ТФРВС - весна 2014 - лекция 4

Лекция 4. Расчет показателей надежности ВС

для стационарного режима

http://cpct.sibsutis.ru/~apaznikov/teaching/index.php?n=Site.DCSFT-spring2014

Пазников Алексей Александрович

к.т.н., ст. преп. Кафедры вычислительных систем

Сибирский государственный университет

телекоммуникаций и информатики

Функции оперативной надёжности и восстановимости

2

Рассматривается ВС при длительной эксплуатации: 𝑡 → ∞

Выведем формулы для 𝑅∗(𝑡) и 𝑈∗(𝑡), характеризующих работу

ВС в стационарном режиме. Пусть

𝑄𝑖 𝑡 = 𝑃 ∀𝜏 ∈ 0, 𝑡 → 𝜉 𝜏 ≥ 𝑛 𝑖 ∈ 𝐸0𝑁}

является условной вероятностью события 𝜉(𝜏) ≥ 𝑛 в

предположении, что в системе в момент времени 𝑡 = 0

имеется 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁 исправных ЭМ; 𝜏 – любой момент времени,

принадлежащий [0, 𝑡). Тогда, учитывая 𝑅∗ 𝑡 = 𝑃{∀𝜏 ∈ 0, 𝑡 →

𝜉(𝜏) ≥ 𝑛|𝑃𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁} , по формуле полных вероятностей имеем

𝑅∗ 𝑡 =

𝑖=𝑛

𝑁

𝑃𝑖𝑄𝑖(𝑡)

где 𝑃𝑖 определяется формулой 𝑃𝑖 = lim𝑡→∞

𝑃𝑖(𝑗, 𝑡)

(1)


3

Рассчитаем функцию 𝑄𝑖 𝑡 . Для этого обозначим

𝜋𝑟 𝑡 , 𝑢𝑙 𝑡 – вероятность того, что произойдёт

соответственно 𝑟 отказов и 𝑙 восстановлений за

время 𝑡, если в системе имеется 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁 исправных

машин. Тогда

𝑄𝑖 𝑡 =

𝑙=0

∞

𝑢𝑙(𝑡)

𝑟=0

𝑖−𝑛+𝑙

𝜋𝑟(𝑡) (2)


4

Если учесть, что число отказов ЭМ за время 𝑡 подчиняется

пуассоновскому закону (см. надёжность ЭВМ), то можно

показать, что

𝜋𝑟 𝑡 =(𝑖𝜆𝑡)𝑟

𝑟!𝑒−𝑖𝜆𝑡

𝑢𝑙 𝑡 =(𝜇𝑡)𝑙

𝑙![Δ 𝑁 − 𝑖 −𝑚 𝑚𝑙𝑒−𝑖𝜇𝑡 +

+Δ 𝑚 − 𝑁 + 𝑖 𝑁 − 𝑖 𝑙𝑒− 𝑁−𝑖 𝜇𝑡]

где 𝑟, 𝑙 ∈ 𝐸0∞,

∆ 𝑥 = 1, если 𝑥 ≥ 00, если 𝑥 < 0

и считается, что 00 = 1.

(3)

(4)


5

Таким образом, формулы (2)-(4) позволяют рассчитать

условную вероятность 𝑄𝑖 𝑡 , 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁, с заданной точностью.

В некоторых случаях достаточно найти оценку 𝑅∗(𝑡) снизу

для функции 𝑅∗(𝑡) (𝑙 = 0)

𝑅∗ 𝑡 =

𝑖=𝑛

𝑁

𝑃𝑖

𝑟=0

𝑖−𝑛

𝜋𝑟(𝑡)

Начальное значение функции 𝑅∗(𝑡), как это следует из

lim𝑡→∞

𝑆 𝑡 = 𝑗=𝑛𝑁 𝑃𝑗 = 𝑆 и формул (1)-(4), равно

коэффициенту готовности ВС, т.е.

