ОТЦ 2 часть 1 лекцияtors.psuti.ru/metod_web/otc_lk2p.pdfОТЦ 2 часть 1 лекция Переходные процессы . Законы коммутации ,

ОТЦ 2 часть 1 лекция

Переходные процессы. Законы коммутации, начальные и конечные условия. В ТЛЭЦ различают установившиеся и неустановившиеся режимы. Установившийся режим – состояние цепи, в котором все токи и напряжения являются

периодическими функциями времени, либо постоянными величинами (в цепях постоянного тока). Переходные процессы имеют место в неустановившемся режиме. Под переходными

процессами понимают переход цепи из одного установившегося режима к другому.

t = 0 момент коммутации

I установившийся режим

t=∞

II установившийся режим

t

u tt

( )( )i

Из графика видно, что теоретически время переходного процесса равно бесконечности, но на

практике это время зависит от параметров цепи. Возникновение переходных процессов обусловлено коммутацией в цепях с реактивными

элементами. Коммутация – включение, выключение; переключение параметров схемы или скачкообразное изменение воздействующего сигнала.

Коммутирующее устройство на схеме изображают в виде идеального ключа, у которого при замыкании сопротивление равно нулю, а в разомкнутом состоянии равно бесконечности:

K

Момент коммутации называется начальным моментом времени ( 0t = ). В момент

коммутации действуют два закона коммутации: I закон коммутации – ток в индуктивности в момент коммутации не изменяется скачком, а

сохраняет значение, непосредственно предшествовавшее моменту коммутации. L

( ) ( )L L0 0i i −= .

II закон коммутации – напряжение на ёмкости в момент коммутации не изменяется скачком, а сохраняет значение, непосредственно предшествовавшее моменту коммутации.

C

( ) ( )C C0 0u u −= .

С помощью законов коммутации определяются начальные условия для тока в индуктивности и напряжения на ёмкости. Под начальными условиями понимают значения токов и напряжений в момент коммутации.

Начальные условия, определяемые с помощью законов коммутации, называют независимыми начальными условиями, то есть ( ) ( )L C0 , 0i u .

Остальные являются зависимыми начальными условиями – определяются по законам Ома, Кирхгофа по схеме замещения, составленной в момент коммутации 0t = .

В момент коммутации ( 0t = ) в общем случае индуктивность можно заменить источником тока с ( )L 0J i= , а ёмкость – источником напряжения с ( )C 0E u= . В частном случае при ( )L 0 0i =

и ( )C 0 0u = индуктивность заменяется обрывом, а ёмкость – коротким замыканием.

L

C E

J

Для качественной оценки переходного процесса важно знать и конечные условия. Конечные условия – это значение токов и напряжений в установившемся режиме при t → ∞ .

Схемы замещения реактивных элементов для установившегося режима постоянного тока: L

Ct→∞

Классический метод расчёта переходных процессов

Сущность метода состоит в составлении и решении дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений на основании законов Кирхгофа.

( )1

1 1 0

n n

n n

d f d f dfa a a a s t

dt dt dt

−

−⋅ + ⋅ + + ⋅ + =⋯ ,

где 0, , na a… – коэффициенты, определяющие параметры цепи, ( )f t – реакция цепи,

( )s t – приложенное внешнее воздействие от источника.

Решение данного уравнения ищется в виде суммы общего ( )свf t и частного ( )прf t решений:

( ) ( ) ( )св прf t f t f t= + .

( )свf t – свободная составляющая, определяется из однородного дифференциального

уравнения (ОДУ) вида: 1

св св св1 1 0 0

n n

n n

d f d f dfa a a a

dt dt dt

−

−⋅ + ⋅ + + ⋅ + =⋯ .

( )прf t – принуждённая составляющая, определяется методами расчёта цепей в

установившемся режиме при t = ∞ .

По виду ОДУ получим характеристическое уравнение, осуществив замену: d

pdt

→ .

Характеристическое уравнение: 11 1 0 0n n

n na p a p a p a−−⋅ + ⋅ + + ⋅ + =⋯ .

Пусть kp – корни характеристического уравнения, при этом:

1. Если kp – вещественные и различные корни, то ( ) 1 2св 1 2e e enp tp t p t

nf t A A A ⋅⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ + + ⋅⋯ .

2. Если kp – вещественные и равные корни, то ( ) ( )2 1св 1 2 3 en p t

nf t A A t A t A t − ⋅= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅⋯ .

3. Если kp – комплексно-сопряжённые корни, то ( ) ( )св свe sintf t A t−σ⋅= ⋅ ⋅ ω ⋅ + ψ .

Порядок анализа переходных процессов классическим методом: 1. Анализ цепи до коммутации; 2. Определение независимых начальных условий ( ) ( )L C0 , 0i u ;

3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации; 4. Анализ установившегося режима в цепи после коммутации t = ∞ ; 5. Определение свободной составляющей реакции цепи; 6. Нахождение общего вида реакции; 7. Определение постоянных интегрирования; 8. Определение реакции цепи;

Переходные процессы в цепях первого порядка Включение последовательной RL-цепи на постоянное напряжение

Задача: определить переходной ток в индуктивности. I этап.

R

E

L

K

Ток в индуктивности до коммутации: ( )L 0 0i − = , поскольку ключ разомкнут.

II этап. R

E

K

Х.Х.

Схема замещения при 0t = Согласно I закону коммутации: ( ) ( )L L0 0 0i i −= = – начальное условие.

индуктивность заменяем разрывом. III этап. Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации по II закону Кирхгофа.

R

EL

I

( ) ( )L LRi t u t E+ = , поскольку ( ) ( )LL

di tu t L

dt= , то ( ) ( )L

L

di tRi t L E

dt+ = – НДУ, его решение ищем

( ) ( ) ( )L Lсв Lпрi t i t i t= + .

IV этап. Определим принуждённую составляющую тока в индуктивности при t = ∞ .

R

E К.З.

Индуктивность заменяем перемычкой. На основании закона Ома:

( ) ( )Lпр L

Ei t i

R= ∞ = – конечное условие.

V этап.

Определим свободную составляющую, решая ОДУ: ( ) ( )LсвLсв 0

di tRi t L

dt+ = .

Из ОДУ получим характеристическое уравнение, осуществляя замену d

pdt

→ .

0R Lp+ = , откуда L

1Rp

L= − = −

τ [c−1], где L

L

Rτ = [c] – постоянная RL-цепи.

Поскольку корень характеристического уравнения вещественный, то

( )Lсв e eR

tpt Li t A A−

= = – свободная составляющая переходного тока.

VI этап. Общий вид переходного тока в индуктивности определяется в виде:

( ) ( ) ( )L Lсв Lпр eR

tL

Ei t i t i t A

R

−= + = + .

VII этап. Определим constA , используя начальное условие ( )L 0 0i = .

( ) 0

L 0 0 eR

LE

i AR

−= = + , откуда

EA

R= − .

VIII этап. Подставим const в общий вид переходного тока, тогда

( )L e 1 eR R

t tL L

E E Ei t

R R R

− − = − + = −

– окончательное решение

Осуществим проверку полученного решения задачи.

( ) 0

L 0 1 e 0R

LE

iR

− = − =

– удовлетворяет начальному условию;

( )L 1 eR

LE E

iR R

− ∞ ∞ = − =

– удовлетворяет конечному условию;

Можно определить переходные напряжения на индуктивности и резисторе:

( ) ( )LL e

Rt

Ldi t

u t L Edt

−= = , ( ) ( )R L 1 e

Rt

Lu t Ri t E−

= = −

.

Построим графики этих напряжений:

τL

E

B

CEe

3τL 5τLtτL

τL

u t( )

Переходной процесс завершается за время L L3 5τ τ… !!!

2 лекция Выключение последовательной RL-цепи от источника постоянного напряжения

Задача: определить переходной ток в индуктивности. R

E

K

L

Определим ток в индуктивности до коммутации: ( )L 0E

iR− = .

На основании I закона коммутации: ( ) ( )L L0 0E

i iR− = = – задача с ненулевым начальным условием.

Составим дифференциальное уравнение для цепи после коммутации:

По II закону Кирхгофа ( ) ( )L L 0Ri t u t+ = , отсюда ( ) ( )LL 0

di tRi t L

dt+ ⋅ = – ОДУ.

Решение ОДУ определяется видом характеристического уравнения: 0R pL+ = , L

1Rp

L= − = −

τ.

( )L epti t A= , где A определяется из начального условия ( )L 0E

iR

= .

Окончательное решение ( ) LL e

tE

i tR

−τ= , ( ) LL

L et

diu t L E

dt

−τ= = − , ( ) ( ) L

R L et

u t Ri t E−

τ= = .

E

3τL

5τLt

u t( )

−E

0

Включение последовательной RC-цепи на постоянное напряжение

Задача: определить переходное напряжение на ёмкости. R

E

С

K

Определим напряжение на ёмкости до коммутации: ( )C 0 0u − = .

На основании II закона коммутации: ( ) ( )C C0 0 0u u− = = .

Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации:

По II закону Кирхгофа ( ) ( )C CRi t u t E+ = , отсюда ( ) ( )C

C

du tRC u t E

dt+ = – НДУ.

Общий вид решения: ( ) ( ) ( )прC Cсв Сu t u t u t= + .

Определим свободную составляющую:

( ) ( )CсвCсв 0

du tRC u t

dt+ = – ОДУ, характеристическое уравнение 1 0RCp + = ,

( )Ссв eptu t A= , C

1 1p

RC= − = −

τ.

Принуждённая составляющая при t = ∞ : ( ) ( )прC Cu t u E= ∞ = – конечное условие.

Общий вид реакции: ( ) CC e

t

u t A E−

τ= + , где A E= − из начального условия ( )C 0 0u = .

Окончательное решение ( ) CC e

t

u t E E−

τ= − , ( ) ( ) CR C e

t

u t E u t E−

τ= − = .

E

3τL

5τLt

u t( )

0

Выключение последовательной RC-цепи от источника постоянного напряжения Задача: определить переходное напряжение на ёмкости.

R

E

С

K

Определим напряжение на ёмкости до коммутации: ( )C 0u E− = .

На основании II закона коммутации: ( ) ( )C C0 0u u E− = = .

Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации:

По II закону Кирхгофа ( ) ( )C C 0Ri t u t+ = , отсюда ( ) ( )C

C 0du t

RC u tdt

+ = – ОДУ.

Характеристическое уравнение: 1 0RCp + = , откуда C

1 1p

RC= − = −

τ.

( )С eptu t A= , где A E= определяется из начального условия ( )C 0u E= .

Окончательное решение ( ) CC e

t

u t E−

τ= , ( ) ( ) CR C e

t

u t u t E−

τ= − = − .

E

3τL

5τLt

u t( )

−E

0

Переходные процессы в цепях второго порядка. Включение последовательной RLC-цепи на постоянное напряжение. Апериодический процесс.

Задача: определить переходное напряжение на ёмкости и ток в индуктивности. R

E

L

K

С

Напряжение на ёмкости до коммутации: ( )C 0 0u − = .

Ток в индуктивности до коммутации: ( )L 0 0i − = .

Согласно законам коммутации: ( ) ( )L L0 0 0i i− = = , ( ) ( )C C0 0 0u u− = = – задача с нулевыми

начальными условиями. Составим дифференциальное уравнение для напряжения на ёмкости (после коммутации):

( ) ( ) ( )LR C

di tRi t L u t E

dt+ + = , так как ( ) ( ) ( ) C

L C R

dui t i t i t C

dt= = = , то

( ) ( ) ( )2

C CC2

d u t du tLC RC u t E

dt dt+ + = – НДУ.

Решение уравнения ищем: ( ) ( ) ( )прC Cсв Сu t u t u t= + .

Определяем свободную составляющую:

( ) ( ) ( )2

Cсв CсвCсв2

0d u t du t

LC RC u tdt dt

+ + = – ОДУ; 2 1 0LCp RCp+ + = – характеристическое уравнение.

2

1, 2

1

2 2

R Rp

L L LC = − ± −

– корни характеристического уравнения.

Введём понятие критического сопротивления, определяемого из условия: 2

кр 10

2

R

L LC

− =

, откуда кр 2 2

LR

C= = ρ .

Если кр 2L

R RC

> = , то имеет место апериодический процесс.

Свободная составляющая определяется ( ) 1 2Cсв 1 2e ep t p tu t A A= + .

Принуждённая составляющая определяется при t = ∞ , ( )Cпр Cu u E= ∞ = .

Общий вид реакции: ( ) 1 2C 1 2e ep t p tu t A A E= + + .

Для определения A1 и A2 составим ещё одно уравнение: ( )

1 2C1 1 2 2e ep t p tdu t

A p A pdt

= + , поскольку ( ) ( ) CL C

dui t i t C

dt= = , то ( ) 1 2

L 1 1 2 2e ep t p ti t C A p A p = + .

Определим постоянные интегрирования из начальных условий: ( )L 0 0i = , ( )C 0 0u = .

При этом, образуется система алгебраический уравнений:

1 2

1 1 2 2

0

0

A A E

A p A p

+ + =+ =

, откуда 21

1 2

EpA

p p=

−, 1

21 2

EpA

p p= −

−.

