גלים פרק1

מבוא: 1פרק

1

A האוניברסיטה הפתוחה

גלים ואופטיקה

מבוא :1פרק

20248

מהדורה זמנית לא למכירה לא להפצה

2011 פברואר 20248-1016ט "מק

גלים ואופטיקה

2

כותב היחידה

האוניברסיטה העברית, עודד אגם' פרופ

צוות הקורס )מרכז הפיתוח(יוסף ורבין ' פרופ

)אסיסטנט(גיא חצרוני

יועצים אביב–אוניברסיטת תל, איליה ליבוביץ' פרופ

גוריון–אוניברסיטת בן, ריימונד מורה' פרופ האוניברסיטה הפתוחה, יורם קירש 'פרופ

האוניברסיטה הפתוחה, ר ברוך זיו"ד אביב–אוניברסיטת תל, ראובן חן' פרופ

עריכה

חוה ניומן

איורים שריקי–רחל אהרון

קלדנות ועימוד

גילה ישראלי

2011פברואר - הדפסה דיגיטלית כל הזכויות שמורות לאוניברסיטה הפתוחה. 2011 - א"תשע.

.43537 רעננה, 808ד "ת, 1דרך האוניברסיטה , רוטשילד ש דורותי דה"עהקריה , בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחהThe Open University of Israel, The Dorothy de Rothschild Campus, 1 University Road, P.O.Box 808, Raanana 43537. Printed in Israel.

מכני או אחר כל חלק , אופטי, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, לאחסן במאגר מידע, לתרגם, להקליט, לצלם, להעתיק, אין לשכפלאלא ברשות מפורשת ובכתב ממדור זכויות יוצרים של האוניברסיטה , שימוש מסחרי בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט. שהוא מהחומר שבספר זה

.הפתוחה

מבוא: 1פרק

3

העניינים תוכן

5 הקדמה

7 יעדים לימודיים

11 דרך בהתפתחות תורת הגלים והאופטיקה ציוני 1.1

11 עשרה–להי המאה התשעהתפתחות תורת הגלים והאופטיקה עד ש 1.1.1

60 עלייתה של תורת הקוונטים 1.1.2 62 סיכום 1.1.3 64 המלצות לקריאה נוספת 1.1.4

65 פיזיקלי–רקע מתמטי: מתנדים הרמוניים 1.2

66 טוריי טיילור 1.2.1 68 מספרים מרוכבים 1.2.2 69 חלקיק מרוסן 1.2.3

71 ממדי–מתנד הרמוני חד 1.2.4

76 של מודל המתנד ההרמוני תהאוניברסאליו 1.2.5 79 שימור אנרגיה 1.2.6 83 רמוני מרוסןהמתנד 1.2.7 86 גורם האיכות 1.2.8 88 תנועה הרמונית מאולצת 1.2.9

93 תהודה 1.2.10 97 מתנדים הרמוניים מצומדים 1.2.11

105 סיכום 1.3 106 המלצות לקריאה נוספת 1.4 107 תרגילי חזרה 1.5

110 שבגוף הפרק פתרון השאלות 1.6 125 תרגילי החזרהפתרון 1.7 133 טגרציהחשבון וקטורי ומשפטי אינ :ספח אנ 1.8

133 מכפלות של וקטורים 1.8.1 136 אופרטורי נגזרת 1.8.2 141 משפטי אינטגרציה 1.8.3

149 רשימת מקורות לסקירה ההיסטורית :נספח ב 1.9

גלים ואופטיקה

4

,המורה והמחנך הדגול, של אילן לב מוקדש לזכרו .האיש שנטע בי את האהבה למדע ולדעת

מבוא: 1פרק

5

הקדמה

גלי למשל כמו ,ננות בתופעות טבע יומיומיותהתבותוך חה מתורת הגלים והאופטיקה צמילים שיוצרים ההילה סביב הירח והצל, הקשת בענן, ת כשאבן מוטלת לבריכהושנוצר תהאדוו, הים דמהמדוע השקיעה אדמ, שמים כחוליםכמו למה ה, שאלות פשוטות לכאורה. חלילותוף ,מיתרכלי

,בסופו של דבר ,ך אלפי שנים והובילוהעסיקו את האנושות במש, הקשת בענןלתופעת ומהו ההסבר .האלהתופעות את הלפיתוח המסגרת התאורטית והכלים המתמטיים המאפשרים לנו לתאר ולהסביר

ות התופע יקה חורגת הרבה מעבר להסברשל תורת הגלים והאופטהלימוד חשיבות אבל

כאשר התחוור שחוקי יקה זהפיבעולם רמטיד שינוי התחולל בראשית המאה העשרים. שהזכרנואינם תקפים בעולם , אשר מתארים את אופן תנועתם של גופים גדולים במרחב, המכאניקה הקלאסית

כדי לתאר , במילים אחרות. הסתברותי המתייחס לחלקיק כאל גלמחליף אותם תיאור . המיקרוסקופיהכוחות של משוואתפתור משוואת גלים ולא את יש ל, את הדינאמיקה של חלקיקים מיקרוסקופיים

. חלקיקיםכשטף של מתנהגים) האור גלי למשל(גלים , בתנאים מסוימים ,תברר כיה, מאידך .ניוטוןי הטבע ברמה מתארת את חוק, הראשונים של המאה העשריםשהתפתחה בעשורים ,תורת הקוונטיםלתורה זו השפעה עמוקה מאוד . של החלקיק והגליקלית זהפיאת התמונה שלבתומ, המיקרוסקופית

התכונות של חלקיקי החומר הקטנים ביותר תיאור החל ב: את העולם האופן שבו אנו מביניםעל השפעות של תורת . ולם ומהו מבנה החלל והזמןכיצד נוצר הע גוןכשאלות וכלה ב, הידועים לנו

.אמנות ופסיכולוגיה, פילוסופיה גוןכהקוונטים אפשר למצוא אפילו בתחומים שמחוץ למדעי הטבע

אינו תלוי בפרטי , במידה רבה, רשא ספקת תיאור אוניברסאליתורת הגלים והאופטיקה מ, נפיצה גוןכ( זו תורהמ היסודיות הנובעותהתופעות , במילים אחרות. בה מדוברשהספציפית המערכת

, מאוד זו מזושהן שונות רבותגליות מערכות משותפות ל) עקיפה, התאבכות, החזרה מלאה, שבירהעות רבות תופלהיא ש משמעות הדבר. אלקטרונים במתכת וכדומה, אור גלי, גלי קול, מיםלמשל גלי

אופטיות המתרחשות סביבנו כמעט באורח הגליות והתופעות ב מקבילה יששל תורת הקוונטים .בכללותם חוקי הטבע תהבנבדרך ל חשובנדבך הוא אפואה לימוד תורת הגלים והאופטיק. יומיומי

גל היא ילדה של ים" וכשהים רועש היא אומרת שהוא מספר לה סודות בשפה ."מיוחדת שרק היא מבינה אותה

יהונתן גפן

"סיפורים שענת אוהבת במיוחד"

גלים ואופטיקה

6

מבוא: 1פרק

7

יעדים לימודיים

של העשיר מגווןהאת לתאר ולהסבירהיא גלים ואופטיקהשל הקורס עיקריתה המטרה

פרט .בחיי היומיוםבהן אנו נתקליםש התופעות ובעיקר את ,והאופטיות המרכזיות גליותהתופעות ה

מדוע מנצנצים, למה השמים כחוליםכגון , אל בילדותומאתנו ששאלות שכל אחד מתן מענה לל

גם נברר ,הקשת בענןבדיוק נוצרת איך ו ,של בועות סבון לשלל הצבעים המקור מה, בלילה הכוכבים

כיצד נע, סירה שטה איך בדיוק נוצרת תבנית הגלים של, שוניםכלי נגינה ת גון הצליל שלמה קובע א

גלים בעוברם דרך כיצד מתפזרים , למה השמש פחוסה בשעת שקיעה, הרסני גל צונאמי ומדוע הוא

.עצמים שבדרכםהאת הם עוקפים איךו, םסדקים צרי

,שבירה ,החזרה ,נפיצה(גלים תורת השל מושגי היסוד לפתח את עלינו יהאבדרך למטרה זו

. בהם הוא אנליזה הרמוניתשהמרכזי - תםהמתארים אוהכלים המתמטיים ואת ) עקיפה, התאבכות

בהם קשה לטפל ש יאפשרו לנו לדון במקרים מורכביםש רובייטות קש יהיה לפתח חשובלא פחות

בושרוב יזהו הק .גליםהתורת במרכזית הרוב יקהשיטת היא אומטריתיאופטיקה ג .באופן מדויק

חשיבותו .במרחב שלאורכם הם נעים קרנייםמסלולי העזרת גלים ב את הדינאמיקה של יםתארמ

.בתורת הקוונטים גלל חלקיק שביןמקביל ליחס גלים לקרניים היחס בין שכך ב ,בין היתר ,קשורה

בקצרה את נקודות הציון בחלק הראשון נסקור :הפרק הראשון של הקורס מורכב משני חלקים

. עשרה–תשעהמאה ה שלהיההיסטוריה ועד משחר ,תורת הגלים והאופטיקה חותתפתבהקריות יהע

נדון בהרחבה ןשבהו, זמן זה צברו בתחום במשךשנ המרכזיות של התובנותקצר סיכום ,למעשה, זהו

טורי נדון ב .קורסלימוד ההמתמטי הדרוש לו הפיזיקלי נכין את הרקעבחלק השני . לאורך הקורס

בהמשך כפי שנראה, תורת הגלים .יםהרמוני יםשל מתנד ובמערכות מספרים מרוכביםב, טיילור

.פשוט הרמוניהמודל של מתנד היא למעשה הכללה של, הקורס

המיתר תמשווא: ת גליםושל משווא ותפשוטה ותדוגמאאחת האת ציגנבפרק השני של הקורס

ונאפיין פתרונות למשוואה זו כיצד בונים ראהנ .את התנודות של מיתר גיטרה ,למשל ,אשר מתארת

המסגרת את אשר מספקת) אנליזה הרמונית(ה יבפרק השלישי נציג את אנליזת פורי .אותם

להסביר את לנו תוצאות פרק זה יעזרו. גליםת ולטיפול בפתרונות של משווא בסיסיתהמתמטית ה

בגביש או תנודות של מוטות כמו גלי קול מורכבות יותרלדון בבעיות ו, בפרק הרביעי, נפיצההמושג

.גמישים

גלים ואופטיקה

8

ידונו הפרקים הבאים. במשוואות גלים בממד אחד יםמתמקדעד כה שסקרנופרקים ה

פרק ב .יותרהרבה מורכבת הגלים עשויה להיותהתנהגות שם ,בממדים גבוהים יותר ת גליםמשוואוב

ובמשוואת גלי פני השטח ,ובפתרונותיה נדון במשוואת התוף, הקדמה לנושאמעין המשמש ,החמישי

נפתח את הגישה של אופטיקה גיאומטרית שתאפשר לנו לבנות תמונה השישי בפרק .של נוזל

בהן מהירות התקדמות הגל ש מערכות מורכבותהגלים ב התנהגות של יחסית פשוטהפיזיקלית

.שלהן רה והמיקודהשבי, ההחזרהות נסביר מהן קרניים ונתאר את תופע. משתנה ממקום למקום

מאופטיקה גיאומטרית על ידי תיאור המתקבלאת ה ראה כיצד ניתן לשפרנ ים הבאיםפרקשני הב

המתייחס )בפרק השביעי(עקרון ההתאבכות : תורת הגליםמרכזיים של שני עקרונות שילוב של

העומדים תאר את האופן שבו גלים עוקפים עצמיםהמ הויחנסעקרון ו ,בו יש לחבר גליםשלאופן

עות גליות ואופטיותלדון בשלל תופ יעניק לנו הזדמנות המשופר תיאורה .)בפרק השמיני( בדרכם

. עקיפהההתאבכות ותופעות ההקשורות ב

,משוואות גלים סקלאריותהמעניינות מתוארות על ידי האופטיותהגליות והתופעות יתרבמ

אבל .במקרה של גלי מים גובה פני הנוזל כגון, סקלרהמתארות את הדינאמיקה של משוואותכלומר

רובד נוסף של קיים) גלים אלקטרומגנטייםשהם מקרה פרטי של (גלי אור לתופעות האופטיות של

אותם הן תומתארהגלים הת ומשווא. גלי האורוקטורי של ואופי הרובד זה נובע מה. מורכבות

וקטור למשל, ולא של סקלר יםוקטורשל את הדינאמיקה משוואות גלים וקטוריות אשר מתארות

, אורשל הגלים הקורס נגזור את משוואת הבפרק התשיעי של .השדה המגנטי ווקטור השדה החשמלי

.וקטורי של האורוב שנובעת מהאופי הבתופעת הקיטוונדון

אורבין ששל יחסי הגומלין בסיסיים היבטיםבכמה של הקורס נתמקד והאחרון עשיריהפרק ב

כיצד נסביר ו ,מטענים חשמליים ה שלתנועמ הנובעתהאלקטרומגנטית קרינהנתאר את ה. חומרל

להביןיספקו לנו את הכלים הבסיסיים מרכיבים אלו. קרוסקופייםיחלקיקים ממ אור מתפזרים גלי

נסיים את .ובזמן השקיעה צבע השמים בצהרי היוםו של קרנייםות כמו שבירה כפולה תופעות נוספ

.תופעת הקשת בענן הסבר שלבהקורס בתיאור והפרק ואת

דרך לימוד הקורס המלצה על

בקריאה .תנספחים והערו, תרגילי חזרה, שאלות, דוגמאותבחומר הלימוד של הקורס שולבו

שמטרתו החומרלהסתפק בקריאת ו השאלותעל אפשר לדלג על הדוגמאות ו ראשונה של כל פרקה

ולפתור את דוגמאות הלעבור גם על מומלץ הבאה בקריאה . את המושגים המרכזיים בפרק להציג

, בפרקים באהמונוסף של הרעיונות להמחיש או להציג פן נועדו הדוגמאות .השאלות שבגוף הפרק

היא מטרת תרגילי החזרה. להשלים חלק מהפיתוחים המתמטיים ,בעיקר ,נועדהשאלות פתרון ו

מבוא: 1פרק

9

לאחר קריאת הדוגמאות ופתרון כל רק םלהתחיל בפתרונ ומומלץ, החומרהעמיק ולהרחיב את הבנת ל

מציגיםאו , ות הקורסדרישב כלולשאינו מידע ים מכילוהנספחים ההערות . השאלות שבגוף הפרק

.לשם שלמות הדיון הדרוש חומר רקע

ניםהערה על השימוש בסימ

למשל , נושא גליםהשהמשותף להם הוא פיזיקה של התחומים כמה בתוכו מאגדהקורס

אחד יוצר בקורסהאלה נושאים כל ההדיון ב. לסטיות ואקוסטיקהא, מיקהאהידרודינ, אלקטרומגנטיות

, אי לכך. נים אחרתבכל תחום מקובלת מערכת סימוהואיל , נים אחידהבבחירת מערכת סימ קושי

בו הם שתכן כפילות במשמעות של חלק מהסימנים ויש לשים לב להגדרתם בהתאם להקשר ית

.פני עצמופרק ב בכל של סימנים ערכת אחידהיד על מנעשה ניסיון להקפ, בכל מקרה. מופיעים

גלים ואופטיקה

10

מבוא: 1פרק

11

הופטיקדרך בהתפתחות תורת הגלים והא ציוני 1.1

עד ,גלים ואופטיקה נושאב אליהןשהאנושות הגיעה תובנותהשל סיכום מהווה מעין זה קורס

, ארוכההייתה , כמו למשל הבנת מהות האור, אלוהתובנות השגת ההדרך ל. עשרה–התשעהמאה שלהי

תיאוריה נציג בקורס עצמו, עם זאת. וההתקדמות נעשתה עקב בצד אגודל במשך מאות שנים

ללא התייחסות להתפתחות ההיסטורית ולאבולוציה של הרעיונות שהובילו לבסוף לתוצאה ,מוגמרת

השתלשלות על ו נספר בקצרה על דמויות המפתח, ללימוד עצמו כהקדמה ,לכן. המקובלת כיום

אינו חלק מדרישות ) 1.1סעיף (תיאור זה .1תורת הגלים והאופטיקההאירועים שהובילו להתפתחות

שבסעיף פיזיקלי –וקורא שאינו מעוניין ברובד ההיסטורי מוזמן לדלג לרקע המתמטי ,הידע של הקורס

ולכן , רק בהמשך הקורס הנציין גם שהמשמעות של מושגים רבים שיוצגו כאן תובהר במלוא .1.2

.מומלץ לחזור ולקרוא את הסקירה בתום הלימוד

עשרה –התפתחות תורת הגלים והאופטיקה עד שלהי המאה התשע 1.1.1

מד ברור ששאלות על תופעות אופטיות וגליות נשאלו מרגע שעדי ? נולדה תורת הגלים מתי

מערכות גליות נהגות של תם המתארים את ההחוקיהשל שיטתיתחקירה , עם זאת. האדם על דעתו

. לשלוט בהם ולאפיין את תכונותיהם, לעורר גלים המאפשרת הטכנולוגיה פותחהכאשר החלה

מסמלת את ,בתקופה הפרהיסטוריתכבר ,ובפרט כלי המיתר ,נגינההלי המצאת כ ,מנקודת מבט זו

. תורת הגלים ראשית ההתפתחות של

המכשיר זהו .נכנסת לשימוש) מנחושת ממורקת(המראה .מצרים

.ביותר המאפשר לנתב קרני אורהאופטי הפשוט

פיתגורס חוקר את התלות של צליל מיתר . דרום איטליה, קרוטונה

, הוא בונה סולמות צלילים. ממנו הוא עשויובחומר שמתיחותו ב, באורכו

. 2הצליל שהוא יוצרבין מתוך הבנת הקשר שבין אורך המיתר ו

1

הסקירה ההיסטורית שתוצג להלן מכילה רק חלק מהאירועים שהובילו להתפתחות תורת ,היריעהמפאת קוצר

, כמו כן. והיא מתמקדת בעיקר בהתפתחות ההבנה של הנושאים והתופעות שיוצגו במהלך הקורס, הגלים

בסין , למשל(ואינה כוללת תוצאות מקבילות שפותחו במזרח הרחוק , הסקירה מתייחסת אך ורק לעולם המערבי

). ובהודו2

כיוון שההרמוניה של הצלילים נקבעה מתוך מיקה ביטוי עליון של חוקי הטבע זהמסורת הפיתגורית ראתה במו

, הקוורטה, הקווינטה, ההאוקטאב, לדוגמה. 5-ו 4, 3, 2, 1המספרים יחסים מספריים טהורים הנובעים מחמשת

בעלי אותה מתיחות (של אורכי המיתרים 5:4 -ו, 4:3, 3:2, 2:1מהיחסים , בהתאמה, נקבעו והטרצה הגדולה

ביטוי לגישה המאגית של הפיתגוראים למספרים אפשר למצוא גם בדברי . היוצרים את הצלילים) וצפיפות מסה

אי אפשר לתפוס או הואיל ו; הבנה אפשר לייחס מספר- לכל דבר בר: ")ס"לפנה 470-385( הפילוסוף פילולאוס

]".המספר[ להבין משהו בלעדיו

Pythagoras (569BC-475BC)

1900 ס"לפנה

580-500 ס"לפנה

גלים ואופטיקה

12

Euclid (325BC-265BC)

Claudius Ptolemaeus

(168BC-90BC)

להתפתחות טכנולוגית זו משמעות רבה . יצר כלי זכוכיתיהמצרים הקדמונים לומדים כיצד ל

ולאלו היה תפקיד מרכזי בהבנת אופן , צור עדשותיכחומר הגלם לי שהזכוכית שימשה בהמשךמשום

היה אחד הנושאים ,כפי שנראה בהמשך, חוק השבירה של קרני האור. אורהשבירה של קרני ה

.האופטיקה ות שלהתפתחה התוו את מהלךשהמרכזיים

בדומה , מסביר שתופעת ההד מקורה בהחזרה של גלי קול ,על הנפשבספרו ,אריסטו. אתונה

,הוא מציין שגודל הקשת מרבי בזמן שקיעה או זריחה יקה'מטאורולוגבספר . לכדור המוחזר מקיר

אריסטו גם . לא ניתן לראות קשת ,באמצע הקיץ, גשום יוםושבצהרי , וא תמיד קטן מחצי מעגלשה

.הראה שהצורה המעגלית של הקשת היא תוצאה של פיזור קרניים בזווית קבועה

מתואר חוק ההחזרה של של אוקלידס 3אופטיקה בספר .אלכסנדריה

לפיו קרני האור נעות לאורך קווים שהעיקרון ומנוסח, קרני אור ממראה

Heron of( מאלכסנדריה הרון, כשלוש מאות שנה מאוחר יותר. ישרים

(75–10BC ,Alexandria , להבין את הרעיונות של במהלך ניסיונותיו

המקיים את חוק ההחזרה , אור קרן ה שלשם לב שמסלול, אוקלידס

. הוא גם המסלול הקצר ביותר מבין כל המסלולים הקרובים לו, ממראה

שתי קרן אור בין ה שללפיו מסלולשחוק כללי מנסח בעקבות זאת הוא

. 4ביותר נקודות נתונות הוא המסלול הקצר

אחד האסטרונומים החשובים , תלמי, כשמונים שנה מאוחר יותר

בו הוא דן ש 5אופטיקהכותב את ספרו , והמשפיעים ביותר בעת העתיקה

בהחזרת קרניים ממראות בצורות שונות ובשבירת קרניים , יהיבמהות הרא

טבלאות של שבירת קרניים מופיעות בספר . במעבר דרך חומרים שונים

השבירה של שזווית תלמי הציע .לזכוכיתאוויר בין ו יםלמבין אוויר במעבר

, תכונות אופטיות שונות בעלי חומרים שביןשפה הבמעבר דרך , קרן אור

זה אינו חוק ש מאוחר יותר יתברר. מתכונתית לזווית הפגיעה בשפה

.זוויות פגיעה קטנותבגבול של רוב טוביהוא נותן קאבל ,השבירה המדויק

3

. מראה או מבט – ומשמעותה, יווני" אופטיקה"מקור המילה 4

לצורך תיאור אופן השבירה של קרני , שומויאבל י, פעמים לאורך ההיסטוריה כמהחוק זה נתגלה ונוסח מחדש

. פרמה הוצג רק כאלפיים שנה מאוחר יותר על ידי, האור במעבר בין חומרים בעלי תכונות אופטיות שונות5

.(Eugenius of Palermo)ניוס מפלרמו 'אוג עשרה על ידי- תורגם מערבית ללטינית במאה השתים רהספ

סביבות 265

ס"לפנה

400 ס"לפנה

סביבות350

ס"לפנה

סביבות 165

ס"לפנה

מבוא: 1פרק

13

Al-Hacen

)965-1040(

על התנועה , מסביר בספרו מיוון (Cleomedes, 70-10BC)קלאומדס ,עתבערך באותה

מעל , בזמן–בו, בה נראים השמש והירחש, את התופעה של ליקוי ירח, המעגלית של עצמים שמימיים

. השבירה של קרני אור באטמוספרהעל ההסבר מבוסס . האופק

. ת הגליםשנים רבות חלפו עד להתפתחות המשמעותית הבאה בתור

גלשה אל אירופה, )פירהלס 475( בהן נפלה האימפריה הרומיתששנים

.העולם הערבי לומרכזי המחקר המדעי והתרבות נדדו א ימי הביניים

6אלחזןאשר במערב כונה , הייטם–הדרך היה אבו עלי חסן איבן אלפורץ

ספר (מנזיר –כיתב אלבספרו . וכיום נחשב לאבי האופטיקה המודרנית

תיאר את מבנה העין והסביר שאנו רואים עצמים הודות ) האופטיקה

קרניים אלו להבנתו הן זרם . 7לקרני השמש המפוזרות מהם ומגיעות לעין

אלחזן טען שמהירות האור . חלקיקים קטנים הנעים בקווים ישרים

הוא גם חקר . בירת הקרניים היא תוצאה של הבדלי מהירויות במעבר מתווך אחד לאחרושש, סופית

בעיה . מראות כדוריות ופרבוליות והבין כיצד ניתן למקד קרניים על ידי שבירתן בעזרת עדשה

":ןבעיית אלחז "קלאסית בתחום האופטיקה היא שאלה שהציג אלחזן ושידועה כ

מצא את הנקודה על .כדוריתצופה ומראה , נתון מקור אור .ממנה מתפזרות הקרניים אל הצופהשהמראה

ומאז , עשרה–ראשית המאה השלושבעשרה או –בסוף המאה השתיםל אלחזן תורגם ללטינית ספרו ש

.עשרה הוא ייצג את האסכולה המרכזית של האופטיקה–סוף המאה השש ועד

6

והוזמן על ידי הכליף ) כיום עיראק(בבצרה שבפרס 965נולד בשנת ) האסן- שמו הוא עיוות לטיני של אלש(אלחזן

, משימתו לא צלחה. עולה על גדותיו כדי לפתור את בעיית ההצפות של הנילוס שלפרקים היה, חכים- המצרי אל

בשנת , חכים-ד לפטירתו של אלעוהסתגר בביתו הוא התחזה למשוגע, אכזריותובידוע שהיה, ומפחד הכליף

חמישים ושישה .אלחזן כתב כמאה ספרים. ביצע ניסיונות ותצפיותו בזמן שהיה לו הוא התעמק במחקריו .1021

.נחשב לתרומתו החשובה ביותר) ספר האופטיקה( מנזיר-אלכיתב הספר בן שבעת הכרכים . מהם שרדו7

השאלה כיצד פועל חוש , אבל באותם ימים. כיום אנו כל כך רגילים לרעיון שהדבר נראה לנו כמעט מובן מאליו

אוקלידס סבר שהעין שולחת מעין שטף . מאות שנים במשךכבר חידה שהעסיקה את האנושות ההראייה היית

העצם בין והמידע הקשור במגע שבין קרינה זו ו, כמו אצבעות הממששות אותם, לעצמים חלקיקים המגיעים

ופותחה על , זו התבססה על רעיונות של פיתגורס התיאורי. יה והצבעיהנראה מוחזר לעין ויוצר את תחושת הרא

אות עצמים והסיבה שקשה לר, את תכונת הצבע של העצם" להפעיל"הוא סבר שתפקיד האור הוא רק . ידי תלמי

ספרו של אלחזן היה במידה רבה . רחוקים היא שרק חלק קטן משטף החלקיקים היוצאים מהעין מגיע אליהם

כיוון שמספיק , יהיאלחזן הבין שאין צורך בקרינה היוצאת מהעין כדי להסביר רא. ביקורת על תיאוריה זו

. להתייחס רק לזו שמפוזרת מהעצמים

סביבות1030

לספירה

גלים ואופטיקה

14

של תאודוריק המדגימים מהספר איוריםהשמש בטיפות אופן שבירת קרני את .הראשית והמשנית עבור הקשת, גשם

)Robert Grosseteste, 1175-1253( רוברט גרוסטסטה. אוקספורד 1220

לצורך חקירת ו במדעי הטבעוהגיאומטריה חשיבות המתמטיקהבין את מ

קר ח - ר בייקון'רוג - תלמידו ,כחמישים שנה מאוחר יותר .תכונות האור

ית ואת הזו דדהוא גם מ .בהן לתיקון הראייה ציע להשתמשעדשות וה

.רוביבק 42oשערכהצא ת והצופה ומהקשנקודה כלשהי על , שבין השמש

האמין בכוחה של הוא. בשר השיטה המדעית המודרניתבייקון נחשב למ

ע ניסיונות כאמצעי מרכזי גל בביצודהמתמטיקה לחשוף את רזי הטבע ו

ראשונים שעמדו על הפוטנציאל הטכנולוגי ההוא גם היה מ. לחקירתם

. ימדעמחקר ההטמון ב

סיים את ) (Witelo of Silesia, 1230-1280ויטלו מסילסיה .פולין 1278

על ברובו מבוססאשר 8פרספקטיבה ,כתיבת ספרו בן עשרת הכרכים

אר ויטלו מדידות מדויקות של זווית יתבספר . 9של אלחזן הרעיונות

זווית השבירה , מהן הסיק שבניגוד לטענת תלמיו ,השבירה של קרני אור

.אינה מתכונתית לזווית הפגיעה

–שהמצאתם מיוחסת לאלסנדרו די, משקפי ראייה. פירנצה 1280

והשימוש בהם התפשט מהר ,1280הופיעו בפירנצה בסביבות , ספינה

מאות שנים לאחר רק הבין קפלר פעולתםאופן את , למרות זאת .מאוד

.מכן

דומיניקני נזיר , ) ,1250-1310Theodoric of Freiberg(תאודוריק מפרייברג 1310

הוא דן בעבודה זו. 10הקשת ותופעות קרינה תב את הספרכו, בצרפת שהוכשר

נוספות כמו תופעות אופטיותב - ובאופן פחות מעמיק, קשת בענןהבתופעת

דוק מבעד להנראים הכוכבים וצבע (sun dogs) השמש תופעת כלבי ,ההילה

הקשתש שסבר) Albertus Magnus, 1206-1280( אלברט הגדולאחרי . ערפל

שתמשה תאודוריק ,בודדות שםג מטיפות שמשה קרני ריזופמ מתקבלת

8 Witelo of Silesia (1278). Perspectiva.

9עשרה היו הספרים של -מאה השבעל עשרה-טים בתקופה שבין המאה השלוששלושת ספרי האופטיקה הבול

הספר של גם ,של ויטלו פרספקטיבהכמו . (John Pecham, 1240-1292)והן פקהם'ויטלו והארכיבישוף ג, אלחזן

, הוא נכתב מעט אחרי הספר של ויטלו. של אלחזן כיתב אל מנזירהתבסס על , Perspectiva communis, פקהם

.מבין השלושה יוהפך לפופולאר10 Theodoric of Freiberg. De iride et radialibus impressionibus.

Roger Bacon

)1220-1292(

במהדורה ,ל ויטלומהספר ש עמוד השער

, עם הספר של אלחזןביחד שיצאה לאור 1572בשנת

מבוא: 1פרק

15

, הוז. גשםהלטיפות יםכמודל, ני גדליםיבכל מ ,מיםב םיריים מלאבקבוקים כדובו משושות במנסרות

. בתנאי מעבדה בו נעשה שימוש במודל מלאכותי כדי להבין תופעת טבעש המקרה הראשון, אולי

שהקשת ראההו, בודדות גשםת ותאודוריק את פיזור קרני השמש מטיפאפיין מודל זה עזרתב

ואילו הקשת המשנית , )כל טיפהב( אחתוהחזרה פנימית שתי שבירותהראשית היא תוצאה של

שתי החזרות פנימיותמו שתי שבירותמ מתקבלת) רואים אותהאם ,הקשת הראשיתמעל מופיעה ה(

את סדר הצבעים המנוגד גם של קרני השמש הסבירה תצורת המסלולים ההבנה של. של הקרניים

.11הצבעים הללו לא את המקור שלאך , בשתי הקשתות

חסר פניות ,המציאות שלמתאפיינת בשאיפה לתיאור מדויק תקופת הרנסנס ההתפתחות ב

,יחסיתמועטה הייתה והאופטיקה הגלים תורתהבנה של ב ההתקדמות ,זאת למרות. קדומותואמונות

–אונרדו דהל .12וימי הביניים העתיקה מהעת העבודות של מחדש הערכהבו התמצתה בגילוי ורובה

דרך סדרה של של קרני אור העוברות השבירה את חקר )Leonardo da Vinci, 1452-1519( 13י'ונצ

, )Camera Obscura( הלשכה האפלהאופן הפעולה של וחזר על תיאור , קעורותו קמורותעדשות

ביניהם שאת הדמיון ל גלי מים וזיההגם חקר את הדינאמיקה ש הוא .אלחזן על ידי קודם לכןג וצשה

והסיק שכך , ללא הפרעה זה את זה שגלי מים חוציםלכך לב שם לאונרדו, בפרט .י קולגלובין

מכונה ה מרכזי בתורת הגלים קרוןיראשון של עה הניסוח ,למעשה ,היה זה. קולהמתנהגים גם גלי

. סופרפוזיציהעקרון הכיום

11

רק דפוס והוא יצא ב, נויהספר שרדו עד ימ ארבעה עותקים של. 1311ולפני 1304נכתב אחרי של תאודוריק וספר

במשך למעלה משלוש מאות שנה , למעשה. להעריך את השפעתו על התפתחות האופטיקה קשה לכן. 1914 בשנת

בז לעבודות דקארט. בהבנת תופעת הקשת ה התפתחות נוספתחללא , דקארט עד עבודתו של, אחרי כתיבת הספר

של הוא הזכיר את עבודתו , באופן יוצא מן הכלל ,למרות זאת. של קודמיו ולא נהג להתייחס אליהן בכתביו

מזכיר מרוליקו .(Francesco Maurolico, 1494-1575) המתמטיקאי והאסטרונום האיטלקי פרנצסקו מרוליקו

המאמינים שהוא למד על םויש היסטוריוני, הוא עדיין לא ראהושבעבודתו על הקשת ספרים שנתגלו בגרמניה

.מעבודתו של תאודוריק, באופן עקיף, ההסבר לתופעת הקשת12

שחולל (Nicolaus Copernicus, 1473-1543)קופרניקוס האסטרונום הפולני :שלושה בלטו בתקופה זו ,עם זאת

שכתב (William Gilbert, 1540-1603)והמדען הבריטי וויליאם גילברט , וינצי-לאונרדו דה, מהפכה באסטרונומיה

השווה אותו לכוח , המגנטי הגילברט את כוח המשיכאפיין בספר . 1600פורסם בשנת שDe Magnete את הספר

ביותר שהתרחשו בתקופה םהמשמעותיי םאחד האירועי, כמו כן. וטען שכדור הארץ הוא מגנט ענק החשמלי

מהפכה זו הפכה את . הוא מהפכת הדפוס, שהיה בעל השפעה מכרעת על התפתחות המדע בהמשך, הרנסנס

. באירופה רזה את תהליך החילוןיזו, במקורותיו ההחלישה את שליטת הכנסיי, לנגיש יותר המידע13

נטשה אותו והוא גדל עם , בת איכרים פשוטה, אמו. אמיד פלורנטיני חוקי של נוטריון בלתילאונרדו היה בנו ה

החל לאונרדו עצמו .והוא בלט בכישרונו מגיל צעיר, אצלו הייתה לו אפשרות לקרוא ספרים ולהתפתח. אביו

. אחד מהםשל אף את הכתיבה סיים אך מעולם לא, לכתוב ספרים רבים

המאות 16–וה 15–ה

גלים ואופטיקה

16

Johannes Kepler )1571-1630(

פראג כדי לעבוד להתגורר בעובר 14המדען הגרמני יוהנס קפלר. פראג 1604

הוא מתמנה . (Tycho Brahe, 1546-1601)עם האסטרונום טיכו ברהה

הספרמפרסם את 1604–וב, למתמטיקאי המלכותי לאחר שזה נפטר

בספר זה מתאר . 15על החלק האופטי שבאסטרונומיה, ויטלוותוספות ל

מונח שהוא (לשכה האפלה קרני האור ב את מהלך, מדויק באופן, פלרק

כולל העובדה שהתמונה , 16את אופן הפעולה של העין האנושית; )טבע

, נוסף לכך. וחק ראייהולרראייה ואת הסיבה לקוצר ; על הרשתית הפוכה

עוצמת האור של חוק המתאר את תלות האת , לראשונה, קפלר מנסח

.עוצמת האור קטנה כמו ריבוע המרחק מהמקור: לאמור, מקור נקודתי במרחק

הוא , שמשמנוגד לכיוון ה אשר כידוע, של כוכבי שביט שובלכיוון הש מעלה את ההשערהקפלר 1608

כיום אנו יודעים שהסיבה .17של הכוכב" אטמוספרה"על ה השמשקרני לחץ שמפעילותהתוצאה של

."רוח השמש" המכונהושטף החלקיקים הנפלטים מהשמש שמפעיל אלא הלחץ, אינה לחץ האור

14

חי חיים , )חוקי קפלר( אחד המדענים הגדולים בהיסטוריה שמוכר בעיקר בזכות תרומתו לאסטרונומיה, קפלר

כמעט נפטר מאבעבועות (היה ילד חולני , )וואיל(הוא נולד למשפחה לותרנית בכפר קטן בגרמניה . קשים ועצובים

הוא התעמת עם הכנסייה , למרות היותו נוצרי לותרני מאמין ודתי מאוד .חמש והתייתם מאביו בגיל, )שחורות

אשר הכיל )formula of concord( רב לחתום על נוסח ההסכמהיובשלב מסוים אף הוחרם כיוון שס, דעותיו בשל

היו עמוסים , לאישה פשוטה ועשירה שלא העריכה את כישוריו, נישואיו הראשונים. ממנו הסתייגשסעיף שולי

. הוא העתיק את מגוריו לפראג, וכאשר הפרוטסטנטים באזור מגוריו אולצו להמיר את דתם לקתולית, במריבות

לקראת שנת . השניהוא התמנה למתמטיקאי המלכותי תחת שלטונו של רודולף , לאחר מותו של טיכו ברהה, שם

, בריאותו הפיזית והנפשית של רודולף התרופפה, קתולים באירופה הלך וגברלהמתח בין פרוטסטנטים , 1611

העיר ויצאו אל צבאות נכנסו . ופראג עמדה על סיפה של מלחמת שלושים השנה, אחיו מתיאס תפס את השלטון

ל קפלר נפטר ממחלת האבעבועות השחורות וזמן בנו הצעיר ש. זורעים בדרכם חורבןכשהם , תדירממנה באופן

והוא ,קפלר חש שביטחונו האישי התערער, ר מותו של רודולףלאח. קצר לאחר מכן נפטרה גם רעייתו מטיפוס

אמו . הגיעו לבגרותרק שניים – וך שבעת הילדים הנוספים שנולדו לוומת, הוא התחתן שוב. חזר לגרמניה

בעצמו הוא ניסח. יטמברג ולעבור את ההשפלה הכרוכה בהגנתה במשפטוע לוהואשמה בכישוף והוא נאלץ לנסו

בשנותיו . עשר חודשים-שוחררה לאחר שהייתה כלואה כארבעה ,ולמרות שחויבה בדין, חלקים מכתב ההגנה

קתוליות אילצה אותו לעזוב שוב את כפייה חוזרת של ה, 1626בשנת . רונות סבל קפלר ממצוקה כלכליתהאח

ונקבר ליד , הגיע במטרה לגבות חוב ישן שאליה ,1630בנובמבר 15-הוא נפטר בריגנסבורג ב. ור לסאגןביתו ולעב

. קברו נהרס כליל במהלך מלחמת שלושים השנה. הכנסייה המקומית15

Kepler, J. (1604). Ad Vitellionem paralipomena quibus Astronomiae pars optica traditur. Frankfurt. 16

העובדה של ובפרט , את הרעיונות של אלחזן צעד נוסף והגיע לתיאור נכון של אופן הפעולה של העין קידםקפלר

וטענו כנגדה שברור , באותה התקופה לא האמינו לתוצאה זו. שדמות העצמים על רשתית העין נראית הפוכה

שור והוכיח את טענתו של וח בעין שלדקארט נית ביצע ,מאוחר יותר .בעליל שאנו רואים את העולם בכיוון הנכון

. קפלר17

Kepler, J. (1868). Aussführlicher Bericht von dem 1607 erscheinen Haarstern oder Cometen. In Keplers

Sammlung der Schriften. Ch. Frisch (Frankfurt a.m.,) Vol. III, pp 26ff.

מבוא: 1פרק

17

Galileo Galilei (1564-1642)

לאחר שהגיעה אליו 18גלילאו גליליי בונה טלסקופ. איטליה, פאדובה 1609

הנס ,לוטש העדשות ההולנדיביקש , קודם לכן שנה. ההמצאהעל השמועה

אך לרשום פטנט על המצאה זו ) Hans Lippershey, 1570-1619( לפרשי

כמה על ידי , בזמן–כמעט בו, כיוון שהיא נתגלתה נתקל בסירוב מצד הממשל

Zacharias Janssen, 1585-1632)(זכריאס ינסן ,אחד מהם. אנשים נוספים

לחשיבות העצומה שלמעבר .גם את המיקרוסקופ, בערך באותו הזמן, המציא

עבור גםמשמעות רבה לכךהייתה , ופ בתחום האסטרונומיההטלסק המצאת

הניסיונות לשפר את ביצועי הטלסקופ . תורת הגלים והאופטיקההתפתחות

ספות ולהבנה עמוקה יותר לתגליות נו, בהמשך, ולהבין את מגבלותיו הובילו

כשבעים (הראשונות של מהירות האור המדידות , כמו כן. של מהות האור

נעשו מתוך תצפיות אסטרונומיות בליקויי הירחים של ) שנה מאוחר יותר

.צדק

, הוא מסביר את אופן הפעולה של הטלסקופ בוש, 20דיופטריקה 19ספרהקפלר מפרסם את 1611

ל קרניים מהשפה שבין חומרים בעלי תכונות אופטיות שונות מתאר את תופעת ההחזרה המלאה שו

.אוויר ומים כגון

נזיר ,)Marin Mersenne, 1588-1648( המדען הצרפתי מרין מרסן. פריס 1636

בספר . 21ההרמוניה האוניברסאלית מפרסם את, סקני'סדר הפרנצשל המ

תדירות חוק הוא מנסח את , של גלי הקול בהיבטים מגוונים הדן, זה

מתכונתית לשורש תדירות זו ,מרסןשל חוקהלפי . התנודה של מיתר

צפיפות המסה אורכו ולשורש ומתכונתית הפוכה ל המיתר מתיחות

של מהי תדירות התנודה אפשר למרסן להסיק קחוגילוי ה. שלוהאורכית

אותה בעל( ארוך מאודידת התדירות של מיתר מיתר קצר מתוך מד

על ידי התבוננות לקבוע ניתן אותהש ,)מסה צפיפות ואותה מתיחות

אותןשהמדידות של מהירות הקול בספר מתאר מרסן גם את . במיתר

18

,1611בשנת (Giovanni Demisiani)הוצעה על ידי המתמטיקאי היווני גיובני דמיסיאני " טלסקופ"המילה

. במסיבה שנערכה לכבוד גלילאו ברומא על גילוי הירחים של צדק19 Kepler, J. (1611). Dioptrice, Augustae Vindelicorum. Ausburg.

20 "Dioptrice" קרניים בעדשותהצמת שבירת ודיופטר הוא יחידת המידה של ע. הוא מונח שטבע קפלר .

21 Mersenne, M. (1636). Harmonie universelle, contenant la théorie et la pratique de la musique, où il est traité

de la Nature des Sons & des Mouvemens, des Consonances,des Dissonances, des Genres, des Modes, de la

Composition, de la Voix, des Chants, & de toutes sortes d'Instrumens Harmonique. Paris.

מרסןשער מהספר של עמוד

גלים ואופטיקה

18

המדגים את של דקארטמהספר איור

בין האנלוגיה בין שבירה של קרני שמש ו .כת מיםישינוי הכיוון של כדור הנזרק לבר

בו נראה הרשף שמדידת הפרש הזמנים בין הרגע התבססה עלהראשונה השיטה: ביצע בשני אופנים

הנחה שמהירות האור הרבה יותר ב(רחק ידוע בו נשמע קול הנפץ של תותח הנמצא במבין הרגע שו

. בעזרת מטוטלת - ומאוחר יותר ,מדד על ידי ספירה של פעימות לבהזמן נ. 22)גדולה ממהירות הקול

.במרחק ידוע רת הזמן שבו נשמע ההד המוחזר מקימדיד בה השתמש מרסן הייתהשטה השנייה השי

השנייה ואילו בשיטה, לשנייה מטר 450 הייתה השיטה הראשונהלפי שהתקבלה מהירות הקול

, לא הצליח להסביר את ההבדל הגדול בין שתי המדידות מרסן .לשנייה מטר 315 התקבלה המהירות

.בשיטת ההד 23קצר יותרה שיהאנו זמן התגובהעוץ בנשהוא אולם סביר להניח

) ,1596-1650René Descartes(רנה דקארט .הולנד, ליידן 1637

הניסוח את 25מאמר על המתודה ספרשל ה 24נספחמפרסם ב

חוק הידוע כיום כחוק ;המתמטי של חוק השבירה של קרניים

של לתנועה אנלוגיה מתוך השבירה גזר את חוק דקארט. 26סנל

למשל , שונה ההתקדמות מהירות בהםש אזורים שני ביןכדור

לדרושיו עלהיה ,ניסיוןלשהאנלוגיה תתאים כדי .אוויר ומים

ממהירותם דולה יותר גבתווך צפוף קים מהירות החלקיש

לא מנעה מדקארט להאמין האנלוגיה ,עם זאת. תווך דלילב

.שמהירות האור אינסופית

השבירה שמצא כדי להסביר את הזוויות שבהן דקארט משתמש בחוק, 27בנספח נוסף של הספר

של קרניים מטיפות תמינימלי פיזור זווית שקיימת הוא מראה . מופיעות הקשת הראשית והמשנית

22

שיצא לאור בשנת Sylva Sylvarumבספרו (Sir Francis Bacon, 1561-1627)שיטה זו הוצעה על ידי פרנסיס בייקון

. לא ביצע את המדידה אבל בייקון עצמו, 162723

המדען פייר -הכומר הפילוסוף, רבים מייחסים בטעות את המדידה הראשונה של מהירות הקול לידידו של מרסן

גסנדי אמנם התעניין בשאלת מהירות הקול בשל רצונו להפריך את . (Pierre Gassendi, 1592-1655)גסנדי

הוא אישר זאת על ידי השוואת זמן הגעת קול . עוצמתולפיה מהירות הקול תלויה בשהתיאוריה האריסטוטלית

. אולם הוא לא מדד את מהירות הקול, שמרחקם מהמאזין זהה הנפץ של תותח ושל רובה24

.נועד להדגים את השיטה הפילוסופית שהציג דקארט בספר, La Dioptrique ,הנספח 25

Descartes, R. (1637). Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison & chercher la verité dans les

Sciences. Leiden. ידועים לפחות שלושה מקרים. חוק השבירה של הקרניים נתגלה כנראה כמה וכמה פעמים לאורך ההיסטוריה 26

894סאל משנת -עדות לגילוי החוק אפשר למצוא כבר בכתביו של איבן ,לפי ההיסטוריון רושדי רשיד: נוספים

אך מעולם לא פרסם 1602- את החוק ב מאוקספורד גילה) Thomas Harriot, 1560-1621(תומס הריוט . לספירה

, 1621מליידן גילה שוב את החוק בשנת (Willebrord Snellius, 1580-1626)וילברורד סנל ,לבסוף. את ממצאיו

. אך גם הוא לא פרסם את עבודתו, מיםלר ויוקרניים במעבר בין אשל מתוך מדידות מדויקות של זווית השבירה

הודות להויחנס . ו בפלגיאטתוהאשים או ,הסיק שדקארט למד ממנו על החוק, שבחן את כתביו של סנל ,הויחנס

. דקארט-עם זאת בצרפת הוא נקרא חוק דקארט או חוק סנל. כיום חוק סנל חוק השבירה של הקרניים נקרא27

Descartes, R. (1637). Les Météores. Leiden. ] מאמר על המתודהנספח בספר[

מבוא: 1פרק

19

Pierre de Fermat

)1601-1665(

אור צמת הוע בהש זוויתה עם אותה מזההו, כדוריות

על פי נקבעתזווית זו הראה שט דקאר. המוחזר מרבית

החזרהבמקרה של . ההחזרות הפנימיות שבטיפהמספר

,'41o47 שזווית הפיזור היא קיבל הוא) קשת ראשית(אחת

.'51o37 - )קשת משנית( החזרות שתי במקרה שלו

ניתן הה שהרצועה הכאת גם של דקארט הסבירוהתוצאות

זהו .המשניתבין הקשת בין הקשת הראשית ותים לראות לע

, עות קרניים המפוזרות מטיפות המיםאליו לא מגישאזור

נקראת רצועה זו .)28ראה איור( ולכן הוא נראה כהה יותר

יאסהפילוסוף היווני אלכסנדר מאפרודיסעל שמו של יום כ

)Alexander of Aphrodisias( לראשונה בסוף שתיאר אותה

.השנייה לספירההמאה

הרצאות והדגמות מתמטיות הספראת ,בליידן ,מוציא לאור) ים וארבעבן שבע(גלילאו גליליי 1638

בסיבות , הדן בתכונות האלסטיות של חומרים זהו ספר מכאניקה. 29אודות שני מדעים חדשים

שזמן המחזור של מטוטלת אינו תלוי במשרעת גלילאו מראה בספר. של עצמיםובתנועה , לקוהזיה

תלויה ה, תנודתועל ידי תדירות ושצליל מיתר נקבע , באורכהרק או במשקלה אלא התנועה שלה

כארבעים שנה לפני פרסום אותו גילהש(לפי חוק מרסן צפיפות המסה שלובכו וראוב, במתיחותו

ראשית ההבנה של תשל גלילאו מסמלת אעבודתו . הוא מתאר את תופעת התהודה ,ף לכךוסנ. )הספר

.מקום מרכזי בתורת הגליםמאוחר יותר אשר תתפוס ,תנועה הרמונית פשוטה

מהתיאוריה של שלא היה שבע רצון ,פרמה–פייר דה. צרפת, טולוז 1657

שלפיו עיקרוןהתוך אותו מגוזר ,חוק השבירה של קרנייםעבור דקארט

. מינימליזמן המעבר עבורו הוא המסלול ש קרן אור בין שתי נקודות מסלול

אכן וחוק השבירה של הקרניים הם חוק ההחזרה ממראהפרמה מראה ש

הדוגמה זוהי. א כיום עקרון פרמהתוצאה ישירה של עיקרון זה הנקר

28

אשר " גוף ונפש"תרומה חשובה של דקארט הייתה פיתוח של הגישה הדואלית לבעיית , בהקשר הרחב יותר

בכך היא סיפקה את . והותירה את הקשר המורכב ביניהם לאלוהים, יקלי מעולם הנפשזשחררה את העולם הפי

.פעות טבע באמצעות חוקים המנוסחים באופן מתמטיההצדקה הפילוסופית לתיאור תו29 Galilei, G. (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche intro à due nuone scienze. Leiden.

