形象思维与工程语言 2014/10/30 杨培中 博士 副教授 上海交通大学 pzyang@sjtu

建模与优化

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形象思维与工程语言

23/4/2023/4/20杨培中 博士 副教授杨培中 博士 副教授

上海交通大学上海交通大学[email protected]@sjtu.edu.cn

建模与优化

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建模与优化

建模与优化

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1. 工程设计不仅仅是给出一个方案，而是要给出一个最佳方案。

2. 通常情况下，最佳方案会受到各种约束的影响，如可用资源，法律规定等。

3. 优化问题通常比较复杂，需要长时间的试凑方法。有些情况下，可使用解析方法。

4. 要使用解析方法，首先需要将关心的优化量进行解析表达。

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1. 理解解析建模与优化的重要性。

2. 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。

3. 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择。

学习目标

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建立数学模型

1. 列出你的需求2. 列出所有可能的关系式

• 质量守恒• 动量守恒• 能量守恒• 资金守恒• 几何关系• 物理关系

3. 消去冗余关系4. 检查量纲

解析建模

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为了优化，首先要将目标函数进行表达，目标函数应表示成独立变量的函数。

如果目标函数（如成本）能表示成：

则最优解可通过对 F 进行微分，然后让导数为零得到。

原则上，还须求出二阶导数以确定是否为最大或最小解。

优化—微积分方法

F F x1, x2 ,

F

x1

F

x2

0

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优化

通常，目标函数会有一个或多个约束。

2,1;0,, 21 ixxGi

2,1;0,, 21 ixxHi

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例 1 — 容器的设计

假设你要做一个封闭的罐子或者圆柱形容器，能够装载的容积为 Vo 。容器的壁厚给定。需要确定容器高度 (h) 和半径 (r) 的关系，使得制作该容器所使用的材料最少。

h

2 r

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Vo r2h

S 2 rh 2 r2

假定该容器壁厚很小，相对于高度或半径可以忽略不计。容器的容积为：

表面积为 :

消去高度参数，有 :

S 2Vo

r 2r 2

例 1 — 容器的设计

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dS

dr

2Vo

r2 4 r 0

2Vo

4r3

h 2r

对半径求导，并令其为零，有：

or

将容积公式带入，得：

或者说：直径与高度相等。

例 1 — 容器的设计

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虽然大的存储容器通常有接近于最优解的尺寸，但很多容器并没有按照这样的尺寸进行设计制造。

譬如饮料罐，会选择较小的半径。我们可以得出结论，外观的魅力以及使用的方便性是非常重要的，或者说偏离最优解所增加的成本相对较少。

例 1 — 容器的设计

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敏感性

确定最优解对参数的敏感性是非常重要的。如果最优解是平坦的，比较大的偏离只需较低的代价；如果最优解是陡峭的，则较小的偏离则会付出巨大的代价。

Cost

Shallowoptimum

VariableOptimum

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对于容器，我们有 :

h

V

r

VV

VS

hrVS

rrV

S

31

31

31

000

0

0

20

2

112

22

敏感性

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32

31

32

31

32

31

31

31

32

or

2

2

0

22

0

xxy

hr

rh

V

S

hhr

rhr

V

S

敏感性

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32

31

or

2

3/23/1

3/23/1

xxy

hr

rh

V

S

o

x=0.50 y = 2.3811 yopt = 26%x=1.00 y = 2.0000 yopt = 5.8%x=1.50 y = 1.9079 yopt = 0.9%x=2.00 y = 1.8899 yopt = 0%x=2.50 y = 1.9001 yopt = 0.5%x=3.00 y = 1.9230 yopt = 1.7%x=3.50 y = 1.9521 yopt = 3.3%

敏感性

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课堂练习(3 分钟 )

课堂练习 1

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确定长方形盒子的尺寸，使得其体积最大。要求：最小截面的周长加上和它垂直的边的长度小于 84 in.

a

b

c

课堂练习 1

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a

b

c

体积为 :

约束为：

V a b c

2(b c) a 84

消去 a ，得：

V (84 2 (b c)) bc

84 bc 2 b2 c 2 bc2

课堂练习 1

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对 b 和 c 求便导，有：

V

b84 c 4 b c 2 c2 0

V

c84 b 2 b2 4 bc 0

42 2 b c 0

42 b 2c 0

简化得：解为 :

b c 14

V 84 bc 2 b2 c 2b c2

a

b

c

课堂练习 1

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例 -II

例 -II

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回归— Taylor刀具寿命公式

1. 对金属进行机加工时，发现当切削速度增加时，刀具寿命缩短。

2. 如果所有其它因素都为常数，可以将刀具寿命T表示成切削速度 V 的函数。

3. 如果切削速度接近于零，则刀具寿命就会接近无穷大。如果切削速度接近于无穷大，则刀具寿命就会接近零。

4. 通过这些想法，我们可以观测刀具寿命和切削速度的关系曲线，从而得出其关系式具有幂次关系。

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V

T

V C

Tn

切削速度 vs 刀具寿命

回归— Taylor刀具寿命公式

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Tool material Work material n C: m/min fpmHigh speed steel Steel