После подстановки и алгебраических преобразований получим:

( ) ( )1 2C 2 1

1 2

e ep t p tEu t E p p

p p= + −

− – переходное напряжение на ёмкости.

( ) ( ) ( )1 2L

1 2

e ep t p tEi t

L p p= −

− – переходной ток в индуктивности.

( ) ( )( ) ( )1 2L

L 1 21 2

e ep t p tdi t Eu t L p p

dt p p= = −

− – переходное напряжение на индуктивности.

( ) ( ) ( ) ( )1 2R R

1 2

e ep t p tERu t i t R

L p p= = −

− – переходное напряжение на резисторе.

u t( )

t0

E

2

11 2 1

1ln

pt

p p p=

−, 2 12t t= .

Включение последовательной RLC-цепи на постоянное напряжение. Критический процесс.

Если кр 2L

R RC

= = , то имеет место критический процесс.

Свободная составляющая определяется ( ) ( )Cсв 1 2 eptu t A A t= + .

Общий вид реакции: ( ) ( )C 1 2 eptu t A A t E= + + , где 1 2 2

Rp p p

L= = = − .

Для определения A1 и A2 составим еще одно уравнение: ( ) ( )C

2 1 2e ept ptdu tA p A A t

dt= + + , поскольку ( ) ( ) C

L C

dui t i t C

dt= = , то

( ) ( )( )L 2 1 2e ept pti t C A p A A t= + + , так как ( )L 0 0i = , ( )C 0 0u = получаем систему:

1

2 1

0

0

A E

A pA

+ =+ =

, откуда 1A E= − , 2A pE= .

( ) ( )C 1 eptu t E E pt= − − – переходное напряжение на ёмкости.

( )L eptEi t t

L= – переходной ток в индуктивности. Доказать самостоятельно!

( ) ( ) ( ) ( )LL e e 1 ept pt ptdi t E

u t L L tp E ptdt L

= = + = + – переходное напряжение на индуктивности.

( ) ( )R R eptERu t i t R t

L= = – переходное напряжение на резисторе.

Включение последовательной RLC-цепи на постоянное напряжение. Колебательный процесс.

Если крR R< , то имеет место колебательный процесс.

22 2

1, 2 0 св

1j j j

2 2

R Rp

L LC L = − ± − = −σ ± ω − σ = −σ ± ω

,

где 2

R

Lσ = ,

22 2

св 0

1

2

R

LC L ω = − = ω − σ

, 0

1

LCω = .

Решение определяем в виде: ( ) ( )C свe sintu t A t E−σ= ω + ψ + .

Составим второе уравнение для определения неизвестных коэффициентов:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )CL C св св свe cos sintdu t

i t i t C CA t tdt

−σ= = = ω ω + ψ − σ ω + ψ .

Из нулевых начальных условий получим систему уравнений:

( )св

0 sin

0 cos sin

A E

CA

= ψ += ω ψ − σ ψ

, свarctgω ψ = σ

, sin

EA = −

ψ.

Поскольку св cos sin 0ω ψ − σ ψ = , то 2св 1 sin sinω − ψ = σ ψ , ( )2 2 2 2

св 1 sin sinω − ψ = σ ψ .

После преобразований получим уравнение: ( )2 2 2 2св св sinω = σ + ω ψ , откуда св

2 2св

sinωψ =

σ + ω.

Последнее выражение приведем к виду: св св св

2 2 2 2 20св 0

ω ω ω= =ωσ + ω σ + ω − σ

, следовательно

свsin LCψ = ω .

ωсв

ψ

ω0

σ

свsin

E EA

LC= − = −

ψ ω, св 0 sinω = ω ψ , 0 cosσ = ω ψ .

Переходное напряжение на ёмкости: ( ) ( )C св

св

11 e sintu t E t

LC−σ

= − ω + ψ ω , где свarctg

ω ψ = σ ;

( )L св

св

e sintEi t t

L−σ= ω

ω – переходный ток в индуктивности;

( ) ( )R L св

св

e sintERu t i t R t

L−σ= = ω

ω – переходное напряжение на резисторе;

( ) ( )L св

св

e sintEu t t

LC−σ= − ω − ψ

ω – переходное напряжение на индуктивности.

Представим на графике соответствующие переходные напряжения: u t( )

0

E

t

Квазипериод: св

св

2T

π=ω

.

Декремент затухания: свe Tσ∆ = . Логарифмический декремент затухания: свln Tσδ = ∆ = σ .

3 лекция Операторный метод анализа переходных процессов. Преобразования Лапласа

t

f t( )

0

( )f t – кусочно-непрерывная однозначная функция. 1. ( ) 0f t = , если 0t < . 2. ( )f t dt < ∞∫ .

Введём комплексную переменную: jp = σ + ω .

Преобразованием Лапласа ( )F p функции ( )f t является функция комплексной переменной вида:

( ) ( )0

e ptF p f t dt∞

−= ∫ .

Интеграл такого типа абсолютно сходится в полуплоскости 0Rep = σ > σ

0

Im

Reσ0

( )f t имеет ограниченный показатель роста, то есть ( ) oe tf t M −σ< .

( )f t – оригинал, ( )F p – изображение.

Для сокращений записи преобразований используем: ( ) ( )f t F p⇔ .

Обратное преобразование Лапласа: ( ) ( )j

j

1e

2 jptf t F p dp

σ+ ∞

σ− ∞

=π ∫ .

Свойства преобразования Лапласа:

1. Линейность. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) ( )1 1

n n

k k k kk k

f t F p= =

α ⇔ α∑ ∑ .

2. Дифференцирование оригинала. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) ( ) ( )0

df tpF p f

dt −⇔ − .

3. Интегрирование оригинала. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) ( )0

F pf t dt

p

∞

⇔∫ .

4. Сжатие. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) 1 pf at F

a a ⇔

.

5. Запаздывание. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) ( ) 00 e ptf t t F p ±± ⇔ .

6. Смещение. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) ( )e tF p f t λ± λ ⇔ ∓ .

7. Свёртка. Если ( ) ( )f t F p⇔ , то ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

0

t

F p F p f f t d⇔ τ − τ τ∫ .

Предельные соотношения: ( ) ( )( ) ( )

0

0

lim lim

lim lim

p t

p t

pF p f t

pF p f t

→∞ →

→ →∞

=

=.

Оригиналы, изображения единичной функции Хевисайда, δ-функции Дирака и экспоненциального импульса

Функция Хевисайда:

t0

1

1( )t

t

1 −( )t t0

0t0

1

( ) ( )0 0

1 11 e ept ptF p t dt

p p

∞∞− −= = − =∫ , то есть ( ) 1

1 tp

⇔ .

Согласно свойству запаздывания ( ) 00

11 e ptt t

p−− ⇔ .

δ-функция Дирака

( )0, 0

, 0

0, 0

t

t t

t

<δ = ∞ = >

, ( )0

0 0

0

0,

,

0,

t t

t t t t

t t

<δ − = ∞ = >

.

t

δ( )t

0 t

δ −( )t t0

0t0

Связь с функцией Хевисайда: ( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 1lim

t t d tt

dtτ→

− − τδ = =

τ.

δ-функция Дирака – единичная импульсная функция: ( ) 1t dt∞

−∞

δ =∫ .

Фильтрующие свойства δ-функции: ( ) ( ) ( )0t f t dt f∞

−∞

δ =∫ , ( ) ( ) ( )0 0t t f t dt f t∞

−∞

δ − =∫ .

Изображение δ-функции: ( ) ( ) 0

0

e e 1ptF p t dt∞

−= δ = =∫ , то есть ( ) 1tδ ⇔ .

Согласно свойству запаздывания ( ) 00 e ptt t −δ − ⇔ .

Экспоненциальный импульс

1

t

f t( )

0

( )0, 0

e , 0t

tf t

t−α

<= >

. ( )0

1e et ptF p dt

p

∞−α −= =

+ α∫ , то есть 1

e t

p−α ⇔

+ α.

Доказать самостоятельно! 1

e t

pα ⇔

− α

Теорема разложения Представим изображение ( )F p в виде дробно-рациональной функции:

( ) ( )( )

1 0

2 0

nn

mm

F p a p aF p

F p b p b

+ += =+ +⋯

⋯.

Разложим ( )F p на простые дроби: ( )1

mk

k k

AF p

p p=

=−∑ ,

где kp – простые корни характеристического уравнения: ( )2 0 0mmF p b p b= + + =… ,

kA – коэффициенты разложения.

( ) ( )( )

1

1 12

lim limk k

m m

k kp p p p

k k

F pp p A

F p→ →= =

− =∑ ∑ , ( ) ( ) ( )( )

( )( )1 1

1 12

lim limk k

m mk

kp p p p

k k

F p p p F pA

F p→ →= =

′+ −=

′∑ ∑ ,

отсюда определяем: ( )( )( )

1

2

kk

k

F pA

F p=

′, где ( )( ) ( )2

2

k

k

p p

dF pF p

dp=

′ = .

Подставим значения kA в ( )F p , получим: ( ) ( )( )

( )( )( )

1 1

122

1mk

k kk

F p F pF p

F p p pF p=

= = ⋅−′∑ .

С учётом свойства линейности и 1

e kp t

kp p⇔

−, получим выражение для оригинала:

( ) ( )( )( )

1

12

e k

mk p t

kk

F pf t

F p=

=′∑ – формула определения оригинала по его изображению.

Если корни kp – комплексно-сопряжённые, то оригинал определяется по формуле:

( ) ( )( )( )

1

2

2Re e kk p t

k

F pf t

F p

= ′

.

Пример: задано изображение в виде: ( ) ( )( )( )

1

22

2

5 4

F ppF p

F pp p p

+= =+ +

.

Определим корни уравнения ( )2 0F p = : 1 0p = , 2 1p = − , 3 4p = − .

Определим производную ( )( ) 22 3 10 4F p p p′ = + + , где ( )( )2 1 4F p ′ = , ( )( )2 2 3F p ′ = − ,

( )( )2 3 12F p ′ = .

Оригинал определяем по теореме разложения:

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

31 21 1 1 2 1 3 4

2 1 2 2 2 3

1 1 1e e e e e

2 3 6p tp t p t t tF p F p F p

f tF p F p F p

− −= + + = − −′ ′ ′

.

4 лекция Расчёт переходных процессов операторным методом

R

e t( ) L

K

С

В случае нулевых начальных условий: ( )0

1 tdiRi L idt e t

dt C+ + =∫ .

Применим преобразование Лапласа, получим: ( ) ( ) ( ) ( )1RI p LpI p I p E p

Cp+ + = .

Закон Ома в операторной форме при нулевых начальных условиях: ( ) ( ) ( )( )1

E p E pI p

Z pR pLpC

= =+ +

,

где ( )Z p – операторное сопротивление.

( ) ( )1 1

1Y p

Z p R pLpC

= =+ +

– операторная проводимость.

I и II законы Кирхгофа в операторной форме соответственно:

( )1

0m

kk

I p=

=∑ , ( ) ( ) ( )1 1

n n

k k kk k

Z p I p E p= =

=∑ ∑ .

В случае ненулевых начальных условиях, то есть ( )0 0i ≠ , ( )C 0 0u ≠ :

( )1 tdiRi L idt e t

dt C −∞

+ + =∫ , ( ) ( )C

0

10

tdiRi L idt u e t

dt C+ + + =∫ .

Применяя преобразование Лапласа, получим: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CL

010

uRI p LpI p Li I p E p

Cp p+ − + + = .

Изображение для тока: ( )( ) ( ) ( )

( )( )

CL

эк

00

1

uE p Li

E ppI p

Z pR pLpC

+ −= =

+ +,

Соответствующая операторная схема замещения цепи после коммутации: R

E p( )

pL

I p( )

1pС

u p

C(0) LiL(0)

Операторные передаточные функции

Операторная передаточная функция (ОПФ) определяется как отношение изображения выходной реакции цепи к изображению входного воздействия.

( ) ( )( )

2U

1

U pK p

U p= , ( ) ( )

( )2

I1

I pK p

I p= ,

( ) ( )( )

2Z

1

U pK p

I p= , ( ) ( )

( )2

Y1

I pK p

U p= .

Представим ОПФ в виде:

( ) ( )( )

11 1 0

11 1 0

n nn n

m mm m

W pa p a p a p aK p

b p b p b p b V p

−−

−−

+ + + += =+ + + +

…

…, либо ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )0 02 0

1 2

n

m

p p p p p pK p H

p p p p p p

− − −=

− − −…

…,

U1(p) U2(p)

I1(p)

I2(p)

ЧП

где 01 02 0, , , np p p… – нули, 1 2, , , mp p p… – полюса ОПФ; n

n

aH

b= .

Свойства ОПФ 1. ОПФ является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами 2. Полюсы ОПФ располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной p. 3. Степень полинома числителя ОПФ не превышает степень полинома знаменателя. Пример

1pСU p1( ) U p2( )C

RR

u t1( ) u t2( )

( ) ( )( )

( )( )

2 1U

1 1

1 1 11 1

U p U pK p

U p pC U p pRCRpC

= = ⋅ ⋅ =++

.