ונאסר עליו לעסוק , מאסר עולםעליו נגזר , הורשע גלילאו, 1633לאחר משפט האינקיווזיציה בשנת

הוברח הספר ,כשהושלם. וכך במשך שלוש שנים נכתב הספר, מעצר ביתהעונש הומתק ל. באסטרונומיה

.מאיטליה ויצא לאור בהולנד

הרצועה הכהה של אלכסנדר בין הקשת הראשית ובין הקשת המשנית

גלים ואופטיקה

20

Christiaan Huygens

(1629-1695)

רבה הוא לא זכה להערכה אז .אסתטיגם ולכן מזוקק ופשוט אופןב טבע חוקניסוח של ל הראשונה

הפיזיקה חוקי של לניסוח כלליתגישה מייצג פרמהעקרון היום אולם , הקהילה המדעיתבקרב

את ו תורת היחסות הכלליתאת , את חוקי ניוטון, למשל, גזורניתן לדומים ומעקרונות , הקלאסית

קיים , בצורתו לזה של דקארט של פרמה זההשחוק השבירה שאף ,ראוי לציין .ההתרמודינאמיקחוקי

ואילו לפי , דלילמזו שבתווך ף נמוכה צפולפי פרמה מהירות האור בתווך : בין השנייםמהותי הבדל

.בתווך צפוף גבוהה יותרדווקא האור מהירות דקארט

את המודל 30הויחנסמציע הפיזיקאי ההולנדי כריסטיאן , באותה שנה

מטוטלת שזמן המחזור שלה אינו תלוי : התיאורטי הראשון של מתנד הרמוני

. 31במשרעת

.ציקלואידהעקום שצורתולאורך מסלול נעה המשקולת במטוטלת זו

.עשרה שנה לאחר שהושלמה–שש, 1673בשנת המהתפרס זו העבוד

על ניסוי 32חוזר(Robet Boyle, 1627-1691) רוברט בויל. אנגליה, אוקספורד 1660

. 33בו עוברים גלי הקולששהאוויר הוא התווך ומסיק, צנת ואקוםהפעמון בצנ

30

רבות תרםהויחנס ,נוסף לעבודות שנתאר בהמשך. יקאים הבולטים והחשובים בתקופתוזהויחנס היה אחד הפי

, הפיזור של כדורים אלסטייםהויחנס פתר את בעיית . ולטכנולוגיה )הרבה לפני ניוטון(הקלאסית הלמכאניק

בה המסה אינה ש(יקלית זחישב את תנועת מרכז המסה של מטוטלת פי, ניסח את חוק שימור התנע הקווי

של תלות את ה ,מאוחר יותר, הוק מצא נטריפוגלי של תנועה מעגלית שבעזרתוחוק הכוח הצ והציג את )נקודתית

טה חדשה לליטוש עדשות ששיפרה את איכותן ואפשרה בתחום הטכנולוגיה הוא פיתח שי .כוח המשיכה במרחק

והסביר לראשונה את , בעקבות זאת הוא גילה את הירח הראשון של שבתאי. ה של טלסקופים חזקים יותריבני

הויחנס גם המציא את שעון המטוטלת אשר שיפר באופן ניכר את הדיוק במדידת .מבנה הטבעות של שבתאי

אותו שרצונו לבנות שעון מדויק נבעה מן המחזור שלה אינו תלוי במשרעת התעניינותו במטוטלת שזמ. הזמן

ה על ידי הגלים ינדנוד האני. בו היא נמצאת כשהיא בלב יםשעל מנת להסיק מהו קו האורך , יהילקחת באנ אפשר

תלוי אינואך הוא קיווה שאם זמן המחזור , עלול להביא לשינוים משמעותיים במשרעת התנודה של המטוטלת

.מאוחר יותר הוא גם בנה את המנגנון של שעון קפיץ בעל גלגל איזון. מדידת הזמן תהיה מדויקת ,במשרעת31

Huygens, C. (1673). Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato

demonstration Geometricae. Paris. 32

בנה 1615בשנת . אך התוצאות הובילו למסקנות סותרות, ניסוי זה בוצע מספר רב של פעמים לפני כן

את המערכת על ידי תליית פעמון בתוך ,גליליי ידיד של גלילאו ,(Gianfrancesco Sagredo)סקו סגרדו 'יאנפרנצ'ג

קול ה ההחלשה בעוצמת, צנצנתשנשאר מעט אוויר ב אף. צנצנת שנאטמה בזמן שהזכוכית הייתה עדיין לוהטת

1650בשנת . הניסיון שוחזר מספר רב של פעמים, בעקבות ההדגמה של סגרדו. הפעמון הייתה משמעותיתשל

הוא הגיע . בו עוברים גלי הקולששהאוויר אינו התווך היחיד (Athanasius Kircher, 1602-1680) ר'הסיק קירצ

על מספיק הקפידנראה שלא (בכל זאת שמע את צליל הפעמון למסקנה זו לאחר שבמערכת הניסוי שבנה הוא

,Otto von Guericke)חזר אוטו וון גריקה ,ארבע שנים מאוחר יותר). פנות הצנצנתובידוד תנודות הפעמון מד

, שקול הפעמון לא נשמע כאשר האוויר הוצא מהמערכת אף. ויר משופרתועל הניסוי עם משאבת א (1602-1686

ך מכ. יכול לשמוע קול עמום של צלצול בכל זאת הוא, פנות הצנצנתואם הוא מצמיד את האוזן לדגריקה שם לב ש

, ובעזרת עוזרו, סקיצה של משאבת האוויר של גריקה הגיעה לבויל .הסיק שגלי הקול יכולים לנוע גם ללא אוויר

פנות וד מקור הקול מדולשם בידו, הוק שכלל את משאבת האוויר: את המערכת באופן ניכר שיפר, רוברט הוק

.פעמוןבהם השתמשו בשעון במקום ,הצנצנת33

Boyle, R. (1660). New Experiments Physico-Mechanical, Touching the Spring of the Air and its Effects.

Experiment 27, pp. 205-210, 1st edition, Oxford.

מבוא: 1פרק

21

איור מהספר של הויחנס המדגים את המבנה של מטוטלת שזמן המחזור .שלה אינו תלוי במשרעת

,Giovanni Alfonso Borelli(י האיטלקים גיובאני בורל, באותו הזמן

תלמידו של , Vincenzo Viviani, 1622-1703(יאני וווינסנזו ויו) 1608-1679

, מהירות הקול בשיטת הירי של תותח שלמבצעים מדידות מדויקות )גלילאו

.34מטר לשנייה 350–כמהירות של ומקבלים

המאפיינות את האופי הגלי תייחודיוז הבמה המדעית שתי תופעות בתוך שנתיים מובאות למרכ 1663

האור יקי שלהחלק להחלפת התיאור, המשךב, תופעות אלו יובילו. התאבכותהו עקיפהה: של האור

. שנה מאה ושישיםכעוד יעברו עד אז אולם, בתיאור גלי

-Francesco Maria Grimaldi, 1618(סקו מריה גרימלדי 'פרנצ. בולוניה

ומגלה , אפלה לשכה לא מפתח קטןמעבר של קרני אור דרך בוחן )1663

להיות היולאזורים שאמורים ולהגיע, עצמים" לעקוף"שקרני האור יכולות

מגיעות לנקודות הקרניים מתוארות ,המדגים את התופעה, באיור. 35חשוכים

"K" ו–"I". נקודות אלה מרוחקות מ–"O" מו–"N" אליהןשנקודות הסף שהן

, בעקבות התגלית. קווים ישריםהנעות אך ורק לאורך יםקרני יכולות להגיע

סוג של שהוא וטען, בהכרח לאורך קווים ישרים אינו נע האורש הבין גרימלדי

. לעקוף עצמים מסוגליםהלי מים גלבדומה לגלי קול ו, נוזל בעל תכונות גליות

.1665 שנתב, שנתיים לאחר מותו של גרימלדי התפרסמה 36עבודתו

34

ויאני ערכו את מדידות מהירות הקול במסגרת אחד המיזמים של האקדמיה הפלורנטינית למדעים וווי בורלי

היא מנתה תשעה . הראשונה תהייתה זו ההתאגדות האקדמית הפורמאלי. באיטליה 1657סדו בשנת יאותה יש

מוך בההתמנה לקרדינל וחדל לת ,י'לאופולד דה מדיצ, כאשר פטרונה –והתפרקה לאחר עשר שנים , חברים

לא אפשרה את קיומה של , בתקופה שלאחר גלילאו גליליי, החשדנות של האינקוויזיציה ביחס לפעילות מדעית(

בעקבות האקדמיה הפלורנטינית נוסדו אקדמיות מדעיות ).האקדמיה ללא תמיכה של אישיות דתית בכירה

בשנת נוסדה הצרפתית למדעים האקדמיה , 1660המלכותית נוסדה בבריטניה בשנת החברה .נוספות באירופה

תן של האקדמיות למדעים הופיעה יבד בבד עם עלי. האקדמיות בברלין ובסנט פטרבורגנוסדו ומאוחר יותר , 1666

גם העיתונות המדעית אשר קיצרה באופן ניכר את משך הזמן שנדרש לפרסום תוצאות המחקרים המדעיים

פרק זמןשלכתיבתם נדרש מאמרים פרסום זמן רב ל וכשכתיבתם והוצאתם לאור אר ,מפרסום ספריםמעבר (

, תלות שלה בטמפרטורההבפרט ו( המדידה של מהירות הקול. והביאה להאצת קצב התקדמות המדע, )קצר יותר

לבקשת האקדמיה , 1677בשנת , לדוגמה. מטרות של האקדמיות המדעיות במשך זמן רבההייתה אחת ) בלחץ

מדידות ,1738בשנת , ומאוחר יותר ,מטר לשנייה 356בהן נמצא שמהירות הקול היא שנערכו מדידות , הצרפתית

. מטר לשנייה 332: המודרנית תוצאהמדויקות יותר נתנו ערך קרוב מאוד ל35

בעברית. פיצפוץ או פיצוח הוא לטיניתב המילה פירוש. התופעה לתיאור" דיפרקציה" המונח את טבע גרימלדי

מדגישה שמדובר בתופעה בעלת " דיפרקציה"שהוא קצת פחות מוצלח הואיל והמילה "עקיפה" המונח השתרש

. מקומי של התופעה-מתייחסת לביטוי הלא" עקיפה"ואילו המילה , אופי מקומי36

Grimaldi, F. M. (1665). Physoco-mathesis de lumine coloribis et iride. Bononiae.

של מהספר איור גרימלדי המדגים את

.העקיפה תופעת

גלים ואופטיקה

22

,Robert Hooke( 37בלונדון יוצא לאור ספרו המפורסם של רוברט הוק 1665

מתאר הוק , שהפך מיד לרב מכר, בספר .38רוגרפיהיקמ )1635-1703

) ידיו מעשה(רישומים מופיעים בו .תצפיותיו במיקרוסקופ שבנהאת

עדשת להציב תחת עצם מעניין שאפשר היהעט כל כמ של

בין . הסברים של התופעות שראה והשערות לגבי מהותן, המיקרוסקופ

עים בשכבות דקות של יהמופ הוא מתאר את הצבעים ,שאר הדברים

תופעה הנובעת - על מיםבבועות סבון ובשכבות שמן ,)מייקה(נציץ

תלוי נציץ פתיתי ה צבעוק נוכח לדעת שה. מהתאבכות קרני אור

שהאור הגיע למסקנה את התופעהלהבין סיון ינותוך כדי , יםבעובי

ושכל נקודה בחזית הגל , )"תנודותשל מהירה תקדמותה("הוא גל

.לאגם ל כדורי בדומה לגלי מים שיוצרת אבן המוטלתמייצרת ג

נועלת ' מתפשטת מגפת הדבר באנגליה ואוניברסיטת קיימברידג 1665בקיץ 1666-7

- ושם, לינקנשייר פ שבמחוזהולדתו וולסתורן חוזר לכפר ניוטו. שעריהאת

, פיזיקה, המהפכניים במתמטיקה מפתח את רעיונותיו הוא - כשנתייםבמשך

שפר את ביצועיהבין כיצד אפשר לניסיון לכדי תוך . אסטרונומיה ואופטיקה

העובדה . מורכב מספקטרום של צבעים האור הלבןש ניוטון מגלה, הטלסקופ

הייתה שונים צבעים בעלות לקרניים מתפרק שאור לבן העובר דרך מנסרה

ביטוי שהצבעים הם היה בזמנוההסבר המקובל אולם ,דנא מקדמת ידועה

.המנסרהדרך המעברבזמן ")הטהור(" הלבן ורהאשל )"אילוח" או(לשינוי

37

, ביולוגיה, אסטרונומיה, מכאניקה: יוצא דופן שתרם לתחומים רבים במדעפורה באופן רוברט הוק היה מדען

גילוי הסיבוב של , בין השאר, רשימת הישגיו כוללת. ארכיטקטורה והנדסה, אבולוציה, גיאולוגיה, פיזיולוגיה

חגר המשונן המצאת המ, )משה מרכיב חשוב בפיתוח מנוע הקיטורישש(שכלול משאבת האוויר , צדק סביב עצמו

גילוי המבנה , גילוי תופעת ההתאבכות, בניית הטלסקופ הגרגוריאני הראשון, בעל מנגנון העגינה עבור שעונים

פיתוח תורת הבעירה , הצעה להשתמש במאובנים לשם שחזור ההיסטוריה של כדור הארץה, התאי של הצמחים

ניסוח , נה שנשימה גם היא סוג של בעירהההב, וההבנה שבאוויר מצוי חומר שיוצר תרכובת עם החומר שנשרף

המכונה כיום ניסוח חוק הכוח של הקפיץ –וכמובן , חוק המשיכה בין גרמי השמים והחוק הראשון של ניוטון

. פיזיקלית של התופעות-והבנה אינטואיטיבית, הגישה המחקרית של הוק התבססה על ביצוע ניסיונות. חוק הוק

בין היתר עקב המטלות הרבות , )בפרט לא באופן מתמטי פורמאלי(רעיונותיו הוא לא הקדיש מאמץ רב לפיתוח

בכל שבוע היה עליו להציג בפני החברה המלכותית הדגמות של שלושה או ארבעה אפקטים (שלקח על עצמו

הוא נרתם לשיקום העיר כמודד ,)1666בשנת (ולאחר השריפה הגדולה בלונדון ,!משמעותיים חדשים

ונקלע לעימותים על רקע זכות הראשונים על , ק גם נהג לשמור בסוד רבים מהישגיו למשך זמן רבהו. ארכיטקטכו

ואף פעל לאחר מותו למחיקת , הסיר מספריו התייחסות לעבודותיו, בעקבות מחלוקות עם הוק, ניוטון. התגליות

מתודעת הקהילה במשך השנים הוא כמעט נמחק, שהוק היה נערץ בדורו פי-על-אף, כתוצאה מכך. מורשתו

. המצאותיו יוחסו לאחרים שהשקיעו בפיתוחם ובהבנת הרעיונות שבבסיסםמורבות מתגליותיו ו, המדעית38

Hooke, R. (1665). Micrographia, or Some Phisiological Descriptions of Minute Bodies Made by

Magnifying Glass. London.

מיקרוגרפיה איור מהספר

Sir Isaac Newton (1643-1727)

מבוא: 1פרק

23

ים קרניים בעלות צבעשל אוסף אלא , "טהור" האור הלבן אינוש ,ניסוייםשל בשורה ,הוכיח ניוטון

של כל אחד השבירהצמת ועוש רוק נוסףיאלו אינם ניתנים לפצבעים הראה ש הוא, יתרה מזו .שונים

הניסויים המרכזיים שהביאו אותו למסקנות אלו נעשו .נפיצהזו נקראת היום תופעה . אחרתמהם

, צבעוניותלבנה מאוסף קרניים אורקרן לבנות שאפשר הוא הראה, למשל, כך. שתי מנסרותבעזרת

הנעים חלקיקים של הוא זרםהאור האמין ש ניוטון .39בנפרד צמת השבירה של כל צבעוולמדוד את ע

שמסקנותיו ,בצדק ,40טען הוא ,זאת עם. מסוג שונהלחלקיק םמתאי צבע כלשסבר ו, ישרים במסלולים

.41חלקיקים שטףהוא גל או האורהאם בשאלה בלתי תלויות לגבי הרכב האור הלבן

Erasmus(ארסמוס ברטולין הרופא הדני .קופנהגן 1669

Bartholinus, 1625-1698 ( מגלה את תופעת השבירה

לכך שדמותם של ברטולין שם לב . 42הכפולה בגביש קלציט

אותו אחת שאם מסובביםו, עצמים מבעד לגביש מוכפלת

את מיקומה השנייה משנה ואילו קבועהנשארת הדמויות

אבכותכמו ההת. אור אחת לשתיים קרן אן הוא הסיק שגביש הקלציט מפצלמכ. בהתאם לכיוון הגביש

כמאה מהות האור במשךר מרכזי בהבנת היווה אתג ההסבר של תופעת השבירה הכפולה גם ,והעקיפה

.שלאחר התגלית שנההוחמישים

נוסע לפריס כדי לעבוד עם האסטרונום האיטלקי ) ,1710-1644Ole Rømer( המדען הדני אולה רומר 1672-6

הוא מצרף את המידע שברשותו ).Giovanni Domenico Cassini, 1625-1712( גובאני דומניקו קסיני

). באלה של איו בעיקר(ות בליקויי הירחים של צדק וביחד הם ממשיכים לצפ, לזה שכבר אסף קסיני

והתארך , לב לכך שהזמן בין הליקויים התקצר כאשר כדור הארץ התקרב לצדק קסיני ורומה שמו

שהתנהגות זו נובעת סביר בו הוא השאמר קצר קסיני מ רסםפ 1675בשנת . אשר הוא התרחק ממנוכ

,שהמשיך לדגול בה ,אך רומה את התיאוריה שלונח הוא ז ,לאחר זמן מה. ר סופיתמכך שמהירות האו

הוא שמש ל של קוטר מסלול כדור הארץ סביב ההעריך שהזמן הדרוש לאור לחצות מרחק מסדר גוד

39

-Joannes Marcus Marci, 1595( מרכוס מרסי ניוטון בוצעו לפני כן על ידי יוהנסרבים מהניסויים האופטיים של

היה מודע לקיומן של קרניים , מרסי, בפרט. Thaumantias (1648), במסגרת עבודתו על הקשת ,)1667

.ת שלא משנות את טבען לאחר חזרה או שבירה נוספתומונוכרומטי40

Newton, I. (9 December 1675). letter to the Royal Society. 41

שהיה גם ( New Theory about Light and Colours, Phil. Trans. Roy. Soc. (London). 6 (1672) הצגת המאמר

מהות עלהוביל למחלוקת חריפה בינו לבין רוברט הוק ,בפני החברה המלכותית) המאמר הראשון של ניוטון

דחה את פרסום , שהיה רגיש לביקורת באופן יוצא דופן, שניוטון היסטוריונים של המדע מאמינים. האור

. 1703בשנת ,המקיפה שלו בנושא עד לאחר מותו של רוברט הוק ההתיאורי42

Bartholinus, E. (1670). Experimenta crystalli Islandici disdiaclastici quibus mira et insolita refraction

delegitur. Hafniae.

גבישים אלו נקראים גם פצלת . בישי הקלציט הגיעו לידי ברטולין על ידי מלח שאספם על החוף באיסלנדג

.איסלנד

שבירה כפולה בגביש קלציט

גלים ואופטיקה

24

איור של הויחנס המדגים את יה של חזית גל מאוסף יעקרון הבנ

המתקבלים של גלים כדוריים .ממקורות נקודתיים

רומה לא חישב את . 43האור סופית מסקנתו שמהירותפרסם את 1676ובסוף שנת , דקות 22–כ

לאחר התכתבות , נסהויח. לגבי המרחקים האסטרונומייםמהירות האור כיוון שלא הייתה לו הערכה

–כלומר כ ,העריך שהאור עובר מרחק של כאלף פעמים הקוטר של כדור הארץ בדקה אחת, עם רומה

)Edmond Halley, 1656-1742( יאדמונד הליהאסטרונום מצא 1694–ב .קילומטר בשנייה 220,000

מהירות האור ,כלומר. דקות 17–בכרק מדובר למעשה כי הדקות של רומה מהוות הערכת יתר ו 22–ש

. קילומטר בשנייה 300,000–כ - גדולה יותר

קודה על כל נמתוך העיקרון שהתיאוריה הגלית של האור מפתח את הויחנסכריסטיאן . פריס 1678

את חזית הגל השחזיתו מרכיב ,קור לגל כדורי משניחזית גל היא מ

התייחס לגלי האור הויחנס. כמודגם באיור, הבאה הראשית

הנקרא (עיקרון זה בעזרת ו, כאנלוגיים לפולסים של לחץ בגלי קול

שחזר את ו את תופעת העקיפההוא הסביר ,)הויחנסכיום עקרון

. ההחזרה ממראהאת חוק וחוק סנל

להסביר אתכדי לנסות ו התיאוריהאת הויחנסהרחיב בהמשך

הניח שהמקורות על חזית אוהלשם כך .תופעת השבירה הכפולה

האחד : של גלים משניים םוגייוצרים שני ס ,הקלציט בגביש ,הגל

תופעת סביר את צליחה להה זו הנחה .והשני בצורת ספרואיד כדורי

שנידרך עברו הקרנייםבהם שהניסויים אך לא את ,קרני אור דרך גביש אחד כפולה במעברה השבירה

ומשמש כתווך , אשר ממלא את כל החלל 45היה האתר הויחנס שלמרכיב הכרחי בתיאוריה . 44םגבישי

).בו מתפשטים גלי הקולשבדומה לאוויר (בו נעים גלי האור ש

מתכונתי לשינוי באורך הכוח : 46קפיץהאת חוק הכוח של מציג רוברט הוק ,בלונדון, בינתיים

קובע את ההתנהגות של מערכות , שנקרא כיום חוק הוק, חוק זה). ביחס למצבו הרפוי( הקפיץ

. והוא הבסיס לתורת האלסטיות, )יציבות(ליד נקודות שיווי משקל רבותפיזיקליות

43

Ole Rømer. (1676). Demonstation touchant lemouvement de la luumiere, Journal. des Scavans, 233-236. 44

Huygens, C. (1690). Traité de la lumière; Où sont expliquées les causes de ce qui luy arrive dans la

reflexion, & dans la refraction; Et particulierement dans l'etrange refraction du crystal d'Islande. Leiden. 45

" .אוויר פסגות"או " שמים כחולים"אתר הוא מילה שמקורה יווני ושמשמעותה המקורית היא 46

אך נמנע מפרסומו כיוון 1660-טוען הוק שגילה את החוק כבר ב De potentiâ restitutiva (London, 1679)בספר

אשר בסידור נכון , CEIIINOSSSTTUV, החוק עצמו נכתב כאנגראמה. שרצה לרשום פטנט על אחד היישומים שלו

.התארכות כך הכוחכפי ה: שמשמעותו "ut tensio sic vis" )הלטיני(של האותיות נותנת את המשפט

מבוא: 1פרק

25

כתוצאהקוסטיקות הנוצרות .במראה גליליתמהחזרת קרני אור

מסביר את תופעת (Edme Mariotte, 1620-1684)47אדם מריוט 1681

מריוט הניח שצורת הגבישים .48פיזור קרניים מגבישי קרחכההילה

דומיםהם ,למעשה .צלעות שווה משולשהוא שבסיסה מנסרה היא

את קיבל מריוט ,זאת למרות ,אולם ,משושה בעלת חתך מנסרהל

.22o–כ ,הקרניים של המינימלית פיזורהשל זווית הנכוןהערך

עובר דרך פאות ואינ במנסרה משושה הקרן שמסלול הסיבה לכך היא

, 49משולשת מנסרהשב לזה זהה הקרן ולכן אופן שבירת, סמוכות

.באיור כמודגם

Ehrenfried Walther( רנהאוס'צ ולטר פון הגרמני ארנפריד המתמטיקאי 1682

von Tschirnhaus, 1651-1708( בפני האקדמיה קוסטיקות את עבודתו על מציג

לאחר שלאורכם מתרכזות קרני אורעקומים הן 51קוסטיקות. 50המדעית בפריס

הפיזור המינימלית זווית . כמודגם באיור, משפה עקמומית שבירה או החזרה

. היא דוגמה לקוסטיקה ,הקשתאשר מזוהה עם תופעת ,טיפת מים כדוריתמ

.52ית הטבעיהיסודות המתמטיים של פילוסופ ניוטון מפרסם את. 'קיימברידג 1686

שגלי מסבירהוא בספר .ח את היסודות של המכאניקה הקלאסיתמניהוא שם

איכותית תמונהומציע , צפיפותובו ם בלחץ האוויריים מרחבייהקול הם שינו

. מטוטלתל בדומה ,פשוטה תנועה הרמוניתמבצעים חלקיקי האוויר לפיה ש

שמהירותו, תקובעים את אורך המטוטלהאוויר וצפיפותו לחץ שראה הניוטון

בחוק השתמש הוא ,זהה יחסאת ה כדי להעריך. יניהםבשורש היחס היא הקול

.שטמפרטורת האוויר קבועה להנחה שקולאשר ,בויל

למרות זאת אך , יקרך המדומהע 20%–בכנמוכה הייתה שהתקבלהתוצאה ה

אינה תלויה בגובה מהירותם) א(: שתי תכונות מרכזיות של גלי קול האנליזה של ניוטון הסבירה

47

כיום חוק בויל הקרוי, וחוק התפשטות הגזים בטמפרטורה קבועה, מריוט נודע בזכות גילוי הנקודה העיוורת בעין

). למעט בצרפת(48

Mariotte, E. (1681). Essai de la nature des couleurs. Paris. 49

לחשב ידעו כיצדאך הם לא ,מגביש קרח אור פיזור תוצאה של שההילה היא ,לפני מריוט, קפלר ודקארט שיערו

. זווית הפיזור את50 Tschirnhaus, E.W. (1682). Inventa nova exhibita Parisiis Societati Regiae Scientiarum, Acta eruditorum pp.

364-365. 51

על ידי הויחנס ראשונהתוארה להתופעה ".משהו ששורף"הוא (Caustics)רוש המילולי של המילה קוסטיקה יהפ

.כןל קודםשנים כמה 52 Newton, I. (1686). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London.

מחיש המשל ניוטון איור מהספר גלי של התפשטות האת אופן

.בקיר חריר מעבר דרךקול ב

גלים ואופטיקה

26

אלו תכונותש התברר עשרה–התשע המאה סוףלקראת .בעוצמת הקול תלויה גם לאהיא ) ב( ,הצליל

.צמתם נמוכה מספיקושע קול גלי רק מאפיינות

של הכוחות הפועלים על על ידי בחינהירות ההתקדמות של גלי מים את מה העריךניוטון גם

.שמהירות זו מתכונתית לשורש של אורך הגלוגילה , הפוכה Uשצורתהנוזל שנמצא במבחנה

האיש שטבע את , (Joseph Sauveur, 1653-1716)וזף סובר 'ג 1701

תופעת הפעימות ל מפתח את ההבנה ש ,53"אקוסטיקה"המושג

הוא דן. משילוב שני צלילים בעלי תדירות קרובה המתקבלת

אופני התנודה של מסביר כיצדו בשילובים הרמוניים של צלילים

סובר גם טבע את המונח .54מיתר קשורים בטונים העיליים שלהם

כדי לתאר את נקודות השבת של מיתר המתנדנד (node) " צומת"

. באחד מאופני התנודה העצמיים שלו

את המרכיבבספקטרום הצבעים דן בעיקר הספר. יוצא לאור ,ניוטוןשכתב , 55אופטיקה הספר 1704

תופעה ה(בשכבות דקות התאבכותהביניהן ו, תופעות אופטיותכמה מתוארות בו גם ו, ןלבהאור ה

גדולהה תרומתו בנושא האחרון .בענן קשתהו )שבויל והוק גילו אותה לפניואף ן טבעות ניוטונקראת

עובי שב את המפתח הזוויתי שליח נוסף לכך הוא. הקשת צבעי לשמקור ההייתה הבנת ון של ניוט

הגודל הסופי השפעת התייחס לו )קרני אור אדומות וסגולותצמת שבירה שונה של ונובע מעה( הקשת

. על תכונות הקשת של השמש

התיאוריה לא הצליח להביא את , עם זאת .האמין שהאור הוא זרם של חלקיקים ניוטון

לגבי מהות משנתו פרש את ולכןות שהוא עצמו הציב וודאות שעמדה בדרישה לדרגתהחלקיקית

ניוטון שיער . 56חקירה נוספת ותהדורש ספק טענות שאלותספק רשימה של כ, בסוף הספר, האור

צמת וההבדלים בע סביר אתכדי לה. הנעים במסלולים ישרים ים זעיריםהאור מורכב מחלקיקש

לכן ו ,אדוםאור הקטנים מאלו של ה לחלקיקי האור הסגוש הוא טען, של הצבעים השוניםשבירה ה

אנלוגית להחזרה של כדור אלסטי ,לפי ניוטון, תופעת ההחזרה ממראה .םמסלולם מותר להסיטקל י

כתוצאה ,בזמן המעבר דרך הסדק ,חלקיקי האורשל חלק מ נובעת מהסטה עקיפהותופעת ה, מקיר

".לשמוע"מילה היוונית ב מקורו" אקוסטיקה"המונח 53

54 Sauveur, J.(1701). Principes d'acoustique et de musique, ou système général des intervalles des sons. In

Mémoires de l'Académie Royale des sciences. 55

Newton, I. (1704). Opticks, or, a Treatise of the Reflections, Refractions Inflections and Colours of Light.

London.. 56

.לאור מספר השאלות הללו הלך וגדל בכל מהדורה חדשה שיצאה

אתדגים המ סובר שלמהספר איור .נקודות הצומת של תנודות מיתר

מבוא: 1פרק

27

כדי להסביר את השבירה הכפולה של אור במעבר דרך גביש .הסדק מפעילה עליהםכוח ששפת המ

מכיוון הצדדים של ושהשבירה הכפולה נובעת , "צדדים"לחלקיקי האור יש ניוטון ששיער ,ציטקל

תופעות נוספות שהיו בעזרת הנחה זו הוא הצליח לתאר באופן עקבי. החלקיקים ביחס לכיווני הגביש

כדי להסביר את תופעת . כמו מעבר דרך שני גבישים בקונפיגורציות שונות, כפולהקשורות בשבירה ה

לקיקי האור מעוררים בחומר לפיו חשלמדי הסבר מעורפלניוטון הציע ,ההתאבכות בשכבות דקות

ממהירות האור וליצור יותר מהר לנוע, לכאורה, גלים אלו יכולים. בדומה לאבן שנופלת באגם ,גלים

יוצרת , ובצבע האור בעובי השכבה אשר תלויה, ומשיכה ז. ית בין חלקיקי האורמשיכה אפקטיב

fits of easy"(או התאמה להחזרה נוחה )"fits of easy transmission"(התאמה למעבר נוח

reflexion"( האור של קרני.

התיאוריה: עשרה–שמונהאור בתחילת המאה הלהסביר את מהות ה ניסומתחרות שתי גישות

,למעשה( הויחנסשנתמכה על ידי הוק ו גישה הגליתוה, ניוטון בה דגלש )הקורפוסקולרית(החלקיקית

טון לא הסבירה באופן משביע רצוןזו של ניו: לקו בחסר הגישות שתי). 57בכל גישה גרסאותכמה היו

בחלק הנמוך( נןבשולי הקשת בעתבנית האור המורכבת שאת ו, עקיפההאבכות ותהאת תופעות ה

כל ההיבטים של אך לא את האלהתופעות החלק מ ,באופן איכותי, הגישה הגלית הסבירה .)שלה

. של האור ספקטרום הצבעיםמשמעות וגם לא את , השבירה הכפולה

גלי של האתר שנושא את קיומו בהנחתיתה הצורך הי של הגישה הגלית קריתיהע נקודת החולשה

גל הנעאכן הוא האוראם ) א( :טיעוניםבעזרת כמה חה זו ניוטון תקף הנ. וממלא את כל החלל האור

יש להניח שלאתר להסביר את המהירות העצומה שלואזי כדי , באוויר קוללגלי בדומה ,באתר

שלא תהיה כדימאוד האתר צריך להיות דליל, אתעם ז .י גבוהים מאלו של פלדהצפיפות וחוזק אלסט

) ב( .איך שתי הדרישות הללו יכולות לדור בכפיפה אחתלהבין וקשה , השפעה על תנועת הכוכבים לו

בקלות רבה יכולים לעקוף מכשוליםמדוע אינו מתנהג בדומה לגלי מים ולגלי קול ש ,אם האור הוא גל

- שלא ניתן לראותוואף , מביא היא כדור תותח שנורה מעבר לגבעה אחת הדוגמאות שניוטון(

ה בהסבר תופעת השבירה הכפולה מדוע היא נכשל, אם התורה הגלית נכונה) ג). (שומעים אותו היטב

?של האור הלבן הצבעים רוש המשמעות של ספקטרוםיובפ

לו הקהילה המדעית הביאו שרחשה וההערכה שיצאו לו המוניטין, נגד האתרל ניוטון טיעוניו ש

חברי רוב התקבלו על ידיופותחו על ידי ממשיכי דרכו , אף שהוצגו כהשערה, לכך שהשקפותיו

57

. היא גדולה יותר –לפי הוק ואילו, לפי הויחנס מהירות האור בתווך צפוף קטנה יותר מזו שבתווך דליל, לדוגמה

של זו, משלל(התייחסו לאור כאל נוזל גישות אחרות אולם, טען שהאור הוא זרם של חלקיקיםניוטון , כמו כן

. Nicholas Hartsoeker, 1656-1725): לוטש העדשות

ראשיתהמאה

18–ה

גלים ואופטיקה

28

רק ו, כמאה שניםבמשך לתיאוריה השלטת אורפך התיאור החלקיקי של הכך ה. קהילה המדעיתה

. החזיקו בדעה שונה 58מעטים

תנודות של מוטות , גלים במיתר ובתוף ,גלי קולכגון ,תחומים אחרים של תורת הגליםבזמן זה

ניסוח חוקי המכאניקה הקלאסית והמצאת החשבון . במהירות והתפתח אלסטיים וגלי מים

של אמיןעל ידי ניוטון ולייבניץ סיפקו את הכלים הדרושים לתיאור יהדיפרנציאלי והאינטגרל

–ית המאה השמונהשבראש צייןל חשוב .חלקיות ת דיפרנציאליותבאמצעות משוואו מערכות אלו

במיוחד , חלקיקים–תאיך מכלילים את החוק השני של ניוטון לבעיות מרובו ברורהיה עשרה עדיין לא

רוב ימשמעותו של הקעדיין לא הובנה ,כמו כן. רוש לבניית משוואות דיפרנציאליותהדבגבול הרצף

.ליניאריות–משוואות לאשל מבצעים ליניאריזציהוהאופן שבו , של תנודות קטנות

מוכר מפיתוח טיילור של פונקציותה ,)(Brook Taylor, 1685-1731 ברוק טיילור .'קיימברידג 1714

,מוזיקליתשנולד למשפחה ,טיילור. 59של מיתר מוכיח את חוק מרסן עבור תדירות התנודה ,אנליטיות

הניח שכל חלקי המיתר הוא ,כדי לענות עליה. מיתרהצליל של גובה התעניין בשאלה מה קובע את

צמת הסיק מהי עו בחינה של צורת המיתר ברגע נתוןועל ידי ,נודות קטנות בתדירות אחתמבצעים ת

אפשרו לו לחשב, זה וצפיפות המסה של המיתרהכוח הידיעת . על המיתרהפועל הכולל הכוח המחזיר

.פשוטה תדירות התנודה של מטוטלתלחישוב באופן דומה ,היסודית של המיתרהתנודה תדירות את

,לאסטרונום המלכותי מגיש (James Bradley, 1692-1762)האסטרונום גיימס ברדלי .אוקספורד 1728

השנה של שבתקופות שונות ראהה ברדלי. 60השבת בכוכבי תצפיותיו מתאר אתה דוח ,הליי אדמונד

שבין מהירות כדור הארץ סביב השמשליחס השינוי במיקום קשור וש, מיקום הכוכבים שונה מעט

.בשנייהמ "ק 295,000–א כשמהירות האור היהסיק מכאן . האור מהירותבין ו

מרחיב את )Johann Bernoulli, 1667-1748( יוהן ברנולי ,שבשוויץבאזל ב ,באותו הזמן

עליו מושחלים שחסר מסה כמיתר אותה ניתן לתאר ש, הבדידעל המיתר למערכת עבודתו של טיילור

והמרחק ביניהם בו מסת החרוזיםש, רצףבגבול ה .זה מזהמרחק קבוע בהממוקמים חרוזים זהים

. 61משחזר את התוצאה של טיילור ברנולי, שואפים לאפס

58

-Jams Hutton, 1726,( הטון יימס'את גגם נזכיר , תתואר בהמשך שעבודתם, )II( ברנולי ויוהן מלבד לאונרד אוילר

לסילופטריק , (Bryan Higgins, 1737-1820)בראיין היגנס, )Adam Walker, 1731-1821(ווקר אדם ,)1797

)Patrick D. Lesile, 1777-1832( . 59 Taylor, B. (1714). De motu nervi tensi . Phil. Trans. Roy. Soc. 28, 26-32. London. 60 Bradley, J. (1729). An Account of a New Discovered Motion of the Fixed Stars. Phil. Trans. Roy. Soc.

(London), 35, 637. 61 Bernoulli, J. (1732). Meditations de chordis vibrantibus. Comm. Acad. Sci. Petrop, 3, 13-28.

מבוא: 1פרק

29

Daniel Bernoulli

(1700-1782)

אוילר לאונרד המפורסם יהשוויצר יהמתמטיקא מעתיק 1727בשנת 1733

)של יוהן ברנולי בנו( 62מצטרף לדניאל ברנוליו מגוריומקום את

היה השניים שיתוף הפעולה בין. באקדמיה למדעים שבסנט פטרסבורג

התיאוריה של עסקו בפיתוחהם ובמשך חמש שנים, רה במיוחדפו

שהעסיקה הראשונות אחת הבעיות. מכאניות במערכותתנודות וגלים

שפעת וומ שלה קצה אחדהתלויה ב הדינאמיקה של שרשרת אותם הייתה

של ואוילר חישבו את אופני התנודה ברנולי. ובד של כדור הארץהכ מכוח

, ת בסל במקרה הרציףיידי פונקציוהראו שהם מתוארים על זו מערכת

הראשונה המערכת ,למעשה, זוהי. נדר במקרה הבדיד'לז ופולינומי

עבודתם של טיילור ויוהן (העצמיים התנודה אופני חושבו עבורהש

ברנולי הגיש את ).רק באופן התנודה היסודי ברנולי על המיתר דנה

ואוילר ,1733בשנת ,בטרם עזב את סנט פטרבורג לאקדמיה 63עבודתו

. 64לאחר מכןשנה כהגיש את גרסתו

פת מכתביםיחלבאמצעות נמשך וברנולי 65שיתוף הפעולה בין אוילר 1735

התנודות של מוט גם את בעיית הם חקרו . ם לאחר שברנולי חזר לבאזלג

. נוליבר–משוואת אוילר ומשוואת הגלים שפיתחו לשם כך נקראת, גמיש

אביו שהיה מדען בעל שם ודמות סבל מיחס קשה של, מוכשרים ביותר בתקופתויקאים הזאחד הפי, דניאל ברנולי 62

הפרס הראשון של האקדמיה הצרפתית את , שניהם יחד, קיבלויחסיהם הדרדרו לאחר ש. מרכזית בעולם המדעי

דניאל זכה בפרסים . גירש את בנו מהבית ולכן, לזכות בפרס ראוי יוהן סבר שהוא לבדו. 1735בשנת , למדעים

התפרסם ספרו החשוב ביותר של 1738בשנת . והדבר רק העצים את קנאת האב, נוספים של האקדמיה הצרפתית

בעקבות הספר(נאמיקה של נוזלים וגזים היסודות לתחום המטפל בדי שהניח את ,מיקהאהידרודינ, דניאל ברנולי

הידראוליקה את הספר מיד לאחר מכן פרסם יוהן ברנולי). כשמו של התחום" מיקהאהידרודינ"אומץ המונח

ל ש דניאל הוא שהעתיק את הרעיונותליצור מראית עין שכדי , יתר על כן. שהיה למעשה פלגיאט של הספר של בנו

. הוקדם תאריך ההוצאה לאור הרשום על הספר בכמה שנים, אביו63

Bernoulli, D. (1738). Theoremata de oscillationibus corporum filo flexili connexorum et catenae verticaliter

suspensae, Comm. Acad. Sci. Petrop. 6, 108-122. 64 Euler, L. (1741). De oscillationibus fili flexilis quotcunque pondusculis onusti, Comm. Acad. Sci. Petrop. 8,

30-47. הוא טבע את חותמו בתחומים רבים של . מתמטיקאים הפוריים ביותר בהיסטוריההאוילר נחשב לאחד 65

חשבון , חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, תורת המספרים, הגיאומטרי, טריגונומטריה: יקהזהמתמטיקה והפי

אוילר גם הכניס . מכאניקה אנליטית ואסטרונומיה, מיקהאהידרודינ, אלסטיות, מוזיקה, אקוסטיקה, ריאציותו

אוילר החלה דרכו המדעית של. עבור בסיס הלוגריתם הטבעי ℓואת , פונקציה כמציין של f(x)לשימוש את הסימון

המשיך לברלין וחזר , בורגסלסנט פטרהוא עבר לאחר מכן. בהדרכת יוהן ברנולי האב, באוניברסיטה של באזל

והוא הצהיר שכמה מהרעיונות , )הגיעו לבגרותמהם רק חמישה (ילדים 13נולדו לו .בורגסשוב לסנט פטר

אך בזכות הזיכרון יוצא הדופן , 59אוילר התעוור בגיל . הטובים ביותר שלו עלו בזמן שהחזיק תינוק בזרועותיו

למעשה כמחצית מעבודותיו נעשתה . הוא המשיך לעבוד עד יומו האחרון, ובעזרת בניו ושותפיו למחקר, שהיה לו

.ורבה היה עיושבתקופה

Leonhard Euler

(1707-1783)

גלים ואופטיקה

30

ל תנודות סקירה כללית ש גם כיוון שהוצגה בוהייתה חשיבות רבה על העבודה אוילר שכתב 66מאמרל

עבודתו של ו, 1735בורג בשנת ט פטרלאקדמיה המדעית בסנהוגש המאמר .במערכות דינאמיות

. 67שנים מאוחר יותר כששברנולי הוגשה לפרסום

התיאוריה הגלית של על )Johann (II) Bernoulli, 1710-1790( של יוהן ברנולי הבן 68המאמר 1736

כעשרים , שבנה ברנולי אימץ את תמונת האתר .זוכה בפרס הראשון של האקדמיה הצרפתית האור

האתר ,לפי תמונה זו. (Nicolas Malebranche, 1638-1715)ה 'ס מלברנצאניקול, וחמש שנים לפני כן

הקשור בתנועתם גורם הכוח הצנטריפוגליו, בכיוונים אקראיים, מערבולות זעירותמורכב מאינסוף

אשר מבטיחה התקדמות מהירה של ,יה זו מתבטאת באלסטיות הגבוהה של האתרדחי. לדחייה ביניהן

הנעים כתוצאה מגלי הלחץ שיוצרות ך האתר מצויים חלקיקי אור קטניםבתו ,נוסף לכך. אורגלי

ד אחד והאנליזה שלו ברנולי מתייחס לקרני האור כאל גלי קול הנעים בממ, באופן מעשי. המערבולות

ניח שניתן ההוא ,זו תוצאהולתקן כדי לנסות . מובילה לתוצאה שקיבל ניוטון עבור מהירות הקול

מיתר בעל חתך ממקטעים קטנים שכל אחד מהם דומה למורכבת הייתה אילו להתייחס למערכת כ

כפי שנראה .למהירות הקול גבוה מדי הוא מקבל ערך במיתר כזה הגל מהאנליזה של מהירות. קוני

היה תפקיד חשוב ,למרות מוזרותו, ")מערבולותהספוג "הנקרא גם ( של ברנולילמודל , בהמשך

. בהתפתחות התורה האלקטרומגנטית

האור תיאוריה חדשה עבור :אוילר מפרסם את עבודתו על התורה הגלית של האור .ברלין 1746

הצבע בין בין תדירות גלי האור ושהקשר זיהויהיא זו החשובות של עבודהתרומות האחת .69והצבע

אי ש, "צבעים–תתי"שקיימים אנלוגיה זו הובילה את אוילר גם להשערה. 70קולהגלי וך אנלוגיה למת

למעט ( תה להכרהזכ לא העבודה. 71מתאימים לגלי אור בתדירויות נמוכותאשר , םאפשר לראות

והמניעים של האור מהתורה החלקיקית וכיוון שהסתייגויותי )לתקופת זמן מוגבלת ,בגרמניה

.דייןיו משכנעות לא ה תמיכתו בתורה הגליתל

66

Euler, L. (1740). De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexibilium methodus nov et

facilis, Comm. Acad. Sci. Petrop. 7, 99-122. 67 Bernoulli, D. (1751). De vibrationibus et sono laminarum elasticarum, Comm. Acad. Sci. Petrop. 13, 105-

120. 68 Bernoulli, J. (II) (1858). Recherches physique et géométriques sur la question: comment se fait la

propagation de la lumiére, propose par l'académie royale des sciences pour le sujet du prix de l'année 1736.

