Лекция №2 Механика Кинематика материальной точки 15/02/2014 Алексей Викторович Гуденко
Dec 30, 2015
Лекция №2 Механика
Кинематика материальной точки
15/02/2014
Алексей Викторович Гуденко
Кинематика
Ньютоновская (классическая) нерелятивистская механика.
Механическое движение. Кинематика точки. Основные понятия кинематики – путь,
перемещение, скорость, ускорение. Основная задача кинематики. Преобразование Галилея и закон сложения
скоростей. Примеры решения задач кинематики.
Демонстрации
Свободное падение тел в вакууме Жёлоб Галилея.
КинематикаОсновные понятия
Кинематика занимается описанием движения без выяснения причин, его вызывающих.
Система отсчёта: тело отсчёта + система координат + часы
Единица длины – метр (м); единица времени – секунда (с)
Модели: 1. материальная точка – тело, размерами которого при
описании движения можно пренебречь.2. абсолютно твёрдое тело – тело, деформациями
которого в условиях задачи можно пренебречь.
Классическая нерелятивистская механика – это механика макроскопических тел, движущихся с малыми скоростями.
Характерные скорости и массы
Скорость света: c = 300000 км/с = 3 108 м/с = 3 1010 см/с Скорость космического аппарата: v ~ 10 км/с. Скорость орбитального движения Земли: v ≈ 30 км/с. Погрешность: (v/c)2 ~ 10-9 ÷ 10-8
Протон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 1см/с;Электрон в ускорителе: Δv = |v –c| ~ 0,1мм/с – к таким частицам ньютоновская механика неприменима: Ускоритель рассчитывается по законам релятивистской механики.
Масса протона mp = 1,67 10-27 кг = 1,67 10-24 г Масса электрона me = 9,11 10-31 кг = 0,911 10-27 г
Природа квантовых флуктуаций – принцип неопределённости
Один из основополагающих законов физики - принцип неопределенности Гейзенберга: невозможно одновременно точно установить скорость частицы и ее положение.
Масштаб неопределённости: произведение неопределенности скорости ΔVx (импульса) частицы на неопределенность ее положения Δx должно всегда превышать очень маленькую величину, которая называется постоянной Планка.
Соотношение неопределённости Гейзенберга
Δx Δp ≥ h Δx Δv ≥ h/m (теория: Δx Δp ≥ ћ/2) h = 6,62 10-34 Дж с = 6,62 10-27 эрг с ћ = h/2π = 1,055 10-27 эрг с. m ~ 1г Δx Δv ≈ 1,055 10-27
Δx ~ 10-13 см; Δv ~ 10-13 см/c Для электрона: Δx Δv ~ 1(СГС)
– в атоме: Δx ~ 10-8 см; Δv ~ 108 см/c !!!– в электронно-лучевой трубке:
Δr ~ 0,1 мм = 10-2 см; Δv ~ 100 см/cU ~ 10 кВ v = 5 109 см/с; Δv/v = 10-7
Кинематики материальной точки
Описать движение материальной точки означает указать её положение в пространстве в любой момент времени, т.е. установить закон движения материальной точки.
координатный способ: x = x(t); y = y(t); z = z(t) – три степени свободы материальной точки
векторный способ: r = r(t) – радиус-вектор
Траектория движения тела – линия, которую описывает тело в процессе движения
Путь – длина траектории s. Перемещение – вектор, соединяющий
начальное положение точки с конечным: Δr = r – r0
Для малых перемещений Δr ≈ Δsττ – единичный вектор вдоль Δr
X
Y
xx0
y
y0
r0 r(t)
Δr
траектория
перемещение
X
Y
xx0
y
y0
r0 r(t)
Δr
траектория
перемещение
Скорость и ускорение
Скорость:v = dr/dt = τ ds/dt = vτ – скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения
Ускорение:a = dv/dt = d(vτ)/dt a = dv/dt τ + v2/R n
aτ = dv/dt – тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения величины скорости
an = v2/R – нормальная составляющая ускорения направлена по нормали в сторону вогнутости и характеризует быстроту изменения направления скорости. (R – радиус кривизны траектории).