Самостоятельно определить! ( ) ( ) ( )I Z Y, ,K p K p K p

Временной метод анализа переходных процессов Переходная и импульсная характеристика электрической цепи

Переходной характеристикой ( )h t называется реакция линейной электрической цепи на

входное воздействие в виде функции Хевисайда.

ЛЭЦ1( )t h t( ) ЛЭЦU p1( ) U p2( )

( ) ( )( )

2U

1

U pK p

U p= , откуда ( ) ( ) ( ) ( )2 U 1 U

1U p K p U p K p

p= = , откуда

( ) ( )Uu

K ph t

p⇔ – переходная характеристика по напряжению.

( ) ( )Ii

K ph t

p⇔ , ( ) ( )Z

z

K ph t

p⇔ , ( ) ( )Y

y

K ph t

p⇔ .

Импульсной характеристикой ( )g t называется реакция линейной электрической цепи на

входное воздействие в виде δ -функции Дирака.

ЛЭЦδ( )t g t( ) ЛЭЦU p1( ) U p2( )

( ) ( )( )

2U

1

U pK p

U p= , откуда ( ) ( ) ( ) ( )2 U 1 U 1U p K p U p K p= = ⋅ , откуда

( ) ( )u Ug t K p⇔ – импульсная характеристика по напряжению.

( ) ( )i Ig t K p⇔ , ( ) ( )z Zg t K p⇔ , ( ) ( )y Yg t K p⇔

Поскольку ( ) ( )1d tt

dtδ = , то ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1dh t d t dh t dh td

g t h t t h t t t h tdt dt dt dt dt

= = = + = δ + .

Учитывая фильтрующее свойство δ -функции ( ) ( ) ( ) ( )0t h t t hδ = δ , получим:

( ) ( ) ( ) ( )0

dh tg t t h

dt= δ + – связь между импульсной и переходной характеристикой.

Пример

1pСU p1( ) U p2( )C

RR

1( )t h t( )

Поскольку ( )U

1

1K p

pRC=

+, то ( ) ( )U

u

1

(1 )

K ph t

p p pRC⇔ =

+.

Определим оригинал по теореме разложения: ( ) ( )( )

1

2

1

(1 )

F pF p

F p p pRC= =

+ – изображение.

Корни полинома знаменателя: 1 0p = , 2

1p

RC= − .

Определим производную: ( )( )2 2 1F p pRC′ = + , причём ( )( )2 1 1F p ′ = , ( )( )2 2 1F p ′ = − .

Переходная характеристика по напряжению: ( ) ( )C0

u

1 1e e 1 e

1 1

ttt RCh t

−− τ= + = −−

, где C RCτ = .

Импульсная характеристика по напряжению: ( ) ( ) ( ) ( )Cu

u uC

10 e

tdh tg t h t

dt

−τ= δ + =

τ.

Интеграл Дюамеля Интеграл Дюамеля позволяет определить реакцию цепи на произвольное воздействие.

t

f t1( )

0

∆f1

∆f2

∆fk

f1( )0

∆τ 2∆τ k∆τ ( )1f t – произвольное воздействие;

Реакция ( )2f t цепи на каждое воздействие:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 1

2 1

2

0 0 ,

,

.k

f f h t

f f h t

f k f h t k

=

∆τ = ∆ − ∆τ

∆τ = ∆ − ∆τ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Результирующая реакция: ( ) ( ) ( )2 2 21

0n

k

f t f f k=

= + ∆τ∑ , то есть

( ) ( ) ( ) ( )2 11

0n

kk

f t f h t f h t k=

= + ∆ − ∆τ∑ , далее ( ) ( ) ( ) ( )2 10

1

0 limn

k

k

ff t f h t h t k

∆τ→ =

∆= + − ∆τ ∆τ∆τ∑ , тогда

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

0

0t

f t f h t f h t d′= + τ − τ τ∫ – I форма интеграла Дюамеля.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

0

0t

f t f h t f t h d′= + − τ τ τ∫ – II форма интеграла Дюамеля.

Интегрируя по частям, получим:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

0

0t

f t f h t f h t d′= + τ − τ τ∫ – III форма интеграла Дюамеля.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1

0

0t

f t f h t f t h d′= + − τ τ τ∫ – IV форма интеграла Дюамеля.

Рассмотрим применение интеграла Дюамеля для расчёта переходных процессов при произвольных воздействиях.

t

f t1( )

f t11( )f1( )0

0 t2F2t1

F1

Выделяем следующие интервалы 1. 0t < , ( )2 0f t = .

2. 10 t t≤ ≤ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 11

0

0 't

f t f h t f h t d= + τ − τ τ∫ .

3. 1 2t t t< < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1

2 1 11 1 1 22

0

0 ' 't t

t

f t f h t f h t d F h t t f h t d= + τ − τ τ + − + τ − τ τ∫ ∫ .

4. 2t t< < ∞ ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

1 2

2 1 11 1 1 22 2 2 33

0

0 ' ' ' .t t t

t t

f t f h t f h t d F h t t f h t d F h t t f h t d= + τ − τ τ + − + τ − τ τ − − + τ − τ τ∫ ∫ ∫

5 лекция Интегрирующие и дифференцирующие цепи

ЛЭЦf t1( ) f t2( )

( ) ( )12

df tf t

dt= – дифференцирующая цепь; ( ) ( )2 1

0

t

f t f t dt= ∫ – интегрирующая цепь;

Дифференцирующие цепи R

u t1( ) u t2( )L

i t( )

( ) ( )2

di tu t L

dt= – выходное напряжение

Запишем уравнение Кирхгофа в операторной форме: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 R LU p I p R I p pL U p U p= + = + ,

потребуем чтобы ( ) ( )R LU p U p≫ , то есть R pL≫ , тогда ( ) ( )1U p I p R≈ , откуда ( ) ( )1U pI p

R≈ .

( ) ( ) ( ) ( )12 L 1

U pU p I p pL pL pU p

R= = = τ .

На основании теоремы о дифференцировании оригинала получаем: ( ) ( )12 L

du tu t

dt= τ .

Ru t1( ) u t2( )

i t( ) С

( ) ( ) ( )C2

du tu t Ri t RC

dt= = .

Запишем уравнение Кирхгофа в операторной форме: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 C R

1U p I p I p R U p U p

pC= + = + .

Потребуем чтобы ( ) ( )R CU p U p≪ , то есть 1

RpC

≪ , тогда ( ) ( )1

1U p I p

pC≈ , откуда

( ) ( )1I p pCU p≈ . ( ) ( ) ( ) ( )2 1 C 1U p I p R pRCU p pU p= = = τ .

Оригинал выходного напряжения определяется: ( ) ( )12 C

du tu t

dt= τ .

Интегрирующие цепи

Ru t1( ) u t2( )

i t( ) L

( ) ( ) ( )2 L

0

tRu t Ri t u t dt

L= = ∫ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 R LU p I p R I p pL U p U p= + = + , потребуем чтобы ( ) ( )L RU p U p≫ , то есть pL R≫ ,

тогда ( ) ( )1U p I p pL≈ , откуда ( ) ( )1U pI p

pL≈ . ( ) ( ) ( ) ( )1 1

2L

1U p U pU p I p R R

pL p= = = ⋅

τ.

На основании теоремы об интегрировании оригинала ( ) ( )2 1L 0

1 t

u t u t dt=τ ∫

.

R

u t1( ) u t2( )

i t( )

С

( ) ( )2

0

1 t

u t i t dtC

= ∫ .

Запишем уравнение Кирхгофа в операторной форме: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 C R

1U p I p I p R U p U p

pC= + = + .

Потребуем чтобы ( ) ( )C RU p U p≪ , то есть 1

RpC≪ , тогда ( ) ( )1U p I p R≈ , откуда ( ) ( )1U p

I pR

≈ .

( ) ( ) ( )12

C

1 1 U pU p I p

pC p= = ⋅

τ, откуда оригинал ( ) ( )2 1

C 0

1 t

u t u t dt=τ ∫

.

Частотный метод анализа переходных процессов. Преобразования Фурье Пусть ( )f t – непериодическая функция, удовлетворяющая условию абсолютной

интегрируемости в бесконечных пределах, то есть

( )f t dt∞

−∞

< ∞∫ , при этом ( ) e ctf t M −< .

t

f t1( )

0t

f t( )

0T

Представим ( )f t в виде бесконечно большого числа малых периодических функций ( )1f t ,

то есть ( ) ( )1limT

f t f t→∞

= .

( )1f t представим в виде комплексного ряда Фурье:

( ) 1j1

1e

2k t

kk

f t A∞

ω

=−∞= ∑ , где ( ) 1

2j

1

2

2e

T

k tk

T

A f t dtT

− ω

−

= ∫ , 1

2T

π=ω

.

Осуществляя подстановку kA в ( )1f t , и переходя к пределу T → ∞ , учитывая, что 1kω → ω ,

1 dω → ω , получаем:

( ) ( ) j1e

2tf t F d

∞ω

−∞

= ω ωπ ∫

– ОПФ, ( ) ( ) je tF f t dt∞

− ω

−∞

ω = ∫ – ППФ.

( )F ω – комплексная спектральная плотность, а ( ) ( )F Fω = ω – спектральная плотность.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jj eF A B F − φ ωω = ω − ω = ω , ( )F ω – амплитудный спектр, ( )φ ω – фазовый спектр.

Функцию ( )f t можно представить в другой форме:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )j ( ) j1 1 1e e cos j sin

2 2 2tf t F d F t d F t d

∞ ∞ ∞− φ ω ω

−∞ −∞ −∞

= ω ω = ω ω − φ ω ω − ω ω − φ ω ωπ π π∫ ∫ ∫ .

Окончательно ( ) ( ) ( )( )0

1cosf t F t d

∞

= ω ω − φ ω ωπ ∫

.

Вывод: непериодический сигнал может быть представлен пределом суммы (интегралом)

бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических колебаний с амплитудами ( )F ωπ

и

начальными фазами )(ωφ . Спектры непериодических сигналов являются непрерывными. Свойства преобразования Фурье

1. Если ( )f t – чётная функция, то спектр ( )F ω – действительный. ( ) ( )cosF f t tdt∞

−∞

ω = ω∫ .

2. Взаимозаменяемость переменных t и ω . ( ) ( ) je tF t f d∞

ω

−∞

− = ω ω∫ .

3. Теорема линейности. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( )k kk k

a f t a F⇔ ω∑ ∑ .

4. Теорема о дифференцировании сигнала. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( )jd

f t Fdt

⇔ ω ω .

5. Теорема об интегрировании сигнала. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( )1

jf t dt F

τ

−∞

⇔ ωω∫ .

6. Теорема запаздывания (опережения). Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( ) 0j0 e tf t t F ± ω± ⇔ ω .

7. Теорема сжатия. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) 1f at F

a a

ω ⇔

.

8. Теорема свёртки. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( ) ( ) ( )1 21 2

1

2f t f t F F d

∞

−∞

⇔ Ω ω − Ω Ωπ ∫

.

Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2F F f f t d∞

−∞

ω ω ⇔ τ − τ τ∫ .

9. Теорема смещения. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( ) je tF f t Ωω ± Ω ⇔ ∓ .

10. Теорема Рэлея. ( ) ( ) ( )2W i t u t dt i t Rdt∞ ∞

−∞ −∞

= =∫ ∫ , пусть ( ) ( ) , 1Омi t f t R= = , тогда

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 j j1 1e e

2 2t tW f t dt f t f t dt f t F d dt F f t dtd

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ω ω

−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞

= = = ⋅ ω ω = ω ωπ π∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ,

поскольку ( ) ( )je tf t dt F∞

ω

−∞

= −ω∫ , то ( ) ( ) ( ) ( )2 2

0

1 1 1| |

2 2W F F d F d F d

∞ ∞ ∞

−∞ −∞

= ω −ω ω = ω ω = ω ωπ π π∫ ∫ ∫ .

Таким образом, получаем равенство вида: ( ) ( ) ( )2 2 2

0

1 1

2f t dt F d F d

∞ ∞ ∞

−∞ −∞

= ω ω = ω ωπ π∫ ∫ ∫ ,

где ( )2F ω – спектральная плотность энергии сигнала.

Некоторые выкладки по теме «Свойства преобразования Фурье»

2. Взаимозаменяемость переменных t и ω ( ) ( ) je tF t f d∞

ω

−∞

− = ω ω∫ .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j j j

j j

1e e e ,

2 2 2

1 1e , e

2 2

t t t

t t

F Ff t F d d d

F f t dt F f t dt

∞ −∞ ∞ω − ω − ω

−∞ +∞ −∞∞ ∞

− ω ω

−∞ −∞

−ω −ω= ω ω = −ω = ω

π π π

ω = −ω =π π

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Меняем местами t и ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

j j

j j

1 1e , e ,

2 2 2

1 1 1e , 2 e , 2

2 2 2

t t

t t

F tf dt f F t dt f F t

F t f d F t f d F t f

∞ ∞− ω − ω

−∞ −∞∞ ∞

ω ω

−∞ −∞

−ω = ω = − ω ⇔ −

π π π

− = ω ω − = π ω ω − ⇔ π ωπ π π

∫ ∫

∫ ∫

4. Теорема о дифференцировании сигнала. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( )jd

f t Fdt

⇔ ω ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j je e j e jt t td d df t F d F d F d F

dt dt dt

∞ ∞ ∞ω ω ω

−∞ −∞ −∞

= ω ω = ω ω = ω ω ω =⇔ ω ω∫ ∫ ∫

5. Теорема об интегрировании сигнала. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( )1

jf t dt F

τ

−∞

⇔ ωω∫ .