In Recueil des pieces qui ont remporté les prix de l'Académie Royale de Science, 3. 69 Euler, L. (1746). Nova theoria lucis et colorum in Opuscula varii argumenti. Berlin.

העלה את , אריתמטיקה של סולם הצלילים הפיתגוריאשר דנה בבאחת העבודות המוקדמות שלו , למעשה ניוטון 70

.אנלוגיים להבדלים בין צליליםשונים צבעים שההבדלים בין ההשערהאוילר . מההקשר הפרטי של האור תה שתפיסת האתר שלו חורגמרא 1760מכתב שכתב אוילר לאחייניתו בשנת 71

.סבר שתכונות האתר צריכות להסביר גם את התופעות החשמליות ואת כוח הכבידה

מבוא: 1פרק

31

כל רואים על העובדה שאין ססהתבהש ,קיומו של האתרנית מהניוטו הסתייגותהכנגד

גם תעומד סתייגותה אותה )א: (יםיקרייעונים עשני ט אוילרהציג , על תנועת הכוכבים השפעה שלו

וגם את ,מלא בחלקיקי אוראינו ריק אלא החלל כיוון שלפי תורה זו ,ורה החלקיקיתכנגד הת

סביר להניח ,האתר גם אם קיימת השפעה של) ב. (צריך היה לראותעל תנועת הכוכבים השפעתם

מהתורה יוהסתייגויותאת גם אוילר הציג .חייו במשך הראותל לא יכול אדםחלשה מאוד ו שהיא

ר חוצות כאשר שתי קרני או זה מזהשלא רואים פיזור של החלקיקים העובדה את למשל ; החלקיקית

פתר )Johann Andreas Segner, 1704-1777(ר כך שיוהן אנדראס סגנלא היה מודע ל הוא. זו את זו

של האור אינן דומות לנוזל אלא לשטףי קרנ ,סגנר לפי .כןלקודם שש שנים כזו הבעיה ה את

. אודקטן מ זה בזהולכן הסיכוי שיתנגשו , ניהם גדול מאוד ביחס לגודלםיחלקיקים שהמרחק ב

עובדת קיומם של חומרים שקופים אשר סותרת לכאורה את הסתייגות נוספת של אוילר הייתה

בהן חלקיקי האורששרות י חומרים שקופים משופעים בתעלות ,זוהלפי התורה . התורה החלקיקית

אוילר טען שמבנה החומר אינו מאפשר קיומן של תעלות כאלו בכל . ללא בליעה לנועיכולים

מאוד שחלקיקי החומר קטנים טען ניוטון .פתרון היה כבר גם לבעיה זו ,אבל .ם האפשרייםהכיווני

טיעון נוסף .קטנה מאודיוחזרו או בלעויי ולכן ההסתברות שחלקיקי האור ,רווחים שביניהםביחס למ

לכן . ממסתה תאבדמהיא ,שאם השמש פולטת חלקיקי אור של אוילר כנגד התורה החלקיקית היה

אוילר סבר . תלמיימיו של אז מ לא נצפה שינוי כזהו, שינוי בכוח המשיכה שלהעלינו לראות היה

אור להפעיל לחץ שבכוחם של גלי 72טען הוא, זאת עם .פותרת בעיה זו ל האורשהתורה הגלית ש

.73)לפניו קפלר כפי ששיער( את כיוון השובל של כוכבי שביט ולקבוע

72 Euler, L. (1746). Recherches Physiques sur la cause de la queue des comètes, de la lumière boréale, et de la

lumière zodiacale, Histoire de l'Acad. de Berlin 2, 117. ההבדל , לכאורה, התמקד בהןשהשאלה בדבר הלחץ שיכולים להפעיל גלי האור הייתה אחת השאלות , למעשה 73

חסידי התיאוריה החלקיקית טענו שלחץ כזה מבטא . החלקיקית של האורהתיאוריה בין התיאוריה הגלית ו

גל עם העצם אמורה להשרות של הולעומת זאת אינטראקצי, בו הם פוגעיםשמעבר תנע מחלקיקי האור לעצם

.יות נעשו כדי לברר נקודה זושורה של ניסיונות ותצפ. בדומה לתנועה של מצוף על גלי מים, תנועה מחזורית

,לכאורה, דיווח על תצפיות שמהן עלה, 1696משנת בספרו ,(Nicholas Hartsoeker, 1656-1725)ניקולס הרטסוקר

, (Wilhelm Homberg, 1652-1715)וילהלם הומברג . שבכוחן של קרני שמש להפעיל לחץ על חלקיקי פיח בארובות

השני ר שבחן את התגובה של קפיץ עדין שצד אחד שלו היה מקובע ואילו עלהגיע למסקנה דומה לאח, 1708בשנת

(Jean Jacques d'ortous De Mairan, 1678-1771)מאירן - דה ,1754בשנת . הוא ריכז את קרני השמש בעזרת עדשה

ת הראשונה את השבשבלשם כך בנו ו ,של אוילר הלהפריך את התיאורי ניסו (charles Du Fay, 1698-1739)פיי ודו

היו בה שישה מפרשים שנתלו ממוט ברזל דק שקצהו הוצמד למגנט כך שיוכל . שהסתובבה כתוצאה מהאור

מיארן הכיר בכך שחימום האוויר ליד המפרשים -האור אמנם סובב את המערכת אך דה. להסתובב באופן חופשי

,John Michell(ון מישל 'הגיע ג, 1772בשנת . הוא האמין שהאור נושא תנע למרות זאת. ל להיות הגורם לכךעלו

חזר בנט ועשרים שנה מאוחר יותר, למסקנה דומה לאחר שבחן את האור המוטל על רדיד נחושת )1724-1793

(Abrahm Bennett, 1750-1799) לעומת . על הניסוי עם רדיד זהב והסיק שאי אפשר להזניח את השפעת החימום

. שהאור אמנם נושא תנע השתכנע, במערכת דומה, (Adam Walker, 1731-1821)אדם וקר 1799בשנת , זאת

Peter( על ידי לבדב ,ברוסיה, 1899לחץ הקרינה נעשו רק בשנת למדידת האמינים הראשונים הניסיונות, למעשה

Nikolaievich Lebedev, 1866-1912( .

גלים ואופטיקה

32

פיתוח החלוצים ב אחד ,(Jean Le Rond d'Alembert, 1717-1783)מבר אל'ד רון–אן לה'ז .פריס 1747

בממד אחדהגלים מציג לראשונה את משוואת , משוואות דיפרנציאליות חלקיות של התיאוריה

אשר מבר גם מוצא פתרונות של המשוואהאל'ד. 74ארת את הדינאמיקה של רעידות מיתרמתש

.ללא שינוי צורתםבמהירות קבועה לאורך המיתר הנעים גליםכלומר , "גלים נוסעים"מתארים

.פתרונות אלו נקראים כיום על שמו

. 75משוואת הגלים הם פתרונות של גם - סינוסים וקוסינוסיםשאוילר ראהמ שנה לאחר מכן 1748-53

גלים עומדים לבטא ברור שאפשר היה תקופהבאותו ."גלים עומדים"כיום מכוניםות אלו פתרונ

, נכון הכיוון ההפוך גםהעובדה ש אולם, )מבראל'ד שמצא" (נוסעיםגלים "כקומבינציה ליניארית של

בדרך ( ור כסכוםאילת פונקציה ניתנתשכל היא הדבר שמשמעות מאחר , מלהיות ברורה הרחוק הייתה

דניאל ברנולי הציג )1753בשנת (שנים מאוחר יותר כמה . של פונקציות טריגונומטריות )יאינסופכלל

סח את עקרון ינעצמיות של מיתר וההתדירויות את תנודה והאופני גדיר אתה בהםשים מאמרשני

תנודה העצמיים האופני צירוף ליניארי של היא, באופן כללי, תנועת מיתר לפיושהסופרפוזיציה

של סינוסים לתיאור כסכוםלי השתמע שאמנם כל פונקציה ניתנת ברנו המאמרים שלמ. 76שלו

עשרות וחלפו , היו מסויגים ביחס לטענה זו )'ומאוחר יותר גם לגראנז(מבר אל'דאוילר ו .וקוסינוסים

.אוריה מקיפהלכלל תי, וזף פורייה'על ידי ג, שנים עד שהיא פותחה

ת משווא" משוואה זו הנקראת. 77)ללא צמיגות(אוילר גוזר את משוואת הכוחות של נוזלים .ברלין 1755

. מיקהאההידרודינ יא אחת המשוואות הבסיסיות שלה" אוילר

'לגראנזוזף לואי 'ג צרפתי–האיטלקיהמתמטיקאי .טורין שבאיטליה 1759

גישתו. 78משוואת הגליםגזירה של ואלגנטית ל מציג גישה חדשה

מאוסף במיתר העשוי הרצף לגבול המעבר של על בחינה התבססה

הבהירהגישה זו . זה מזהחלקיקים זהים שממוקמים במרחק קבוע

חלקיקים המרכיבים שמספר אופני התנודה של המערכת זהה למספר ה

74 d'Alambert, J (1747). Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration, Histoire de

l'Acad. de Berlin, 3, 214-219. 75 Euler, L. (1748). Sur la vibration des cordes , Histoire de l'Acad. de Berlin, 4, 69-85. 76 Bernoulli, D.,(1753). Réflexions et éclaircissements sur. les nouvelles vibrations des cordes exposees dans

les, Memorires del'Academia de 1747 et 1748. Histoire de l'Acad. de Berlin, 9, 147-172; Sur le mélange de

plusieurs espèces de vibrations simples isochrones, qui peuvent coexister dans un même système de corps,

ibid, 173-195. 77 Euler, L. (1755). Principes généraux du mouvement des fluides. Histoire de l'Acad. de Berlin, 11, 274-315. 78 Lagrange, J. (1759). Recherches sur la nature et la propagation du son. Miscell. Taurin, 1, 39-148.

Joseph Louis Lagrange

(1736-1813)

מבוא: 1פרק

33

החשובה מסקנהההתקבלה ומכאן ,)בכיוון אחדבהנחה שתנועת החלקיקים מתבצעת (אותה

. תיאור דינאמי מלא שלה מספקתהעצמיים של מערכת סופרפוזיציה של אופני התנודה ש

את משוואת התוף ומוצא פתרונות שלה בגיאומטריה גוזר בו הואשמפרסם מאמר אוילר 1766

ה על ידי פונקצי המתואר א גם פתרון של משוואת התוף העגולמאוחר יותר הוא מוצ. 79מלבנית

.בסל תיהידועה כיום כפונקצי

הוא. 80הנחה של תנודות קטנות ואורך גל גדולברדודים המים המפתח את משוואות גלי ' נזאלגר 1781

מוצא שמהירות ו, 81הידרודיאמיקה רוב הדומה לזו שפיתח דניאל ברנולי בספרוימשתמש בשיטת הק

ואינה תלויה , ומק המיםלמחצית ע מגובה השווה שנפלכבד ו של עצםלמהירותזהה התקדמות הגלים

. באורך הגל

-Ernst F.F. Chladni, 1756( לדניחארנסט פלורנס פרידריך המוזיקאי וחובב המדע . ניהסקסו 1787

לדני ח שפיתחשיטה ת ארומת בספר. 82בנוגע לתיאוריה של הצלילתגליות הספרמפרסם את )1827

חיש באופן ויזואלי את גלי הקול המתקבלים מהרעדה של לוחות גמישים בעזרת קשת של להמכדי

גרגרי החול .גרגרי חול או אבקה על הלוחות המורעדים פיזור יההמחשה נעשית על יד. כינור

.באיור כמודגם ,מעניינות ויוצרים תבניות השוניםתנודה של אופני ה" ומתצ"מתרכזים לאורך קווי ה

וריה של לדני עוררה עניין רב בתיאחעבודתו של .83"לדניצורות ח"תבניות אלו היום נהוג לכנות

מעבר לשאלת , קשורהאשר ,רבים תרמו להבנת התופעהופיזיקאים , התנודות של לוחות גמישים

ומערבולות בה המעורבים יכוךכוחות הח ,של גרגרי החול הדינאמיקלגם ,עצמןהתיאור של התנודות

,פואסון ,ןרמ'ז ,יאנגרמו להסבר התופעה אפשר למצוא את יקאים שתזבין הפי .האוויר שמעל הלוחות

.ודבאי ריילי, כהוףקיר ,פאראדיי, סבר

79

Euler, L. (1766). De motu vibratorio tympanorum. Novi Commentarii academiae scientiarum

Petropolitanae, 10, pp. 243-260. 80 Lagrange, J. L. (1781). Mémoire sur la Théorie du movement des fluids. Histoire de l'Acad. de Berlin , 37,

197. 81

Bernoulli, D. (1738). Hydrodynamica, Sive De Viribus et Motibus Fluidorum Commentarii. Strasburg, J.R.

Dulsecker. 82 Chladni, E. F. F. (1787). Entdeckungen über die Theorie des Klanges.

83לפני גם הוא הופיע .רחבי אירופהחצרות האצילים בבולהדגים אותן עבודתו עלהרצאות ת שאהג ללדני נח

לסופי 1816בשנת הפרס הוענק. למי שיסביר את התופעה של קילוגרם זהבצע פרס ובעקבות ההופעה הו ,נפוליון

.1802 -התפרסם ב, Die Akustik ,לדנישל ח הקלאסי ספרה. ןרמ'ז

גלים ואופטיקה

34

.84ריבועבלדני בעיגול וחצורות דוגמאות של ו, )צד ימין למעלה( לדניחהמערכת הניסיונית של

–מגלה את הקרינה התת (Sir William Herschel, 1738-1822)ווילאם הרשל האסטרונום 1800

גילה וכך, כחולאור האור האדום גדולה מזו של צמת החימום שלושעהרשל שם לב . 85אדומה

באופן יעיל אף לחמם מסוגלות, הממוקמות מתחת לצבע האדום בספקטרום, תשקרניים בלתי נראו

.לאור הנראהבדומה ,ומוחזרות בדק ומצא שקרניים אלו נשברות רשלה. יותר

(Johann Wilhelm Ritter, 1776-1810)ריטר וילהלם המדען הגרמני יוהן שנה לאחר מכן

לדעת ונוכח , הכסףכלוריד על ריטר בחן את ההשפעה של קרני אור. 86סגולה–מגלה את הקרינה העל

של בהמשך הוא גילה שההשחרה .האדוםאור ה גדולה מזו של סגולהאור ה של הצמת ההשחרועש

מכאן . עבור קרינה בלתי נראית שנמצאה מעבר לצבע הסגול בספקטרום יותר כלוריד הכסף גדולה אף

.סגולה–את קיומה של הקרינה העלריטר הסיק

: מהספר 3לוח מספר 84

Claude Servais Pouillet. (1832). Eléments de physique expérimentale et de meteorology, 2nd edition. Paris, Chez Béchet

Jeune.

85 Herschel, W. (1800). Investigation of the Powers of the Prismatic Colours to Heat and Illuminate Objects;

with Remarks, That Prove the Different Refrangibility of Radiant Heat. To Which Is Added, an Inquiry into

the Method of Viewing the Sun Advantageously, with Telescopes of Large Apertures and High Magnifying

Powers. Phil. Trans. Roy. Soc. (London) 90, Pt II, 255; Phil. Mag. 7, 311. 86 Ritter, G.W. (1801). Auffindung nicht sichtbarer Sonnenstrahlen außerhalb des Farbenspectrums. In der

Seite des Viotets Annalen Der Physik und Chemie, 7, 527.

מבוא: 1פרק

35

עתיד החלקיקי של האור שהתיאור הראשון לכך הרמז. לונדון 1801-3

על התאבכות 87של תומס יאנג עבודתוהיה תגלי יהבתיאור להתחלף

במיוחד בתופעת , עניין בגלי קולהתבה ש לאחר תקופה. 88גלים

לחקור פנה תומאס יאנג , קול לעקוף עצמיםשל גלי כושרםבהפעימות ו

האינטואיציה, הניסיון של גרימלדימודרך על ידי . את תכונות האור

והחיפוש אחר עקרונות גלי הקול חקירה שלבעזרת ה שרכש

הצל שיוצרים עצמים ת ותבני אתבחן יאנג ,בטבע םאוניברסאליי

בעזרת מערכת מראות שניתבו את קרני השמש . אטומים וסדקים צרים

הצל שמטילה נימה דקה על נית ת תבא ,תחילה, לחדר חשוך הוא חקר

שבמרכז ו ,ות בקווים ישריםעשקרני האור אינן נ תדעהוא נוכח ל .מסך שהוצב במרחקים שונים

במקביל לכיוון הנימהוכהות רצועות בהירות ותהנימה מופיע אמור להיות הצל שלהיה בו שהאזור

של אזור תוך הסך מאם מתבוננים בקצה של מהוא שם לב ש ,כמו כן .89תופעה המכונה התאבכות -

כאשר יאנג את הניסוי שכלל מאוחר יותר . מקור אוראילו היה נראה כ קצהה ,הצל שהוא מטיל

ביותר והמשפיעים אחד הניסויים המפורסמים זהו - דרך שני סדקים צרים העביר את האור

בהירים פסים גם היא על ידי המאופיינת , במערכת זו תבנית העקיפה וההתאבכות של האור. בפיזיקה

.כמודגם באיור שלהלן ,בולטת יותר ,וכהים

, לדוגמה. מגוונים יאנג תרם למדע בתחומים. היה איש אשכולות ומדען יוצא דופן בדורו, רופא במקצועו, יאנג 87

והראה כיצד יש , יותהסביר את תופעת הנימ, הוא הראשון שהתייחס לריבוע המהירות מוכפל במסה כאנרגיה

הוא תרם רבות , נוסף לכך). המודולוס של יאנג נקרא על שמו(לאפיין את התכונות האלסטיות של חומרים

ולאגיפטולוגיה , )יאנג גילה למשל שברשתית העין שלושה סוגי תאים הרגישים לשלושת צבעי היסוד(לרפואה

תכן שהסיבה יוי, בעילום שםתחילה , יאנג התפרסמו חלק מעבודותיו של ).פענוח ההירוגליפים על אבן הרוזטה(

.על השקעת זמן רב במדע במקום במטופלים שלו תלכך הייתה חששו מביקור88 Young, T. Outlines of Experiments and Inquiries respecting Sound and Light. Phil. Trans. Roy. Soc.

(London) 90, pp.106-115; Of the analogy between light and sound, ibid., pp. 125-130; The fusion of sounds

[beats], ibid., pp 130-133; On the Theory of Light and Colour, Phil. Trans. Roy. Soc. (London) 92, pp.12-48

(1802); An Account of Some New Cases of the Production of Colours not hitherto Described, ibid., pp 387-

397; The Bakerian Lecture, Experiments and Calculations Relative to Physical Optics, Edinburgh Review,

5, pp. 97-103 (1804-5). 89

המונח הלועזי השתרש . שפירושו הפרעה או התערבות" אינטרפרנציה"יאנג טבע את המונח , לתיאור התופעה

, התרגום העברי של המושג. בספרות המדעית למרות שהתופעה נובעת מגלים שעוברים זה דרך זה ללא כל הפרעה

.מוצלח יותר, "התאבכות"

Thomas Young

(1773-1829)

ההתאבכות של ניסוי שני תבנית, למעלהאיור של יאנג , צד ימיןב. הסדקים של יאנג

. המדגים את עקרון ההתאבכות 1803 שנתממהם שמייצגות את הסדקים B -ו Aהנקודות

מציינות F-ו, C ,D ,Eואילו ,בוקע האורהמתאימים , אזורים של התאבכות הורסת .לאזורים החשוכים באיור שלמעלה

גלים ואופטיקה

36

Joseph Fourier

(1768-1830)

בדומה ,אבכות קרנייםשל הת צמת האור על המסך היא תוצאהושהתנהגות עסבר יאנג

הצבעים , הקשת תבנית האור שבשוליש בהמשך הוא טען. )כמודגם באיור( להתאבכות של גלי מים

ניתוח על ידי ,נוסף לכך .תופעת ההתאבכותביטויים של כולם הם - ניוטון טבעותו בועות סבון של

סיק לראשונה מהם אורכי הגל והתדירויות של ספקטרום גלי היאנג , ל טבעות ניוטוןש התופעה

.90האור

אוריה מציג את התי (Jean Baptiste Joseph Fourier) 91ף פורייה'גוז. פריס 1807

תיאוריה במסגרת .92האקדמיה הצרפתית למדעים פניב שפיתח על הולכת חום

סכומים כ שרירותיות פונקציותעל ידי הצגת חום משוואת ה הוא פתר אתזו

של פורייה עבודתו .עם משקלות מתאימים וקוסינוס של פונקציות סינוס

למרות . הפונקציהשהצגה כזו מספקת תיאור מלא של תבססה על הטענהה

,)1811 בשנת שנערכה בתחרות לה הוענק הפרס הראשוןש(ההערכה לעבודה

לפלס .עקב הקושי לקבל טענה זו רב משך זמןהיא הייתה שנויה במחלוקת ב

לאור יצא פורייה של וספרו, פרסומה את עיכבו ,ודהששפטו את העב, 'נזאולגר

,פורייהפיתוח הנקרא ,סינוסים וקוסינוסיםל ש כסכום פונקציותשל התיאור כיום .1822 שנתב רק

שמשוואות , )עם מקדמים קבועים( פתרון משוואות דיפרנציאלית ליניאריותהמרכזית להטכניקה אהו

.שלהן יםפרטי רבות הן מקרים גלים

מגלה שקרני - פורייה של ותלמיד - (Étienne–Louis Malus, 1775–1812)מאלוס אטיין לואי 1809

.93חלקיבאופן מקוטבות , םחומרים דיאלקטריי שני ביןששפה המהמוחזרות ,אור

90

כיוון שהקדימו את זמנן ולא הובנו לא זכו להערכה רוב העבודות של יאנג, למרות היותו נערץ על ידי עמיתיו

הקושי להבין כיצד ייתכן ששתי קרני אור המגיעות לאותה נקודה עקב ההתאבכות לא התקבלעקרון .כהלכה

עוררו ,את התיאוריה הניוטונית של האור, לכאורה, אשר סתרו, התוצאות של יאנג .יכולות ליצור אזור חשוך

, עלמה מעבודותיוהקהילה המדעית באנגליה הת, תגובות אלו פגעו במעמדו כמדען. וארסיות תגובות נגד חריפות

בעקבות , מכןרק שנים רבות לאחר ההכרה בחשיבות התרומה של יאנג באה . והוא פנה לעסוק בהירוגליפים

.עבודותיו של פרנלשם הוא , למצרים והוא הצטרף לנפוליון במסע 1798בשנת : לפורייה היו יחסים מורכבים עם נפוליון בונפרטה 91

נפוליון זנח את צבאו שנה לאחר מכן כדי .זר בבניית מוסדות החינוך בקהירפיקח על החפירות הארכיאולוגיות וע

לנפוליון היו . חזר פורייה לפריס מתוך כוונה לחזור לחיים האקדמיים 1801ובשנת , לתפוס את השלטון בצרפת

יחוקו למרות ר, עם זאת. לסרב יכול היה ופורייה לא, הוא החליט למנות אותו לנציב בגרנובל. תכניות אחרות

לאחר כליאת נפוליון באי . את עבודתו החשובה על הולכת חום הוא ביצע דווקא שם, מהמרכז האקדמי בפריס

,לכן כשנפוליון ברח מהאי ותפס את השלטון מחדש. עשר- שמונההעביר פורייה את תמיכתו למלך לואי ה, אלבה

מאוחר יותר .לפריס ה בווטרלו חזרולאחר התבוס, הצליח לפייס את נפוליון הוא. מאוד לחייו חשש פורייה

.הצרפתית למדעים התמנה למזכיר האקדמיה92 Fourier, J.B.J. (1822). Théorie Analytique de la Chaleur. F. Didot Paris.

93 Malus, E. L. (1809). Sur une propriété de la lumière réfléchie par les corps diaphanes. Mémoires de

physique et de chimie de la Société d’Arcueil, 2, 254-267.

מבוא: 1פרק

37

טבע את והוא, "צדדים"לאור יש לפיה שבתמונה הניוטונית מאלוס לתמוך הובילה את 94זו תגלית

דייויד הסקוטי יקאיזהפי מפרסם מכן לאחר שנתיים .אותם לתאר כדי )קיטוב" (יהפולריזצ"המונח

המוחזר שהאור ברוסטר הראה .95נושא את ממצאיו באותו (David Brewster, 1781–1868)ברוסטר

. כמודגם באיור, ן המוחזרת והקרן הנשברת היא זווית ישרהרוית בין הקומקוטב באופן מלא כאשר הז

". זווית ברוסטר" כיום במצב זה נקראת גיעה של הקרןפהזווית

תופעה זו .97"הקיטוב הכרומטי"מגלה את )(François Arago, 1786–1853 96אראגו פרנסואה 1811

כמו למשל לוחית (ועדף מישור הקיטוב של האור במעבר דרך גבישים בעלי כיוון מלסיבוב קשורה

בדק כיצד ,בהשראת התגליות של מאלוס, אראגו. זווית הסיבוב תלויה בצבע האור כאשר ,)נציץ

הוא בחן באופן דומה בהמשך . שגם הן מקוטבות וגילהנראות טבעות ניוטון מבעד לגביש קלציט

צבעם תלוי בכיוון , זו שאם מתבוננים על השמים דרך לוחית גילהו, התאבכות בלוחית דקה של נציץ

פעה הקיטוב הוא תוש לו כשהתחוור. אחת המסקנות שנבעו מכך היא שאור השמים מקוטב. הגביש

מאלוס גילה את תופעת הקיטוב מהחזרה כאשר טייל , Jean-Baptiste Biot, 1774-1862)(אן בטיסט ביו 'י זדברל 94

הוא ניסה להסתכל על המראה דרך . ליד ארמון לוקסמבורג בפריס וראה את השתקפות שקיעת השמש בחלונותיו

בלות מהשבירה על ידי ושם לב שקיים הבדל בעוצמה של שתי הדמויות המתק, בכיסו תדיר ש הקלציט שנשאגבי

. נר המוחזר מפני מים ו שלאת תצפיותיו על ידי בחינה זהירה של התנהגות אור לשכליותר מאוחר . הגביש95 Brewster, D. (1815). On the laws which regulate the polarisation of light by reflexion from transparent

bodies. Phil. Trans. Roy. Soc. (London), Part I, 125-159. נשלחו Jean-Baptiste Biot, 1774-1862)( ביואן בטיסט 'פרנסואה אראגו וז, 1806בשנת :הרפתקאותיו של אראגו 96

ה לאחר שנפוליון כבש חלקים מספרד הסכנה שבמשימה הלכה וגבר. לבצע מדידות של קו המצהר בצפון ספרד

מדידות כמהואראגו נשאר במלורקה כדי להשלים , ביו חזר לצרפת. וההתנגדות הספרדית התחזקה, פורטוגלמו

והוא נכלא ,בהם השתמש העלו את חשדם של הספרדים שמדובר במרגלשסימני האש , לרוע מזלו. נוספות

הוא עלה על .יר'אך סירתו נסחפה לחופי אלג, לברוח בסירת דיגכחודש לאחר מכן הוא הצליח . במבצר בלוור

אראגו נכלא שוב ושוחרר לאחר שלושה חודשים כאשר . ספינה חזרה לצרפת אולם זו נפלה לידי הצי הספרדי

מזלו כאשר רוח עוגם הפעם איתר, פעם נוספת עלה על ספינה למרסיי. שהוא מדען ולא מרגלהבינו הספרדים

אראגו נתפס על . הייתה במרחק ראייה מנמל היעדכבר לאחר שזו , הספינה לחופי צפון אפריקהסערה סחפה את

שם נכלא בפעם , יר'הצליח להגיע בדרך היבשה לאלג, ולאחר ששכנע אותם שבכוונתו להתאסלם, ידי מוסלמים

הוא , תיאחרי התערבות הקונסול הצרפ. השלישית משום שהשליט המקומי התנגד לנוכחות הצרפתית באזור

בין היתר כי לאורך תלאותיו , אראגו התקבל כגיבור. עה למרסיייה שהגיעל אני, בפעם האחרונה, שוחרר ועלה

.בו תיעד את התצפיות שערך בספרדשהוא הצליח לשמור על היומן 97 Arago, F. (1811). Mémoire sur une modification remarquable qu´éprouvent les rayons lumineux dans leur

passage à travers certains corps diaphanes d´optique et sur quelques autres nouveaux phénomènes

d'optique. Memoires de la Classe des Sciences Math. et Phys. de l'Institut Imperial de France, Part 1, p. 93.

גלים ואופטיקה

38

הוא הגיע למסקנה שהאור של כוכבי שביט נובע מפיזור קרני השמש ולא , שכיחה בקרני אור מפוזרות

. מקוטבותנמצאו ים אלוקרנישגם מאחר, ממקור עצמי

מוכרזת תחרות על פיתוח התורה המתמטית של ,בפריס לדניארנסט חההדגמות שערך בעקבות

)Sophie Germain, 1776-1831( 98ןרמ'ופי זסמגישה ,1813בשנת . התנודות של לוחות גמישים

משיקולים שנגזרה ת הגלים של הלוחות הגמישיםמשוואאת היא מציגה בוש לוועדת השיפוט מאמר

,)Siméon–Denis Poisson, 1781-1840( פואסוןמפרסם ,1814בשנת . 99חשבון וריאציות של

כוחותהשל מיקרוסקופית את הפיתוח שלו למשוואה הבנוי על בחינה ,השופטים בתחרותשהיה אחד

, שתי העבודות אולם, המשוואה שקיבל הייתה משוואה לא ליניארית כללית יותר .המעורבים בתנועה

על ידי גוסטב נפתרה בעיה זו .תנאי השפה של המערכתלא טיפלו נכון ב ,ן ושל פואסוןרמ'של ז

.1850ת כהוף בשנקיר

מדידות ,נכןבמי ,מציג בפני האקדמיה )Joseph Fraunhofer, 1787-1826( 100ף פראונהופר'גוז 1814

.101סדק ונפיצה במנסרה דרךהמתקבל לאחר מעבר הקרניים השמשאור של ספקטרום מדויקות

98

למרות . וכבר בגיל צעיר גמלה בה ההחלטה להיות מתמטיקאית, ן נולדה לסוחר משי אמיד בפריסרמ'סופי ז

היא למדה באופן עצמאי מספרים ומסיכומים של קורסים שניתנו בבית הספר , ההתנגדות החריפה של הוריה

בדויהההתכתבות השתמשה בשם ראשיתכשב ,וגאוס' לגראנז ן התכתבה עםרמ'ז. כני בפריסהפוליט

"M. LeBlanc" )ן היה רמ'עיקר תרומתה של ז). ה בתגובהכיוון שחששה שעובדת היותה אישה לא תזכה אות

היא החליטה לעבוד על , התחרות על ידי האקדמיה הצרפתית ה עלהכרזהבעקבות . בתחום של תורת המספרים

רתו כנראה בעקבות סב(שרוב המתמטיקאים באותה התקופה נמנעו מלעסוק בה אףבעיית הלוחות האלסטיים

ן היה העבודה רמ'המאמר של ז, ואמנם). קיימים שהכלים המתמטיים לטיפול בבעיה עדיין לא' של לגראנז

במאמר זה היא ניסתה לבנות את משוואת הגלים של הלוחות הגמישים . 1811היחידה שהוגשה לתחרות בשנת

אך היא עוררה עניין , רסהעבודה לא זכתה בפ. ברנולי עבור מוטות גמישים- מתוך הכללה של משוואת אוילר

שהיה אחד ' לגראנז, ןרמ'בהשראת ההנחות של ז. בשנתייםותאריך הגשת העבודות לתחרות נדחה , מחודש

ותמצית התיקון נמסרה לה דרך המתמטיקאי אדריאן , ןרמ'לים של זהשופטים בתחרות תיקן את משוואת הג

את המאמר עם משוואת הגלים המתוקנת בשנת ן הגישהרמ'ז. (Adrien-Marie Legendre, 1752-1833) נדר'לז

כיוון שאופן גזירת המשוואה , וגם אז היא לא זכתה בפרס, גם הפעם הייתה זו העבודה היחידה שהוגשה. 1813

ולכן העבודה ,לדניר בין משוואת הגלים ובין הניסיון של חן הדגימה את הקשרמ'ז, עם זאת. עורפל מדיהיה מ

. 1816בשנת , אחד מדליית זהב במשקל קילוגרם, בסוף בפרס התחרותן זכתה לרמ'ז. צוינה לשבח99 Germain, S. (1821). Recherche sur la théorie des surfaces élastiques. Paris.

100 מהתמוטטותניצל בנס הוא. נשלח בצעירותו לעבוד כשוליה אצל זגג שיצר מראות, 12שהתייתם בגיל , פראונהופר

שראה כיצד הוציאו את הנער ללא פגע , וזף מקסימיליאן'הנסיך ג .אשתו ההרגנ וצאה ממנהשכתביתו של הזגג

מכונות לחיתוך ולליטוש לרכוש, מאוחר יותר, פרש עליו את חסותו והעניק לו סכום כסף שאפשר לו, מההריסות

הימים היו ימי שלטונו של נפוליון שבמלחמותיו גרם . בבית ספר ולמד קרוא וכתוב זכה בחירותוכך . זכוכית

שיוצר ) בעיקר למטרות צבאיות( במכשור אופטי מחסור ניכרכתוצאה מכך הורגש . היבשתבין לנתק בין אנגליה ו

שלטונו הנאור של מקסימליאן שנלווה לתקופתעל רקע מחסור זה והשגשוג הכלכלי . עד אז בעיקר באנגליה

- אליה הצטרף פראונהופר בש צור מכשירים אופטייםיהוקמה במינכן החברה לי ,)מלך בחסות נפוליוןשהתמנה ל(

תהסביבה האינטלקטואלית והאמצעים הטכניים שחברה זו סיפקה אפשרו לפראונהופר לבצע את הניסיונו. 1806

.של האור התורה הגליתאת לבססו, את הקווים הספקטראליים בהם גילהשהמדויקים 101 Fraunhofer, J. (1817). Bestimmung des Brechungs - und Farbenzerstreuungs-vermögens verschiedener

Glasarten. In Denkschr. kön. Akad. Wissensch. München, vol. 5.

מבוא: 1פרק

39

כמודגם ,102מסוימים וצרים המופיעים באורכי גלכהים קוויםמאות מאופיין על ידי ספקטרוםה

קירכהוף הראו 1859בשנת . םהיום קווי פראונהופר או קווים ספקטראליי קווים אלו נקראים .באיור

הסבר מלא של התופעה ניתן אולם, 103אטומים הם תוצאה של בליעת אור על ידי אלו קוויםשובונזן

.מבנה החומר והבנת לאחר פיתוח תורת הקוונטים, רק בראשית המאה העשרים

מגיש את 104 (Augustin Louis Cauchy, 1789-1857)המתמטיקאי אוגוסטין לואי קושי 1815

מגיש מכן מיד לאחר . האקדמיה הצרפתית עבודתו על פתרון הבעיה של גלי מים עמוקים לתחרות של

כדי להבהיר שהתוצאות (את המאמר שלו בנושא ) זו בוועדהגם שהיה אחד השופטים (פואסון

, 1818–ב, וושנה לאחר זכיית, בפרס הראשוןקושי זכה ). באופן בלתי תלוי אליהן הגיע התקבלוש

תוצאות ה .1827התפרסם רק בשנת 106של קושי מאמרה. 105של פואסון על הבעיה מאמרהפורסם

, כתוצאה מהשלכת אבן ,למשל ,יםהנוצרשקווי השיא של גלי מים ) א( :של עבודות אלו היוהעיקריות

) ג(–ו ;הולכת וקטנהשמשרעת הגלים ) ב( ;)בדומה לנפילה של משקולת(קבועה תאוצה ב נעים

העבודה של קושי לא זכתה .הולך וגדל יםגלהשהמרחק בין חזיתות

לאש רמת סיבוך מתמטיהייתה בלהכרה רחבה כיוון שהאנליזה שהציג

שקושי המציא ( פיתוח פורייהעל , למעשה ,נסמכה היא. אזה עד נרא

. מורכבים רובים אסימפטוטייםיקעל ו )באופן בלתי תלוי

שלו הראשון מאמרהמשלים את 107אן פרנל'אוגיסטין ז, בינתיים

בהםש ניסויים של רב ספרמלאחר . 108יאוריה הגלית של האורעל הת

102

, (William Hyde Wollaston, 1766-1828)על ידי ויליאם ולאסטון )1802בשנת (עוד לפני כן חלק מהקווים נתגלו

. להתעניינותאולם תגליתו לא זכתה 103 Kirchhoff, G. R. & Bunsen R. (1859). Über die Fraunhoferschen Linien. Berlin Akad..

104תרומותיו החשובות ביותר היו בפיתוח מושג . והפוריים בתולדות המדעקושי היה אחד המתמטיקאים החשובים

משפט , התורה של פונקציות מרוכבות פיתוח, יהדיפרנציאלי והאינטגראלביסוס ריגורוזי של החשבון , הגבול

.השארית והתנאים להתכנסות של טורים אינסופיים105 Poisson, S. D. (1816). Mémoire sur la théorie des ondes, Académie des Sciences, Mémoirs, 1, 71. 106 Cauchy, A. (1827). Théorie de la propagation des ondes à la surface d'um fluide pesant d'une profondeur

indefinite,Académie des Sciences Mémoirs, 1, 1. , פרנל. בחזרה את השלטון פוסאליו הוגלה וארגן צבא שעזר לו לתשיצא נפוליון בונפרטה מהאי אלבה 1815בשנת 107

. תוצאה מכך איבד את משרתו כמהנדס דרכים וגשריםכו, לחם לצדויהתנדב לה, עשר-שתמך במלך לואי השמונה

, לאחר תבוסת נפוליון בווטרלו. ששכנעו אותו באופי הגלי של האור ו הוא ביצע את הניסיונותבזמן שהתפנה ל

ציין מיד הלה לאכזבתו הרבהו, הוא שלח לאראגו חקריומאת תוצאות . מהנדסכ ובמשרת שובזכה פרנל

.על ידי תומס יאנג התקבלושתוצאות דומות

Augustin Jean Fresnel

(1788-1827)

השמשקרני בספקטרוםקווי פראונהופר

גלים ואופטיקה

40

Pierre-Simon Laplace

בין ובמיוחד את תחום המעבר בין האזור המוצל ו ,אטומיםגופים אופן מדויק את הצל שמטילים ב בחן

מקורבת לתיאור תבנית יתח נוסחהפ בעקבות זאת הוא .גל פרנל שהאור הוא השתכנע ,המוארהאזור

.המאמר נשלח לאראגו .ות של שתי קרנייםהמבוססת על התאבכ, של האור הדיפרקציה

מטרתו הייתה . מסדקללא פיזור מבקש מפרנל להדגים התאבכותאראגו 1816

לפיה שלהפריך את טענתם של המחזיקים בגישה החלקיקית של האור

.תופעת ההתאבכות היא תוצאה של השפעת קצה הסדק על חלקיקי האור

את מדגיםש "המראות שתי ניסוי"את מציע ,לאראגו במכתב תשובה ,פרנל

ות אל מתפזר של נר אור בניסוי זה קרני. 109עקיפהההתאבכות ללא תופעת

האחתשל כיוון הש, מראות צמודות זוגממראה העשויה מ מסך לאחר החזרה

המתקבלת על התאבכותהתבנית .כמודגם באיור, האחרת מזה של מעט שונה

. לזו של פיזור משני סדקים דומה ,במערכת זו, המסך

מדוע מהירות הקול שחישב ניוטון אינה מתאימה לפלאס מגלה ינתייםב

לפיה ש) חוק בויל(איזותרמיות הנחת הב יה נעוץעהבשורש .לניסיון

לניסיון המראה שדחיסה הנחה זו מנוגדת. במרחב הקבוע האוויר טמפרטורת

לכן יש לצפות שבזמן . 110בטמפרטורה היעלי עמה גוררתהאוויר ה שלמהיר

טמפרטורות יהיו בעלי דלילים של האווירהופים וצפהאזורים ה, מעבר גל קול

שניתן להזניחכלומר , אדיאבטית האווירשהתנהגות הניח לפלאס .שונות

צפיפות שהקשר בין בליקהוא מכאן .שונים במרחבבין אזורים מעבר חום

מהירות ה מכפלתשווה ל שמהירות הקולו ,111ליניאריאינו ללחץ האוויר

בנפח הסגולי חוםל החום הסגולי בלחץ קבוע ביןשביחס קיבל ניוטוןש

,התיאוריה של לפלסלפי לכןו, 1.5–מוערך כזה יחס הזמן באותו .112קבוע

בין כאשר מדידות היחס , מאוחר יותר .בשנייה מטר 345.9התקבל הערך

התקבלה התאמה טובה מאוד בין הערך ,יותרמדויקות החום נעשו יקיבול

.המדידה הניסיונית של מהירות הקולבין התיאורטי ו

108 Fresnel, A. (1815). Premier mémoire sur la diffraction de la lumière, où l'on examine paticulièrement le

phénomène des franges coloées que presentment les ombres des corps éclairs par un point lumineux,

Œuvres completes, Vol. 1 , pp. 9-33 (Paris, 1866); Annales de Chimie et Phsique t. I p. 239 (1816). 109 Fresnel, A. (1816). Remarques sur l'influence mutuelle de deux faisceaux lumineux qui se croisent sous un

très-petit angle, Œuvres completes, Vol. 1 , pp. 123-128 (Paris, 1866). 110

.למשל כאשר מנפחים אוויר בצמיג אופניים, היומיוםהתופעה מוכרת לנו מחיי 111

, לחץלשהפתרון לחידת מהירות הקול קשור ביחס הלא ליניארי שבין צפיפות האוויר ' ניחש לגראנז ,1762ת בשנ

. ולכן הוא זנח את הרעיון, יקלית לכךזהצדקה פי מצאלא הוא אך 112 Laplace, P. S. (1816). Sur la vitesse du son dans l’air et dans l’eau., Annales de Chimie et Phsique, 3, 238-

241.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

מבוא: 1פרק

41

מרכז נקודת פואסון ב

ההתאבכות של תבנית דסקהאור המתפזר מ

מיתרשל רוחביות תנועותאנלוגיים לכגלי אור להתייחס למציע , במכתב לאראגו, תומס יאנג 1817

כפי שהיה ,של גלי הקול ורכיותאלתנודות הולא , )שיכול להתנודד בשני כיוונים הניצבים זה לזה(

במסגרת ) פולריזציה(קיטוב תופעת הרוש ליבה ניתן פש הראשונה הפעם הייתה זו. מקובל עד אז

רנלל פש ניסוייםעל ,מאראגו ,נודע לולאחר שהרעיון עלה במוחו של יאנג .האורהתורה הגלית של

. 113אינן מתאבכותהמקוטבות בניצב זו לזו קרנייםהראו שש

עבודה .114האור נע בוש תווךעם ה האתר שינוי במהירות האור כתוצאה מגרירתאת ה מתאר פרנל 1818

שנים כמה שביצע אראגו מדידההאת תוצאות להסביר ניסיון המתוך עלתה זו

שינויים במהירות האור הנובעים מתנועתהייתה לגלות שמטרתה ,115לפני כן

ניסיון המדידה הראשון בסדרה ארוכה של למעשה זהו( באתר כדור הארץ

–קלסון ומורלי בישהמפורסם בהם הוא זה של מי, מטרה דומה סויים בעליינ

התנועה של כיוון ים משינוי במהירות האור הנובע יםשינויאראגו חיפש .)1887

אופן השבירה של הוא בחן אתלשם כך . הארץ בעונות שונות של השנהכדור

במנסרה קבועה אך מחוצה לה היא תחת ההנחה שמהירות האור , הכוכבים במנסרהשל אור הקרני

הבחין אראגו לא. קף זאתולכן אופן שבירת הקרניים צריך לש ,תלויה בכיוון התנועה של כדור הארץ

.ניסה להסביר את התוצאה במסגרת התורה הגלית של האור פרנלו ,רות האורשום שינוי במהיב

ולפיכך ,על ידי כדור הארץנגרר האתר ש את התוצאה אם מניחיםלהסביר ציין שניתןהוא תחילה

תוצאות הניסיון של היא שהוא סותר את זהעם הסבר הבעיה .ביחס לאתר המנסרה נשארת במנוחה

: האופטיות של החומרבתכונות ירת האתר תלויהשגר העלה את הרעיון פרנללכן ). 1728( ברדלי

.116מנסרהחלקית על ידי נגרראך , דרך כדור הארץהאתר חודר באופן חופשי

בנושא על ידי האקדמיה הצרפתית למדעיםתחרות שהוכרזה בזוכה בפרס הראשון פרנל .פריס 1819

יתר ל כ ,גואראפרט ל .לפלסוביו , פואסון ,אראגו ת השיפוט היוחברי ועד. 117עקיפהבעיית ה פתרון

בהן צידד באופן ש) 1801-1803(בניגוד לשנים הראשונות . גישתו של יאנג למהות האור השתנתה במהלך השנים 113

ובחינה זהירה של מכתביו ומאמריו האחרונים מצביעה , ו בו ספקותהתעוררהזמן חלףככל ש, נלהב בתורה הגלית

גם כשהציע. של האור כאפשרויות תיאור כמעט שקולותהתייחס לתורת הגלים ולתורה החלקיקית על כך שהוא

, "הצדדים של האור(" קיטובהצביע על הדרך לפתרון בעיית ה ובכך, להתייחס לגלי האור כתנודות רוחביות

.יקליתזרחוקה מלהוות תמונה פי ,לכאורה, הוא התייחס לכך כאל הנחה מתמטית שהייתה ,)בניסוחו של ניוטון114 Fresnel, A. (1818). Lettre de M. Fresnel à M. Arago, sur l'influence du movement terrestre dans quelques

phénomènes d'optique. Annales de Chimie et Phsique, 9, 57. 115 Arago, D. F. J. (1853). Mémorie su la vitesse de la lumière, luà la premiè Classe de l'Institut, le 10

décembre 1810, Comptes Rendus Acad Sci. Paris 36, 38. מחוק חיבור המהירויות של , נמוכה בגבול של מהירות, רנל מתקבלתפ כיום אנו יודעים שנוסחת הגרירה של 116

. תורת היחסות של אינשטייןפרסם לפלס מאמר 1808בשנת : היוזמה להצעת הפרס הייתה דווקא של תומכי התיאוריה החלקיקית של האור 117

את התוצאות חזרהיהתיאוריה ש .הסביר את תופעת השבירה הכפולה בעזרת הכללה של עקרון פרמה בוש

שעבודתו והקהילה המדעית בצרפת סברחברי רוב ,זאתלמרות . יאנגוזכתה לביקורת נוקבת של , שקיבל הויחנס

של , השולית לכאורה, הסבר לבעיה וכל שנותר הוא למצוא, של לפלס ביססה את התיאוריה החלקיקית של האור

.התחרות זו הייתה הסיבה העיקרית להכרזה על .עקיפהה

גלים ואופטיקה

42

עקרון של ו הויחנספרנל הציג סינתזה של עקרון .תמכו בתיאוריה החלקיקית של האורחברי הוועדה

אור עלתבנית ההתאבכות המתקבלת מהטלה של דויק של ההתאבכות של יאנג אשר סיפקה תיאור מ

.הניסיוןעם של פרנלהתיאוריה ל לוועדה היה קשה להתעלם מההתאמה הטובה שו, 118גופים אטומים

. התיאוריה להפריך את, לכאורה, שבכוחו היה ניסוי הציע, של פרנל הרעיונותאת שהפנים, פואסון

צריכה) ואטומה עגולה(הצל שיוצרת דסקה המרכז של נקודת , של פרנלשבהתאם לתיאוריה טען הוא

הראו שהנקודה של זאתבעקבות שבוצע סויתוצאות הני"). שכל הישר"בניגוד ל( תלהיות מואר

.פרנל זכה בתחרותו, לתיאוריה התאםבבהירה פואסון אמנם

חברי , למעט אראגו. התיאוריה הגלית של האור עדיין לא התקבלה, של פרנל למרות הישגיו

שהתיאור סברו שהתיאוריה של פרנל מרמזת, מןעית באותו הזהקהילה המדחברי כמו רוב , עדהוהו

תופעת העקיפה, תו של דברילאמ. ותאך אינה שוללת את תקפו, אינו שלםאולי החלקיקי של האור

באותו , ההתעניינותמוקד ב .התחרותשלו זכתה פרסום הלמרות , הייתה נושא שולי במחקר המדעי

פרנל בשילובהתמקד , אגובעידודו של אר. תופעת הקיטוב והשבירה הכפולה דווקאעמדה , הזמן

ואת חוק קיטוב המעגלי גילו את ה ביחד הםו, של האור תורת הגליםבמסגרת הקיטוב תופעת

תחת ההנחה בעיית הקיטוב לשון פתרפרסם פרנל את ה, 1821שנת ב. 119ההתאבכות של אור מקוטב

. 120שגלי האור הם תנודות רוחביות

ואת השבירה הכפולה ,הקיטוב ,ההתאבכות, ה את תופעות העקיפההסבירבנה פרנל ש התורה

ההתנגדות לתורה גרמה להסרתניסיון הבין תאמה שבין התיאוריה והה .של ברוסטר הניסוי תוצאות

.121שלטתההמדעית היא הפכה לתיאוריה )1825שנת עד (בתוך זמן קצר ו, הגלית של האור

118 Fresnel, A. (1866).,Mémoire sur la diffraction de la lumière, couronné par l'académie des sciences. Œuvres

completes, Vol. 1 , pp. 247-382. Paris. 119

Arago, D. F. J. and Fresnel A. (1819). Mémoire sur l'action que les rayons de lumière polarisée excercent

les uns sur les autres. Annales de Chimie et Phsique, 10, 288. 120

Fresnel, A. (1821). Note sur le calcul des teintes que la. polarisation développe dans les lames cristallisées.