Полное ускорение a2 = an
2 + aτ2
Скорость и ускорение
Y
an
aτ
av
v2
v1
Δv
v1
v2
Δvτrr + dr
dr = sτ
X
v Δvn
0
Уравнение движения с постоянным ускорением
a = const dv/dt = a v = v0 + at – закон изменения скорости
при равноускоренном движении dr/dt = v0 + at r = r0 + v0t +at2/2
s = r - r0 = v0t +at2/2 – закон равноускоренного
движения
Свободное падение
Все тела, независимо от их массы приобретают в гравитационном поле одинаковые ускорения (Галилей).
В поле тяжести Земли тела движутся с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2
V = V0 + gt r = r0 + v0t +gt2/2
Жёлоб Галилея и закон нечётных чисел
S1: S2: S3…= 1:3:5…
S = S1 + S2 + S3 + …= at2/2
Бросок под углом к горизонту
v0t sinα = gt2/2 время полётаt = 2v0sinα/g
Дальность полёта:s = Δr = v0tcosα = v0
2sin2α/g
Максимальная высота подъёма:h = gt2/8 = v0
2sin2α/2g
Радиус кривизны в верхней точке траектории:an = g = (v0cosα)2/r r = (v0cosα)2/g = 2hctg2α
Движение по окружности
ω = dφ/dt – угловая скорость. Вектор ω – направлен вдоль оси вращения по правилу буравчика.
ε = dω/dt - угловое ускорение v = [ωr] aτ = εr – тангенциальное ускорение;
an = ω2r = v2/r; an = -ω2r – центростремительное ускорение
T = 2π/ω – период обращения; f = 1/T – частота вращения.
Относительность движения Закон сложения скоростей
K′ поступательно движется относительно системы К r = r0 + r′
v = v0 + v′ классический (нерелятивистский) закон сложения скоростей:абсолютная скорость тела v равна векторной сумме относительной скорости v′ и переносной скорости v0 движущейся системы отсчёта
a = a0 + a′ a0 = 0 a = a′
при равномерном и прямолинейном движении СО относительно друг друга (v0 = const) ускорение тела в этих двух системах одинаково
r0
r
X
Y
X′
Y′
A
r′
K - системаK′ - система
O
O′
r0
r
X
Y
X′
Y′
A
r′
K - системаK′ - система
O
O′
Колесо
x = v0t + Rsinωty = R + Rcosωt
vx = x’ = v0 + ω Rcosωt = v0(1 + cosωt)vy = y’ = - ωRsinωt = - v0sinωt
Отсутствие проскальзывания: vx(φ = π) = 0 v0 = ωR
v2 = vx2 + vy
2 = 4v02cos2φ/2 v = 2v0cosφ/2 = ωDcosφ/2 =
ωAB радиус кривизны: a = a’ a = an = v0
2/R = (2v0)2/rкр rкр = 4R
Циклоида: x = R(φ + sinφ) y = R(1 + cosφ)
Радиус кривизны в вершине циклоиды: r = 4R
Тень бежит по скале: закон движения?
h(t) = R/cosφ – R ≈ R(1/(1 – ½φ2) – 1) ≈ φ2R/2 = ω2Rt2/2 = aэквt2/2
aэкв = ω2R = vэкв
2/R = 3,4 см/с2 h = 1 км
t = (2h/aэкв)1/2 ≈ 4 мин.
Примеры и задачи
Задача про колесо (№ 1.6) Задача про Лунную тень (№ 1.5) Венерианские сутки (№ 1.3) Скала на экваторе (1.12): за какое время километровая
скала на экваторе закроется тенью? Жёлоб Галилея(закон нечётных чисел): s1 : s2 : s3…=
1:3:5… Свободное падение: s = v0t + gt2/2: уравнение траектории;
время полёта; дальность полёта; максимальная высота, кривизна траектории (R = (x’2 + y’2)3/2/(x’y’’ – x’’y’) = (1 + y’2)3/2/y’’)
Стрелок и яблоко. Куда должен целиться стрелок, если яблоко отрывается в момент выстрела?
Эйнштейн о соотношении неопределённости
«Но ведь не гадает же господь Бог «орёл-решка», чтобы решить куда должен двигаться электрон!»
АльбеX рт ЭйнштеX йн (Albert Einstein) (1879 -1955)
физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики,
лауреат Нобелевской премии по
физике 1921 года.