1 02 Προτασιακός Λογισμός Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020 Module #1 - Logic 06-Feb-20 1 1 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Πέμπτη, 06/02/2020 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: [email protected]Module #1 - Logic 06-Feb-20 2 2 Προηγούμενη φορά… • Διαδικαστικά θέματα ΗΥ118 • Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά • Εισαγωγή στο ΗΥ118 • Επισκόπηση ερευνητικών ενδιαφερόντων • Θυμίζω: – http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118.html – http://users.ics.forth.gr/~argyros/cs118diary.html – Username: cs118 – Password: !dm20! Module #1 - Logic 06-Feb-20 3 3 Προτασιακός Λογισμός Module #1 - Logic 06-Feb-20 4 4 Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής Η Μαθηματική Λογική είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά να χειριστούμε σύνθετες προτάσεις. Περιλαμβάνει: – Μία τυπική γλώσσα για να τις εκφράζουμε. – Μία μεθοδολογία για να αποφασίζουμε σχετικά με το αν είναι αληθείς ή ψευδείς. Αποτελεί το θεμέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών!
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 1 1
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το
Η Μαθηματική Λογική είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά να χειριστούμε σύνθετες προτάσεις.
Περιλαμβάνει:– Μία τυπική γλώσσα για να τις εκφράζουμε.– Μία μεθοδολογία για να αποφασίζουμε σχετικά με το
αν είναι αληθείς ή ψευδείς.
Αποτελεί το θεμέλιο της έκφρασης τυπικών αποδείξεων σε όλους τους κλάδους των
μαθηματικών!
2
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 5 5
Θα μιλήσουμε για δύο συστήματα λογικής:
1. Προτασιακός λογισμός
2. Κατηγορηματικός λογισμός– (επεκτείνει τον 1. )
Πολλοί άλλοι “λογισμοί” υπάρχουν, αλλά μοιάζουν με τους δύο παραπάνω
Module #1 - Logic
06-Feb-20 6 6
Προτασιακός λογισμός
Ο Προτασιακός λογισμός είναι η λογική των σύνθετων προτάσεων οι οποίες δημιουργούνται από απλούστερες, χρησιμοποιώντας λογικές πράξεις.Μερικές άμεσες εφαρμογές στους υπολογιστές:
• Σχεδιασμός ψηφιακών κυκλωμάτων.• Έκφραση συνθηκών σε προγράμματα.• Ερωτήσεις σε βάσεις δεδομένων και μηχανές
αναζήτησης.• …
George Boole(1815-1864)
Χρύσιππος(280 – 206 π.Χ.)
Module #1 - Logic
06-Feb-20 7 7
Προτάσεις
Μία πρόταση είναι απλά μία δήλωση με κάποια οριστική σημασία και η οποία μπορεί να είναιείτε αληθής (T) είτε ψευδής (F)
– Δεν είναι ποτέ και τα δύο, ούτε κάπου “ανάμεσα”
– Ωστόσο, η τιμή αληθείας της δεν είναι απαραίτητο να μας είναι γνωστή…
Module #1 - Logic
06-Feb-20 8 8
Παραδείγματα προτάσεων
• “Μου αρέσει η rock μουσική”
• “Ο γάιδαρος πετάει”
• “Εχθές έβρεξε στη Νέα Υόρκη”
• “Η Αθήνα είναι η πρωτεύουσα της Ελλάδας, και 1 + 4 = 2.7”
• “2x2 = x2 + x2”
Αλλά οι ακόλουθες ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ προτάσεις:• “Ποιός είναι εκεί;” (ερωτηματική)
• “Φέρε μου ένα ποτήρι νερό” (προστακτική)
• “x := x+1” (προστακτική)
• “1 + 2” (ένας αριθμητικός όρος)
3
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 9 9
Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό
• Ατομικές: πχ, p = “Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός”
• Σύνθετες: χτίζονται από τις ατομικέςπροτάσεις χρησιμοποιώντας λογικούς τελεστές(π.χ., “Ονομάζομαι Αντώνης Αργυρός ΚΑΙείμαι πενήντα δύο ετών”)
Module #1 - Logic
06-Feb-20 10 10
Προτάσεις στον προτασιακό λογισμό
• Η λογική προσφέρει ορισμούς γι’ αυτούς τους τελεστές
• Επομένως, καθορίζει το νόημα των σύνθετων προτάσεων που δημιουργούνται με τη χρήση των τελεστών.
Module #1 - Logic
06-Feb-20 11 11
Ένας τελεστής συνδυάζει n το πλήθος εκφράσεις σε μία μεγαλύτερη έκφραση– π.χ., “+” στις αριθμητικές εκφράσεις
• Οι μοναδιαίοι τελεστές έχουν 1 όρισμα (π.χ., −3)
• Οι δυαδικοί τελεστές έχουν 2 ορίσματα (π.χ., 3+4)
• …
• Οι προτασιακοί τελεστές (Boolean operators) συνδέουν ένα πλήθος λογικών προτάσεων και όχι αριθμητικές εκφράσεις.