Annales de Chimie et Physique, 17, p. 101-112, 167-192, 312-316.; Œuvres completes Vol. 1 , pp. 609-654. זהו פרק זמן ). 1825 -ו 1818בין השנים (האור בתוך כשבע שנים שלהחלקיקית ההתורתורת הגלים החליפה את 121

אן 'זל היה העימות בין אראגו תהליךאחד הגורמים שהאיצו את ה. מהפכה הטמונה בשינויב התחשבמאוד ב קצר

,ביו. הכרומטיתאת הפולריזציה אראגו גילה ,1811בשנת ,כזכור. (Jean-Baptiste Biot, 1774-1862) ביו בטיסט

בנה ו ,ביצע מדידות מדויקות של האפקט הוא. השתלט במהירות על התחום ,שהיה ניסיונאי מוכשר ומהיר

את לוהעמידה בצ, הערכה רבהללהכרה ו עבודתו זכתה. ה את השבירה הכפולהשהסביר תיאוריה מורכבת

השתמש בפרנל , המדעי את מעמדו בדשנושל מתגליתו ובשל כך גם אי שחש ,אראגו .תגליתו הראשונית של אראגו

הוכיח ,בכך שהראה שהתיאוריה שלו שגויה הוא הביך את ביו. כדי לנגח את ביו ולכבוש שוב את מקומו

ובתוך זמן קצר התיאוריה של ביו , שהתיאור הנכון של פולריזציה כרומטית ניתן על ידי תורת הגלים שפיתח פרנל

הביא אותו , זיהה את הכישרון של פרנל, מתו במשך זמן רבשתכנן את נק, אראגו. נעלמה כלא הייתה

עודד אותו לפתור את בעיית הקיטוב וחשף אותו לביקורת ולרעיונות של , מהפרובינציה למרכז המדעי בפריס

במידה האיצו , עם גאונותו של פרנל ושאיפתו הרבה להכרה, גורמים אלו. יקאים המובילים באותה תקופהזהפי

. ורה הגלית של האור וקבלתה על ידי הקהילה המדעיתהת רבה את פיתוח

מבוא: 1פרק

43

נהופר חקר את אופר. 122וההתאבכות העקיפה את עבודתו בנושאמפרסם רנהופאווזף פר'ג .מינכן 1821

. במעבר דרך מספר הולך וגדל של סדקים, תבנית ההתאבכות של אור השמש על פני מסך רחוק

שנים כמה אותם גילה ששל השמש םהמוטיבציה לניסיונות אלו הייתה מדידת הקווים הספקטראליי

יכולת ההפרדה משתפרת כך , גדלהצפיפותם הסדקים גדל ושהוא שם לב שככל שמספר .כןלקודם

מספר רב של קווים השתמש ביהלום כדי לחרוט הובילה אותו ל תובנה זו .םשל הקווים הספקטראליי

קווים 300–צפיפות של כל המכשור שבנה אפשר לו להגיע. אחריםזהב וחומרים , על זכוכית

של םד את אורכי הגל של הקווים הספקטראליישיצר הוא מד סריגי העקיפהבעזרת ו, למילימטר

. בדיוק רב השמש

בניגוד לתפיסה המוקדמת (אנלוגיה לתנודות של גביש תפיסת האתר של פרנל התבססה על 1830

, האמין שנוסף לתנודות הרוחביות של האתרגם הוא .)אנלוגיה לגלי קול באוויריותר שהשתמשה ב

ממהירות קיימות גם תנודות אורכיות שמהירות ההתקדמות שלהן גדולה , המתארות את גלי האור

, הקהילה המדעיתחברי רוב דעתם של על התקבלהתורת הגלים של האור לאחר שגם , עם זאת. האור

פותחה בעקבות פרנל על ידי קלוד נאוייר זו . עדיין לא הייתה תיאוריה מקיפה של גלי קול בגבישים

)Claud Louis–Marie–Henri Navier, 1785-1836( ,לואי קושי –אוגוסטין)Augustine–Louis

Cauchy, 1789-1857)(, 123גרין' ורג'ג (George Green, 1793-1841) ,סטוקס' ורג'ג - ומאוחר יותר

)George Gabriel Stokes, 1819-1903.( חזור התוצאות של שיגביש לצורך היישום של תנודות , ברם

.פרנל לא צלח

122 Fraunhofer, J. (1821). Neue Modifikation des Lichtes durch gegenseitige Einwirkung und Beugung der Strahlen, und

Gesetz desselben. Denkschriften der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu München, 8, pp. 1-76. , משפט גרין(יקה זנמצאות כיום בשימוש נרחב כמעט בכל תחום בפי, גרין' ורג'הטכניקות המתמטיות שפיתח ג 123

והישגיו הרבים מרשימים במיוחד לאור העובדה שכמעט כל הידע שלו נרכש , )פונקציות פוטנציאל, פונקציות גרין

מגיל צעיר. ת לעצמו תחנת רוחשמצבו הכלכלי אפשר לו לבנו גרין היה בנו היחיד של אופה אמיד. באופן עצמאי

למד בזמן שעבד עם אביו , למרות זאת). 9-ל 8בין גיל ,למעט תקופה קצרה(לאביו ולא למד בבית ספר סייע גרין

על , פרסם 1828בשנת . ית המחקר באותם הימיםבחז הדרושה להבנת נושאים שהיו והגיע לרמה, מתמטיקה לבדו

An Essay on the Applications of Mathematical Analysis to the Theories ofאת חיבורו המפורסם ביותר , חשבונו

Electricity and Magnetism .אשר רובם לא היו , המאמר הודפס בחמישים ואחד עותקים והופץ בקרב מכריו

הה את יאשר ז (Edward Bromhead)יוצא מן הכלל היה המתמטיקאי אדוורד ברומהד. להבינוכלל מסוגלים

בגיל ארבעים החל גרין . ת באוניברסיטהיומאוחר יותר גם שכנע אותו לרכוש השכלה פורמאל, גאונותו של גרין

ולאחר שהשלים אותם זכה במלגה שאפשרה לו להישאר ', של ברומהד בקיימברידג' את לימודיו בקולג

הוא . ל כמעט נשכח ואבדיהחיבור שהוזכר לע. ממחלה קשהזמן קצר לאחר מכן נפטר , המזל לרוע. באקדמיה

גילוי המאמר חולל סערה בקרב הקהילה . ששהה בפריס עתב, 1845בשנת , נתגלה במקרה על ידי לורד קלוין

במשך ן התמודדה הקהילהשעמכיוון שהרעיונות שהכיל פרצו את הדרך לטיפול במספר רב של בעיות , המדעית

. 1854 -ו 1852, 1850מר פורסם מחדש בשלושה חלקים בשנים המא .זמן רב ללא הצלחה

גלים ואופטיקה

44

-William Rowan Hamilton, 1805( ויליאם המילטון .דבלין 1832

שבירה זו מתקבלת . 124נבא את תופעת השבירה הקוניתמ )1865

, בכיוון המתאים, (Biaxial)צירי –נכנסת לגביש דוכאשר קרן אור

שקדקודו חלול קונוסצורה של צרות לאינסוף קרניים היו ונשברת

ביציאה מהגביש הקרן נראית .125בנקודת הכניסה של הקרן לגביש

לטוןישבנה המהאופטית התיאוריל .כמודגם באיור, כגליל חלול

ה בה נובאש הפעם הראשונההייתה זו .הייתה משמעות רבה

אומת באופן ניסיוני זמן אכן האפקט. טהורים תיאורטיים משיקולים למדימורכבת תאופטי תופעה

, של המילטון ההתיאורי .)(Humphrey Lloyd, 1800-1881 המפרי לוידעל ידי 126לאחר מכן קצר

.ולביסוסה התורה הגלית של האורלהפצת סייעה , של פרנל תבססה על זושה

Johann( פוגנדרוףהגרמני יוהן הפיזיקאי הראה ,שנים מאוחר יותרכמה

Christian Poggendorff, 1796-1877( ,החלול האור שגליל, בניסוי

. 127זה מזה שני גלילים המופרדיםמ למעשה המתקבל מהשבירה הקונית מורכב

המופרדות אורטבעות שתיזאת כ לראות אפשר מסך על מוטלתה האור בתבנית

128פוגנדרוף בעותט .איורב כמוצג, על ידי טבעת כהה

קוט ון ס'המהנדס ומתכנן הספינות ג. הרמיסטון שליד אדינבורו בסקוטלנד 1834

בתעלת מים גל מים גדול שנוצר ב מבחין )John Scott Russel, 1808-1882( רסל

.על ידי שני סוסים לפני כן שנגררה סירה שלפתאומית כתוצאה מעצירה רדודה

מ"ק 12–נע במהירות של כ ,יםמטר 10–אורך של כבובגובה של כחצי מטר ,הגל

דעיכה אוללא )מיילים אחדים( רבק לאורך מרח וא נעשהשם לב רסלו, לשעה

. 129השינוי צור

124 Hamilton, W. R. (1837). Third Supplement to an Essay on the Theory of Systems of Rays. Transactions of

the Royal Irish Academy, 17, 1-144. בה קונוס של קרניים נשבר ויוצר קרן אור שקיימת גם שבירה קונית חיצונית . זוהי למעשה שבירה קונית פנימית 125

.יחידה בתוך הגביש126 Lloyd, H. (1833). On the Phænomena presented by Light in its Passage along the Axes of Biaxal Crystals. The

London and the Edinburgh Philosophical Magazine, 2, 112-120. 127

Poggendroff, J. C. (1839). Ueber die konische refraction. Pogg. Ann. 48, 461–462. :תמונה מתוך המאמר 128

Berry, M. V., Jeffrey M. R. & Lunney J. G. (2006). Conical diffraction: observations and theory. Proc. R.

Soc. A 462, 1629-1642. 129

Russell, J. S. (1834). Notice of the reduction of an anomalous fact in hydrodynamcis, and a new law of the

resistance to the motion of floating bodies, British Association for Advancement of Science, Annual Report,

531.

John Scott Russell (1808-1882)

מבוא: 1פרק

45

נה יאותם כש וג זהסמאת ההתנהגות של גלים באופן זהיר חן בנה אמבט גלים ובעקבות זאת הוא ב

הקהילה רוב חברי, עם זאת .מים בנושא גליש עניין מחוד עוררה של רסל עבודתו". גלים סוליטריים"

מהותי מהגלים השונים באופן רדודים מים קיומם של גליהטענה בדבר מהסתייגו המדעית

.'שמתוארים על ידי המשוואה הליניארית שגזר לגרנאז

התורה על סמך, התלות של מהירות האור באורך הגל מסיק מהי אוגוסטין לואי קושי. פראג 1836

ארוכים ביחס תקפה עבור אורכי גל הנוסחת הנפיצה שקיבל קושי היית. 130האלסטית של האתר

.והמרחק ביניהם ,לגודל החלקיקים המרכיבים את המדיום

בונה את התיאוריה )George Biddell Airy, 1801-1892(בידל איירי ' ורג'האסטרונום הבריטי ג 1838

תבנית בוחישהמרכזי של העבודה הוא החלק . 131הגלית של תופעת הקשת

על נקראת כיום פונקציה ה אשר מתוארת באמצעות ,ההתאבכות ליד קוסטיקה

:ביניהןותוצאות נבעו מחישוב זה כמה .132ת איירייפונקצי - שמו

supernumerary) הקשתקרני האור שבשולי של התאבכותהאופן תיאור .א

rainbows).

איירי .הפיזור של קרני השמש היוצרות את הקשתחישוב התיקון לזווית . ב

היא קצת והצופה ) הראשית(מרכז הקשת , ית בין השמשוהראה שהזו

בקשת ( תמשיקולים של אופטיקה גיאומטריקטנה מזו המתקבלת יותר

).גדולהקצת יותר המשנית היא

בניגוד לתוצאות האופטיקה ( אלכסנדר גם לרצועה הכהה של וכחה שקרני אור מפוזרותה . ג

.נמוכה מאודהאור באזור זה צמתוע כי אם ,)הגיאומטרית

.טיפות המים בגודלבתלות הקשת מבנה שלמפורט של תיאור .ד

,William Hallows Miller( אם מילריהגיאולוג הבריטי ווילמאמת ,מכן לאחרשנים ארבע

מעמוד מונוכרומטי על ידי פיזור מבוקר של אור באופן ניסיוני של איירי האת התיאורי )1801-1880

.133מים זורמים

130

Cauchy, A. L. (1836). Mémoire sur la dispersion de la lumière Prague, J.G. Calve. 131

Airy, G. B. (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Trans. Camb. Phil. Soc., 6,

379-403. . הגיע לחלק מהתוצאות המופיעות במאמר של איירי (Richard Potter, 1799-1886)רד פוטר 'ריצ ,איירי לפני מעט 132

הקשור בחישוב א הצליח להתגבר על המחסום המתמטיל אולם, הגישה הנכונה לפתרון הבעיההוא הציג את

הפך פוטר לאחד המתנגדים ,לאחר פרסום העבודה של איירי. תתבנית ההתאבכות של האור המפוזר מהטיפו

בה פורסם המאמר של שפורסמה באותה השנה העבודה של פוטר. על רקע אישי ,תםמן הס, החריפים שלה

: איירי

Potter, R. (1838). Mathematical Considerations on the problem of the Rainbow showing it to belong to physical

optics. Trans. Camb. Philo. Soc., 6, 141-52. 133 Miller, W. H. (1842). On spurious Rainbows. Trans Camb. Phil. Soc., 7, 277-286.

George Biddell Airy (1801-1892)

גלים ואופטיקה

46

. של האתרמבנה שאלת הפותר את (James MacCullagh, 1809-1847)134קליימס מק'ג .דבלין 1839

כי לא ניתן לקבל את משוואות פרנל מתוך תנודות של לדעת נוכח מקלק, העבודות של גריןבעקבות

. נובעת משינוי במרחק שבין החלקיקים המרכיבים אותו שהאנרגיה הדרושה לעיוותו, ביש אלסטיג

סיבוב של באך ורק תלויה בו האנרגיה האלסטיתשציע לתאר את האתר כגביש מהוא ,במקום זאת

לא זכתה ,הלמרות חשיבות. לשחזר את משוואות פרנל מקלקהצליח תחת הנחה זו . 135מרכיביו

תמונה כזו נבנתה על ידי לורד . הגביששל פיזיקלית –עדר תמונה מכאניתיבגלל ה להכרההעבודה

. חמישים שנה מאוחר יותררק קלווין

שתנועת חלקיקי בו הוא מראהשגרין ' ורג'של ג 136מאמר' קיימברידגבמתפרסם באותו הזמן

.יםקימשמע שרדיוסה הולך וקטן ככל תנועה מעגליתהיא המים בזמן מעבר גל במים עמוקים

מציג (Christian Andreas Doppler, 1803-1853) דופלר כריסטיאן האסטרונום האוסטרי .פראג 1842

דופלר שם לב שהקווים . 137בכוכבים כפולים התצפיות שערךאת בפני האקדמיה בפראג

ת המתאימה לכוכב שנע כך שהתדירו, הכוכבים מוסטים אחד ביחס לשני גשל זו םהספקטראליי

ראה שהפרש התדירויות הוא ה. מזו של הכוכב המתרחק ממנו מעט גדולה יותר בכיוון כדור הארץ

ען שהאפקט וט, מהירות האורבין ו הכפולים הכוכביםהסיבוב של מהירות על ידי היחס שבין נקבע

ו של השערתלאחר מכן אומתה שלוש שנים .קולהגלי עבור ובפרט , כללי ותקף גם עבור גלים אחרים

.על קטר רכבת הוצבהחצוצרה ש ניסיוני על ידי מדידת שינוי הטון שלבאופן דופלר

שונה מים יחבילת גלשל ההתקדמות שמהירות מעיר ,לחברה הבריטית לקידום המדעבדוח , רסל 1844

ההמאפיינת את הדינאמיק, זהו הזיהוי הראשון של ההבדל בין מהירות חבורה .138מזו של גל מחזורי

זכתה לא הערה ה .התנועה של גל מחזורי מהירות הפאזה המתארת אתבין ו, ליםשל חבילת ג

. 1870התייחסות עד שנת ל

המאמרים הראשונים שכתב היו על חתכים קוניים . אכזבות לאחר קריירה רוויית, 38התאבד בגיל גיימס מקלק 134

,השבירה הקונית קיומה של מעבודות אלו אפשר היה להסיק את ).שופט שלהםההמילטון היה (ושבירה כפולה

לאחר . טון פתר את הבעיה וזכה בתהילההמיל. אולם מקלק לא עשה את הצעדים הנוספים שהיו דרושים לשם כך

) Louis Poinsot, 1777-1859( לדעת שלואי פוינסוט אבל נוכח, כתב מקלק מאמר על התיאוריה של סיבובים, מכן

Franz Ernst(פרנץ ניומן –שוב ו, פרסם מאמר על שבירה והחזרה בגבישים 1835שנת ב. מעטב הקדים אותו

Neumann, 1798-1895( קטף את זה שהוא –ומכיוון שגם הרחיב אותן באופן ניכר , לתוצאות דומות אף הוא הגיע

.העבודות החשובות יותר של מקלק היו בתחום הגיאומטריה, שהשקיע את עיקר מרצו באופטיקה אף .התהילה135 MacCullagh, J. (1839). An essay towards the dynamical theory of crystalline reflexion and refraction.

Trans. Roy. Irish Academy, 21, 17-50. 136 Green, G. (1839). Note on the motion of waves in canals. Camb. Phil. Soc., 7, 87-96. 137

Doppler C. A. (1842)., Über das farbige Licht der Doppelsterne und einiger anderer Gestirne des Himmels.

Presentation at the Royal Bohemian Society of Sciences. 138 Russell, J. S. (1845). Report on Waves. London.

מבוא: 1פרק

47

מגלה (Michael Faraday, 1791-1867) 139פאראדיימייקל . לונדון 1845

קיטוב מישורכאשר הוא מוצא ש, 140אלקטרומגנטיותלקשר בין גלי אור

ט אפק תופעה הנקראת כיום(מגנטי שדה בנוכחות מסתובב האור של

הוא סיפק רמז .ילוי התופעה היה בעל משמעות רבהג .141)פאראדיי

. תופעות חשמליות ומגנטיותקשורים באופן הדוק ל חשוב לכך שגלי אור

המבוסס על לאפקט איירי הסבר תיאורטי' ורג'גבנה , שנה לאחר מכן

.יימס מקלק'של ג וואות הגלים שהתקבלו ממודל האתרהכללה של מש

(E.F. Wartmann) וורטמן יהשוויצר יהפיזיקאדיווח ,של פאראדיי התגלית לאחר זמן קצר

.בשדה מגנטי חזק, דרך גבישי מלח העוברים) אדומה–קרינה תת(גלי חום בגם שאפקט דומה קיים

:איירי ורג'של ג מאמרהמופיע בה ו ,נה יוצאת לאוראנציקלופדיה מטרופוליטה ,בלונדון ,במקביל

, בין היתר, איירי דן ,143שהכיל סקירה רחבה של התחום, זההשפעה –רבבמאמר . 142וגליםשפל , גאות

את השכלתו רכש על ידי קריאת הספרים . במשך כשמונה שנים עבד מייקל פאראדיי כשוליה אצל כורך ספרים 139

הצטרף לחברה הפילוסופית של העיר שאורגנה 1810בשנת . בעיקר ספרי מדע והאנציקלופדיה בריטניקה, שכרך

נתן אחד , תקופת החניכות שלולקראת סוף . על ידי קבוצה של צעירים שנפגשו מדי שבוע כדי לדון בנושאי מדע

-Sir Humphry Davy, 1778 ( ויוהמפרי דיי הלקוחות של הכריכייה לפאראדיי כרטיסים להרצאות של הכימאי

משרה אקדמית וביקש ממנו וי ופנה לדיי 1812ובשנת , פאראדיי האזין להרצאות וסיכם אותן בכתב .)1829

למכתב צירף את רשימותיו . ממנו סלדשד במקצוע שתאפשר לו לעסוק במדע ותשחרר אותו מהצורך לעבו

וי ולמרות זאת המליץ דיי. איוןיופאראדיי הוזמן לר ,יוהסיכומים הרשימו את דייו. בהן נכחשמההרצאות

משהתפנתה משרה , עם זאת. רך ספרים כיוון שהקריירה המדעית אינה מתגמלתולפאראדיי להמשיך בעבודה ככ

הצטרף פאראדיי לדיווי למסע לאחר מכןחודשים כמה. ה לפאראדייאות ציעשל אסיסטנט במעבדתו הוא מיד ה

שהרשימו אותו אמפר וולטה , שם פגש את אראגו. )בדיוק בתקופת השיא של מלחמות נפוליון(ברחבי אירופה

שנה לאחר שהנס כריסטיאן ארסטד, 1821בשנת . בתחום הכימיה התמקדה עבודתו, כאשר חזר ללונדון .מאוד

(Hans Christian Ørsted, 1777-1851) וי עניין בנושאוגילה דיי ,חשף את הקשר בין מגנטיות וזרם חשמלי ,

תרומותיו המשמעותיות ביותר של . אז היותו צעירובעקבות זאת החל גם פאראדיי לעסוק בתחום שמשך אותו מ

חוק , יאמגנטיותהד, גילוי ההשראה האלקטרומגנטית(ללא ספק בתחום האלקטרומגנטיות יופאראדיי ה

,לדוגמה. יקהזרבות גם בתחומים אחרים של הפי הוא תרםאולם ,)אפקט פאראדיי, כלוב פארארדיי, פאראדיי

רועדים אשר במקום להצטבר בנקודות ) לדניח(של אבקה דקה על לוחות הפתרון החידה הקשורה בדינאמיק

פאראדיי הראה שתופעה זו . המשרעת מרביתבהם שמצטברת דווקא לאורך הקווים ,הצומת של אופני התנודה

יריעה שבה עסק דוגמה נוספת לרוחב ה. אקוםוקשורה בזרמי האוויר שנוצרים מעל ללוח על ידי ביצוע הניסיון בו

עבודה ") . גלי פאראדיי"בו נוצרים גלים המכונים כיום ש( על נדנוד מחזורי של אמבט מיםפארארדיי היא עבודתו

. תהודה פרמטריתהמכונה כיום וח תחום פיתהיוותה בסיס לזו השתמש באבן הענבר כדי למשוך נוצות קטנות )ס"לפנה 600( תאלס. שמשמעותו ענבר הוא מושג יווני" אלקטרון" 140

שם של אזור באסיה הקטנה –" מגנזיה"נגזרה מ" מגנט"המילה . על ידי שפשופה בצמר וטעינתה בחשמל סטטי

אזכור לכך נמצא בספרו של לוקרטוס קרוס . לו תכונות מגנטיותש FeO-Fe2O3 בו נמצא המינרל מגנטיטש

)(Lucretius Carus על טבע הדברים )de rerum natura( מהמאה הראשונה לפני הספירה. 141

Faraday, M. (1846). Experimental Researches in Electricity: On the magnetization of light and the

illumination of magnetic lines of force” Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 136 pp. 1-20. 142 Airy, G. (1845). Tides & Waves. Encyclopaedia metropolitana.Vol 5, 291-396.

Michael Faraday

(1791-1867)

גלים ואופטיקה

48

ראה הו, גרין כליל את התוצאות שלההוא ,במסגרת דיון זה .רדודות בתעלותשל גלי מים הדינאמיקב

. האליפסבצורת עקומים לאורךנעים ים חלקיקי המשבזמן מעבר גל במים רדודים

את תוצאות 144פרסםמ(Armand Hippolyte Louis Fizeau, 1819–1896) וזפי היפוליט .פריס 1849

מערכת בשתמש ה זו מדידהלצורך . שבוצעה על פני כדור הארץ האור מהירותהמדידה הראשונה של

גבוההבמהירות הסתובבש )שיניים 720בעל (גדול גלגל שיניים שהמרכיב המרכזי שלה היה

מראה חצי שקופה ועדשה אל אזור דרך הועבר אור מקור .לות וגלגליותמשקומערכת אמצעותב

החזירה את , )נייםימגלגל הש מטר 8633( מרחק רבב שהוצבהמראה . גלגלי השינייםהמפתחים שבין

כאשר .איורב כמודגם ,ואל עין הצופה דרך מערכת נוספת של עדשות אל הגלגל השיניים האור

עד למראה ובחזרה המסלולאת להשלים הספיקה קרן האור ,הסיבוב של הגלגל הייתה קטנהמהירות

שלב ב ,סיבובים בשנייה 12.6–כאשר מהירות הסיבוב התקרבה ל .שבין שיני הגלגל ולחדור דרך הרווח

בו האור שלמצב מהירות הביאה שובעלייה נוספת ב .על ידי שיני הגלגל האור המוחזר נחסםמסוים

וכך , סיבובים לשנייה הוא נחסם שוב 25.2הירות של ובמ, נייםיהש יגלגל עבר דרך המפתחים שבין

מטר קילו 313,000 רוביבק ו חישב שמהירות האור היאפיז, ידיעת הממדים של המערכתמתוך .הלאה

. הישניב

143

הוא טען . את הטענות של רסל בדבר קיומם של גלים סוליטריים) שלא בצדק(צל את המאמר כדי לתקוף יאיירי נ

ושכל תופעות הגלים במים רדודים צריכות להיות מתוארות , אפשריים מבחינה מתמטית אינם סוליטריים שגלים

.'שגזר לגרנז על ידי משוואת הגלים144 Fizaeu, A. H. L. (1849). Sur un expérience reIative á Ia vitesse de propagation de Ia Lumière. Comptes

Rendus Acad Sci. Paris 29, 90.

אילוסטרציה של של מדידהמערכת ה

פוקו

אילוסטרציה של של וימערכת הניס ופיז

מבוא: 1פרק

49

(Jean Nernard Léon Foucault, 1819-1868)146לאון פוקו בנה, ושל פיז למדידות 145במקביל 1850

מסתובבת לב המערכת הוא מראה ש .147בין מהירות האור באוויר ובמיםשידת היחס מערכת למד

מונעת באמצעות מנוע קיטור קטן שנבנה במיוחד אשר , )סיבובים בשנייה 800–כ(והה במהירות גב

מראות קבועות הנמצאות במרחק ארבעה שתי האור ל קרני מפזרת אתהמסתובבת המראה . לשם כך

, יר כיוונה השתנה מעטהודות לסיבובה המהש ,ם מוחזרות למראה המסתובבתוהקרניי, ממנה יםמטר

ההיסט מתכונתי . כמודגם באיור, לכן קרן האור מוסטת מעט. בזמן שלקח לקרן להשלים את הדרך

אוויר ודרך שפופרת מלאה עוברת ב הקרן בהםש עבור המקרים 148בחינתו לכן, הפוך למהירות האור

במים איטית האורפוקו הראה שמהירות . להסיק באיזה תווך המהירות איטית יותר במים מאפשרת

אותה שבאמצעות פוקו ציין במאמר .149הויחנסשל ה תיאוריללעקרון פרמה ו בהתאם, באווירזו שמ

שנערכה לאחר ,ת מדידה זותוצא. רות האורשל מהי אבסולוטיותמדידות גם מערכת ניתן לבצע

שמוגדר בימינו קרוב לזה ערך - בשנייה קילומטר 298,000 הייתה, 1862בשנת 150כעשור והתפרסמה

.בשנייהמטר 299,792,458 :כמהירות האור

145

הצילום של עצמים ןביניהו ,עבודות חשובות כמהו ופוקו היו ידידים טובים במשך שנים רבות ויחדיו ביצעו פיז

. עבודתם הרשימה את אראגו שהציע להם למדוד את מהירות האור. הנראים מבעד לעדשת המיקרוסקופ

קבות המחלוקת כל אחד המשיך ובע, בו יש לבצע את המדידהשיחסיהם הדרדרו כתוצאה ממחלוקת לגבי האופן

.את הניסיון בדרכו146

תרומות נוספות הוא תרםאולם , פוקו ידוע בעיקר בזכות המטוטלת שבנה כדי להוכיח שהעולם סובב סביב צירו

ירוסקופ וגילוי 'המצאת הג, צילום השמש, ביניהן פיתוח הטכניקה של צילום עצמים מבעד למיקרוסקופ ,למדע

.במתכת הנוצרים כתוצאה מתנועתה בשדה מגנטי (eddy currents)זרמי המערבולת 147 Foucault, J. L. N. (1850). Mesure comparée de la vitesse de la lumière dans l’air et dans l’eau. Comptes

Rendus Acad Sci. Paris 30, 551-560. 148

הכפולה כתוצאה מהיסט הקרן העוברת דרך האוויר דמותה . נמתחה נימה, ממנו פרץ האורשלאורך מרכז הסדק

.אפשרה לקבוע באיזה תווך מהירות האור גדולה יותר, והקרן שעברה דרך שפופרת המים149

הסיבה העיקרית . הניסיון של פוקו תואר כמכת הניצחון של התיאוריה הגלית של האור על פני הגישה החלקיקית

, לגבי אופיו הגלי של האורמהווה ראיה מכרעת בו טען שמדידה זוש, 1834משנת , לכך נעוצה במאמר של אראגו

, החלקיקית ה יותר מזו שבריק ואילו לפי התיאוריההגלית מהירות האור בתווך צפוף קטנ מאחר שלפי התורה

) על עלייתה של תורת הקוונטים בסוף הסקירה ראה דיון(ברור בעליל , עם זאת. ןנכוה הוא ההפך, לכאורה

אלא אך ורק את ההנחה בדבר או מאשש אותו של פוקו אינו מפריך את התיאור החלקיקי של האור שהניסיון

נמצא ,המהווה גם הוא תיאור חלקיקי של האור, עקרון פרמה, יתרה מזו. מהירותו הגבוהה יותר בתווך צפוף

. בהתאמה לניסיון של פוקו150 Foucault, J. L. N. (1862). Determination expérimentale de la vitess de Ia lumière. Comptes Rendus Acad

Sci. Paris 55, 501.

גלים ואופטיקה

50

.למדידת מהירות האור במים זורמים ושל פיז הניסוי מערכת

151

אור דרך מים קרני ת הגרירה של פרנל על ידי העברת יאורייו את תפיזמאמת , לאחר מכןשנה 1851

ניתוח של תבנית התבסס על סיוןהני .152ההשפעה של תנועת המים על מהירות האורזורמים ובחינת

. 153כנגדו - אחת מהן נעה עם כיוון הנוזל והשנייהההתאבכות שיוצרות זוג קרניים ש

(Friedrich Wilhelm Georg Kohlrausch, 1840–1910)פרידריך קולראוש . גרמניה, גטינגן 1856

היחס על מדידת 154עבודתם מפרסמים את (Wilhelm Eduard Weber, 1804–1891)ובר להלם יוו

היחידה . מיות שלואהיחידות האלקטרודינו ,חשמלי מטען של תהיחידות האלקטרוסטטיושבין

,)פועל בין מטענים סטטייםח שהמתאר את הכו(חוק קולון באמצעות תמוגדר תהאלקטרוסטטי

מגנטיהמת השדה צואת עהקובע (חוק אמפר באמצעות מוגדרת האלקטרודינאמית אילו היחידה ו

)קבל חשמלי( 155יסיון בוצע על ידי טעינה של צנצנת ליידןנה ).הנוצר כתוצאה מזרם של מטענים

מתוך הסחת (תקבל מפריקת הקבל מדידת הזרם שה - ולאחר מכן ,שבה מדידת המטען, במתח גבוה

: איור נלקח מהספרה. או'בחלקו התחתון של האיור מופיע תרשים של המערכת הניסיונית שצייר פיז 151

Pouillet, Claude Servais. (1853). Eléments de physique expérimentale et de météorologie. Sixth edition, (Paris,

Hachette). 152 Fizeau, H.(1851). Sur les hypotheses relatives à l'éther lumineux, et sur une experience qui parait démontrer

que le movement des corps change la vitesse avec laquella la lumiére se propage dans leur intérieur.

Comptes Rendus Acad Sci. Paris 33, 349. .במדע אחד הניסויים החשובים שנעשואת , ושביצע פיז, הגרירה של האור אלברט אינשטיין ראה בניסוי מדידת 153

.שלושים ושבע שנים מאוחר יותר מדידה זו הייתה ההשראה לניסיון המפורסם של מיקלסון ומורלי שבוצע154

Kohlrausch, R. & Weber W.E.(1856). Ueber die Elektrizitätsmenge, welche bei galvanischen Strömen

durch den Querschnitt der Kette fliesst. Annalen der Physik, 99, 10. 155

בנוי מצנצנת היה קבל זה . ומגנטיותבו השתמשו בניסיונות הראשונים בחשמל שצנצנת ליידן היא הקבל החשמלי

ההמצאה של הקבל תוארה . כלוחות הקבל ששימשו ה הפנימי והחיצוני מכוסים ברדידי מתכתדזכוכית שצ

:במאמר Abbé Jean-Antoine Nollet, (1700-1770( אבה נולה לראשונה על ידי

Nollet, A. J-A (1746). Observations sur quelques mouveaux phénomènes d'Électricité, Mémoire de

l'Académie Royale des Sciences Paris p. 1).

. תאר את ההמצאההמ Pieter van Musschenbroek יקהזווח על מכתב של הפרופסור למתמטיקה ופיינולה ד

. ראשון של הקבל היה צנצנת מלאה במים שמוט מתכת הוצב במרכזההאבטיפוס ה

מבוא: 1פרק

51

שיחס היחידות קולראוש ווברהסיקו מנתונים אלו . פריקהזמן הומשך , )גלוונומטרהמחט של ה

156.בשנייה מ"ק c = 310,000 הוא, שהיה בעל ממדים של מהירות, מבוקשה

,Gustav Robert Kirchhoff( קירכהוף רוברט גוסטביוצא לאור המאמר המפורסם של ,בהיידלברג 1857

רכהוף משוואת גלים המתארת כיצד יקנה ב זה במאמר. 157משוואת הטלגרףאת בו גזרש )1824-1887

ה היה זהה ליחס אקבוע המהירות שהתקבל במשוו. תפשטות הפרעות חשמליות בתיל מתכתימ

שהפרעות חשמליות בתיל מתכתי נעות הוא הסיק מכאן ו, חידות המטען שמצאו קולראוש ווברי

–מוליך תלתהפרעות חשמליות ב מכן הוא הכליל את התוצאה עבורזמן קצר לאחר . במהירות האור

הפרעותהבין הקשר ש ,באופן משכנע ,בה זוההשהפעם הראשונה , למעשה, זוהי. ממדי

.האורגלי בין האלקטרומגנטית ו

מפרסם (Bernhard Riemann, 1826-1866)המתמטיקאי הידוע ברנרד רימן . גרמניה, גטינגן 1860

עמה גוררת הדינאמיקהמראה רימן שזה במאמר . םליניאריי–של גלים לא העל הדינאמיק 158מאמר

אם , בפרט. )חסרות נפיצה( ליניאריות במשוואות גליםשל צורה של גל בניגוד להתנהגותהעיוות

מן נוצרים זחלוף האזי עם , גדולה משרעת מערכת בצורה של גל סינוסואידלי בעלמכינים את ה

כפולה שלמה של הם) הגל מתכונתי הפוך לאורך הגל מספר(גל שלהם המרכיבי גל נוספים שמספרי

. הגל ההתחלתי מספר

מפרסם את (Hermann L.F. von Helmholtz, 1821-1894)הרמן הלמהולץ. גרמניה, היידלברג 1862

.של שמיעתםובפיזיולוגיה צלילים השל יצירת בפיזיקה דן הספר 159.על תחושת הצליל ספרו

–ו 1f ,שילוב של שני צלילים בעלי תדרים שוניםמ יםקול הנוצר יגל ההבנה של העמיק אתהלמהולץ

2f. התדריםבהפרש פעימות הקשורות: מוכרים שני סוגים של שילובי טוניםבאותה תקופה היו ,

1 2f f ,1למשל ,160והטונים של טרטיני 22 f f ,2 12 f f ,צמות צליל ובע לשמוע ןתאותם ניש

שהמקור ני סברו לדוח יאנג', ובעקבותיו לגרנז, (Jean-Baptiste Romieu) וטיסט רומיב–אן'ז .גבוהות

156

גורם שנבע מההנחה שהזרם החשמלי הוא תוצאה של תזוזת מטענים , 2- ב היחס שקיבלו היה מוכפל ,למעשה

.כאחד שלילים וחיוביים157 Kirchhoff, G. (1857). Ueber die Bewegung der Elektricität. in Leitern. Ann. Phys. Chem. 102, 529-544. 158 Riemann, G.F.B. (1860). Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite.

Abhandl. Gess. Wiss. Göttingen. 8 43. 159 Helmholtz, H. L. F. (1862). On the sensation of tone.

אשר דיווח על (Giuseppe Tartini, 1692-1770)יוזפה טרטיני 'נקראים על שמו של המוזיקאי ג הטונים של טרטיני 160

טען 1767התפרסם בשנת בספר ש( Trattato di Musica da Vera Scienza dell Armonia ובספר 1754-ב תגליתו

אן בפטיסט רומאיו'נתגלו באופן בלתי תלוי על ידי ז טונים אלו). שגילה את האפקט ארבעים שנה קודם לכן

)Jean-Baptiste Romieu, 1723-1766 ( אנדראס סורג' ורג'שגם על ידי המוזיקאי ג ונראה, 1742-3בסביבות '

)George Andreas Sorge, 1703-1778( 1745בשנת.

גלים ואופטיקה

52

ל טונים הנוצרת שקיימת סדרה נוספת שהלמהולץ גילה .ערבוב של פעימות מעין לטונים אלו הוא

1למשל ( תדירויותמחיבור 2f f ,1 22 f f (הוא ,לכך נוסף .פעימותאותה לא ניתן להסביר כש

הטונים .ללא קשר לאופן הפעולה של האוזן האנושית ,משמעות אובייקטיביתיש שלטונים אלו הראה

ם שליהם ביטוי, combination tones),הנקראים כיום טונים משולבים(ולץ ושל הלמה של טרטיני

המתוארת בניגוד לתופעת הפעימות ,ליניאריות–לאמשוואות גלים הדינאמיקה המוכתבת על ידי

.של גלים ליניאריתהתורה הבמסגרת

את 161(Rudolf Friedrich Alfred Clebsch, 1833-1872)אלפרד קלבש מציג באותה השנה

.162אמצעות פונקציות בסלב יםמבוטאשאופני התנודה שלו ,בעיית התוף העגולשל הפתרון

163יימס מקסוול'גמפתח ,1862–ו 1857בין השנים ,באנגליה, במקביל 1864

ושדות זרמים ,מטענים של התנהגותה במטרה לתאר אתאני מודל מכ

אנלוגיה להתנהגות שימוש ב תוךנבנה המודל . חשמליים ומגנטיים

יוהן ברנולי דומה לספוג המערבולות שהציגוהוא , הידרודינאמית של נוזלים

כמו המסתובביםתאים זעירים המודל מכיל ,בפרט .1736הבן בשנת

במודל של מקסוולהחלקיקים דתפקי .ביניהם וחלקיקים שנעים, מערבולות

לו מבטיח ששני גלגלי שיניים הצמודיםנוסף אשר לגלגל שיניים אנלוגי

,במודל של מקסוול, סמוכות מערבולותגם לכןו ,תו הכיווןבאומסתובבים

,המודלינאמית של ההתנהגות הדהבנת מתוך . הכיווןבאותו מסתובבות

. ביהןיתנועה ומזהה את מרכ משוואות מקסוול בונה

כתוצאה , והכוח הפועל עליהם, החשמלילזרם שבין המערבולות אנלוגית חלקיקים תנועת, למשל

תיקון חיוניזיהוי ל הוביל את מקסוולהמערבולות מודל . לשדה החשמלי אנלוגי, מערבולותמלחץ ה

. מתכונתי לשינוי השדה החשמלי בזמןאשר זרם ההעתקה המתבטא בתוספת של של חוק אמפר

ההתקדמות את אופן את משוואת הגלים המתארת ור גזאפשרו לו ל ,עם תיקון זה, המשוואות שקיבל

בוע שמדדו קולראוש זהה לקגלים אלו של התקדמות המצא שמהירות מקסוול .הפרעות במערכתשל

למסקנה שהאור הוא ו הובילהפיז הירות האור שמדדמהערך שמצאו האחרונים ל הקרבה בין. וובר

161 Clebsch, A. (1862). Theorie der Elastizität der fester Körper. Liepzig.

162 מקיפה שלהם ניתנה על ידי האולם תיאורי, ואחרים' לגרנז ,אוילר, חלק מפונקציות בסל כבר נתגלו על ידי ברנולי

שגילה אותם במסגרת עבודתו על פתרון (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784-1846) בסל יקאי הגרמני וילהלם זהפי

). הדינאמיקה של שלושה גופים תחת כוח משיכה(בעיית קפלר 163

ההוכחה שהטבעות של שבתאי אינן עצם קשיח או –יו בין יתר תרומות. יקהזמקסוול תרם לתחומים רבים בפי

בעיית (ההתקדמות בהבנת המכניזם של ראייה בדגים , חוק חיבור הצבעים בעין האנושית הגילוי של, נוזל רציף

פיתוח התיאוריה של זרמי , )בולצמן-פילוג מקסוול(פיתוח התיאוריה הקינטית של גזים , )עין הדג של מקסוול

"). השד של מקסוול"שאחד הרעיונות המוכרים שם הוא ( הותרומות בתחום התרמודינאמיק, מערבולת במתכות

James Clerk Maxwell

(1831-1879)

מבוא: 1פרק

53

. 1861-2בשנים זו ה 164עבודההתוצאות את סם פרמקסוול . הפרעה בשדה האלקטרומגנטילמעשה

לקבלת המשוואותמסורבל רק אמצעי ה למעשה שהיוו(מודל המערבולות את השמיטמאוחר יותר

האופטית של אטימותהגבישים ו התכונות האופטיות שללהסבר ההרחיב את התיאוריו, )הנכונות

.166החברה המלכותיתבפני 1864בשנת עבודה זו הוצגה . 165מתכות

מהירות הקול מדידתאת עבודתו על מפרסם (August Kundt, 1839-1894)אוגוסט קונט . ברלין 1866

זמן וביןוחישוב היחס שבינו , של גל קול עומד בשפופרת זכוכיתאורך הגל מדידת שהתקבלה מתוך

ניסוי של בדומה ל(אורך הגל נמדד על ידי הכנסת מעט אבקה לשפופרת אשר . המחזור של הגל

שמהירות הקול קטנה עם גם ראהקונט ה. הצומת של הגלים העומדים הצטברה בנקודות) לדניח

. 167ושהאפקט מתחזק כשתדירות הגל קטנה, קוטר השפופרת

תופעת הנפיצה הסבר למקסוול מוצא , כחלק משאלות שהכין לבחינה. אנגליה ,'קיימברידג 1869

התנהגות המבוסס על ) כלומר לעובדה שמהירות גל האור תלויה באורך הגל( חומרים דיאלקטרייםב

התוצאות שקיבל את משחזרא הו בגבול של אורכי גל גדולים ,בפרט .168החומר ברמה המיקרוסקופית

באופן בלתי תלוי לאותה (W. Sellmeier) יריסלמאמגיע ,יותר כמה שנים מאוחר. 1836שנת ב ,קושי

.169התוצאה

164 Maxwell, J. C.(1861). On physical lines of force. Part I.—The theory of molecular vortices applied to

magnetic phenomena, Phil. Mag. 21, pp. 61-175; On physical lines of force. Part II.—The theory of

molecular vortices applied to electric currents. ibid. pp. 281-291, 338-348 (1861); On physical lines of

force. Part III.—The theory of molecular vortices applied to statical electricity, ibid. 23, pp. 12-24 (1862);

On physical lines of force. Part IV.—The theory of molecular vortices applied to the action of magnetism

on polarized light. ibid. pp. 85-95 (1862). 165 Maxwell, J. C. (1864). A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Proc. Roy. Soc. (London) 13,

531–536. 166

של ) אז( ברים למשוואות המקובלותיסיף אלהו ,1858בשנת ,ודתו של מקסוול הציע רימןבמקביל לעב

ים מאפשרעם זאת בלא, אשר אינם משנים באופן ניכר את התוצאות שאומתו באופן ניסיוני, האלקטרומגנטיות

יקאי זפייישום גישה זו נעשה על ידי ה. התפשטות של הפרעות חשמליותלגזור משוואת גלים שמתארת את ה

למשוואות האלקטרומגנטיות , באופן בלתי תלוי, הגיע אשר (Ludwig Lorentz, 1829-1891)ההולנדי לודוויג לורנץ

.1867עבודתו התפרסמה בשנת . שנים לאחר מכן כמהשל האור 167 Kundt, A. (1866). Ueber eine neue Art akustischer Staubfiguren und über die Anwendung derselben zur

Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in festen Körpern und Gasen. Annalen Der Physik und Chemie,

127, pp. 495-552. 168 Maxwell, J. C. (1869) Math. Tripos. Exam. Cambridge Calendar. 169 Sellmeier W., Pogg. Ann. Physik. Chem. 143, 271 (1871); 145, 399, 520 (1872); Regarding the Sympathetic

Oscillations Excited in Particles by Oscillations of the Ether and Their Feedback to the Latter, Particularly

as a Means of Explaining Dispersion and its Anomalies. Pogg. Ann. Physik. Chem 147, 54 - 525 (1872).

