บทที่ 2 ลำดับและอนุกรม update

ล าดบ (Sequence) คอ ฟงกชนซงมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก

ล าดบของจ านวนจรง คอ ฟงกชนซงมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก และเรจน (range) เปนสบเซตของจ านวนจรง

1

2.1 ล าดบ

บทท 2 ล าดบและอนกรม

(Sequence and Series)

บทนยาม

สญลกษณ

𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 ,…, 𝑎𝑛

พจนท 1,พจนท 2,พจนท 3,...,พจนท 𝑛 (พจนทวไป)

จะแทนล าดบนดวยสญลกษณ : 𝑎𝑛 𝑛<1∞

เชนล าดบ

1,1

2,1

2

2,1

2

3, … มพจนทวไปคอ 𝑎𝑛 =

1

2

𝑛;1

2

ล าดบทมพจนจ านวนจ ากด เรยก ล าดบจ ากด (Finite Sequences) เชน 1,2,3, … , 100

สวนล าดบทไมใชล าดบจ ากด เรยก ล าดบอนนต (Infinite Sequences) เชน 1,2,3, …

Note : การศกษาล าดบจะศกษาล าดบอนนต และเนนวาเมอ 𝑛 มคาเพม ขนเรอยๆ อยางไมมขอบเขตแลว คาของ 𝑎𝑛 จะมคาเปนอยางไร

3

ตวอยาง จงพจารณาวา ล าดบ 1

𝑛 𝑛<1

∞เมอ 𝑛 มคาเพมขนอยางไมมขอบเขต

คาของ 1

𝑛 จะมคาเปนอยางไร

วธท า

4

พจารณา 1

𝑛 𝑛<1

∞= 1,

1

2, 1

3, 1

4, …

จะเหนวา 𝑛 มคาเพมขนอยางไมมขอบเขต

คาของ 1

𝑛 จะมคาเขาใกล 0

จะกลาววาจ านวนจรง 𝐿 เปนลมตของล าดบ 𝑎𝑛 𝑛<1∞ กตอเมอ 𝑎𝑛

คาเขาใกลๆ 𝐿 ขณะท 𝑛 มคาเพมขนอยางไมมขอบเขตซงเขยนแทนดวย ถาล าดบ 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ มลมตแลวจะกลาววา 𝑎𝑛 𝑛<1∞ เปน ล าดบลเขา

(convergent sequence)

แตถาไมมลมตแลวจะกลาววาเปน ล าดบลออก (divergent sequence)

5

บทนยาม

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿

สงทควรจ า

1. lim𝑛→∞

1

𝑛= 0

2. lim

𝑛→∞𝑘 = 𝑘 ทกคาคงตว 𝑘

3. −1 𝑛 𝑛<0

∞ เปนล าดบลออก

6

ทฤษฎบท ให 𝑎𝑛 𝑛<1∞ และ 𝑏𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบลเขา สมมตวาม 𝐿

และ 𝑀 เปนลมต ตามล าดบ

𝑎) 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 𝑛<1∞ เปนล าดบลเขา และมลมต 𝐿 ± 𝑀

𝑏) 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑛<1∞ เปนล าดบลเขา และมลมต 𝐿𝑀

𝑐) เมอ 𝑏𝑛 ≠ 0 และ 𝑀 ≠ 0 ดงนน 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขา และมลมต 𝐿

𝑀

𝑑) ส าหรบคาคงตว 𝑐 ใดๆ 𝑐. 𝑎𝑛 𝑛<1∞ เปนล าดบลเขา และมลมต 𝑐𝐿

7

ตวอยาง จงพจารณาวา 𝑛;1

𝑛 𝑛<1

∞เปนล าดบลเขาหรอลออก

ถาลเขาจงหาลมตของล าดบดวย วธท า

8

พจารณา lim𝑛→∞

𝑛;1

𝑛= lim𝑛→∞1 −1

𝑛

= 1

∴ 𝑛;1

𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบลเขา และมลมตเปน 1

ตวอยาง จงพจารณาวา n2;2n:1

𝑛;1 𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขาหรอลออก


9


n2;2n:1

𝑛;1= lim𝑛→∞

𝑛;2:1

𝑛

1;1

𝑛

= +∞

∴ n2;2n:1

𝑛;1 𝑛<1

∞

เปนล าดบลออก

ตวอยาง จงพจารณาวา 2n2;𝑛:3

𝑛4:4𝑛2:1 𝑛<1

∞



10


2n2;𝑛:3

𝑛4:4𝑛2:1= lim𝑛→∞

2;1

𝑛:3

𝑛2

1:4

𝑛2:1

𝑛4

= 2

∴ 2n2;𝑛:3

𝑛4:4𝑛2:1 𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขา และมลมตเปน 2

ทฤษฎบท ถา lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝐿 และ 𝑓 เปนฟงกชนตอเนองท 𝐿

และ ถา 𝑓 𝑎𝑛 หาคาได แลว lim

𝑛→∞𝑓 𝑎𝑛 = 𝑓 𝐿

11

ทฤษฎบท ถา 𝑓 เปนฟงกชน และ 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 แลว lim

𝑥→:∞𝑓 𝑥 = lim

𝑥→∞𝑎𝑛

(ทฤษฎบทนสวนใหญจะเกยวของกบกฎของโลปตาล)

ทบทวนกฎของโลปตาล รปแบบไมก าหนด (Indeteminate Form : I.F.)

∞

∞,0

0, 00, ∞0, 1∞, ∞ −∞,∞. 0

กฎของโลปตาล

ถา lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 อยในรป∞

∞หรอ 0

0 แลวจะไดวา

lim𝑥→±∞

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim𝑥→±∞

𝑓′ 𝑥

𝑔′ 𝑥

12

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ 𝑛1

𝑛 𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขาหรอลออก วธท า

13

ให 𝑓(𝑥) = 𝑥1

𝑥

เนองจาก lim𝑥→:∞𝑓(𝑥) = lim

𝑥→:∞𝑥1

𝑥 (I.F. ∞0)

ดงนนพจารณา lim𝑥→:∞ln 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→:∞ln 𝑥

1

𝑥

= lim𝑥→:∞

ln 𝑥

𝑥 (I.F.

∞

∞)

= lim𝑥→:∞

1

𝑥 (โดยกฎของโลปตาล)

= 0

14

∴ lim𝑥→:∞𝑓(𝑥) = 𝑒0 = 1

∴ lim𝑥→:∞𝑛1

𝑛 = 𝑒0

∴ 𝑛1

𝑛 𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขา

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ 1 +1

2𝑛

𝑛

𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขาหรอลออก วธท า

15

ให 𝑓(𝑥) = 1 +1

2𝑥

𝑥

เนองจาก lim𝑥→:∞𝑓(𝑥) = lim

𝑥→:∞1 +

1

2𝑥

𝑥 (I.F. ∞0)

ดงนนพจารณา

lim𝑥→:∞ln 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→:∞ln 1 +

1

2𝑥

𝑥

= lim𝑥→:∞𝑥 ln 1 +

1

2𝑥

= lim𝑥→:∞

ln 1:1

2𝑥1

𝑥

(I.F. 0

0)

16

= lim𝑥→:∞

1

1+12𝑥

∙ ;1

2𝑥2

;1

𝑥2

(โดยกฎของโลปตาล)

= lim𝑥→:∞

1

2 1:1

2𝑥

=1

2

∴ lim𝑥→:∞𝑓(𝑥) = 𝑒

1

2

∴ lim𝑛→∞1 +

1

2𝑛

𝑛= 𝑒1

2

∴ 1 +1

2𝑛

𝑛

𝑛<1

∞

ลเขา

ทฤษฎบท (The Sandwich Theorem of Sequence) ให 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ , 𝑏𝑛 𝑛<1∞ , 𝑐𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบ โดยท 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ; ∀𝑛 ถา lim𝑛→∞𝑎𝑛 = lim

