا كان ، ∞ = C * ∞
إذا كانت C∋ [جـ ، E ] فإن نهاية د)س( عندما س # C تساوى ل إذا وفقط إذا كانت نهايتاها من اليمين ×
ومن اليسار عند س# C متساويتين وكل منها تساوى ل.
إذا × C، والعكس الدالة معرفة عند س = C اليعنى بالضرورة أن تكون # للدالة عندما س إن وجود نهاية
كانت معرفة عند س = C فهذا اليعنى وجود نهاية للدالة.
نهــــــا X)س( = م فإن: ×C!س
نهــــــا د)س( = ل C!س
إذا كانت
نهــــــا ]د)س( ! X)س([ = ل ! مC!س
I ∈ حيث ك نهــــــا ك د)س( = ك.ل C!س
1
بشرط م ! 0 ل م
د)س( = X)س(
نهــــــا C!س
نهــــــا د)س( . X)س( = ل.م C!س
I ∈ حيث لن نهــــــا )د)س((ن = لن C!س
نهاية الدالة عند الل نهاية. ×
C = 0 }حيث ن ∋C ،+I ثابت{ س ن
نهــــــا س!∞
0 = 1 س
نهــــــا س!∞
1
نهـــا س ن = ∞س! ∞
نهــــــا جـ = جـ ، حيث جـ ثابت إذا كان ن عددا صحيحا موجبا فإن س!∞
د)س( حيث كل من د)س(، ر)س( دوال كثيرات الحدود فإن: × ر)س(
نهــــــا س!∞
عند إيجاد
النهاية تعطى عددا حقيقيا اليساوى الصفر إذا كانت درجة البسط = درجة المقام. 1 النهاية تساوى صفرا إذا كانت درجة البسط> درجة المقام.
النهاية تعطى ! ∞ إذا كانت درجة البسط < درجة المقام.
عند أجراء عملية القسمة المطولة يجب مراعاة مايأتى: ×
ترتيب حدود كل من المقسوم والمقسوم عليه ترتيبا تصاعديا ، وتنازليا بنفس النظام. 1 نقسم الحد األول من المقسوم على الحد األول من المقسوم عليه وتكتب ناتج القسمة.
نضرب ناتج القسمة فى المقسوم عليه ويطرح الناتج من المقسوم للحصول على الباقى. نستمر بنفس الطريقة حتى االنتهاء من عملية القسمة.
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 10 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
م ال خ ول يفصل ح ل هل
تمارين عامةمن الشكل البيانى المقابل أكمل: 1
1234
د )س(
و 1 21-
2-
2-3- 3 4 س1-
1
د )س(
و 1 21-4-
2-
5-
3-
2-5-6- س1-
4-
3-
1234
د )س(
و 1 22-3- 3 س1-
1-
2-
شكل )3(شكل )2(شكل )1( نهــــــا )-س + 2( ..............................
اكتب التعبير الرمزى للجملة الرياضية اآلتية: .C س( عندما تقترب س من(فإن ل تعرف كنهاية لـ د C حينما تقترب س من )I ∈ إذا اقتربت د)س( من ل )ل
س2 -1 فادرس قيم د)س( عندما تقترب س من 1.س -1
إذا كانت د)س( =
عندما س > 2 س
2 G عندما س س + 2 إذا كانت الدالة د حيث د)س(
نهــــــا د)س(س!2
ارسم منحنى هذه الدالة، ثم ابحث وجود
ح فيها مايأتى: أعط أمثلة عددية توض 9 وجود نهاية للدالة عندما س# 1 ال يعنى بالضرورة أن تكون الدالة معرفة عند س = 1. أ
إذا كانت الدالة معرفة عند س = 1 فهذا ال يعنى وجود نهاية للدالة. ب
فى الشكل المقابل أوجد : 10 نهــــــا د)س(
س!0ب د)0( أ
نهــــــا د)س(س!-2
د د)-2( ج
أوجد النهايات اآلتية إن وجدت: 11 ) س2 + 1 - س
سنهـــا )
س! ∞د | س|
سنهـــا س! ∞
ج 4 س23 - س
نهـــا س! ∞
ب 7 س 2 س + 5
نهـــا س! ∞
أ
س + 3 -2 س -1 نهــــــا
س!1و س2 - 5 س + 6
س -2نهــــــا
س!2ه
1234
د )س(
1 21-2-4- 3- س
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 10 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
يختبقر تريكمى
دةوح
س الرو
د
الوحدة الرابعة
المصطلحات األساسية
قانون )قاعدة( الجيب الدرس األول:
قانون )قاعدة( جيب التمام الدرس الثانى:
Ñ trigonometry حساب مثلثات�Ñ Sine rule قاعدة الجيب�Ñ Cosine rule قاعدة جيب التمام�Ñ acute angle زاوية حادة�Ñ obtuse angle زاوية منفرجة�Ñ right angle زاوية قائمة�
Ñ Shortest side أقصر ضلع�Ñ Longest side أطول ضلع�Ñ missing length طول ضلع مجهول�Ñ UnKnown angle زاوية مجهولة Ñ Smallest angle أصغر زاوية�
Ñ Largest angle أكبر زاوية�Ñ The area of the triangle مساحة المثلث�Ñ أطوال أضالع المثلث�
The sides lenghtes of a Triangle Ñ The opposite angle of an side زاوية مقابلة�
في نهاية هذه الوحدة من المتوقع أن يكون الطالب قادرا على أن:والذى� � مثلث،� الجيب�ألى� )قاعدة(� قانون� ويستنتج� يتعرف�
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
مقدمة الوحدةئل
ساالو
ت ودوا
األ
المصطلح المقابل لحساب المثلثات فى اللغة اإلنجليزية هو Trigonometry وهى كلمة مشتقة من ثالث كلمات
التينية تعنى "قياس المثلث" وبواسطة هذا الفرع من فروع الرياضيات يمكن أن نعالج ونتعرف على األضالع
والزوايا غير المعلومة فى المثلث بمعلومية العناصر المعلومة منه، وسوف تدرس فى هذه الوحدة بعض القوانين
والعالقات التى تربط بين أضالع المثلث وزواياه.
ونشير هنا إلى أن العالم الرياضى ليونارد أويلر )1707 - 1783( المولود بالقرب من بازل بسويسرا هو أول من
استخدم الحروف اإلنجليزية الصغيرة )..........,a,b,c( لتشير إلى أضالع المثلث ، والحروف اإلنجليزية الكبيرة
)..........,A,B,C( لتشير إلى زواياه، كما أنه استخدم الحرفين R,r ليدال على طوال نصفى قطرى الدائرة الداخلة
والخارجة للمثلث واستخدام الحرف S ليدل على نصف محيط المثلث، كما توصل إلى القاعدة: abc = 4rRs أى
حاصل ضرب أطوال أضالع المثلث الثالثة يساوى 4 مضروبا فى طولى نصفى قطرى الدائرة الداخلة والخارجة
للمثلث ونصف محيطة.
الحظ أننا سوف نستخدم الحروف C/، ب/، جـ/ لتدل على أطوال أضالع المثلث، والحروف C، ب، جـ لتدل على
قياسات زواياه، وكذلك الحرف I ليدل على محيط المثلث، H لتدل على طول نصف قطر الدائرة، وقد نعبر عن
طول نصف قطر الدائرة الداخلة 1H ، وطول نصف قطر الدائرة الخارجة H ، إذا دعت الحاجة إلى ذلك.