𝑅∗ 0 = 𝑆


6

Можно показать, что

𝑅∗ +∞ = lim𝑡→∞

𝑅∗(𝑡) ≈

𝑖=𝑛

𝑁−1

𝑃𝑖 при 𝑛 < 𝑁

0 при 𝑛 = 𝑁

В самом деле,

lim𝑡→∞

𝑄𝑁(𝑡) = lim𝑡→∞

𝑟=0

𝑁−1

𝜋𝑟(𝑡) = 1 − lim𝑡→∞

𝑟=𝑁−𝑛+1

∞

𝜋𝑟 𝑡 = 0

(Так как при 𝑖 = 𝑁 из (4) следует, что 𝑢𝑙 𝑡 = 0, 𝑙 > 0,

𝑢0 𝑡 = 1. Поскольку 𝑁 − 𝑛 = const, то при 𝑡 → ∞ в системе

наиболее вероятными становятся количества отказов

𝑟 ∈ 𝑁 − 𝑛 + 1,𝑁 − 𝑛 + 2,… . Поэтому при 𝑡 → ∞ с

достаточной для практики точностью можно считать, что

𝑟=𝑁−𝑛+1∞ 𝜋𝑟(𝑡) → 1, и, следовательно, 𝑄𝑁(𝑡) → 0.)


7

Далее из (4) видно, что при 𝑖 ∈ {𝑛, 𝑛 + 1,… , 𝑁 − 1} и

при большом 𝑡 вероятности 𝑢𝑙 𝑡 будут больше

отличаться от 0, чем больше будет 𝑙. Иначе говоря,

если 𝑖 ∈ {𝑛, 𝑛 + 1,… , 𝑁 − 1}, то при большом 𝑡 число

восстановлений 𝑙 в системе будет таким же большим,

т.е. если 𝑡 → ∞, то и 𝑙 → ∞.

Если это так, то при 𝑡 → ∞ имеет место 𝑟=0𝑖−𝑛+1𝜋𝑟(𝑡) →

1 и, следовательно, 𝑄𝑖 𝑡 = 𝑙=0∞ 𝑢𝑙(𝑡) 𝑟=0

𝑖−𝑛+𝑙 𝜋𝑟(𝑡) ,

𝑄𝑖 𝑡 → 1, 𝑖 ∈ 𝐸𝑛𝑁−1.

Переходя к пределу при 𝑡 → ∞ в 𝑅∗ 𝑡 = 𝑖=𝑛𝑁 𝑃𝑖𝑄𝑖(𝑡) и

учитывая поведение 𝑄𝑖 𝑡 при 𝑡 → ∞, получаем (5).


8

Действуя аналогично, находим, что функция

𝑈∗ 𝑡 = 1 −

𝑖=0

𝑛−1

𝑃𝑖

𝑟=0

∞

𝜋𝑟(𝑡)

𝑙=0

𝑛−𝑖−1+𝑟

𝑢𝑙(𝑡)

Очевидно, что 𝑈∗ 𝑡 = 𝑆, 𝑈∗ +∞ = lim𝑡→∞

𝑈∗ 𝑡 = 1.

Оценкой сверху для 𝑈∗ 𝑡 будет функция

𝑈∗ 𝑡 = 1 −

𝑖=0

𝑛−1

𝑃𝑖

𝑙=0

𝑛−𝑖−1

𝑢𝑙(𝑡)

Распределение вероятностей состояний системы

9

Рассчитаем распределение вероятностей состояний ВСдля стационарного режима функционирования{𝑃0, 𝑃1, … , 𝑃𝑗 , … , 𝑃𝑁} ; это позволит вычислить функции

оперативной надёжности и восстановимости.

Для расчёта 𝑃𝑗 необходимо осуществить предельный

переход 𝑡 → ∞ в

𝑃0′ 𝑡 = −𝑚𝜇𝑃0 𝑡 + 𝜆𝑃1 𝑡 ;

𝑃𝑗′ 𝑡

=

𝑚𝜇𝑃𝑗−1 𝑡 − 𝑗𝜆 +𝑚𝜇 𝑃𝑗 𝑡 + 𝑗 + 1 𝜆𝑃𝑗+1 𝑡 ,

0 < 𝑗 ≤ 𝑁 −𝑚 ;

𝑁 − 𝑗 − 1 𝜇𝑃𝑗−1 𝑡 − 𝑗𝜆 + 𝑁 − 𝑗 𝜇 𝑃𝑗 𝑡 + 𝑗 + 1 𝜆𝑃𝑗+1 𝑡 ,

𝑁 − 𝑚 < 𝑗 < 𝑁;

𝑃0′ 𝑡 = 𝜇𝑃𝑁−1 𝑡 − 𝑁𝜆𝑃𝑁(𝑡)

(5)


10

Правые части всех уравнений (5) при 𝑡 → ∞ имеют

пределы ⇒ Каждая из производных 𝑃𝑗′ 𝑡 также имеет

предел, и такой предел может быть только 0.

