ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ 2.1 Τυχαίες μεταβλητές Πολλές φορές σε ένα πείραμα τύχης δεν μας ενδιαφέρει ο δειγματοχώρος του (ο οποίος όπως είδαμε μπορεί να είναι και μη-αριθμητικό σύνολο), αλλά ένα σύ- νολο το οποίο είναι αποτέλεσμα μιας απεικόνισης (συνάρτησης) των στοιχείων του δειγματοχώρου στους πραγματικούς αριθμούς. Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουμε το παρακάτω παράδειγμα: έστω ότι ρίχνουμε δύο νομίσματα, τότε ως γνωστόν ο δειγματοχώρος του πειράματος είναι ίσος με: Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Ας υποθέσουμε ότι μας ενδιαφέρει ο αριθμός των Κ τα οποία εμφανίζονται, και ας συμβολίσουμε τον αριθμό αυτό με Χ. Τότε εάν κατά την εκτέλεση του πει- ράματος συμβεί το γεγονός ΚΚ, η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 2. Εάν συμβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ, η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 1, και εάν τέλος συμβεί το γεγονός ΓΓ η αντίστοιχη τιμή του Χ είναι 0. Έτσι ορίσαμε έναν τρόπο με την βοήθεια του οποίου, σε κάθε δειγματοσημείο αντιστοιχούμε έναν πραγματικό αριθμό, μ’ άλλα λόγια ορίσαμε μια συνάρτηση Χ με πεδίο ορισμού τον δειγματο- χώρο και πεδίο τιμών το υποσύνολο {0, 1, 2} των πραγματικών αριθμών. Έτσι λοιπόν έχουμε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός 2.1.1 Μια τυχαία μεταβλητή Χ (χάριν συντομίας τ.μ.), είναι μία συ- νάρτηση με πεδίο ορισμού έναν δειγματοχώρο Ω και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών ( δηλαδή η ℜ → Ω : X ). Παρατήρηση 2.1.2 Στην πραγματικότητα, αν θεωρήσουμε μια οποιαδήποτε συ- νάρτηση Χ με πεδίο ορισμού έναν δειγματοχώρο Ω (στον οποίο έχει οριστεί μια σ-άλγεβρα γεγονότων ) και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε η εν λόγω συνάρτηση θεωρείται ότι είναι μια τυχαία μεταβλητή εάν ικανοποιεί την συνθήκη: για κάθε πραγματικό αριθμό ℑ x το σύνολο: 19
24
Embed
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - EAPedu.eap.gr/pli/pli12/shmeiwseis/pi8anothtes2.pdfΑκόµα στην περίπτωση που το α=1/2 και β=2, τότε η γάµµα κατανοµή
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο
ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ 2.1 Τυχαίες µεταβλητές Πολλές φορές σε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του (ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό σύνολο), αλλά ένα σύ-νολο το οποίο είναι αποτέλεσµα µιας απεικόνισης (συνάρτησης) των στοιχείων του δειγµατοχώρου στους πραγµατικούς αριθµούς. Για να γίνει αυτό κατανοητό δίνουµε το παρακάτω παράδειγµα: έστω ότι ρίχνουµε δύο νοµίσµατα, τότε ως γνωστόν ο δειγµατοχώρος του πειράµατος είναι ίσος µε:
Ω = ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ
Ας υποθέσουµε ότι µας ενδιαφέρει ο αριθµός των Κ τα οποία εµφανίζονται, και ας συµβολίσουµε τον αριθµό αυτό µε Χ. Τότε εάν κατά την εκτέλεση του πει-ράµατος συµβεί το γεγονός ΚΚ, η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 2. Εάν συµβεί το γεγονός ΚΓ ή το ΓΚ, η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 1, και εάν τέλος συµβεί το γεγονός ΓΓ η αντίστοιχη τιµή του Χ είναι 0. Έτσι ορίσαµε έναν τρόπο µε την βοήθεια του οποίου, σε κάθε δειγµατοσηµείο αντιστοιχούµε έναν πραγµατικό αριθµό, µ’ άλλα λόγια ορίσαµε µια συνάρτηση Χ µε πεδίο ορισµού τον δειγµατο-χώρο και πεδίο τιµών το υποσύνολο 0, 1, 2 των πραγµατικών αριθµών.
Έτσι λοιπόν έχουµε τον παρακάτω ορισµό: Ορισµός 2.1.1 Μια τυχαία µεταβλητή Χ (χάριν συντοµίας τ.µ.), είναι µία συ-νάρτηση µε πεδίο ορισµού έναν δειγµατοχώρο Ω και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών ( δηλαδή η ℜ→Ω:X ).
Παρατήρηση 2.1.2 Στην πραγµατικότητα, αν θεωρήσουµε µια οποιαδήποτε συ-νάρτηση Χ µε πεδίο ορισµού έναν δειγµατοχώρο Ω (στον οποίο έχει οριστεί µια σ-άλγεβρα γεγονότων ) και πεδίο τιµών ένα υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών, τότε η εν λόγω συνάρτηση θεωρείται ότι είναι µια τυχαία µεταβλητή εάν ικανοποιεί την συνθήκη: για κάθε πραγµατικό αριθµό
ℑ
x το σύνολο:
19
(2.1.3) )(/)],((1 xxX ≤Χ=−∞− ωω
είναι ένα γεγονός του Ω, αναφορικά µε την σ-άλγεβρα ℑ . Είναι φανερό ότι εάν σαν σ-άλγεβρα ℑ θεωρήσουµε το δυναµοσύνολο του Ω, τότε κάθε πραγµατική συνάρτηση του δειγµατοχώρου θεωρείται τυχαία µεταβλητή. Για τις εφαρµογές του εν λόγω συγγράµµατος θεωρούµε ότι, όλες οι πραγµα-τικές συναρτήσεις που ορίζονται σ’ έναν δειγµατοχώρο είναι τυχαίες µεταβλη-τές. Αν υποθέσουµε ότι στον δειγµατοχώρο Ω (µαζί µε την σ-άλγεβρα του ) ορίζεται ένα «µέτρο» πιθανότητας
ℑP και µια τυχαία µεταβλητή Χ, τότε µε την
βοήθεια της Χ ορίζουµε στο (στον οποίο χώρο είναι ορισµένη µια σ-άλγεβρα Β καλούµενη σ-άλγεβρα του Borel) ένα µέτρο πιθανότητας L, ως εξής:
ℜ
L (2.1.4) ))(/())(()( 1 AXPAXPA ∈== − ωω
για όλα τα Α Borel γεγονότα του ℜ . Το µέτρο πιθανότητας L καλείται νόµος ή κατάνοµή της τ.µ. Χ. Ορισµός 2.1.5 Έστω τώρα ότι δίνεται µια τ.µ. Χ, τότε ορίζουµε µια συνάρτηση
Η συνάρτηση F καλείται συνάρτηση κατανοµής (distribution function) της τ.µ. Χ (συνήθως γράφουµε ). XF Εάν δυο τ.µ. Χ και Υ έχουν την ίδια συνάρτηση κατανοµής, δηλαδή , τότε λέµε ότι οι τ.µ. είναι ισόνοµες ή ταυτοτικά κατανεµηµένες.