( ) ( ) ( ) ( )

( )

j j j

j

1 1 1 1e e e

2 2 j 2

1 1e

j 2

t t tf t dt F d dt F dtd F d

F d

τ τ ∞ ∞ τ ∞τω ω ω

−∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞

∞ωτ

−∞

= ω ω = ω ω = ⋅ ω ω =π π ω π

= ⋅ ω ωω π

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

6. Теорема запаздывания (смещения по времени). Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( ) 0j0 e tf t t F ± ω± ⇔ ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0j j jj0 e e e et t t ttf t t F d F d F

∞ ∞ω ± ± ω ± ωω

−∞ −∞

± = ω ω = ω ω ⇔ ω∫ ∫

7. Теорема сжатия. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) 1f at F

a a

ω ⇔

( ) ( ) 1

1j j j

1 11

1 1e e ea t t t

af at F d F d F d F

a a a a a aa

∞ ∞ ∞ω ω ω

−∞ −∞ −∞

ω = ω ω ω ω ω = ω ω = = = ω =⇔ω ω =

∫ ∫ ∫

8. Теорема свёртки. Если ( ) ( )f t F⇔ ω , то ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2F F f f t d∞

−∞

ω ω ⇔ τ − τ τ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

jj j1 2 1 2 1 2

j j1 2 1 2 1 2

e e e

e et t

tF F f d f d f f d d

d dt

f f t d dt f f t d dt f f t d

∞ ∞ ∞ ∞− ω τ+θ− ωτ − ωθ

−∞ −∞ −∞ −∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞− ω τ+ −τ − ω

−∞ −∞ −∞ −∞ −∞

θ = − τ ω ω = τ τ θ θ = τ θ τ θ = = θ =

= τ − τ θ = τ − τ τ =⇔ τ − τ τ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Спектр функции Хевисайда.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

j j jj

0 0 0 0 00

jj j 0 2

0 0 0

1lim1 e e lim 1 e lim e lim e

j

1 1 1 1 1lim e e lim 0 1 lim e

j j j j

c t c t c tct t

c c c c

c c

c c c

F t dt t dt dtc

c c c

∞ ∞ ∞ ∞− + ω − + ω − + ω− − ω

→ → → →−∞ −∞

π−− + ω ∞ − + ω

→ → →

ω = = = = =− + ω

= − = − = = =− + ω − + ω + ω ω ω

∫ ∫ ∫

Спектры типовых сигналов 1. Спектр функции Хевисайда. Представим функцию Хевисайда в виде: ( ) ( )

01 lim1 e ct

ct t −

→= .

( ) ( ) ( ) jj 2

0 0

1 1 1lim 1 e lim e

j jc t

c cF t dt

c

∞ π−− + ω

→ →−∞

ω = = = =+ ω ω ω∫ – комплексная спектральная плотность.

( ) 1F ω =

ω – амплитудный спектр, ( )

2

πφ ω = – фазовый спектр.

2. Спектр δ -функции Дирака.

( ) ( ) j 0e e 1tF t dt∞

− ω

−∞

ω = δ = =∫ , ( ) 1F ω = – амплитудный спектр, ( ) 0φ ω = – фазовый спектр.

Так как ( ) 1t dt∞

−∞

δ =∫ , то ( ) ( )F t dt∞

−∞

ω = δ∫ . Взяв ОПФ ( ) ∫∞

∞−

ω ωπ2

1=δ det tj , и учитывая свойство

взаимозаменяемости переменных t и ω , получим: ( ) ∫∞

∞−

ω±π2

1=ωδ dte tj .

3. Спектр постоянного сигнала ( ) constf t E= = . ( ) ( )j j1e 2 e 2

2t tF E dt E dt E

∞ ∞− ω − ω

−∞ −∞

ω = = π = π δ ωπ∫ ∫ .

На частоте 0ω = спектр ( )0F = ∞ , на остальных частотах ( ) 0F ω = .

4. Спектр гармонического сигнала ( ) 0cosf t E t= ω .

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0

0 0

j jj j

0

j j0 0

e ecos e e

2

1 12 e e

2 2 2

t tt t

t t

F E t dt E dt

Edt dt E

∞ ∞ ω − ω− ω − ω

−∞ −∞

∞ ∞− ω−ω − ω+ω

−∞ −∞

+ω = ω ⋅ = =

= π + = π δ ω− ω + δ ω+ ω π π

∫ ∫

∫ ∫

На частотах 0ω = ±ω спектр ( )0F ±ω = ∞ , на остальных частотах ( ) 0F ω = .

5. Спектр прямоугольного импульса.

( )u

u u

u

u2 j jj 2 2

u

2u

sin1 2 2 2

e e e22j

2

tt t

t

t

tE

F E dt Et

t

ω ω−− ω

−

ω ω = = ⋅ − = ⋅ ⋅ ωω ω

ω

∫ , ( )u

uu

sin2

2

t

F Ett

ω ω = ω .

2,0

0,8

0,4

1,2

1,6

−10 −6 6 10

F( )ω

0 ω2ω1ω

Введём понятие ширины спектра сигнала ω∆ : диапазон частот, относительно которого сосредотачивается максимум энергии сигнала. Для прямоугольного импульса это – ширина

спектра по основному лепестку: если 2u

2

t

πω = и 1u

2

t

πω = − , то 2 1u

4

t

π∆ω = ω − ω = .

6. Спектр экспоненциального импульса.

( ) ( ) j arctgjj

2 2

1 1e e e e

ja tat t aF dt dt

a a

ω ∞ ∞ − ⋅ − ω+− − ω

−∞ −∞

ω = = = =ω+ + ω∫ ∫ .

6 лекция Частотный анализ ЛЭЦ при непериодических воздействиях

Для определения выходной реакции линейной электрической цепи используют комплексную передаточную функцию ( )H ω . При этом спектр выходной реакции определяется в виде:

( ) ( ) ( )2 1F H Fω = ω ω .

Рассчитаем комплексную спектральную плотность выходного сигнала ( )2U ω в

последовательной RL -цепи, если на её вход действует сигнал в форме прямоугольного импульса.

R

u t1( ) u t2( )L

i t( )

t0

Eu1( )t

− 2tu tu

2

Комплексная передаточная функция определяется как: ( ) j

j

LH

R L

ωω =+ ω

.

Спектральная плотность прямоугольного импульса: ( )u

1 uu

sin2

2

t

U Ett

ω ω = ω .

Комплексная спектральная плотность сигнала на выходе:

( ) ( ) ( )u

2 1 uu

sinj 2

j2

tL

U H U EttR L

ω ω ω = ω ω = ω+ ω

.

Определим амплитудный спектр выходного напряжения ( ) ( )22U Uω = ω .

U2( )ω

ω0 Условия передачи сигнала без искажений

Сигнал на выходе устройства ( )2f t не будет искажаться, если сохранится его форма, хотя

при этом может измениться его амплитуда и плюс ко всему сигнал запаздывает относительно входного воздействия на 0t .

Условие безыскажённой передачи сигнала описывается в следующем виде: ( ) ( )2 1 0f t kf t t= − ,

где 0t – время запаздывания выходного сигнала относительно входного.

ЛЭЦf t1( ) f t2( )

t

f t1( )

0t0

Пусть ( )1F ω – комплексный спектр на входе цепи, тогда комплексный спектр на выходе

устройства в силу теоремы линейности и запаздывания записывается в виде:

( ) ( ) 0j2 1 e tF k F − ωω = ω .

Комплексная передаточная функция такой цепи будет описана: ( ) ( )( )

02 j

1

e tFH k

F− ωω

ω = =ω

.

Вывод: электрическая цепь не будет вносить искажений, если её АЧХ является равномерной, а ФЧХ изменяется по линейному закону. Если АЧХ – неравномерная, то имеют место амплитудно-частотные искажения. Если ФЧХ – нелинейная, то имеют место фазо-частотные искажения.

Условия передачи сигналов без искажений выполняются только для резистивных цепей. В цепях с реактивными элементами такое условие можно обеспечить лишь узком диапазоне частот.

Прохождение единичного импульса через идеальный фильтр нижних частот. Единичный импульсный сигнал представим в виде:

ИФНЧf t1( ) f t2( )

t

f t1( )

0

1τ

τ Идеальный фильтр нижних частот (ИФНЧ) имеет следующие характеристики: АЧХ: ( ) 1H ω = , ФЧХ: ( ) 0tϕ ω = −ω в диапазоне частот: c0 ≤ ω ≤ ω , где cω – частота среза.

ϕ ω( )

0

0

ωc ω

1ωc ω

H( )ω

Комплексная передаточная функция ИФНЧ описывается: ( ) 0j1 e tH − ωω = ⋅ .

Если длительность единичного импульса 0τ → , то входной сигнал ( ) ( )1f t t= δ .

Так как ( )1 1F ω = , то спектральная плотность сигнала на выходе: ( ) ( ) ( ) 0j2 1 e tF H F − ωω = ω ω = .

Сигнал на выходе ИФНЧ определяем, взяв ОПФ:

( ) ( )

( )

( )( )c c c 0

00

c 0

jjj j c 22

c 00 0

sin21 1

e e e e2 2 2

2

t tt tt t

t t

f t d dt t

ω ω ω −ω −− ω ω

ω − ω = ω = ω = ⋅ω −π π π∫ ∫ .

t

f t( )

0

1τ

τ

f t1( )

f t2( )

t0

С увеличением cω ширина главного лепестка c

4π∆ω =ω

выходного импульса сужается, задержка

уменьшается, амплитуда увеличивается. Связь между временными и частотными характеристиками

ЛЭЦF1(j )ω F2(j )ω

Пусть имеется цепь с КПФ: ( ) ( )( )

2

1

FH

F

ωω =

ω.

На вход цепи действует сигнал в виде δ -функции Дирака, тогда на выходе имеем сигнал, который численно равен импульсной характеристике. Так как ( )1 1F ω = , то ( ) ( )2F Hω = ω . Взяв

обратное преобразование Фурье, установим связь между импульсной и частотной

характеристикой: ( ) ( ) j1e

2tg t H d

∞ω

−∞

= ω ωπ ∫

.

Прямое преобразование Фурье определяет нам КПФ: ( ) ( ) je tH g t dt∞

− ω

−∞

ω = ∫ .

Если на входе цепи действует единичная функция Хевисайда, то на выходе имеем сигнал,

численно равный переходной характеристике. Так как ( )1

1

jF ω =

ω, то ( ) ( )2

1

jF Hω = ω

ω.

Установим связь между переходной и частотной характеристикой.

( ) ( ) j1 1e

2 jth t H d

∞ω

−∞

= ω ωπ ω∫

.

7 лекция Электрические цепи с распределёнными параметрами (длинные линии)

Общие сведения о регулярных линиях передачи Линия передачи (длинная линия) – устройство, ограничивающее область распространения

электромагнитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энергии в заданном направлении.

Линия называется регулярной, если в продольном направлении неизменны её поперечное сечение, положение его в пространстве и электромагнитные свойства заполняющих её сред.

Линия является однородной, если в произвольном поперечном сечении параметры среды неизменны.

Открытые линии передачи

1 2 3 4 1 – двухпроводная линия, 2 – открытая полосковая линия, 3 – однопроводная линия, 4 – открытая диэлектрическая линия.

Закрытые линии передачи

1 2 3 4 5 6 1 – коаксиальный кабель, 2 – прямоугольный волновод, 3 – круглый волновод, 4 – эллиптический волновод, 5 – частично-заполненный волновод, 6 – экранированная полосковая линия.

Длинные линии характеризуются первичными параметрами, то есть параметрами, отнесенными к единице длины линии. К первичным параметрам относят:

1. Резистивное сопротивление единицы длины линии 0

Ом

мR

.

2. Индуктивность единицы длины линии 0

Гн

мL

.

3. Ёмкость единицы длины линии 0

Ф

мC

.

4. Проводимость единицы длины линии 0

Cм

мG

.

Телеграфные уравнения Рассмотрим элементарный участок длинной линии.

G x0∆

L x0∆ R x0∆

C x0∆

u u+ u∆

∆ x

i i∆ +

x

i

Линия рассматривается как цепь с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.

Токи и напряжения в линии описываются системой телеграфных уравнений: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0 0

0 0

, ,,

, ,,

u x t i x tR i x t L

x ti x t u x t

G u x t Cx t

∂ ∂− = +

∂ ∂∂ ∂

− = +∂ ∂

.

Представим мгновенные токи и напряжения в виде комплексных действующих значений:

( ) ( ),i x t I x⇔ , ( ) ( ),u x t U x⇔ , ( ) ( ),

ji x t

I xt

∂⇔ ω

∂,

( ) ( ),j

u x tU x

t

∂⇔ ω

∂.