Cast iron0.1250.14

14 47

Cemented carbide SteelCast iron

0.200.25

46 150

Sintered oxide Steel 0.7 122 400

注意 C 的单位： 如果速度的单位为 m/min 如果速度的单位为 fpm

这些常数可以从手册中查到。

meters minutes n 1

feet minutesn 1

回归— Taylor刀具寿命公式

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刀具寿命和切削速度之间的关系可以用以下经验公式来表示：

其中 V 为切削速度， T 为刀具寿命， n 和 C 为依赖于刀具材料和加工材料的常数。

显然，若提高切削速度，产量会提高；但高速会导致刀具短寿，提高刀具成本，增加了更换刀具的频率。

假设我们只加工若干件，我们就必须找到最优化的切削速度，从而降低单件的刀具成本。

VTn C

回归— Taylor刀具寿命公式

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线性规划

线性规划

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1. 通常 , 在参数允许变动的区域，成本函数是单调递增或单调递减函数，无法通过微分法来求出最大最小值。

2. 最简单也是常见的情形为：需要优化的函数以及约束函数都是变量的线性组合。

3. 在这种情形中，最优解一定位于约束函数相交的角点处。

4. 对于多变量问题，我们必须使用计算机来求解，但对两个变量的问题，我们可以用图示法求解。

线性规划

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例 -III

例 -III

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如何选择 x和 y ，使得如下的目标函数最大。

f=3x+4yx 和 y 有下面的约束 :

x>0y>02x+y-4<0

由于只有两个变量，所有可以用图示法来求解。

例 -III

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首先在 x-y 平面上将可能的解区域绘制出来。最后一个约束通过它与 x与 y的交点坐标便很容易绘制出来了。令 y=0, 得 x=2 ；令 x=0, 则 y=4 。可能的解区域如右图所示。

y

4

2

00 2 x

可能的解区域

y=4-2x

例 -III

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既然成本函数是线性的，最大值必然落在角点上。分别计算各个角点的值：f(0,0)=0

f(2,0)=6f(0,4)=16.

显然最优解落在点 (0,4).

y

4

2

00 2 x

y=4-2x

例 -III

可能的解区域

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例 -IV

例 -IV

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一家椅子产商有 1000 板英尺（体积单位）硬木和 750 板英尺软木。

每板英尺的成本分别为 $0.3 和 $0.15.

公司可以用这些硬木和软木来生产椅子，每把椅子需要 5 板英尺硬木和 10 板英尺软木。也可以生产桌子，每张桌子需要 25 板英尺硬木和 15 板英尺软木。

每把椅子的售价为 $75 ，利润为 $12；而每张桌子的售价为 $150 ，利润为 $30 。分别生产多少椅子和桌子才能获得最大利润？

例 -IV

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NC: 椅子数NT: 桌子数

利润公式P=12•NC + 30•NT

木材量的约束5•NC + 25•NT 100010•NC + 15•NT 750交点为 (36,20)P(0,0) = 0P(0,75) =12•75 =900P(40,0) =30•40 =1200P(36,20) =12•20 + 30•36 =1320

NC

200

allowable domain 100 75 (36,20)

0 0 40 50 NT

例 -IV

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课堂练习(3 分钟 )

课堂练习 2

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一名卡车司机可以运输两种类型的箱子。 A型箱子重 100kg ，体积为 4 m3 。 B A型箱子重200kg ，体积为 2 m3 。

卡车可容纳 200 m3 ，能运载 10,000 kg.

如果司机运输一只A型箱子可以获得 $20 利润，运输一只B型箱子可以获得 $15 利润 , 要获得最大利润，应运输多少 A型箱子和 B型箱子？

课堂练习 2

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Box A Box B MaxKgVol

100 200 10,0004 2 200

P=20 NA +15 NB

100 NA +200 NB 10,000

4 NA +2 NB 200

利润为 :

约束为：

课堂练习 2

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P=20 NA +15 NB

100 NA +200 NB10,0004 NA +2 NB 200

NA

NB

50

100

100

50

交点 : NA=33.33 ， NB=33.33

NA NB P50 0 1000 0 50 65033 33 115534 32 116032 34 1150

由于交点非整数，需要选取可能解区域中相关的整数点进行计算 :

Possible points of maximum profit

课堂练习 2

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一般来说 , 允许任意数量的约束。这时就必须检查所有的角点。

NA

NB

50

100

100

50

最大利润的可能点

新约束

课堂练习 2

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学习目标：

• 理解解析建模与优化的重要性。

• 利用微积分和线性规划方法提出并解决简单问题。

• 理解平坦式最优和陡峭式最优以及偏离最优时的参数选择。

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个人作业： 列举与你专业相关或相近的优化问题。 要求 ： （ 1 ）微分法和线性规划法各一个； （ 2 ）给出题目和答案； （ 3 ）以 WORD文档格式通过 EMAIL在一周内提交。

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Any question?

谢 谢 !