YX FF =
Πρόταση 2.1.7 Η συνάρτηση κατανοµής XF της τ.µ. Χ έχει τις παρακάτω ιδιότητες: (1) 1)(0 ≤≤ xFX
(2) Η είναι αύξουσα. XF
(3) Η είναι συνεχής από δεξιά σε όλα τα XF ℜ∈x , δηλαδή: . )(lim)( tFxF X
Μια τυχαία µεταβλητή Χ καλείται διακριτή αν το πλήθος των τιµών της είναι ένα πεπερασµένο ή το πολύ αριθµήσιµο σύνολο και κάθε µια από αυτές τις τιµές έχει θετική πιθανότητα. ∆ηλαδή αν η Χ είναι µια διακριτή τ.µ. και παίρνει τις τιµές (ας υποθέσουµε ακόµα ότι: …… ,,,, 21 nxxx << 21 xx ) τότε οι πιθανό-τητες
,2,1,0))(/( =>== kpxXP kkωω .
Είναι φανερό ότι:
∑∑∞
=
∞
=
===11
1)(k
kkk
pxXP
Ορισµός 2.2.1 Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο:
⎪⎩
⎪⎨⎧ ==
===ύ
kxxpxXPxf
kk
Xαλλο0
,2,1,)( (2.2.2)
καλείται πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ. Χ (probability density function). Είναι φανερό ότι η πυκνότητα πιθανότητας µιας τ.µ. ικανοποεί τις παρακάτω ιδιότητες:
(α) και 0)( ≥xf X
(β) 1)(1
=∑∞
=nX
nxf
Η πυκνότητα πιθανότητας και η συνάρτηση κατανοµής µιας τ.µ. συνδέονται ως εξής:
)()()(
)()(
1
11
−
−−
≤≤
−==≤−≤=≤<===
===≤= ∑∑
kXkX
kkkkkkX
xxkX
xxkX
xFxFxXPxXPxXxPxXPxf
xfxXPxXPxFkk
Αναφέρουµε παρακάτω ορισµένες πυκνότητες πιθανότητας, οι οποίες εµφα-νίζονται συνήθως στην πράξη και χρησιµοποιούνται στην συνέχεια του συγ-γράµµατος. Λέµε λοιπόν ότι µια τ.µ. Χ ακολουθεί:
(α) την διωνυµική κατανοµή (binomial distribution) µε παραµέτρους n και p (συµβολικά ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της δίνεται από την:
);( pnBX ≈
21
nkppknk
nppkn
kXP knkknk ,,2,1,0,)1()!(!
!)1( =−−
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== −− (2.2.3)
(β) την κατανοµή Poisson (Poisson distribution) µε παράµετρο λ µε λ > 0 (συµβολικά )(λPX ≈ ) , εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ισούται µε:
,2,1,0,!
=== − kk
ekXPkλλ (2.2.4)
(γ) την γεωµετρική κατανοµή (geometrical distribution) µε παράµετρο r (µε 0<r<1), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ισούται µε:
(2.2.5) ,2,1,)1( 1 =−== − krrkXP k
(Β) Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές κατανοµές
Έστω τώρα ότι το το πλήθος των τιµών µιας τ.µ. Χ είναι ένα µη-αριθµήσιµο σύνολο S, τέτοιο ώστε SxxXP ∈∀== ,0 . Η τ.µ. Χ καλείται, σ΄αυτή την περίπτωση συνεχής. Τις περισσότερες φορές υποθέτουµε ότι υπάρχει µια πραγµατική µη αρνητική συνάρτηση (η λεγόµενη πυκνότητα πιθανότητας) τέτοια ώστε: )(xf X
(2.2.6) ℜ∈∀= ∫∞−
xdttfxFx
XX ,)()(
Από τον ορισµό της πυκνότητας πιθανότητας, είναι εύκολο να δει κανείς ότι:
(2.2.7) 1)( =∫∞
∞−
dxxf X
ενώ dx
xdFxf XX
)()( = για όλα τα x για τα οποία η είναι συνεχής. )(xf X
Οι χρησιµότερες συνεχείς τ.µ. είναι αυτές των οποίων η πυκνότητα πιθανότη-τας δίνεται παρακάτω. Θα λέµε ότι µια τ.µ. Χ ακολουθεί:
(α) την οµοιόµορφη κατανοµή (uniform distribution) µε παραµέτρους α και β (συµβολικά ),( βαUX ≈ ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την:
⎪⎩
⎪⎨⎧ <∈
−=ύ
xxf X
αλλο
βαβααβ
0
],,[1)( (2.2.8)
(β) την κανονική κατανοµή (normal distribution) µε παραµέτρους µ και σ (συµβολικά ) ), εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίση µε:
,( 2σµNX ≈
22
)(xf X 0,,,21 2
2
2)(
>ℜ∈ℜ∈=−
−σµ
σπσµ
xex
(2.2.9)
Εάν µ=0 και σ=1, τότε λέµε ότι η τ.µ. Χ ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή (standard normal distribution).
