יייייי ייייי ייייי1
Jan 21, 2016
לוגיקה למדעי 1המחשב
תורת הקבוצות
חלק א'
קבוצות - דוגמאות
B = {4,6,8}
C}טכניון, אוניברסיטת חיפה} =
N = {0,1,2,…}
קבוצת המספרים הטבעיים האי שליליים.
איברים של קבוצות יכולים להיות גם קבוצות !
.B הם איברים של הקבוצה 4,6,8המספרים
8B, 6B, 4Bנסמן:
שייכות
.aAבאופן כללי נכתוב:
"a ל- שייך A -כדי לציין את העובדה ש "a הוא איבר בקבוצה
A.
(aA), או: aA נרשום: A אינו איבר של aאם
{4,6,8} = B 3לדוגמא:
קבוצות - סימונים
} x : P(x) פרדיקט (תכונה) כלשהו, אזי: {P(x)אם מסמן
, P(a) שייך לקבוצה זו אם ורק אם aקבוצה. איבר aכלומר
.P מקיים את התכונה
a {x : P(x)} P(a)
B = {x : x =4 x = 6 x = 8}
בקבוצה כל איבר מופיע פעם אחת בלבד.
}a,a,b,2,2,3,3,3} = {,a,b,b,2,2,2,3,3} = {a,b,2,3{
מספר האיברים השונים בקבוצה יכול להיות סופי או אינסופי,
.אינסופית או סופיתובהתאם הקבוצה נקראת
B = {4,6,8}.היא קבוצה סופית
N = {0,1,2,… }.היא קבוצה אינסופית
דוגמא
D = {a,{1,2},b,{5}}
D} 5: {שים לב
D 5: אך
}}5{,},2,1{,{ baD
D}5{
D5
הכלה היא קבוצה חלקית או תת-קבוצה שלAהגדרה: קבוצה
.B הוא איבר של A אם כל איבר של Bהקבוצה
A Bמסמנים:
}} 5 {{ D = {a,{1,2},b,{5}}אך }}5 {{ D
}1,2 { {1,2,3} N
}}1,2 {{ {{1,2},{2,3}}
}1,2 { {{1,2},{2,3}}
הכלה - תכונות
A Aתמיד מתקיים:
A C , אזי B C וגם A Bאם
x A x B x B x C
x A x C
קבוצות שוות
הגדרה: שתי קבוצות נקראות שוות אם הן מכילות
אותם
איברים
A = Bאם ורק אם A Bוגם B A
הכלה ממש
היא קבוצה חלקית ממש של Aהגדרה: הקבוצה Bהקבוצה
A B . מסמנים: .A B אך A B אם
}2} {2 { {1,2} {1,2,3}
הכלה - תכונות
.A Bאזי B ,A אם
.A C אזיB C ו- ,A Bאם
.A C אזיB C ו- ,A Bאם
הקבוצה הריקה
קבוצה הגדרה: הקבוצה שלא מכילה אף איבר נקראת ריקה
.ומסומנת
= { x : x x}
. A מתקיים Aעבור כל קבוצה
{}
קבוצת החזקה קבוצה. קבוצת כל הקבוצות החלקיות של Aהגדרה: תהי
A
:2A או P(A) וסימונה A נקראת קבוצת החזקה של
P(A) = { x : x A }
P() = {}
P({}) = {,{}}
P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}}
P({1,2,3}) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
עוצמה של קבוצה
את מספר האיברים של |A| קבוצה סופית. נסמן ע"י Aתהי A.
|| = 0
}| = |{1
}|1,2,…,n = |{n
|2A| = 2|Aטענה: .|
פעולות על קבוצות
חתוך היא הקבוצה B ו- Aהגדרה: החתוך של שתי קבוצות
המכילה
נסמן את כל האיברים השייכים לכל אחת משתי הקבוצות.קבוצה
.A B זו ע"י
A B = {x | xA xB}
חתוך - תכונות
מתקיים:
A B = B A
A = A A = A
)A B ( C = A (B C)
A B A B = A .
איחוד
היא הקבוצה B ו- Aהגדרה: איחוד של שתי קבוצות המכילה
נסמן את כל האיברים השייכים לאחת משתי הקבוצות.קבוצה
.A Bזו ע"י
A B = {x | xA xB}
איחוד - תכונות
מתקיים:
A B = B A
A = A
A A = A
)A B ( C = A (B C)
A B A B = B.