مخطط تنظيمى للوحدة
قاعدة جيب التمامقاعدة الجيب
إيجاد طول ضلع مجهول
فى مثلث
إيجاد طول ضلع مجهول في مثلث
إيجاد قياس زاوية مجهولة
فى مثلث
إيجاد قياس زاوية مجهولة
فى مثلث
تطبيقات هندسية وحياتية
تطبيقات هندسية وحياتية
حل المثلث بوجه عام
إذا علم في المثلث قياسا زاويتين وطول
أحد أضالعه
إذا علم في المثلث طوال ضلعين وقياس الزاوية
المحصورة فيهما
إذا علم في المثلث أطوال أضالعه الثالثة
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
الة حاسبة علمية
الوحدة الرابعة
فكر و ناقشسبق أن تعلمت كيفية حل المثلث القائم الزاوية، واآلن سوف نتعامل مع مثلثات غير
قائمة الزوايا لتتعلم كيفية إيجاد أطوال أضالع وقياسات زوايا هذه المثلثات.إذا أعطيت أى تعلم أن كل مثلث يتكون من ستة عناصر، ثالثة أضالع وثالث زوايا، وثالثة عناصر منها فإنه يمكنك إيجاد العناصر الثالثة األخرى، وذلك باستخدام قانونى
الجيب من بينهما طول الضلع وجيب التمام، وعندئذ نقول: إنه أمكننا حل المثلث.
تعلم
The Sine rule قانون )قاعدة( الجيب )االثبات ال يمتحن فيه الطالب(
تمثل األشكال اآلتية ثالثة أنواع من المثلثات.قائم الزاويةمنفرج الزاويةحاد الزاوية
= E حا = C حا فى الشكل )1( حيث C ب جـ حاد الزوايا جـ/H2
، حا جـ = ب/H2
حا ب = وبالتالى يمكن استنتاج أن
C ب جـ منفرج الزاوية فى C فى الشكل )2( حيث المثلث]C حا = )C - c180( الحظ: حا[ E حا = )E - c180( حا = C حا
/CH2
= C حا ` /CH2
= E حا
جـ/H2
، حا جـ = ب/H2
وبالتالى يمكن استنتاج أن حا ب =
»استعن بمعلمك الثبات صحة ذلك«
C ب جـ قائم الزاوية فى C واآلن: حاول إثبات صحة ذلك، حيث المثلث
1 سدرقانون )قاعدة( الجيبال
The Sine rule
سوف تتعلم
المصطلحات األساسية
األدوات المستخدمة
Ñ .قانون )قاعدة( الجيب ألى مثلثÑ استخدام قانون )قاعدة( الجيب
فى حل المثلث.Ñ نمذجة وحل مشكالت رياضية
وحياتية باستخدام قاعدة الجيب.Ñ العالقة بين قانون )قاعدة( الجيب
ألى مثلث وطول نصف قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث
وحل مسائل عليها
Ñ آلة حاسبة علميةÑ برامج رسومية
Ñ Sine rule قاعدة الجيب�Ñ acute angle زاوية حادة�Ñ obtuse angle زاوية منفرجة�Ñ right angle زاوية قائمة�
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى110
وبصفة عامة قانون )قاعدة( الجيب فى المثلث C ب جـ هى:
= H2 حيث H طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه.جـ/
حا جـ =
ب/حا ب
= /
CC حا
اإيجاد اأطوال اأ�ضالع اأى مثلث:
مثال
ألقرب جـ/ ب/، من كالا أوجد 10٫2سم، = /
C ،c34 c(Xب(= ،c75 = )Cc( X كان إذا جـ ب C المثلث فى 1 سنتيمتر.
الحلc180 = ب + جـ + C a
)c34 + c75( - 180 = )ب + C( - c180 = جـ `
c71 = جـ/
c71 حا =
ب/
c34 حا = 10٫2
c75 حا `
جـ/حا جـ
= ب/
حا ب =
/
CC حا
a
10٫2 * حا c34 - 5٫9سمc75 حا
ب/ =
10.2 × sin 34 ,,, ( ÷ sin 75 ,,, ( = باستخدام اآللة الحاسبة
10٫2 * حا c71 - 9٫98سمc75 حا
جـ/ =
10.2 × sin 71 ,,, ( ÷ sin 75 ,,, ( = باستخدام اآللة الحاسبة
حاول أن تحل
، جـ/./
C ب/ = 91سم، فأوجد كل من ،c71 = )بc(X ،c61 = )جـc(X ب جـ إذا كان C فى المثلث 1
اإيجاد طول اأكبر �ضلع فى المثلث
مثال
، c49 /11 = )Cc( X ب جـ الذى فيه C أوجد طول أكبر ضلع فى المثلث c(Xب( = c76 /17 ، جـ/ = 11٫22سم
الحل= C( - c180 + ب( a جـ
c54 /32 = )c76 /17 + c49 /11( -c 180 = ` أكبر ضلع هو المقابل لزاوية ب، أى أن المطلوب هو إيجاد ب/
11٫22
c54 /32 حا =
ب/
c76 /17 حا `
جـ/حا جـ
= ب/
حا ب a
c76 - 13٫4سم/
11٫22 * حا 17c54 /32 حا
= ` ب/
C
ب
/ب
جـ
/جـ
c34
c75
/ = 10٫2 سمC
تذكر �أن
هو المثلث فى ضلع أكبر زاوية ألكبر المقابل الضلع والعكس أكبر زاوية فى المثلث
هى المقابلة ألكبر ضلع.
دعلا ةدعاق) وناق
111 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
1 سدرال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
حاول أن تحلأوجد طول أصغر ضلع فى المثلث C ب جـ، الذى فيه c(X ،c43 = )Cc(Xب( = c65، جـ/ = 8٫4سم
Solving the triangle using the sine rule حل المثلث با�ضتخدام قانون الجيب المقصود بحل المثلث هو إيجاد قياسات العناصر المجهولة فيه إذا علم منه ثالثة عناصر من العناصر الستة بشرط
أن يكون من بين العناصر المعلومة طول أحد األضالع على األقل، ألنه اليمكن حل المثلث إذا علم منه قياسات
ثالث زوايا، ويسمح لنا قانون الجيب بحل المثلث، إذا علم منه قياسا زاويتين وطول ضلع.