Телеграфные уравнения запишем в более удобном виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

0 0 0 0

j j

j j

dU xR I x L I x R L I x

dxd I x

G U x C U x G C U xdx

− = + ω = + ω

− = + ω = + ω.

Уравнения передачи для однородной длинной линии Продифференцируем в системе телеграфных уравнений по координате x первое уравнение:

( ) ( ) ( )2

0 02j

d U x d I xR L

dx dx− = + ω .

Далее, используя второе уравнение, имеем: ( ) ( ) ( ) ( )

2

0 0 0 02j j

d U xR L G C U x

dx= + ω ⋅ + ω .

Введём переменную ( ) ( )0 0 0 00j jR L G Cγ = + ω + ω – коэффициент распространения.

В итоге получаем однородное дифференциальное уравнение вида: ( ) ( )

22

2 00

d U xU x

dx− γ = .

Составим характеристическое уравнение 22

00p − γ = , из которого

0p = ±γ .

Решение для ( )U x запишем в виде: ( ) 0 01 2e e

x xU x A A

−γ γ= + .

Используя телеграфные уравнения, определим ( )I x . ( ) ( )0 001 2

0 0

e ej

x xI x A A

R L−γ γγ

= −+ ω

.

Введём переменную 0 00

0 0

j

j

R LZ

G C

+ ω=+ ω

– волновое сопротивление линии.

В итоге можно записать: ( ) 0 01 2e e

x xU x A A

−γ γ= + , ( ) ( )0 01 2

0

1e e

x xI x A A

Z−γ γ= − .

Для определения неизвестных 1A и 2A зададим граничные условия вначале линии.

Пусть ( ) 10U U= – напряжение на входе линии, ( ) 10I I= – ток на входе линии, тогда

1 21U A A= + , ( )1 1 20

1I A A

Z= − , отсюда 1 01

1 2

U I ZA

+= , 1 012 2

U I ZA

−= .

После подстановки, получим в явном виде уравнения для определения напряжений и токов в произвольной точке x.

( ) 0 01 0 1 01 1e e2 2

x xU I Z U I ZU x

−γ γ+ −= + ,

( ) 0 01 0 1 01 1

0 0

e e2 2

x xU I Z U I ZI x

Z Z−γ γ+ −= − .

Последние уравнения – есть уравнения передачи однородной длинной линии.

Поскольку 0 0

0

e ech

2

x x

xγ −γ+γ = ,

0 0

0

e esh

2

x x

xγ −γ−γ = , то уравнения передачи можно записать в

более компактном виде:

( ) 1 01 0 0ch shU x U x I Z x= γ − γ ,

( ) 110 0

0

sh chU

I x x I xZ

= − γ + γ .

Зададим граничные условия в конце линии x a= . Пусть ( ) 2U a U= , ( ) 2I a I= – напряжение и ток в конце линии. Тогда последние уравнения

примут следующий вид:

( ) 1 02 1 0 0ch shU a U U a I Z a= = γ − γ ,

( ) 12 10 0

0

sh chU

I a I a I aZ

= = − γ + γ .

Выразим напряжение и ток на входе через напряжение и ток на выходе линии. Решаем методом определителей.

00 02 2

0 00 0

0

ch sh

ch sh 11sh ch

a Z a

a aa a

Z

γ − γ∆ = = γ − γ =

− γ γ,

02 02 021 0 0

2 0

shch sh

chU

U Z aU a I Z a

I a

− γ∆ = = γ + γ

γ,

202

21 0 0020

0

ch

ch sh1shI

a UU

I a aZa I

Z

γ∆ = = γ + γ

− γ.

Окончательно получаем: 2 01 2 0 0ch shU U a I Z a= γ + γ , 2

1 2 0 00

ch shU

I I a aZ

= γ + γ .

Из последних уравнений мы можем определить напряжение и ток вначале линии ( 0x = ), зная напряжение и ток в конце линии ( x a= ). Следует отметить, что параметры

0γ и 0Z относятся к

вторичным параметрам длинной линии. Падающие и отраженные волны

В уравнениях передачи введём следующие обозначения:

1 01пад 2

U I ZU

+= , 1 01отр 2

U I ZU

−= , 1 01пад

02

U I ZI

Z

+= , 1 01отр

02

U I ZI

Z

−= .

( ) ( ) ( )0 0пад отр пад отрe e

x xU x U U U x U x

−γ γ= + = + ,

( ) ( ) ( )0 0пад отр пад отрe e

x xI x I I I x I x

−γ γ= − = + ,

Отметим, что: ( ) ( )0 падпадU x Z I x= , ( ) ( )0 отротрU x Z I x= − .

Напряжение и ток состоят из двух слагаемых. Первые слагаемые уменьшаются с увеличением расстояния от начала линии, вторые возрастают. Вывод: в линии существует два типа волн: падающие и отраженные. Пусть

0jγ = α + β , тогда напряжение и ток в мгновенной форме:

( ) ( ) ( )пад отр, e sin e sinx xu x t U t x U t x−α α= ω −β + ω + β ,

( ) ( ) ( )пад отр, e sin e sinx xi x t I t x I t x−α α= ω −β − ω + β .

Рассмотрим первые слагаемые в последних уравнениях:

( ) ( )падпад , e sinxu x t U t x−α= ω −β ,

( ) ( )падпад , e sinxi x t I t x−α= ω −β , где падпад

0

UI

Z= .

В каждом сечении линии колебания тока и напряжения являются гармоническими; 1. По мере удаления от начала линии амплитуда колебаний затухает по экспоненциальному закону. 2. В каждой последующей точке линии колебания отстают по фазе от колебаний в предыдущей точке (знак «минус» перед xβ ).

xx10

Uпад( )x

x2

A A

Скорость распространения вдоль цепи состояния равной фазы называется фазовой скоростью. Определим фазовую скорость распространения волны фv из условия:

1 1 2 2t x t xω −β = ω −β , откуда 2 1ф

2 1

x xv

t t

− ω= =− β

.

Вывод: первые слагаемые описывают падающие волны.

Рассмотрим вторые слагаемые:

( ) ( )отротр , e sinxu x t U t xα= ω + β , ( ) ( )отротр , e sinxi x t I t xα= − ω + β , где отротр

0

UI

Z= .

Эти слагаемые описывают волны точно такого же типа, как и падающие, но распространяющиеся в обратном направлении (знак «плюс» перед xβ ). Эти волны называются отраженными.

Коэффициенты отражения по току и напряжению. Режимы работы линии Представим длинную линию в следующем виде:

I1

0 x

U1 U2Uг

Zг

a

Z2I2

Определим коэффициент отражения волны от конца линии, нагруженной на сопротивление 2Z .

( ) ( ) ( ) ( )( )0 пад отр2 пад отрU U a U a Z I a I a= + = − ,

( ) ( ) ( ) ( )( )2 пад отр пад отр

0

1I I a I a U a U a

Z= + = − .

Напряжение на сопротивлении 2Z определяется согласно закону Ома: 2 22U Z I= . Принимая во внимание выше сказанное, имеем:

( ) ( )2 2 пад отрI Z U a U a= + и ( ) ( )2 0 пад отрI Z U a U a= − .

Определим падающую и отраженную компоненту волны в конце линии.

( ) ( )2 2 0пад

1

2U a I Z Z= + , ( ) ( )2 2 0отр

1

2U a I Z Z= − .

Введём понятие коэффициента отражения по напряжению, как отношение отраженной волны к падающей волне в конце линии.

( )( )

отр 2 0u

2 0пад

U a Z ZR

U a Z Z

−= =+

.

По аналогии определим коэффициент отражения по току.

( ) ( )2пад отр

0

UI a I a

Z= − , ( ) ( )2

пад отр

2

UI a I a

Z= + .

Определим падающую и отраженную компоненты волны в конце линии.

( )пад 22 0

1 1 1

2I a U

Z Z

= +

, ( )отр 2

2 0

1 1 1

2I a U

Z Z

= −

.

Выражение для коэффициента отражения по току примет вид: ( )( )

отр 0 2i u

пад 0 2

I a Z ZR R

I a Z Z

−= = = −+

.

В случае, когда 2 0Z = – длинная линия является короткозамкнутой. При этом, u 1R = − , а

i 1R = , напряжение будет равно нулю, а ток имеет максимальное значение (режим короткого

замыкания). Если 2Z = ∞ – длинная линия работает на холостом ходе. При этом, u 1R = , а i 1R = − ,

ток будет равен нулю, а напряжение имеет максимальное значение (режим холостого хода). Если

2 0Z Z= – согласованный режим работы линии. При этом u i 0R R= = , энергия волны передается

через линию без потерь.

8 лекция Волновое сопротивление длинной линии.

Волновое сопротивление zoj0 00 0

0 0

j

j

R LZ Z e

G Cϕ+ ω= =

+ ω.

Волновое сопротивление не зависит от длины линии, а определяется её первичными параметрами. Определим модуль и аргумент волнового сопротивления соответственно:

( )( )

220 0

40 220 0

R LZ

G C

+ ω=

+ ω, 0 0

zo0 0

1arctg arctg

2

L C

R G

ω ωϕ = −

.

Построим графическую зависимость ( )0Z ω и ( )zoϕ ω . Для всех реально существующих

линий 0 0

0 0

R L

G C> , поэтому:

√LC

00

Z0( )ω

ω

ω√R00G

ϕ ω( )z0ωm

ϕm

0

0

Самостоятельно определить ωm! Ответ: 0 0m

0 0

R G

L Cω = .

Используя уравнения передачи вида: 2 01 2 0 0ch shU U a I Z a= γ + γ , 2

1 2 0 00

ch shU

I I a aZ

= γ + γ ,

определим напряжение и ток в начале линии при согласованном режиме, когда 2 0Z Z= , где 2Z –

сопротивление нагрузки: 2 21 2 0 0ch shU U a I Z a= γ + γ , 2

1 2 0 02

ch shU

I I a aZ

= γ + γ ,

1 2 20 0ch shU U a U a= γ + γ , 1 2 20 0

ch shI I a I a= γ + γ ,

( )1 2 0 0ch shU U a a= γ + γ , ( )1 2 0 0

ch shI I a a= γ + γ .

Поскольку 0 0

0

e ech

2

a a

aγ −γ+γ = ,

0 0

0

e esh

2

a a

aγ −γ−γ = , тогда 0

0 0ch sh e

aa a

γγ + γ = .

Окончательно получим: 01 2e

aU U

γ= , 01 2e

aI I

γ= .

Из последних уравнений легко определить напряжение и ток в конце линии: 02 1e

aU U

−γ= , 0

2 1ea

I I−γ= . Напряжение и ток в любой точке линии при согласованном режиме определяются:

( ) 01e

xU x U

−γ= , ( ) 01e

xI x I

−γ= .

Коэффициент распространения. Способ определения первичных параметров

Коэффициент распространения: ( ) ( ) oj0 0 0 0 00

j j e jR L G C γϕγ = + ω ⋅ + ω = γ = α + β , откуда

( )0 γocosα = γ ϕ – коэффициент ослабления, ( )0 osin γβ = γ ϕ – коэффициент фазы.

Определим модуль и аргумент коэффициента распространения соответственно:

( )( ) ( )( )2 22 240 0 0 0 0R L G Cγ = + ω ⋅ + ω ,

o

0 0γ

0 0

1arctg arctg

2

L C

R G

ω ωϕ = +

.

Построим графическую зависимость ( )0γ ω и ( )γoϕ ω .

ϕ ω( )γ0γ ω( )0

√R0 0G

0 0 ωω

π2

При согласованном режиме ( ) 01e

xU x U

−γ= , ( ) 01e

xI x I

−γ= , отсюда: ( ) ( )0 ( j )11 e ex xU I

U x I xγ α+ β= = = .

Пусть u1j1 1eU U ϕ= , i1j

1 1eI I ϕ= , ( ) ( ) uxjeU x U x ϕ= , ( ) ( ) ixjeI x I x ϕ= , тогда

( )( )

( )( )u1 ux i1 ixj j j1 1e e e ex xU I

U x I xϕ −ϕ ϕ −ϕ α β= = , следовательно

( ) ( )1 1 e xU I

U x I xα= = , ( ) ( )u1 ux i1 ixj j je e e xϕ −ϕ ϕ −ϕ β= = , откуда определяем:

( ) ( )1 1ln ln

U I

U x I xα = =

Нп

м

, либо ( ) ( )1 120lg 20lg

U I

U x I xα = =

Дб

м

.

u1 ux i1 ixxβ = ϕ − ϕ = ϕ − ϕ , для линии длинной 1мx = , получаем u1 ux i1 ixβ = ϕ − ϕ = ϕ − ϕ рад

м

.

Рассмотрим способ определения первичных параметров по известным вторичным параметрам.

Так как ( ) ( )0 0 0 00j jR L G Cγ = + ω ⋅ + ω , 0 0

00 0

j

j

R LZ

G C

+ ω=+ ω

, то 0 0 00jZ R Lγ = + ω , 1

0 0 00jZ G C−γ = + ω .

Таким образом: ( )00 0ReR Z= γ , ( )00 0

1ImL Z= γ

ω, ( )1

00 0ReG Z −= γ , ( )1

00 0

1ImC Z −= γ

ω.