(γ) την αρνητική εκθετική κατανοµή (negative exponential distribution) µε
παράµετρο λ , µε λ > 0, εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι ίση µε:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤
>=
−
00
0)(
x
xexf
x
X
λλ (2.2.10)
(δ) την γάµµα κατανοµή (gamma distribution) µε παραµέτρους α και β µε α, β>0 εάν η πυκνότητα πιθανότητάς της ορίζεται από την σχέση:
=)(xf X
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
>−
−
00
0)(1 1
x
xexx
aβα
βαΓ (2.2.11)
όπου η συνάρτηση: καλείται συνάρτηση γάµµα. Μπορεί να
δειχθεί ότι :
∫∞
−−=Γ0
1)( dtet tαα
)1()1()( −Γ−=Γ aaa απ’ όπου παίρνουµε )!1()( −=Γ nn , για n φυσικό. Η αρνητική εκθετική κατανοµή είναι ειδική περίπτωση της γάµµα κατανοµής για α=1 και β=1/λ. Ακόµα στην περίπτωση που το α=1/2 και β=2, τότε η γάµµα κατανοµή ονο-µάζεται χι-τετράγωνο µε έναν βαθµό ελευθερίας (συµβολικά ). 2
1χ Το παρακάτω θεώρηµα περιγράφει πως βρίσκουµε την πυκνότητα πιθανότη-τας µιας συνάρτησης µιας τ.µ., όταν είναι γνωστή η π.π. της (αρχικής) τ.µ. Θεώρηµα 2.2.12 (µετασχηµατισµός µιας τυχαίας µεταβλητής)
Έστω η τ.µ. Χ µε συνεχή (εκτός, ενδεχοµένως, πεπερασµένου πλήθους σηµείων) π.π. , η οποία είναι θετική για )(xf X Sx∈ και 0 για τα υπόλοιπα. Έστω
µια “αµφιµονοσήµαντη και επί” συνάρτηση. Υποθέτουµε ακόµα ότι η (υπάρχουσα) αντίστροφη συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη και η παράγωγός της είναι συνεχής. Εάν ορίσουµε την τ.µ.
TSg →:STg →− :1
)(XgY = , τότε η πυκνότη-τα πιθανότητας της δίνεται από την σχέση:
23
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈⋅=
−−
'0
)()]([)(
11
Ty
Tyygdydygf
yf XY (2.2.13)
2.3 Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιας τυχαίας µεταβλητής Έστω Χ µια τ.µ. και έστω ότι η πυκνότητα πιθανότητάς της είναι γνω-
στή. Τότε, τουλάχιστον θεωρητικά, µπορούµε να υπολογίσουµε όλες τις πιθανό-τητες οι οποίες µας ενδιαφέρουν. Από µαθηµατική άποψη όµως, υπάρχουν πολ-λές φορές δυσκολίες που κάνουν αυτούς τους υπολογισµούς αδύνατους. Γι΄ αυ-τό, δίνουµε παρακάτω ορισµένους αριθµούς που χαρακτηρίζουν την τ.µ. Χ ή την κατανοµή της.
)(xf X
Ορισµός 2.3.1 Η µέση τιµή (mean) ή µαθηµατική ελπίδα (expectation) µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας είναι ο αριθµός: )(xf X
(2.3.2)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑∞+
∞−
∞
=
ςσυνεχ
διακριτµ
ήXdxxfx
ήXxfxXE
X
nnXn
X
)(
)()( 1
µε την προυπόθεση ότι οι ποσότητες του δεξιού µέλους έχουν νόηµα (δηλαδή τόσο το άθροισµα όσο και το ολοκλήρωµα του δεξιού µέλους είναι πεπερασµέ-να). Εάν τώρα g είναι µια πραγµατική συνάρτηση, τότε η συνάρτηση είναι µια τ.µ. Η µέση τιµή της Υ, όταν υπάρχει, υπολογίζεται:
)(XgY =
(2.3.3)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑∞+
∞−
∞
=
ςσυνεχ
διακριτ
ήXdxxfxg
ήXxfxgXgEYE
X
nnXn
)()(
)()()]([)( 1
Ορισµός 2.3.4 (α) Εάν g(x)=xr , τότε η µέση τιµή της )(XgY = καλείται ρο-πή r-τάξεως της τ.µ Χ.
(β) Εάν g(x) = (x−Ε(Χ))r , τότε η µέση τιµή της )(XgY = καλείται κεντρική ροπή r-τάξεως της τ.µ Χ.
Είναι φανερό ότι η ροπή πρώτης τάξεως µιας τ.µ είναι η µέση της τιµή, ενώ η
24
κεντρική ροπή πρώτης τάξης είναι πάντα µηδέν. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κεντρική ροπή δεύτερης τάξης µιας τ.µ., η οποία καλείται διασπορά της τ.µ. ∆ηλαδή η διασπορά µιας τ.µ. Χ δίνεται από την σχέση:
σ2(Χ) = V(X) = E[(X−(EX))2] = E(X2)−(EX)2 (2.3.5)
Η τετραγωνική ρίζα της διασποράς καλείται τυπική απόκλιση της τ.µ. Η µέση τιµή καθώς και η διασπορά τ.µ µε κατανοµές αυτές που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 2.2 δίνονται αναλυτικά στον πίνακα που υπάρχει στο τέλος του συγγράµµατος. Η παρακάτω ανισότητα δίνει ένα άνω φράγµα µιας ενδιαφέρουσας πιθανότη-τας µε την βοήθεια της µέσης τιµής και της διασποράς µιας τ.µ. Πρόταση 2.3.6 (Aνισότητα του Tchebichev)
Έστω Χ µια τ.µ. µε πεπερασµένη µέση τιµή ΕΧ και διασπορά σ2(Χ). Τότε για οιονδήποτε θετικό αριθµό c, έχουµε:
2
2 )(c
XcEXXP σ≤≥− (2.3.7)
Ορισµός 2.3.8 Η ροπογεννήτρια µιας τ.µ. Χ ορίζεται από την σχέση:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑∞+
∞−
ςσυνεχ
διακριτ
ήXdxxfe
ήXxfe
eEtM
Xtx
xX
tx
tXX
)(
)(
)()( (2.3.9)
δοθέντος ότι οι ποσότητες στος δεξί µέλος, του ορισµού, είναι πεπερασµένες (συνήθως για t∈(–c, c), για κάποιο c> 0). Το παρακάτω θεώρηµα δίνει τις βασικές ιδιότητες της ροπογεννήτριας µιας τ.µ. Θεώρηµα 2.3.10 (α) 1)0( =XM (πάντα). Το σηµείο t=0 µπορεί να είναι και το µοναδικό σηµείο στο οποίο υπάρχει η ροπογεννήτρια µιας τ.µ.