حل �لمثلث �إذ� علم منه قيا�ضا ز�ويتين وطول �ضلع: نتبع التالى:
/
C ب جـ إذا علم فيه قياسا الزاويتين ب، جـ والطول C الحظ أنه لحل المثلث
C ،c48 = )بc(X ،c36 = )Cc(X ب جـ الذى فيه C حل المثلث الحل
c96 = )c48 + c36( - c180 = )جـc(X ب/
c48 حا = 8
c36 حا `
ب/حا ب
= /
CC حا
a
` ب/ - 10٫114سم c48 8 * حاc36 حا
a ب/ =
وذلك باستخدام اآللة الحاسبة كاآلتى:
8 × sin 48 ,,, ( ÷ sin 36 ,,, ( = جـ/
c96 حا = 8
c36 حا `
جـ/حا جـ
= /
CC حا
a
8 * حا c96 - 13٫535سمc36 حا
` جـ/ =
وذلك باستخدام اآللة الحاسبة كاآلتى:
8 × sin 96 ,,, ( ÷ sin 36 ,,, ( =
حاول أن تحلc44 /19 = )عc(X ، c33 /16 = )سc(X ،حل المثلث س ص ع فيه ص/ = 107٫2سم
C
C/بجـ
Cب
جـ
8 سمب/
جـ/c36c48
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 11
Geometrical applications تطبيقات هند�ضية
مثال
= 15سم، c(X ،c60 = )Cc(Xب( = c45، أوجد X)cجـ(، وكل من ب/ وطول نصف قطر /
C ب جـ مثلث C الدائرة المارة برؤوس المثلث C ب جـ
الحل]c45 + c60[ - c180 = )جـc(X
c75 = c105 - c180 = 15
c60 حا =
ب/
c45 حا `
/
CC حا
= ب/
حا ب a
c45 15 * حاc60 حا
ب/ =
سم 6 5 = 3066 = 6
6 * 30
6 =
12
* 15
32
=
H2 = 56c45 حا
` H2 = ب/
حا ب a
H2 = 12 5 ` H2 = 561
2
`
سم 3 5 = H ` H2 = ) 3 2(5 `
حاول أن تحلC ب جـ مثلث فيه c(X ،c64 /23 = )Cc(Xب( = c72 /23، جـ/ = 18سم، أوجد
، ب/ وطول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث C ب جـ ./
C كل من
مثال
C جـ = 182سم مرسوم داخل دائرة مركزها م، وطول C ب = C ب جـ مثلث فيه نصف قطرها 100سم أوجد
طول القاعدة ب جـ أ
مساحة سطح المثلث C ب جـ ألقرب سنتيمتر مربع. ب
الحلفي C 9 ب جـ يكون:
H2 = جـ Cحا ب
حا ب = 0٫91 200 = 182حا ب
c65 /
30 //
` c(Xب( = 19
Cب/ = ؟
ب
جـ
15 سم
c60
c45
ر �أن تذك
12
=c45 حتا = c45 حا1 = c45 ظا
12 = c60 حتا ، 3
2 = c60 حا
3 = c60 ظا
تذكر �أن
مساحة سطح المثلث = 12 حاصل ضرب أى ضلعين *
جيب الزاوية بينهما
C
جـب
182 سم 182 سم
سم 10
0
م
E
دعلا ةدعاق) وناق
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 11
1 سدرال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
)c(Xبc(X = )جـ( ألن المثلث C ب جـ متساوى الساقين( )c65 /30 //19 * 2( - c180 = )Cc(X `
c48 /59 //22 -
c48 - 150٫9سم/
59 //
182 * حا 22c65
/
30 /
حا 19` ب جـ = 182
c65 /
30 //
حا 19ب جـ =
c48 /
59 //
حا 22 `
C جـ حا C * ب C 12 = ـ مساحة المثلث C ب ج
1 * 182 * 182 حا c48 /59 //22 - 12500 سم22 =
حاول أن تحلC ب جـ مثلث فيه C ب = C جـ = 10٫3سم، مرسوم داخل دائرة طول نصف قطرها 8٫4سم أوجد:
مساحة سطح المثلث C ب جـ ب طول القاعدة ب جـ أ
Life applications on the sine rule تطبيقات حياتية على قاعدة الجيب يمكن حل كثير من المسائل التى تحتوى على زوايا ومسافات بتركيب مثلث على هذا الموقف، ثم حل المثلث.
مثال
الشكل يمثل بالرياضة: الربط من العبين ثالثة المقابل
إحدى خالل القدم كرة فريق
بين المسافة أوجد المباريات.
الثالث والالعب الثانى الالعب
ألقرب قدم.
الحلc63 = )c47 + c70( - c180 = )بc(X
/
C والمسافة بين الالعب الثانى والالعب الثالث هى
92 * حا c47 - 76 قدماc63 حا
= /
C ` 92c63 حا
= /
Cc47 حا
فيكون:
المسافة بين الالعب الثانى والالعب الثالث هو تقريبا 76 قدما
حاول أن تحلأوجد المسافة بين الالعب األول والالعب الثانى ألقرب قدم.
�إر�ضاد
C
جـب
E
م
مساحة سطح متوازى االضالع
E = 2 مـ)C9 ب جـ( C ب جـ ومساحةC 9 ب جـ =
C 12 ب * C جـ حا ب C جـ
c70
c47
C
ب
جـ
/C
دما92 ق
الالعب األول
الالعب الثاني
الالعب الثالث
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 11
مثال
الربط بالجغرافيا: فى الشكل التالى ثالثة مواقع جغرافية تشكل مثلثا، إذا كانت المسافة بين الموقع C، والموقع ب، 236كم، والمسافة بين الموقع C والموقع جـ، 262كم، وكان قياس الزاوية عند الموقع ب يساوى c72، أوجد:
.C قياس الزاوية عند الموقع أ
المسافة بين الموقع جـ والموقع ب. ب
مساحة األرض التى تمثل المواقع C، ب، جـ رؤوسا لها. ج
فى كل مثلث C ب جـ، �أوجد قيا�سات ز�ويتى ب، جـ �لتى تحقق �ل�سروط �لمعطاة، �ر�سم �أ�سكالا لت�ساعدك فى تقرير ما �إذ� كان هناك مثلثان ممكنين �أم مثلث و�حد.
= 93سم، ب/ = 125سم/
C ،c48 = )بc(X = 30سم، ب/ = 32سم /
C ،c62 = )Cc(X
= 9٫8سم، ب/ = 17سم/
C ،c23٫6 = )Cc(X
فى المثلث C ب جـ، c(X ،c67 /22 = )Cc(Xجـ( = c44 /33، ب/ = 100 سم، أوجد محيط المثلث C ب جـ 0 ومساحة سطحه.
في المثلث س ص ع إذا كان ص/ = 68٫4سم، c(Xصc(X ،c100 = )ع( = c40 ، أوجد س/ وطول نصف 1 قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث س ص ع، ثم أوجد مساحة سطح المثلث .
، ب/ ألقرب /
C c67 ومحيطه 30سم أوجد كل من c(Xب( = 23/ ،c22 /37 = )Cc(X فيه C ب جـ مثلث سنتيمتر
/
C أوجد قيمة ، c56 = )جـc(X ،c82 = )بc(X ،2ب جـ مثلث مساحة سطحه 450سم C
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 11
C ب جـ E متوازى أضالع فيه C ب = 18٫6سم، c(Xجـ C بEc(X ،c36 /22 = ) ب c44 /38 = )C، أوجد طول C جـ ومساحة سطح متوازى األضالع. القطر
،c32 /15 = )جـ ب Cc(X ،c115 = )Ec(X ،22٫3سم = E C ، ب جـ// E C C ب جـ E شبه منحرف فيه ، جـ ب. C جـ c(Xب( = c66، احسب طول كل من
. C جـ C ب جـ E هـ مخمس منتظم طول ضلعه 18٫26سم، أوجد طول قطره
E C الذى C جـ وتران فى دائرة طوالهما 43٫5سم، 52٫1سم، مرسومان فى جهتين مختلفتين من القطر ، C ب طوله 100سم أوجد:
طول ب جـ ب c(Xب C جـ( أ
،c36 = )C جـ c(Xب ،c87 = )C E c(Xجـ ،c85 = )E جـ c(Xب فيه رباعى شكل E جـ ب C C جـ ،E ب c(Xب c55 = )C E، جـ E = 100سم ، أوجد طول كل من
. = 58سم، c(Xبc(X ،c38 = )جـ( = c62 ، أوجد طول العمود النازل من C على ب جـ/
C ب جـ مثلث فيه C
، ب/ /
C 6 + 2(سم، فأوجد كل من + ب/ = )/
C 45، فإذا كانc = )بc(X ،c60 = )Cc(X ب جـ مثلث فيه C 0
،c61 /19 = c(Xب( ،c100 = )Ec(X 10٫7سم، = E C ، //ب جـ E C فيه منحرف شبه E جـ ب C 1 ، ب جـ C جـ c(Xجـ c33 /50 = )E C، أوجد طول كل من
C ب جـ فيه C قطعة أرض على شكل مثلث هذه القطعة ومساحتها.