גלים ואופטיקה

54

John William Strutt

Lord Rayleigh (1842-1919)

אור על פיזור (John Tyndall,1820-1893)ון טינדול 'ג עבודתו שלגם מתפרסמת בינתיים

דומה ,כמו למשל קיטור ,טינדול הראה שפיזור אור מחלקיקים קטנים .170)אפקט טינדול(מתרסיסים

זה ת לצבע הכחול וקיטובן דומה להקרניים המפוזרות נוטו ,בפרט. מהאטמוספרהלפיזור אור השמש

כמו ,לצבע האדום נוטותשאינן מפוזרות םקרנייהראה טינדול שנוסף לכך . המגיע מהשמיםאור ה של

קרני פיזורמ מתקבלשצבע השמים ניסויים אלו הובילו את טינדול למסקנה .צבע השקיעה של השמש

המצויות זעירותטיפות מים מ מתפזרשהאור , בטעות, הוא סבר ,י'נציו–ו דהאונרדבהשפעת ל. השמש

.171ברום השמים

את מודד שוב) (William Froude, 1810-1879וויליאם פרוד .'קיימברידג 1870

מדגים בפני ו )ביצעאותן מדידות שרסל (מהירות ההתקדמות של גלי מים

הבדל ה את) George Gabriel Stokes, 1819-1903(ורג סטוקס 'גד ריילי וורל

. מונוכרומטי מחזורי המהירות של גלבין ו חבילת גלי מים שלבין המהירות

" מהירות החבורה"הרעיון של סטוקס וריילי את מפתחים ,בעקבות זאת

ת עבודה זוותוצא .המעטפת של חבילת גליםהמאפיינת את ההתקדמות של

.התיאוריה של גלי הקולעל של ריילי הידוע בספרו , 1876בשנת , תומתפרסמ

שהערך שהתקבל בניסיונות המדידה של מהירות האור היה הביןגם ריילי

הבדל אם כי בריק אין(מהירות הפאזה של של מהירות החבורה ולא הערך

.)ביניהם

של טית מחלקיקים הקטנים מאורך הגלה אלקטרומגנניהפיזור של קר מציג את חוקלורד ריילי 1871

מכונה זה פיזור( החלקיקיםתדירות העצמית של ביחס ל שלה נמוכהוכאשר תדירות הגל הקרינה

של תדירות לחזקה הרביעית הקרינה מתכונתי הפעולה לפיזור שחתך ראה ריילי ה. )כיום פיזור ריילי

מתפזר באופן יעיל ) שתדירותו גבוהה מזו של האדום(הכחול המסקנה שהצבע נבעה מכאןו ,הקרינה

מאוחר .172שלהם הקיטוב לתכונותלצבע השמים ו יבסיס הסברפקה יס העבודה .יותר מהצבע האדום

כדי מספיק מולקולות המרכיבות את האוויר פיזור מה כי הראה בושמקיף 173ריילי מאמרפרסם יותר

170 Tyndall, J. (1868). On the Blue Colour of the Sky, the Polatization of Skylight, and on the Polarization of

Light by Cloudy Matter Generally, Proc. Roy. Soc. (London) 17, pp. 223-233. 171

על הרים אהב לטפס, ,Horace-Bénédict de Saussure)1740-1799(סור וס- יקאי השוודי הורס דהזכמו הפי, טינדול

סור היה המדען הראשון שטיפס ודה ס. יו עוררו בו את העניין בתופעות אופטיות הקשורות באטמוספרהטיפוסו

כי הצבע הכחול של ,1789בשנת , וגם הראשון שהציע, בלן כדי למדוד את הלחץ הברומטרי-על פסגת המון

. זור קרני השמש מהאטמוספרההשמים הוא תוצאה של פי172

Lord Rayleigh. (1871). On the light from the sky, its polarization and colour, Philos. Mag. 41, 107-20; On

the scattering of light by small particles. ibid. 45 - 447. 173 Lord Rayleigh. (1899). On the transmission if light through an atmosphere containing small particles in

suspension, and on the origin of the blue of the sky. Philos. Mag 47, 375-384.

מבוא: 1פרק

55

ואין צורך להניח את קיומן של טיפות ,ואת השקיעה האדמדמה השמים הכחול של צבעאת ה ליצור

לי את המקביל האקוסטי של פיזור אור רייפיתח , 1873בשנת . )כפי שסבר טינדול( מים זעירות

תופעת ההד המוחזר ממספר רב של עצמים קטנים הסביר את בעזרתו הוא .יםמחלקיקים קטנ

.אשר נשמע בטון גבוה יותר) עלים של עץ גדול ,למשל(

להסביר אתמנסה (Joseph Valentin Boussinesq, 1842-1929) סינקובוזף 'ג ,בפריס בינתיים

מתקדם במים רדודיםה גלורה של צהבו הוא מחשב את ש 174מפרסם מאמרו של רסל מדידותה

החישוב נעשה על ידי פתרון .)"סוליטון"הקרוי כיום גל ( תשתנהבלא שצורתו במהירות קבועה

ופיתוח ,ליניאריים–ברים לאיאל תוך שמירה ע, אוילר מיות שלאינהמשוואות ההידרודמקורב של

את ,למעשה, סינקוב וכיחה בכך .175קרקעית התעלהבחזקות של גובה פני הנוזל ביחס ל הנוזל מהירות

,באופן בלתי תלוי, מגיע לורד ריילי, חמש שנים מאוחר יותר .של רסל סוליטרייםהגלים הקיומם של

בה שבתעלה ,צורתואת של גל שאינו משנה את מיקומו או על ידי חישוב צורתואות דומות לתוצ

. זורמים מים במהירות קבועה

התורה הספר מסכם את . יוצא לאור 176מאמר על חשמל ומגנטיותשל מקסוול המפורסם ספרו 1873

בספר מראה . מנקודת המבט של קווי הכוח של פאראדיי מוצג הנושאכאשר ,האלקטרומגנטית

אנרגיה האצורה לחץ זה שווה לוש, שקרינה אלקטרומגנטית מפעילה לחץ בניצב לחזית הגל מקסוול

.יחידת נפחב בשדה האלקטרומגנטי

הכרך גם מתפרסם לאחר מכןשנה ו, יוצא לאור של ריילי 177של הקול ההתיאורי שלהכרך הראשון 1877

מערכות ב את התיאוריה של גלים רייליארגן ,השפעה רבה במשך הזמן שצבר, בספר .178השני

,תנועה הרמונית :הבאים את הנושאיםבין הנושאים המרכזיים של הספר אפשר למצוא .179תמכאניו

יםובחלל ותבצינור, במרחב פתוח גלי קול ,גבישים, אלסטייםלוחות ,מוטות, תוף, תנודות של מיתר

גלי , מהירות החבורה ,גל מסריג של פיזור תהאקוסטי מקבילהה, תופעות עקיפה והתאבכות ,יםסגור

.של השמיעה התיאוריוה מים

174

Boussinesq, J. (1871). Théorie de l'intumescence liquide appellée onde solitaire ou de translation, se

propageant dans un canal rectangulaire. Comptes Rendus Acad Sci. Paris 72, 755. 175

סינק את משוואת הגלים הלא ליניארית של גלי מים ובו מפתח בששש שנים מאוחר יותר מתפרסם מאמר מקיף

: KdVמשוואת ) לא בצדק( יוםנקראת האשר , רדודים

Boussinesq, J. (1877). Essai sur la théorie des eaux courantes, Académie des Sciences, Mémoirs 23 , 1-680. 176

Maxwell, J. C. (1873). Treatise on Electricity and Magnetism, Oxford. 177 Rayleigh, J. W. S. The Theory of sound Vol. 1 (London, 1877), Vol . 2 (London, 1878).

נמלט מהקור , לאחר שהחלים. סכנת חיים ומצבו הדרדר עד כדי, חלה ריילי ,1871בשנת , חצי שנה לאחר נישואיו 178

החל לכתוב את , 1872בשנת , מהלך השיטב. במעלה הנילוס ,עם אשתו בספינת מגורים שטשם , הבריטי למצרים

.הספר179

. פרקים נוספים כמהכללה ,1896בשנת לאור שיצאה , ורה השנייה של הספרהמהד

גלים ואופטיקה

56

.180דרך סדקיםבמעבר אור העקיפה מפרסם את התיאוריה שלו לבעייתקירכהוף . ברלין 1882

קירוביםהמהנחות והוהיא מתקבלת מ. יקלית של הויחנס ופרנלזמבססת את התמונה הפי תיאוריה זו

במשוואת גלים , גלים וקטוריותשהן משוואות ,משוואות מקסוול קירכהוף מחליף את )א(: הבאים

. היה סדק כפי שהיה מתנהג אלמלאמניח שלאורך הסדק האור מתנהג הוא )ב(. סקלרית פשוטה יותר

. מסךבכיוון הניצב ל ית הגל והנגזרת שלהיהתאפסות פונקצקירכוף בוחר תנאי שפה על המסך של ) ג(

להראות שתנאי השפה של אפשר , למשל. התיאוריה של קירכהוף אינה עקבית מבחינה מתמטית

צמת האור שהנוסחה וע ,כמו כן. ת הגל בכל נקודה במרחבימחייבים התאפסות של פונקצי קירכהוף

את הקהילה ומעסיקים קשיים אלו העסיקו .ניח מלכתחילההשונה מזו ש, מנבאת לאורך הסדקשלו

רכהוף מספקת תיאור טוב מאוד שלת העקיפה של קייתיאורי, זאת בכלש, מאחר, 181היום עדהמדעית

.התוצאות המתקבלות בניסיון

שזרימת האנרגיה במעגלים 182ראהמ (John Henry Poynting, 1852-1914)ון הנרי פוינטינג'ג 1884

נמצא בחלל שביןה האלקטרומגנטיבאמצעות השדה חוטי החשמל אלאם אינה נעשית דרך חשמליי

בכל נקודה , שטף זה. שטף האנרגיה וכיוונונוסחה פשוטה לתיאור פיתחפוינטינג . רכיבי המעגל

מבוטא באמצעות השדה החשמלי אשר, )וקטור פוינטינגהיום נקרא ש(מתואר על ידי וקטור , במרחב

Oliver( 184אוליבר הביסייד באותה עת גםהגיע 183לתוצאות דומות .גנטי באותה הנקודהוהמ

Heaviside, 1850-1925.(

על אשר נעים) גלי ריילי גם נקראיםה(של גלי פני שטח אקוסטיים הריילי מציג את התיאורי 1885

המוטיבציה . 185בדומה לגלי פני שטח של נוזל ,פני השטח של גביש ודועכים ככל שמעמיקים אל תוכו

.ניסיון להסביר את הדינאמיקה של תנודות הקרקע בזמן רעידת אדמהב מקורהלעבודה זו

180

Kirchhoff, G. (1882) Zur Theorie der Lichstrahlen, Sitz K. Pruss. Akad. Wiss. 641-669, Berlin. Reprinted in

Wied. Ann.Phys. 18, 663-695 (1883). 181

שהנוסחה ) .Kottler, F. (1923) Annalen der Phys. 70, 405-456(הראה קוטלר 1923ראוי לציין שבשנת , עם זאת

שקיבל קירכהוף מהווה פתרון מדויק לבעיה שונה מעט שבה מניחים שהמסך מכתיב חוסר רציפות בפונקציית

.הגל ובנגזרתה182

Poynting, J. H. (1884). On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field, Phil. Trans. Roy. Soc.

(London). 175, 343 . 183 Heaviside, O. (1885). Electromagnetic Induction and Its Propagation, Electrician, 17, 178.

184 אופרטורי נגזרת באמצעות, הביסייד היה הראשון שהציג את משוואות מקסוול בצורה המודרנית המוכרת כיום

).דיברגנץ רוטור וגרדיאנט(185

Lord Rayleigh. (1885). On waves propagating along the plane surface of an elastic solid, Proc. Lond. Math.

Soc. 17, 4-11.

מבוא: 1פרק

57

(William Thomson, Lord Kelvin, 1824-1907)186קלוויןלורד 1887

במים השטהסירה שיוצרת האופיינית לצורת הגלים ההסבר יג אתצמ

האמנות והמדע ןבהרצאה שנשא בפני קהל המבקרים במוזיאו 187שקטים

קבועה בזמן אה שגלים אלו יוצרים קוסטיקהרקלווין ה. באדינבורו

התבססהקלווין של ההתיאורי .188צורתה אינה תלויה במהירות הסירהש

סטוקס לחישוב ון של מהירות החבורה והשיטה שפיתחהרעיפיתוח על

כיוםשיטה הנקראת (במרחב נטגרלים של פונקציות המשתנות מהר אי

)."סטציונריתהפאזה ה רוביק"

Albert Abraham)לסון אלברט מייק. ב"ארה ,קליבלנד

Michelson,1852-1931) מורלי ואדוורד (Edward Williams Morley,

למדוד את מהירות כדור י שמטרתהניסו מערכת בונים (1838-1923

מהירות קרני אור הנעות של מתוך השוואה ,הארץ ביחס לאתר

תבנית ה שלבחינ זו נעשתה על ידי שוואהה .189בכיוונים ניצבים

בכיוונים שנעו קרניים אשר פוצלה לשתי קרן אור של ההתאבכות

המערכת כולה .כמודגם באיור, לגלאיוהוחזרו ממראות ,זה לזה ניצבים

כך שניתן היה ,הוצבה על מתקן שאפשר סיבוב אופקי של המערכת

186

קו הטלגרף שזור בסיפור הנחת ) לורד קלווין(בו זכה שאם תומסון ותואר האצולה יסיפור התעשרותו של וויל

ימי -הרעיון של הנחת קו טלגרף תת ,עשרה-תשעבתחילת שנות החמישים של המאה ה. הטרנסאטלנטי הראשון

נאסף כסף ונשכר חשמלאי בכיר , הוקמה חברה לביצוע הפרויקט. תנופה החל לצבוראנגליה לבין ארצות הברית

הפסדי חישב את, באוניברסיטה של גלאזגוזמן פרופסור שהיה באותו , ליאם תומסוןיוו. שיפקח על העבודה

צורו מבחינת עובי הכבל והבידוד יוהצביע על הקשיים הכרוכים בי, החשמל והחימום של קו טלגרף טרנסאטלנטי

השתמש בכבל מהסוג סבר שמספיק להבכיר החשמלאי , שתוצאות החישובים של תומסון פורסמו אף. הדרוש

של דעתומצו את יוא, מנהלי החברה דחו את דעתו של הפרופסור. בןכמו ארוך יותרהקיים אלא שעליו להיות

מהלך וב ,זה מעולם לא פעלהטלגרף הקו . 1858הכבל יוצר והונח בקיץ של שנת .החשמלאי בעל הניסיון

יותר ויותר עד שמעטפת הבידוד שלו נהרסה והוא נעשה שימוש במתח גבוה, נים להפעילוונש יםחוזרה נותניסיוה

קו .הפרויקט מונה תומסון לנהל את ובעקבות ההפסד, דולר ירדו לטמיון ןקרוב למיליו .שימושיצא מכלל

רויקט הביאה להתעשרותו של הצלחת הפ. צפון אמריקהלבין אירלנד 1865של תומסון הונח בשנת ףהטלגר

. ויןולהכתרתו כלורד קל – ומאוחר יותר, תומסון187 Thomson, W., Lord Kelvin, (1887). On ship waves [lecture delivered at the "Conversazione" in the Science

and Art Museum, Edinburgh, on 3 Aug. 1887, Institution of Mechanical Engineers, Minutes of proceedings,

409-434. ה על ידי לורד רייליפורסמ, המסבירה את הגלים הנוצרים כתוצאה מתנועה של חוט דייגים במים, ומהעבודה ד 188

, לאחר שהתעשר מקו הטלגרף הטרנסאטלנטי. בעיה הזו הוצגה על ידי קלוויןהגם אולם. ארבע שנים קודם לכן

הוסבה תשומת , ביאכטה ותהפלגה תבאח. עליה נהג לבלות זמן רב בשיטש ("Lalla Rookh")רכש קלווין יאכטה

. הטבול במיםחוט הדייגים עורר גלים שלבו לאולם הוא הותיר ספק , עם תוצאות דומות, שש שנים לפני כן, בפוטסדם, ניסוי דומה בוצע על ידי מייקלסון 189

על וחזר, יחד עם מורלי, מייקלסון, של לורד קלווין ולורד ריילי םבעידוד. באשר למידת הדיוק של המדידה

, ומייקלסון ומורלי חזרו על הניסיון של פיז, כניסוי מקדים. משמעיות- היו חד, הפעם, יסוי אשר תוצאותיוהנ

. ואישרו את נוסחת הגרר של פרנל בדיוק רב ,למדידת מהירות האור במים זורמים

שיוצר ברווז באגם ויןוקלגלי

גלים ואופטיקה

58

ר כדורצתמונת גלי ההלם שיו

מתוך המאמר של מאך ,רובה)1887(

שחל כתוצאה מכך נוי יולבחון את הש, ה של כדור הארץלשנות את כיוון הקרניים ביחס לכיוון התנוע

.בתבנית ההתאבכות

.190שלא קיימת תנועה של כדור הארץ ביחס לאתר ,משכנע פןבאו ,הראו ןותוצאות הניסי

מאכזבתהייתה , פרנל נייח שלית האתר היתיאור סתרה אתש, השליליתהתוצאה , תקופהבאותה

בסופו של הוא הוביל ,הופנמה הניסויהתוצאה של משמעות כש, שנים לאחר מכןכמה אולם .למדי

191.תורת היחסות פיתוחדבר ל

ר 'ופטר סלצ (Ernst Mach, 1838-1916) 192מאך טהאוסטרי ארנס המדען והפילוסוף. פראג

)(Peter Salcher , מפרסמים את התצלומים ,הימיתבאקדמיה פרופסור

התמונות .193קולית–כדור רובה הנע במהירות על הראשונים של

מהירה הגל בו תנועת חזיתש גל הלם וצרלראשונה כיצד נ דגימוה

בצפיפות יםמהיר יםעל ידי שינוי ופייןמא גל זה. 194ממהירות הקול

ודגם כמ, )זווית מאךהיום הנקראת (טיפוסית זוויתבו ,האווירובלחץ

הלם הנוצרים הגלי את חקר מאך בהםש וייםשורה של ניסלאחר פורסם זה מאמר . 195תצלוםב

על תועדה אלוהגלים ההשפעת . תחשמלילאלקטרודה ניצוצות שבין זכוכית מפויחת כתוצאה מ

190

Michelson, A. A. & Morley E. W. (1887). On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether. Am. J.

Sci. 34, 333 ; Phil. Mag. 24, 449 (1887); J. Phys. (Paris) 1, 444 (1888). (George Francis FitzGerald, 1851-1901)רלד 'פיצג ההצעה המשמעותית הראשונה להסבר הניסוי ניתנה על ידי 191

תארכות זמן ושהתקצרות זו מפצה על ה, שאורך המערכת מתקצר בכיוון התנועה ביחס לאתר הניח הוא .1892- ב

את הרעיון על ידי בניית ) (Hendrik Antoon Lorenz, 1853-1928פיתח לורנץ , 1985בשנת . המעבר של האור

ועה כיום טרנספורמציה זו יד. שנה את הצורה של משוואות מקסוולהטרנספורמציה של המהירות אשר אינה מ

-Jules Henri Poincare, 1854( סח פואנקרהינ ,1900בשנת , חמש שנים מאוחר יותר". לורנץ תטרנספורמציי"בשם

צופה הנע במהירות לגבי ו" נייח"יקה חייבים להיות זהים לגבי צופה זלפיו חוקי הפישאת עקרון היחסות ) 1912

תתורה דינאמים האמין שיש למצוא פואנקרה ג. השניים נעאפשרות לקבוע מי מבין כך שאין , קבועה ביחס אליו

,Albert Einstein( יןיבנה איינשט 1905-ב .מהירויות גדולות ממהירות האורמאפשרת תנועה בחדשה שאינה

זהה לכל מערכת , בריק, את תורת היחסות מתוך עקרון היחסות והדרישה שמהירות האור) 1879-1955

.ות מקסוולכמתבקש ממשווא, אינרציאלית192

תרומות הוא תרם, למרות זאת .ארו אותו כבלתי מתאים ללימודיםיומוריו ת ,מאך התקשה להסתגל למסגרות

מדידה של , )ה של קונטרסטיםיאשליה אופטית הקשורה בראי(התגלית של רצועת מאך ןביניהו ,רבות למדע

דופלר של הקווים הספקטראליים של ההצעה של מדידת מהירות הכוכבים מתוך הסחת, אפקט דופלר במעבדה

. איינשטיין הניוטונית אשר תרמה לפיתוח תורת היחסות הכללית של הוהביקורת על המכאניק, פראונהופר193

Mach, E. & Salcher P. (1887). Photographische Fixirung der durch Projectile in der Luft eingeleiteten

Vorgänge, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien 95, 80 - 764. הציע את המונח הזה (J. Ackeret)אקרט .מהירות הקול נקרא היום מספר מאךבין היחס בין מהירות חזית הגל ו 194

. 1927בשנת 195

תופעה את ה הריהיא הסב) א( :העבודה של מאך על גלי הלם פתרה שתי בעיות הקשורות בלוחמה ארטילרית

הסיבה . בעוד זה של קליע איטי נשמע רק פעם אחת ,קליע שנע מהר נשמע פעמיים קול הפיצוץ שלבה הידועה ש

קולי כתוצאה - על" בום"נוסף , לקול הנפץ שנוצר בזמן שיגור הקליע פרט, לכך היא שבמקרה של קליע מהיר

הוא גל ההדף לנזק הנוסף שנגרם על ידי קליעים מהירים היא הסבירה שהמקור) ב. (שלו המהירה התנועהמ

להסבר זה הייתה משמעות רבה כיוון שלפי אמנת פטרסבורג אסור היה להשתמש בקליעים . שנוצר בזמן תנועתם

. והשימוש בקליעים מהירים גרר עמו תלונות על התעלמות מהאמנה, מתפוצצים

מבוא: 1פרק

59

בין אינטראקציותאת המאך חקר בעזרת מערכת זו .ממקומם גרגרי הפיח דרך התזוזה של הזכוכית

אחת התובנות החשובות ).החזרת מאךהיום הנקראת ( ממשטחים ה שלהםהחזרהאופן את ו ,גלי הלם

.צמות קול נמוכותוהיא שתחום התקפות של עקרון הסופרפוזיציה מוגבל לעמעבודות אלו שנבעה

-Heinrich Rudolf Hertz, 1857(היינריך הרץ , 1886בשנת 1888

למעגל פתוח ששתי של קבלפריקה ש שם לב לעובדה )1894

. גורמת ליצירה של ניצוץ נקודות הקצה שלו קרובות זו לזו

גם כאשרשהניצוץ יכול להיווצר לדעת הוא נוכח לאחר מכן

ישיר עם ללא מגע ,אחרחשמלי במעגל נעשית פריקת הזרם

מתוארת המדגים זאת מערכת הניסוי. בו מופיע הניצוץשהמעגל

מהם שכל אחד ,משרן דומים–גלי קבלהיא מכילה שני מע .באיור

מתנהג אשר(המחוברת לתיל מתכתי ) קבל(בנוי מצנצנת ליידן

על ידי טעינת זרם חילופין משרים (I) הראשוןבמעגל .)כמשרן

אורך שינוי ויסות באמצעותונת לזרם זה ניתהתנודה של תדירות .196ופריקתו על ידי ניצוץהקבל

שני שהתאמה בגודל שלהתברר לו . באיורכפי שרואים , )השראות המעגלאת אשר מכתיב( להתי

במעגל גם המטען במעגל הראשון משרות ניצוץ וזו מבטיחה שתנודות, המעגלים גוררת תהודה

א הדגיםהו .198הרץ הראה שהתופעה קשורה במעבר של גל אלקטרומגנטי בין המעגלים .197(II) השני

ואף הראה שהם, )גלי רדיונקראים היום אשר ( גלים אלובהחזרה מלאה הוהתאבכות ה את תופעות

את התורה האלקטרומגנטית של וביססו אישרו של הרץתוצאות ה .199מאופיינים על ידי קיטוב

. מקסוול והובילו להתפתחות התקשורת האלחוטית

ותלמידו , ) (Diederik Johannes Korteweg, 1848-1941קורטווג דיאדריק ההולנדי המתמטיקאי 1895

כדי בים את עבודתו של ריילייחמר (Gustav de Vries, 1866-1934)וריס –גוסטב דה )לדוקטורט(

196

ל בזרם חילופין בתדירות גבוהה הנקבעת מהקיבו הוא מלווה .הניצוץ אינו רק מעבר של זרם בכיוון אחד

פריקה השזרם גילהכאשר 1842בשנת הסיק זאת (Joseph Henry, 1797-1878) וזף הנרי'ג .וההשראות של המעגל

של שימור מתוך ניתוח, 1847בשנת , הציע זאת הלמהולץ; של צנצנת ליידן יכול למגנט מחט בכיוונים מנוגדים

אישר את המסקנה בשורה (W. Feddersen)ופדרסן ; )1853(לתופעה תיאורטינתן הסבר ויןוקל; אנרגיה בתהליך

. 1866- ו 1857של ניסויים שערך בין השנים 197

הוגס הראה . (Davis Edward Hughs, 1830-1900)על ידי דייויד הוגס 1879-התופעה נתגלתה כבר ב ,למעשה

הוא הדגים את . בעים מטרמרחק של כמאה ושלשבעזרת מיקרופון אפשר לקלוט את האות שיוצר ניצוץ עד

התגובה הייתה שמדובר , לרוע מזלו .ורג סטוקס'ג, נשיא החברה המלכותיתל – ביניהםו ,לכמה אנשים ןהניסיו

.1899 תגליתו עד לשנת תוצאות מפרסוםהדבר ריפה את ידיו והוא נמנע . באפקט השראות פשוט198 Hertz, H. R. (1887). Ueber sehr schnelle electrische Schwingungen. Annalen der Physik und Chemie, 31,

pp. 421-448;Nachtrag zu der Abhandlung uber sehr schnelle electrische Schwingungen. ibid. pp 543-544 . 199 Hertz, H. R. Uber Strahlen elektrischer Kraft, Sitzungsberichte der Berliner Akademie der Wissenschafen

(December 13, 1888), and in Annalen der Physik und Chemie, 36, 769 (1889).

גלים ואופטיקה

60

שלימים ,של בסינק את משוואת הגלים )מחדש(הם מגלים .מים רדודיםלתאר גלים מחזוריים ב

רבה להתעניינותלא זכתה , סינקוב של זו כמו, הזו 200עבודההגם ה .על שמם "KdV משוואת"קרא ית

נורמן זבוסקיפתרו , 1965בשנת .משוואת דיפרנציאליותלחקר מחשבים החלו להשתמש בשעד

)Norman Zabusky (קרוסקל ומרטין(Martin Kruskal) משוואתאת KdV והראו , בעזרת מחשב

המושג את בעוט הם ,בעקבות זאת. 201מתנהגים כמו הגלים הסוליטריים של רסל שהפתרונות

ת עבודתם עוררה עניין רב והובילה לפיתוח התורה של משוואות גלים לא ליניאריו ."סוליטון"

.בפיזיקההרעיונות שלה בתחומים רבים ישוםליו

מציג את הפתרון המדויק (Arnold Sommerfeld, 1868-1951) ומרפלדז ארנולד. גרמניה, גןינגט 1896

הפתרון .202של גלים אלקטרומגנטיים עקיפה לבעיית) יוםהבודדים הידועים לנו כשהוא בין (הראשון

המסך. ישרה ששפתו, מסך המכסה חצי מישור יש בושאינסופי במרחב לעקיפה תייחסומרפלד מזשל

,ומרפלד הראתה שקצה המסך מתנהג כמקור אורזהתוצאה שקיבל . חסר עובי דיאלייא כמוליך מתואר

. לכן קודם רבות םשני יאנג שטעןכפי

ת לחץ יתיאורימאשר את (Peter Nikolaievich Lebedev, 1866-1912) פטר לבדב. מוסקבה 1899

מדווח הוא . גלים אלקטרומגנטייםהלחץ שמפעילים של מדויקת על ידי מדידה, מקסוולהקרינה של

תיאור מפורט של המדידותמפרסם את ה 1901ובשנת ,203בכנס בלוזאן שבשוויץ על התוצאות שקיבל

.205ניקולס והל ב על ידי"בארה התקבלו באופן בלתי תלוי תוצאות דומות .204שערך

עלייתה של תורת הקוונטים 1.1.2

במהלך ידונו ילנושאים בתורת הגלים והאופטיקה אשר מתייחסת ההיסטורית עד כה הסקירה

העניקה לנוש הנוספות התובנות את, הרו בקצלו, זכירלא תהיה שלמה אם לא נאבל היא .קורסה

אחד הסתברותי לכדי תיאור הגישה החלקיקיתאת אשר שילבה את הגישה הגלית וכ תורת הקוונטים

.של חוקי הטבע

200

Korteweg, D. J. & de Vries G. (1895). On the change of form of long waves advancing in a rectangular

canal, and on a new type of long stationary waves. Phil. Mag. 39, 422-443. 201

Zabusky, N. J. & Kruskal M. D. (1965). Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of

Initial States. Phys. Rev. Lett. 15, 240 . 202

Somerfeld, A. (1896). Mathematische Theorie der Diffraction, Math. Ann. 47, 317-374. 203

Lebedev, P. N. (1899). Archives des Sciences. Physiques. et Naturelles. 8, 184. 204 Lebedev, P. N. (1901).Experimental Examination of Light Preassure, Ann der Physik 6, 433 205

Nichols, E. F. & Hull G. F. (1901). A Preliminary Communication on the Pressure of Heat and Light Radiation. Phys. Rev.

(Series I) 13, 307-320.

מבוא: 1פרק

61

: מרכזיותיקליות זפישתי תופעות ללא היה הסבר מספק עדיין עשרה–וף המאה התשעבס

עוצמת הקרינהשל לתלות התופעה הראשונה התייחסה ".הפוטואלקטריהאפקט "ו" גוף שחורקרינת "

- לחלופין או ,תדירות הקרינהב ,דינאמיתרמו שיווי משקלב 206שפולטים גופים האלקטרומגנטית

אם הרשליוויל עשרה על ידי–בר בראשית המאה התשענעשו כהזאת תלות המדידות של . באורך הגל

ההתיאורי ,באותה תקופה. והן שופרו לקראת סוף המאה, )1817(ף פראונהופר 'וגוז) 1800(

)Ludwig Boltzmann, 1844-1906( של בולצמןהקינטית והתורה מקסוול של האלקטרומגנטית

נכונה הוא תיאר .היה חלקי ההסבר אולם, תהניסיונילהסביר את תוצאות המדידה , לכאורה, ואפשר

גל באורכי התוצאה הניסיוניתלא הסביר את אבל , בגבול של אורכי גל ארוכיםצמת הקרינה ואת ע

לפתור את )Max Karl Ernst Ludwig Planck, 1858-1947( מקס פלאנקהצליח , 1900בשנת . קצרים

כל ו, ")קוונטות(" גל אלקטרומגנטי מגיעה במנותלפיה האנרגיה של שהנחה הוספת הבעיה על ידי

הנוסחה .תדירות הגלב) הנקרא כיום קבוע פלנק( יאוניברסאלשל קבוע מכפלה ל מנת אנרגיה שווה

נותרה ההנחה אולם משמעות , לניסיוןמה יתאה ,של האור "קוונטיזציה"בעזרת הנחת ה, שגזר פלאנק

.מעורפלת

עבודה שעליה זכה בפרס נובל בשנת - הפתרון של איינשטיין לבעיית האפקט הפוטואלקטרי

רה על ידי טרי נתגלה במקהאפקט הפוטואלק. הבנה של משמעות ההנחהל חשוברמז סיפקה - 1921

רום לניצוץ להופיע במתח נמוךאפשר לגבהן טיפל שבמערכות ש כאשר התחוור לו ,1887–ב, הרץ

האפקט גם . קרינה אולטרה סגולהב ,ביניהם עובר הניצוץש, אם מאירים את המגעים מהרגיל

את איינשטייןפתר 1905בשנת . התורה האלקטרומגנטית של מקסוול על ידי לא הוסבר הפוטואלקטי

מנת אנרגיה הזהה לזונושא כל אחד מהם ש ,של חלקיקיםשטף מורכב מ על ידי ההנחה שהאור החידה

גם כשטף לתאר את האורוצריך אפשר , הכול שככלות, עבודה זו הראתה באופן ברור .פלאנק שמצא

.חלקיקים של

ביססה את התפיסה ,ריםבעשורים הראשונים של המאה העששהתפתחה ,הקוונטיםתורת

כמו למשל ,והכלילה אותו גם לחלקיקי החומר ,207גלו חלקיק בזמן–לפיה האור הוא בושהדואלית

כמו (התובנות שעלו מתורה זו היא שהאופי החלקיקי או הגלי של האור אחת .אלקטרונים ואטומים

תכונות מדידה החושפת את ה: המדידה שבוחרים לבצעעל ידי אופן ידה רבה במ נקבע )החומר חלקיקי

ואילו מדידה הבוחנת את , את האופי הגלי של האור מבליטה, סדקים צריםכמו התאבכות מ, הגליות

שלא היא רהדבת משמעו .מגלה את האופי החלקיקי שלו, ראהכמו פיזור ממ, התכונות החלקיקיות

.מערכת המדידהלהפריד את הצופה מ ניתן

206

למשל, גופים רבים ,עם זאת. אורך גל קרינה בכל )ולכן גם פולט(הכוונה לגוף אידיאלי שבולע " גוף שחור" במונח

.כגוף שחורטוב רובימתנהגים בק, השמש . 1926בשנת לתיאור חלקיקי האור" פוטון" טבע את השם (Gilbert N. Lewis)גילברט לואיס 207

גלים ואופטיקה

62

סיכום 1.1.3

. סביבו התפתחה תורת הגלים והאופטיקה היה השאיפה להבין את מהות האורשהמרכזי הציר

בין ושל האור הגלית ם בתמונהמצדדיהבין נוצר מתח שהן מ ,בין היתר, ניזוןזו עניין הרב בחידהה

. האור כזרם של חלקיקיםתואר עשרה –אמצע המאה השבעעד . והחלקיקית שלהמצדדים בתמונה

,עקרון פרמה(ופיזור ממראות ומנסרות במעבר דרך עדשות הסבירה את מסלול קרני האור גישה זו

היה שקשה הציגו תופעות חדשותאשר ,1665–באולם לאחר הניסויים של גרימלדי והוק ).1657

. גלאל האור כמתחרה שהתייחסה אל החלה להתפתח גישה ,להסבירן במסגרת התורה החלקיקית

עקרון , העיקרון הראשון שלהנוסח 1678–וב ,אנלוגיה לגלי קול עלגישה זו התבססה ,בראשית דרכה

זמן רב על ידי יאנג נוסח ,עקרון ההתאבכות, העיקרון השני .תופעת העקיפה את רשתיא ,הויחנס

ידי פרנל הסינתזה של שני העקרונות הללו נעשתה על .עשרה–בראשית המאה התשע, לאחר מכן

של התאבכותהו תבניות העקיפהאת למדי סביר באופן מדויק לה בעזרתה ניתן היה. 1816בשנת

אנלוגיה עזרת ב ,תופעת הקיטובאת הגישה כדי להסביר אתפרנל הכליל ,מאוחר יותר. גופים שונים

,אולםו .ביססה את התיאוריה הגלית של האורעבודתו של פרנל .לתנועות הרוחביות של מיתר

תיאור נכון שלו דורש שילוב של בראשית המאה העשרים התברר שהתנהגות האור מורכבת יותר וש

.תורת הקוונטיםהרחבה יותר של במסגרת ושל התמונה הגלית החלקיקית התמונה

יות שאפיינו את התפתחות תורת הגלים מוקדים נוספים של בעכמה היו , מלבד ציר זה

.והאופטיקה

הייתה אחד האתגרים , על שלל הפרטים שבה, ההבנה של תופעה אופטית זו :ופעת הקשת בענןת

תאודוריק שאותו סיפק, הבסיסי של התופעהההסבר . שנים במשך אלפישל המדע המרכזיים

מהווה אחד ההישגים ,מודל לטיפות הגשםבוקים כדוריים ששימשו כבקבעזרת 1311 שנתב מפרייברג

) 1637(דקארט חישב ,כשלוש מאות שנה מאוחר יותר .המדע בתקופת ימי הבינייםשל מרשימים ה

את ) 1667(ניוטון הסביר לאחר מכן. בהן ממוקמות הקשת הראשית והמשניתשאת הזוויות

הראה) 1802(יאנג עברו עד שנוספות כמאה שנים .ספקטרום הצבעים של הקשתהמשמעות של

בוצע זושל תבנית וחישוב, א תוצאה של התאבכותהקשת הי שלהפנימיים יםבשולישהאור שתבנית

. 1838בשנת אייריעל ידי

ובורלי ,עשרה על ידי מרסן–מדידות של מהירות הקול נעשו בראשית המאה השבע :מהירות הקול

לה לגבי התיאוריה של והן הציבו סימן שא, הזמןחלוף עם יותר המדידות נעשו מדויקות . וויואני

ניתן על ידי לפלס יה זוהפתרון לבע .תוצאת המדידהמ 20%–נתנה תוצאה נמוכה בכניוטון אשר

מבוא: 1פרק

63

לפלס הניח במקום זאת .של ניוטון אינה תקפה האיזותרמיותשהנחת לו כשהתחוור, 1816 שנתב

. דהלמדי התאימוקיבל התוצאות שו ,של האוויר בזמן מעבר גל קול התנהגות אדיאבטית

החשבון הדיפרנציאלי ההבנה של משוואות גלים התפתחה בעקבות המצאת :פורייה אנליזת

וילר שני מבר ואאל'דהציגו ,משוואת המיתרהדיון על במסגרת . וטוןוניסוח חוקי ני יוהאינטגראל

, )נוסעיםגלים (שינוי צורתם גלים הנעים במהירות קבועה ללא האחד תיאר :סוגים של פתרונות

שקולים ושפונקציה הללו הציע שהפתרונות דניאל ברנולי .עומדים סינוסואידליים גלים והשני תיאר

פורייה פיתח ,שנה מאוחר יותרכשישים . שרירותית ניתנת לתיאור כסכום של גלים סינוסואידליים

ההתכנסות של להוכיח את וא הצליחבהמשך הו, את משוואת החום על מנת לפתור זההרעיון את ה

.טורי הפונקציות שבנה

עם התפתחות תורת החשמל , עשרה–באמצע המאה התשע :מגנטיות ואור, הקשר בין חשמל

שמישור ראהה הניסיון של פאראדיי .הראשונים לקשר שבינה ובין האורהופיעו הרמזים , והמגנטיות

את העובדה ציין קירכהוףן לאחר מכ רועשכו, הקיטוב של האור מסתובב בנוכחות שדה מגנטי

קולראוש שמצאו ,טען החשמלישל המ תוהאלקטרודינאמיו תשהיחס בין היחידות האלקטרוסטטיו

שמהירות זו גם קירכהוף זמן קצר לאחר מכן הראה .למהירות האור שמדד פיזו היה קרוב ,וובר

של המאה ילת שנות השישים חבת .התפשטות של הפרעות חשמליות במוליכיםהמאפיינת את

והראה שמהירות ,המשוואות הנכונות של האלקטרומגנטיותאת מקסוול רשם , עשרה–התשע

לקראת סוף , הניסויים של הרץ .מהירות האור אלקטרומגנטיים היא אכןהגלים הההתקדמות של

.זואוריה יביססו ת, עשרה–המאה התשע

–ואף שהורסה דה, את האנושות מקדמא דנאהעסיקה , םכחולי השאלה למה השמים :פיזור קרינה

לטיפול הכלים, באטמוספרה שמדובר בפיזור של קרני השמש, עשרה–בסוף המאה השמונה, ניחש סורוס

בסוף שנות השישים של . התורה האלקטרומגנטיתבין בין האור ושהקשר בבעיה ניתנו רק לאחר שהובן

צבע את קובע הוא שהבין שפיזור זה ים ואור מתרסיסהפיזור את טינדולחקר , עשרה–המאה התשע

על ידי את ההסבר לצבע השמיםריילי נתן זמן קצר לאחר מכן . קיטוב האור המגיע מהםאת השמים ו

בד בבד התברר הקשר שבין פיזור קרינה . פיזור של גלים אלקטרומגנטיים מדיפולים חשמלייםאפיון ה

.חומרים דיאלקטריים ומתכותאופטיות של הוהוסברו התכונות , הנפיצהלתופעת

לא הוסברו כראוי במסגרת התורה הליניארית תעיקריושתי תופעות :ליניאריות–לאבמערכות גלים

והגלים הסוליטריים ,עשרה–המאה השמונהבאמצע הטונים של טרטיני שנתגלו : של משוואות גלים

פעות אלו העיקריים בהבנת תואחד המכשולים . עשרה–רסל בשנות השלושים של המאה התשעשראה

מהותי מזו של שונה באופןה תוליניארי–לא נהגות של מערכותתכן התיבכך שת הצורך להכירהיה

גלים ואופטיקה

64

עזרת בהדגים זאת גם כן ומאך , צעהלמהולץ הדגים זאת בניסויים אקוסטיים שבי .מערכות ליניאריות

- ומאוחר יותר, ריילי ,סינקוב, רימן ,בצד התיאורטי .דור רובה במעופוצילום גלי ההלם שיוצר כ

ה עמוקהבנה ,עם זאת .ליניאריות–לא גלים רונות פרטיים של משוואותמצאו פת, ווריס–קורטווג ודה

במחקר לשימושהוכנסו כאשר מחשבים , רק במאה העשרים התגבשהמכתיבות הן של הדינאמיקה ש

.המדעי

המלצות לקריאה נוספת 1.1.4

מומלצים נספח בברשימת המקורות שב המופיעים טרנטנואתרי האי המאמרים ,הספרים מרבית

:האלההספרים קריאתב להסתפקאפשר אולם, לקריאה נוספת

• Whittaker, E. (1960). A history of the theories of aether and electricity. Harper &

Brothers, New York.

והאבולוציה , ההתפתחות של התורה האלקטרומגנטית של תיאורבכרך הראשון של ספר זה אפשר למצוא .ועד ראשית המאה העשרים הההיסטורימשחר "אתר"של המשמעות שיוחסה ל

• Mach, E. (1926). The principles of physical optics, an historical and philosophical

treatment. Translated by J. S. Anderson and A. F. A. Young. Dover.

התפתחות מתמקד במאך אולם , של וויטקר ספרלאלה שבמסוימת חופפים במידה של מאךהתכנים בספר .מדע האופטיקה ומרחיב את התיאור באופן ניכר

• Hunt, F. V. (1978). Origins in acoustics, The science of sound from antiquity to the

age of Newton. Yale University Press, New Haven and London.

.אקוסטיקה עד ניוטוןהתפתחות השל הההיסטורישל תיאור אפשר למצוא בספר זה • Beyer, R. T. (1998). Sounds of our times: Two hundred years of acoustics. Springer–

Verlag, New York. ההיסטורית של האקוסטיקה מתוארת בו ההתפתחות. של הספר של הנט המשךמעין זה הוא למעשה ספר

.נויניוטון ועד ימימי מ

• Darrigol O. (2003). The spirited horse, the Engineer and the mathematician: Water

waves in nineteen–century hydrodynamics. Arch. Hist. Exact Sci 58, 21–95.

לפלס ועד ראשית המאה ימי מים מגלי פני ההתיאוריה של תפתחות של ה תיאור למצואאפשר במאמר זה .מהירות החבורהבגלי חוט הדייגים של ריילי וב, גלי קלוויןב ,בגלים סוליטרייםהוא דן בפרט ו ,העשרים

• Boyer, C. B. (1959). The rainbow, from myth to mathematics. Thomas Yoseloff.