Входное сопротивление длинной линии Входное сопротивление вхZ линии определяется отношением напряжения и тока в начале

линии. Определим входное сопротивление с помощью уравнений передачи:

2 0 2 2 2 021 0 0 0 0вх

21 22 0 0 2 20 0

0 0

ch sh ch sh

ch sh ch sh

U a I Z a I Z a I Z aUZ

UI ZI a a I a I aZ Z

γ + γ γ + γ= = =

γ + γ γ + γ

, после преобразований

2 00 0вх 0

0 20 0

ch sh.

ch sh

Z a Z aZ Z

Z a Z a

γ + γ=

γ + γ

Рассмотрим частные случаи режима работы линии. 1. При согласованном режиме работы 2 0Z Z= , тогда входное сопротивление линии равно

волновому сопротивлению: вх 0Z Z= .

2. В режиме короткого замыкания 2 0Z = , тогда 0 0

вх вх. кз 0 0 00 0

shth

ch

Z aZ Z Z Z a

Z a

γ= = = γ

γ.

3. В режиме холостого хода 2Z = ∞ , тогда вх вх. хх 0 0cthZ Z Z a= = γ .

На практике удобно входное сопротивление линии выражать через параметры холостого хода и короткого замыкания, то есть вх. ххZ и вх. кзZ .

2 0 2 0 2 0 2 000 0 0 0 0 0вх 0

2 2 20 2 00 0 00 0

0 0 0 0

ch sh ch th th th

ch sh ch 1 th 1 th 1сth

Z a Z a a Z Z a Z Z a Z Z aZZ Z

Z Z ZZ a Z a Z a a aZ Z Z a

γ + γ γ + γ + γ + γ= = ⋅ ⋅ = =

γ + γ γ + γ + γ +γ

,

2 вх. кз 2 вх. кзвх вх. хх

2 2 вх. хх

вх. хх

.1

Z Z Z ZZ Z

Z Z ZZ

+ += =

++

Представим зависимость модулей сопротивлений XX и КЗ от длины линии и зависимость модуля

вхZ от частоты при несогласованной нагрузке. |Zвх|

|Z0|

a0

|Zвх|

ω0

|Z0|

√RG

00

√L00G

Выводы: 1. Колебательный характер входного сопротивления при несогласованном режиме объясняется наличием в линии падающих и отраженных волн. 2. При изменении частоты и длины линии изменяется фаза отраженной волны. 3. Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения совпадают по фазе (отраженная

и падающая волна тока находятся в противофазе), то 1maxвх max

1min

UZ

I= .

4. Если в начале линии отраженная и падающая волна напряжения находятся в противофазе

(отраженная и падающая волна тока совпадают по фазе), то 1minвх min

1max

UZ

I= .

Линия без потерь. Согласованный режим. Линия без потерь – это линия, у которой рассеяние энергии отсутствует, то есть 0 0 0R G= = .

Определим коэффициент распространения линии без потерь:

( ) ( ) 20 0 0 0 0 0 0 00

j j j jR L G C L C L Cγ = + ω ⋅ + ω = α + β = −ω = ω .

Отсюда коэффициент ослабления 0α = , а коэффициент фазы 0 0L Cβ = ω линейно зависит от

частоты. Из курса физики известно, что длина волны λ – расстояние между двумя точками, взятыми в направлении распространения волны, фазы в которых отличаются на 2π, то есть

2βλ = π , откуда 2πλ =β

. Используя уравнения передачи общего вида:

2 01 2 0 0ch shU U a I Z a= γ + γ , 2

1 2 0 00

ch shU

I I a aZ

= γ + γ , поскольку 0

jγ = β , имеем

( )0

ch ch j cosa a aγ = β = β , и ( )0

sh sh j jsina a aγ = β = β .

Уравнения передачи для линии без потерь выглядят в виде:

2 01 2 cos j sinU U a I Z a= β + β , 21 2

0

cos j sinU

I I a aZ

= β + β .

Для произвольной точки линии без потерь уравнения запишем в виде:

( ) 2 02 cos j sinU x U x I Z x= β + β , ( ) 22

0

cos j sinU

I x I x xZ

= β + β .

При согласованном режиме 2 0Z Z= , с учётом того, что 2 22U I Z= , получим

( ) ( ) ( )jj2 2 2cos jsin e e t xxU x U x x U U ω +ββ= β + β = = ,

( ) ( ) ( )jj2 2 2cos jsin e e t xxI x I x x I I ω +ββ= β + β = = .

Запишем уравнения для мгновенных значений напряжения и тока

( ) ( )2, sinu x t U t x= ω + β , ( ) ( )2, sini x t I t x= ω + β .

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии слева направо. В линии без потерь при согласованном включении существуют только падающие (бегущие) волны. Данный режим работы еще называют режимом бегущей волны.

u( , )x t 1

i( , )x t 1

x

U2

I2

00 x

9 лекция Линия без потерь. Режим короткого замыкания и холостого хода.

В режиме короткого замыкания 2 0Z = , поэтому 2 0U = .

( ) 2 0j sinU x I Z x= β , ( ) 2 cosI x I x= β .

Запишем выражения в мгновенной форме:

( ) 2 0, sin sin2

u x t I x tπ = ρ β ω +

, ( ) 2, cos sini x t I x t= β ω , где 0

00

L

Cρ = .

Так как 2πβ =λ

, амплитуда напряжения: ( ) 2 0

2sinU x I x

π= ρλ

, амплитуда тока: ( ) 2

2cosI x I x

π=λ

.

Определим входное сопротивление линии без потерь в режиме КЗ.

( )( )

0 2вх. кз 0

2

j sinj tg

cos

U x Z I xZ Z x

I x I x

β= = = ββ

.

В режиме холостого хода 2Z = ∞ , поэтому 2 0I = .

( ) 2 cosU x U x= β , ( ) 2

0

j sinU

I x xZ

= β , следовательно ( ) 2 cosU x U x= β , ( ) 2

0

sinU

I x x= βρ

.

Определим входное сопротивление линии без потерь в режиме ХХ.

( )( )

0 2вх. xx 0

2

cosj ctg

j sin

U x Z U xZ Z x

I x U x

β= = = − ββ

.

Линия без потерь. Смешанный режим

Рассмотрим работу линии без потерь, если 2 0Z Z> . Данный режим работы называется смешанным, то есть одновременно наблюдается режим бегущей волны и режим стоячей волны. Для оценки близости к режиму бегущей волны вводят коэффициент бегущей волны (КБВ):

( )( )

( ) ( )( ) ( )

пад отр umin

umax пад отр

1

1

U x U x RU xКБВ

U x U x U x R

− −= = =

+ +

Иногда на практике используют коэффициент стоячей волны (КСВ).

( )( )

( ) ( )( ) ( )

пад отр umax

umin пад отр

1

1

U x U x RU xКCВ

U x U x U x R

+ += = =

− −.

Область изменения данных коэффициентов: 0 1КБВ≤ ≤ , 1 КСВ≤ ≤ ∞ . Если 0КБВ = , КCВ = ∞ – стоячая волна, если 1КБВ = , 1КCВ = – бегущая волна.

Ранее было показано, что 2 0u

2 0

Z ZR

Z Z

−=+

– комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Следовательно: u 0

u 2

1 | |

1 | |

R ZКБВ

R Z

−= =

+, u 2

u 0

1 | |

1 | |

R ZКCВ

R Z

+= =

−.

Четвертьволновый трансформатор сопротивлений. Важным в теории цепей с распределёнными параметрами является вопрос согласованного

включения отрезков линии без потерь с разными волновыми сопротивлениями. Хорошее согласование обеспечивает так называемый четвертьволновой трансформатор сопротивлений.

Уравнения передачи определяются в следующем виде: 2 0j4

U I Zλ =

, 2

0

j4

UI

Z

λ =

.

Входное сопротивление будем определять как: 2 22вх 0 0

22

14

4

UI

Z Z ZU Z

I

λ = = =λ

.

Определим величину волнового сопротивления согласующего участок линии. 2

вх 02

1Z Z

Z= , откуда 0 вх 2Z Z Z= .

Поскольку линии 1 и 2 имеют разные волновые сопротивления то для полного их согласования необходимо выполнить условия 2 02Z Z= и вх 01Z Z= . Таким образом, волновое сопротивление

согласующего участка должно быть равным: 0 01 02Z Z Z= .

Самостоятельно решить задачи! 1. Какой минимальной длины s надо взять отрезок линии без потерь с параметрами 0L и 0C ,

чтобы на частоте f получить из него индуктивность L?

Ответ: Короткозамкнутый отрезок длиной

0

0

0 0

arctg 2

2

CfL

Ls

f L C

π

=π

.

2. Линия без потерь с волновым сопротивлением 0ρ работает на нагрузку 2Z . Определите

первичные параметры четвертьволнового трансформатора, обеспечивающего согласование линии.

Ответ: 0 20 83 10

ZL

ρ=

⋅, 0 8

0 2

1

3 10C

Z=

⋅ ⋅ ρ.

Линия без искажений Линия не будет вносить искажений, если волновое сопротивление, коэффициент ослабления

и фазовая скорость не будут зависеть от частоты. Условие передачи сигнала в линии без искажений записывается через первичные параметры следующим образом:

0 0

0 0

R L

G C= – равенство Хевисайда.

Волновое сопротивление:

00

00 0 00

0 0 000

0

jj

jj

RL

LR L LZ

G C CGC

C

+ ω + ω = = =

+ ω + ω

,

00

00 0 00

0 0 000

0

1 jj

j1 j

LR

RR L RZ

G C GCG

G

+ ω + ω = = =

+ ω + ω

.

Вывод: волновое сопротивление не зависит от частоты. Коэффициент распространения:

0 0 0 00 0 0 0 0 00

0 0 0 0

j j j jR G R G

L C L C L CL C L C

γ = + ω + ω = + ω = + ω

.

Поскольку 0

jγ = α + β , то 0 00 0

0 0

C LR G

L Cα = = .

Используя равенство Хевисайда, 0 0R Gα = , 0 0L Cβ = ω .

Вывод: коэффициент ослабления не зависит от частоты.

Фазовая скорость. Ранее было показано, что фvω=β

, отсюда ф

0 0 0 0

1v

L C L C

ω= =ω

.

Вывод: фазовая скорость не зависит от частоты.

10 лекция Спектральные методы анализа нелинейных электрических цепей при гармоническом воздействии

НЭi t( )

u t( ) Пусть на вход нелинейной резистивной цепи, описываемой ВАХ ( )i u , действует

гармоническое напряжение: ( ) ( )m cosu t U t= ω + ϕ .

Требуется определить спектр отклика, то есть спектр тока ( )i t . Классический метод анализа

заключается прямой подстановкой ( )u t в ( )i u , но эта процедура является весьма громоздкой и

сложной. Существуют следующие часто применяемые методы определения спектрального состава тока.

• метод тригонометрических функций кратного аргумента • метод угла отсечки • метод трех и пяти ординат

Метод тригонометрических функций кратного аргумента. Этот метод применим в случае полиномиальной аппроксимации ВАХ. Рассмотрим

воздействие на нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого аппроксимирована полиномом:

( ) 20 1 2 ... n

ni u a a u a u a u= + + + + ,

гармонического колебания ( ) ( )m cosu t U t= ω + ϕ . Осуществляя прямую подстановку, получаем:

( ) ( ) ( ) ( )2 20 1 m 2 m mcos cos ... cos .n n

ni u a a U t a U t a U t= + ω + ϕ + ω + ϕ + + ω + ϕ

Понизим порядок данного полинома через тригонометрические функции кратных

аргументов, полагая tα = ω + ϕ . Так как 2 1 cos 2cos

2

+ αα = , то

3 1 cos 2 1 1cos cos cos cos 2 cos

2 2 2

+ α α = α = α + α α

.

Учитывая, что ( ) ( )( )1cos cos cos cos

2a b a b a b= − + + имеем:

( )3 1 1 3 1cos cos cos cos3 cos cos3

2 4 4 4α = α + α + α = α + α .

По аналогии можно получить: 4 3 1 1

cos cos 2 cos 48 2 8

α = + α + α , 5 5 5 1cos cos cos3 cos5

8 16 16α = α + α + α .

Для тока выражение приобретает вид (ограничимся 6 слагаемыми):

( ) 2 30 1 m 2 m 3 m

4 54 m 5 m

1 cos 2 3 1cos cos cos3

2 4 4

3 1 1 5 5 1cos 2 cos 4 cos cos3 cos5 .

8 2 8 8 16 16

i a a U a U a U

a U a U

+ α α = + α + + α + α +

+ + α + α + α + α + α

Приводим подобные слагаемые:

( ) 2 4 3 5 2 40 2 m 4 m 1 m 3 m 5 m 2 m 4 m

3 5 4 53 m 5 m 4 m 5 m

1 3 3 5 1 1cos cos 2

2 8 4 8 2 2

1 5 1 1cos3 cos 4 cos5 .