تفكير إبداعى :
منارتان C، ب المسافة بينهما 20كم على خط واحد من الشمال إلى الجنوب، إذا كان قائد سفينة فى الموقع جـ، بحيث Cc(X جـ ب( = c33 وعامل راديو فى الموقع ب بحيث X)Cc ب جـ( = c52 ، فأوجد المسافة بين
منارةالسفينة وكل من المنارتين.C
20 كم
c52
c33
بمنارة
جـالسفينة
دعلا ةدعاق) وناق
11
1 سدرال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
الوحدة الرابعةقانون )قاعدة ( جيب التمام
The Cosine rule س درال
سوف تتعلم
المصطلحات األساسية
األدوات المستخدمة
Ñ قانون )قاعدة( جيب التمام ألىمثلث.
Ñ استخدام قانون )قاعدة( جيبالتمام فى حل المثلث.
Ñ نمذجة وحل مشكالت رياضيةوحياتية باستخدام قاعدة جيب
التمام.
Ñ آلة حاسبة علمية
Ñ Cosine rule قاعدة جيب التمام�Ñ Acute angle زاوية حادة Ñ Obtuse angle زاوية منفرجة�Ñ Right angle زاوية قائمة�
فكر و ناقش
كل من المثلثات التالية لها ضلعان طولهما 3سم، 4سم ، فى شكل )Cc(X ،)1( قائمة،
باستخدام نظرية فيثاغورث./
C وبالتالى يمكن إيجاد طول
Cب
C
جـ
سم 3
4 سمCب
جـ
C 3 سم
4 سم4 سم
3 سم
C
جـب
C
شكل )3( شكل )2( شكل )1(
./
C أ من شكل )1( أوجد
في حالة ما تكونCc زاوية حادة )شكل 2( ؟/
Cب ما القيم الممكنة لـ
فى حالة ماتكونCc زاوية منفرجة )شكل 3( ؟/
Cج ما القيم الممكنة لـ
د هل يمكن حل المثلثين فى شكلى )2( ، )3( إذا علمتX )Cc ( باستخدام قانون
الجيب ؟ فسر إجابتك.
يساعدنا قانون )قاعدة( جيب التمام فى حل مثل هذه المثلثات ، حيث يربط طول
ضلع أى مثلث بقياس الزاوية المقابلة لهذا الضلع.
تعلم The Cosine rule قانون )قاعدة( جيب التمام
ينص قانون )قاعدة ( جيب التمام على أنه :
فى أى مثلث C ب جـ يكون :
2/
C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/
= C ومنه حتا C 2 = ب/2 + جـ/2 - 2 ب/جـ/ حتا/
C
/2 - ب/2
C + 2/جـ/
C /2جـ حتا ب ومنه حتا ب =
/
C /2 - 2 جـ/C+ 2/ب/2 = جـ ،
/2 + ب/2 - جـ/2
C/ ب/
C 2/ ب/ حتا جـ ومنه حتا جـ =
C 2 - 2/2 +ب/
C+ 2/جـ ، 2/
C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/
= C حتا ، C 2 = ب/2 + جـ/2 - 2ب/جـ/ حتا/
C : وليكن المطلوب إثبات أن
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى0 1
البرهان : )ال يمتحن فيه الطالب(
C جـ على محور السينات ورأسهC عند نقطة ارسم المثلث أ ب جـ على المستوى اإلحداثى، بحيث يكون قاعدته
األصل، وذلك كما فى شكل )1( ، )2( التاليان :
C سس
ص
C
بجـ
شكل ) 2 (
) C حـ/ حا ، C ب) حـ/ حتا
ص
حـ ) ب/ ،0(
شكل ) 1 (C
سس
ص
C
ب
جـ
حـ ) ب/ ،0(
) C حـ/ حا ، C ب) حـ/ حتاص
البعد بين النقطتين ب)حـ/ حتا C ، حـ/ حا C ( ، حـ ) ب/ , 0( هو
)قانون البعد بين نقطتين( 2 ) 0 - C ب/(2 + ) حـ/ حا - C (2 = ) حـ/ حتا/
حاول أن تحل)C c(X 2 = )جـc(X 12 سم ، ب/ = 15سم ، جـ/ = 18 سم ، أثبت أن =
/
C ب جـ إذا كان C المثلث
ا�ضتخدام قانون )قاعدة( جيب التمام فى حل المثلث يسمح لنا قانون جيب التمام بحل المثلث بمعلومية طولى ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما وفى هذه الحالة
يوجد مثلث وحيد.
حل المثلث بمعلومية طولى �ضلعين وقيا�س الزاوية المح�ضورة بينهما Solving the triangle in the terms of the lengths of two sides and measure of the angle included
مثال
c20 = )جـc(X ، 11سم ، ب/ = 5سم = /
C ب جـ الذى فيه C حل المثلث الحل
ب/ حتا جـ/
C2 - 2/2 + ب/
C = 2/جـ a
c20 جـ/2 = )11(2 + )5(2 - 2 *11 * 5 حتا `
+)5(2 - 2 * 11 * 5حتا 20 ` جـ/ = )11(2
- 6٫529سم
2/
C - 2/ب/2 + جـ2ب/ جـ/
= C حتا
0٫817- - 2 )11( - 2)6٫529( + 2)5(
6٫529 * 5 * 2 =
c144٫786 - )Cc(X `
c(Xبc(X + )Cc(X [ - c180 = )جـ( [
] c 20 + c144٫786 [ - c180 =
c15٫214 =
c144 /47 //96 = )Cc(X ، 6٫529 = /جـ`
c15 /12 //50 -)بc(X
تذكر �أن
)c60-c180( حتا = c120 حتا 12 - = c60 حتا - =
)c60- c180( حا 120 = حا
32
= c60 حا =
C
5 سم
11 سم
ب
جـ
جـ
تذكر �أن
حل المثلث يعنى إيجاد عناصره المجهولة، وفى هذه الحالة يكون المطلوب هو إيجاد كل من حـ/ ،
c(X ، )Cc(Xب(
لحظ �أن
فى زاوية قياس إيجاد عند بمعلومية طولى ضلعين مثلث المحصورة، الزاوية وقياس جيب قانون استخدام يفضل قانون من استخدام بدال التمام
الجيب، وذلك ألن : فى حالة استخدام قانون الجيب أو الحادة الزاوية جيب فإن
المنفرجة دائما موجب.قانون استخدام حالة فى أما كانت إذا فإنه التمام جيب جيب فإن منفرجة الزاوية
تمامها يكون سالبا .فإن حادة الزاوية كانت وإذا
جيب تمامها يكون موجبا
دعلا ةدعاق) عاق ونونعق
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
حاول أن تحل
c42 /18 = )بc(X ، 24٫6سم ، جـ/ = 14٫2سم = /
C ب جـ الذى فيه C حل المثلث
يسمح لنا قانون جيب التمام بحل المثلث أيضا بمعلومية أطوال أضالعه الثالثة ، علما بأن مجموع طولى أى ضلعين
منهما أكبر من طول الضلع الثالث، وفى هذه الحالة يوجد مثلث وحيد.