Доказательство. Если бы какая-нибудь производная

𝑃𝑗′ 𝑡 стремилась к числу, отличному от 0, то

соответствующее |𝑃𝑗 𝑡 | при 𝑡 → ∞ неограниченно бы

возрастало. Последнее противоречило бы

физическому смыслу величин 𝑃𝑗 𝑡 и формуле (5).

Таким образом, при 𝑡 → ∞ имеет место 𝑃𝑗′ 𝑡 → 0.


11

Следовательно, система дифференциальных уравненийпреобразуется в систему алгебраических уравнений:

0 = −𝑚𝜇𝑃0 + 𝜆𝑃10 = 𝑚𝜇𝑃𝑗−1 − 𝑗𝜆 +𝑚𝜇 𝑃𝑗 + 𝑗 + 1 𝜆𝑃𝑗+1,

0 < 𝑗 ≤ (𝑁 −𝑚)

0 = 𝑁 − 𝑗 + 1 𝜇𝑃𝑗−1 − 𝑗𝜆 + 𝑁 − 𝑗 𝜇 𝑃𝑗 + 𝑗 + 1 𝜆𝑃𝑗+1,

𝑁 − 𝑚 < 𝑗 < 𝑁0 = 𝜇𝑃𝑁−1 − 𝑁𝜆𝑃𝑁

Если положить

𝑚𝜇𝑃𝑗−1 − 𝑗𝜆𝑃𝑗 = 𝑧𝑗 , 0 < 𝑗 ≤ (𝑁 −𝑚 + 1)

𝑁 − 𝑗 − 1 𝜇𝑃𝑗−1 − 𝑗𝜆𝑃𝑗 = 𝑧𝑗∗, (𝑁 −𝑚 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑁

то систему можно переписать в следующем виде

(6)


12

𝑧1 = 0;

𝑧𝑗 − 𝑧𝑗+1 = 0, 1 < 𝑗 ≤ 𝑁 −𝑚 ;

𝑧𝑁−𝑚+1 − 𝑧𝑁−𝑚+2∗ = 0;

𝑧𝑗∗ − 𝑧𝑗+1

∗ = 0, 𝑁 −𝑚 + 2 ≤ 𝑗 < 𝑁;

𝑧𝑗∗ = 0.

Из (7) следует, что 𝑧𝑗 = 0, 0 < 𝑗 ≤ 𝑁 −𝑚 + 1 , тогда,

учитывая (6) и принимая 𝛼 = 𝜇/𝜆, получаем

𝑃𝑗 =𝑚𝜇

𝑗𝜆𝑃𝑗−1 =

𝛼𝑚

𝑗𝑃𝑗−1; 𝑃𝑗 =

𝑚𝑗𝛼𝑗

𝑗!𝑃0,

1 ≤ 𝑗 ≤ (𝑁 −𝑚 + 1)

(7)

(8)


13

Также из (7) следует, что 𝑧𝑗∗ = 0, (𝑁 −𝑚 + 1) ≤ 𝑗 ≤ 𝑁;

𝑃𝑗 =[𝑁 − 𝑗 − 1 ]𝛼

𝑗𝑃𝑗−1 =

=𝑁 − 𝑗 − 1 … [𝑁 − 𝑁 −𝑚 ]𝛼𝑖−𝑁+𝑚

𝑗 𝑗 − 1 … (𝑁 −𝑚 + 1)𝑃𝑁−𝑚 =

=𝛼𝑗−𝑁+𝑚𝑚! 𝑁 −𝑚 !

𝑁 − 𝑗 ! 𝑗!∙𝑚𝑁−𝑚𝛼𝑁−𝑚

𝑁 −𝑚 !𝑃0 =

𝑚!𝑚𝑁−𝑚𝛼𝑗

𝑁 − 𝑗 ! 𝑗!𝑃0

Используя условие нормировки, а также (8), (9), находим

𝑃0 =

𝑙=0

𝑁−𝑚𝑚𝑙𝑚𝑙

𝑙!+ 𝑚!𝑚𝑁−𝑚

𝑙=𝑁−𝑚+1

𝑁𝛼𝑙

𝑁 − 𝑙 ! 𝑙!

