第３回 情報 科学 概論： 2 値論理計算

第３回情報科学概論： 2 値論理計算

2014 年 4 月 21 日田中美栄子

今回の目標

2 値情報を扱う基本となる理論（ブール代数）

から

アーキテクチャ（ハードウェアの実現）へ

10 進数・ 16 進数・ 2 進数　復習

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1010

1011

1100

1101

1110

1111

70

71

72

73

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75

10001

10010

10011

10100

10101

1000046

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40

符号化の話

• ASCII 符号 American Standard Code for Information Interchange

２進表示８進表示１６進表示１０進表示文字ビット組合せ

10000011014165Ａ4/1

ASCII コード

ASCII( American standard code for information interchange)

コンピュータその他の通信機器において最も

よく使われている文字コード

ASCII コード

10進 16進 文字

0 0x00 NUL（ null 文字 )

1 0x01SOH （ヘッダ開始）

2 0x02STX （テキスト開始）

3 0x03ETX （テキスト終了）

4 0x04 EOT（転送終了）

32 0x20 （スペース）

33 0x21 !

34 0x22 "

35 0x23 #

36 0x24 $

37 0x25 %

10進

16進 文字

65 0x41 A

66 0x42 B

67 0x43 C

68 0x44 D

69 0x45 E

70 0x46 F

71 0x47 G

「 ABC 」３文字はコンピュータ内部では(41 42 43) 16

「 123 」３文字は、 (31 32 33) 16

と表現さ れる。 • ASCII コード表で、 16 進で 00 から 1F

と 7F は、普通の文字ではなく、制御文字(control character, 制御コード )

• 0D (CR, Carriage Return) 復 帰 ( リ タ ーン )

漢字コード• JIS31 32 33 1B 24 42 34 41 3B 7A 1B 40 66 34 35

36 ：　　 1 2 3 ESC $ B 漢 字 ESC ( J D E F

• EUC　　　 31 32 33 B4 C1 BB FA 34 35 36　　　 A B C 漢 字 D E F• SJIS　　　 31 32 33 8A BF 8E 9A 34 35 36　　　 A B C 漢 字 D E F

• 英語圏の文字コードは１ Byte 言語– 1bit はパリティービットに使用する ( 誤り検

出用 )– 7bit で 128 種を扱う

• 日本語・中国語・ハングルは２ Byte 言語– 65536 種類の表記が可能– JIS X 0208 では記号も入れて 6879 文字を規

定

• つまり、ノイマン式コンピュータはいろいろな情報を 2 進数で記憶し、それらの演算をやっているだけなのである

• 演算は単純化される• 入力→演算→出力　を自動的に行う素子

で回路を組み立てる（論理回路）• すると、コンピュータができる

ブール代数： Boolean Algebra

• Boole さんの作った論理数学• 論理変数を扱う

– （真 / 偽の 2 値：１と 0 で代用する）• 基本演算は

①AND 　　② OR 　　③ NOT A B

A B

A B

• 論理演算の機能を持つ論理素子を使って，論理関数を回路で表現したものが論理回路

• ノイマン・コンピュータは基本的に論理回路で構成

①

②

③

基本論理演算• 論理積（乗法 AND ）　 x ･ y

– 2 変数がともに 1 の時，論理積は 1– 2 変数のいずれかが 0 の時，論理積は 0

• 論理和（加法 OR ） x+y– 2 変数のいずれかが 1 の時，論理和は 1– 2 変数がともに 0 の時，論理和は 0

• 論理否定（否定 NOT ） x– 変数が 0 の時，論理否定は 1– 変数が 1 の時，論理否定は 0

x y x+y

0 0 0

0 1 １

1 0 １

1 1 1

x x

0 １

１ ０

x y x ･ y

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

演算の優先順位は，否定，乗法，加法の順

真理値表論理変数の値とそれに対する論理関数の値の関係の表

x y x ･ y x+y x

0 0 0 0 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 1 1 0

(x+y) ･ (x+y) ・ x

複雑な論理演算も

組み合わせていけば

答えを求められる

ブール代数の定理

名称 AND形式 OR形式単位元則 x ･ 1=x x+0=x

零元則 x ･ 0=0 x+1=1

べき等則 x ･ x=x x+x=x

補元則 x ･ x=0 x+x=1

交換則 x ･ y=y ･ x x+y=y+x

結合則 (x ･ y) ･ z=x ･ (y ･z)

(x+y)+z=x+(y+z)

分配則 x+y ･ z=(x+y) ･(x+z)

x ･ (y+z)=x ･y+x ･ z

吸収則 x ･ (x+y)=x x+x ･ y=x

ド モルガン則･ x ･ y=x+y x+y=x ･ y

例題 1

分配則 x+y ･ z=(x+y) ･ (x+z) を真理値表で確かめよ

x y z y ･ z x+y x+z (x+y) ･ (x+z) x+y ･z

00001111

00110011

01010101

00010001

00111111

01011111

00011111

00011111

論理式の作り方

• 入力のすべての組み合わせのうち，出力が 1のものだけについて，入力が 1 のものはそのまま， 0 なら否定したものの積の式を書く．この式を最小項という．

• 最小項の論理和が求める論理式である．

すべての論理関数は，真理値表，論理式で表現できる．

論理式を回路で構成したものが論理回路（論理式と 1対 1 対応）

主加法標準形 or 積和標準形

例題 2

3 入力のうち，多数が 1 の時出力 1 となり，多数が 0 の時出力 0 となる多数決論理の論理式を書け

x y z f

00001111

00110011

01010101

00010111 x ･ y ･ z

x ･ y ･ z

x ･ y ･ z

x ･ y ･ z

f = x ･ y ･ z + x ･ y ･ z +　　　 x ･ y ･ z + x ･ y ･ z

演習問題

• 吸収則 x ･ (x+y)=x, x+x ･ y=x を真理値表で確かめよ

• 2 入力の比較器 (2 入力が同じなら 1 ，異なるなら 0 を出力 ) の真理値表と論理式を書け

演習問題 1

吸収則 x ･ (x+y)=x, x+x ･ y=x を真理値表で確かめよ

x y x+y x ･ (x+y) x ･ y x+x ･ y

0011

0101

0111

0011

0001

0011

演習問題 2

2 入力の比較器 (2 入力が同じなら 1 ，異なるなら 0 を出力 ) の真理値表と論理式を書け

x y f

0011

0101

1001

f = x ･ y+ x ･ y

x ･ y

x ･ y

x yx ･y

x ･y

x ･ y+ x ･y

f

0011

0101

1000

0001

1001

1001