𝑛→∞𝑐𝑛 = 𝐿 แลวจะไดวา lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝐿

17

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ sin 𝑛

𝑛 𝑛<1

∞เปนล าดบลเขาหรอลออก

วธท า

18

เนองจาก −1 ≤ sin 𝑛 ≤ 1 ; ∀𝑛

ดงนน ;1

𝑛≤ sin 𝑛

𝑛 ≤1

𝑛 ; ∀𝑛

และเพราะวา lim𝑛→∞

;1

𝑛= 0 = lim

𝑛→∞

1

𝑛

ดงนนโดย Sandwich Theorem จะไดวา

lim𝑛→∞

sin 𝑛

𝑛= 0

นนคอ sin 𝑛

𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบลเขา

ทฤษฎบท ถา lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0 แลว lim

𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ (;1)𝑛

𝑛 𝑛<1

∞


วธท า

19

เนองจาก lim𝑛→∞

(;1)𝑛

𝑛= lim𝑛→∞

1

𝑛= 0

ดงนน lim𝑛→∞

(;1)𝑛

𝑛= 0

นนคอ (;1)𝑛

𝑛 𝑛<1

∞

เปนล าดบลเขา

บทนยาม ให 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบของจ านวนจรง และ 𝐴, 𝐵 เปนจ านวนจรงใดๆ

เรยก 𝐴 วาเปน ขอบเขตบน (upper bound) ของ 𝑎𝑛 𝑛<1∞ ⇔ 𝑎𝑛 ≤ 𝐴, ∀𝑛

เรยก 𝐴 วาเปน ขอบเขตบนคานอยสด (least upper bound) ของ 𝑎𝑛 𝑛<1∞

⇔ 𝐴 ≤ ขอบเขตบนทกตวของ 𝑎𝑛 𝑛<1∞

เรยก 𝐵 วาเปน ขอบเขตลาง (lower bound) ของ 𝑎𝑛 𝑛<1∞ ⇔ 𝐵 ≤ 𝑎𝑛, ∀𝑛

เรยก 𝐵 วาเปน ขอบเขตลางคามากสด (greatest lower bound) ของ 𝑎𝑛 𝑛<1∞

⇔ 𝐵 ≥ขอบเขตลางทกตวของ 𝑎𝑛 𝑛<1∞

เรยก 𝑎𝑛 𝑛<1 ∞ วามขอบเขต (bounded) ⇔ 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ มทงขอบเขตบนและขอบเขตลาง

20

ล าดบทมขอบเขต (Bounded Sequence)

สามารถเขยนนยามการมขอบเขตของล าดบอกแบบ ดงน

บทนยาม จะกลาววาล าดบ 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ เปน ล าดบมขอบเขต (bounded sequence)

กตอเมอ มจ านวนจรงบวก 𝑀 ทท าให 𝑎𝑛 < 𝑀 ส าหรบทก 𝑛

ทกล าดบทไมเปนล าดบมขอบเขตจะเรยก ล าดบไมมขอบเขต (unbounded

sequence)

21

ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบ −1 𝑛 𝑛<1∞ มขอบเขตบน หรอ ขอบเขตลาง

หรอไม และเปนล าดบทมขอบเขตหรอไม

วธท า

22

∵ −1 𝑛 𝑛<1∞ = −1, 1, −1, 1, −1,…

1 2 3 4 5 6

1

-1

ขอบเขตบนคานอยทสด

ขอบเขตลางคามากทสด

∴ มขอบเขตบนคานอยสด คอ 1 มขอบเขตลางคามากสด คอ −1 ∴ −1 𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบทมขอบเขต

ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบ 2𝑛 𝑛<1 ∞ มขอบเขตบน หรอ ขอบเขตลางหรอไม

และเปนล าดบทมขอบเขตหรอไม

วธท า

23

∵ 2𝑛 𝑛<1 ∞ = 2, 4, 6, 8, …

1 2 3 4 5 6

6

ขอบเขตลางคามากทสด

∴ มขอบเขตลางคามากสด คอ 2

ไมมขอบเขตบน lim𝑛→∞2𝑛 = +∞

∴ 2𝑛 𝑛<1 ∞ เปนล าดบทไมมขอบเขต

4

2

2𝑛

𝑛

ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบ ;1 𝑛

𝑛 𝑛<1

∞

มขอบเขตบน หรอ ขอบเขตลางหรอไม

และเปนล าดบทมขอบเขตหรอไม

วธท า

24

∵ −1 𝑛 𝑛<1∞ = −1, 1, −1, 1, −1,…

1 2 3 4 5 6

-1

∴ มขอบเขตบนคานอยสด คอ 1

2

มขอบเขตลางคามากสด คอ −1

∴ ;1 𝑛

𝑛 𝑛<1

∞

เปนล าดบทมขอบเขต

1

2

𝑛

−1 𝑛

𝑛

ตวอยาง จงพจารณาวาล าดบ 1

𝑛 𝑛<1

∞มขอบเขตบน หรอ ขอบเขตลางหรอไม และ

เปนล าดบทมขอบเขตหรอไม

วธท า

25

∵ 1

𝑛 𝑛<1

∞= 1,

1

2,1

3,1

4, …

1 2 3 4 5 6

∴ มขอบเขตบนคานอยสด คอ 1 มขอบเขตลาง คอ 0

lim𝑛→∞

1

𝑛= 0

∴ 1

𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบทมขอบเขต

1

2

𝑛

1

𝑛

1

ขอบเขตบนคานอยทสด

ทฤษฎบท ทกล าดบลเขาเปนล าดบมขอบเขต

โดยประพจนแยงสลบท (contrapositive) จะไดบทแทรกตอไปน

ซงเปนเนอหาทส าคญของการตรวจสอบการลขาวของล าดบ บทแทรก ทกล าดบไมมขอบเขตเปนล าดบลออก

Note : โดยทวไป ล าดบทมขอบเขตไมจ าเปนตองเปนล าดบลเขา

เชนตวอยาง ล าดบ −1 𝑛 𝑛<1∞ เปนล าดบมขอบเขต แตเปนล าดบลออก

26

บทนยาม 2.5 จะกลาววาล าดบ 𝑎𝑛 𝑛<1∞ เปน

ล าดบเพม (Increasing Sequences) กตอเมอ 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛:1 ทก 𝑛

ล าดบไมลด (Nondecreasing Sequences) กตอเมอ 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛:1 ทก 𝑛

ล าดบลด (Decreasing Sequences) กตอเมอ 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛:1 ทก 𝑛

ล าดบไมเพม (Nonincreasing Sequences) กตอเมอ 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛:1 ทก 𝑛

จะกลาววาล าดบ 𝑎𝑛 𝑛<1∞ เปน ล าดบทางเดยว (Monotonic Sequences)

กตอเมอล าดบ 𝑎𝑛 𝑛<1∞ เปนล าดบชนดหนงชนดใดทกลาวดานบน

27

ล าดบทางเดยว หรอล าดบโมโนโทนค (Monotonic Sequence)

วธการตรวจสอบล าดบทางเดยว

28

พจารณา 𝑎:1 − 𝑎𝑛

> 0 ∴ 𝑎𝑛:1 > 𝑎𝑛 เพม ≥ 0 ∴ 𝑎𝑛:1 ≥ 𝑎𝑛 ไมลด< 0 ∴ 𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛 ลด ≤ 0 ∴ 𝑎𝑛:1 ≤ 𝑎𝑛 ไมเพม