Solving the triangle knowing its three side lengths حل المثلث بمعلومية اأطوال ا�ضالعه الثالثة
مثال
= 6سم ، ب/ = 8سم ، جـ/ = 12سم/
C ب جـ الذى فيه C حل المثلث الحل
المطلوب إيجاد قياسات زوايا المثلث الثالثة فيكون:
2)6(- 2)12( + 2)8(
12* 8 * 2 =
2/
C - 2/ب/2 + جـ2 ب/ جـ/
= C حتا
4348 =
c26 /23 //4 - )Cc( X ` 2)8(- 2)6( + 2)12(
6* 12 * 2 =
/2 - ب/2
C + 2/جـ /
C 2 جـ/
حتا ب =
2936 =
c36 /20//10 - )بc( X `
]c36/20//10 +c26/23//4[ - c180 = )جـc( X `
c117 /16 //46 =
حاول أن تحل = 12,2 سم ، ب/ = 18٫4سم ، جـ / = 21٫1 سم
/
C ب جـ الذى فيه C حل المثلث
الكتابة فى الرياضياتالتمام أم قانون الجيب تعلم قياسات الزوايا الثالثة فى مثلث ما ، فهل يمكنك استخدام قانون جيب افرض أنك
ر إجابتك. إليجاد طول ضلع فى هذا المثلث ؟ فس
Geometrical applications on the cosine rule تطبيقات هند�ضية على قانون )قاعدة ( جيب التمام
مثال
E C ، أوجد : c(Xجـ( ، = 5سم ، ب/ = 2سم ، جـ/ = 4سم ، نصفب جـ فى E ثم صل/
C ب جـ مثلث فيه C ) E C جـ c(X
C
6 سم
12 سم
ب
جـ
8 سم
تذكر �أن
المثلث يعنى إيجاد عناصره حل المجهولة، وفى هذه الحالة يكون المطلوب هو إيجاد كل من حـ/ ،
c(X ، )Cc(Xب(
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
الحلفي المثلث C ب جـ
/2+ ب/2 - جـ/2
C / ب/
C 2حتا جـ =
1320 =
2)4(- 2)2( + 2)5(2 * 5 * 2
=
c49 /27//30 - ) جـc( X `
فى المثلث E Cجـ
)E ( = 2)E CجـC( + 2) جـ(E 2 - 2جـ * جـ C حتا جـ
c49 /27//30 5 * 2 حتا2 * 2 - 2)2( + 2)5
2( =
3٫7499 -
` E C - 1٫94 سم
2٫5E C حا جـ = 1٫94
c49/27//30حا `
0٫979 - c49/27//302٫5* حا1٫94
=E C حا جـ `
c78 /14//14-) E C جـc(X `
حاول أن تحل C ب جـ مثلث فيه ب جـ = 20سم ، c(Xبc(X ، c29 = )جـ( = E ، c73 منتصفب جـ ، أوجد طول كل
مقربا ألقرب رقمين عشريين. E C C ب ، من
مثال
c111 = )E C ب c(X ، ب جـ// E C C ب جـ E شبه منحرف فيه E ب = 21٫4سم ، أوجد 15سم، = E ، ب جـ = 28٫6سم ، جـ
. E C E c(X ب جـ( ، وطول
الحلفي المثلث E ب جـ
2)E(2 - )جـE ب جـ(2 +)ب(
E 2 ب جـ * بحتا E ب جـ =
0٫8586 - 2)15( - 2)21٫4(+ 2)28٫6(
21٫4 * 28٫6 * 2 =
c30 /50 //25 -) ب جـ E c( X `
E ب قاطع لهما //ب جـ ، E C a
` E Cc( X ب E c( X = ) ب جـ( بالتبادل
/ = 2سمجـ/ = 4سم بC
؟
جـب E = 5سم
/
C
C
؟
15 سم
28٫6 سم
21٫4 سم
c111
جـب
E
دعلا ةدعاق) عاق ونونعق
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
: E ب C فى المثلث `
)c30 /50 //25 + c111( - 180= ) E ب C c( X
c38 /9 //35 =
ويكون : 21٫4
c111 حا = E C
c38/9//35حا
c38/9// 35 21٫4 * حا
c111 حا = E C `
- 14٫16 سم
حاول أن تحل، c41 = )ب جـ C c( X ، 37سم = E C ، E C //ب جـ ، ب جـ = 63سم ، فيه E شبه منحرف C ب جـ 10
. E أوجد طول جـ ،c105 = )جـC بc( X
مثال
C ,9سم =CE ،8 سم = E ب = 9سم ، ب جـ = 5سم ، جـ C شكل رباعى فيه E ب جـ C جـ= 11سم، أثبت أن الشكل C ب جـ E رباعى دائرى.
الحلفي المثلث C ب جـ
16 - =
2)11(- 2)5(+ 2)9(5 * 9 * 2
حتا ب =
فى المثلث E C جـ
16 =
2)11(- 2)8(+ 2)9(8 * 9 * 2
= E حتا
ويكون حتا E = - حتا ب
c180 = )بc(X + )Ec(X أى أن
وحيث إن c، Ec ب زاويتان متقابلتان فى الشكل C ب جـ E ومتكاملتان
)وهو المطلوب( ` الشكل C ب جـ E رباعى دائرى.
حاول أن تحلC ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 2٫7سم ، C جـ = 7٫2 سم، ب جـ = 6٫3سم، جـ E = 4٫5سم ، ب E = 7٫2سم. 11
أثبت أن الشكل C ب جـ E رباعى دائرى.
تذكر �أن
هو الدائرى الرباعى الشكل األربعة رؤوسه تنتمى شكل
إلى دائرة واحدة.متى يكون الشكل "رباعى دائرى"؟
متقابلتان زاويتان فيه وجد إذا متكاملتان.
الخارجة الزاوية إذا كان قياس رؤوسه من رأس أى عند الداخلة الزاوية قياس تساوى
المقابلة للمجاورة لها.مرسومتان زاويتان فيه وجد إذا على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة
منها ومتساويتان فى القياس.بعد على رؤوسه كانت إذا
ثابت من نقطة ثابتة.
C
5 سم
8 سم
9 سم
9 سم
11 سم
جـب
E
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
مناقشة: لكل من المثلثات التالية ، اكتب الصيغة الصحيحة لقانون الجيب أو قانون جيب التمام إليجاد ما هو مطلوب )يشار إليه باللون األحمر(، استخدم فقط المعلومات المعطاة والمشار إليها باللون األزرق.
C
ب Cجـ
ب؟
C
جـب C
ب
؟
جـ
C ب
جـ
Cب؟
جـ
Life applications on the cosine rule تطبيقات حياتية على قانون جيب التمام
مثال المقابل الشكل في والسياحة: بالرياضة الربط مياه فى الغطس رياضة السائحين أحد يهوى
النادرة المرجانية األعشاب ليشاهد األحمر البحر
واألسماك الملونة الرائعة، وفى إحدى مرات الغوص
نظر الغواص ألعلى بزاوية قياسها c20 فرأى حبارا
يبعد عنه مسافة 3 أمتار، وعندما نظر ألسفل بزاوية
4 مسافة عنه تبعد حمراء سمكة cرأى 40 قياسها
أمتار ، فما المسافة بين الحبار والسمكة الحمراء؟
الحلواضح من الرسم أننا نعلم طولى ضلعين فى المثلث وقياس الزاوية المحصورة بينهما؛ لذا يمكننا استخدام قانون
جيب التمام، وذلك كاآلتى:
C ب/2 + جـ/2 - 2ب/ جـ/ حتا = 2/
C
c 60 4(2 + )3(2 - 2 * 4 * 3 حتا( =
13 =
- 3٫6 أمتار /
C `
أى أن المسافة بين الحبار والسمكة الحمراء يساوى 3٫6 أمتار تقريبا.
حاول أن تحل
انعطف ثم اتجاه معين، بالدراجة مسافة 6كم فى فإذا سار ، الدرجات بالرياضة: يهوى هانى ركوب الربط 1 بزاوية قياسها c79 ، ثم سار مسافة 7كم، ما المسافة بين النقطة التى بدأ منها هانى السير بالدراجة والنقطة
التى وصل إليها مقربا ألقرب كم؟
4 أمتار
الحبار
سمكة حمراء
الغواص
خط نظر الغواص3 م
c40c20
ب
C
جـ
دعلا ةدعاق) عاق ونونعق
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
مثال
الربط بالرياضة: فى إحدى مباريات كرة القدم كان العب خط الوسط علي بعد 20 مترا من العب الجناح 10 األيمن، ودار العب خط الوسط بزاوية قياسها c40، فرأى العب الجناح األيسر على بعد 16 مترا منه ، ما
المسافة بين العبى الجناحين ؟
الحلح، ارسم شكال يمثل المسألة وذلك كما هو موض
C ب/2 + جـ/2 - 2ب/جـ/ حتا = 2/
C
c40 16(2 + )20(2 - 2 * 16 * 20 حتا ( =
- 12٫87 متر
المسافة بين الجناح األيمن والجناح األيسر هو حوالى 12٫87 مترا.
