1 Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής τριβής Σύνοψη Προσδιορισμός των συντελεστών στατικής και δυναμικής τριβής με τη βοήθεια του κεκλιμένου επιπέδου. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαιο 1. Βασικές γνώσεις διαφορικού λογισμού. 2.1 Βασικές έννοιες Έστω σώμα βάρους Β, το οποίο ηρεμεί επάνω σε μια επίπεδη, οριζόντια επιφάνεια. Εφόσον το σώμα δεν κινείται, θα πρέπει (σύμφωνα με τη θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής F =m∙a ) η συνισταμένη δύναμη F ολ να είναι ίση με μηδέν. Πράγματι: το σώμα ασκεί επί του οριζοντίου επιπέδου το βάρος του Β και δέχεται (σύμφωνα με την αρχή δράσεως και αντιδράσεως) ίση και αντίθετη αντίδραση Α ≡Ν = −Β . Έτσι η συνισταμένη δύναμη F ολ =Β +Ν είναι ίση με μηδέν. Εικόνα 2.1 Σώμα το οποίο ηρεμεί επάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Αν επιχειρήσουμε τώρα να μετακινήσουμε το σώμα ασκώντας επ’ αυτού οριζόντια δύναμη F ≈0, της οποίας το μέτρο αυξάνουμε βαθμιαία, θα παρατηρήσουμε, ότι το σώμα μένει αρχικά ακίνητο, μέχρις ότου η δύναμη F αποκτήσει μια μέγιστη τιμή F max . Όσο το σώμα δεν κινείται (F <F max ), θα πρέπει (και πάλι σύμφωνα με τη θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής) η συνισταμένη όλων των δυνάμεων να είναι ίση με μηδέν. Άρα λοιπόν εκτός από την κατακόρυφη δύναμη Ν , η οποία (αφού δεν έχουμε κατακόρυφη κίνηση) εξουδετερώνει το βάρος Β του σώματος, θα πρέπει να ασκείται επί του σώματος οριζόντια δύναμη T σ ίση και αντίθετη προς τη δύναμη F (βλ. Εικόνα 2.2). Η δύναμη αυτή καλείται στατική τριβή και παριστάνει προφανώς την οριζόντια συνιστώσα της συνολικής αντίδρασης Α =T σ +Ν του οριζοντίου επιπέδου. Εικόνα 2.2 Σώμα το οποίο τείνει να κινηθεί επάνω σε οριζόντια επιφάνεια. Για λόγους σκοπιμότητας έχει επικρατήσει η χρήση της ακόλουθης έκφρασης της στατικής τριβής: Τ σ ≤μ σ Ν (Εξίσωση 2.1) Τ σ : στατική τριβή μ σ : συντελεστής στατικής τριβής (αδιάστατο μέγεθος)
10
Embed
Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής ... · να είναι ίση με μηδέν. Πράγματι: το σώμα
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Κεφάλαιο 2: Μέτρηση των συντελεστών στατικής και κινητικής
τριβής
Σύνοψη
Προσδιορισμός των συντελεστών στατικής και δυναμικής τριβής με τη βοήθεια του κεκλιμένου επιπέδου.
Προαπαιτούμενη γνώση
Κεφάλαιο 1. Βασικές γνώσεις διαφορικού λογισμού.
2.1 Βασικές έννοιες
Έστω σώμα βάρους Β, το οποίο ηρεμεί επάνω σε μια επίπεδη, οριζόντια επιφάνεια. Εφόσον το σώμα δεν
κινείται, θα πρέπει (σύμφωνα με τη θεμελιώδη εξίσωση της Μηχανικής F⃗ = m ∙ a⃗ ) η συνισταμένη δύναμη F⃗ ολ
να είναι ίση με μηδέν. Πράγματι: το σώμα ασκεί επί του οριζοντίου επιπέδου το βάρος του Β⃗⃗ και δέχεται
(σύμφωνα με την αρχή δράσεως και αντιδράσεως) ίση και αντίθετη αντίδραση Α⃗⃗ ≡ Ν⃗⃗ = −Β⃗⃗ . Έτσι η
συνισταμένη δύναμη F⃗ ολ = Β⃗⃗ + Ν⃗⃗ είναι ίση με μηδέν.