−1

𝑃𝑗 =𝛼𝑗

𝑗!∆ 𝑁 −𝑚 − 𝑗 𝑚𝑗 + ∆(𝑗 − 𝑁 +𝑚)

𝑚!𝑚𝑁−𝑚

𝑁 − 𝑗 !𝑃0, 𝑗 = 1…𝑁

(9)

(10)

(11)


14

∆ 𝑥 = 1, если 𝑥 ≥ 0;0, если 𝑥 < 0

Заметим, что принято 00 = 1

Рассмотрим два крайних случая: 𝑚 = 1, 𝑚 = 𝑁

• 𝑚 = 1 (одно ВУ). Тогда (11) принимает вид:

𝑃𝑗 =𝜇

𝜆

𝑗 1

𝑗!

𝑙=0

𝑁𝜇

𝜆

𝑙 1

𝑙!

−1

, 𝑗 ∈ 𝐸0𝑁

Если в (1) перейти к пределу при 𝑁 → ∞, получим вероятностьтого, что при 𝑚 = 1 в стационарном режиме работыбольшемасштабной ВС исправно 𝑗 машин, равна:

𝑃𝑗 =𝜇

𝜆

𝑗 1

𝑗!𝑒−𝜇/𝜆, 𝑗 ∈ 𝐸0

𝑁

Распределение (13) является распределением Пуассона.

(12)

(13)


15

• 𝑚 = 𝑁 (количество ВУ = количеству ЭМ в ВС). Тогда:

𝑃𝑗 =𝑁!

𝑁 − 𝑗 ! 𝑗!

𝜇𝑗𝜆𝑁−𝑗

(𝜆 + 𝜇)𝑁, 𝑗 ∈ 𝐸0

𝑁

а коэффициент готовности ВС

𝑆 = 1 − 𝜆𝑁−𝑛+1(𝜆 + 𝜇)−(𝑁−𝑛+1)

(13)

(14)

Готовность масштабируемых вычислительных систем

16

Изучим влияние 𝑁 при его неограниченном увеличении напотенциальную готовность ВС.

Известно, что коэффициент готовности ЭВМ рассчитываетсяпо формуле

𝑠 = lim𝑡→∞

𝑠 𝑖, 𝑡 = 𝜇/(𝜆 + 𝜇)

Опираясь на эту формулу, можно показать, что коэффициентготовности ВС

𝑆 > 1 − 𝑒−𝑁𝜅 , 𝑆 = 1 − 𝑒−𝑁𝜅+𝜊(ln 𝑁)

где 𝜅 = 𝑣 ln(𝑣𝑠−1) + (1 − 𝑣) ln[(1 − 𝑣)(1 − 𝑠)−1] . Из (15)следует, что ВС имеет высокую готовность при выполненииусловия 𝑣 < 𝑠.

(15)

Готовность масштабируемых вычислительных систем

17

• Наряду с монопрограммным режимом (на ВС решается 1задача), широко используются и мультипрограммныережимы.

• При организации мультипрограммной работы ВСразбивается на подсистемы.

• Количество подсистем = количество одновременнорешаемых задач.

• Количество ЭМ в подсистеме = количество ветвей впараллельной программе.

Каким образом параметры подсистем влияют на надёжность (коэффициент готовности) ВС в целом?

Готовность в мультизадачном режиме

18

• Пусть ВС состоит из ℎ подсистем, причём

• 𝑁𝑗 – число ЭМ в подсистеме 𝑗 ∈ 𝐸1ℎ,

• 𝑛𝑗 – минимально допустимое число исправных ЭМ в

подсистеме 𝑗 ∈ 𝐸1ℎ.

𝑗=1

ℎ

𝑁𝑗 = 𝑁; 𝑣𝑗 = 𝑛𝑗 − 1 𝑁𝑗−1; 𝜅𝑗 = 𝑣𝑗 ln

𝑣𝑗

𝑠+ (1 − 𝑣𝑗) ln

1 − 𝑣𝑗

1 − 𝑠

Рассмотрим случай, когда все подсистемы важны длясуществования ВС. Тогда на основе (15)

𝑆 =

𝑗=1

ℎ

𝑆𝑗 ≥

𝑗=1

ℎ

(1 − 𝑒−𝑁𝑗𝜅𝑗)

где 𝑆𝑗 – коэффициент готовности подсистемы 𝑗 ∈ 𝐸1ℎ

(16)


19

Требуется найти такое распределение 𝑁𝑗∗ , 𝑗 ∈ 𝐸1

ℎ чисел в

подсистемах, при котором нижняя оценка (16) достигаетмаксимума.