حاول أن تحلالمالهى، مدينة فى المتصادمة السيارات ساحة فى العاب 1 ما ، المقابل بالشكل مبين هو كما ب ، C السيارتان اصطدمت
المسافة بين السيارتين قبل تصادمهما؟
Measuring the distance indirectly مثال قياس المسافة بطريقة غير مباشرة
11 فى الشكل المقابل أراد شادى أن يقيس المسافة بين النقطتين C ، ب فى جهتين مختلفتين من مبنى ، وذلك من الموقع جـ الذي يبعد عن C مسافة 33
ح بالشكل المقابل ، إذا كان مترا، وعن ب مسافة 48 مترا، كما هو موض
c(Xجـ( = c54، فأوجد المسافة C ب )مقربا ألقرب رقمين عشريين (.
الحلفي المثلث C ب جـ المسافة C ب = جـ/
ب/ حتا جـ/
C 2 - 2/2 + ب/
C = 2/جـ
c54 48(2 + )33(2 -2 *48*33 حتا( =
1530٫8963 -
جـ/ - 39٫12مترا
حاول أن تحلمن المسافة قياس سناء ارادت األراضى حسابات مساحات 1 يقعان فى جهتين مختلفين من اللذان النقطة ب، إلى C النقطة
بحيرة ، فوقفت فى الموقع جـ ، الذى يبعد عن النقطة C مسافة
258 مترا ، وعن النقطة ب مسافة 25٫5 مترا ، وقاست cجـ
C ب )مقربا ألقرب رقمين عشريين( فوجدتها c 78، أوجد طول
الجناح األيمن
العب خط الوسط
الجناح األيسر
جـ؟ب
C
16 متار20 مترا
c40
C بc120
جـ
؟
7 أمتار6 أمتار
C
48 مترا
جـ
ب
33 مترا
c54
C258 مترا
25٫5 متراc78
جـ
ب
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
تمـــــــاريـــن الدرس الثانى 1 أكمل ما يأتى:
أ فى أى مثلث س ص ع يكون : ص/2 +ع/2 .......
................................... ، حتا س =
س/2 = ص/2 +ع/2
c............................ب مثلث أطوال أضالعه 13، 17، 15 من السنتيمترات، فإن قياس أكبر زواياه هو
ج مثلث أطوال أضالعه 5٫7سم ، 7٫5سم ، 4٫2سم، فإن قياس أصغر زواياه هو ............................
= 9سم ، ب/ = 15سم ، جـ/ = 21 سم ، أوجد قياس أكبر زاوية فى هذا المثلث ، وأثبت أنها /
C ب جـ مثلث فيه C 3 حا جـ + 8 = 0 تحقق العالقة حتا جـ - 5
10 -2( والزاوية المحصورة بينهما c60 أوجد طول الضلع الثالث . ( ، )2 + 10 ضلعان من أضالع مثلث طوالهما )
= 8سم ، ح - ب/ = 6سم ، ح - جـ/ = 4سم فأوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث، حيث /
C - ب جـ مثلث فيه ح C + ب/ + جـ/
/
C = 2 ح
= 98 سم، حيث 2 ح هو محيط المثلث، فأوجد /
C + 26سم ، ب/ = 28سم ، ح = /
C- ب جـ إذا كان ح C فى المثلث أطوال أضالع المثلث ، ثم قياس أصغر زاوية فى هذا المثلث.
C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 3سم ، Cجـ = 8سم ، ب جـ = 7سم ، جـ E = 5سم ، ب E = 8سم ، أثبت أن 10 الشكل رباعى دائرى.
C جـ = 25 سم ، C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 15سم ، ب جـ = 20سم ، جـ E = 16سم, 11 .E ب جـ C جـ ألقرب سنتيمتر ، ثم أوجد مساحة سطح الشكل الرباعى C Cc(Xجـ c 36 /52 =)E، أوجد طول
ب E يساوى 14سم ، أوجد طول C ب جـ E متوازى أضالع فيه C ب = 12سم ، ب جـ = 10سم ، طول القطر 1 . C جـ القطر
إذا كانت النسبة بين جيوب زوايا مثلث هى 2 : 3: 4 أوجد النسبة بين جيوب تمام زوايا هذا المثلث . 1
c 60 = )بc(X 2 + ع/س/ أثبت أن)/فى المثلث س ص ع إذا كان ص/2 = )ع/ - س 1
،c97 /78 = )E جـ ب c(X ، 96سم = E جـ ، سم 78 = جـ ب فيه رباعى شكل E جـ Cب 1 . C ب C c(X ب E C c(X ،c72 /35 = )E ب( = c43 /18 أوجد طول
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى0 1
E C ينصف إذا كان C ب جـ مثلث فيه C ب = 16سم ، C جـ = 24 سم ، c80 = )C c(X ، أوجد طولب جـ ، و 1 E C C c من الداخل ويقطعب جـ فى E ، أوجد طول
قياس كل أوجد أطوال اضالعه 1٫2كم، 2كم، 1٫8كم، مثلث للسباق على شكل ميدان : بالرياضة الربط 1 زاوية من زواياه.
مساحات األراضى : قطعة أرض على شكل مثلث أطوال أضالعه 300م ، 210م ، 140 م ، استخدم قانون جيب 1 التمام إليجاد مساحة قطعة األرض مقربا ألقرب متر مربع.
الربط بالرياضة : يركب كريم دراجته ليقطع المسافة من النقطة C إلى 1 النقطة ب ثم إلى النقطة جـ بسرعة 28 كم/ساعة، ثم يعود من النقطة
تستغرقها دقيقة كم 35كم/ساعة، بسرعة مباشرة C النقطة إلى جـ
إيابا ، قرب ألقرب جزء من عشرة. رحلة كريم ذهابا و
الرياضيات: قارن بين الحاالت التى تستطيع فيها استخدام قانون الجيب لحل مثلث بتلك التى الكتابة فى 0 تستطيع فيها استحدام قانون جيب التمام.
C
5 1٫كم
1٫25كمc130
ب
جـ
دعلا ةدعاق) عاق ونونعق
1 1 كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول
س درال
كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
�س الوحدة ملخ
للمثلث ستة عناصر هى ثالثة أضالع وثالث زوايا . 1
حل المثلث يعنى إيجاد عناصره المجهولة بداللة عناصره المعلومة، وقد استخدمنا 2فى هذه الوحدة قانونى الجيب وجيب التمام مع اآللة الحاسبة العلمية لحل المثلث
وحل تطبيقات هندسية وحياتية.