Εικόνα 2.1 Σώμα το οποίο ηρεμεί επάνω σε οριζόντια επιφάνεια.
Αν επιχειρήσουμε τώρα να μετακινήσουμε το σώμα ασκώντας επ’ αυτού οριζόντια δύναμη F⃗ ≈ 0, της οποίας
το μέτρο αυξάνουμε βαθμιαία, θα παρατηρήσουμε, ότι το σώμα μένει αρχικά ακίνητο, μέχρις ότου η δύναμη
F⃗ αποκτήσει μια μέγιστη τιμή F⃗ max.
Όσο το σώμα δεν κινείται (F⃗ < F⃗ max), θα πρέπει (και πάλι σύμφωνα με τη θεμελιώδη εξίσωση της
Μηχανικής) η συνισταμένη όλων των δυνάμεων να είναι ίση με μηδέν. Άρα λοιπόν εκτός από την
κατακόρυφη δύναμη Ν⃗⃗ , η οποία (αφού δεν έχουμε κατακόρυφη κίνηση) εξουδετερώνει το βάρος Β⃗⃗ του
σώματος, θα πρέπει να ασκείται επί του σώματος οριζόντια δύναμη T⃗⃗ σ ίση και αντίθετη προς τη δύναμη F⃗ (βλ. Εικόνα 2.2). Η δύναμη αυτή καλείται στατική τριβή και παριστάνει προφανώς την οριζόντια συνιστώσα
της συνολικής αντίδρασης Α⃗⃗ = T⃗⃗ σ + Ν⃗⃗ του οριζοντίου επιπέδου.
Εικόνα 2.2 Σώμα το οποίο τείνει να κινηθεί επάνω σε οριζόντια επιφάνεια.
Για λόγους σκοπιμότητας έχει επικρατήσει η χρήση της ακόλουθης έκφρασης της στατικής τριβής:
Για τη στατική τριβή Τσ θα ισχύει εξάλλου η σχέση (2.1):
Τσ = μσΝ ⇒ μσ =Τσ
N
{2}={1}
mg sinφ0
mg cosφ0⇒ μσ = tanφ0 (Εξίσωση 2.4)
Ο συντελεστής στατικής τριβής μσ ισούται με την εφαπτομένη της μέγιστης τιμής φ0 της
γωνίας κεκλιμένου επιπέδου, για την οποία το σώμα μόλις και ισορροπεί, όταν τοποθετηθεί επί του
κεκλιμένου επιπέδου.
Η παραπάνω σχέση αξιοποιείται κατά την παρούσα άσκηση για τον προσδιορισμό του
συντελεστή στατικής τριβής.
Εικόνα 2.3 Δυνάμεις ασκούμενες σε σώμα επί κεκλιμένου επιπέδου.