. עשרה–משחר ההיסטוריה ועד סוף המאה התשעהקשת תופעת ל התפתחות ההבנה שבספר זה מתמקד .הרנסנסבתקופת ת האופטיקה בימי הביניים ול התפתחוע הספר מספק מבט רחב, בפרט

מבוא: 1פרק

65

פיזיקלי –רקע מתמטי: מתנדים הרמוניים 1.2

, והאופטיקה היא במובנים רבים הכללה והרחבה של המודל של מתנד הרמוני פשוטתורת הגלים

את התנודות של מסה , )בגבול של תנודות קטנות(כמו זה המתאר למשל את התנודות של מטוטלת

כפי ). סליל השראה(או את הזרם החשמלי הזורם במעגל הבנוי מקבל וממשרן , הקשורה לקפיץ

הם למעשה תנועה משולבת של אינסוף מתנדים ) במערכות ליניאריות(גלים , שנראה בהמשך הקורס

, נסקור את הרעיונות הבסיסים הקשורים בתנועה הרמונית פשוטה, כהקדמה לקורס, לכן. הרמוניים

סקירה זו נועדה גם להציג בקצרה את הכלים המתמטיים . אבן הפינה של תורת הגלים, כאמור, שהיא

.ון הבעיות שבהן נדון במהלך הקורסהבסיסיים שישמשו אותנו לפתר

נפתח בתזכורת קצרה של טורי טיילור ובהצגת ההגדרות והנוסחאות הבסיסיות של מספרים

לאחר מכן נדון במשוואת התנועה של חלקיק מרוסן ונראה כיצד אפשר להכליל את פתרונה . מרוכבים

נאמיקה של מתנדים מרוסנים נמשיך בתיאור הדי. לתיאור ההתנהגות של מתנדים הרמוניים

מתנדים לקראת סוף הפרק נתבונן במערכות הבנויות מכמה. ונדון בתופעת התהודה, ומאולצים

הגזע מתנדנד האיקליפטוס מתנדנד

הנדנדה מתנדנדת רגלי מתנדנדות ילדי מתנדנד

ראשי מתנדנד אנחנו מתנדנדים האדמה מתנדנדת הסלעים מתנדנדים הצמרת

של האיקליפטוסמתנדנדת הגלים מתנדנדים קלים קלים מתנדנדים והדגים

והדגיגים מתנדנדים וילדי מתנדנד אתי

ואנחנו גלים מתנדנדים באגם מתנדנד ואנחנו והצמרת והכנרת והאדמה מתנדנדת

והמח מנדנד והכל מתנדנד והשמים

השמים השמים הם לבדם אינם מתנדנדים או שמא גם הם מתנדנדים

והעולם ערסל

מנדנד אותנו בחיקו

והזמן מרחוק מדנדן

רחל חלפי, שיר מתנדנד "מקלעת השמש"מתוך

. ילדים משחקים במטוטלת גלוישל בר" משחקי ילדים"פרט מתוך הציור

גלים ואופטיקה

66

נסכם את הפרק בדיון על . ונראה שהן שקולות לאוסף של מתנדים בלתי תלויים, מצומדים הרמוניים

. המשמעות של תוצאה חשובה זו בהקשר של תורת הגלים

פיזיקלי שנציג כאן אינו חלק מן היעדים הלימודיים –גם הרקע המתמטי, ההיסטורית כמו הסקירה

תלמידים המעורים . הוא נועד בעיקר לרענון הזיכרון ולהצגת המינוח שבו נשתמש בהמשך. של הקורס

לעיין בו כדי להתרשם , לכל הפחות, אם כי מומלץ, בחומר מוזמנים לדלג לפרק השני של הקורס

' מופיע בנספח א, הכולל חשבון וקטורי ומשפטי אינטגרציה, מתמטי נוסף הדרוש לקורסרקע . מתוכנו

. לפרק זה

טורי טיילור

. שיטת הקירוב הבסיסית ביותר בפיזיקה מבוססת על האפשרות לתאר פונקציה בעזרת טור טיילור

:אינסופי מהצורההוא פיתוח בטור חזקות , ליד הנקודה ,פיתוח טיילור של הפונקציה

(1.1)

2 30 0 0 0 0 0 0

( )0 0

0

1 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 61

( )( )!

n n

n

f x f x f x x x f x x x f x x x

f x x xn

מציין את הנגזרת ,מציין את הנגזרת הראשונה של הפונקציה בנקודה כאשר

:ובאופן כללי ,השנייה של הפונקציה בנקודה

(1.2)

.בנקודה) מתייחס לפונקציה המקורית כאשר(ית של הפונקציה – –מציין את הנגזרת ה

נקראת פונקציה אנליטית נציין שהפונקציה, מבלי להיכנס להגדרות מתמטיות מדויקות

.מתכנס לפונקציה בסביבה כלשהי של הנקודה (1.1)אם הפיתוח האינסופי , בנקודה

f x0x

0f x0x 0f x

0x

0

( )0

nn

n

x x

d f xf x

dx

n0n 0x

f x

0x

מבוא: 1פרק

67

פונקציה "לפעמים נשתמש במונח . 208נקראת פונקציה חלקה אם כל הנגזרות שלה קיימות

.פונקציה שמספר גדול מספיק של נגזרות שלה מוגדרות היטבכדי לציין " חלקה מספיק

ונשתמש בטורי טיילור קטומים על מנת לקרב , בפונקציות אנליטיות, בדרך כלל, בקורס זה נעסוק

תקורב על , בתחום, פונקציה מהצורה, לדוגמה. אותן בתחום שיעניין אותנו

: ב לנקודהמסבי (1.1)ידי האיבר המוביל בפיתוח טיילור

(1.3) כאשר

: על ידי פיתוח טיילור לסדר ראשון ליד הנקודה באופן דומה נקרב את

(1.4) כאשר

:לסדר שניעל ידי פיתוח טיילור , לעיתים, תקורב ואילו הפונקציה

(1.5) כאשר

1 שאלה

:ואת הקירוב (1.5)–ו (1.4), (1.3) הוכח את הנוסחאות

(1.6) כאשר

. אינו נכון הפךה אבל, באותה נקודה חלקההיא גם , בנקודה מסוימת אנליטיתהיא פונקציה שים לב שאם 208

הפונקציה ,לדוגמה

1exp[ ] 0

0 0

xxf xx

0xבנקודה . היא פונקציה חלקה אבל היא לא אנליטית . קל לראות שכל נגזרות הפונקציה מתאפסות בנקודה

0x ,0הנקודה . ולכן לא קיימת סביבה ליד הראשית שבה טור טיילור מתכנס לפונקציהx ,במקרה זה ,

. "עיקרית תסינגולאריו " מכונה

f x

1f x x 1x

0 0x

1 12

xx 1x

sin x0x

sin x x1x

cos x

2

cos 12

xx 1x

11

1x

x

1x

גלים ואופטיקה

68

ההצגה של מספר 1-1איור במישור המרוכבכווקטור מרוכב

מספרים מרוכבים

ישמשו מספרים מרוכבים בעיקר לשם הצגה נוחה יותר , נדון בקורסשבה , במסגרת תורת הגלים

מתארות תנועה הרמונית , כפי שנראה בהמשך, אשר, )סינוס וקוסינוס(של פונקציות טריגונומטריות

:מספר מרוכב הוא מספר מהצורה. פשוטה

(1.7)

נקרא החלק הממשי של x. הוא השורש של –הם מספרים ממשים ו –ו כאשר

ונהוג לסמנו בצורה הוא החלק המדומה של ואילו , ונהוג לסמנו בצורה

תיאור נוח של מספר מרוכב מתקבל על ידי הצגתו .

מייצג את החלק הממשי כווקטור במישור המרוכב שבו ציר

. 1-1ג באיור צכמו, מייצג את החלק המדומה שלו וציר , של

מתיאור זה עולה שקיימות אפשרויות נוספות להצגת מספרים

ניתן לאפיין מספר מרוכב בעזרת המרחק של , טבפר. מרוכבים

:מהראשית הנקודה

(1.8)

: שבין הציר הממשי ובין הווקטור המחבר את הראשית עם הנקודה) הפאזה(והזווית

arctan( )yx

(1.9)

:כלומר , (1.10)

:אוילר בנוסחתמשתמשים , –ו בעזרת כדי לרשום את

(1.11)

:ממנה נובע כי

(1.12)

". הצגת אוילר"הצגה זו של מספר מרוכב נקראת

z x iy

xy1i 1

zRe( )x zyz

Im( )y z

x

zy

,x y

2 2r x y

,x y

cosx r siny r

zr

exp cos( ) sin( )i i

expz r i

מבוא: 1פרק

69

2שאלה

לטורי טיילור והשוואה (1.11) את נוסחת אוילר על ידי פיתוח שני האגפים של משוואה הוכח. א

. של מקדמי הפיתוח שלהם

: אותמשוואת ההשתמש בנוסחת אוילר כדי להוכיח . ב

(1.13) –ו

של המוחלט הערך ואת, )1-1ראה גם איור ( –כ שלהצמוד המרוכב מגדירים את

. קל לוודא שבהצגת אוילר. –מספר מרוכב כ

3שאלה )exp הוכח כי. א 1i ) כאשר ממשי.(

1הפאזה של את חשב את הערך המוחלט ו .ב

z.

.: בין חמשת המספרים המרכזיים של המתמטיקהשלהלן הוכח את הקשר .ג

חלקיק מרוסן 1.2.3 ולכן נע (כלומר חלקיק הנע ללא השפעה של כוחות חיצוניים , פרט למערכת של חלקיק חופשי

המערכת , )ולכן נע בתאוצה קבועה(ושל חלקיק הנמצא תחת השפעת כוח קבוע , )קבועה במהירות

חלקיק הנע בתווך צמיג כך שכוח החיכוך - הדינאמית הפשוטה ביותר היא זו של חלקיק מרוסן

. הוא מקדם הריסון כאשר, ומנוגד לכיוונו מתכונתי למהירותו , ,שפועל עליו

, ועבור תנועה בממד אחד, משוואת התנועה של החלקיק המרוסן נקבעת על פי החוק השני של ניוטון

:היא לובשת את הצורה, לאורך ציר

(1.14)

היות שהמהירות היא הנגזרת של מיקום . הוא משתנה הזמן –ו, היא מסת החלקיק כאשר

:גם בצורה (1.14)שום את משוואה אפשר לר ,, החלקיק לפי הזמן

(1.15)

exp expsin

2

i i

i

exp expcos

2

i i

z x iy *z x iy

*z zzz r

1 0ie

F v v

x

2

2

d xm F v

dt

mt

dxv

dt

dvm v

dt

גלים ואופטיקה

70

ואילו אגף ימין שלה מייצג את כוח , אגף שמאל של משוואה זו מייצג את השינוי בתנע של החלקיק

אשר מכילה נגזרת ראשונה של הפונקציה , (1.15)משוואה כמו משוואה . החיכוך שגורם לשינוי זה

סדר המשוואה שווה (רגילה מסדר ראשון תנקראת משוואה דיפרנציאלי, שאותה אנו מבקשים למצוא

פתרונה מתאר את מהירות החלקיק כפונקציה של הזמן). סדר הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואהל

למשל , כלומר המהירות בזמן כלשהו, י ההתחלה של הבעיה ידועיםפתרון זה יחיד אם תנא .

. בזמן המהירות

הפונקציה באותה מתכונתי לערך , בכל נקודת זמן , שיפוע הפונקציה, (1.15)לפי משוואה

לכן יש לצפות שהמהירות של חלקיק מרוסן . זוהי אחת ההגדרות של פונקציה מעריכית. הנקודה

נעביר אגפים ונרשום , –נחלק את המשוואה ב, כדי להיווכח בכך. תדעך באופן מעריכי עם הזמן

:את משוואת החלקיק המרוסן בצורה שונה מעט

(1.16)

4שאלה

.(1.16) את משוואההוכח

:ממשוואה זו נובע שהאיבר שבסוגריים הוא קבוע שאינו תלוי בזמן

(1.17) קבוע

אפשר לזהות את הקבוע על ידי חישוב אגף שמאל של המשוואה בזמן שבו ידועים תנאי ההתחלה של

,לכן. בזמן, למשל; המערכת

(1.18)

:מכאן נקבל את הפתרון המבוקש. היא המהירות ההתחלתית של החלקיק כאשר

(1.19)

v t

00v v0t

v t

m

exp exp 0dv t d

v t t v t tdt m m dt m

expv t tm

0t

0exp 0 exp 0v t t v vm m

0v

0 expv t v tm

מבוא: 1פרק

71

,פתרון זה מתאר דעיכה מעריכית של המהירות עם קצב דעיכהm

משקף את היחס שבין אשר ,

זמן הדעיכה . הנתון על ידי המסה, של המערכת) האינרציה(עוצמת כוח החיכוך ובין ההתמד

הוא אפוא , מערכה ההתחלתי כלומר הזמן שבו המהירות קטנה פי , יהאופיינ

m.

)ממדי–חד(מתנד הרמוני 1.2.4

במקרה . ממדי–המערכת הדינאמית הבאה מבחינת רמת המורכבות שלה היא המתנד ההרמוני החד

זה הכוח שפועל על החלקיק הוא כוח מחזיר שמתכונתי להעתקת החלקיק מנקודת שיווי המשקל

אם החלקיק קשור לקפיץ , למשל, כוח כזה מתקבל. כלומר מהנקודה שבה הוא שרוי במנוחה, שלו

:חוק הוקהמקיים את

(1.20)

היא ההעתקה של החלקיק מנקודת שיווי המשקל ,הוא הכוח שהקפיץ מפעיל על החלקיק כאן

אם מסת החלקיק . הוא קבוע הכוח של הקפיץ –ו) שאותה בחרנו לקבוע בראשית הצירים(שלו

:מתבטא במשוואה, במקרה זה, אזי החוק השני של ניוטון , היא

2

2

d xm Kx

dt (1.21)

:ונגדיר, –נחלק את שני אגפיה ב, כדי לרשום משוואה זו באופן פשוט יותר

(1.22)

משוואת המתנד ,לאחר העברת אגפים. זוהי תדירות התנודה הטבעית של המתנד, כפי שנראה בהמשך

: ההרמוני לובשת את הצורה

(1.23)

.דיפרנציאלית רגילה מסדר שניזוהי משוואה

exp 1 0.3678..

F Kx

Fx

K

m

m

K

m

22

20

d xx

dt

גלים ואופטיקה

72

5שאלה

רוף ליניארי יאזי כל צ, (1.23)הם פתרונות כלשהם של משוואה –ו הוכח כי אם

של משוואה גם הוא פתרון - ) הם קבועים שרירותיים בו ש( , שלהם

. זו

מהצורה של ננסה גם עכשיו לחפש פתרון , (1.19)בעקבות הפתרון של משוואת החלקיק המרוסן

:פונקציה מעריכית

(1.24)

:מובילה לדרישה (1.23)–ב (1.24)הצבה של . הם קבועים שעלינו למצוא –ו כאשר

(1.25)

,)ולכן(שונה מאפס כלומר בפתרון שבו, יומאחר שאנו מעוניינים בפתרון לא טריוויאל

:עלינו לדרוש

(1.26)

ההצבה של הפונקציה המעריכית במשוואת המתנד החליפה את המשוואה הדיפרנציאלית , אם כן

:במשוואה אלגברית שאת פתרונותיה קל למצוא (1.23)

(1.27)

מגדיר פתרון של משוואת המתנד , (1.24)לאחר הצבה בנוסחה , כל אחד משני הערכים שמצאנו כאן

:ההרמוני

(1.28)

, )כלומר אי אפשר לרשום אחד מהם כמכפלה של השני בקבוע(אינם תלויים ליניארית פתרונות אלו

ידוע שהפתרון הכללי ביותר למשוואה 209ומהתורה של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות רגילות

,כלומר. נתון על ידי צירוף ליניארי של שני הפתרונות שמצאנו (1.23)

(1.29)

. של האוניברסיטה הפתוחה" משוואות דיפרנציאליות רגילות"קורס הראה למשל 209

1x t 2x t

1 2x t x t ,

expx t X t

X

2 2 0X

x t0X

2 2 0

i

expx t X i t

exp expx t X i t X i t

מבוא: 1פרק

73

, בדרך כלל, למקדמים אלו יש. נקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה , ,כאשר המקדמים

היא פונקציה –יש לבחור אותם כך ש ,וכדי לתאר מצבים פיזיקליים של המתנד, ערכים מרוכבים

: יהיה צמוד המרוכב של –עלינו לדרוש ש, כלומר. ממשית

(1.30)

מובילים (1.13)ושימוש בנוסחאות (1.29) –ב (1.30)הצבה של . הם גדלים ממשיים –ו כאשר

:לתוצאה

(1.31)

6 שאלה

:גם בצורהותה תן לרשום איוהראה שנ, (1.31)הוכח את נוסחה

(1.32)

כאשר

(1.33)

נובע שהדינאמיקה שלו ) (1.32)נוסחה (מהפתרון שקיבלנו עבור משוואת המתנד ההרמוני הפשוט

נקראת גם , ,תדירות התנועה של המתנד .210ומתוארת על ידי גל סינוסואידלי, מחזורית בזמן

:וזמן המחזור של תנועתו הוא, של המתנד" התדירות העצמית הזוויתית"

(1.34)

. לכל :כך שמתקיים תנאי המחזוריות

:כדי לבטא גל כללי מהצורה" סינוסואידליגל "לאורך הקורס נשתמש במונח 210 sin t , כאשר זווית היא

.כלשהי

X

x t

X X

1

2X X iX

XX

cos sinx t X t X t

sinx t A t

2 2arctan X

A X XX

- ו

22

m

K

x t x t t

גלים ואופטיקה

74

משרן-מעגל קבל 1-2איור

פתרון משוואת המתנד ההרמוני עבור תנאי התחלה נתונים :דוגמה א

:הם) בזמן (שמיקומו ומהירותו ההתחלתיים ) ממדי–חד(נתון מתנד הרמוני

(1.35) –ו

נדרוש לשם כך . עבור תנאי התחלה אלו (1.31)שבנוסחה –ו זהה את הקבועים בדוגמה זו נ. בהתאמה

:ומכאן נקבל, יקיים את תנאי ההתחלה (1.31)פתרון שה

(1.36)

0t נציב, לפי הזמן (1.31) כעת נגזור את נוסחה ,ונקבל:

(1.37)

:כימשתי הנוסחאות האחרונות נובע

(1.38)

משרן –קבלמעגל :דוגמה ב

סליל(שרן מומ , וקיבולשקבל מורכב מנתבונן במעגל חשמלי ה

נראה שהתנהגות המטען . 1-2 רכמודגם באיו , והשראותש) השראה

לשם כך נחשב את . של מתנד הרמוני פשוט זוהחשמלי במעגל זהה ל

מטען הקבל הוא שבזמן בהנחה , ,על לוחות הקבלשהמטען

, –בטעון והשני –אחד הלוחות טעון ב, כלומר(

.והזרם במעגל הוא , )כמודגם באיור

לפיו מפל המתח שנשתמש בחוק קירכהוף ,את הדינאמיקה של המטען מתארתהמשוואה האת לבנות כדי

מפל המתח בין לוחות : בכל אחד מרכיבי המעגל אפוא נתבונן. סגור חייב להתאפסחשמלי מסלולהכולל לאורך

–ו )1-2כמודגם באיור ( המטען על לוחות הקבלהוא כאשר , הקבל מקיים את הקשר

L נוי הזרם העובר דרכוימפל המתח הנוצר על המשרן נובע מש; קיבולוהוא dI

V Ldt

היא כאשר ,

) חוק קירכהוף( התאפסות סכום מפלי המתח לאורך המעגללכן .במשרןהוא הזרם הזורם –השראות וה

:מובילה למשוואה

0t

00x x00t

dxv

dt

XX

00x x

00x x X

00t

dxv X

dt

00 cos sin

vx t x t t

C

L

q t0t

00q q0q0q

00I I

/cV q CqC

L

I

מבוא: 1פרק

75

(1.39)

בנקודת זמן . בנקודה כלשהי לאורך המעגל ,הוא כמות המטען העוברת ביחידת זמן, על פי הגדרתו, הזרםאבל

בנקודת החיבור של , למשל, לכן אפשר לחשב אותו. הזרם מקבל אותו ערך בכל מקום לאורך המעגל, נתונה

מתקיים 1-2בהתאם לבחירת הכיוון של הזרם באיור , בפרט. המעגל לקבלdq

Idt

כיוון שכל הזרם הנכנס ,

והעברת אגפים , (1.39)הצבת הקשר האחרון במשוואה . של הקבל מצטבר שם כמטען חשמליאל הלוח העליון

:נותנות אפוא את המשוואה שקובעת את הדינאמיקה של המטען על לוחות הקבל

(1.40)

האנלוגיה בין זיהוי על ידי ,לכן. (1.21)זהה בצורתה למשוואת המתנד ההרמוני המשוואה שקיבלנו עבור

בטבלה הבאה מסוכמת האנלוגיה . את הפתרון עבור לרשום יתןנ, המשוואות זוגהמרכיבים השונים של

:מתנד חשמליבין בין מתנד מכאני ו

)LCמעגל (בין מתנד חשמלי האנלוגיה בין מתנד מכאני ו : 1טבלה

LC)מעגל (מתנד חשמלי מתנד מכאני

L ,השראות ,מסה

,חלקי הקיבול 1 ,קבוע הקפיץ

,מטען הקבל ,מיקום המתנד

,זרם ,מהירות

,תדירות ,תדירות

שוואה להסיק שפתרון המ ניתן, הקודמתבדוגמה חושבהש (1.38) ת הפתרון של המתנדנוסחו 1בעזרת טבלה

:ואה (1.40)

(1.41)

.הם תנאי ההתחלה של הבעיה –ו כאשר

0c L

q dIV V L

C dt

2

2

d q qL

dt C

q

q t

m

K1C

x t q t

dx tv t

dt dq t

I tdt

Km 1

LC

00 cos sin

It tq t q

LC LC

00q q 0

0

0t

dq tI I

dt

גלים ואופטיקה

76

יציבות של חלקיק ולא נקודות שיווי משקל יציבות 1-3איור .ממדי-הנע בפוטנציאל חד

V x

x

נקודות שיווי משקל יציבות

נקודות שיווי משקל לא יציבות

V x

x

נקודות שיווי משקל יציבות

נקודות שיווי משקל לא יציבות

מתנד הרמוני של מודל ה תהאוניברסאליו 1.2.5

הוא , למשל. ברור שהמודל של מתנד הרמוני הוא אידיאליזציה של מערכת מורכבת הרבה יותר

שהחלקיקים אינם , אינו לוקח בחשבון שבמערכת פיזיקלית אמיתית פועלים גם כוחות חיכוך

ביותר בפיזיקה זהו המודל הבסיסי והשימושי, עם זאת. ושלכל קפיץ יש סטיות מחוק הוק, נקודתיים

מאפיין בצורה כללית מאוד את הכוחות (1.20)חשיבותו נובעת מהעובדה שחוק הוק . תתיאורטי

הכוח המחזיר , כלומר. שפועלים על מערכות המצויות בסביבת נקודת שיווי המשקל היציבה שלהן

ו בין שז, מתכונתי בקירוב להעתקתה, הפועל על מערכת שרירותית שמוסטת מעט מנקודה זו

. לחץ או מכל סיבה אחרת, דחיסה, כיפוף, פיתול, מתקבלת ממתיחה

וכדי לזהות את התנאים לתקפות התיאור , זו תעל מנת להבין מהו המקור להתנהגות אוניברסאלי

הכוח הפועל . ,נתבונן בדוגמה פשוטה של חלקיק הנע בפוטנציאל שרירותי, בעזרת חוק הוק

:הנגזרת של הפוטנציאל באותה הנקודה - לפי הגדרה - הוא, במרחב בנקודה כלשהי, על החלקיק

(1.42)

שבה , שיווי המשקל של המערכתנקודת , לכן

היא הנקודה , במנוחה אהחלקיק יכול להימצ

כלומר אקסטרמום של , שבה הכוח מתאפס

: ישנם שני מקרים עיקריים, אם כן. הפוטנציאל

נקודת האקסטרמום היא נקודת מינימום ) א(

נקודה כזו מתארת שיווי משקל . של הפוטנציאל

עט יציב שבו הכוח הפועל על חלקיק שהוסט מ

מהנקודה הוא כוח השואף להחזיר את החלקיק

נקודת האקסטרמום היא נקודת ) ב. (למקומו

זה מתבטא בכך שהכוח הפועל על . מקסימום של הפוטנציאל אשר מתאימה לשיווי משקל לא יציב

, קיימת. (1-3מקרים אלו מתוארים באיור . חלקיק הנמצא בקרבת הנקודה שואף להרחיקו ממנה

אולם המקרה הזה דומה למצב של שיווי , ות שמדובר בנקודת פיתול שלגם אפשר, כמובן

.)משקל לא יציב

V x

dV xF x

dx

V x

מבוא: 1פרק

77

.–כעת נתבונן בדינאמיקה של המערכת בקרבת נקודת שיווי משקל יציבה שנסמן אותה ב

–ונוסף לכך נניח ש, , מתאפס, כאמור, בנקודה זו הכוח

(1.43)

גם נקודות , כמובן, קיימות. על מנת להבטיח שמדובר בנקודת מינימום מקומית של הפוטנציאל

בפוטנציאל מהצורה הנקודה, למשל . שעבורן, מינימום מסוגים אחרים

. אולם במערכות מכאניות מקרים אלו נדירים למדי

ושהחלקיק נמצא בקרבת , מתואר על ידי פונקציה אנליטית בהנחה שהפוטנציאל , כעת

אפשר לקרב את הכוח הפועל על החלקיק בעזרת פיתוח טיילור של הפוטנציאל , נקודת שיווי המשקל

:מסביב לנקודת שיווי המשקל

(1.44)

האיבר השליט בפיתוח הוא האיבר , ,אם תנועת החלקיק מתבצעת מספיק קרוב לנקודה זו

איבר זה מתאר כוח מתכונתי להעתקת החלקיק מנקודת שיווי ).–בהנחה ש, כמובן(הראשון

בא לידי ביטוי בתנועה הרמונית , כפי שראינו, חוק הוק. כלומר הוא מתאר את חוק הוק, המשקל

כפי . ו של מתנד הרמוניומכאן שהתנהגות המערכת קרוב לנקודת שיווי משקל יציבה זהה לז, פשוטה

. אפשר להכליל תוצאה זו למערכת בעלת מספר רב של חלקיקים הנעים בכל ממד, שנראה בהמשך

נקבעת גם , ליד נקודת שיווי המשקל שלהן, של מערכות שרירותיות המהכללה זו נובע שהדינאמיק

במהלך . פשוט ולכן היא מתוארת בקירוב על ידי המודל של מתנד הרמוני, היא על ידי חוק הוק

.הקורס נמחיש התנהגות זו בעזרת דוגמאות רבות

: קיימות שתי אפשרויות. מאפשר לנו לזהות גם באילו מקרים חוק הוק אינו תקף (1.44)הפיתוח

אינם ניתנים (1.44)כאשר החלקיק מתרחק מנקודת שיווי המשקל כך שהאיברים הבאים בטור ) א(

צריכה להיות סיבה מיוחדת להתאפסות האיבר המוביל , כאמור ,אולם .כאשר ) ב. (להזנחה

.ונדיר למצוא מצב כזה במערכות מכאניות, בפיתוח טיילור

x

0F x

2

20

x xx x

d V x dF xK

dx dx

0K 0x 4( )V x x

V x

22

2

22

2

1

2

1

2

x x x x

x x

dF d FF x F x x x x x

dx dx

d FK x x x x

dx

x x

0K

0K

גלים ואופטיקה

78

מטוטלת פשוטה 1-4איור

ראינו אפוא שהתנודות הקטנות של מערכות מכאניות ליד נקודות שיווי משקל הן באופן כללי

כאשר משרעת התנודות . המערכת הפשוטה ביותר המדגימה זאת היא המטוטלת. תנודות הרמוניות

). זמן המחזור של תנועתה תלוי במשרעת, בפרט(התנהגותה אינה הרמונית , של המטוטלת גדולה

.המטוטלת מתוארת בקירוב טוב על ידי מתנד הרמוני פשוט, ואולם כשמשרעת התנודה קטנה

רוב של תנודות קטנותימטוטלת בק :דוגמה ג

עדר יבהובד של כדור הארץ ושפעת כוח הכההנעה תחת כהואור ה תמסשנתבונן במטוטלת

כפי . נחשב תחילה את מומנט הכוח הפועל עליה ,כדי לבנות את משוואות התנועה של המטוטלת. כוחות חיכוך

כאשר , ואהפועל בכיוון התנועה של המטוטלת ה כובדרכיב כוח ה, 1-4איור בשאפשר לראות

ד מפעיל על המטוטלת הוא ובכוח הכשהמומנט . האנך הניצב לקרקעבין היא הזווית שבין המטוטלת ו

,כלומר. מכפלת הכוח באורך הזרוע של המטוטלת

(1.45)

:יאמשוואת התנועה של המערכת ה לכן

(1.46)

חלוקת המשוואה על ידי . הוא מומנט האינרציה של המטוטלת ביחס לנקודת האחיזה שלה כאשר

:נקבל (1.45)והצבה של נוסחה –ב

2

2sin 0

d g

dt l

(1.47)

ml

sinmg

sinM lmg

2

2I

dM

dt

2I ml

I

מבוא: 1פרק

79

משרעת הגודל של עלללא הנחה , שמתארת את תנועת המטוטלת 211ליניארית–זוהי משוואה דיפרנציאלית לא

תחת ההנחה של ,ואמנם. אם כן מדובר בתנודות קטנות אאינה הרמונית אל, באופן כללי, תנועה זו. התנודה

1תנודות קטנות , sin , מצטמצמת למשוואת המתנד ההרמוני (1.47)ומשוואה:

(1.48)

: תדירותוש

(1.49)

תלוי רוב כמתנד הרמוני שזמן המחזור שלו אינו יבגבול של תנודות קטנות המטוטלת מתנהגת בק ,כלומר

.במסת המטוטלת או במשרעת התנודה

שימור אנרגיה 1.2.6

, אחת המסקנות העולות מהדיון ומהדוגמאות שהצגנו היא שהמודל של מתנד הרמוני מאופיין

מטרה , במקרים רבים, זיהוי תדירות זו הוא. תדירות התנודה שלו - על ידי גודל יחיד, למעשה

כפי שנראה , ולעיתים נוח לעשות זאת על ידי התבוננות בחוק שימור האנרגיה של המערכת, מרכזית

. להלן

האנרגיה הקינטית של המתנד היא 2

( )

2

Kdx tm

Edt

ואילו האנרגיה הפוטנציאלית נתונה ,

2 בביטוי ( )2

pK

E x t. שהיא הסכום של האנרגיה הקינטית , האנרגיה הכוללת של המתנד, לכן

:היא, והאנרגיה הפוטנציאלית

(1.50)

:היא, (t עבור הפונקציה, nמסדר , הומוגנית, רגילה, הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית ליניארית 211

1

1 1 01 0n n

n nn n

d d da t a t a t a t

dt dtdt

, מופיעה פונקציה לא ליניארית של (1.47)במשוואת המטוטלת . יכולות להיות פונקציות של הזמן ai(t) כאשר

.יניאריתולכן המשוואה אינה ל, אשר אינו כלול בהגדרה זו ,sin() בריהא

22

20

d

dt

g

l

2 2

2 2 2

2 2 2K P

dx t dx tm K mE E E x t x t

dt dt

גלים ואופטיקה

80

נוזל במבחנה 1-5איור

Uבצורת האות

7שאלה

:והראה כי) שחושבה בשאלה הקודמת( הצב את נוסחת הפתרון עבור

(1.51)

הוא ביטוי של הזהות ) בזמן חוסר התלות של ,כלומר(שים לב ששימור האנרגיה

.: הטריגונומטרית הידועה

) השוויון לאגף ימין של הנוסחה, ובפרט( (1.50)של חוק שימור האנרגיה תהצורה הפונקציונאלי

במקרים רבים שבהם ניתן להביא את , את תדירות התנודה של מתנד הרמוני מאפשרת לזהות בנקל

.נדגים זאת בעזרת שתי דוגמאות. (1.50)הביטוי לאנרגיה של המערכת לצורה

Uנוזל במבחנה בעלת צורת האות :דוגמה ד

ובעלת ,פתוחה בשני קצותיה העליונים, Uנתונה מבחנה בצורת האות

נניח שהמבחנה מלאה בנוזל לא דחיס וחסר . –השווה לחתך קבוע שטח

נתון . המושפע מכוח הכובד של כדור הארץ, בעל צפיפות מסה , צמיגות

את גובה פני הנוזל בצד –נסמן ב. שהמסה הכוללת של הנוזל היא

כאשר . 1-5באיור צגכמו ,ביחס למצב שיווי המשקל ,חנההימני של המב

, השינויים בגובה פני הנוזל קטנים ביחס לגובהו במצב שיווי המשקל

נרשום את חוק , לזהות את תדירות התנודה די כ. הדינאמיקה של המערכת זהה לזו של מתנד הרמוני

עדר יהנחת ה. טית הקשורה בתנועת הנוזלנחשב תחילה את האנרגיה הקינ. שימור האנרגיה עבור המערכת

גם ולכן ,אחידה לאורך המבחנה) בערכה המוחלט(הצמיגות ואי הדחיסות מאפשרת לנו להניח שמהירות הנוזל

dx ,פני הנוזלשל מהירות השווה לערך המוחלט של

dtהאנרגיה הקינטית הכוללת של הנוזל היא סכום .

האנרגיה , םלוכבזהה ) בערכה המוחלט(ומכיוון שהמהירות , נפח שלוה יהקינטיות של כל אלמנטהאנרגיות

:הקינטית הכוללת היא

(1.52)

.היא המסה הכוללת של הנוזל כאשר

x t

2 21

2E mA

E

2 2sin cos 1

A

mx

2

2K

m dxE

dt

m

מבוא: 1פרק

81

תנודות רוחביות של חלקיק הקשור 1-6איור בקפיצים שמתיחותם קבועה

נשים לב ששינוי לשם כך. גובה פני הנוזלשינויים בהאנרגיה הפוטנציאלית בשל תלות האת כעת נזהה

ונפחשנוזל עמוד עלותהדרושה כדי לה )כנגד כוח הכובד( כרוך בעבודה בגובה פני הנוזל, בשיעור

בחלק השמאלי של ווקכאן אפשר לראות שכמות הנוזל החסרה מתחת לקו המקו( 1-5ג באיור צכמו, לגובה

,מסת הנוזל המועברת היא . )בחלק הימני של המבחנה ונמצאת מעל לקו המקווק, המבחנה

:שווה לעבודה זו ולכן האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת .היא שנעשתה ולכן העבודה

(1.53)

:לובש אפוא את הצורהחוק שימור האנרגיה

(1.54)

:תדירות התנודה של המערכתאת מכאן אפשר לזהות

(1.55)

, הנוזל במבחנהעמוד האורך של מבטאים אותה בעזרתאם האחרונהאת הנוסחה מעט לפשט ניתן

) בקירוב(המסה הכוללת של הנוזל היא מכפלת נפח הנוזל במקרה זה ).1-5 ראה איור( –שאותו נסמן ב

נותנת (1.55)ולכן הצבה בנוסחה , , בצפיפות2

g

lתדירות זו זהה לתדירות של .

1, מטוטלת פשוטה שאורכה שווה למחצית אורך הנוזל במבחנה

2אינה תלויה תדירות התנודה , כלומר.

שתדירות התנודה של מטוטלת פשוטה אינה תלויה במסתה כפי , שטח החתך של המבחנהבבצפיפות הנוזל או

.אלא רק באורכה

תנועה הרמונית בקירוב של שיפועים קטנים :דוגמה ה

הנע נתבונן בחלקיק בעל מסה , הגורר תנועה הרמונית פשוטה, רוב של תנודות קטנותיכדוגמה נוספת לק

במצב שיווי, ומתיחות הקפיצים, קירות שמצדדיוההחלקיק קשור בקפיצים זהים לשני . על משטח חסר חיכוך

xxAx

m x A2mgx gx A

2PE gx A

2 22 2 2

2 2K P

m dx m dxE E E gx x

dt dt

A

2 g

m

A

llA

m lA

m

גלים ואופטיקה

82

ונזהה את )1-6איור ראה(נניח שהחלקיק מבצע תנודות רוחביות קטנות . היא , המשקל של המערכת

, לשם פשטות. שיקולים של שימור אנרגיהמתוך בגבול זה תדירות התנודה של התנועה ההרמונית המתקבלת

אם . 212מתנועת החלקיקכתוצאה מתיחותם ניתן להזניח את השינוי בנניח שהקפיצים מתוחים מספיק כך ש

: אטית של המערכת היאזי ברור שהאנרגיה הקינ ,את העתקת החלקיק מנקודת שיווי המשקל–נסמן ב

(1.56)

. האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת שווה לעבודה הכרוכה בהארכת שני הקפיצים כנגד המתיחות

לכן ,מטריים פשוטים אפשר לראות שההתארכות של כל אחד מהקפיצים היא גיאומשיקולים

מכאן שהאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת היא . העבודה הדרושה לשם הארכתו היא

:סכום התרומות של שני הקפיצים

(1.57)

:והאנרגיה הכוללת של המערכת היא

(1.58)

מוביל למסקנה (1.50)הצורה הפונקציונאלית של האנרגיה של מתנד הרמוני בין בין הביטוי שקיבלנו ו הבדלה

בגבול של , עם זאת. הדינאמיקה של המערכת אינה הרמונית, בדוגמה גדונה נכמו עבור המטוטלת ש, שגם כאן

: –לפתח את האנרגיה הפוטנציאלית לטור טיילור ב אפשר , ,תנודות קטנות

(1.59)

:רוביהאנרגיה הכוללת שלה היא בק, –ב ,ולקבל שליד נקודת שיווי המשקל של המערכת

(1.60)

שתדירות מיד ואפשר לזהות, (1.50)הצורה הפונקציונאלית של האנרגיה זהה לזו של המתנד ההרמוני , כעת

:היאהתנודה של המערכת

.בסוף הפרק ,3 דיון במשמעות של קירוב זה ניתן למצוא בתרגיל חזרה 212

T

x

2

2K

m dxE

dt

T

2 2l x l

2 2T l x l

2 22PE T l x l

2

2 222K P

m dxE E E T l x l

dt

x lx

2 2

2 2 212 2 1 1 2 1 1

2P

x x TE T l x l Tl Tl x

l l l

0x

2 22 22

2 2

m dx T m dx TE x x

dt l dt ml

מבוא: 1פרק

83

(1.61)

1רוב של שיפועים קטנים יגם ק ואה, במקרה זה, רוב של תנודות קטנות ינציין שהק ,סיוםל ,

). 1-6ראה איור (הקפיץ יוצר עם הציר שלאורכו נמצאת המערכת כשהיא במנוחה שהיא הזווית כאשר

:מסקנה זו נובעת מהקשר

(1.62)

). ת הטנגנסימתקבל מפיתוח טיילור של פונקציפי שכ(, ומכך שעבור

מתנד הרמוני מרוסן 1.2.7 אבל בכל מערכת פיזיקלית קיים , בדוגמאות שבהן דנו עד עכשיו הזנחנו את כוח החיכוך, אמנם

הדיון בסעיף זה נועד להראות כיצד בא לידי ביטוי הריסון . איבוד אנרגיה המרסן את תנועתה

לשם כך נתבונן בחלקיק אשר הכוח הכולל הפועל עליו הוא סכום . ים הרמונייםבדינאמיקה של מתנד

וכוח מרסן המתכונתי , )חוק הוק(כוח מחזיר המתכונתי להעתקת החלקיק מהראשית : של שני כוחות

: הוא, במקרה זה, החוק השני של ניוטון. למהירותו

(1.63)

–ו, הוא מקדם החיכוך ,הוא קבוע הכוח המחזיר ,היא מסת החלקיק כאשר dxv

dtהיא

אולם גם אותה , משוואה זו קצת יותר מסובכת מהמשוואות שבהן טיפלנו עד כה. מהירות החלקיק

וגם כאן ההצבה מחליפה את המשוואה , (1.24)ניתן לפתור על ידי הצבה של פתרון מהצורה

:במשוואה אלגברית פשוטה (1.63)הדיפרנציאלית

(1.64)

:שפתרונותיה הם

(1.65)

גם עכשיו הפתרון הכללי של משוואת המתנד המרוסן הוא צירוף ליניארי של שני הפתרונות

:שקיבלנו

2T

ml

x l

tanx

l

1 tan

2

2

d x dxm Kx

dt dt

mK

2 0m K

2 4

2

mK

m

גלים ואופטיקה

84

(1.66)

, למשל מן המיקום ומהמהירות של החלקיק בזמן , ומתנאי ההתחלה של הבעיה

(1.67)

: ולקבל, ניתן לחשב את הקבועים

(1.68)

8שאלה

.(1.68)הוכח את נוסחה

אפשר לנחש מהו , גם ללא בחינה של הפתרונות המדויקים שלעיל

כאשר כוח החיכוך ) א. (אופי ההתנהגות של המתנד המרוסן בשני גבולות

נצפה לראות תנודות הדומות לאלו , חלש ביחס לכוח המחזיר של הקפיץ

התרשים . אה מהחיכוךואלו תדעכנה עם הזמן כתוצ, של מתנד הרמוני

מיקום (של המתנד מדגים את ההתנהגות האופיינית 1-7העליון באיור

בגבול שבו הכוח השליט הוא דווקא ) ב. (במקרה זה) כפונקציה של זמן

בדומה לזו של חלקיק מרוסן , כוח החיכוך נצפה לראות דעיכה מעריכית

עה מהיר קצב דעיכת התנו, במקרה זה). 1-7התרשים האמצעי באיור (

המקרים . מספיק כך שלחלקיק אין זמן להשלים אפילו מחזור תנודה אחד

, בהתאמה" קריטי–ריסון על "ו" קריטי–ריסון תת "מכונים ) ב(–ו) א(

".ריסון קריטי "וההתנהגות המפרידה בין גבולות אלו מכונה

אופי ההתנהגות של המתנד המרוסן נקבע על ידי תכונות הפתרונות של , מבחינה מתמטית

מאופיינים על ידי הערכים של הדיסקרימיננטה של המשוואה, כידוע, אלו. (1.64)המשוואה הריבועית

:לזהות את שלושת המקרים האלה, אם כן, אפשר.

:מרוכבים (1.65)משוואה השורשים של , ,כאשר הדיסקרימננטה שלילית

exp expx t X t X t

0t

0 0

0

0 ,t

dx tx x v

dt

X

0 0

exp exp exp expt t t tx t x v

2 4mK

2 4 0mK

דוגמאות 1-7איור לאופי הדינאמיקה

של מתנד מרוסן

ריסון קריטי

קריטי-ריסון על

קריטי-תתריסון

מבוא: 1פרק

85

(1.69)

כמכפלה של פונקציה מעריכית , (1.66)נוכל לרשום את הפתרון , (1.11)ובעזרת נוסחת אוילר

:דועכת בפונקציה סינוסואידלית מחזורית

(1.70)

. הם גדלים ממשיים –ו כאשר

, מכאן אפשר לראות שתדירות התנודה של המתנד המרוסן2

24

K

m mנמוכה מהתדירות ,

K ,הטבעית של מתנד אידיאלי

m .קריטי–זהו המקרה של ריסון תת.

9שאלה

.(1.70) הוכח את נוסחה

(1.65)שני שורשי המשוואה הריבועית , ,כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מאפס

נתון על ידי סכום של שתי פונקציות הדועכות עם , במקרה זה, לכן הפתרון. ממשיים ושליליים

:הזמן

(1.71)

עבור זמן ארוך הוא נשלט על ידי . הפתרון אינו תנודתי קריטי שבו–זהו המקרה של ריסון על

.האיבר הראשון אשר דעיכתו איטית ביחס לזו של האיבר השני

ושורשי המשוואה הריבועית , ריסון קריטי של המתנד מתקבל כאשר הדיסקרימיננטה מתאפסת

:מתלכדים (1.64)

2m

(1.72)

הואבמקרה זה פתרון אחד של משוואת התנועה expA t, כאשר A אבל. קבוע שרירותי

נשאלת ו ,בלתי תלויים שני פתרונות ,כידוע, יש ה דיפרנציאלית ליניארית מסדר שנילמשווא

2

22 4

Ki

m m m

2 2

2 2( ) exp cos sin

2 4 4

K Kx t t A t B t

m m m m m

A X X B i X X

2 4 0mK

2 24 4( ) exp exp

2 2 2 2mK mK

x t X t t X t tm m m m

גלים ואופטיקה

86

פתרון זה מתוך ניתוח של נוסחת הפתרון הכללי של לקבל אפשר .הפתרון השניהשאלה מהו

בגבול )(1.68) נוסחה(המתנד . בפתרון האמור נציב אם ו–

,

0

0

exp exp

exp exp

t tx t x

t tv

(1.73)

0 וניקח את הגבול , נקבל:

0 00lim 1 exp expx t x t t v t t

(1.74)

10שאלה

.)1.74( הוכח את נוסחה

ודוגמה לאופי התנהגותו אפשר לראות , ריסון קריטישל של מתנד במצב הכללי זהו הפתרון

של קריטי ו ריסוןבמקרים של הדעיכה ראוי לציין שאופי ,עם זאת( 1-7איור בחלק התחתון של

באיור לשני התרשימים התחתונים ,תאיכותי, והוא דומה תחלהההתנאי תלוי ב יקריט–עלריסון

אוה (1.63) המרוסן המתנד שהפתרון הנוסף למשוואת נובע (1.74)מנוסחה ).זה expBt t ,

.הוא קבוע שרירותי Bכאשר

גורם האיכות 1.2.8

זמן על ידי או התדירות אך ורק על ידי נתמאופייהתנהגותו בניגוד למתנד הרמוני פשוט ש

דעיכה וזמן זמן ה :שני קבועי זמן על ידימאופיינת מתנד המרוסן הההתנהגות של , המחזור שלו

ובמקרה של ,הוא גודל חסר ממדים אלוהזמנים ההיחס בין .)עדר חיכוךיבה( של המתנד המחזור

עיכתודפרק הזמן המאפיין את במבצע שהמתנד פר התנודות מסאותו כ ניתן לפרש קריטי–ריסון תת

e..2.71בו המשרעת דועכת לערך הקטן פי שפרק הזמן ב ,כלומר( זההיחס ה. )מערכה ההתחלתי

Qualityכקיצור של Q באות נהוג לסמנו .ת המתנדמדד לאיכוהוא ש וון כי "גורם האיכות"מכונה

factor .דות שמבצע המתנד עד לדעיכתומספר התנוגם גדל כך ,גדול יותר ככל שגורם האיכות ,

במערכת גורם האיכות . )מתנד חסר חיכוך ,כלומר(יותר לזו של מתנד אידיאלי דומה תו והתנהגו

.חסרת חיכוך הוא אינסופי

מבוא: 1פרק

87

זמן הדעיכה של חלקיק מרוסן הוא ,כפי שראינו m , ללא (ואילו זמן המחזור של מתנד הרמוני

2 הוא) חיכוך

T כאשר K

mגורם אתר יהגדמקובל ל ,לכן. הזוויתיתהיא התדירות

:213כך האיכות

m m K mK

Qm

(1.75)

מטוטלת מרוסנת :דוגמה ו

אשר חיכוךכוח הפעם נניח שהמטוטלת מרוסנת כתוצאה מש אלאג בה דנו בדוגמה שבמטוטלת שובנתבונן

כוח החיכוך הפועל על המטוטלת שווה למכפלת מהירות . המסה התלויה בקצה המטוטלתמתכונתי למהירות

d, המטוטלתl

dtמפעיל מומנט והוא , פועל כנגד כיוון המהירות של המטוטלתזה כוח . במקדם החיכוך ,

2 ,מטוטלתזרוע של הבאורך ה הכוח השווה למכפלת dl

dtהפועל על המטוטלת סך מומנט הכוחות לכן,

:הוא

sind

M l mg ldt

(1.76)

בר יהאואילו , )פי שראינו בדוגמה גכ(ור הארץ בר הראשון באגף ימין נובע מכוח המשיכה של כדיכאשר הא

:א אפואהתנועה של המערכת הימשוואת . החיכוך הוא תרומת כוחבאגף זה השני

2

2I

dM

dt

(1.77)

2Iכאשר ml הצבה של לאחר . המטוטלתביחס לנקודת האחיזה של המחושב הוא מומנט ההתמדM

:נקבל ,I–ב המשוואה חלוקתו (1.76)נוסחה הנתון ב

2

2sin 0

d d g

dt m dt l

(1.78)

1, רוב של תנודות קטנותיבק , אפשר להחליף את sin ב– , משוואת היא והמשוואה המתקבלת

:המתנד ההרמוני המרוסן

בין ו, בממוצע על זמן מחזור, היחס שבין האנרגיה האצורה במתנד :הגדרה מקובלת אחרת של גורם האיכות היא 213

שהוא , 1Q, של חיכוך נמוך שתי ההגדרות מתלכדות בגבול. כמות האנרגיה שהוא מאבד באותו פרק זמן

. משמעות שימושיתיש לגורם האיכות בושהגבול

גלים ואופטיקה

88

2

20

d d g

dt m dt l

(1.79)

m ,מכפלת זמן הדעיכה האופייני ואהגורם האיכות של המטוטלת המרוסנת

בתדירות התנועה של המטוטלת ,

,עדר ריסוןיבהg

l :ולכן,

m g

Ql

(1.80)

תנועה הרמונית מאולצת 1.2.9

רכות מע של התנהגותה. חיצוניים כלשהםכוחות עליהן לא פעלו שבמערכות התעניינוכה עד

כתוצאה מגיעות למנוחה לאחר זמן מספיק ארוך הן, באופן מעשי, אך, תלויה בתנאי ההתחלהאלו

.מאולצות על ידי כוח חיצוני מחזורי בזמןהמערכות דון בכעת נ. את תנועתן המרסן חיכוךה מכוח

את ההורה שמנדנדעל ידי שמופעל (הכוח המאלץ .נדנוד ילד בנדנדהמערכת כזו היא ל דוגמה מוכרת

. חיכוךה למרותמספק אנרגיה למערכת ומבטיח את המשך תנועתה למשך זמן ארוך ) הנדנדה

, ה של המערכתמתנאי ההתחל נובעהאחד : ני מרכיביםשמשלבת , במקרה זה, התנהגות המערכת

תנאי ההתחלה ב המרכיב הקשור. ויה בתנאי ההתחלהתל אשר אינה, ץה לכוח המאלתגובה והאחר הוא

האת הדינאמיקהקובע א והו רק המרכיב השנינותר לאחר זמן מספיק ארוך ש כך, של המערכת דועך

דיון שלהלןהו, של משוואת התנועה" הפתרון העמיד" מרכיב זה של הפתרון מכונה .של המערכת

.בו יתמקד

)0 ,כוח מחזורי מרוסן המאולץ על ידי נתבונן במתנד הרמוני ) cos( )F t F t , 0כאשרF

הכוח המאלץ מופיע ,בחוק השני של ניוטון. תדירותו הזוויתיתהיא –ו, היא משרעת הכוח

:(1.63) אגף ימין של משוואת המתנד המרוסןל כתוספת

2

02cos

d x dxm Kx F t

dt dt (1.81)

0x–ש פיינת בכךשמתא, הומוגנית–לא ,דיפרנציאלית ליניאריתמשוואה זוהי שלה אינו פתרון ,

טיפלנו ש ,)אותה המשוואה שאגף ימין שלה מתאפסשהיא (משוואה ההומוגנית של הבעיה בניגוד ל

.בסעיף הקודםבה

מבוא: 1פרק

89

:תרומותסכום של שתי הוא (1.81)מהצורה הומוגנית–פתרון הכללי של משוואה לאה

h px t x t x t (1.82)

( )hx t וכפי ( במתנד הרמוני מרוסן וגנית אשר נידון במסגרת הדיוןהוא פתרון של המשוואה ההומ

ואילו ,)לקבוע מתנאי ההתחלה של המתנד אותם יששהוא תלוי בשני קבועים שרירותיים ,שראינו

( )px t שתדירות התנודה של הפתרון נראהבהמשך . הומוגנית–של המשוואה הלא העמיד הפתרוןהוא

שואפים אליו בגבול )ללא תלות בתנאי ההתחלה(כל הפתרונות וש ,זהה לזו של הכוח המאלץ העמיד

t .