Точное решение задачи методом множителей Лагранжа при

больших значениях 𝑁𝑗 , 𝑗 ∈ 𝐸1ℎ, асимптотически совпадает с

решением, получающимся при значениях 𝑁𝑗 , обеспечивающих

постоянство сомножителей в оценке (16). Следовательно,

𝑁𝑗∗ = 𝑁 𝜅𝑗

𝑙=1

ℎ

𝜅𝑙−1

−1

при этом

𝑆 ≥ [1 − 𝑒−𝑁 𝜅ℎ ] ℎ; 𝜅 =

1

ℎ

𝑙=1

ℎ

𝜅𝑙−1

−1

𝜅 – средний гармонический коэффициент 𝜅𝑗

(17)

(18)


20

Рассмотрим более общую ситуацию, когда оснащениеЭМ различно. Тогда 𝑙 -я ЭМ будет иметь свойкоэффициент готовности 𝑠𝑙 , 𝑙 ∈ 𝐸1

𝑁.

Можно показать, что в общем случае сохраняются всесоотношения, если вместо 𝑠 рассматривать величину

𝑠 = 𝑁−1

𝑙=1

𝑁

𝑠𝑙 (19)


21

Исследуем поведение ВС в зависимости от степени разбиенияна подсистемы. Пусть число 𝑁 ЭМ растет вместе с количествомℎ её подсистем так, что

𝑁 =1 + 𝜀

𝜅ℎ ln ℎ −

1

𝜅ℎ ln 𝑑 ,

где 𝑑, 𝜀 – произвольные действительные числа 𝑑 > 0

Тогда из (18) следует, что

𝑆 ≈ 𝑒−𝑑ℎ−𝜀

= 𝑒−𝑑ℎ|𝜀|

при 𝜀 < 0;

> 1 − 𝑑ℎ−𝜀 при 𝜀 > 0;

Следовательно, ВС имеет высокую готовность, если сувеличением ℎ порядок роста 𝑁 больше величины ℎ ln ℎ / 𝜅. Из(17)-(21) видно, что для достижения высокой готовности ВС

необходимо выполнение условия 𝑁𝑗 > 𝜅𝑗−1 ln ℎ , 𝑗 ∈ 𝐸1

ℎ.

(20)

(21)

Коэффициент готовности большемасштабных вычислительных систем

22

Выведем расчётные формулы для коэффициента готовностибольшемасштабных ВС (𝑁 → ∞).Функция готовности рассчитывается по формуле

𝑆 𝑡 = 𝑗=𝑛∞ 𝑃𝑗(𝑡) = 1 − 𝑗=0

𝑛−1𝑃𝑗(𝑡).

Полагая 𝒙 = 𝟎 в формуле (9.34) для расчёта 𝑃𝑗(𝑡)

𝑙=0

∞

𝑏𝑙(𝑡)𝑥𝑙 =

𝑙=0

∞

𝑃𝑙(0)(𝑥𝑒−𝜆𝑡 + 1 − 𝑒−𝜆𝑡)𝑙

находим

𝑏0 𝑡 =

𝑙=0

∞

𝑃𝑙(0)(1 − 𝑒−𝜆𝑡)𝑙 , lim𝑡→∞

𝑏0(𝑡) =

𝑙=0

∞

𝑃𝑙(0) = 1

Если положить в (22) 𝒙 = 𝟏, то

𝑙=0

∞

𝑏𝑙(𝑡) =

𝑙=0

∞

𝑃𝑙(0) = 1

(22)

(23)


23

Из формул (22), (23) при 𝑙 ≥ 1 следует, что lim𝑡→∞

𝑏𝑙(𝑡) = 0 .

Учитывая полученные ранее формулы 𝑃𝑗, последнюю формулу,

получаем, что стационарными вероятностями ВС будут

𝑃𝑗 =𝑚𝜇

𝜆

1

𝑗!𝑒−𝑚𝜇/𝜆, 𝑗 ∈ 𝐸0

∞

Предельный переход в 𝑆 𝑡 = 𝑗=𝑛∞ 𝑃𝑗(𝑡) = 1 − 𝑗=0

𝑛−1𝑃𝑗(𝑡) при

𝑡 → ∞ и результат (24) приводят к расчётной формуле:

𝑆 = 1 −

𝑗=0

𝑛−1𝑚𝜇

𝜆

𝑗 1

𝑗!𝑒−𝑚𝜇/𝜆

(24)

(25)


24

При анализе большемасштабных ВС можно использоватьстатистику не от потоке отказов в одной ЭМ, а об отказах ВС вцелом. Тогда модель можно изменить след. образом.