พจารณา 𝑎+1

𝑎𝑛

> 1 ∴ 𝑎𝑛:1 > 𝑎𝑛 เพม ≥ 1 ∴ 𝑎𝑛:1 ≥ 𝑎𝑛 ไมลด< 1 ∴ 𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛 ลด ≤ 1 ∴ 𝑎𝑛:1 ≤ 𝑎𝑛 ไมเพม

(ถามบางเทอมของ 𝑎:1 และ 𝑎𝑛 ตดกนได จะใชวธน)

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ 𝑛

2𝑛;1 𝑛<1

∞ เปนล าดบทางเดยวหรอไม

วธท า

29

ให 𝑎𝑛 =𝑛

2𝑛;1 ∴ 𝑎𝑛:1 =

𝑛:1

2(𝑛:1);1

=𝑛:1

2𝑛:1

พจารณา 𝑎𝑛:1 − 𝑎𝑛 =𝑛:1

2 𝑛:1 ;1−𝑛

2𝑛;1

=𝑛:1 2𝑛;1 ;𝑛(2𝑛:1)

(2𝑛:1)(2𝑛;1)

=2𝑛2;𝑛:2𝑛;1;2𝑛2;𝑛

(2𝑛:1)(2𝑛;1)

=;1

(2𝑛:1)(2𝑛;1) (−)

(+) ; 𝑛 = 1, 2, 3, …

30

< 0 ∴ 𝑎:1 < 𝑎𝑛

∴ 𝑛

2𝑛;1 เปนล าดบลด

∴ 𝑛

2𝑛;1 เปนล าดบทางเดยว

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ 𝑛!

1.3.5. ... .(2𝑛;1) 𝑛<1


วธท า

31

ให 𝑎𝑛 =𝑛!

1.3.5. ... .(2𝑛;1)∴ 𝑎𝑛:1 =

(𝑛:1)!

1.3.5. ... .[2(𝑛:1);1]

=(𝑛:1)!

1.3.5. ... .(2𝑛:1)

พจารณา 𝑎𝑛+1

𝑎𝑛=

(𝑛:1)!

1.3.5. ... .(2𝑛:1)×1.3.5. ... .(2𝑛;1)

𝑛!

=𝑛:1

2𝑛:1 Note : แทน 𝑛 = 1 → 2

3< 1

𝑛 = 2 →3

5< 1

32

< 1 ∴ 𝑎:1 < 𝑎𝑛

∴ 𝑛!

1.3.5. ... .(2𝑛;1) 𝑛<1

∞เปนล าดบลด

∴ 𝑛!

1.3.5. ... .(2𝑛;1) 𝑛<1

∞เปนล าดบทางเดยว

ตวอยาง จงตรวจสอบวาล าดบ 2 −1

𝑛2 𝑛<1


วธท า

33

ให 𝑎𝑛 = 2 −1

𝑛2 ∴ 𝑎𝑛:1 = 2 −

1

(𝑛:1)2

พจารณา 𝑎𝑛:1 − 𝑎𝑛 = 2 −1

𝑛:1 2− 2 −

1

𝑛2

=1

𝑛2−

1

𝑛:1 2

=(𝑛:1)2;𝑛2

𝑛2(𝑛:1)2

=𝑛2:2𝑛:1;𝑛2

𝑛2(𝑛:1)2

=2𝑛:1

𝑛2(𝑛:1)2 Note : แทน 𝑛 = 1 → 3

4>0

𝑛 = 2 →5

36>0

34

> 0 ∴ 𝑎:1 > 𝑎𝑛

∴ 2 −1

𝑛2 𝑛<1

∞เปนล าดบเพม

∴ 2 −1

𝑛2 𝑛<1

∞เปนล าดบทางเดยว

โดยทวไปแลวล าดบมขอบเขตไมจ าเปนตองเปนล าดบลเขา แตถาเมอไหรกตามทล าดบมขอบเขตซงเปนล าดบทางเดยวดวยแลว สรปไดวาเปนล าดบลเขาตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท ทกล าดบมขอบเขตและเปนล าดบทางเดยวจะเปนล าดบลเขา

35

ให 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบของจ านวนจรง ส าหรบแตละจ านวนนบ 𝑛 ให 𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎2 𝑆3 = 𝑎3 …

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑘

𝑛

𝑘<1

เรยก 𝑆𝑛วา ผลบวกยอย (partial sum) ท 𝑛 และเรยก 𝑆𝑛 𝑛<1

∞ วา อนกรมอนนต (infinite series) เรยกสนๆวา อนกรม (series)

36

2.2 อนกรมอนนต

และเขยนแทนดวย 𝑎1 + 𝑎2 +𝑎3 +⋯

หรอ

𝑎𝑛

∞

𝑛<1

บทนยาม จะกลาววาอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 เปน อนกรมลเขา (convergent series)

กตอเมอล าดบ 𝑆𝑛 𝑛<1∞ เปนล าดบลเขา ในกรณนเราจะนยาม ผลบวก (sum)

ของอนกรมคอ ลมตของล าดบ 𝑆𝑛 𝑛<1∞ กลาวคอ

𝑎𝑛 = lim𝑛→∞𝑆𝑛 = lim

𝑛→∞ 𝑎𝑘

𝑛

𝑘<1

∞

𝑛<1

ทกอนกรมทไมเปนอนกรมลเขา จะเรยกวา อนกรมลออก (divergent series)

37

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 1

𝑛(𝑛:1)∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

พรอมทงหาผลบวกของอนกรม

วธท า

38

ให 𝑎𝑛 =1

𝑛 𝑛:1=1

𝑛−1

𝑛:1

𝑆1 = 𝑎1 = 1 −1

2

𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 = 1 −1

2+1

2−1

3

𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 1 −1

2+1

2−1

3+1

3−1

4

⋮ 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛

= 1 −1

2+1

2−1

3+1

3−1

4+⋯+

1

𝑛−1

𝑛:1

=1

𝑛−1

𝑛:1

39

∴ 1

𝑛(𝑛:1)= lim𝑛→∞𝑆𝑛

∞𝑛<1

= lim𝑛→∞1 −

1

𝑛:1

= 1

∴ 1

𝑛(𝑛:1) ∞

𝑛<1 เปนอนกรมลเขา และมผลบวกเปน 1

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม (−1)𝑛:1∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

พรอมทงหาผลบวกของอนกรม

วธท า

40

ให 𝑎𝑛 = (−1)𝑛:1 𝑆1 = 𝑎1 = 1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 = 1 − 1 = 0 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 1 − 1 + 1 = 1 𝑆4 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 ⋮

𝑆𝑛 = 0 ถา 𝑛 เปนจ านวนค1 ถา 𝑛 เปนจ านวนค

∴ (−1)𝑛:1= lim

𝑛→∞𝑆𝑛

∞𝑛<1 หาคาไมได

∴ (−1)𝑛:1∞𝑛<1 เปนอนกรมลออก

บทนยาม อนกรมทมรปทวไปดงน โดยท 𝑎 ≠ 0

𝑎𝑟𝑛;1 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + …

∞

𝑛<1

เรยกวา อนกรมเรขาคณต (geometric series)

ทฤษฎบท

𝑎𝑟𝑛;1∞

𝑛<1

=

𝑎

1 − 𝑟 ถา 𝑟 < 1

ลออก ถา 𝑟 ≥ 1

41

อนกรมเรขาคณต (Geometric Series)


2𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธท า

42

∵ 1

2𝑛∞𝑛<1 =

1

2+1

22+1

23+⋯

∵ 1

2𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมเรขาคณต

ม 𝑎 =1

2, 𝑟 =

𝑎2

𝑎1=1

221

2

=1

2

∴ 𝑟 =1

2=1

2< 1

∴ 1

2𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

และมผลบวกเปน 𝑎

1;𝑟=1

2

1;1

2

= 1


3+4

9+4

27+4

81+⋯เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธท า

43

∵ 4

3+4

9+4

27+4

81+⋯ =

4

3+4

32+4

33+4

34+⋯

∵ 1


ม 𝑎 =4

3, 𝑟 =

𝑎2

𝑎1=4

324

3

=1

3

∴ 𝑟 =1

3=1

3< 1

∴ 4

3+4

9+4

27+4

81+⋯เปนอนกรมลเขา

และมผลบวกเปน 𝑎

1;𝑟=4

3

1;1

3

=2

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 2𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธท า

44

∵ 2𝑛∞𝑛<1 = 2 + 22 + 23 + 24 +⋯

∵ 2𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมเรขาคณต

ม 𝑎 = 2, 𝑟 =𝑎2

𝑎1=22

2= 2

∴ 𝑟 = 2 = 2 > 1 ∴ 2𝑛∞

𝑛<1 เปนอนกรมลออก

อนกรมฮารมอนค (Harmonic Series)

ทฤษฎบท อนกรมฮารมอนค (harmonic series) เปนอนกรมลออก

1

𝑛

∞

𝑛<1

45

ทฤษฎบท ใหอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 และ 𝑏𝑛

∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขาดงน

1. อนกรม (𝑎𝑛±𝑏𝑛)∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

และ (𝑎𝑛±𝑏𝑛)∞𝑛<1 = 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛

∞𝑛<1

∞𝑛<1

2. อนกรม 𝑐. 𝑎𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

และ 𝑎𝑛∞𝑛<1 = 𝑐 𝑎𝑛

∞𝑛<1 ทกคาคงตว 𝑐

ทฤษฎบท ใหอนกรม 𝑎𝑛

∞𝑛<1 ลเขา และ 𝑏𝑛

∞𝑛<1 ลออก

แลวจะไดวา (𝑎𝑛±𝑏𝑛)∞𝑛<1 จะลออก

Note : ถา 𝑎𝑛∞𝑛<1 ลออก และ 𝑏𝑛


แลว (𝑎𝑛±𝑏𝑛)∞𝑛<1 อาจลเขาหรอลออกกได

46


5

𝑛+ 5

1

3

𝑛∞𝑛<1

เปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาลเขาจงหาผลบวกดวย วธท า พจารณา

47

31

5

𝑛+ 5

1

3

𝑛= 3

1

5

𝑛+ 5

1

3

𝑛∞𝑛<1

∞𝑛<1

∞𝑛<1

∵ 1

5

𝑛=1

5+1

52+1

53+⋯∞

𝑛<1

เปนอนกรมเรขาคณต ม 𝑎 =1

5, 𝑟 =

𝑎2

𝑎1=1

5

∵ 𝑟 =1

5< 1

∴ 1

5

𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา และมผลบวก คอ

𝑎

1;𝑟=1

5

1;1

5

=1

4

48

∵ 1

3

𝑛=1

3+1

32+1

33+⋯∞

𝑛<1

เปนอนกรมเรขาคณต ม 𝑎 =1

3, 𝑟 =

𝑎2

𝑎1=1

3

∵ 𝑟 =1

3< 1

∴ 1

3


𝑎

1;𝑟=1

3

1;1

3

=1

2

∴ 31

5

𝑛+ 5

1

3

𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

และมผลบวก คอ 31

4+ 5

1

2=13

4

ตวอยาง จงหาผลบวกของอนกรมตอไปน 3𝑛−1;1

6𝑛−1∞𝑛<1

วธท า

49

3𝑛−1;1

6𝑛−1∞𝑛<1 =

3𝑛−1

6𝑛−1−1

6𝑛−1∞𝑛<1

= 3

6

𝑛;1∞𝑛<1 −

1

6𝑛−1∞𝑛<1

= 1

2

𝑛;1∞𝑛<1 −

1

6𝑛−1∞𝑛<1

พจารณา

∵ 1

2

𝑛;1= 1 +

1

2+1

4+1

8+⋯∞

𝑛<1

เปนอนกรมเรขาคณต ม 𝑎 = 1, 𝑟 =𝑎2

𝑎1=1

2

∵ 𝑟 =1

2< 1

∴ 1

2


𝑎

1;𝑟=1

1;1

2

= 2

50

∵ 1

6𝑛−1∞𝑛<1 = 1 +

1

6+1

62+1

63+⋯


𝑎1=1

6

∵ 𝑟 =1

6< 1

∴ 1

6𝑛−1 ∞

𝑛<1 เปนอนกรมลเขา และมผลบวก คอ 𝑎

1;𝑟=1

1;1

6

=6

5

∴ 3𝑛−1;1

6𝑛−1∞𝑛<1 =

1

2

𝑛;1∞𝑛<1 −

1

6𝑛−1∞𝑛<1

= 2 −6

5

=4

5

∴ 3𝑛−1;1

6𝑛−1∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา และมผลบวก คอ

4

5

ตวอยาง จงหาผลบวกของอนกรมตอไปน 4

2𝑛−1∞𝑛<1

วธท า

51

4

2𝑛−1∞𝑛<1 = 4

1

2𝑛−1∞𝑛<1

พจารณา

∵ 1

2𝑛−1= 1 +

1

2+1

22+1

23+⋯∞

𝑛<1


𝑎1=1

2

∵ 𝑟 =1

2< 1

∴ 1

2𝑛−1 ∞

𝑛<1 เปนอนกรมลเขา และมผลบวก คอ 𝑎

1;𝑟=1

1;1

2

= 2

∴ 4

2𝑛−1∞𝑛<1 = 4

1

2𝑛−1= 4 2 = 8∞

𝑛<1

∴ 4

2𝑛−1∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา และมผลบวก คอ 8

Note : การเพมหรอลดพจนแบบจ ากดของอนกรมไมมผลตอการลเขาหรอลออก

ของอนกรม นนคอ

𝑎𝑛

∞

𝑛<𝑘

ลเขา ⇔ 𝑎𝑛

∞

𝑛<1

ลเขา

𝑎𝑛

∞

𝑛<𝑘

ลออก ⇔ 𝑎𝑛

∞

𝑛<1

ลออก

เพราะวา

𝑎𝑛

∞

𝑛<𝑘

= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + …+ 𝑎𝑘;1 + 𝑎𝑛

∞

𝑛<𝑘

52

การทดสอบการลออกของอนกรม (Divergence Test) ทฤษฎบท ให 𝑎𝑛 𝑛<1

∞ เปนล าดบของจ านวนจรง ดงนน

ถา lim𝑛→∞𝑎𝑛 ≠ 0 แลวจะไดวา 𝑎𝑛


Note :

ถา lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0 แลวจะไดวา 𝑎𝑛

∞𝑛<1 อาจลเขาหรอลออกกได

2.3 การทดสอบการลของอนกรม

53

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก 𝑛

𝑛:1∞𝑛<1

วธท า

54


𝑛

𝑛:1= 1 ≠ 0

∴ โดย Divergence Test สรปไดวา

𝑛

𝑛:1∞𝑛<1 ลออก

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรมตอไปนลเขาหรอลออก 𝑛3

3𝑛3:2𝑛2∞𝑛<1

วธท า

55


𝑛3

3𝑛3:2𝑛2=1

3≠ 0

∴ โดย Divergence Test สรปไดวา

𝑛3

3𝑛3:2𝑛2∞𝑛<1 ลออก

บทนยาม ถา 𝑎𝑛 ≥ 0 ทกจ านวนนบ 𝑛 เราจะเรยกอนกรม 𝑎𝑛

∞𝑛<1

วา อนกรมไมเปนลบ (nonnegative series)