2.2.2. Προσδιορισμός του συντελεστή κινητικής τριβής 𝛍𝛋:
4
Οι συνθήκες ισορροπίας {1} και {2} ισχύουν προφανώς και στην περίπτωση που η γωνία φ είναι τέτοια, ώστε
το σώμα να ολισθαίνει με σταθερή ταχύτητα (κατάσταση δυναμικής ισορροπίας). Βέβαια τότε πρόκειται για
την κινητική τριβή, οπότε στη θέση της (2.4) παίρνουμε:
μκ = tanφ′ (Εξίσωση 2.5)
Ο συντελεστής κινητικής τριβής μκ ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας φ′ κεκλιμένου
επιπέδου, για την οποία το σώμα κινείται επί του κεκλιμένου επιπέδου με σταθερή ταχύτητα. Επειδή όμως είναι σχετικά δύσκολο να προσδιορίσουμε την τιμή της γωνίας, για την οποία το σώμα
κινείται με σταθερή ταχύτητα, κάνουμε το εξής:
Επιλέγουμε μια μεγαλύτερη τιμή, φ, της γωνίας του κεκλιμένου επιπέδου, ώστε το σώμα να εκτελεί -
όταν τοποθετείται επί του κεκλιμένου επιπέδου – επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση a⃗ , κάτω από την
επίδραση της συνισταμένης των δυνάμεων Β⃗⃗ π και Τ⃗⃗ κ. Τότε σύμφωνα με τη θεμελιώδη εξίσωση της
Μηχανικής έχουμε:
Β⃗⃗ π + Τ⃗⃗ κ = ma⃗
φορά a⃗
θετική ⇒ Βπ − Τκ = ma ⇒ mgsinφ − μκΝ = ma ⇒ μκΝ = mgsinφ−ma ⇒
⇒ μκ =mgsinφ−ma
Ν {3}
Επειδή κάθετα προς το κεκλιμένο επίπεδο δεν έχουμε κίνηση, θα πρέπει η συνισταμένη των
δυνάμεων Β⃗⃗ κ και Ν⃗⃗ να ισούται με μηδέν, οπότε
Ν = Βκ = mg cosφ0 {4}
Αντικαθιστούμε στην {3} και παίρνουμε:
μκ =mgsinφ −ma
mg cosφ⇒ μκ = tanφ −
a
g cosφ {5}
Επειδή πρόκειται για ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση (χωρίς αρχική κίνηση - το ρυθμίζουμε
εμείς!), θα ισχύει:
s =at2
2⇒ a = 2s/t2 {6}
Αντικαθιστούμε την {6} στην {5} και παίρνουμε:
μκ = tanφ −2s/t2
g cosφ (Εξίσωση 2.6)
όπου s το διανυόμενο εντός του χρόνου t διάστημα.
Μετρώντας λοιπόν τα δύο αυτά μεγέθη (s και t) μπορούμε να υπολογίσουμε τον συντελεστή
τριβής κινήσεως. Η μέθοδος αυτή ακολουθείται και εδώ.
2.3. Συμπληρωματικά περί σφαλμάτων
Η μέτρηση των συντελεστών τριβής είναι προφανώς έμμεση: Οι συντελεστές υπολογίζονται ως συναρτήσεις
των άμεσα μετρηθέντων μεγεθών φ0, φ, s και t [βλ. σχέσεις (2.4) και (2.6)]. Επομένως ο υπολογισμός των
σφαλμάτων γίνεται σύμφωνα με τους κανόνες, οι οποίοι διέπουν τα σφάλματα συναρτήσεων (Χασάπης Δ.Δ.,
Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής). Ιδιαίτερα θα ισχύουν οι σχέσεις (1.5) και (1.8), τις οποίες αναπτύξαμε στις
ενότητες 1.4 και 1.4.1:
5
ΔF̅ = ±√(∂F
∂xΔx)
2+ (
∂F
∂yΔy)
2+ (
∂F
∂zΔz)
2 (Εξίσωση 2.7)
ΔF = ±(|∂F
∂xΔx| + |
∂F
∂yΔy| + |
∂F
∂zΔz|) (Εξίσωση 2.8)
2.3.1. Υπολογισμός του μέσου σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος του συντελεστή στατικής
τριβής