قانون )قاعدة( الجيب:في أى مثلث ، تتناسب أطوال أضالع المثلث مع جيوب الزوايا المقابلة لها، أى أنه فى 3جـ/
حا جـب/ =
حا ب =
/
CC حا
أى مثلث Cب جـ يكون :
قياسا ½ علم متى المثلث حل فى القانون هذا استخدام أمكن وقد
زاويتين وطول ضلع فيه:
فى أى مثلث C ب جـ يكون: 4
جـ/ = 2 نقحا جـ
ب/ = حا ب
= /
CC حا
حيث H طول نصف قطر الدائرة الخارجة للمثلث C ب جـ ½
قانون )قاعدة ( جيب التمام: 5ينص قانون )قاعدة( جيب التمام على أنه: فى أى مثلث C ب جـ يكون ½
2 /
C- 2/ب/2 + جـ2 ب/ جـ/
= C ومنه حتا C 2 = ب/2 + جـ/2 - 2ب/جـ/ حتا/
C
2 - ب/2
/
C + 2/جـ/
C 2 جـ/
حتا ب ومنه حتا ب = /
C/2 - 2ب/
C + 2/ب/2 = جـ
2 + ب/2 - جـ/2
/
Cب/
/
C 2ب/ حتا جـ ومنه حتا جـ =
/
C2 - 2/2 + ب/
C = 2/جـ
استخدام قانون جيب التمام فى حل المثلث: 5يمكن استخدام قاعدة جيب التمام فى حل المثلث إذا علم : ½
طوال ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ½
أطوال أضالعه الثالثة. ½
جـب
ب جـ
C
C
جـب
ب جـ
C
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
تــــــمارين عامة
1 أكمل مايأتى:أ فى أى مثلث ، تتناسب أطوال أضالعه مع .......................
ب يمكن استخدام قاعدة جيب التمام فى إيجاد قياسات زوايا المثلث إذا علمت ....................... أو .......................
ج أكبر األضالع طوال فى المثلث يقابل .......................
د يمكن استخدام قانون الجيب فى إيجاد طول أى ضلع فى المثلث إذا علم منه.......................
، ب/ ، Cc(X( فإنه يمكن استخدام القاعدة .......................إليجاد X)cب(./
C ب جـ معلوم به C ه مثلث
و مثلث س ص ع معلوم به ع/ ، ص/ ، c(Xس( فإنه يمكن استخدام القاعدة ....................... إليجاد س/.
ز مثلث ل م ن معلوم به ل/، م/ ، ن/ ، فإنه يمكن استخدام قاعدة .......................إليجاد c(Xل(
اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:أ في المثلث س ص ع ، إذا كان س/ = 15سم، ص/ = 25 سم، ع/ = 35 سم فإن قياس أكبر زاوية في المثلث تساوى :
c 90 )4( c 40 )3( c120 )2( c150 )1(
=4سم ، ب/ = 7سم ،c(Xجـ( = c120، فإن مساحة سطح المثلث C ب جـ تساوى:/
C ب جـ إذا كان C ب فى المثلث 2 سم2 7 )4( )3( 28سم2 3 سم2 7 )2( )1( 14سم2
3 سم ، فإن طول قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث يساوى : ج س ص ع مثلث متساوى األضالع ، طول ضلعه 10 )4( 20سم )3( 15سم )2( 10سم )1( 5سم
يساوى :/
C فإن ،c30 = )Cc(X ، د إذا كان طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث س ص ع يساوى 5سم
)4( 20سم )3( 10سم )2( 5سم )1(10 سم
= 5سم ، ب/ = 7سم ، جـ/ = 8سم، فإن c(Xب( تساوى :/
C ب جـ ، إذا كان C ه فى المثلث
c 120 )4( c45 )3( c60 )2( c30)1(
= 3سم ، ب/ = 5سم ، جـ/ = 7سم، فإن قياس أكبر زاوية فى المثلث تساوى :/
C ب جـ ، إذا كان C و فى المثلث
c 120 )4( c45 )3( c60 )2( c30 )1(
أوجد القياسات غير المعلومة فى كل مثلث ممايأتى:
c80
c55
ل
نم
13 سم
ب س
24 سم
14 سم
ص12 سم
ع
أ
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
متعرين اعمة
C ب جـ مثلث ، أوجد القياسات غير المعلومة فى كل مثلث مقربا ألقرب جزء من مائة :
أ c 60 = )Cc(X، ب/ = 10سم ، جـ/ = 9سم.
= 3سم. /
C ، c 58 = )جـc(X ،c 25 = )بc(X ب
د ثالثة من قياسات عناصره متضمنة طول أحد األضالع، ثم سؤال مفتوح: ارسم مثلثا مختلف األضالغ، حد أوجد قياسات العناصر الثالثة األخرى.
= 8سم ، ب/ = 15سم، جـ/ = 17سم أوجد c(Xجـ( /
C ، ب جـ C أ فى المثلث ر إجابتك. = 8سم ، ب/ = 15سم ، جـ/ = 18سم ، هل cجـ حادة أم منفرجة ؟ فس
/
C ب جـ إذا كان C ب فى المثلث
C ب زاويتين قياسهما ب E يصنعان مع ضلعه ، C جـ C ب = 19٫77سم ، قطراه E متوازى أضالع فيه Cب جـ c44 /58 ،c36/22 ، أوجد طولى القطرين.
C ب جـ E شكل رباعى فيه C ب = 27سم ، ب جـ = 12سم ، جـ E= 8سم ، CE= 12سم ، Cجـ = 18 سم ، أثبت أن .E C ب cجـ ينصف C
C ب جـ مثلث فيه c(X ،c52 /17 = ) C c(Xب( = c77 /6، ومحيط المثلث يساوى 80٫4سم ، أوجد أطوال أضالعه .
C ب جـ مثلث فيه جـ/ =7٫6سم ، ، c(X ،c80 = )Cc(Xب( = c47، أوجد محيط هذا المثلث ، وطول نصف 10 قطر الدائرة المارة برؤوسه.
C ب جـ E متوازى أضالع تقاطع قطراه فى م ، C جـ = 16سم، ب E= 20سم C c(X م ب( =c54 احسب طول 11 ألقرب سنتيمتر. E C
Cب جـ مثلث فيه ب جـ = 20سم ، c(Xبc(X ،c29 = )جـ( = E ،c73 منتصفب جـ ، أوجد طول كل من 1 E C مقربا ألقرب رقمين عشريين. C ب ،
C ب جـ مثلث فيه C جـ = 4٫7سم، c(Xبc(X ،c 34 = )جـ( = c66، أوجد طولب جـ ، ثم أوجد محيط 1 الدائرة التى تمر برؤوس المثلث أ ب جـ .
2 ، ب/ = 2٫5سم ، جـ/ = 2سم، أثبت أن المثلث C ب جـ متساوى الساقين.5 =C ب جـ مثلث فيه حتا C 1
.C ب/:جـ/ = 4 : 5 : 6 أوجد حتا: /
C ب جـ مثلث فيه C 1
حل المثلث C ب جـ الذى فيه ب/ = 11سم ، c(X ، c67 = )Cc(Xب( = c 46مقربا األطوال ألقرب سنتيمتر. 1
c53 /8= )Cc(X ، 13سم، جـ/ = 15سم = /
C ب جـ الذى فيه C حل المثلث 1
كان فإذا ، 2 : 3 متجاوريين ضلعيين طولي بين والنسبة سم 30 محيطة األضالع متوازى E جـ ب C 1 C جـ . E C c(Xحـ( = c60 فأوجد طول
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
51٫7سم، = Cجـ 38٫4سم، =E جـ 26٫3سم، = E C ، //ب جـ E C فيه منحرف شبه E جـ ب C 1 c(X بc103 /15= )E C أوجد طولب جـ .