ถา 𝑎𝑛 > 0 ทกจ านวนนบ 𝑛 เราจะเรยกอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1

วา อนกรมบวก (positive series)

56

การทดสอบการลเขาของอนกรม

การทดสอบโดยปรพนธ (Integral Test)

ทฤษฎบท ก าหนดให 𝑎𝑛 ∞𝑛<𝑎 เปนอนกรมบวก และ 𝑓 เปนฟงกชนไมเพม

(นนคอ 𝑓 𝑥 ≤ 𝑓 𝑦 เมอ 𝑥 > 𝑦 ) ตอเนองบนชวง 𝑎,∞ ส าหรบบางจ านวนนบ 𝑎 และ 𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛 ทกจ านวนนบ 𝑛 ≥ 𝑎 ดงนน

𝑎𝑛

∞

𝑛<𝑎

ลเขา ลออก ⇔ 𝑓 𝑥 ∞

𝑎

𝑑𝑥 ลเขา(ลออก)

57

ตวอยาง จงตรวจสอบวาอนกรม 1

𝑛2 ∞

𝑛<1 เปนอนกรมลเขาหรอลออก

วธท า

58

ให 𝑓 𝑥 =1

𝑥2

พจารณา 𝑓 𝑥 ∞

1𝑑𝑥 =

1

𝑥2∞

1𝑑𝑥

= lim𝑡→∞ 1

𝑥2𝑡

1𝑑𝑥

= lim𝑡→∞−1

𝑥 1

𝑡

= lim𝑡→∞−1

𝑡+ 1

= 1

โดย Integral Test สรปไดวา 1

𝑛2 ∞

𝑛<1 ลเขา

ตวอยาง จงตรวจสอบวาอนกรม 1

𝑛 ln 𝑛 ∞


วธท า

59

ให 𝑓 𝑥 =1

𝑥 ln 𝑥

พจารณา 𝑓 𝑥 :∞

2𝑑𝑥 =

1

𝑥 ln 𝑥

:∞

2𝑑𝑥

= lim𝑡→:∞ 1

𝑥 ln 𝑥

𝑡

2𝑑𝑥

= lim𝑡→:∞ln ln 𝑥 2

𝑡

= lim𝑡→:∞ln ln 𝑡 − ln ln 2

= +∞

โดย Integral Test สรปไดวา 1

𝑛 ln 𝑛∞𝑛<2 ลออก

อนกรม p คอ อนกรมทอยในรป

1

𝑛𝑝

∞

𝑛<1

โดยท 𝑝 เปนคาคงตว

กรณ 𝑝 = 1 จะไดอนกรม 1

𝑛∞𝑛<1 ซงกคออนกรมฮารมอนคนนเอง

ตวอยางเชน 1

𝑛3∞𝑛<1 เปนอนกรม 𝑝 เพราะวา 𝑝 =

1

3

60

อนกรม p (p-series)

ทฤษฎบท อนกรม 𝑝

1

𝑛𝑝

∞

𝑛<1

เปนอนกรมลเขา ถา 𝑝 > 1

และเปนอนกรมลเขา ถา 𝑝 ≤ 1

61


𝑛3 ∞

𝑛<1 ลเขาหรอไม

วธท า

62

∵ 1

𝑛3 ∞

𝑛<1 = 1

𝑛13

∞𝑛<1 เปนอนกรม 𝑝

โดยท 𝑝 =1

3< 1

∴ 1

𝑛3 ∞

𝑛<1 ลออก


𝑛1.001 ∞


วธท า

63

∵ 1

𝑛1.001 ∞

𝑛<1 เปนอนกรม 𝑝 ม 𝑝 = 1.001 > 1

∴ 1

𝑛3 ∞

𝑛<1 ลเขา

ซงสามารถสรปไดวา 1

𝑛1.001 ∞

𝑛<4 ลเขาเหมอนกน

ทฤษฎบท ถา 𝑎𝑛

∞𝑛<1 เปนอนกรมซง 𝑎𝑛 ≥ 0, ∀𝑛

(การทดสอบการลเขา) ให 𝑎𝑛 ≤ 𝑧𝑛, ∀𝑛 ถา 𝑧𝑛

∞𝑛<1 ลเขา

แลวจะไดวา 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 ลเขา

(การทดสอบการลออก) ให 𝑎𝑛 ≥ 𝑏𝑛, ∀𝑛 ถา 𝑏𝑛


แลวจะไดวา 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 ลออก

64

การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบ (Comparison Test)


2𝑛3:1 ∞


วธท า

65

เนองจาก 1

2𝑛3:1<1

2𝑛3 ; ∀𝑛

∵ 1

2𝑛3∞𝑛<1 เปนอนกรม 𝑝 ม 𝑝 = 3 > 1

∴ 1

2𝑛3∞𝑛<1 ลเขา

โดยการทดสอบแบบเปรยบเทยบ (Comparison Test)

ซงสามารถสรปไดวา 1

2𝑛3:1 ∞

𝑛<1 ลเขา

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 𝑛

5𝑛2;1 ∞


วธท า

66

เนองจาก 𝑛

5𝑛2;1>𝑛

5𝑛2=1

5𝑛; ∀𝑛

∵ 1

5𝑛=1

5∞𝑛<1

1

𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมฮารมอนคทลออก

∴ โดยการทดสอบแบบเปรยบเทยบ (Comparison Test)

ซงสามารถสรปไดวา 𝑛

5𝑛2;1 ∞

𝑛<1 ลออก


2𝑛(𝑛:1) ∞


วธท า

67

เนองจาก 𝑛

2𝑛(𝑛:1)<𝑛

2𝑛(𝑛)=1

2𝑛; ∀𝑛

∵ 1


ม 𝑟 =1

2< 1 ซงลเขา

∴ โดยการทดสอบแบบเปรยบเทยบ (Comparison Test)

ซงสามารถสรปไดวา 𝑛

2𝑛(𝑛:1) ∞

𝑛<1 ลเขา

การทดสอบโดยใชการเปรยบเทยบโดยลมต (Limit Comparison Test)

ทฤษฎบท ถา 𝑎𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมซง 𝑎𝑛 ≥ 0, ∀𝑛

และ 𝑏𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมซง 𝑏𝑛 ≥ 0, ∀𝑛

ถา lim𝑛→∞

𝑎𝑛

𝑏𝑛= 𝑐 > 0 แลวจะไดวา

𝑎𝑛∞𝑛<1 ลเขา ออก ⟺ 𝑏𝑛

∞𝑛<1 ลเขา ออก


𝑎𝑛

𝑏𝑛= 0 และ 𝑏𝑛

∞𝑛<1 ลเขา แลวจะไดวา

𝑎𝑛∞𝑛<1 ลเขา

68


𝑎𝑛

𝑏𝑛= +∞ และ 𝑏𝑛

∞𝑛<1 ลออก แลวจะไดวา

𝑎𝑛∞𝑛<1 ลออก

Note : 𝑎𝑛

∞𝑛<1 คอโจทย

𝑏𝑛

∞𝑛<1 คออนกรมทเรารจก

69

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 3𝑛;2

𝑛3;2𝑛2:11∞𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

70

ให 𝑎𝑛 =3𝑛;2

𝑛3;2𝑛2:11, 𝑏𝑛 =

1

𝑛2


𝑎𝑛

𝑏𝑛= lim𝑛→∞

3𝑛;2

𝑛3;2𝑛2:11×𝑛2

1

= lim𝑛→∞

3𝑛3;2𝑛2

𝑛3;2𝑛2:11

= 3 > 0

∵ 𝑏𝑛 =∞𝑛<1

1

𝑛2 เปนอนกรม 𝑝 = 2 > 1 ซงลเขา

∴ โดยการทดสอบแบบเปรยบเทยบโดยใชลมต (Limit Comparison Test)