μσ = tanφ0 ⇒∂μσ
∂φ0=
1
cos2φ0 {1}
Δμ̅σ
(2.7)= ± √(
∂μσ
∂φ0Δφ̅0)
2
= ±∂μσ
∂φ0Δφ̅0
{1}⇒ Δμ̅σ = ±
Δφ̅0
cos2φ̅0 {2}
⇒Δμ̅σ
μ̅σ
{2}={1}±
Δφ̅0cos2φ̅0
tanφ̅0 tanφ0 =
sinφ0
cosφ0= ±
Δφ̅0
cosφ̅0sinφ̅0⇒
⇒ Δμ̅σ
μ̅σ100% = ±
Δφ̅0
cosφ̅0sinφ̅0100% (Εξίσωση 2.9)
2.3.2. Υπολογισμός του μέγιστου σχετικού επί τοις εκατό σφάλματος του συντελεστή κινητικής
τριβής
μκ = tanφ −2s/t2
g cosφ {1} ⇒
∂μκ
∂φ
∂
∂φ(1
cosφ) =
sinφ
cos2φ=
1
cos2φ −
2s/t2
g
sinφ
cos2φ=
1
cos2φ(1 +
(2s/t2)sinφ
g ) ⇒
⇒ ∂μκ∂φ
=1
cos2φ(1 +
2s ∙ sinφ
gt2) {2}
{1} ⇒ ∂μκ
∂s= −
2/t2
gcosφ = −
2
gt2cosφ {3}
{1} ⇒ ∂μκ
∂t= −
2s
gcosφ (−2t−3) =
4s
gt3cosφ {4}
Οπότε
Δμκ = ±{|1
cos2φ(1 +
2s∙sinφ
gt2)| Δφ + |−
2
gt2cosφ | Δs + |
4s
gt3cosφ | Δt} {5}
Με τη βοήθεια των σχέσεων {1} και {5} παίρνουμε για το μέγιστο σχετικό επί τοις εκατό σφάλμα:
Δμκ
μκ100% = ±
{|1
cos2φ(1+
2s∙sinφ
gt2)|Δφ+|−
2
gt2cosφ |Δs+|
4s
gt3cosφ |Δt}
tanφ−2s
gt2cosφ
(Εξίσωση 2.10)
2.4. Πειραματική διαδικασία
6
Animation 2.1 Διαδραστική περιγραφή της πειραματικής διαδικασίας. (Είναι διαθέσιμη από τον Ελληνικό Συσσωρευτή
Ακαδημαϊκών Ηλεκτρονικών Βιβλίων.)
Η πειραματική διαδικασία στοχεύει:
1. στον προσδιορισμό (μέσω ειδικής γωνιομετρικής κλίμακας του κεκλιμένου επιπέδου) της
οριακής γωνίας φ0 κεκλιμένου επιπέδου, για την οποία σώμα τοποθετημένο επ’ αυτού
αρχίζει να ολισθαίνει (βλ. ενότητα 2.2.1), και
1. στη μέτρηση (μέσω ψηφιακού χρονομέτρου) του χρόνου t, μέσα στον οποίο σώμα
τοποθετημένο επί κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ, τέτοιας ώστε να έχουμε επιταχυνόμενη
κίνηση, διανύει συγκεκριμένο διάστημα s (βλ. ενότητα 2.2.2).
Απαιτούμενα όργανα:
2. Χρονόμετρο (βλ. Εικόνα 2.4) Το ξεκινάμε πιέζοντας το Α
Το σταματάμε πιέζοντας το B
Το ξαναξεκινάμε ξαναπιέζοντας το B
Το μηδενίζουμε πιέζοντας το A και εν συνεχεία Β.
Εικόνα 2.4 Ψηφιακό χρονόμετρο.
3. Κεκλιμένο επίπεδο (βλ. Εικόνα 2.5) Επιτρέπει τη ρύθμιση της γωνίας του και την ταυτόχρονη ανάγνωση της τιμής της σε κατάλληλη
κλίμακα βαθμονομημένη σε μοίρες. Φέρει εξάλλου κλίμακα βαθμονομημένη σε cm για τον
προσδιορισμό του διανυθέντος διαστήματος.
Εικόνα 2.5 Κεκλιμένο επίπεδο με γωνιομετρική κλίμακα.
4. Σώμα (βλ. Εικόνα 2.5)
Μέτρηση του συντελεστή στατικής τριβής 𝛍𝛔 Καθαρίζουμε το κεκλιμένο επίπεδο και το σώμα με λίγο οινόπνευμα (υπάρχει επί της
εργαστηριακής τράπεζας).
Επιλέγουμε τη γωνία του κεκλιμένου επιπέδου ίση με μηδέν και τοποθετούμε το σώμα επί του
(οριζοντίου ουσιαστικά!) επιπέδου. Στη συνέχεια, αυξάνουμε σιγά σιγά και με σταθερό ρυθμό τη
γωνία, παρακολουθώντας συνεχώς την τιμή της στην κλίμακα του κεκλιμένου επιπέδου. Μόλις το