(β) NnXEtMdtd n
tXn
n
∈== ),(|)( 0 (2.3.11)
µε την προυπόθεση ότι η ροπή nοστής τάξης του δεξιού µέλους είναι πεπερα-σµένη.
25
2.4 Πολυδιάστατες τυχαίες µεταβλητές: κατανοµές και ροπές Εάν είναι δυό 21 , XX διακριτές τ.µ. οι οποίες ορίζονται στον ίδιο πιθανοθεω-ρητικό χώρο Ω, και οι οποίες παίρνουν τιµές σ’ ένα σύνολο S. Ορισµός 2.4.1 (1) Εάν ορίσουµε µια συνάρτηση στο SxS, από τον τύπο:
),( 21, 21xxf XX
,),( 221121, 21xXxXPxxf XX === (2.4.2)
τότε η συνάρτηση αυτή καλείται από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των τ.µ. , έχει δε τις παρακάτω ιδιότητες: 21 , XX
SxSxxxxfa XX ∈∀≥ ),(0),()( 2121, 21
(β) SBBxxfBXBXP XXBX BX
⊂∀=∈∈ ∑ ∑∈ ∈
2121,2211 ,),(,21
11 22
γεγονότα
και ιδιαίτερα: 1),( 21, 21
1 2
=∑∑∈ ∈
xxf XXSx Sx
(2) Η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση: )(1
xf X
∑=2
211),()( 21,1
xXXX xxfxf (2.4.3)
είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ . Οι π.π. , καλού-νται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της .
1X )(1
xf X )(2
xf X
),( 21, 21xxf XX
(3) Η συνάρτηση ) που δίνεται από την σχέση: ,( 21, 21xxF XX
∑∑≤≤
=≤≤=22
21
11
21),(,),( 21,221121,
xtXX
xtXX ttfxXxXPxxF (2.4.4)
καλείται από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τ.µ. οι δε ιδιότητες της είναι ανάλογες εκείνων της συνάρτησης κατανοµής µιας τ.µ.
21 , XX
(4) Εάν για κάθε τέτοιο ώστε ) >0 ορίσουµε την συνάρτηση
από την σχέση: 2x ( 22
xf X
)|( 2, 21xf XX ⋅
|)(
),()|( 2211
2
21,21,
2
21
21xXxXP
xfxxf
xxfX
XXXX ==== (2.4.5)
τότε η εν λόγω συνάρτηση καλείται δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) πυκνό-τητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = .
26
Έστω τώρα δυο 21 , XX συνεχείς τ.µ. οι οποίες ορίζονται στον ίδιο πιθανο-θεωρητικό χώρο Ω, και οι οποίες παίρνουν τιµές σ’ ένα σύνολο S. Ορισµός 2.4.6 (1) Εάν υπάρχει µια συνάρτηση ) στο SxS τ.ω: ,( 21, 21
xxf XX
SxSxxxxfa XX ∈∀≥ ),(0),()( 2121, 21
(β) SBBdxdxxxfBXBXP XXBB
⊂∀=∈∈ ∫∫ 212121,2211 ,),(,21
21
(γεγονότα) και ιδιαίτερα:
1),( 21, 21=∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
xxf XX
τότε η συνάρτηση ) καλείται από κοινού πυκνότητα πιθανό-τητας των τ.µ. .
,( 21, 21xxf XX
21 , XX (2) Η συνάρτηση που ορίζεται από την σχέση: )(
1xf X
(2.4.7) 221,1 ),()(211
dxxxfxf XXX ∫+∞
∞−
=
είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τ.µ . Οι π.π. , καλού-νται περιθωριακές πυκνότητες πιθανότητας της .
1X )(1
xf X )(2
xf X
),( 21, 21xxf XX
(3) Η συνάρτηση ) που ορίζεται από την σχέση: ,( 21, 21
xxF XX
(2.4.8) 2121,221121, ),(,),(21
21
21dtdtttfxXxXPxxF XX
xx
XX ∫∫∞−∞−
=≤≤=
καλείται από κοινού συνάρτηση κατανοµής των τ.µ. . 21 , XX (4) Εάν για κάθε τέτοιο ώστε ) >0 ορίσουµε την συνάρτηση
από την σχέση: 2x ( 22
xf X
)|( 2, 21xf XX ⋅
)(
),()|(
2
21,21,
2
21
21 xfxxf
xxfX
XXXX = (2.4.9)
τότε η εν λόγω συνάρτηση καλείται δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) πυκνό-τητα πιθανότητας της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = .
Όλοι οι παραπάνω ορισµοί γενικεύονται και στην περίπτωση που έχουµε πε-ρισσότερες από δυο τ.µ ( διακριτές ή συνεχείς).
Εάν δυο τ.µ. και 21 , XX ),( 21 XXgY = µία τ.µ. η οποία είναι συνάρτηση
27
των τ.µ. τότε: 21 , XX Ορισµός 2.4.10 Η µαθηµατική ελπίδα (ή µέση τιµή) της τ.µ. ορίζεται από την σχέση:
),( 21 XXgY =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫∫
∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
ίXXdxdxxxfxxg
έXXxxfxxg
XXEgEY
XX
x xXX
212121,21
2121,21
21
,),(),(
,),(),(
),(
21
1 2
21
µε την προυπόθεση ότι οι ποσότητες του δεξιού µέλους έχουν νόηµα (δηλαδή είναι πεπερασµένες).