ซงจะไดวา 3𝑛;2

𝑛3;2𝑛2:11∞𝑛<1 ลเขา


𝑛2:19𝑛

∞𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

71

ให 𝑎𝑛 =1

𝑛2:19𝑛, 𝑏𝑛 =

1

𝑛


𝑎𝑛


1

𝑛2:19𝑛×𝑛

1

= lim𝑛→∞

𝑛2

𝑛2:19𝑛

= 1 > 0

∵ 𝑏𝑛 =∞𝑛<1

1

𝑛 เปนอนกรมฮารมอนคทลออก


ซงจะไดวา 1

𝑛2:19𝑛


ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 5 𝑛:100

2𝑛2 𝑛:9 𝑛∞𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

72

ให 𝑎𝑛 =5 𝑛:100

2𝑛2 𝑛:9 𝑛, 𝑏𝑛 =

1

𝑛2


𝑎𝑛


5 𝑛:100

2𝑛2 𝑛:9 𝑛×𝑛2

1

= lim𝑛→∞

5𝑛2 𝑛:100𝑛2

2𝑛2 𝑛:9 𝑛

=5

2> 0

∵ 𝑏𝑛 =∞𝑛<1

1

𝑛2 เปนอนกรม 𝑝 ม 𝑝 = 2 > 1 ซงลเขา


ซงจะไดวา 5 𝑛:100

2𝑛2 𝑛:9 𝑛∞𝑛<1 ลเขา

73

การทดสอบแบบอตราสวน (RatioTest)

ทฤษฎบท

1) ถา 2) ถา

3) ถา

1lim 1n

nn

a

a

1lim 1n

nn

a

a

1lim 1n

nn

a

a

แลวอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 ลเขา

หรอมคาอนนต แลวอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 ลออก

ยงสรปไมได


𝑛!∞𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

74

ให 𝑎𝑛 =1

𝑛!, 𝑎𝑛:1 =

1

(𝑛:1)!


𝑎𝑛+1

𝑎𝑛= lim𝑛→∞

1

𝑛:1 !× 𝑛!

= lim𝑛→∞

1

𝑛:1 𝑛!× 𝑛!

= lim𝑛→∞

1

𝑛:1

= 0 < 1

∴ โดยการทดสอบแบบอตราสวน (Ratio Test)

จะไดวา 1

𝑛!∞𝑛<1 ลเขา


10𝑛∞𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

75

ให 𝑎𝑛 =𝑛

10𝑛, 𝑎𝑛:1 =

𝑛:1

10𝑛+1


𝑎𝑛+1


𝑛:1

10𝑛+1×10𝑛

𝑛

= lim𝑛→∞

𝑛:1

10𝑛

=1

10< 1

∴ โดยการทดสอบแบบอตราสวน (Ratio Test)

จะไดวา 𝑛

10𝑛∞𝑛<1 ลเขา

การทดสอบโดยใชราก (Root Test)

ทฤษฎบท

1) ถา lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

< 1 แลวอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 ลเขา


𝑎𝑛𝑛

> 1 หรอมคาอนนต แลวอนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 ลออก


𝑎𝑛𝑛

= 1 ยงสรปไมได

76


(ln 𝑛)𝑛 ∞

𝑛<2 ลเขาหรอลออก วธท า

77

ให 𝑎𝑛 =1

(ln 𝑛)𝑛


𝑎𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

1

(ln 𝑛)𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

1

ln 𝑛

= 0 < 1

∴ โดยการทดสอบโดยใชราก (Root Test)

จะไดวา 1

(ln 𝑛)𝑛 ∞

𝑛<2 ลเขา

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 𝑛2

2𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

78

ให 𝑎𝑛 =𝑛2

2𝑛


𝑎𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

𝑛2

2𝑛

𝑛

= lim𝑛→∞

𝑛2𝑛

2 (I.F.∞0)

พจารณา lim𝑛→∞𝑛2

𝑛

ให 𝑓 𝑥 = 𝑥2

𝑥

∴ lim𝑛→:∞ln 𝑓(𝑥) = lim

𝑛→:∞ln 𝑥

2

𝑥

= lim𝑛→:∞

2

𝑥ln 𝑥 (I.F.∞0)

79

= 2 lim𝑛→:∞

ln 𝑥

𝑥

= 2 lim𝑛→:∞

1

𝑥

1 (โดยกฎของโลปตาล)

= 2 0 = 0

∴ lim𝑛→:∞𝑓(𝑥) = 𝑒0 = 1

∴ lim𝑛→:∞

𝑎𝑛𝑛

=1

21 =

1

2< 1

∴ โดยการทดสอบโดยใชราก (Root Test)

จะไดวา 𝑛2

2𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขา

บทนยาม ถา 𝑎𝑛 > 0 ทกจ านวนบ 𝑛 เราจะเรยกอนกรมทอยในรป

(−1)𝑛:1∞

𝑛<1

𝑎𝑛 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 +⋯+ −1𝑛:1𝑎𝑛 +⋯

หรอ

(−1)𝑛∞

𝑛<1

𝑎𝑛 = −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 +⋯+ −1𝑛:1𝑎𝑛 +⋯

วา อนกรมสลบ (alternating series)

80

2.4 อนกรมสลบ (Alternating Series)

ทฤษฎบท ถา (−1)𝑛:1𝑎𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรมสลบ ซงม

1. 𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛 , ∀𝑛 > 1

2. lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

แลวจะไดวาอนกรมสลบ เปนอนกรมลเขา

Note :

ถาขาดขอใดขอหนง ไมสามารถสรปไดวาอนกรมจะลเขา หรอลออก

81

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม (;1)𝑛

𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาหรอลออก

วธท า

82

ให 𝑎𝑛 =1

𝑛, 𝑎𝑛:1 =

1

𝑛:1

พจารณา 𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛 , ∀𝑛 > 1

1

𝑛:1<1

𝑛 เปนจรง

lim𝑛→∞𝑎𝑛 = 0

lim𝑛→∞

1

𝑛= 0 เปนจรง

∴ (;1)𝑛

𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขา


3𝑛:ln 𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาหรอลออก วธท า

83

ให 𝑎𝑛 =1

3𝑛:ln 𝑛, 𝑎𝑛:1 =

1

3𝑛+1:ln (𝑛:1)

พจารณา 𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛 , ∀𝑛 > 1

1

3𝑛+1:ln (𝑛:1)<

1

3𝑛:ln 𝑛 เปนจรง


lim𝑛→∞

1

3𝑛:ln 𝑛= 0 เปนจรง

∴ (;1)𝑛

3𝑛:ln 𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขา

การลเขาแบบสมบรณและแบบมเงอนไข (Absolute and Conditional Convergence)

บทนยาม จะกลาววาอนกรม 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขาแบบสมบรณ

(absolutely convergence series) ถา 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

และจะกลาววาอนกรม 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขาแบบมเงอนไข

(conditionally convergence series) ถา 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา

แต 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 เปนอนกรมลออก

ทฤษฎบท ถาอนกรม 𝑎𝑛

∞𝑛<1 เปนอนกรมลเขา แลว

อนกรม 𝑎𝑛 ∞𝑛<1 ลเขา

84


2𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณหรอ แบบมเงอนไข หรอลออก

วธท า

85

∵ (;1)𝑛

2𝑛 ∞

𝑛<1 =1

2+1

22+1

23+⋯

พจารณา (;1)𝑛

2𝑛=

1

2𝑛 ∞

𝑛<1∞𝑛<1 เปนอนกรมเรขาคณต

ม 𝑟 =1

2, 𝑟 =

1

2< 1

∴ 1

2𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขา

∴ (;1)𝑛

2𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณ


𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณหรอ แบบมเงอนไข หรอลออก

วธท า

86


𝑛=

1

𝑛 ∞

𝑛<1∞𝑛<1

เปนอนกรมเฮารมอนคทลออก


𝑛 ∞

𝑛<1 (ทดสอบอนกรมสลบ)

ให 𝑎𝑛 =1

𝑛 , 𝑎𝑛:1 =

1

𝑛:1

𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛 , ∀𝑛 > 1

1

𝑛:1<1


87


lim𝑛→∞

1


∴ (;1)𝑛

𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขา

∴ (;1)𝑛

𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบมเงอนไข

การทดสอบโดยใชราก (Root Test)

อนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรม ลเขาแบบสมบรณ ถา lim

𝑛→∞𝑎𝑛

𝑛< 1

และจะเปนอนกรม ลออก lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

> 1 หรอมคาอนนต

และการทดสอบน ไมสามารถสรปได ในกรณ lim𝑛→∞

𝑎𝑛𝑛

= 1

การทดสอบการลเขาแบบสมบรณของอนกรมทวไป

การทดสอบแบบอตราสวน (Ratio Test)

อนกรม 𝑎𝑛∞𝑛<1 เปนอนกรม ลเขาแบบสมบรณ ถา lim

𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛< 1

และจะเปนอนกรม ลออก ถา lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛> 1 หรอมคาอนนต

และการทดสอบน ไมสามารถสรปได ในกรณ lim𝑛→∞

𝑎𝑛+1

𝑎𝑛= 1

88

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 1 −1

3!+1

5!−1

7!+⋯

ลเขาแบบสมบรณหรอไม

วธท า

89

∵ 1 −1

3!+1

5!−1

7!+⋯ =

(;1)𝑛+1

2𝑛;1 !∞𝑛<1

ให 𝑎𝑛 =(;1)𝑛+1

2𝑛;1 !, 𝑎𝑛:1 =

(;1)𝑛+2

2𝑛:1 !


𝑎𝑛+1


(;1)𝑛+2

2𝑛:1 !×2𝑛;1 !

(;1)𝑛+1

= lim𝑛→∞

;1 2𝑛;1 !

2𝑛:1 (2𝑛)(2𝑛;1)!

= lim𝑛→∞

1

(2𝑛:1)(2𝑛)

= 0 < 1 ∴ โดยการทดสอบแบบอตราสวน (Ratio Test)

จะไดวา (;1)𝑛+1

2𝑛;1 !∞𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณ

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม (−1)𝑛:1 1

𝑛𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณหรอลออก

วธท า

90

ให 𝑎𝑛 = (−1)𝑛:1 1

𝑛𝑛


𝑎𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

(−1)𝑛:1 ∙1

𝑛𝑛

𝑛

= lim𝑛→∞

1

𝑛

= 0 < 1 ∴ โดยการทดสอบแบบอตราสวน (Ratio Test)

จะไดวา (−1)𝑛:1 1

𝑛𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณ

ตวอยาง จงพจารณาวาอนกรม 𝑒𝑛2

2𝑛 ∞

𝑛<1 ลเขาแบบสมบรณหรอลออก

วธท า

91

ให 𝑎𝑛 =𝑒𝑛2

2𝑛


𝑎𝑛𝑛

= lim𝑛→∞

𝑒𝑛2

2𝑛

𝑛

= lim𝑛→∞

1

2𝑒𝑛21

𝑛

= lim𝑛→:∞

1

2𝑒𝑛

= +∞ ∴ การทดสอบโดยใชราก (Root Test)

จะไดวา 𝑒𝑛2

2𝑛 ∞

𝑛<1 ลออก

บทนยาม อนกรมก าลง (power series) คอ อนกรมทอยในรป

𝑐𝑛(𝑥 − 𝑎)𝑛= 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2(𝑥 − 𝑎)

2𝑐3(𝑥 − 𝑎)3

∞

𝑛<0

+⋯

เมอ 𝑎 , 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 ,… เปนคาคงตวและ 𝑥 เปนตวแปรของจ านวนจรง จะเรยก 𝑐𝑛 วา สมประสทธ (coefficient) ของอนกรมก าลง และเรยก 𝑎 วา ศนยกลาง (center) ของอนกรมก าลง Note :

สงทเราตองหาในหวขอน คอ 1) รศมของการลเขา 2) ชวงของการลเขา

2.5 อนกรมก าลง (Power Series)

92

จากการทดสอบการลเขาแบบสมบรณโดยการทดสอบแบบอตราสวน และการทดสอบโดยใชราก เราสามารถหารศมการลเขาและชวงของการลเขา โดยสตรตอไปน

รศมของการลเขา (radius of convergence)

𝑟 = lim𝑛→∞

𝑐𝑛𝑐𝑛:1

หรอ

𝑟 = lim𝑛→∞

1

𝑐𝑛

𝑛

93

Note :

ณ จด 𝑥 = 𝑎 ± 𝑟 ตองพจารณาทละจด

ชวงของการลเขา (interval of convergence)

𝑥 − 𝑎 < 𝑟 หรอ

𝑎 − 𝑟 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑟

94

ตวอยาง จงหารศม และชวงของการลเขาของ

𝑥 −𝑥2

2+𝑥3

3−𝑥4

4+⋯ =

(;1)𝑛+1𝑥𝑛

𝑛∞𝑛<1

วธท า

95

∵ 𝐶𝑛 =(;1)𝑛+1

𝑛 , 𝐶𝑛:1 =

(;1)𝑛+2

𝑛:1

∴ รศมของการลเขา 𝑟 = lim𝑛→∞

𝐶𝑛

𝐶𝑛+1

= lim𝑛→∞

(;1)𝑛+1

𝑛×𝑛:1

(;1)𝑛+2

= lim𝑛→∞

𝑛:1

𝑛(;1)

= lim𝑛→∞

𝑛:1

𝑛

= 1

96

∴ ชวงของการลเขา คอ 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 𝑥 < 1 −1 < 𝑥 < 1 กรณ 𝑥 = 1 จะไดอนกรม

(;1)𝑛+1𝑥𝑛

𝑛∞𝑛<1 =

;1 𝑛+1(1)

𝑛∞𝑛<1

= ;1 𝑛+1

𝑛∞𝑛<1 (อนกรมสลบ)

ให 𝑎𝑛 =1

𝑛, 𝑎𝑛:1 =

1

𝑛:1

𝑎𝑛:1 < 𝑎𝑛

1

𝑛:1<1



lim𝑛→∞

1


97

กรณ 𝑥 = −1 จะไดอนกรม

(;1)𝑛+1𝑥𝑛

𝑛∞𝑛<1 =

;1 𝑛+1(;1)𝑛

𝑛∞𝑛<1

= ;1 2𝑛+1

𝑛∞𝑛<1

= ;1 2𝑛 .(;1)

𝑛∞𝑛<1

= 1 (;1)

𝑛∞𝑛<1

= − 1

𝑛∞𝑛<1

∴ เปนอนกรมฮารมอนคทลออก ∴ ชวงของการลเขา คอ (−1,1]


1 − 𝑥 +𝑥2

2!−𝑥3

3!+⋯ =

(;1)𝑛𝑥𝑛

𝑛!∞𝑛<0

วธท า

98

∵ 𝐶𝑛 =(;1)𝑛

𝑛! , 𝐶𝑛:1 =

(;1)𝑛+1

𝑛:1 !