4 16 8 16

i a a U a U a U a U a U a U a U

a U a U a U a U

α = + + + + + α + + α +

+ + α + α + α

Спектральный состав тока можно записать в виде:

( ) 0 1 2 3 4 5cos cos 2 cos3 cos 4 cos5i I I I I I Iα = + α + α + α + α + α ,

где амплитуды гармоник определяются как: 2 4

0 0 2 m 4 m

1 3

2 8I a a U a U= + + , 3 5

1 1 m 3 m 5 m

3 5

4 8I a U a U a U= + + ,

2 42 2 m 4 m

1 1

2 2I a U a U= + , 3 5

3 3 m 5 m

1 5

4 16I a U a U= + , 4

4 4 m

1

8I a U= , 5

5 5 m

1

16I a U= .

Спектр тока является линейчатым, постоянная составляющая и амплитуды чётных гармоник определяются только чётными степенями полинома.

I0

I1

I2I3

I4 I50 2α 3α 4α 5αα ωt

I

Метод угла отсечки

Данный метод применяется при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ. Рассмотрим воздействие вида ( ) m cosu t U t= ω на нелинейный элемент, ВАХ которого аппроксимирована

кусочно-линейной функцией.

Применяя метод проекций, удобно сначала, определить ток, которой бы получился в случае линейной характеристики прибора с крутизной S. Поскольку нелинейный элемент работает с отсечкой, то только заштрихованная часть напряжения участвует в создании тока. Получившиеся импульсы характеризуются следующими величинами:

Угол отсечки θ – часть периода, в течении которого ток изменяется от максимального до нулевого значения. Максимальное значение тока – maxI .

В интервале 0 t≤ ω ≤ θ ток отличен от нуля и принимает следующее значение:

( ) ( )cos cos cos cosi t KN MN I t I I t= − = ω − θ = ω − θ .

Максимальное значение тока наблюдается в точке 0, то есть

( ) ( )max m1 cos 1 cosI I SU= − θ = − θ .

Периодическая последовательность импульсов ( )i t представляется в виде ряда Фурье:

( ) 0 1 2cos cos 2 ... cos .ni t I I t I t I n t= + ω + ω + + ω

Откуда спектральные составляющие определяются как:

( ) ( )0 m 0

1

2I i t d t SU

θ

−θ

= ω = η θπ ∫

, ( ) ( )1 m 1

1cosI i t td t SU

θ

−θ

= ω ω = η θπ ∫

,

( ) ( )m

1cos , 2, 3, 4...n nI i t n td t SU n

θ

−θ

= ω ω = η θ =π ∫

где ( ) ( )0

1sin cosη θ = θ − θ θ

π, ( ) ( )1

1sin cosη θ = θ − θ θ

π, ( ) ( )2

2 sin cos cos sin

1n

n n n

n n

θ θ − θ θη θ = ⋅π −

.

Метод пяти ординат Данный метод позволяет определить спектральный состав тока, состоящий из постоянной

составляющей и амплитуд первых четырёх гармоник.

Ток в нелинейном элементе описывается уравнением вида:

( ) 0 1 2 3 4cos cos 2 cos3 cos 4i t I I t I t I t I t= + ω + ω + ω + ω , где 2

T

πω = .

Учитывая тот факт, что при 0, , , ,6 4 3 2

T T T Tt = ток приобретает значения max 1 0 2 min, , , ,i i i i i

соответственно, получим следующую систему из 5 алгебраических уравнений: ( )

( )( )

( )( )

max 0 1 2 3 4

1 0 1 2 3 4

0 0 2 4

2 0 1 2 3 4

min 0 1 2 3 4

1 ,

1 1 12 ,

2 2 23 ,

1 1 14 ,

2 2 25 .

i I I I I I

i I I I I I

i I I I

i I I I I I

i I I I I I

= + + + +

= + − − −

= − +

= − − + −

= − + − +

Решим данную систему уравнений относительно неизвестных спектральных составляющих. Сложим и вычтем (1) и (5), получим:

max min 0 2 4

max min 1 3

2 2 2

2 2

i i I I I

i i I I

+ = + +− = +

Сложим и вычтем (2) и (4), получим:

1 2 0 2 4

1 2 1 3

2 ,

2 .

i i I I I

i i I I

+ = − −− = −

Из последнего уравнения, определяя 1 1 2 32I i i I= − + , имеем:

( ) ( )max min 1 2 3 3 1 2 32 2 2 2 6i i i i I I i i I− = − + + = − + , откуда

( )( )3 max min 1 2

12

6I i i i i= − − − – третья гармоника тока.

Далее ( )( ) ( ) ( )1 1 2 max min 1 2 max min 1 2

1 1 12 2

6 3 3I i i i i i i i i i i= − + ⋅ − − − = − + − .

Преобразуя последнее выражение, получим:

( )1 max min 1 2

1

3I i i i i= − + − – первая (основная) гармоника тока.

Из (3) 0 0 2 4I i I I= + − , учитывая, что max min 0 2 42 2 2i i I I I+ = + + получим:

( )max min 0 2 4 2 4 0 22 2 2 2 4i i i I I I I i I+ = + − + + = + , откуда

( )2 max min 0

12

4I i i i= + − – вторая гармоника тока.

Поскольку 1 2 0 2 42 ,i i I I I+ = − − 0 0 2 4I i I I= + − , имеем:

( )1 2 0 2 4 2 4 0 2 42 2 3i i i I I I I i I I+ = + − − − = + − .

Подставляя 2I в явном виде, получим:

( )1 2 0 max min 0 4

12 2 3

4i i i i i i I+ = + + − − , откуда

( )( )4 max min 1 2 0

14 6

12I i i i i i= + − + + – четвёртая гармоника тока.

Определим постоянную составляющую тока, так как 0 0 2 4I i I I= + − , то

( ) ( )( )0 0 max min 0 max min 1 2 0

1 12 4 6

4 12I i i i i i i i i i= + + − − + − + + ,

откуда окончательно имеем:

( )( )0 max min 1 2

12

6I i i i i= + + + – нулевая (постоянная) гармоника тока.

Таким образом, мы определили все спектральные составляющие тока в нелинейном элементе. Построение спектра осуществляется в следующем виде:

I0

I1

I2I3

I4 I50 2ω1 3ω1 4ω1 5ω1ω1 ω

I

11 лекция Модуляция. Модулированные колебания

Модуляция – операция преобразования низкочастотного первичного сигнала в высокочастотный сигнал (переносчик), с сохранением содержащейся в нём информации.

Передача сигнала осуществляется высокочастотными модулированными колебаниями. В

одном периоде первичного сигнала 1 2

TF

π= =Ω

укладываются сотни, тысячи и более периодов

высокочастотного колебания 00 0

1 2T

f

π= =ω

. В общем случае модулированное высокочастотное

колебание описывается соотношением вида: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0cos cosu t U t t t U t t= ω + ∆ϕ + ϕ = ψ ,

где ( )U t и ( )tψ – амплитуда, мгновенная фаза сигнала, ( ) dt

dt

ψω = называют мгновенной

частотой колебания. Если закон изменения мгновенной частоты известен, то мгновенная фаза

колебаний определяется как: ( ) ( ) 0

0

t

t t dtψ = ω + ϕ∫ , где 0ϕ – начальная фаза колебаний.

Модуляция обычно заключается в пропорциональном первичному сигналу ( )x t изменении

параметра переносчика. Отсюда имеем следующие виды модуляций: Амплитудная модуляция (АМ) – состоит в пропорциональном первичному сигналу

изменении амплитуды переносчика ( )АМ 0U U ax t= + . В результате получаем АМ колебание:

( ) ( )( ) ( )АМ 0 0 0cosu t U ax t t= + ω + ϕ .

В простейшем случае, когда ( ) cosx t X t= Ω имеем следующее модулированное колебание:

( ) ( ) ( )АМ 0 0 0cos cosu t U aX t t= + Ω ω + ϕ .

UΩ

t

uАМ( )t

U0

0

Амплитудно-модулированное колебание

0

Um

UΩ= – коэффициент модуляции.

Отношение амплитуды огибающей к амплитуде несущего (немодулированного) колебания называют коэффициентом модуляции m.

Коэффициент модуляции, выраженный в процентах, называют глубиной модуляции. Коэффициент модуляции пропорционален амплитуде модулирующего сигнала.

( ) ( ) ( )АМ 0 0 01 cos cosu t U m t t= + Ω ω + ϕ , где 0

Um

UΩ= , а U aXΩ = .

Определим спектр АМ колебания:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )АМ 0 0 0 0 0 0 0 0 0cos cos cos2 2

m mu t U t U t U t= ω + ϕ + ω + Ω + ϕ + ω − Ω + ϕ .

U0

mU0 2

mU0 2

ω −Ω0 ω +Ω0ω0

U

ω

Спектр АМ колебания, модулированного гармоническим сигналом с частотой Ω

Фазовая модуляция (ФМ) – заключается в пропорциональном первичному сигналу x(t)

изменении фазы переносчика ( )0 ax tϕ = ϕ + .

Частотная модуляция (ЧМ) заключается в пропорциональном первичному сигналу изменении мгновенной частоты переносчика ( )0 ax tω = ω + .

Нелинейные модуляторы Амплитудную модуляцию можно осуществить в нелинейных цепях. Наиболее широкое

распространение получили такие устройства как нелинейные модуляторы. Представим его схему. В качестве нелинейного элемента применяется диод.

e2( )t

e1( )t

D

CL

Rэкв uвых( )t

( )1 1 0cosu t U t= ω – высокочастотное напряжение, ( )2 2 cosu t U t= Ω – низкочастотное напряжение.

ВАХ диода D аппроксимируем полиномом второй степени: ( ) 20 1 2i u a a u a u= + + .

Если экR меньше сопротивления диода, то общее напряжение:

( ) ( ) ( )1 2 1 0 2cos cosu t u t u t U t U t= + = ω + Ω .

Подставим это напряжение в ВАХ, тогда получим:

( ) ( ) ( )2

0 1 1 0 2 2 1 0 2cos cos cos cosi t a a U t U t a U t U t= + ω + Ω + ω + Ω .

Представим спектр тока:

ω −Ω0 ω +Ω0

ω0

I

ωω −2Ω0ω +2Ω0Ω 2Ω 2ω0

0

Для получения АМ колебания нужно из всего спектра выделить компоненты с частотами:

0 0 0, ,ω ω − Ω ω + Ω .

Это достигается настройкой колебательного контура на резонансную частоту 0ω .

Составляющие тока с частотами, близкими к 0ω , определяются как:

( )0 1 1 0 2 1 2 0cos cos cosi t a U t a U U t tω = ω + Ω ω .

Если ( )0 0 0

эк эк, ,Z R

ω=ω ω −Ω ω +Ωω = , а для остальных частот ( )эк 0Z ω ≈ , то на контуре получим АМ

напряжение вида: ( ) ( )0

2 2вых эк 1 эк 1 0

1

21 cos cos

a Uu t i t R a R U t t

aω

= = + Ω ω

.

Запишем в компактном виде: ( ) ( )вых вых 01 cos cosu t U m t t= + Ω ω ,

где вых 1 эк 1U a R U= , 2 2

1

2a U

ma

= .

Вывод: коэффициент модуляции m напряжения тем больше, чем сильнее нелинейность характеристики, определяемая 2a , и амплитуда низкочастотного сигнала 2U .

Классификация цепей с обратной связью. Виды соединений. Передача электромагнитной энергии с выхода устройства обратно к его входу, называется

обратной связью (ОС). ОС классифицируются по следующим признакам:

1. по характеру связи – положительной (ПОС), отрицательной (ООС) и комплексной; 2. по структуре – внешней и внутренней; 3. по характеру реализующих её элементов – активной и пассивной, линейной и нелинейной;

Как правило, цепь с обратной связью содержит два четырёхполюсника. Первый из них представляет собой основную цепь (усилитель) с коэффициентом передачи ( )УK p . Второй

представляет цепь ОС, как правило, пассивной, с коэффициентом передачи ( )ОСK p .

Рассмотрим способы проектирования ОС: а) последовательный по напряжению

Uвх

Zи

E

Uвых

I2I1U1

Uос Kос

Kу

Zн

б) параллельной по напряжению в) последовательной по току Построить схемы самостоятельно! г) параллельной по току

Коэффициент передачи цепи с ОС Рассмотрим схему цепи с ОС с последовательным по напряжению способом включения и

определим её коэффициент передачи ( )K p .

Uвых( )p

U1( )p

Uос( )p Hос

Hу

K( )p

Uвх( )p

Операторное напряжение на входе определяется уравнением вида: ( ) ( ) ( )вх 1 ОСU p U p U p= − ,

где ( ) ( )( )

вых1

У

U pU p

H p= , ( ) ( ) ( )ОС ВЫХ ОСU p U p H p= ⋅ .

После подстановки получаем: ( ) ( ) ( ) ( )выхвх вых ОС

У

UU p U p H p

H p= − ⋅ ,

преобразовывая, получаем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

ОС Увх вых ОС вых

У У

11 H p H pU p U p H p U p

H p H p

− ⋅= ⋅ − = ⋅

.

Операторный коэффициент передачи цепи с ОС определяется как:

( ) ( )( )

( )( ) ( )

вых У

вх ОС У1

U p H pH p

U p H p H p= =

− ⋅.

Переходя от переменной p к jω, получаем КПФ вида: ( ) ( )( ) ( )У

ОС У1

HH

H H

ωω =

− ω ⋅ ω,

где ( )УH ω – КПФ усилителя, ( )ОСH ω – КПФ пассивной цепи ОС.