Τελεστές
Module #1 - Logic
06-Feb-20 12 12
Μερικοί προτασιακοί τελεστές
Ονομα Συντομ. Τύπος Σύμβολο
Άρνηση NOT Μον. ¬
Σύζευξη (ΚΑΙ) AND Δυαδ.
Διάζευξη (Ή) OR Δυαδ.
Αποκλειστική διάζευξη XOR Δυαδ.
«αν... τότε...» IMPLIES Δυαδ.
«αν και μόνο αν» IFF Δυαδ. ↔
4
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 13 13
Λογική άρνηση
Ο μοναδιαίος τελεστής άρνησης “¬” (NOT) μετασχηματίζει μία πρόταση στην άρνησή της.
Π.χ. Εάν p = “Είμαι κοντός.”
τότε ¬p = “Δεν είμαι κοντός.”
Ο πίνακας αληθείας για την NOT: p p T F F T
T :≡ True; F :≡ False“:≡” σημαίνει “ορίζεται ως”
Όρισμα Αποτέλεσμα
Module #1 - Logic
06-Feb-20 14 14
Λογική σύζευξη
Ο δυαδικός τελεστής σύζευξης “” (AND)
Π.χ. Έστω
p=“Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό.”
q=“Έφαγα σαλάτα για βραδυνό”
Τότε
pq=“Έφαγα μπριζόλα για μεσημεριανό και έφαγα σαλάτα για βραδυνό.”
Module #1 - Logic
06-Feb-20 15 15
Ορισμός της λογικής σύζευξηςμέσω πίνακα αληθείας
p q pqF F FF T FT F FT T T
Στήλες ορισμάτων Αποτέλεσμα
Module #1 - Logic
06-Feb-20 16 16
Λογική διάζευξη
Ο δυαδικός τελεστής διάζευξης “” (OR).
p=“Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή.”
q=“Το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη.”
pq=“Το αυτοκίνητό μου έχει χαλασμένη μηχανή ή το αυτοκίνητό μου δεν έχει βενζίνη.”
Εννοώντας “και/ή” στα ελληνικά.
5
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 17 17
• Η pq εννοεί ότιη p είναι αληθής, ή η q είναι αληθής ή και τα δύο.
• Οι τελεστές ¬ και μαζί, είναι ικανοί να εκφράσουν κάθε πίνακα αληθείας
Πίνακας αλήθειας της διάζευξης
p q pqF F FF T TT F TT T T
Διαφοράμε τηνAND
Module #1 - Logic
06-Feb-20 18 18
Μερικές βασικές ιδέες:
• Διαφορετικοί τύποι προτάσεων
• Συνειδητοποίηση ότι κάποιες προτάσεις έχουν διαφορετική εμφάνιση αλλά εκφράζουν την ίδια πληροφορία
Module #1 - Logic
06-Feb-20 19 19
Ταυτολογίες
Μία ταυτολογία είναι μία σύνθετη πρόταση η οποία είναι αληθής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων.
Π.χ. p (p)
Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας;
Module #1 - Logic
06-Feb-20 20 20
Ταυτολογίες
• p (p)
• Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει T.
p p p(p) F T T T F T
6
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 21 21
Αντιφάσεις
Μία αντίφαση είναι μία σύνθετη πρότασηπου είναι ψευδής ανεξάρτητα από τις τιμές αληθείας των ατομικών προτάσεων.
Π.χ., p (p)
Ποιός είναι ο πίνακας αληθείας;
Module #1 - Logic
06-Feb-20 22 22
Αντιφάσεις
• p (p)
• Κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει F
p p p(p) F T F T F F
Module #1 - Logic
06-Feb-20 23 23
Τι απομένει πέραν τωνταυτολογιών και των αντιφάσεων
Προφανώς, υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι ούτε ταυτολογίες ούτε αντιφάσεις…
...κάποιες γραμμές του πίνακα αληθείας δίνουν T, άλλες δίνουν F
Module #1 - Logic
06-Feb-20 24 24
Λογική ισοδυναμία προτάσεων
Δύο συντακτικά διαφορετικές σύνθετες προτάσεις μπορεί να είναι σημασιολογικάταυτόσημες (δηλ., να έχουν το ίδιο νόημα). Τέτοιες προτάσεις τις ονομάζουμε λογικά ισοδύναμες.
7
02 Προτασιακός Λογισμός
Διακριτά Μαθηματικά, Εαρινό Εξάμηνο 2020
Module #1 - Logic
06-Feb-20 25 25
Λογική ισοδυναμία προτάσεων
Δύο σύνθετες προτάσεις p και q είναι λογικά ισοδύναμες, και το συμβολίζουμε με p q:
• Αν και μόνο αν οποιαδήποτε εκχώρηση τιμών στις επιμέρους προτάσεις που απαρτίζουν τις p και qκαταλήγει σε ταυτολογία …
• …δηλαδή αν και μόνο αν οι p και q έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας σε όλες τις γραμμές των πινάκων αληθείας τους