11שאלה

.(1.81) מייצג פתרון כללי של משוואה כןא (1.82)רוק הנתון בנוסחה ישהפ וכחה

הוא שאם מאלצים את המערכת של מערכות ליניאריות העיקרון המנחה בחיפוש אחר פתרון עמיד

כל מרכיב . זהה לזו של הכוח המאלץ אזי לאחר זמן מספיק ארוך תדירות תנועתה תהיה, בכוח מחזורי

ועך לאפס כתוצאה מכוח בהכרח ד, של הכוח המאלץ בעל תדירות אחרת מזו, הפתרון אחר של

:פתרון עמיד מהצורהאפוא נחפש . החיכוך

( ) cos( )px t X t (1.83)

פאזה ההוא הפרש –ו ,תדירות התנודה של הכוח המאלץהיא ,היא משרעת התנודה X כאשר

(1.83)נוסחה ניתן למצוא על ידי הצבה של –ו Xקבועים את ה. המתנדבין הכוח המאלץ ושבין

כוח מאלץהבעיה למקרה של שט את החישוב על ידי הרחבה שללפ אפשר אבל .(1.81)במשוואה

מרוכב מהצורה 0( ) expF t F i t . בנסמן אם–( )x t הפתרונות של המשוואה עם האילוץ את

:המרוכב

2

02exp

d x dxm Kx F i t

dt dt

(1.84)

, אזי החלק הממשי של פתרון זה

( ) Rex t x t (1.85)

. (1.81)הוא פתרון של המשוואה המקורית

גלים ואופטיקה

90

12שאלה

.את הטענה האחרונה וכחה

יהיה אפשר לנחש שפתרון זה . (1.84)נחפש פתרון עמיד של המשוואה עם האילוץ המרוכב , אם כן

:מהצורה

( ) exppx t A i t (1.86)

של הצבה , בהם דנושהקודמים מקרים כמו ב. למצוא םאותו אנו מעונייניש הוא קבוע מרוכב A כאשר

:אלגבריתמחליפה אותה במשוואה (1.84)משוואה הדיפרנציאלית ב (1.86)

20m i K A F (1.87)

:נקבלזו משוואה מ

02 2

FA

m i

(1.88)

כאשר K

mהמשרעת שקיבלנו הצבה של . )ללא חיכוך( היא התדירות הטבעית של המתנד

נותנים לנו את הפתרון )(1.85) נוסחה(וחילוץ החלק הממשי שלו , (1.86)לפתרון המרוכב ביטויב

:(1.81)העמיד של משוואת המתנד המאולץ

2 2

0( ) Re exp cosp

Fx t i t X t

m i

(1.89)

כאשר

0 0

2 222 2 22

1

1

F FX A

m Q

(1.90)

:בביטוי היא הפאזה שלה אשר נתונה –ו ,Aהוא הערך המוחלט של המשרעת המרוכבת

2 2

1arctan arctan

m Q

(1.91)

מבוא: 1פרק

91

13שאלה

.(1.75)השתמש בהגדרה של גורם האיכות הנתונה בנוסחה .(1.91)–ו (1.90)הוכח את נוסחאות

של , ,ופיגור הפאזה ,X,המשרעת מתוארים 1-8באיור

של היחס בין תדירות הכוח המאלץכפונקציה עמידהתרון פה

,התדירות העצמית של המתנדבין ו

ערכים של כמה עבור ,

משרעת המתנד מאופיינת על ידי נקודת . גורם האיכות

בה תדירות הכוח המאלץ שווה ש בקרבת הנקודה מקסימום

מתכונתית הפוכה והיא, לתדירות התנודה הטבעית של המתנד

ראה תרגיל חזרה ,נקודה זולחישוב מדויק של ( למקדם הריסון

פיגור הפאזה .הולכת וגדלה ככל שהחיכוך קטן כלומר היא. )6

בגבול, משתנה בין אפס , ל–, כאשר ,

ובנקודה 2 הוא בדיוק . כפי שאפשר לראות

נוי של המשרעת והפאזה לאורך הצירתחום השי ,1-8ומאיור (1.91)–ו (1.90)מנוסחאות

נקבע ,

. קטןגורם האיכות ורחב כאשר ,הוא צר כאשר גורם האיכות גדול. Q על ידי גורם האיכות

כאשר :נהגות המתנד המאולץ עולה מתוך השיקולים הבאיםהת תמונה איכותית של

, של המתנד טבעיתתדירות ההמבהרבה האילוץ קטנה תדירות , השינויים בכוח המאלץ

הגס רוב יבק. המאלץ כוחהאחר " עוקב"ולכן הוא , נדאופייני של המתתגובה האיטיים ביחס לזמן ה

. רוב אפסיבקהן של המתנד והתאוצה המהירות לכן, להניח שהכוח כמעט קבוע בזמן ביותר אפשר

dx בריםיללא הא (1.81)משוואה היא אפואהתנועה המקורבת משוואת

dt–ו

2

2

d x

dtכלומר ,

0 cospKx t F t . משרעת התנודה היאבגבול של תדירויות אילוץ נמוכות שמכאן נקבל

0 FX

K ,בגבול של תדירויות אילוץ גבוהות, מנגד. ופיגור הפאזה מתאפס, ,ויים בכוח השינ

הכוח המאלץ השינוי המהיר בכיוון, במילים אחרות. ב אחריהםמסוגל לעקו כה מהירים שהמתנד אינו

בגבול זה משרעת התנודה שואפת לאפסמכאן ש .ת את עצמהלוהשפעתו מבט, מצע בזמןמת

0px t הללו משרעת המתנד מקבלת ערך מקסימום בין שני הגבולות .1-8 איורכמודגם ב

.יחיד

והפאזה ) איור עליון(המשרעת 1-8איור של הפתרון העמיד של ) איור תחתון(

ערכים של כמההמתנד המאולץ עבור .גורם האיכות

גלים ואופטיקה

92

ונוסחה 1-8איור תחתון של החלק ה( בתלות בתדירות, של הפתרון העמיד הפאזה התנהגות

כדי .משתנה האילוץ תדירות כאשר ,במאזן האנרגיה של המתנד יםהשינוי משקפת את ,)(1.91)

עבר האנרגיה אל מתנד קצב מ שהוא, פק הממוצע של הכוח המאלץנחשב את ההס ,להבהיר זאת

במשך זמן מחזור אחד ,על המערכתמבצע המאלץ הכוחשעבודה ה). מחזור זמןבממוצע על (

2

, כלומר. נע המתנד הכוח לאורך המסלול הסגור שלאורכוהיא אינטגרל של:

0

dxW Fdx dt F t

dt

(1.92)

. t לזמן x מההעתקה התקבל לאחר החלפת משתנה האינטגרציה אגף ימיןבנוסחה זו השוויון ל

,המחזורלזמן עבודה זוהיחס בין הוא הכוח המאלץ ההספק הממוצע של

W

P ,הצבה לכן ו

)0 של ) cos( )F t F t וחלוקת התוצאה בזמן המחזור, (1.92)לנוסחה (1.89)הפתרון העמיד של ו ,

,נותנת:

00

0

1cos sin sin

2

F XP dt t t F X

(1.93)

14שאלה

.(1.93)נוסחה תוצאת האינטגרל שב הוכח את

מתאפס כאשר הוא . שהספק הכוח המאלץ נקבע על ידי הפאזה לראות אפשר שקיבלנו נוסחההמ

0 או ,ערכו המרבי כאשרל ומגיע 2

. 0 רכיםהע ו– בהם ההספק ש

בגבולות ,כזכור, מתקבלים הממוצע מתאפס ו– הראשון בגבול .בהתאמה, ,

מחצית זמן משך ב והאנרגיה שהוא צובר, המאלץ כוחהשינויים האיטיים שמכתיב ההמתנד עוקב אחר

, 0 שבגבולמחויבת המציאות מאחר היא תנהגות זו ה. במחצית השנייה תרוחזמ מחזורה

שימור לכן הדרישה ל. מתאפסתהעבודה של כוח החיכוך ולכן גם ,אפסמהירות החלקיק שואפת ל

בזמן מתיחת ,למשל( שהאנרגיה המועברת לחלקיק מהכוח המאלץ תמחייב ,במצב עמיד ,האנרגיה

של תדירות אילוץ גבוהה בגבול .)כאשר הקפיץ חוזר ומתכווץ( אליו מאוחר יותרתוחזר )הקפיץ

, יתאפסההספק יש לצפות שגם אז ולכן , מבטלת את עצמה השפעת הכוח.

מבוא: 1פרק

93

הודהת 1.2.10

,ת שלהקרובה לתדירות התנודה הטבעימספיק שתדירותו ,מערכת המאולצת על ידי כוח מחזורי

במצב זה מעבר האנרגיה מהכוח המאלץ אל המערכת נעשה באופן . "תהודה" נכנסת למצב המכונה

ומשרעת התנודה הולכת וגדלה עד שהיא מגיעה לרוויה כאשר עבודת הכוח המאלץ משתווה , יעיל

דוגמה מוכרת לתופעה זו היא נדנוד ילד בנדנדה באמצעות דחיפות . לאיבוד האנרגיה כתוצאה מהחיכוך

.הלש אנו דוחפים את הנדנדה בקצב התנודה הטבעיכאשר משרעת הנדנדה הולכת וגדלה .קלות

מתקבל כאשרהכוח המאלץ ספק של ה המרביהערך שמאולץ ראינו של מתנד במודל 2

.

לתדירות תדירות הכוח המאלץ שווהבה ש הנקודההיא נקודה זו ,(1.91) שאפשר לראות מנוסחה כפי

,התנודה הטבעית של המתנד .בהםשמאפיין גם מצבים שמצב התהודה ברור, עם זאת רק

, תלות בגורם האיכותהואת , המערכת בתהודה בוש רויותכדי לאפיין את תחום התדי .–קרוב ל

בנוסחה )פיגור הפאזה של הפתרון העמידו המשרעת עבור( (1.91)–ו (1.90) נוסחאות נציב את

:ונקבל ,(1.92)

2

02

221

F QP

mQ

(1.94)

15שאלה

.)1.94( הוכח את נוסחה

:את הזהות הטריגונומטריתתחילה הוכח : רמז

2

tansin

1 tan

(1.95)

.(1.91)הנתון בנוסחה עם , (1.93)שמופיע בנוסחה sinוהשתמש בה כדי לחשב את הגורם

ערכים של גורם האיכותכמה עבור , בתלות בתדירות הכוח המאלץ P אופן השינוי של ההספק

Q, לוגד המרביההספק יותר ככל שגורם האיכות גבוהש לראות ור זה ניתןמאי .1-9מתואר באיור

מרבי Pההספק .קטן יותר ")הרזוננס רוחב ("בתהודה נמצאת המערכת בוש ותחום התדרים, יותר

בנקודה 1 בגבול. והוא הולך ויורד ככל שמתרחקים ממנהQ, ספק יורד למחצית הה

1מערכו המרבי בנקודות 2

,כאשר

גלים ואופטיקה

94

12

11

2Q

(1.96)

לכן ו, גדל Q–ככל ש מתקרבות זו לזואלה נקודות

בו ש תחום התדירויות של הכוח המאלץהרוחב של

1 ,נמצאת בתהודה המערכת 12 2

, מתכונתי

להגדיר את פשרתמא תכונה זו .הפוך לגורם האיכות

יחס שבין התדירות כגם )1Q בגבול(גורם האיכות

רוחב הרזוננסבין ו של המתנד העצמית

1 12 2

:

Q

(1.97)

16שאלה

.(1.97)–ו (1.96) הוכח את נוסחאות

הכוח ואתו מתבדר גם ההספק הממוצע של , מקדם האיכות מתבדר, כאשר כוח החיכוך שואף לאפס

בנקודה המאלץ .את המתנד יש לפתור את משוו ,התבדרות זושל משמעותכדי להבין את ה

שמשרעת התנודות היא, ההבא כפי שאפשר לראות מפתרון השאלה, ההתוצא. עבור מקרה מיוחד זה

.עם הזמןהולכת וגדלה המתנדשל

17שאלה

0כאשר ,(1.81)הוכח שפתרון פרטי של משוואה ו– ,הוא:

0 sin2p

F tx t t

m

(1.98)

תמיד במערכת אמיתית. פיזיקלימשקף מצב ללא גבול אינובו משרעת התנודות גדלה ש פתרון

העבודה של הבמצב ז. את משרעת התנודות לרוויה יםהמביא או סטיות מחוק הוק קיים כוח חיכוך

. חיכוךמעבודת כוח האיבוד האנרגיה כתוצאה הכוח המאלץ מתקזזת עם

18שאלה

הפוך אבל של הכוח המאלץ זהוח החיכוך זהה בערכו המוחלט להספק הממוצע של כההראה ש

.בסימנו

ההספק הממוצע של הכוח המאלץ בתלות 1-9איור

.ערכים של גורם האיכות כמהבתדירות עבור

מבוא: 1פרק

95

משמעות טכנולוגית ו ,הפיזיקהבתחומים רבים ומגוונים של ביטויים לתופעת התהודה קיימים

יסיט אותנו תיאורוו ,רחבהנושא של מערכות בתהודה הוא ,עם זאת. להמעיט בערכה שאי אפשר

.214נוספת שבסוף הפרקימצא חומר בנושא בהמלצות לקריאה המעוניין בכך קורא. הקורס יעדימ

מאולץ RLCמעגל : דוגמה ז

נגד , משרן, קבלמורכב מוא ה. 1-10באיור שחשמלי ה נתבונן במעגל

קיבול , Lהשראות המשרן היא .ופין המחוברים בטורומקור מתח חיל

ומקור מתח החילופין מתואר על , R היא התנגדות הנגד, C הואהקבל

:ידי הפונקציה

0( ) cos( )V t V t (1.99)

גדות סופית מרוסן כתוצאה מקיומה של התנה )בדומה לזה שהופיע בדוגמה ב(ני מעגל זה מתאר מתנד הרמו

זמן מספיק ארוךלאחר לוחות הקבל המטען על היא לחשב את זו דוגמהמטרת . מתחהומאולץ על ידי מקור

: בנושא זה כמה הערות ,בכל זאת 214

הם ביטוי , רית שבחלק א של הפרקושהוזכרו בסקירה ההיסט, של פראונהופר םהקווים הספקטראליי )א(

המתנהגים כמו (באטומים , )המאלץהכוח (כלומר בליעה של אור באורכי גל מסוימים , לתהודה אופטית

בו נדון ביחסי הגומלין שבין קרינה שקורס השל עשירי בנושא זה נרחיב מעט בפרק ה). מתנדים הרמוניים

. חומרל

לב המנגנון של שעון . שיפור הדיוק במדידת זמן קשור באופן הדוק לזיהוי מערכות בעלות גורם איכות גבוה )ב(

. השעון מודדשוזמן המחזור של תנודתו הוא יחידת הזמן הבסיסית ,כונה מהודהמ, הוא רכיב הנמצא בתהודה

גדול Q-ככל ש. גורם האיכות של המהוד אחד הגורמים המרכזיים הקובעים את רמת הדיוק של השעון הוא

בטבלה .קטנה יותר הוודאות בזמן המחזור שלו-ולכן אי, בו המהוד בתהודה צר יותרשתחום התדירויות , יותר

:שעונים כמה סוגישל מסוכמים הנתונים להלןש

הוודאות במדידת פרק –אי )בשניות(שעות 24זמן של

תדירות התנודה גורם האיכות )בהרץ(של המהוד

סוג השעון והשנה שבה הוצג

10 100 1 שעון מטוטלת )1656(

0.35 1000 5 גלגל איזון(שעון קפיץ( )1675(

510 5 610 210 6 710 10 שעון קוורץ

)1929(

910 7 810 10 9,192,631,770 סיזיום(שעון אטומי( )1952(

:מהספר לקוחים הנתונים

Jespersen J. & Fitz-Randolph J. (2000). From Sundials to Atomic Clocks: Understanding Time and

Frequency,. Dover.

ולאופן , יםעז רוח ממשבי כתוצאה בטכומה הגשר לקריסת ,זהירבאופן לא , לעיתיםתופעת התהודה מיוחסת )ג(

:ראה ,אלו של נושאים להסבר מדויק יותר. מיקרוגלהפעולה של תנורי

• Billah, K. Y. & Scanlan R H (1991). Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate

physics textbooks Am. J. Phys. 59, 118-124.

• Vollmer, M. (2004). Physics of the microwave oven. Physics Education, 39, 74-81; Bohren, C. F. (1997).

Answer to Question #46 ["How does the microwave oven really work?"]. Am. J. Phys. 65, 12.

מאולץ RLCמעגל 1-10איור על ידי מקור מתח חילופין

גלים ואופטיקה

96

מטען שוואה עבורנבנה את המ, דוגמה בבדומה ל. ולזהות את מקדם האיכות, )כך שאין תלות בתנאי ההתחלה(

הוא המטען על qאם . מפל המתחים לאורך מעגל סגור חייב להתאפס לפיו סךש, כהוףהקבל מתוך חוק קיר

-ו, לוחות הקבלdq

Idt

c ואההמתח על הקבל אזי מפל ,הוא הזרם הזורם במעגל q

VC

המתח על,

הוא המשרן2

2 L

d qdIV L L

dt dt :אוהםהנגד מתקבל מחוק על הנופל זה ואילו R

dqV RI R

dtחוק .

), כהוף במקרה זהקיר )L R CV V V V t ,נותן:

2

02cos( )

d q dq qL R V t

dt dt C (1.100)

וניתן לקבל אותו (1.89)לכן הפתרון העמיד שלה דומה לפתרון ,(1.81)זהה בצורתה למשוואה משוואה זו

חשמליים ומכאניים למקרה של מתנדים) המסוכמת בטבלה שבדוגמה ב(הרחבת האנלוגיה ישירות מתוך

,1: מרוסנים ומאולצים , , Cm L R K q x , 0מובן וכ 0F V. מכאן אפשר מיד להסיק

:כי

0

2 22 2 2

( ) cosV

q t tL R

(1.101)

1 כאשר תדירות התנודה הטבעית היאLC

:והסחת הפאזה היא,

2 2

arctan( )

R

L (1.102)

האיכות לפי ההגדרהאת מקדם גם שרת לזהות בנקל מאפ (1.81)-ו (1.100) משוואותההאנלוגיה בין , לבסוף

:(1.75) בנוסחהש

1 1

m L L

Q QR R CLC

(1.103)

שני גדלים מציגה את מקדם האיכות כיחס בין (1.103)לכן נוסחה . הוא גודל חסר ממדים Q, כזכור

0 :בעלי ממדים של התנגדותיקליים זפי LZ

C בעברית או (Impedance) "אימפדנס"ה מכונהאשר

. R,והתנגדות הנגד, של המעגל "העכבה"

מבוא: 1פרק

97

מתנדים הרמוניים מצומדים 1.2.11

מצב נתון שלהן "צילום"כלומר מערכות אשר , מערכות בעלות דרגת חופש אחתעד כה תיארנו

וא זווית המטוטלת בדוגמה ג, בדוגמה בלמשל המטען על לוחות הקבל , מתואר על ידי מספר אחד

מספר בעלותמתארים את הדינאמיקה של מערכות ,לעומת זאת, גלים .בדוגמה דגובה פני הנוזל

יש , המתוח לאורך ציר כלשהו של מיתר רירותיש עיוותכדי לתאר , לדוגמה. חופששל דרגות אינסופי

בטרם נדון במערכות בעלות אינסוף .כושלאוראינסוף נקודות בכללציין מהי ההעתקה של המיתר

. דרגות חופש של ,סופיאך ,שרירותית מספר ות בעלומערכב ,כשלב ביניים, נתבונן ,דרגות חופש

מתנדים מצומדים שקולה מכמה כבת ורהמ מערכת הדינאמיקה שללהראות שהיא דיון שלהלןמטרת ה

,באופן כללי, בלתי תלויים מתארלמעשה אוסף מתנדים ו ,שאינם תלויים זה בזה מתנדים אוסףל

. הנמצאות ליד נקודת שיווי משקל יציבה תמערכות מכאניו

,חסרי חיכוך, בשני מתנדים הרמוניים נתבונן תחילה

.מקיים את חוק הוקקפיץ ה המחוברים זה לזה באמצעות

זוהי מערכת . 1-11באיור מערכת כזו אפשר לראותדוגמה ל

על ידי מתואר המרחבימצבה עלת שתי דרגות חופש כיוון שב

יםחלקיקן המ אחדשל כל ההעתקה ,למשל; גדלים שני

המערכת ,הקפיץ המרכזיללא . המשקל שלושיווי מנקודת

מורכבת משני מתנדים אשר התנועה של כל אחד מהם בלתי

כאשר מחברים את הקפיץ אבל .של האחרתנועתו תלויה ב

הכוח הפועל שכעת וצרים צימוד בין המתנדים מאחר י ,המרכזי

.האחרתלוי במיקומו של החלקיק יםחלקיקאחד מהעל כל

במצב שיווי וש ,שקבועי הכוח של כל הקפיצים זהים, מסות החלקיקים זהותש ,לשם פשטות, נניח

ווי יש הימני והשמאלי מנקודות את ההעתקות של החלקיק 2x–בו 1x–נסמן ב. משקל הקפיצים רפויים

על החלקיק פועלים . נגזור את משוואת הכוחות של החלקיק הימניכעת . בהתאמה, המשקל שלהם

השני נובע מהשינוי ו, מהשינוי באורך הקפיץ הקושר אותו לקירנובע , 1Kx, הראשון :שני כוחות

, באורך של הקפיץ הקושר אותו לחלקיק הנוסף 1 2K x x .היא מכאן שמשוואת הכוחות:

2

11 1 2 1 22

2d x

m Kx K x x Kx Kxdt

(1.104)

KKmm

K

x2 x1

זוג מתנדים מצומדים 1-11איור

גלים ואופטיקה

98

2x–ו 1x בהשאותה המשוואה משוואת הכוחות עבור החלקיק השמאלי היא, מטעמי סימטריה

:המערכת הןכל ולכן משוואות התנועה של , הםתפקידימחליפים את

21

1 22

22

1 22

2

2

d xm Kx Kx

dt

d xm Kx Kx

dt

(1.105)

פשטות המערכת אבל. צותעל לכסון מטרי המבוסס, פתרון משוואות מסוג זהמתכון כללי ל קיים

(1.105) משוואות. לצורך בניית הפתרוןסימטריה בשיקולי במקרה זה מאפשרת לנו להשתמש

1 להחלפתסימטריות 2x x, אריים של ליני להסתכל על צירופיםוכדאי לנסות ש ונה זו רומזתתכו

,מרכז המסה תפעמיים קואורדינאט :הצירופים הפשוטים ביותר הם. העתקות החלקיקים

1 1 2x x , 2 ,המרחק בין החלקיקים תוקואורדינאט 1 2x x .1–לבנות את המשוואות ל ניתן

: חיבור המשוואות נותן, בפרט. וחיסורן (1.105) על ידי חיבור משוואות התנועה 2–לו

2 2

1 21 22 2

d x d xm K x x

dt dt

(1.106)

ולכן

2

112

dm K

dt

(1.107)

:את המשוואה המשוואות נותן חיסור, באופן דומה

2

222

3d

m Kdt

(1.108)

19שאלה

.האחרונההמשוואה הוכח את

1 כלומר המשוואה עבור .זו בזותלויות שהן אינן אהמאפיין החשוב של המשוואות שקיבלנו הו

זהה כל אחת מהמשוואות , נוסף לכך. 2המשוואה עבור גם וכמוה , 1 תלויה אך ורק במשתנה

התדירויות העצמיות המתייחסות , בפרט. ידועשפתרונה פשוט ההרמוני המתנד ה למשוואת

:הן בהתאמה 2–ו 1משתנים ל

1

K

m 2 –ו

3K

m (1.109)

מבוא: 1פרק

99

:הוא אפוא (1.108)–ו (1.107)ת התנועה ופתרון משווא

1 1 1 1 1cos( ) sin( )A t B t (1.110)

2–ו 2 2 2 2cos( ) sin( )A t B t (1.111)

1כאשר 1 2 2, , ,A B A B המהירות (מתנאי ההתחלה של הבעיה יש לקבועשהם ארבעה קבועים

0t והמיקום של כל מתנד בזמן (.

שני מתנדים זו של זוג מתנדים מצומדים שקולה להדיון שלעיל היא שהמערכת של המסקנה מ

נתונות על ידי קומבינציות ליניאריות של משתני הקואורדינאטות המתאימות להן ו, בלתי תלויים

אפשר ,משתנים המקורייםלחזור ל כדיו, פתרון הבעיה במשתנים החדשים מיידי .התנועה המקוריים

1 ריםבקש להשתמש1 1 22 ( )x 1–ו

2 1 22 ( )x ,מהם נקבלש:

1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 1 1 1 1 2 2 2 2

1cos sin cos sin

21

cos sin cos sin2

x t A t B t A t B t

x t A t B t A t B t

(1.112)

20שאלה

1הקבועים בטא את 1 2 2, , ,A B A B בעזרת תנאי ההתחלה של המתנדים: 1 10 , 0x v ,

2 20 , 0x v , כאשר 0ix מציין את מיקום החלקיקi 0בזמןt ,ו– 0iv את מציין

. מהירותו באותה נקודת זמן

אופני התנודה של זוג מתנדים מצומדים 1-12איור

גלים ואופטיקה

100

כל מרכיבי עבורם שתנאי התחלה אפשר לראות שקיימים (1.112)הנתון בנוסחה פתרון מצורת ה

2אם נבחר ,לדוגמה. המערכת נעים בתנועה מחזורית בעלת אותה התדירות 2 0A B ,דירות אזי ת

1ואילו תחת הבחירה, 1 תהא של שתי המסות התנודה 1 0A B ,2 היא התנודה תדירות .

,"עצמייםתנודה אופני" נקראים ,התדירות כל מרכיבי המערכת נעים באותהבהם ש, מצבים כאלו

מתאפיין ,המתואר בחלק השמאלי של האיור, התנודה הראשוןאופן . 1-12מודגמים באיור הם ו

משמעות . מתכווץ ולא נמתח לא ביניהןש כך שהקפיץ ,בתנועה זהה של שתי המסות באותו הכיוון

הכוחות המתארת משוואת לצורך כתיבת החלקיקים שניתן להתעלם מהקפיץ הקושר את הדבר היא

ים המרכיבים את חלקיקלכל אחד מהאפשר להתייחס ,במילים אחרות .זההתנודה האופן את

המתאימהמכאן שהתדירות העצמית . Kבעל קבוע כוח קפיץ יחידב לקיר קשוראילו הוא כ המערכת

1 היא K

mבמקרה זה הקפיץ . זה כנגד זה ,סימטרית תנועת החלקיקים , אופן התנודה השניב.

. חזק יותרם שפועל על כל אחד מה הכוח המחזירלכן ,המחבר את שני החלקיקים משנה את אורכו

,ואמנם תדירות זו. של אופן זה גבוהה מזו של אופן התנודה הראשון תדירות התנודה העצמיתש מכאן

2 היא ,כפי שראינו3 K

mהקשור mלחלקיק בעל מסה מתאימה ה דירותכלומר זוהי הת ,

נבחן את ,במקרה זההמחזיר הכוח זהו קבוע להסביר מדועכדי .3Kשקבוע הכוח שלו הוא לקפיץ

תרומות אלה נובעות .החלקיק הימני של המערכתעל ,למשל, הפועל המחזיר כוחהתרומות ל

הקפיץ הקושר אותו לקיר השינוי באורך של .הצמודים לחלקיק הקפיצים מהשינויים באורכי שני

מאחר 12xהשינוי באורך הקפיץ הקושר אותו לחלקיק השני הוא אבל, 1x ,מתכונתי להעתקה

מכאן .מבצע תנועה סימטרית בכיוון מנוגד, קפיץההקצה השני של מחובר אליו ש, השנישהחלקיק

הוא הכוח המחזיר הכוללנקבל ש 1 1 12 3F K x Kx Kx , 2ולכן3 K

m.

21שאלה

1,מצא מהו היחס בין המיקום ההתחלתי של המתנדים ההרמוניים 2(0), (0)x x, תנועת עבורם ש

. היא אפס t = 0 זמןשמהירות החלקיקים ב הנח. העצמיים שלהתנודה האופני המערכת היא באחד מ

מתנדים מצומדים משקפות את ההתנהגות של הדוגמה הפרטית של זוגקיבלנו עבור התוצאות ש

צירופים ליניאריים של אפשר למצוא גם במקרה זה .רכת שרירותית של מתנדים מצומדיםמע

צירופים . יםשל כל אחד מהם אינה תלויה באחר אשר משוואות התנועה, חלקיקיםהקואורדינאטות

היא ומשוואת התנועה של כל אחת מהן, של המערכת "נורמאליותהקואורדינאטות ה"נקראים אלו

מבוא: 1פרק

101

תהקואורדינאטו, כמו בדוגמה של זוג מתנדים מצומדים. משוואת התנועה של מתנד הרמוני יחיד

מצבים אלו הם . באותה התדירות בהם כל מרכיבי המערכת נעיםשמצבים תמגדירו תהנורמאליו

מספר אופני . "תדירות תנודה עצמית" ראתנקוהתדירות של כל אופן ,"אופני התנודה של המערכת"

רוף ליניארי שלהם מאפשר לתאר את יצ לכןו, התנודה של המערכת זהה למספר דרגות החופש שלה

. עבור כל בחירה של תנאי התחלה, הדינאמיקה של המערכת

אופני התנודה של חרוזים על מיתר: דוגמה ח

) ללא חישוב( נתאר ,של מערכת מתנדים מצומדים תנודההאופני מהם יותר טובעל מנת להמחיש

על מיתר מתוח ממוקמים במרחקים שווים זה מזהה זהים שלושה חרוזים אופני התנודה של כיצד נראים

לתנודות וגם כאן נתייחס אך ורק, מערכת זו היא הכללה של המערכת שנדונה בדוגמה ה. )שמסתו זניחה(

יש ,המערכת המרחבי של מצבהון שלצורך תיאור כיו( שלוש דרגות חופש קיימות ,במקרה זה. הרוחביות שלה

כאשר החצים ,1-13אלו מתוארים באיור .שלושה אופני תנודה גם ולכן ,)המיקום של כל חרוזלתת את

.מציינים את כיוון הכוח המחזיר הפועל על כל חרוז

בהשמתאים לתנועה )"אופן התנודה היסודי "נקרא גם ש( אופן התנודה בעל התדירות הנמוכה ביותר

החרוז ,)בתרשים האמצעי( הבא ופן התנודהבא. בתרשים השמאלי צגכמו, כל החרוזים נעים באותו הכיוון

הוא ש ,אופן התנודה השלישי, לבסוף. זה לזההאחרים נעים בכיוונים מנוגדים קבוע במקומו ושני האמצעי

צגכמו, שכנוזה של כל חרוז נע בכיוון מנוגד ל בושמתאר מצב , ת התנודה הגבוהה ביותרהאופן בעל תדירו

. הימני רשיםבת

לשם פשטות נניח שהמסות של כל המתנדים זהות ו, מתנדים מצומדים N שלכעת נתייחס למקרה

משוואת , באופן כללי, אזי ,י-i–את התזוזה משיווי משקל של המתנד ה ix–נסמן באם .m–ושוות ל

:התנועה שלו היא משוואה מהצורה

2

1 1 2 22i

i i ii i iN n

d xm K x K x K x K x

dt (1.113)

בהנחה שכל יתר המתנדים (המחזיר הפועל על החלקיק כתוצאה משינוי מקומו הוא קבוע הכוח iiK כאשר

ij ואילו, )נשארים בנקודת שיווי המשקל של המערכת jK x הוא הכוח הפועל על חלקיק i כתוצאה מהתזוזה

אופני התנודה של חרוזים על מיתר1-13איור

גלים ואופטיקה

102

משוואות אלו - אחת לכל חלקיק, משוואות שונות מייצגת למעשה (1.113)משוואה .jשל חלקיק

דוגמה הן (1.105)שני מתנדים מצומדים המערכת של משוואות התנועה שקיבלנו עבור. התנועה של המערכת

11 ,מקבל אך ורק שני ערכים iכאן : פרטית 22 2K K K 12 –ו 21K K K .

רכיביו ש ,x הווקטורבצורה פשוטה יותר אם נגדיר את (1.113)את אוסף המשוואות ניתן לרשום

:ijK אשר רכיביה הם קבועי הכוח Kואת המטריצה ,ixהם ההעתקות

1

2

N

x

x

x

x

11 12 1

21 22 2

1 2

N

N

N N NN

K K K

K K KK

K K K

(1.114)

:החסכונית בצורה (1.113) לרשום את אוסף משוואות התנועה בעזרת הגדרות אלו אפשר

2

2

dm K

dt

x x (1.115)

ה מקיימים ירכיבש מטריצה כלומר, 215סימטריתמטריצה היא K–שחשוב לשים לב , כדי לפתור משוואה זו

ij את הקשר jiK K .היא שהמטריצה כונה זומשמעות ת K כלומר קיימת מטריצה .216ניתנת ללכסון

:אלכסונית

1

2

0 0 . 0

0 0 . .

0 0 . . .

. . . . 0

0 0 . 0 N

(1.116)

–כך ש) מלכסנתהמטריצה הנקראת ש( D ומטריצה הפיכה

1K D D (1.117)

, (1.115)התנועה במשוואת (1.117)רוק יהצבה של הפ. D ההופכית שלהמטריצה היא 1D כאשר

: נותנות 1D–והכפלתה משמאל ב

לזה בעוצמתו זהה jמפעיל על חלקיק iלפיו הכוח שחלקיק שהמקור לתכונה זו הוא החוק השלישי של ניוטון 215

.בכיוונוממנו והפוך iעל חלקיק jשמפעיל חלקיק בקורס את ההוכחה למצוא אפשר .לא נוכיח אותו כאן. אלגברה ליניאריתבאחד המשפטים המרכזיים וזה 216

.של האוניברסיטה הפתוחה "ליניאריתאלגברה "

N

מבוא: 1פרק

103

12

1

2

d Dm D

dt

x x (1.118)

1D–וש, המטריצה המלכסנת אינה תלויה בזמןכאשר השתמשנו בעובדה ש D אם .מטריצת היחידההיא

1D רהווקטוכעת את נגדיר x, אזי נוכל לרשום את המשוואה שקיבלנו בצורה:

2

2

dm

dt

(1.119)

למעשה אוסף שלהיא (1.119) משוואהלכן ,מטריצה אלכסונית בהגדרה היא N משוואות בלתי

:הרמונימשוואת המתנד הל מקיים משוואה שצורתה זהה, רהווקטושל , i ,כל רכיב. תלויות

2

2i

i i

dm

dt

, 1 לכל, 2, ,i N (1.120)

, מתנדים בלתי תלויים N בבעיה שלמתנדים מצומדים N הבעיה שלהחלפת התבטא בתהליך הלכסון לכן

ת ווהתדירויות העצמי, אטות הנורמאליות של המערכתהקואורדינ אפוא הם iהמשתנים . ידוע שפתרונה

הן תאימות לאופני התנודה שהם מייצגיםהמ ii

K

m.

אפשר היה לדון כעת בשיטות . בלכסון מטריצה מתנדים מצומדים מתמצה N הבעיה שלפתרון , אם כן

השיטה נציין רק ש. עליו נפסחולכן להמשך הקורס לנו אינו נחוץ נושא זה אולם, הכלליות ללכסון מטריצות

לכסון - ושעבור מערכות מורכבות, מסות שונותבעלי חלקיקים בו השה ניתנת להכללה גם למקר שהצגנו כאן

גם כאשר ,יות מסוג זהעניתן לפתור ב בעזרת מחשב ,עם זאת. לול להיות משימה מסובכת למדיהמטריצה ע

. מדובר באלפי דרגות חופש

להראותרק אלא , באופן מלא מתנדים מצומדים לא הייתה לפתור את הבעיה שלדיון האחרון המטרת

, מתנדים אלו מתארים את אופני התנודה של המערכת. בלתי תלוייםמתנדים שקולה לאוסף המערכתש

נובעת זו החשיבות של תוצאה. תדירויות העצמיות של המערכתההיא אחת ת של כל אחד מהםוהתדירו

הן כאשר , שקולות לאוסף מתנדים מצומדים )בהזנחת כוחות חיכוך(הפיזיקליות ת ומערכה מרביתמהעובדה ש

גם לאוסף של מתנדים הרמוניים שקולות - כפי שראינו כאן - ולכן, ליד נקודות שיווי משקל יציבותמצאות נ

ודת כוח המחזיר של סטייתה מנקהכל עוד ,פרטים של המערכתבללא תלות ,פהזו תק תכונה. בלתי תלויים

.המשקל מקיים את חוק הוקשיווי

גלים ואופטיקה

104

מערכות מכאניות ליד נקודת שיווי בין השקילות שבין אוסף מתנדים מצומדים ו לא נוכיח באופן כללי את

חלקיקים N המכילה, חסרת חיכוך נתבונן במערכת .בניתוח של מקרה פרטיאלא נסתפק , משקל יציבה

משוואת התנועה של חלקיק זה .i–החלקיק האת המיקום של מייצג ix כאשר, m היאכל אחד מהם מסת ש

: באופן כללי, היא

2

1 22, ,...,i

i N

d xm F x x x

dt (1.121)

כאשר 1, 2 ,...,i NF x x x כוחות החיצוניים שפועלים עליו ן החלקיק כתוצאה מההוא הכוח שפועל על

. והכוחות שמפעילים יתר החלקיקים, )למשל גרביטציה, בזמןשאינם תלויים (

וסכום הכוחות הואיל , בה החלקיקים קבועים במקומםשנקודת שיווי משקל של מערכת היא נקודה

כאשר המערכת , i את המיקום של חלקיק ix–אם נסמן ב ,לכן. הפועלים על כל אחד מהחלקיקים מתאפס

:אזי בנקודה זו מתקיים, נמצאת בנקודת שיווי משקל שלה

1 2, ,..., 0i NF x x x לכלi (1.122)

:נגדיר ,ווי המשקלית התזוזות הקטנות של המערכת מסביב לנקודת שכדי לתאר א

i i ix x x (1.123)

בעזרת פיתוח את הכוח לקרב אפשר, הסטיות קטנות מספיקאם . מציין את הסטייה מנקודה זו ix כאשר

:טיילור לסדר ראשון

1 1 2 2 1 1 2 2, ,..., ....i N N i i iN NF x x x x x x K x K x K x (1.124)

כאשר

1 2, ,...,i N

ijj

dF x x xK

dx (1.125)

בהנחה של , נקבל שמשוואות התנועהאזי , ijK להיות המטריצה שרכיביה K אם נגדיר את המטריצה ,ולכן

:הן, תנודות קטנות ליד נקודת שיווי המשקל

2

2

dm K

dt

x x (1.126)

כאשר x שרכיביו רהוא וקטו, ix ,התנאי . מתארים את הסטיות של החלקיקים מנקודת שיווי המשקל

כלומר שהנקודה, לכך שהמערכת נמצאת בנקודת שיווי משקל יציבה 1 2, ,..., Nx x x היא מינימום של

מבוא: 1פרק

105

זה הוא הכללה של תנאי . חיוביים K הערכים העצמיים של המטריצההוא שכל , הפוטנציאל של המערכת

.ממדית–שהוצג עבור המערכת החד (1.43) התנאי

מתארת אוסף של מתנדים הרמוניים אשר (1.115) למשוואהזהה (1.126) משוואה מצד אחד ,לכן

מספיק מכאן ש. אוסף של מתנדים בלתי תלוייםל השל מתנדים מצומדים שקול מערכת, מצד שני .מצומדים

בלתי הרמוניים ת כאוסף מתנדים ומתנהגטיפוסיות ת ות מכאניומערכ, קרוב לנקודת שיווי משקל יציבה

.תלויים

סיכום 1.3 ,ריסון עדריראינו שבה .דינאמיקה של מתנדים הרמונייםדנו ב לקורסזו תיאורטיתבהקדמה

וחישבנו את תדירות , סינוסואידלית בזמן )בעל דרגת חופש אחת( של מתנד הרמוני ההתנהגות

כתוצאה מכוחות ,ריסוןהתוספת של . פיזיקליותשל מערכות דוגמאותכמה עבור של מתנדים התנודה

הוא ,במקרה זה ,את הדינאמיקה הגודל המרכזי המאפיין. ל תנודות המתנדדעיכה ש תגורר, חיכוך

חסר ( כך התנהגות המתנד קרובה יותר לזו של מתנד אידיאלי ,גדול יותרשהוא ככל . גורם האיכות

גורם האיכות מאפיין גם את תופעת התהודה של מתנדים המאולצים על ידי כוח ראינו ש. )חיכוך

דת כלומר את מי, תנועה של המתנד ואת רוחב הרזוננסקובע את משרעת האשר הוא . מחזורי חיצוני

אשר דרושה לשם עירור , תדירות הכוח המאלץבין הקרבה בין תדירות התנודה הטבעית של המתנד ו

.משמעותי של המתנד

הדינאמיקה של : בסוף הפרקאליה הגענושמהמסקנה הרמוני נובעת המתנד החשיבות של מודל ה

ף מתנדים הרמוניים שקולה לדינאמיקה של אוס שקל יציבותליד נקודות שיווי מ מערכות מכאניות

גם כשהן מסובכות ומורכבות, הדינאמיקה של מערכות אלו אפיון ,כלומר. שאינם תלויים זה בזה

שדנו אך ורק במערכות אף ). ממדי–חד(בנוי למעשה על הפתרון של מתנד הרמוני יחיד , לכאורה

גם עבור תקפה ,כפי שנראה בהמשך הקורס, זוהמסקנה ה, בעלות מספר סופי של דרגות חופש

הגלים של . של תורת הגליםהאוניברסאליות ממנה נובעת. מערכות גליות בעלות אינסוף דרגות חופש

לכןו, ןהל שלת שיווי המשקונקודתנודות קטנות של המערכות ליד , הלמעש, מערכות מכאניות הם

בגלים בקו , בגלי קול, מדובר בגלים במיתרשבין ,בלתי תלויים שקולים לאוסף מתנדים הרמוניים הם

.בגלי מים או בגלים בתווך אלסטי, טלגרף

גלים ואופטיקה

106

המלצות לקריאה נוספת 1.4

• Bekefi, G. & Barrett. A. H. (1977). Electromagnetic vibrations waves and radiation

(Chapter 1). The MIT Press.

• French, A.P. (1971). Vibrations and waves (Chapters 1-5). WW Norton & Company.

• Morse, P. M. & Ingard, K. U. (1968). Theoretical acoustics (Chapters 1-3). Princeton

University Press.

מבוא: 1פרק

107

תרגילי חזרה 1.5

1 תרגיל

dxוהמהירות , x, הגדר משתנה שהוא קומבינציה ליניארית של המיקום

dtומצא מהי הקומבינציה ,

פתור . אינה מכילה נגזרת שנייה )המשתנה החדש במונחי( (1.23)משוואת המתנד ההרמוני שעבורה

.בלת עבור משתנה זהיאת המשוואה שק

2 תרגיל

"הפלזמהתדירות "לחשב את שאלה זו היא פתרוןהמטרה של

קולקטיבית תנועהתדירות זו מאפיינת . של אלקטרונים במתכת

בעלת צורה של היא שפיסת המתכת הנח ,לשם פשטות. שלהם

A הואאחת מהן שהשטח של כלזוג פאות נגדיות עם תיבה

שכל הנח ,כן כמו .1-14 באיורכמוצג ,l הוא ביניהן והמרחק

כך שאפשר , אחת ביחס לתיבהכמקשה נעים םהאלקטרוני

הנראית x העתקהה - פרמטר אחד לאפיין אותם על ידי

מצא את תדירות התנודה אם נתון שמסת האלקטרון . באיור

.nוצפיפות האלקטרונים היא e מטענו, m היא

האנרגיה של . להתייחס אליה כאל קבל אפשר ,לצורך חישוב האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת: רמז

היא qומטען C בעל קיבול קבל2

2

q

Cוהמרחק A שלו הוא לוחותהשטח שוהקיבול של קבל ,

0C הנו l הוא ביניהםl

A, 0כאשר 217הוא קבוע הפרמיטיביות.