Произведение ( ) ( ) ( )ОС У pH H Hω ⋅ ω = ω – КПФ цепи с ОС, при условии, что ОС разорвана.

( )pH ω – петлевое усиление. Отметим, что если напряжение на выходе устройства совпадает по

фазе с напряжением обратной связи, то такая связь считается положительной (ПОС). В противном случае имеет место отрицательная ОС (ООС). При ПОС петлевая функция располагается в правой части комплексной полуплоскости, при ООС – в левой части. ПОС может являться причиной неустойчивости цепи, то есть в том случае, когда ( ) 1pH ω = , значение коэффициента передачи

устройства стремится к бесконечности. То есть при очень малых амплитудах входного воздействия, выходное напряжение неограниченно возрастает. В этом случае наступает так называемый режим самовозбуждения. Поэтому при проектировании цепей с ОС важно исследовать их на устойчивость.

12 лекция Устойчивость цепи ОС

Введём понятие устойчивой и неустойчивой цепи. Если свободные колебания с течением времени стремятся к нулю, то цепь устойчива. В противном случае – неустойчива. Иными словами, если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то цепь является устойчивой, если в правой – неустойчивой, то есть находится в режиме самовозбуждения. Однако вывод характеристического уравнения является трудоёмкой процедурой для цепей более высокого порядка. Введение понятия ОС облегчает вывод характеристического уравнения, а в некоторых случаях даёт возможность обойтись без него.

Рассмотрим последний рисунок. Пусть ( )вх 0U p = , то следует ( ) ( )ОС У1 0H p H p− =

Пусть коэффициенты передачи описываются следующими дробно-рациональными

функциями: ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )1 2

У ОС

1 2

,w p w p

H p H pv p v p

= = .

Далее имеем: ( )( )

( )( )

1 2

1 2

1 0w p w p

v p v p− ⋅ = ,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2

1 2

0v p v p w p w p

v p v p

−= ,

откуда последнее равенство выполняется в том случае, если: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0v p v p w p w p− = .

Так как последнее выражение представляет собой полином, то его запишем в более общем виде: 1

1 1 0... 0m mm mb p b p b p b−

−+ + + + = .

Это есть характеристическое уравнение цепи. Корни этого уравнения в общем случае являются комплексными величинами. Чтобы напряжение на выходе устройства не возрастало неограниченно необходимо, чтобы действительная часть корней была отрицательной. Цепь, обладающая такими свойствами, является абсолютно устойчивой.

При проектировании цепей с ОС возникает две проблемы. Если проектируемая цепь должна быть устойчивой, необходимо обладать критерием, который по виду петлевой функции позволял бы судить об отсутствии корней в правой полуплоскости. Если проектируемая цепь ОС используется для создания неустойчивой цепи, то следует убедиться, что корни располагаются в левой плоскости. При этом необходимо иметь такое расположение корней, при котором самовозбуждение происходило бы на требуемой частоте.

Критерий устойчивости Рауса-Гурвица Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz), 26 марта 1859, Хильдесхайм — 18 ноября 1919, Цюрих) — немецкий математик Раус Эдвард Джон (1831 - 1907) - английский ученый и педагог

Это алгебраический критерий устойчивости, который по значениям коэффициентов

1 1 0, , ..., ,m mb b b b− характеристического уравнения 11 1 0... 0m m

m mb p b p b p b−−+ + + + = , без определения

его корней, узнать является ли исследуемая цепь устойчивой. Определение: Цепь с ОС является устойчивой, если полином характеристического

уравнения, является полиномом Гурвица. Для того, чтобы многочлен 1

1 1 0... 0m mm mb p b p b p b−

−+ + + + = являлся полиномом Гурвица,

необходимо и достаточно, чтобы определитель Рауса-Гурвица 1mD − и все его главные миноры

принимали положительные значения.

1 3 5 7

2 4 8

1 3 51

2 4

0

0

0

0 0

0 0

0 0 0 0 0

m m m m

m m m m

m m mm

m m m

b b b b

b b b b

b b bD

b b b

b

− − − −

− − −

− − −−

− −

=

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

.

Проверим с помощью критерия Рауса-Гурвица устойчивость цепи с ОС характеристическое уравнение которой имеет вид: 4 3 23 4 6 2 0p p p p+ + + + = Составим определитель Рауса-Гурвица и определим его главные миноры. Порядок уравнения равен 4.

3

3 6 0 0

1 4 2 0

0 3 6 0

0 1 4 2

D

=

Главные миноры: 2

3 6 0

1 4 2

0 3 6

D

=

, 1

3 6

1 4D

=

, 0 3D =

1 12 6 6D = − = , ( ) ( )3 3 3 2

2

3 6 3 66 1 2 1 6 6 2 9 18

1 4 0 3D

+ + = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =

( )4 4

3

3 6 0 03 6 0

1 4 2 02 1 1 4 2 2 18 36

0 3 6 00 3 6

0 1 4 2

D+

= = ⋅ − ⋅ = ⋅ =

.

Видно, что определитель и все его главные миноры положительные, следовательно цепь является устойчивой.

Критерий устойчивости Найквиста Гарри Найквист (англ. Harry Nyquist; 7 февраля 1889, Нильсби, Швеция — 4 апреля 1976, Фарр, Техас) — один из пионеров теории информации

Данный критерий позволяет судить об устойчивости цепи с ОС по свойствам разомкнутой цепи.

Uвых( )p

Uос( )p Hос( )p

Hу( )pUвх( )p+

−

−

+

+

−

Из уравнения ( ) ( )ОС У1 0H p H p− = видно, что передаточная функция разорванной цепи

(петлевая функция усиления) ( ) ( ) ( )ОС У пH H Hω ⋅ ω = ω определяется как: ( )п1 0H− ω = .

Если найдется такая частота, для которой конец вектора ( )пH ω попадет в точку ( )1,0 j , то на этой

частоте возникнет режим самовозбуждения. Определение: если годограф (кривая, которую описывает конец вектора ( )пH ω при изменении

частоты ω) петлевой функции не охватывает точку с координатами ( )1,0 j , то при замкнутой цепи

ОС цепь является устойчивой. На рисунке

Im(Hп( )ω )

Re(Hп( )ω )(1, 0)

3

21

показаны годографы трёх цепей с положительной обратной связью (годографу устойчивой цепи соответствует кривая 1).

Так как ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )OC Уjп ОС У eH H H ϕ ω +ϕ ωω = ω ω , то имеем следующие условия

самовозбуждения цепи с ОС.

1. Баланс фаз ( ) ( )OC У 2 nϕ ω + ϕ ω = π , где 0,1, 2, ...n =

2. Баланс амплитуд ( ) ( )ОС У 1H Hω ω = .

При ( ) ( )ОС Г У Г 1H Hω ω > наступает процесс нарастания колебаний

Баланс фаз позволяет определить частоту генерирующих колебаний, а баланс амплитуд – величину выходного напряжения (генерируемого колебания).

Критерий устойчивости Михайлова Михайлов, Александр Иванович (1905—1988) — русский/советский инженер, информатик,

Пусть характеристическое уравнение вида ( ) 11 1 0... 0m m

m mv p b p b p b p b−−= + + + + = (полином

Гурвица степени m) имеет n пар комплексно-сопряжённых корней *j , js s s s s sp p= −α + ω = −α − ω

и 2m n− – вещественных корней k kp = −α . Тогда полином Гурвица ( )v p можно представить в

виде: ( ) ( )( ) ( )2

*

1 1

n m n

s s ks k

v p p p p p p p−

= =

= − − ⋅ −∏ ∏ .

Далее преобразуем: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2

1 1

j jn m n

s s s s ks k

v p p p p−

= =

= − −α + ω − −α − ω ⋅ + α∏ ∏ .

Далее ( ) ( ) ( )2

2

1 1

n m n

s s ks k

v p p c p d p−

= =

= + ⋅ + ⋅ + α∏ ∏ , где 2s sc = α , 2 2s s sd = α + ω .

В последнем выражении, заменяя p на jω, получаем комплексную функцию:

( ) ( ) ( )2

2

1 1

j jn m n

s s ks k

v c d−

= =

ω = −ω + ω + ⋅ ω+ α∏ ∏ .

Определим аргумент комплексной функции: ( )( ) ( ) ( ) ( )2

1 1

argm n n

k sk s

v−

ν= =

ω = ϕ ω = ϕ ω + ϕ ω∑ ∑ ,

где ( ) arctg2

s ss

s s

d d

c d

π ω ϕ ω = + ⋅ − ω

, ( ) arctg kk

k

ωϕ ω =α

.

Определение: цепь с обратной связью будет устойчивой, если в интервале частот от 0 до ∞

аргумент комплексной функции ( )νϕ ω изменяется от 0 до 2

mπ. То есть иными словами, годограф

комплексной функции ( )v ω , будет последовательно обходить m квадрантов комплексной

плоскости в положительном направлении. На рисунке

ω=0 +

j

ω2

ω3

ω1

ω2 б

а

m=4

приведены годографы устойчивой – а, и неустойчивой – б цепи 4 порядка.

13 лекция Автоколебательные цепи

Автоколебательными называются активные электрические цепи, в которых без посторонних воздействий самостоятельно возникают электрические колебания (автоколебания).

Автогенераторы являются преобразователями энергии постоянного напряжения (тока) в энергию различной формы колебаний (гармонической, пилообразной и т. д.). Чтобы автогенераторы выполняли свои функции, состояние равновесия в них должно быть

неустойчивым, чтобы нарушение устойчивости заключалось в росте амплитуды колебаний, то есть самовозбуждении.

Активныйэлемент

Колебательнаясистема

Цепь обратнойсвязи

Нелинейный избирательный усилитель

LC-генератор с внешней обратной связью

CL R uкLос

Uпит

U0

бк

э

M

*

*iк

Напряжение обратной связи: ОС 0 БЭu U u= − . По I закону Кирхгофа: к R L Ci i i i= + + , либо записывая

через напряжения: ( )кк к к ОС

1 duu G u dt C i u

L dt+ + =∫ , где

1G

R= .

Поскольку кLdi

u Ldt

= , ОСLdi

u Mdt

= , то ОС к

Mu u

L= .

Продифференцировав уравнение Кирхгофа, получим дифференциальное уравнение вида: ( )2

к ОСк кк2

1 1 di ud u G duu

dt C dt LC C dt+ ⋅ + = ⋅ .

Определим производную в правой части уравнения ( ) ( )к ОС к ОС ОС

ОС

di u di u du

dt du dt= ⋅ .

( ) ( )к ОСОС

ОС

di uS u

du= – дифференциальная проводимость (крутизна ВАХ транзистора),

Поскольку ОС к

Mu u

L= , то ОС кdu M du

dt L dt= ⋅ . После подстановки получим:

( ) ( )к ОС кОС

di u M duS u

dt L dt= ⋅ .

Дифференциальное уравнение запишем в виде:

( )2

к кОС к2

10

d u G M duS u u

dt C LC dt LC + − + =

– нелинейное дифференциальное уравнение

Определим условие самовозбуждения генератора. Амплитуда нарастающих колебаний происходит на линейном участке ВАХ, поэтому ( )ОСS u S= .

2к к

к2

10

d u G SM duu

dt C LC dt LC + − + =

– линейное дифференциальное уравнение

Перепишем его в виде: 2

к кэ к2

12 0

d u duu

dt dt LC+ α + = , где э

1

2

G SM

C LC α = −

– эквивалентный

коэффициент затухания колебательного контура. Чтобы в контуре возникли нарастающие

колебания необходимо выполнить условие: э

10

2

G SM

C LC α = − <

.

Отсюда условие самовозбуждения (возникновение колебаний): LG

MS

> .

RC-генератор с внутренней обратной связью В RC-генераторах часто находит применение схема цепи обратной связи вида:

R1 C1

C2R2Uвых Uос

Определим выражение для передаточной функции:

( ) ( )2ОС 2 1

ОС 21 2вых 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

j

1 j

U Z R CH

U Z Z C R C R C R C R C R

ωω = = =+ −ω + + ω + +

,

где 1 11

1

jZ R

C= +

ω, 2

22 2j 1

RZ

C R=

ω +.

После преобразований: ( )ОС

2 11 2

1 2 2 1

1j

11 j

HC R

R CC R R C

ω =

+ + + ω − ω

.

В качестве усилителя в схеме автогенератора используется каскад на основе операционного

усилителя с коэффициентом передачи: 3 4У

3

R RH

R

+= .

+

−

UвыхUвх

R3 R4

ОУ

Таким образом, схема RC-генератора принимает вид:

+

−

Uвых

Uос

R3 R4

ОУ

R1C1C2R2

Из условия баланса фаз определяем частоту генерации:

1 22 1

10R C

R Cω − =

ω, отсюда г

г

1 2 1 2

1

2 2f

R R C C

ω= =π π

.

Из условия баланса амплитуд определим необходимый коэффициент усиления ОУ для

возникновения колебаний: ( )У0 ОС г1 H H= ω , отсюда ( )2 1

У0ОС г 1 2

11

C RH

H C R= = + +

ω.