דוגמא
אם
A = {1,2,4,{1,2}}
ו-
B = {,2,{1,2}},
אזי
A B = {2,{1,2}}
ו-
A B = {,1,2,4,{1,2}}.
תכונות
חוקי הדיסטריביוטיביות:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
יחס ההכלה
A B AA A B
A B AB A B
A C, B C
A B C
C A, C B
C B C
הפרש
היא הקבוצהA ב- Bהגדרה: מהשלים היחסי (הפרש) של
.B ולא שייכים ל- Aהמכילה את כל האיברים ששיכים ל-
.A \ Bנסמן קבוצה זו ע"י
A \ B = { x : x A x B }
מתקיים
A \ B= A \ (A B)
הפרש סימטרי
ומוגדרA B מסומן ע"י B ו- A של ההפרש הסימטריהגדרה: ע"י
A B = (A \ B) (B \ A) = { x | xA xB }
.A = {1,2,4,{1,2}} B = {,2,{1,2}}נחזור לדוגמא הקודמת: ,
A \ B = {1,4}B \ A = {}
A B={,1,4}
תכונות של הפרש סימטרי
מתקיים
A B = B A
)A B ( C = A (B C)
A = A
A A = A (B C) = (A B) (A C)
A B (A B) = A B
משליםהסכם: נניח שכל הקבוצות הנידונות הן קבוצות חלקיות של
(קבוצה אוניברסלית).Eקבוצה
)E (ל-A של משלים נגדיר את הA (E )עבור הקבוצה
ע"יAהמסומן ב-
A = E \ A
מתקיים:
_
_
A A = A A = E
= EE =
A B = A BA B = A B_
_
_ _
_
_
_ ______ _____
יחסים (רלציות)
זוג (סדור) נקראת y ו- xסדרה של שתי קבוצות ומסומנת
).x,yע"י (הערה:
)x,y ( (y,x))x,y ( {x,y}
)x,x ( {x}
) כ-x,yניתן להגדיר את () x,y}} =(x},{x,y{{
מכפלה קרטזית
,B ו- A של שתי קבוצות המכפלה (הקרטזית)הגדרה:
) כך a,b היא קבוצה של כל הזוגות (A Bמסומנת ע"י ש-
a A וגם b B .
A B = { (a,b) : a A b B }
דוגמא
A =
A B B A
)A B ( C A (B C)
)A B ( C = (A C) (B C)
יחסים
הוא קבוצהB ו- A בין הקבוצות יחס (בינארי)הגדרה:
A Bחלקית של .
a,b ( R אם.(aRb נכתוב R A Bעבור יחס
דוגמא
) } = <i,j : (i< j { N N
)2,11 (< 11 > 2 או
.N >הוא יחס בינארי מעל
A הוא קבוצה חלקית של .Aיחס בינרי על קבוצה הגדרה: A
יחסים בקבוצות
R A A, כלומר A יחס על Rהגדרות: יהי
R אם עבור כל רפלקסיבי יקרא x A מתקיים xRx
R אם עבור כל סימטרי יקרא x,y A xRy גוררyRx
R אם עבור כל טרנזיטיבי יקרא x,y,z A xRy -ו xRz
xRzגוררים
יחס שקילות
הגדרה: יחס בינרי יקרא יחס שקילות אם הוא רפלסקיבי,
סימטרי וטרנזיטיבי.
.X איבר של x ויהי Xיהי ~ יחס שקילות מעל קבוצה
היא הקבוצה[x], מסומנת ע"י xשל מחלקת השקילות
[x } = ]y : y ~ x{
תכונות
x ]x[
[x ] X
X = ]x[xX
[.x[ = ]y אזי ]x ~ yטענה: אם
.]y[ z אזי ]z ]xהוכחה: מספיק להוכיח כי אם
z ~ x z ]x[ הגדרה
z ~ x x ~ y z ~ yטרנזיטיביות
z ]y[ z ~ yהגדרה
. ]y[ = [ x , אזי ]y ~ xטענה: אם
.]z ]x[ ]yהוכחה: נניח בשלילה כי קיים
.z ~ y וגם z ~ xאזי
x ~ z
, בסתירה עם ההנחה.x ~ yלכן, לפי טרנזיטיביות
/
סימטריות
דוגמא
מספר שלם.n 0יהי
מעל המספרים השלמים ע"יnנגדיר יחס
x n y n|(x – y)
או
) }x-y -מתחלק ב (n | (x,y){ n =
n .הוא יחס שקילות
סימון (תזכורת)
N = {0,1,…}
Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}
דוגמא
באופן הבא: Z \ {0} (Z נגדיר יחס ~ מעל הקבוצה()a,b)~(c,d ( ad = bc
~ (Z (Z \ {0})) (Z (Z \ {0}))
טענה: ~ הוא יחס שקילות.