Ακόµα: Ορισµός 2.4.11 Η διασπορά της τ.µ. ),( 21 XXgY = ορίζεται από την σχέση:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−
=
∫∫
∑∑
∞+
∞−
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
σίXXdxdxxxfXXEgxxg
έXXxxfXXEgxxg
Y
XX
x xXX
212121,2
2121
2121,2
2121
2
,),()],(),([
,),()],(),([
)(
21
1 2
21
όταν οι ποσότητες του δεξιού µέλους είναι πεπερασµένες. Ορισµός 2.4.12 Η από κοινού ροπογεννήτρια των τ.µ δίνεται από την:
21 , XX
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
∫∫
∑∑
∞+
∞−
+∞+
∞−
+
ςσυνεχε
ςδιακριτ
ίXXdxdxxxfe
έXXxxfe
ttM
XXxtxt
x xXX
xtxt
XX
212121,
2121,
21,
,),(
,),(
),(
21
2211
1 2
21
2211
21
Ο παραπάνω ορισµός µπορεί να γενικευτεί, εύκολα, και στην περίπτωση µιας τ.µ. . ),( 21 XXgY = Ορισµός 2.4.13 Η συνδιασπορά των τ.µ ορίζεται να είναι ο παρακά-τω αριθµός:
21 , XX
2121221121 )()])([(),( EXEXXXEEXXEXXEXXC −=−−=
Εάν 0),( 21 =XXC τότε οι τ.µ. καλούνται ασυσχέτιστες. 21 , XX Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ένα άνω και κάτω φράγµα της συνδιασποράς δυο τ.µ.
28
Θεώρηµα 2.4.14 (Ανισότητα του Schwarz) Ισχύει:
2121),( 21 XXXX XXC σσσσ ≤≤−
Οι διασπορές τυχαίων µεταβλητών συνδέονται µε τις συνδιασπορές τους µε την βοήθεια της παρακάτω σχέσης. Θεώρηµα 2.4.15 (Ισότητα του Bienayme) Εάν njX j ,,1, = τ.µ. µε πεπε-ρασµένη διασπορά, τότε:
(2.4.16) ),(2)(1 1
21
2ji
n
j njiXn XXCXX
j∑ ∑= ≤<≤
+=++ σσ
Εάν οι τ.µ. είναι ανά δύο ασυσχέτιστες, τότε έχουµε: njX j ,,1, =
(2.4.17) ∑=
=++n
jXn j
XX1
21
2 )( σσ
Εάν στους ορισµούς η π.π. αντικατασταθεί από µια δεσµευµένη πυκνότητα, τότε η αντίστοιχη µέση τιµή και διασπορά λέγονται δεσµευµένη µέση τιµή και δεσµευµένη διασπορά αντίστοιχα, δηλαδή έχουµε τους παρακάτω ορισµούς:
Ορισµός 2.4.18 Η δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) µέση τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι ορίζεται από την σχέση:
1X
22 xX =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
∫
∑
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
ίXXdxxxfx
έXXxxfx
xXXE
XX
xXX
21121,1
2121,1
221
,)|(
,)|(
)|(
21
1
21
επίσης:
Ορισµός 2.4.19 Η δεσµευµένη (ή υπό συνθήκες) διασπορά της τ.µ. δο-θέντος ότι
1X ορίζεται από την σχέση 22 xX =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−
=−
==
∫
∑
∞+
∞−
ςσυνεχε
ςδιακριτ
σίXXdxxxfxXXEx
έXXxxfxXXEx
xXX
XX
XXx
21121,2
2211
2121,2
2211
2212
,)|()]|([
,)|()]|([
)|(
21
21
1
Παρατήρηση 2.4.20 Είναι φανερό από τον ορισµό 2.4.18 ότι η δεσµευµένη µε-ση τιµή της τ.µ. δοθέντος ότι 1X 22 xX = είναι µια συνάρτηση του , έστω φ(x), δηλαδή:
2x
29
)|()( 2212 xXXEx ==φ
Η τ.µ. )( 2Xφ παριστάνεται επίσης και σαν . ∆ηλαδή η τ.µ ορίζεται από την σχέση:
)|( 21 XXE)|( 21 XXE
)|()())(|( 2121 xXXExxXXE === φ
Επειδή η είναι µια τ.µ. έχει νόηµα να µιλάµε για την µέση τιµή της. )|( 21 XXE
Θεώρηµα 2.4.21 Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
)()]|([)(
]|),([)(]|),()([)(
)],([]|),([)(
12
212
121211121211
21121
XXXEiii
XXXgEXgXXXgXgEii
XXgEXXXgEEi
σσ ≤
=
=
µε την προυπόθεση ότι όλες οι ποσότητες που εµφανίζονται παραπάνω έχουν νόηµα. 2.5 Στοχαστική Ανεξαρτησία τ.µ. Ορισµός 2.5.1 Οι τ.µ καλούνται (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν: 21 , XX
,, 22112211 BXPBXPBXBXP ∈∈=∈∈ (2.5.2)
για οποιαδήποτε υποσύνολα (γεγονότα) των πραγµατικών αριθµών. 21 , BB Το παρακάτω θεώρηµα δίνει ισοδύναµους ορισµούς της ανεξαρτησίας δυο τ.µ. Θεώρηµα 2.5.3 Οι τ.µ είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες εάν και µό-νον εάν ισχύει µια από τις παρακάτω σχέσεις:
21 , XX
(α) )()(),( 2121, 2121xFxFxxF XXXX =
(β) )()(),( 2121, 2121xfxfxxf XXXX =
(γ) )()(),( 2121, 2121tMtMttM XXXX =
Άµεσες συνέπειες του ορισµού της ανεξαρτησίας δυό τυχαίων µεταβλητών δίνο-νται από την παρακάτω πρόταση.
Πρόταση 2.5.4. Εάν οι τ.µ. είναι (στοχαστικά) ανεξάρτητες, τότε: 21 , XX
(1) )]([)]([)]()([ 22112211 XgEXgEXgXgE =
Από το γεγονός αυτό, εύκολα µπορεί να δει κανείς (;) ότι: εάν δυο τ.µ. είναι
30
ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες. Το αντίστροφο εν γένει δεν ισχύει.
(2) )()()(11
tMtMtMnn XXXX =++
(3) Εάν τότε οι τ.µ. είναι και αυτές ανεξάρτη-τες.
)(),( 222111 XgYXgY == 21 ,YY
Το ακόλουθο θεώρηµα είναι ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσµατα που συ-ναντά κανείς στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Συνδέει την κατανοµή µιας συγκεκριµ-µένης συνάρτησης ανεξαρτήτων τ.µ. µε την κανονική κατανοµή φανερώνοντας έτσι την σπουδαιότητα της κανονικής κατανοµής.