الربط بالرياضة : جرى أحمد مسافة 8كم فى اتجاه معين ، ثم انعطف بزاوية قياسها c80، وجرى مسافة 9كم 0 ، ما المسافة بين النقطة التى بدأ منها أحمد الجرى والنقطة التى وصل إليها؟
بالرياضة: فى إحدى مباريات كرة القدم كان العب خط الوسط على بعد 15مترا من العب الجناح الربط 1 األيمن، ودار العب خط الوسط بزاوية قياسها c45، رأى الجتاح األيسر على بعد 17 مترا منه ، ما المسافة بين
العبى الجناحين؟
النقطة جـ إلى ثم النقطة ب إلى C النقطة من المسافة ليقطع البخارية دراجته أحمد : يركب المواصالت بسرعة 50كم/ ساعة ثم يعود من النقطة جـ إلى النقطة C مباشرة بسرعة 60كم/ساعة ، كم دقيقة تستغرقها
إيابا مقربا ألقرب جزء من عشرة من الدقيقة؟ الرحلة ذهابا و
C
2٫15 كم
2٫5كمc130ب
جـ
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
متعرين اعمة
اختبار تراكمى
د : اأ�ضئلة االختيار من متعد c120 1 بدون استخدام اآللة الحاسبة تكون قيمة حتا
23
د 32
ج ب -12 12 أ -
العالقة التى تربط بين ظا هـ، قا هـ تعطى على الصورة : د ظا2 هـ + 1 = قا2 هـ ج ظا2هـ - قا2هـ =1 ـ ب قا2هـ -1 = ظا2ه ـ أ ظا2هـ - 1 = قا2ه
3 سم يكون طوله: 2 /
C ، c60 = )Cc(X ب جـ الذى فيه C نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث
سم 32
د 3 ج 2 3 سم ب أ 2سم
مساويا م/2 + ن/2 - ل/2
2 م/ ن/ فى أى مثلث ل م ن يكون المقدار :
د حا ن حا ل ج ب حتا م أ حتا ل
فى المثلث C ب جـ يكون ب/ مساويا
جـ/ حا جـ
/
Cد جـ/ حا ب
/
Cج جـ/ حا جـ
حا ب ب جـ/ حا ب حا جـ
أ
= 12، ب/ =28، جـ/ = 20 فإن c(Xب( تساوى :/
C ب جـ ، إذا كانC فى المثلث c150 د c120 ج c60 ب c 30 أ
اأ�ضئلة ذات اإجابات ق�ضيرة :
فى المثلث س ص ع إذا كان س/ = 10سم ، c(Xسc(X ،c30 = )ص( = c45 ، فأوجد ص/ مقربا ألقرب رقم عشرى واحد.
= 4سم ، ب/ = 5سم ، جـ/ = 6سم ، أوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث، ثم أوجد مساحته./
C ب جـ مثلث فيه C
االأ�ضئلة ذات االإجابات الطويلة :c(X 1ع(، وطول نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه
c(X 2ص( =2س ص ع مثلث فيه : c(Xس( =3
10سم، أوجد مساحة سطح المثلث س ص ع .
= 12سم ، c(Xب( = 25فc66، جـ/ = 5سم /
C ، ب جـ الذى فيه C حل المثلث 10
، سم 12 = جـ ب ،c82 /49 = )Cc(X ، 10سم = EC ، 8سم = ب C فيه رباعى Eشكل جـ ب C 11 . E جـ c(X جـ ب c68 /54 = )E ، أوجد طول
د عبارلد ةدحولا تاثعث وااباعح
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
اختبارات عامة
الجبر االختبار األول
اجب عن االأ�ضئلة االآتية:
السؤال األول: أكمل مايأتى:فى الشكل المقابل: أكمل 1
المجال هو ............................................... أ
المدى هو ............................................... ب
الدالة د حيث د)س( = 4 - س2 تكون تزايدية فى ...............................................
تناقصية فى ...............................................
منحنى الدالة د حيث د)س( = |س-2| متماثل حول المستقيم: ...............................................
إذا كان د)س( = 5س فإن د)-2( = ...............................................
السؤال الثانى: اختر االجابة الصحيحة من بين االجابات المعطاه.
هو ...............................................0 H س 0 عندما
-1 عندما س < 0مدى الدالة د حيث د)س( = 1
}1- ،0{ د I ج }1-{ ب }0{ أ
2| س | تكافئ الدالة د)س( = س
الدالة د حيث د)س( = 0 G عندما س 2
عندما س > 0 2-د 2- ج 2 ب
عندما س < 0 2
عندما س > 0 2-أ
إذا كان د : I # I حيث د)س( = س3 فإن الشكل الذى يمثل الدالة د هو: دج بأ
ص
س
43
2-1-
3-
21
4-
3- 22- 1 31-
ص
س
43
2-1-
3-
21
4-
3- 22- 1 31-
ص
س
43
2-1-
3-
21
4-
3- 22- 1 31-
ص
س
43
2-1-
3-
21
4-
3- 22- 1 31-
1-2-3-4-5- 1 22-
24
68
10
4-6-8-
3 4 5س
ص
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى 1
دختباردتلعامل
إذا كان : 5 س - 3 = 4 3-س فإن س = ...............................................
صفر د 45 ج ب 3 5
4 أ
السؤال الثالث : 1 مثل بيانيا د)س( = س2 - 1 ثم استنتج من الرسم محور التماثل ومدى الدالة
أوجد فى I مجموعة حل المعادلة لو س = لو3 + لو 10
السؤال الرابع:5 G|3 - مجموعة حل المتباينة |س I أوجد فى 1
4 2 ن+1 * 2 1 - ن
8 ن +2اختصر ألبسط صورة =
السؤال الخامس:ارسم منحنى الدالة دحيث د)س( = |س - 3| واستنتج من الرسم مدى الدالة واطرادها ونوعها من حيث كونها 1
زوجية أو فردية أو غير ذلك.
= صفرس
3 * 3 - س
حل المعادلة 9
الجبر االختبار الثانى
اجب عن االأ�ضئلة االآتية:
السؤال األول: أختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات المعطاة:مدى الدالة د حيث د)س( = |س| هو
[0 ، ∞- ] د ]0 ، ∞ - ] ج [∞ ،0] ب [ ∞،0[ أ
إذا كان دالة حيث د)س( = س2 + 2 فإن الشكل الذى يمثل الدالة د هو ...................
1- 1 2
12
3
3 4س
ص11-2-
1-2-
3-
3-4- صس
1 21-1-
2-
12
س
ص
1 21-2-
123
س
صدج بأ
لو |س| = 1 هو 3
مجموعة حل المعادلة
}1- ،1{ د }3- ،3{ ج }3-{ ب }3{ أ
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول 1 كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى
دختباردتلعامل
نقطة تماثل الدالة د حيث د)س( = س3 -1 هى
)0 ،1-( د )0 ،1( ج )1- ،0 ( ب )1 ،0 ( أ
السؤال الثانى: أكمل مايأتى:1 هو ...................
س + 1مجال الدالة د حيث د)س( = 1
معادلة محور تماثل الدالة د حيث د)س( = س2 هو المستقيم...................
الدالة د حيث د)س( = Cس تكون تزايدية على مجالها I عندما...................
مجموعة حل المعادلة | س -3 | = صفر هى ...................
السؤال الثالث: أوجد فى I مجموعة حل المعادلة اآلتية: 4س + 2س + 1 = 8 1
1 - 1س
ارسم الشكل البيانى للدالة د حيث د)س( = ومن الرسم أوجد مجال ومدى الدالة وابحث اطرادها ونوعها من حيث كونها زوجية أو فردية أو غير ذلك.
السؤال الرابع:أوجد فى I مجموعة حل المتباينة |س| +1> 2 1
لو 273
لو 27 = 6
لو 8 + 6
بدون استخدام الحاسبة أثبت ان:
السؤال الخامس:إذا كانت د)س( = |س -3| + |س +2| فاثبت أن د)2( = د)-1( 1
استخدم منحنى الدالة د حيث د)س( = س2 فى رسم كل من الداول اآلتية : ب د2)س( = )س +1( 2 أ د1)س( = س2 - 3
كتاب الطالب - الفصل الدراىس األول كتاب الرياضيات العامة - القسم األدبى - الصف الثانى الثانوى0 1