הוכחה: הרפלקסיביות והסמטריות של ~ נובעות מיידית מן
ההגדרה.
נוכיח את הטרנזיטיביות.
), וצריך להוכיח כי e,f) ~ (c,d) ו- a,b) ~ (c,d)נתון (
).a,b) ~ (e,f(
)c,d) ~ (e,f) (a,b) ~ (c,d(
cf = de ad = bc
:c 0 ו- c = 0נבדיל בין המקרים :c = 0 אזי a = e =0 =) 0ולכן (af = be.
:c 0 אזי adcf = bcde -משום ש .d 0 -ו c 0,.af = beמתקיים ) a,b) ~ (e,fכלומר, .(
התאמה חד-חד ערכית
אם התאמה חד-חד ערכית הוא R A Aהגדרה: יחס
לכל
a A קיים bB) -יחיד כך ש a,b ( R ולכל b Bקיים
a A) -יחיד כך ש a,b ( R.
דוגמא
2N = {0,2,4,…}נגדיר .
אזי היחס
)}i,2i : (I = 0,1 { …, N 2N
הוא התאמה חד-חד ערכית.
דוגמא נוספת
N' = {0,1,4,9,…}נגדיר .
אזי היחס
)}i, i2 : (I = 0,1 { …, N N'
הוא התאמה חד-חד ערכית.
דוגמא נוספת
היחס
)) }i,j ,(2i(2j+1) – 1 : (i,j = 0,1,2 { …, (N N) N
הוא התאמה חד-חד ערכית.
והתאמה B ו- Aטענה: אם יש התאמה חד-חד ערכית בין
, אזי יש התאמה חד-חד ערכית C ו- Bחד חד ערכית בין בין
A -ו C.
התאמותR2 B C ו- R1 A Bהוכחה: תהיינה
ע"יR3 A Cחד-חד ערכיות. נגדיר
.R3 = { (a,c) : b((a,b) R1 (b,c) R2 }
הגדרות
נגדיר את הקבוצות הבאות של מספרים ממשיים:
[a,b] } = x : a x b{
)a,b( } = x : a < x < b{
[a,b) = { x : a x < b }
)a,b[ = { x : a < x b }
a -ו b יכולים להיות '(' או ')' ואז הסוגר הוא) בהתאמה).
דוגמאות
-), = (R(קבוצת המספרים הממשיים)
[a,a} = ]a{
[2,1 = (
דוגמאות
) }x,2x : (x ]0,1[ { ]0,1[ ]0,2[
הוא התאמה חד-חד ערכית.
) }x,tg x : (x (-/2,/2) { (-/2,/2) R
הוא התאמה חד-חד ערכית.
דוגמא‘ ו- 0 את קבוצת כל הסדרות האינסופיותשל '}0,1{נסמן ע"י
'1.'
:2N לבין }0,1קיימת כהתאמה חד-חד ערכית בין {. = a1,a2,…}0,1, ותהי N…I = {i1,i2}תהי }
באופן הבא: f 2N }0,1נגדיר את ההתאמה {)I, ( fאם ורק אם מתקיים התנאי
i I ai = 1, i = 0,1…,
דוגמא
}0,1[ לבין {0,1נבנה התאמה חד-חד ערכית בין ]
ו-0.1 יש שתי הצגות: 0.1 למספר שים לב:
אינה מסתיימתα. אם הסדרה 0.0111111...
מתאים מספרαבסדרת אפסים או אחדות, אזי ל-
α.0 -1, ל 0 ול- 1 מתאים נשאר למצא0מתאים .
10*}0,1התאמה חד-חד ערכית בין הקבוצות {
שאיבריה מתאימים לאחת מן ההצגות של מספרים
שמסתיימים בסדרת האפסים ו-
}0,1{*10 {0,1}*01 .
}0,1*{10 {0,1}*01 {0,1}*10
}0,1*{1 {0,1}*0 {0,1}*1
נגדיר התאמות:
}0,1*{1 N ע"י a1a2an ai2i - 1
ו-
}0,1*{1 {0,1}*0ע"י
-1 (a1a2an (a1 - 1)(a2 - 1)(an
n
i = 1
}0,1*{10 {0,1}*01 {0,1}*10
N N N
N {1} N {0}
)n,1 ( 2n – 1 (n,0) 2n