Θεώρηµα 2.5.5 (Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα) Εάν οι είναι ανεξάρτητες και ταυτοτικά κατανεµηµένες τ.µ. µε πεπε-ρασµένη µέση τιµή και διασπορά και θέσουµε:
nXX ,,1
nn XXS ++= 1 (2.5.6)
τότε:
)()(
xxSESS
Pn
n
nn Φ∞→
→⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤−σ
(2.5.7)
όπου Φ(x) η συνάρτηση κατανοµής την τυπικής κανονικής κατανοµής. Παρατήρηση 2.5.8 Ο τρόπος σύγκλισης που περιγράφεται στο παραπάνω θεώ-ρηµα λέγεται σύγκλιση κατά κατανοµή
Μ΄ άλλα λόγια το Κ.Ο.Θ. αναφέρει ότι:
)1,0()(
NSESS
n
nn ≈−σ
(2.5.9)
ή επειδή , έχουµε: 22 )(, σσµ SnES nn == n
)1,0(NnnSn ≈
−
σµ
(2.5.10)
ή ισοδύναµα:
) (2.5.11) ,( 2σµ nnNSn ≈
Τέλος, εάν nS
X nn = , έχουµε:
)1,0()(
NXn n ≈
−σ
µ (2.5.12)
31
ή ισοδύναµα:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≈
nNX n
2
, σµ . (2.5.13)
32
2.6 Ασκήσεις 2.6.1 Μια τ.µ. Χ έχει κατανοµή ( πυκνότητα) πιθανότητας που δίνεται από τον
πίνακα:
x 0 1 2 3 4
)(xp 161
164
166
164
161
(α) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανοµής της Χ και να γίνει η γραφική της παράσταση.
(β) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά ) της Χ. (XV
Λύση Η συνάρτηση κατανοµής της Χ είναι ίση µε:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<
=≤=
x
x
x
x
x
x
xXPxFX
41
431615
321611
21165
10161
00
)(
η δε γραφική της παράσταση είναι
15/16
Fx(x)
10/16
5/16
0 1 2 3 4 x
Fx(x)
(β) Η µέση τιµή της είναι ίση µε:
21614
1643
1662
1641
1610
4
0=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅= ∑
=xxXPxEX
33
Ακόµα:
51614
1643
1662
1641
1610 2222
4
0
222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==⋅= ∑=x
xXPxEX
άρα η διασπορά της είναι ίση µε: 125)()( 222 =−=−= EXEXXV
2.6.2 Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει πυκνότητα πιθανότητας:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ≤≤−=
αλλου
θθ
0
2,0)(
xxf X
(α) Να βρεθεί η σταθερά θ (έτσι ώστε η νάναι πυκνότητα πιθα-νότητας).
)(xf X
(β) Να βρεθούν οι πιθανότητες: (Ι) 21 ≤≤−Ρ X (ΙΙ) 5,1≥Ρ X
(γ) Να βρεθεί η σταθερά c τέτοια ώστε: 8,0=≥Ρ cX (δ) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά ) της Χ. (XV
Λύση
(α) Ξέρουµε ότι για νάναι η πυκνότητα πιθανότητας θα πρέπει: )(xf X
5,214,012,012,01)( =⇒=⇒=⇒=⇒=−−
+∞
∞−∫∫ θθ
θ
θ
θ
θ
xdxdxxf X
δηλαδή:
⎩⎨⎧ ≤≤−
=αλλου0
5,25,22,0)(
xxf X
(β) (Ι) 6,02,02,0212
1
2
1
===≤≤−Ρ−−
∫ xdxX και:
(ΙΙ) 2,02,02,02,05,15,1
5,2
5,1
5,2
5,1
====≥Ρ ∫ ∫∞
xdxdxX
(γ) Έχουµε ότι:
5,145,2
8,0)5,2(2,02,08,02,02,08,05,25,2
−=⇒=−⇒
⇒=−=⇒==⇒=≥Ρ ∫ ∫∞
cc
cxdxdxcXc cc
(δ) Η µέση τιµή της X είναι ίση µε:
02
2,02,0)(5,2
5,2
5,2
5,2
2
====−
∞
∞− −∫ ∫
xdxxdxxfxEX X ;
34
Ακόµα:
08,23
2,02,0)(5,2
5,2
5,2
5,2
3222 ====
−
∞
∞− −∫ ∫
xdxxdxxfxEX X
και έτσι η διασπορά της X είναι ίση µε:
08,2008,2)()( 222 =−=−= EXEXXV
2.6.3 Εάν η τ.µ )(λPX ≈ τότε (α) ΕΧ=λ (β) σ2(Χ)=λ
Λύση (α) Έχουµε:
)!
(!
,)!1(
,!
00
1
100
ay
y
y
y
k
k
k
kk
ey
aeey
e
ke
kekkXPkEX
====
=−
====
∑∑
∑∑∑∞
=
−∞
=
−
−∞
=
−−∞
=
∞
=
λλλλ
λλλ
λλλ
λλ
(β) σ2(Χ) = E[(X−(EX))2] = E(X2)−(EX)2 ή σ2(Χ) = E[Χ(X−1)]+E(X)−(EX)2
Τώρα:
22
0
22
2
2
20
!)!2(
!)1()1()]1([
λλλλλλ
λ
λλλλ
λ
===−
=
=−==−=−
−∞
=
−−∞
=
−
−∞
=
∞
=
∑∑
∑∑
eey
ek
e
kekkkXPkkXXE
y
y
k
k
k
kk
οπότε
σ2(Χ) = E[Χ(X−1)]+E(X)−(EX)2 = λ2+λ−λ2 = λ .
2.6.4 Έστω ότι η τ.µ )(λPX ≈ .
(α) Να δειχθεί ότι λλ −=te
X etM )((β) Με την βοήθεια του (α) υπολογίστε την µέση τιµή και διασπορά
της Χ .