Пусть задана не интенсивность 𝜆 отказов одной ЭМ системы, аинтенсивность Λ потока отказавших ЭМ ВС – среднее количествоотказавших ЭМ, поступающих на 𝑚 ВУ в единицу времени.

Далее пусть 𝑃𝑗 - вероятность того, что в стационарном режиме в

ВС имеется 𝑗 отказавших машин. Действуя традиционно,получаем:

−Λ 𝑃0 + 𝜇 𝑃1 = 0

Λ 𝑃𝑗−1 − Λ + 𝑗𝜇 𝑃𝑗 + 𝑗 + 1 𝜇𝑃𝑗+1 = 0, 1 ≤ 𝑗 < 𝑚

Λ 𝑃𝑗−1 − Λ +𝑚𝜇 𝑃𝑗 +𝑚𝜇 𝑃𝑗+1 = 0, 𝑚 ≤ 𝑗

(26)


25

Как было показано (для ЭВМ), 𝜇 – среднее числовосстановлений ЭМ, которое может произвести 1 ВУ в ед.времени.

Тогда производительность восстанавливающей системы будетхарактеризоваться величиной 𝑚𝜇.

Очередь на восстановление ЭМ не будет расти безгранично иресурсы будут эксплуатироваться с потенциально возможнойэффективностью при условии Λ ≤ 𝑚𝜇.

Легко показать, что решениями (26) в этом случае будут:

𝑃0 =

𝑙=0

𝑚−11

𝑙!

Λ

𝜇

𝑙

+𝜇

𝑚 − 1 ! (𝑚𝜇 − Λ)

Λ

𝜇

𝑚−1

𝑃𝑗 =Λ

𝜇

𝑗

Δ 𝑚 − 𝑗1

𝑗!+ Δ(𝑗 − 𝑚)

1

𝑚!𝑚𝑗−𝑚 𝑃0, 𝑗 ∈ 𝐸0

∞

(27)

(28)


26

По определению 𝑛 – количество ЭМ основной подсистемы соструктурной избыточностью.

Целесообразно ввести 𝑛 – максимальное количествоотказавших ЭМ, при котором производительность ВС не нижепредельно допустимой.

Следовательно, если ВС находится в состоянии 𝑗 ∈ 𝐸0 𝑛, где

𝐸0 𝑛 = 0, 1,2,… , 𝑛 , 𝐸0

𝑛 ⊂ 𝐸0∞ , то будем считать, что она в

состоянии готовности.

Тогда коэффициент готовности ВС рассчитывают по формуле:

𝑆 =

𝑗=0

𝑛

𝑃𝑗 ,

где величины 𝑃𝑗 определяются из (27) и (28).


27

Зная 𝑃𝑗 можно также вычислить среднее количество

отказавших машин ВС, ожидающих начала восстановления:

𝑀1 =Λ

𝑚𝜇(1 − Λ/𝑚𝜇)2 𝑃𝑚

при условии Λ ≤ 𝑚𝜇.

Математическое ожидание количества отказавших машин

𝑀2 = 𝑀1 + 𝑃0

𝑗=1

𝑚−11

𝑗 − 1 !

Λ

𝜇

𝑗

+𝑚 𝑃𝑚

1 − Λ/𝑚𝜇

Среднее число свободных восстанавливающих устройств

𝑀3 = 𝑃0

𝑗=0

𝑚−1𝑚 − 𝑗

𝑗!

Λ

𝜇

𝑗


28

Вероятность того, что все ВУ заняты ремонтом отказавших ЭМ

Π = 𝑃𝑚(1 − Λ/𝑚𝜇)−1

Закон распределения времени 𝜂 ожидания началавосстановления отказавшей ЭМ или вероятность того, чтовремя пребывания ЭМ в очереди на ремонт больше 𝑡

𝑃 𝜂 > 𝑡 = Π𝑒−(𝑚𝜇−Λ)𝑡

Мат. ожидание и дисперсия времени ожидания началавосстановления отказавшей ЭМ

𝑀𝜂 =Π

𝑚𝜇 − Λ; 𝐷𝜂 = 𝑀𝜂

2

𝑚𝜇 − Λ−𝑀𝜂

Основываясь на том факте, что производительность ВС 𝑛𝜔,которая близка к суммарной производительности 𝑁𝜔, можносчитать, что 𝑛 = 𝑁 − 𝑛, Λ = 𝑁𝜆.

П.П

ика

ссо

«Ж

енщ

ин

а с

веер

ом

»Больше – на http://vk.com/public58918349

ТФРВС - весна 2014 - лекция 4

Education