𝐶𝑛

𝐶𝑛+1

= lim𝑛→∞

(;1)𝑛

𝑛!×𝑛:1 !

(;1)𝑛+1

= lim𝑛→∞

𝑛:1 𝑛!

;1 𝑛!

= lim𝑛→∞𝑛 + 1

= +∞

99

∴ ชวงของการลเขา คอ 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 𝑥 < ∞ −∞ < 𝑥 < ∞ ชวงของการลเขา คอ 𝑥 ∈ ℝ


−1

2

𝑛(𝑥 − 2)𝑛∞

𝑛<0

วธท า

100

∵ 𝐶𝑛 = −1

2

𝑛


1

𝐶𝑛

𝑛

= lim𝑛→∞

1

;1

2

𝑛𝑛

= lim𝑛→:∞2

= 2

101

∴ ชวงของการลเขา คอ 𝑥 − 𝑎 < 𝑟 𝑥 − 2 < 2 −2 < 𝑥 − 2 < 2 0 < 𝑥 < 4 กรณ 𝑥 = 0 จะไดอนกรม

−1

2

𝑛(𝑥 − 2)𝑛∞

𝑛<0 = −1

2

𝑛(0 − 2)𝑛∞

𝑛<0

= 1

;2 𝑛∞𝑛<0 (−2)𝑛

= 1∞𝑛<0

พจารณา lim𝑛→∞1 = 1 ≠ 0

∴ โดย Divergence Test จะไดวา 1∞𝑛<0 ลออก

102

กรณ 𝑥 = 4 จะไดอนกรม

−1

2

𝑛(𝑥 − 2)𝑛∞

𝑛<0 = −1

2

𝑛(4 − 2)𝑛∞

𝑛<0

= ;1 𝑛

2𝑛∞𝑛<0 (2𝑛)

= −1 𝑛∞𝑛<0

พจารณา lim𝑛→∞−1 𝑛

lim𝑛→∞−1 = −1 ; 𝑛 ค

lim𝑛→∞1 = 1 ; 𝑛 ค

∴ lim𝑛→∞

หาคาไมได

∴ โดย Divergence Test จะไดวา −1 𝑛∞𝑛<0 ลออก

∴ ชวงของการลเขา คอ 0 < 𝑥 < 4

2.6 อนกรมเทยเลอร และอนกรมแมคลอรน (Taylor Series and Maclaurin Series)

บทนยาม ให 𝑓 เปนฟงกชนซง 𝑓 และอนพนธทกอนดบของ 𝑓 มคาท 𝑥 = 𝑎

จะเรยกอนกรมก าลงในรป

วา อนกรมเทยเลอร (Taylor Series ) ของ 𝑓 𝑥 รอบจด 𝑎 เมอ 𝑎 = 0

เราจะเรยกอนกลมก าลงนวา อนกรมแมคลอรน ( Maclaurin Series ) ของ 𝑓 𝑥

103

𝑓(𝑛) 𝑎 (𝑥 − 𝑎)𝑛

𝑛!

∞

𝑛<0

𝑓(𝑛) 0 𝑥𝑛

𝑛!

∞

𝑛<0

ขอตกลง สญลกษญ 𝑓(𝑛) 𝑥 แทนอนพนธอนดบ 𝑛 ของฟงกชน 𝑓 𝑓(0) = 𝑓

104

ตวอยาง จงหาอนกลมแมคลอรนของ sin 𝑥

วธท า

105

ให 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 ∴ 𝑓(0) 𝑥 = 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 𝑓(0) 0 = 𝑓 𝑥 = sin 𝑥 𝑓(1) 𝑥 = cos 𝑥 𝑓(1) 0 = cos 0 = 1 𝑓(2) 𝑥 = −sin 𝑥 𝑓(2) 0 = 0 𝑓(3) 𝑥 = −cos 𝑥 𝑓(3) 0 = −1 𝑓(4) 𝑥 = sin 𝑥 𝑓(4) 0 = 0 𝑓(5) 𝑥 = cos 𝑥 𝑓(5) 0 = 1 ⋮ ⋮ ∴ อนกรมแมคลอรนของ sin 𝑥 คอ

106


𝑛!∞𝑛<0 =

𝑓(0) 0 𝑥0

0!+𝑓(1) 0 𝑥1

1!+𝑓(2) 0 𝑥2

2!

+𝑓(3) 0 𝑥3

3! +𝑓(4) 0 𝑥4

4! +𝑓(5) 0 𝑥5

5!+⋯

= 0 + x + 0 − 𝑥3

3!+ 0 +

𝑥5

5!+⋯

= x − 𝑥3

3!+ 𝑥5

5!−𝑥7

7!+𝑥9

9!⋯

= (−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛:1)!∞𝑛<0

ตวอยาง จงหาอนกลมแมคลอรนของ 𝑒𝑥

วธท า

107

ให 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 ∴ 𝑓(0) 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓(0) 0 = 𝑒0 = 1 𝑓(1) 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓(1) 0 = 1 𝑓(2) 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓(2) 0 = 1 𝑓(3) 𝑥 = 𝑒𝑥 𝑓(3) 0 = 1 ⋮ ⋮ ∴ อนกรมแมคลอรนของ 𝑒𝑥 คอ


𝑛!∞𝑛<0 = 𝑓(0) 0 +

𝑓(1) 0 𝑥1

1!+𝑓(2) 0 𝑥2

2!

+𝑓(3) 0 𝑥3

3!+⋯

108

= 1 + x + 𝑥2

2!+ 𝑥3

3!+𝑥4

4!+⋯

= 𝑥𝑛

𝑛!∞𝑛<0

ตวอยาง จงหาอนกลมเทยเลอรของ 1

𝑥 รอบจด 𝑥 = 1

วธท า

109

ให 𝑓 𝑥 =1

𝑥

∴ 𝑓(0) 𝑥 =1

𝑥2 𝑓(0) 1 = 1

𝑓(1) 𝑥 =;1

𝑥2 𝑓(1) 1 = −1

𝑓(2) 𝑥 =2

𝑥3 𝑓(2) 1 = 2

𝑓(3) 𝑥 =;6

𝑥4 𝑓(3) 1 = −6

𝑓(4) 𝑥 =24

𝑥5 𝑓(4) 1 = 24

⋮ ⋮

∴ อนกรมเทยเลอรของ 1

𝑥 คอ

110

𝑓(𝑛) 1 (𝑥;1)𝑛

𝑛!∞𝑛<0 = 𝑓(0) 1 +

𝑓(1) 1 (𝑥;1)1

1!+𝑓(2) 1 (𝑥;1)2

2!

+𝑓(3) 1 (𝑥;1)3

3!+𝑓(4) 1 (𝑥;1)4

4!+⋯

= 1 − 𝑥 − 1 +2 𝑥;1 2

2!+6 𝑥;1 3

3!

+24(𝑥;1)4

4!+⋯

= 1 − 𝑥 − 1 + 𝑥 − 1 2 − 𝑥 − 1 3 + 𝑥 − 1 4 +⋯

= (−1)𝑛(𝑥 − 1)𝑛∞𝑛<0

บทที่ 2 ลำดับและอนุกรม update

Documents