Λύση (α) ΄Εχουµε:
λλλλλλ λλ −−∞
=
−−∞
=
===== ∑∑tt ee
xt
k
x
x
txtXX eee
xee
xeeeEtM
!)(
!)()(
00
(β) Ξέρουµε: λλ λλλλ ==== =−
=−
= 000 |||)( tte
te
tX eeedtdtM
dtdEX
tt
ακόµα
35
λλλλ λλλλλλ +=+=== =−−
=−
=2
022
02
2
02
22 |)(||)( t
tetet
etX eeeee
dtdtM
dtdEX
ttt
οπότε σ2(Χ) = E(X2)−(EX)2 = λ2+λ−λ2 = λ
2.6.5 (∆ιωνυµική κατανοµή) Από την γενική απογραφή καταστηµάτων ενός
έτους, διαπιστώθηκε ότι 10% των καταστηµάτων λειτουργούσε χωρίς άδεια του αρµόδιου Υπουργείου. Επιλέγουµε 6 καταστήµατα τυχαία, ποιά η πιθανότητα: (α) ακριβώς 4 από αυτά να λειτουργούσαν χωρίς άδεια του Υπουργείου (β) τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν χώρις άδεια του Υπουρ-
γείου (γ) το πολύ 3 από αυτά να λειτουργούσαν χώρις άδεια του Υπουργείου (δ) τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου.
Λύση ∆ιωνυµικό πείραµα: (δυό δυνατά αποτελέσµατα)
¨επιτυχία¨=¨το κατάστηµα λειτουργούσε χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου¨
Ρ(«επιτυχίας») = 0,10 = p και n = 6 (αριθµός των επαναλήψεων)
Εάν Χ=αριθµός των καταστηµάτων που λειτουργούσαν χωρίς την άδεια του αρµόδιου Υπουργείου, τότε
(α) Ρ(Χ=4) = ...90,010,01590,010,0)!46(!4
!6 24464 =⋅⋅=⋅−⋅
−
η πιθανότητα µπορεί να υπολογιστεί µε την χρήση διωνυµικών πινά-κων(;)
(δ) Ρ(τουλάχιστον 4 από αυτά να λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου) = Ρ(4 ή 5 ή 6 καταστήµατα λειτουργούσαν µε άδεια του Υπουργείου) = Ρ(2 ή 1 ή 0 καταστήµατα λειτουργούσαν χωρίς την άδεια του Υπουργείου )= Ρ(Χ ≤ 2) = Ρ(Χ =2)+ Ρ(Χ =1)+ Ρ(Χ =0) = .... (ανάλογα µε το (β))
2.6.6 (Κανονική κατανοµή) Το IQ αποτελεί δείκτη ευφυίας των ατόµων και
36
ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ=100 και τυπική από-κλιση σ=15. Αν Χ είναι ο δείκτης ευφυίας ενός ατόµου, να βρεθούν οι παρακάτω πιθανότητες: (α) Ρ(Χ < 118) (β) Ρ(Χ > 112) (γ) Ρ(Χ < 94)
2.6.7 (Τυπική κανονική κατανοµή) Αν Ζ≈Ν(0,1) να βρεθεί η σταθερά c στις παρακάτω περιπτώσεις: (α) P(Z < c) = 0,9554 (β) P(Z > c) = 0,0321 (γ) P(Z < c) = 0,3085 (δ) P( 1 < Z < c) = 0,1219
Λύση (α) P(Z < c)=0,9554 (c θετικό) από τους κανονικούς πίνακες c=1,70 ⇒
(β) P(Z > c)=0,0321 P(Z < c)=1−0,0321=0,9679⇒ ⇒(c θετικό) από τους κανονικούς πίνακες c=1,85
(γ) P(Z < c) = 0,3085 (c αρνητικό) ⇒
P(Z < c) = Ρ(Ζ > − c) ⇒ P(Z < −c) = 1− 0,3085=0,6915 από τους κανονικούς πίνακες −c=0,5 ⇒ c=−0,5
(δ) P(1<Z<c) = 0,1219 Ρ(Ζ < c)− Ρ(Ζ < 1) = P(Z < c)−0,841345 = 0,1219 Ρ(Ζ < c) = 0,963245 από τους κανονικούς πίνακες c=1,79.
⇒⇒
2.6.8 (Κατανοµή Poisson) Ένας εντοµολόγος µελετά τον αριθµό των ζωύφιων
στα φύλλα ενός δένδρου. Ο αριθµός αυτός ακολουθεί την κατανοµή Poisson µε παράµετρο λ=10. (α) Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο µε τουλάχιστον 5 ζωύφια; (β) Ποιά η πιθανότητα να πάρει ένα φύλλο χωρίς κανένα ζωύφιο;
Λύση Εάν Χ= αριθµός των ζωύφιων σε ένα φύλλο του δένδρου, τότε X≈P(10)
και είναι γνωστό:
,....2,1,0,!
)( ===ΧΡ − xx
exxλλ
(α) 9707,00293,01)4(1)5(1)5( =−=≤ΧΡ−=<ΧΡ−=≥ΧΡ (από τους πίνακες Poisson µε λ=10 και κ=4).
(β) 0000045,0!0
10)0(0
10 ≈===ΧΡ −e
2.6.9 Ο αριθµός των µικροβίων Χ που βρίσκονται σ’ένα χώρο V είναι µια τ.µ.
X P(λ). Να προσδιορισθεί ο λ, αν είναι P(Χ > 0) = 0,999. ≈
Λύση Έχουµε:
P(Χ > 0) = 0,999 = 1−Ρ(Χ=0)⇒ Ρ(Χ=0) = 0,001⇒
9,6)001,0ln(001,0001,0!0
)0(0
≅−=⇒=⇒===ΧΡ −− λλ λλ ee
38
2.6.10 (Εκθετική κατανοµή) Η διάρκεια ζωής (σε χρόνια) µιας ηλεκτρικής
συσκευής έχει την (αρνητική) εκθετική κατανοµή µε παράµετρο λ=0,1. Ποιά η πιθανότητα ότι η εν λόγω ηλεκτρική συσκευή θα πρέπει ν’αντι-κατασταθεί όχι αργότερα από 5 χρόνια; Μετά από 7 χρόνια;
Λύση Εχουµε:
39,01,0)5( 01,051,05
0
1,05
0
≅+−=⋅=⋅=≤ΧΡ ⋅−⋅−−− ∫∫ eedxedxe xxλλ .
49,01,0)7( 7.0
7
1.0
7
1.0
7
≅=−=⋅=⋅=≥ −∞+⋅−+∞
−+∞
− ∫∫ eedxedxe xxxλλΧΡ
2.6.11 Εάν η τ.µ Χ ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παραµέτρους α και β,
να βρεθεί η κατανοµή της τ.µ XY ln= .
Λύση Η π.π. της τ.µ. Χ, είναι ως γνωστόν ίση µε:
)(xf X =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤
>−
−
00
0)(1 1
x
xexx
aβα
βαΓ
Εδώ: yyy ee
dydeygxxgTSg ==⇒=∞+−∞=→∞+= − )(&)(ln)(),,(),0(: 1
οπότε, από γνωστό θεώρηµα έχουµε:
)(yfY = ℜ∈=−−
− yeeeeyy ey
ay
ey
aβ
αβα
βαβα )(1)(
)(1 1
ΓΓ
2.6.12 Έστω Χ, Υ τ.µ µε από κοινού π.π. την:
⎪⎩
⎪⎨⎧ >
=+−
ύ
yxeyxf
yx
YXαλλο
λ λ
0
0,),(
)(2
,
Να δειχθεί ότι οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες
Λύση Οι περιθωριακές π.π. των τ.µ. Χ, Υ είναι ίσες µε:
0),()( )(2
0 0, >=== −+−
∞ ∞
∫ ∫ xedyedyyxfxf xyxYXX
λλ λλ
39
και (όµοια) 0),()( )(2
0 0, >=== −+−
∞ ∞
∫ ∫ yedxedxyxfyf yyxYXY
λλ λλ
Επειδή τώρα: )()(),( )(2
, yfxfeeeyxf YXyxyx
YX === −−+− λλλ λλλ
οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες.
2.6.13 (Κ.Ο.Θ.) Εργοστάσιο κατασκευάζει συσσωρευτές, η διάρκεια ζωής κάθε-
νός εκ των οποίων ακολουθεί την αρνητική εκθετική κατανοµή µε µέσο 300 ώρες. ∆ιαλέγουµε 20 από αυτούς τους συσσωρευτές τυχαία. Να υπο-λογιστεί η πιθανότητα (αυτοί ) να δουλεύουν συνολικά πάνω από 8000 ώρες.
Λύση
Έστω τ.µ. που εκφράζουν την διάρκεια ζωής (κάθενός εκ ) των 20 συσσωρευτών, τότε:
2021 ,,, XXX
3001&20,,2,1,)( ===≈ − λλ λ iexfX x
i
Η ζητούµενη πιθανότητα, µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ., γίνεται:
=>=>+++ 80008000 202021 SPXXXP
=>−
=−
>−
5,1)(
000.800.1
60008000)(
20
2
2020
202
2020
S
ESSP
S
ESSP
σσ
066,0933193,01)5,1(15,1)(
120
2
2020 =−=−=<−
− ΦS
ESSP
σ
γιατί: 60003002012020 120 =⋅=⋅=⋅=λ
EXES ώρες
και 000.800.130020120)(20)( 221
220
2 =⋅=⋅=⋅=λ
σσ XS ώρες2
2.6.14 Ένα κανονικό νόµισµα ρίχνεται ανεξάρτητα n φορές και έστω µια τ.µ.
που δηλώνει τον συνολικό αριθµό κεφαλών που εµφανίστηκαν. Υπολογί-στε την µικρότερη τιµή του n για την οποία έχουµε:
nS
95,01,05,0 ≥≤−nXP
όπου: nS
X nn =
Λύση Εάν θεωρήσουµε τις n ρίψεις σαν n ανεξάρτητες τ.µ. , τότε: nXXX ,,, 21
40
21
21
21)(,
21
211)(
&)21,(,,2,1),
21,1(
12
1
1
=⋅===⋅==
≈=⇒=≈ ∑=
XXE
nBXSniBXn
iini
σσµ
οπότε, µε την βοήθεια του Κ.Ο.Θ., η ζητούµενη πιθανότητα γίνεται:
Λύση Χρησιµοποιώντας το µονοσήµαντο της αντιστοιχίας µεταξύ της πυκνότητας
πιθανότητας µιας τ.µ. και της ροπογεννήτριάς της, είναι αρκετό να δείξουµε ότι η ροπογεννήτρια της τ.µ. kk XXS ++= 1 είναι εκείνη µιας τ.µ. µε κατανοµή την ) . Από την ανεξαρτησία των τ.µ. έχουµε: ,( pnB kXX ,,1
ntntnt
XXXXS
qpeqpeqpe
tMtMtMtM
k
kkk
)()()(
)()()()(
1
11
+=++=
=== ++
και αυτή είναι η ροπογεννήτρια µιας ) τ.µ. µε ,( pnB knnn ++= 1 .
Παρατήρηση Η παραπάνω ιδιότητα καλείται αναπαραγωγική, µε την έν-
41
νοια ότι το άθροισµα ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών µε την ίδιου τύπου κα-τανοµή έχει κατανοµή του ίδιου τύπου. Η κατανοµή Poisson, η κανονική κα-τανοµή, η γάµµα κατανοµή είναι µερικά παραδείγµατα κατανοµών που έχουν την ιδιότητα αυτή. Πράγµατι, µπορεί να αποδειχθεί µε τρόπο ανάλογο όπως πα-ραπάνω ότι, ισχύουν τα εξής:
(i) Εάν ανεξάρτητες τ.µ. τέτοιες ώστε kXX ,,1 kjPX jj ,,1),( =≈ λ . Τότε η τ.µ. )(1 λPXXS kk ≈++= όπου kλλλ ++= 1 .
Τότε η τ.µ. kk XXS ++= 1 ακολουθεί την γάµµα κατανοµή µε παρα-µέτρους όπου βα, kααα ++= 1 .
Γενικά, η αναπαραγωγική ιδιότητα που περιγράψαµε παραπάνω δεν ισχύει. Για παράδειγµα εάν Χ, Υ είναι δυό ανεξάρτητες τ.µ. που ακολουθούν την οµοιό-µορφη κατανοµή, το άθροισµά τους Χ+Υ δεν ακολουθεί την οµοιόµορφη κατα-νοµή (αλλά µια κατανοµή που ονοµάζεται τριγωνική).