3 תרגיל

הנח . בקירוב קפיצים היא קבועהמתיחות השבו , בדוגמה ה התנאי על משרעת התנודותאת מצא

0l התנאי בגבולמצא את ,בפרט. 0l הואכל קפיץ במצב רפוי שאורכו של l )l הוא האורך של כל

.)משקל של המערכתהשיווי נקודת ב , קפיץ כאשר הוא מתוח

. של האוניברסיטה הפתוחה "חשמל ומגנטיות"קורס הראה 217

¯Âȇ1-14 תנועה קולקטיבית של

במתכתאלקטרונים

l

a++

-+- --

-

-+

x

l

a++

-+- --

-

-+

x

A

גלים ואופטיקה

108

4 תרגיל

הוכח שעבור מתנד הרמוני האנרגיה הקינטית הממוצעת בזמן שווה בדיוק לאנרגיה הפוטנציאלית

.המיצוע הוא על פני זמן מחזור אחדכאשר , הממוצעת בזמן

5תרגיל

בנוי ממשקולת התלויה על ידי קפיץ אשר נקודת האחיזה שלו ה מתנד מרוסןהוא סיסמוגרף פשוט

. באיורכמוצג , נעה עם הקרקע

מודל פשוט לסיסמוגרף 1-15איור

מערכות ( הקרקעניצב לפני בכיוון הנעה הקרקע הסיק כיצד של המשקולת מאפשר ל המיקום רישום

קבוע ,m היא נתון שמסת המשקולת ).נוסףבכל כיוון הקרקע תנועת של לבצע רישום כולותדומות י

כך שכוח החיכוך , עם פני הקרקעשריסון המערכת נעשה על ידי מרסן הנע ונניח K הוא הקפיץ

שמיקום נקודת עוד נניח . ומקדם החיכוך הוא, ביחס לפני הקרקעמתכונתי למהירות החלקיק

האחיזה של הקפיץ כתוצאה מרעידת הקרקע מתואר על ידי הפונקציה 0z t ,ונסמן ב– z t את

. כמתואר באיור, המשקולת מגובה פני הקרקע המרחק של מרכז

גזור את משוואת התנועה של .א 0z t z t z 0כאשרz מציין את מיקום מסת המתנד ביחס

,אם הקרקע בתנועהשים לב ש(. מצב מנוחהב ,לגובה פני הקרקע z t אינו מוגדר ביחס

).למערכת אינרציאלית

–שתנועת הקרקע מחזורית כך ש ,לשם פשטות ,הנח .ב 0 0 cosz t A t , 0כאשרA היא

הפתרון של ,, פיגור הפאזהאת ו ,A ,ומצא את המשרעת ,התדירותהיא –ומשרעת התנודה

מבוא: 1פרק

109

כאשר –ו דון בגבולות .בסעיף א של המשוואה שמצאת העמיד K

m

.ללא ריסון, של הסיסמוגרף היא תדירות התנודה

0t הנח שבזמן .ג ומצא את מיקומו , הסיסמוגרף נמצא במנוחה בנקודת שיווי המשקל שלו

0t עבור ,כפונקציה של הזמן אם תנועת הקרקע , במתוארת על ידי האילוץ שבסעיף.

6 תרגיל

במשוואהנתונה שמשוואת התנועה שלו(משרעת המתנד עבורה ש הכוח המאלץ חשב את תדירות

:קבלת את ערכה המרבי והראה שהיא נתונה בנוסחהמ) (1.90)

max 2

11

2Q (1.127)

: משרעת התנודה באותה הנקודה היאה שהרא

0max

2

1

11

4

FX

Q

(1.128)

7תרגיל

בקפיץ כך נתונות שתי מטוטלות הקשורות ביניהן

במצב המטוטלות בהש, שבנקודת שיווי המשקל

ה המטוטלת הימנית קשור .הקפיץ ביניהן רפוי, מאונך

בזמן תבקפיץ נוסף לנקודה הנעה מחזורי

0( ) sin( )x t X t ) המטוטלות זהות .)איורראה,

קבועי הכוח של . m ומסה lלשתיהן אורך כלומר

על הנח כי. Kוערכם הוא זהים גם הם הקפיצים

מצא את משרעת . כאשר קבוע החיכוך הוא , מתכונתי למהירותן המטוטלות פועל כוח חיכוך שתי

.קטנותהמטוטלות תנודות שהנח . זמן ארוך פרק התנודה של המטוטלת השמאלית לאחר

זוג מטוטלות מצומדות המאולצות על ידי 1-16איור כוח מחזורי

גלים ואופטיקה

110

פתרון השאלות שבגוף הפרק 1.6

1 שאלהפתרון

1נתחיל מהפונקציה . נבצע את פיתוח טיילור של הפונקציות המתאימות לסדר המוביל x:

0

00

1 11 1 ... 1 ... 1

22 1xxx

d x xx x x x

dx x

(1.129)

באופן דומה

0 0

0

sinsin sin ... 0 cos ...

x xx

d xx x x x x x

dx

(1.130)

22

200 0

22

0 0

cos cos1cos cos ...

2

1 1 sin cos ... 1

2 2

xx x

x x

d x d xx x x x

dx dx

xx x x x

(1.131)

ולבסוף

2

0 00

1 1 1 1... 1 ... 1

1 1 1 1x xx

dx x x

x x dx x x

(1.132)

2 שאלהפתרון

כלומר של הפונקציה ,(1.11)נתחיל מפיתוח טיילור של אגף שמאל של נוסחה exp i, סביב הנקודה

0 : exp nn

n

i a .האיבר ה–n– הואזה י בפיתוח:

!

n

n

ia

n (1.133)

cos: (1.11) משוואהילור את הפונקציות באגף ימין של כעת נפתח לטור טי n

nn

b ו–

sin nn

n

i c .הפיתוח במקרה זה הם מקדמי:

מבוא: 1פרק

111

21

זוגי !

אי-זוגי 0

n

nn

n

b n

-ו 1

2

זוגי 0

1אי-זוגי

!

nn

n

nc i

n

(1.134)

n, (1.11)מכאן קל לוודא שמתקיים השוויון בין מקדמי הפיתוח שבשני אגפי המשוואה n na b c , ובכך

אפשר להראות אבל במקרה זה ,מתכנס בו טור טיילורשבתחום ,בעיקרון(ן אגפיה את השוויון ביהוכחנו

:(1.13) הזהויות שימוש בנוסחת אוילר שהוכחנו מאפשר להוכיח את). מתכנס בכל נקודה שהטור

exp exp cos sin cos sincos

2 2exp exp cos sin cos sin

sin2 2

i i i i

i i i i

i i

(1.135)

3 שאלהפתרון

z*, מהגדרת הערך המוחלט של מספר מרוכב .א zz ,נקבל, הצמוד שלושל ו:

2 2 2 2 2

exp cos sin cos sin cos sin

cos sin cos sin 1

i i i i

i

(1.136)

,בקואורדינאטות קוטביותzנוח לכתוב את .ב expz r i ;מכאן נקבל:

1 1 1 1

exp expexp

i iz r i r r

(1.137)

ולכן הערך המוחלט של 1

zהוא

1 1 1

z z r , והפאזה היא מינוס הפאזה שלz.

:(1.11)הוכחה על ידי שימוש בנוסחת אוילר .ג

1 cos sin 1 1 1 0ie i (1.138)

4שאלה פתרון

, (1.15)במשוואה נעביר אגפים

(1.139) 0dv

m vdt

גלים ואופטיקה

112

:ונקבל, m–נחלק ב

0dv

vdt m

(1.140)

:ישירה על ידי גזירה (1.16)במשוואה בר המרכזי יכעת נוכיח את השוויון לא

exp exp

expexp exp

exp exp exp

dt v t t

m dt m

d tdv t m

t t v tm dt m dt

dv t dv tt t v t t v t

m dt m m m dt m

(1.141)

5שאלה פתרון

)1–נניח ש )x t 2–ו( )x t כך ש (1.23) הם פתרונות של משוואה–

221

12

222

22

0

0

d xx

dt

d xx

dt

(1.142)

:נותניםוחיבורן –השנייה ב, –הכפלת המשוואה הראשונה ב

2

21 2 1 22

0d

x x x xdt

(1.143)

1רוף ליניארי מהצורה יומכאן שכל צ 2x x )בו ש, גם הוא פתרון של) הם קבועים שרירותיים

. (1.23)משוואה

מבוא: 1פרק

113

6שאלה פתרון

:(1.29)בנוסחה (1.30) הגדרה נציב את ,(1.31)כדי להוכיח את נוסחה

exp exp

1 1 exp exp

2 21 1

exp exp exp exp2 21 1

exp exp exp exp2 2

x t X i t X i t

X iX i t X iX i t

X i t i t iX i t i t

X i t i t X i t i ti

(1.144)

:כדי לקבל (1.13)ונשתמש בנוסחאות

cos sinx t X t X t (1.145)

:נשתמש בזהות הטריגונומטרית כעת

sin sin cos sin cos (1.146) :ונקבל

sin sin cos cos sinx t A t A t A t (1.147)

:נותנת את הקשרים (1.144)השוואה של ביטוי זה לנוסחה

sin

cos

X A

X A

(1.148)

:חיבור הריבועים של המשוואות נותן

2 2 2 2 2 2sin cosX X A A (1.149)

:וחלוקת המשוואות מובילה לנוסחה

sin

tancos

X

X

(1.150)

.(1.33)ומשתי הנוסחאות האחרונות מקבלים את

גלים ואופטיקה

114

7שאלה פתרון

:ונקבל (1.50)במשוואה (1.32) הרמוניהפתרון של מתנד נציב את

2

2 2

222

2 22

2 22 2 2 2

2

sin sin2

cos sin2

1 cos sin

2 2

dx tmE x t

dt

m dA t A t

dt

mA t A t

mA t t mA

(1.151)

8שאלה פתרון

:ונקבל את זוג המשוואות (1.66)בנוסחה (1.67)נציב את תנאי השפה הנתונים במשוואות

0

0

X X x

X X v

(1.152)

:נקבל ,ונחסר אותה מהמשוואה השנייה –הראשונה באם נכפול את המשוואה

0 00 0

v xX v x X

(1.153)

: נקבל ,וחיסורה מהמשוואה השנייה –פלת המשוואה הראשונה בכהעל ידי , באופן דומה

0 00 0

v xX v x X

(1.154)

:מובילה לתוצאה המבוקשת (1.66) נוסחהבהצבה של הביטויים שקיבלנו בשתי הנוסחאות האחרונות

0 0 0 0

0 0

exp exp exp exp

exp exp exp exp

v x v xx t X t X t t t

t t t tx v

(1.155)

מבוא: 1פרק

115

9שאלה פתרון

:ונקבל, נוציא את הגורם המשותף, (1.66)בנוסחת הפתרון הכללי עבור (1.69)נציב את נוסחה

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

exp exp exp2 4 4

exp cos sin2 4 4

cos sin4 4

K Kx t t X i t X i t

m m m m m

K Kt X t i t

m m m m m

K KX t i t

m m m m

2 2

2 2exp cos sin

2 4 4

K Kt X X t i X X t

m m m m m

(1.156)

ר כאש (1.70)קיבלנו אפוא את נוסחה . (1.11)הראשון השתמשנו בנוסחת אוילר כאשר לצורך קבלת השוויון

A X X ו– B i X X .

10אלה שפתרון

רוב ינשתמש בק exp 1x x ,0 בגבול התקףx , פתח את המונים באגף ימין של משוואה על מנת ל

:את התוצאה המבוקשת ונקבל ,–לסדר ראשון ב .מקור ההפניה לא נמצא! שגיאה

0 0

0 0

0 0

0 0

exp 1 expexp exp

1 1 1exp exp

1exp exp

exp 1 exp

t tx t x t v t

t tx t v t

t tx t v t

x t t v t t

(1.157)

גלים ואופטיקה

116

11אלה שפתרון

: רוקינתבונן בפ h px t x t x t .לפי הגדרתו הפתרון העמיד , px t , מקיים את המשוואה

:המאולצת

2

02cosp p

p

d x dxm Kx F t

dt dt (1.158)

, ואילו הפתרון ההומוגני hx t ,מקיים את המשוואה:

2

20h h

h

d x dxm Kx

dt dt (1.159)

:חיבור שתי המשוואות שלמעלה נותן

2

02cos

p h p h

p h

d x x d x xm K x x F t

dt dt

(1.160)

–ומכאן ש h px t x t x t זהו גם הפתרון . (1.81)הוא פתרון של משוואת המתנד המאולץ והמרוסן

, ההומוגנישהפתרון הכללי ביותר מאחר hx t , מכיל בדיוק את מספר הקבועים החופשיים המאפשרים קיום

.שרירותיים של הבעיההשל תנאי ההתחלה

12שאלה פתרון

את לזוג משוואות הקובעות את החלק הממשי ו (1.84)נפרק את משוואת המתנד המרוסן עם אילוץ מרוכב

: במשוואהלשם כך נציב . החלק המדומה

Re Im x x i x (1.161)

Reכאשר x ו–Im x המדומה של החלק הם החלק הממשי וx ונשתמש בנוסחת אוילר כדי , בהתאמה

בצורה (1.84)לרשום את אגף ימין של 0 0 0exp cos sinF i t F t iF t ,כך ש–

2

2

0 0

Re Im Re Im Re Im

cos sin

d dm x i x x i x K x i x

dt dtF t iF t

(1.162)

של המשוואה מקיים את השוויון באופן בלתי הממשי השוויון בין אגפי משוואה זו מתקיים רק כאשר החלק

: זו נותנתההדרישה . תלוי בחלק המדומה שלה

2

02

Re ReRe cos

d x d xm K x F t

dt dt

(1.163)

מבוא: 1פרק

117

ולכן, (1.81)–לבצורתה זהה קיבלנו אפוא משוואה ה ( ) Rex t x t פתרון של משוואת המתנד הוא אכן

).הממשית(המאולץ

13אלה שפתרון

:הפתרון הפרטי של משוואת המתנד המאולץ והמרוסן הוא ,כפי שראינו

02 2

( ) Re exp cos

p

F

m ix t i t X t (1.164)

ם ישבסוגרי נרשום תחילה את המספר המרוכב ,ואת הסחת הפאזה Xאת המשרעת על מנת לזהות

:(1.9)–ו (1.8)בעזרת הערך המוחלט שלו והפאזה כפי שהוגדרו בנוסחאות

0

2 2exp exp exp

Fi t r i i t

m i

(1.165)

:הערך המוחלט הוא

0

22 2 2 2 2

0 02 2 2 2

exp exp

F F

m i m i

Fr i t i t

m (1.166)

–מכנה בהמונה ואת הנכפול ,הפאזהכדי לחשב את 2 2 m i :

02 2

2 20

22 2

exp

exp exp exp

Fi t

m i

F m ii t r i i t

m i

(1.167)

:כדי לקבל (1.9)ונשתמש בנוסחה

2 2arctan

m

(1.168)

–שמאחר

( ) Re exp cos Re exppx t r i t i X t X i t i (1.169)

גלים ואופטיקה

118

–ש אפשר לזהות מיד

0

22 2 2 2 2

FX r

m

(1.170)

–ו

2 2arctan

m

(1.171)

:בצורה שונה במקצת (1.170)נרשום את נוסחה , כדי לזהות את התלות בגורם האיכות

0 0

2 22 2 2 2 2 2 2

2

0

22 2

2

1

1

1

1

F FX

m m

F

m

(1.172)

:נקבל ,(1.75)ואם נשתמש בהגדרה של גורם האיכות

0

22

1

1

FX

Q

(1.173)

,באופן דומה

2 2 2

1arctan arctan

1 1arctan arctan

m m

mQ

(1.174)

14שאלה פתרון

:נשתמש בזהות הטריגונומטרית

1cos sin sin sin

2 (1.175)

מבוא: 1פרק

119

:בצורה (1.93)כדי לרשום את האינטגרנד שבנוסחה

0

0

sin 2 sin2

F XP dt t

(1.176)

האינטגרל על sin 2 t מתבצע על מספר שלם של מחזורים של הפונקציהשהוא היותמתאפס:

2

2

00 0

1sin 2 sin 2 cos 2

2

1 1 1 1cos 4 cos cos cos 0

2 2 2 2

dt t dt t t

(1.177)

:ולכן

00

0

1sin sin

2 2

F XP dt F X

(1.178)

15אלה שפתרון

ת טנגנס כדי לרשום את ילשם כך נשתמש בהגדרה של פונקצי. (1.95)נוכיח תחילה את הזהות הטריגונומטרית

:הקשר

2 22

2 2

sin sintan

cos 1 sin

(1.179)

ולכן

2 2 2tan 1 sin sin (1.180)

או

2 2 2tan sin 1 tan (1.181)

–ב המשוואהחלוקת 21 tan (1.91)נוסחה , בעזרת זהות זו. (1.95)הות המבוקשת נותנת את הז

:וההגדרה של המשתנה

Q

(1.182)

:נקבל

2 2

22

1 1tan arctantan 1

sin11 tan 11 11 tan arctan

(1.183)

גלים ואופטיקה

120

את נותנת (1.178)בביטוי עבור ההספק הממוצע (1.90)ונוסחה (1.182) ההגדרההצבה של נוסחה זו עם

:התוצאה המבוקשת

00 0 2 2

2 2

2 2 20 0 0

2 2 22 2 2

1 1 1 1sin

2 21 1

1

2 2 21 1 1

FP F X F

Q Q

mF F F Q

m mQ Q Q

(1.184)

. (1.75)בהגדרה של גורם האיכות והשתמשנו m–את המונה והמכנה ב כאשר בשלב האחרון כפלנו

16אלה שפתרון

:בהן ההספק יורד למחצית מערכו המרבי מקיימות את המשוואהשהנקודות

12

12

2 20 0

2

22 2 2

1

F FQ Q

m mQ

(1.185)

אשר מתקבל כאשר ( כאשר אגף שמאל של המשוואה מייצג את מחצית ההספק המרבי .( ממשוואה זו

–נובע ש

1

2

12

2

22 1Q

(1.186)

ולכן

1

2

12

1

Q

(1.187)

זוהי משוואה ריבועית במשתנה 1

2

,

1 1

2 2

2

11 0

Q

(1.188)

:ואה) זה שמתאים לערך חיובי של המשתנה ,כלומר(שלה יקלי זהפיהפתרון ו

מבוא: 1פרק

121

1

2

2

1 11

2 4Q Q

(1.189)

במשתנה גדול נפתח את הפתרון לסדר מוביל Qבגבול של 1

Q :ונקבל ,

1

21

12Q

(1.190)

:רוביבהם ההספק יורד למחצית מערכו המרבי הם בקשהתדרים ולכן

12 2Q

(1.191)

1אם נגדיר את המרווח שבין התדרים שמצאנו בצורה 12 2

,אזי:

Q

(1.192)

.(1.97)ומכאן מקבלים מיד את נוסחה

17אלה שפתרון

0כאשר (1.81)משוואה ובמצב של תהודה, , המשוואההיא:

2

2 02

cosFd x

x tdt m

(1.193)

נוכיח שהפונקציה 0 sin2p

F tx t t

m

נחשב תחילה את הנגזרת . במשוואההיא פתרון על ידי הצבה

:השנייה של הפונקציה לפי הזמן

0 0sin cos2 2

pdx F F tt t

dt m m

(1.194)

ולכן

גלים ואופטיקה

122

2

0 0 0 02

sin cos cos sin2 2 2

pd x F F t F F tdt t t t

dt dt m m m m

(1.195)

–מכאן ש

2

2 20 0 0 02

cos sin sin cos2 2

pp

d x F F t F t Fx t t t t

dt m m m m

(1.196)

הפונקציה ,כלומר 0 sin2p

F tx t t

m

ולכן מהווה פתרון פרטי שלה ,(1.193)מקיימת את המשוואה.

18אלה שפתרון

הוא כוח החיכוך dx

Fdt ,והעבודה שהוא מבצע במשך זמן מחזור אחד היא:

0 0

22

0

sin2

dx dx dxW F dx F dt dt

dt dt dt

XX t

(1.197)

:ההספק הממוצע של כוח החיכוך הוא העבודה במשך זמן מחזור מחולקת בזמן המחזור

2

2

W XP

(1.198)

:נותנת Xעבור המשרעת (1.90)נוסחה הצבה של

2 20

22 22

2 20 0

2 22 2

1

21

1

2 21 1

FP

Q

F F Q

mQ Q

(1.199)

שווה בערכו המוחלט להספק הכוח המאלץ והפוך אכן הספק כוח החיכוךמראה ש (1.94)נוסחה אל השוואה

. בסימנו

מבוא: 1פרק

123

ולבצע במהירות (1.81)היא לכפול את משוואת התנועה של המתנד המאולץ להוכיח זאת דרך נוספת

:אינטגרציה על זמן מחזור

2

020 0

cosd x dx dx dx dx dx

dt m Kx dt F tdt dt dt dt dt dt

(1.200)

. סכום העבודות של הכוח המאלץ וכוח החיכוך על פני זמן מחזור אחדימין של המשוואה הוא בדיוק אגף

–שמאחר ,האינטגרל באגף שמאל הוא על נגזרת שלמה של פונקציה לפי הזמן

2 22

22 2

d m dx K dx d x dxx m Kx

dt dt dt dt dt

(1.201)

–כיוון ש ,פונקציה מחזורית של הזמןאבל האינטגרנד הוא x t ו–dx

dtמכאן . ותפונקציות מחזוריעצמן הן

,שהאינטגרל באגף שמאל מתאפס

2 22 2

0 0

02 2 2 2

d m dx K m dx Kdt x x

dt dt dt

(1.202)

יכוך ההספק הממוצע של כוח החכלומר , ולכן סכום העבודות של כוח החיכוך והכוח המאלץ גם הוא מתאפס

.של הכוח המאלץ מתקזז בדיוק עם זה

19שאלה פתרון

:זו מזו (1.105)נחסר את משוואות

21 2

1 2 2 1 1 222 3

d x xm K x x K x x K x x

dt

(1.203)

2ועם ההגדרה 1 2x x נקבל את התוצאה המבוקשת.

20שאלה פתרון

0tנציב (1.112)בנוסחאות:

1 1 2 2 1 2

1 10 0

2 2x A A x A A (1.204)

:זו מזו ןוחיסורהמשוואות על ידי חיבור אותן אפשר לפתורשו שתי משוואות בשני נעלמים קיבלנ

גלים ואופטיקה

124

1 1 2 2 1 20 0 0 0A x x A x x (1.205)

0tנציב , לפי הזמן (1.112)כעת נגזור את נוסחאות ,ונקבל:

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

1 10 0

2 2v B B v B B (1.206)

מכאן

1 1 2 2 1 21 2

1 10 0 0 0B v v B v v

(1.207)

21שאלה פתרון

2B–ו 1Bאזי הקבועים ,סתרות ההתחלתית של החלקיקים מתאפנובע שאם המהי מפתרון השאלה הקודמת

:מצטמצמות לצורה (1.112)ולכן נוסחאות , סשווים שניהם לאפ

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

1cos cos

21

cos cos2

x t A t A t

x t A t A t

(1.208)

2עבורם שהם אלה 1עבורם המערכת מתנודדת בתדירות שתנאי ההתחלה מכאן ברור ש 0A , ומנוסחה

:מים לאופן התנודה הראשון מקיימים את הדרישהתנאי ההתחלה המתאינקבל ש (1.205)

1 20 0x x (1.209)

1מתקבל כאשר ,2שבו כל מרכיבי המערכת מתנודדים בתדירות , אופן התנודה השני 0A , ומכיוון ש

1 1 20 0A x x ) הדרישה על תנאי ההתחלה במקרה זה היא ,)(1.205)ראה נוסחה :

1 20 0x x (1.210)

מבוא: 1פרק

125

החזרה תרגיליפתרון 1.7

1פתרון תרגיל

:נגדיר

dx

xdt

(1.211)

:לפי הזמן נותנת גזירה של המשתנה . הם קבועים שעלינו למצוא –ו כאשר

2

2

d dx d x

dt dt dt

(1.212)

d–ו תכיל רק את ,במונחי המשתנה , של המתנד כעת נדרוש כי משוואת התנועה

dt

כך נדרוש לשם .

0 שהמשוואהd

dt

כאשר ,למשוואת המתנד השקולתהיה קבוע שעלינו לזהותהוא:

2 2

22 2

d dx d x dx d xx x

dt dt dt dt dt

(1.213)

:התנאיםשלושת נקבל את מכאן

0 , 2 ,1 –ו (1.214)

i–מתנאים אלו נובע ש ,נקבל שהמשתנים המבוקשים הם (1.211)הגדרה ומה:

dx

i xdt

, אוdx

i xdt

(1.215)

:משוואות התנועה של המתנד במשתנים אלו הן

0d

idt

ו– *

* 0d

idt

(1.216)

: ולכן פתרונן ,(1.15)מרוסן החלקיק האלו זהה לזה של המבנה המשוואות 0 exp i t ו–

0 exp i t ,0כאשר , בהתאמה 0–ו נקבעים מתנאי ההתחלה של הבעיה.

גלים ואופטיקה

126

2 תרגילפתרון

המכפלה של היא האלקטרונים המסה הכוללת של .משיקולים של שימור אנרגיההפלזמה נמצא את תדירות

,בצפיפות המסה של האלקטרונים lAמסת אלקטרון בודד במספר האלקטרונים שהוא מכפלת נפח התיבה

mn .לכן האנרגיה הקינטית של כל האלקטרונים היא:

21

2k

dxE mn l

dt

A (1.217)

. מציין את העתקת האלקטרונים מנקודת שיווי המשקל xכאשר

הוא המטען על לוחותיו שנתייחס אליה כאל קבל ,הפוטנציאלית של המערכת כדי לחשב את האנרגיה

q ne x A. מטען זה מתקבל ממספר האלקטרונים הנמצאים בנפחxA האנרגיה .ליד פאת התיבה

, qשל קבל הטעון במטען הפוטנציאלית היא האנרגיה2

2

q

C, זהבמקרה ,הקבל. הוא הקיבול Cכאשר ,

0C לכן קיבולו הוא, lוהמרחק ביניהם A םשטחשמורכב מלוחות l

Aהוא קבוע 0כאשר ,

:מכאן שהאנרגיה הפוטנציאלית של המערכת היא .הפרמיטיביות של המתכת

22 2 2

0

1

2 2P

qE le n x

C A (1.218)

:נקבל שהאנרגיה הכוללת היא לכן

2 2

2

0

1

2K P

dx e nE E E mn l x

dt m

A (1.219)

, זהה לזו של המתנד ההרמוני הפשוט של הביטוי שקיבלנו עבור האנרגיה תמכיוון שהצורה הפונקציונאלי

:היאהפלזמה מיד שתדירות אפשר להסיק ,(1.50)

2

0

e n

m

(1.220)

מבוא: 1פרק

127

3 תרגילון פתר

,xאם נניח שהחלקיק נע מרחק .השינוי במתיחות הקפיץ נובע מהתארכות הקפיץ כתוצאה מתזוזת החלקיק

2אזי אורך הקפיץ הוא 2l x 2והתארכותו הכוללת היא 20l x l , 0כאשרl הוא אורכו של הקפיץ

לדרוש שהשינוי באורך הקפיץ ביחס לאורכו במצב שיווי עלינו ,כדי שהשינוי במתיחות יהיה קטן. הרפוי במצב

:קטןיהיה משקל 2 20 0 0l x l l l l l ,כלומר:

2 20l x l l l (1.221)

xהנחה של תנודות קטנות ב l נוכל לפתח את אגף שמאל ולקבל את התנאי:

2

02

xl l

l (1.222)

או לחלופין 0x l l l . 0כאשרl l , אליו שביחס לאורך כלומר כאשר אורכו הרפוי של הקפיץ זניח

x: זהה לתנאי של תנודות קטנותבקירוב שהתנאי לכך שמתיחות הקפיץ קבועה נקבל , הוא נמתח l.

4תרגיל פתרון

: אנרגיה הפוטנציאלית של מתנד הרמוני נתונות בנוסחאותההאנרגיה הקינטית ו

2

2 , 2 2P K

dx tmKE x t Edt

(1.223)

:הרמוניהמתנד הנציב את הפתרון של

sinx t A t (1.224)

נשתמש בזהויות 2 1sin 1 cos 2

2 ,ו– 2 1

cos 1 cos 22

, ונקבל:

2 2 2

2 2 2

sin 1 cos 2 2 2 4

cos 1 cos 2 22 4

P

K

K KE A t A t

m KE t A t

(1.225)

נותר לנו למצע את הביטויים . (1.22)כאשר לקבלת הנוסחה עבור האנרגיה הקינטית השתמשנו בקשר

ולכן מספיק למצע את , ברור שהממוצע על קבוע שאינו תלוי בזמן נותן את הקבוע. הללו על הזמן

גלים ואופטיקה

128

נציב , את זמן המחזור של המתנד –לשם כך נסמן ב. המופיעה בשני הביטויים הקוסינוסת יפונקצי

2

,ונמצע על פני זמן מחזור:

0 0

1 4 1 4cos 2 2 cos 2 sin 2

4

1 1sin 4 2 sin 2

4 4

t dt t t

(1.226)

–מכאן נקבל ש. ה מתאפסיהביטוי בשורה השניולכן , 2ת הסינוס מחזורית במחזור יאבל פונקצי

2 2

2 2

1 cos 2 2 = 4 4

1 cos 2 2 4 4

P

K

K KE A t A

K KE A t A

(1.227)

:של האנרגיה הפוטנציאלית של האנרגיה הקינטית שווה לממוצע הממוצע בזמן ,כלומר

K PE E (1.228)

כך , במערכת מכאנית הנמצאת במצב עמידהקובע כי ויריאליומשפט השוויון זה הוא דוגמה פרטית של ה

של האנרגיה הקינטית הכוללת של הזמןהממוצע על , במרחבלתחום סופי שתנועת החלקיקים מוגבלת

:המערכת מקיים את הקשר

1

2K j jj

E r F (1.229)

.הוא הכוח הפועל עליו jF–ו j 'היא הקואורדינאטה של חלקיק מס jr כאשר

5תרגיל פתרון

במערכת כזו . ציאלית שאינה זזה עם פני הקרקעחשוב לעבוד במערכת אינר ,כדי לרשום את משוואת התנועה

,מיקום המסה הוא סכום של תזוזת הקרקע 0z t, והשינוי במיקום היחסי של המתנד , 0z t z t ,

הוא ) אגף שמאל של החוק השני של ניוטון(ולכן השינוי בתנע המתנד 2

0

2

d z t z tm

dt

כוח החיכוך .

, שפועל על המתנד מתכונתי למהירותו ביחס לפני הקרקע dz t

dt , ואילו הכוח המחזיר נובע מהשינוי

מבוא: 1פרק

129

נקבל שהכוח המחזיר הוא , את גובה המתנד במצב מנוחה 0z–אם נסמן ב. באורך הקפיץ 0K z t z .

:מכאן שמשוואת הכוחות של הסיסמוגרף היא

20

02

d z t z t dz tm K z t z

dt dt

(1.230)

ולכן הצבה של ההגדרה 0z t z t z ,אשר , ברים נותן את משוואת המתנד המרוסןיוסידור א

: מאולץ על ידי תנודות הקרקע

2 2

02 2

d z t d z t d z tm K z t m

dt dt dt

(1.231)

כאשר 0 0 cosz t A t ,עם הזיהוי (1.81) זהה למשוואה ,עיף אהמשוואה שקיבלנו בס

20 0F m A . אפשר לרשום את הפתרון העמיד (1.91) –ו (1.90)לכן בעזרת נוסחאות:

cospz t A t (1.232)

כאשר

20

2 22 2 2

m AA

m

, 2 2

arctanm

K –ו, m (1.233)

:נקבל, ,בו תדירות התנודה של הקרקע גדולה מתדירות התנודה הטבעית של המתנדשבגבול

20

02 22 2 2

m AA A

m

(1.234)

:כןו

2 2arctan

m

(1.235)

המסה ,קטנה מאודבו התדירות הטבעית של המתנד בגבול ששמאחר , תוצאההאפשר היה לנחש את

סימן הפוך בולכן היא מודדת את תזוזת הקרקע אך ינה זזהא כמעט) במערכת אינרציאלית קבועה(

–כמשתמע מכך ש( ( . החיסרון של סיסמוגרף העובד בתחום זה הוא שאין הגברה של תנודות

. ם אז המערכת רגישה לתחום תדירויות צראול ,הגברה כזו קיימת כאשר עובדים ליד מצב תהודה. הקרקע

גלים ואופטיקה

130

:בול ההפוךבג

20

2 22 2 2

0m A

Am

(1.236)

:כןו

2 2arctan 0

m

(1.237)

.מודד את תנודותיה ולכן הוא אינו ,תנד נע עם הקרקעכעת המ

העמיד הפתרון :אפשר להציג את הפתרון של המשוואה שקיבלנו בסעיף א כסכום של שני פתרונות .ג

–שנסמן ב, פתרון של המשוואה ההומוגניתהשמצאנו בסעיף ב ו hz t . האחרון מקיים את משוואת

:המרוסןהמתנד ההרמוני

2

20h h

h

d z t d z tm K z t

dt dt

(1.238)

הוא, ראינוכפי ש, שפתרונה הכללי exp exphz t X t X t Xכאשר הם קבועים

–עלינו לקבוע וש

2 4

2

mK

m

(1.239)

:אפוא סכום של הפתרון הפרטי והפתרון ההומוגני ואההפתרון כללי של הבעיה

exp exp cosh pz t z t z t X t X t A t (1.240)

Xאת הקבועים לזהות הוא שנותר לנווכל ,דרוש לעלינו ,אם כן .של הבעיה נקבעים מתנאי ההתחלהה

0tשבזמן כלומר , במנוחהיהיה המתנד 0 0z ו–

0

0t

d z t

dt

. זוג מכאן נובעות

:המשוואות הבאות

0

0 cos 0

sin 0t

z X X A

d z tX X A

dt

(1.241)

: במשוואה השנייהאותו ונציב ,מהמשוואה הראשונה Xאת נחלץ

cos sin 0X A X A (1.242)

מבוא: 1פרק

131

ולכן

cos sinA

X

(1.243)

:מקבלים באותו אופן

cos sinA

X

(1.244)

6 תרגילפתרון

במונחי המשתנה חסר הממדים (1.90)נרשום את משרעת המתנד , על מנת לקצר :

0 0

2 22 1 2 2 2

1 1

1 1

F FX

Q Q

(1.245)

:נגזור אותה לפי ,כדי למצוא את נקודת המקסימום שלה כפונקציה של תדירות האילוץ

2 2

03

2 22 2 2

1 2 1

1

QFdX

dQ

(1.246)

בו הנגזרת מתאפסת מתקבל מהדרישה ש) שאינו אפס או אינסוף( הערך של .ונשווה לאפס

2 21 2 1 0Q ,כלומר:

2

11

2Q (1.247)

:שר תדירות הכוח המאלץ היאשל המתנד מקבלת את ערכה המרבי כא לכן משרעת התנודה

2

11

2Q (1.248)

האחרונה היא (מעט מהתדירות שבה ההספק המועבר מהכוח המאלץ למתנד מקסימאלית בתדירות זו נמוכה

כזכור (.

גלים ואופטיקה

132

:ונקבל (1.245) –ב (1.247)נציב את נוסחה , על מנת למצוא מהי משרעת המתנד בנקודה שמצאנו

0 0max 2

2 22 2

1 1

11 1 11 1 1 42 2

F FX

Q QQ Q

(1.249)

7תרגיל פתרון

משוואות , תחת הגדרה זו. את ההעתקות של המטוטלת הימנית והשמאלית בהתאמה 2x–וב 1x–נסמן ב

:הןשל המערכת התנועה

21 1

1 2 1 12

22 2

2 1 22

d x dx mgdt l

d x dx mgdt ldt

m x K x x K x X tdt

m x K x x

(1.250)

,המרוכבל עם האילוץ "נסתכל כעת על המשוואה הנ 0( ) expX t X i t , מהצורה פרטי ונחפש פתרון

( ) expj jx t X i t 1כאשר, 2j . משוואות התנועה מובילה לבמשוואות הצבת פתרון כזה

:האלגבריות

21 2 0

22 1

2

0

mgm i K X KX X

l

mgm i K X KX

l

(1.251)

מהמשוואה השנייה 1Xלמשל על ידי חילוץ ,2Xאת מתוכן ניתן לקבל. ני נעלמיםשתי משוואות בשקיבלנו

:והצבתו בראשונה

02 2 2 22mg mg

l l

X KX

m i K m i K K

(1.252)

מכיוון שאילוץ המערכת נתון על ידי 0 0( ) sin( ) Im expx t X t X i t , כאשרIm מציין את

הפתרון העמיד עבור המטוטלת השמאלית הוא , ק הדמיוני של הביטוי שבסוגרייםהחל

2 2( ) Im expx t X i t .להוכיח זאת על ידי לקיחת החלק הדמיוני של משוואות התנועה עם אפשר

האילוץ 0( ) expX t X i t .היא הערך המוחלט של המשרעת המרוכבת משרעת המטוטלת , אם כן

.2X, (1.252)שמצאנו

מבוא: 1פרק

133

חשבון וקטורי ומשפטי אינטגרציה : נספח א 1.8 בהם במהלך נשתמש שומשפטי האינטגרציה וקטוריות העיקריותומרוכזות הזהויות ה בנספח זה

ומומלץ לקורא לרענן את זיכרונו , הבנת החומראלו הכרחי ל כלים מתמטייםהשימוש ב .הקורס

ג בשלב זה על ניתן לדל, בכלים אלו רק בפרקים מאוחרים יותרהואיל ונשתמש , עם זאת. בנושא

ניתן בנספח זהדונים הנים הצגה מסודרת של הנושא .בהמשך, במידת הצורך, ולחזור אליו, הנספח

. של האוניברסיטה הפתוחה" 3 אינפיניטסימאליחשבון "או " בא "חדו" יםלמצוא בקורס

מכפלות של וקטורים 1.8.1

אה ביותר היהפשוט הדוגמה. נועדו לתאר גדלים בעלי גודל וכיוון, ובמתמטיקה בפיזיקה, וקטורים

:וקטור המיקום

, ,x y zx = (1.253)

ש באותיות נשתמ ובנספח זה הקורס במהלך. ממדי–במרחב תלת תהקואורדינאטוהן z–ו, x, yבו ש

:גדרההולעיתים נשתמש ב, כדי לסמן וקטורים עבות

1 2 3, ,x x xx = (1.254)

.בהתאמה z–ו x ,y–מתייחסים ל 3–ו 2, 1דקסים נהאישבה

:כךהמוגדר )גודל חסר כיוון ,כלומר( הוא סקלר) או האורך שלו(הגודל של וקטור

2 2 2x y z x = (1.255)

:וקטוריםמגדירים שני סוגים של מכפלות בין

:שתוצאתה סקלרמכפלה סקלרית . א

3

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 31

, , , , i ii

u u u v v v u v u v u v u v

u v (1.256)

:שתוצאתה וקטור מכפלה וקטורית .ב

1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1, , , , , , u u u v v v u v u v u v u v u v u v u v (1.257)

גלים ואופטיקה

134

,כלומר .סימטרית–אנטיהיא וקל לוודא שמכפלה זו u v v u .

:הזהויות הן זהויות וקטוריות שימושיות שתי

w u v u v w v w u (1.258)

u v w x u w v x u x v w (1.259)

סימטרי –טנסור האנטיוקטורית בעזרת הוצגת המכפלה הה :טדוגמה

:הבאה סימטרי המוגדר בצורה–אחת הדרכים הנוחות להציג מכפלה וקטורית היא בעזרת הטנסור האנטי

1 , , 1, 2,3 2,3,1 3,1, 2

1 , , 3, 2,1 2,1,3 1,3, 2

0 אחרת ijk

i j k

i j k

(1.260)

והוא מקבל ערכים זהים כאשר מחליפים את ,כל האינדקסים שלו שונים זה מזה ןטנסור זה מתאפס אלא אם כ

החלפה ציקלית של ,לדוגמה(האינדקסים בצורה ציקלית , ,i j k מתקבלת כאשרk עובר למקום השמאלי ,

ושני האינדקסים האחרים זזים ימינה , ,k i j.( של כל זוג שהחלפה סימטרי היות –הטנסור הוא אנטי

,למשל. משתנים מחליפה את הסימן שלו

ijk kji (1.261)

:כךוקטורית ואפשר להציג את המכפלה הסימטרי –האנטיהטנסור בעזרת

ijk i jk

ij

u v u v (1.262)

אם נבחר ,לדוגמה. )יות כל אחד מהרכיביםלה שוישע( של המכפלה kרכיב ל םמתייחסינוסחה זו כאשר ב

3k , 1ברים היחידים שיתרמו לסכום הם יהאאזיi , 2j , 123שעבורם 1 ,2–וi , 1j

213שעבורם 1 ,ולכן:

123 1 2 213 2 1 1 2 2 13u v u v u v u v u v

(1.263)

ובאופן דומה אפשר לוודא שכל יתר הרכיבים של ,(1.257) אפשר לראות שתוצאה זו מזדהה עם נוסחה

.(1.262) גם הם מנוסחהקטורית מתקבלים והמכפלה הו

מבוא: 1פרק

135

)1.259(–ו )1.258( ת יוהוכחת הזהו :דוגמה י

על כל םויש לסכלפיו שנשתמש בהסכם הסיכום ,ךשבהמש הוכחותבוזו הוכחהבבסימנים להמעיט כדי

: נרשום בצורה (1.256)כך למשל את נוסחה . אינדקס שמופיע פעמיים

i iu v u v (1.264)

:בצורהנרשום (1.262) נוסחהואת

ijk i jk

u v u v (1.265)

בר באגף שמאל בעזרת סיכום על יאת הא נחשב ,כדי להוכיח אותה. )1.258( קטוריתוהו זהותנפנה כעת ל

:אינדקסים

k k ijk i j ijk i j kkw w u v u v w w u v u v (1.266)

אפשר ולכן ,סימטרי אינו משתנה כאשר מבצעים החלפה ציקלית של האינדקסים שלו-אבל הטנסור האנטי

:לרשום את התוצאה שקיבלנו גם בצורה

ijk i j k kij k i j jki j k iu v w w u v v w u (1.267)

ובכך , (1.258) לו בנוסחהבר המתאים יצג את האיברים במשוואה זו מיימהאכעת אפשר לראות שכל אחד

.הוכחנו את הזהות

:סימטרי–נציג נוסחה שימושית נוספת שמקיים הטנסור האנטי ,(1.259)על מנת להוכיח את הזהות

ijk nmk in jm im jn (1.268)

:היא הדלתא של קורנקר המוגדרת בצורה ijכאשר כאן

1

0ij

i j

i j

(1.269)

, יכולים לקבל האינדקסים השוניםשעל ידי בדיקה פרטנית של כל הערכים )1.258( נוסחהאפשר להוכיח את

.והקורא מוזמן לבדוק זאת

:)1.259( כדי לחשב את אגף שמאל של הזהות )1.262( כעת נשתמש בהצגה

גלים ואופטיקה

136

ijk i j nmk n m ijk nmk i j n mk ku v w x u v w x u v w x u v w x (1.270)

:נותן אפוא )1.268( שימוש בנוסחה

in jm im jn i j n mu v w x u v w x (1.271)

in ולכן, שמופיע פעמיים יש לסכםעל כל אינדקס ,כזכור i nu u , שהיות–in שונה מאפס רק עבורi n

–שבאופן דומה נקבל . וכאשר מתקיים שוויון זה הוא שווה לאחד

n m n m m n n m n n m m m m n nu v w x u v w x u w v x u x v w u v w x (1.272)

:ולכן) )1.264( ראה נוסחה(רית של זוג וקטורים מכפלה סקל באגף ימין מייצגשם יבר בסוגרייבל כל אא

n n m m m m n nu w v x u x v w u v w x u w v x u x v w (1.273)

אופרטורי נגזרת 1.8.2

.על פונקציות פעולה של נגזרותוקטורית למכפלה מכפלה סקלרית ו ניתן להרחיב את המושגים

פונקציה סקלרית היא פונקציה המתאימה וקטור . לשם כך נתבונן בפונקציות סקלריות ווקטוריות

בנספח זה . בכל מקום במרחבאו הצפיפות של גז הטמפרטורה ,למשל. לסקלר) למשל וקטור המקום(

–בנסמן אותה x .למשל. פונקציה וקטורית היא פונקציה המתאימה וקטור לכל נקודה במרחב,

היא כלומר . פונקציה זו מכילה שלושה רכיבים ,במקרים שיעניינו אותנו. השדה החשמלי או המגנטי

:פונקציה וקטורית בצורהכאן נסמן .שלוש פונקציות שונותמורכבת מ

, ,x y zA A AA x x x x (1.274)

–נסמן ב . וניתן לגזור אותם לפי כל אחד מהם, כמה משתנים תנו אותנו מכילויהפונקציות שיעני

x

,y

–ו z

נגזרת חלקית היא נגזרת . בהתאמה, z–ו x, y את פעולת הנגזרות החלקיות לפי

.קבועיםכאשר יתר המשתנים של הפונקציה נשמרים , לפי משתנה נתון

: נגדיר כעת וקטור של נגזרות חלקיות בצורה

מבוא: 1פרק

137

, ,x y z

(1.275)

הוא נותן וקטור של נגזרות חלקיות אשר נקרא ,כאשר אופרטור זה פועל על פונקציה סקלרית

:רדיאנט של הפונקציההג

, ,x y z

(1.276)

הניצב למשטח כווקטורהגרדיאנט : דוגמה יא

:ממדי–ממדי במרחב תלת–מתארת משטח דושלהלן המשוואה

0 x (1.277)

דוגמה פרטית היא המשטח ,z f x y , כאשרz הוא גובה המשטח מעל מישורxy , כך שבמקרה זה

,z f x y x .הגרדיאנט של הפונקציהכאן נראה ש x שמוגדר הוא וקטור הניצב למשטח

בנקודה למשל ,על המשטח כלשהי xנקודה כדי להיווכח בכך נתבונן בסביבה של. )1.277(במשוואה

x + x , כאשר x עבורו גם הנקודה ש, הוא וקטור אינפיניטסימאליx + x נמצאת על המשטח:

0 x + x (1.278)

–נפתח משוואה זו לסדר ראשון ב x ונקבל:

0 x + x x x x = x x =

(1.279)

קיבלנו אפוא שהמכפלה הסקלרית . )1.277( המשוואמקיימת את xשהנקודה הנחהכאשר כאן השתמשנו ב

שבין x ו– x אבל אם . קטורים ניצבים זה לזהוכלומר הו, מתאפסת x הוא וקטור

קטור בכיוון ובומדובר שומאחר , אזי הוא משיק למשטח, (1.369)אינפיניטסימאלי המקיים את הדרישה

, שרירותי x לבסוף נציין ש. ניצב למשטחחייב להיות– x ולכן כדי לקבל , אינו וקטור יחידה

:ו בערכו המוחלטיש לחלק אות ,יחידהוקטור

xn

x (1.280)

גלים ואופטיקה

138

משטח המתואר על ידי הפונקציההעבור , בפרט ,z f x y x :

22

, ,1

1

f fx y

f fx y

n

(1.281)

:ניתן לעשות זאת בשני אופנים. נקציות וקטוריותעל פוגם (1.275) הנגזרותאפשר להפעיל את אופרטור

,של הפונקציה דיברגנץאת ה מקבליםאז ו, (1.256)בתבנית של המכפלה הסקלרית

yx zAA A

x y z

A (1.282)

:או בתבנית של מכפלה וקטורית

, , y yx xz zA AA AA A

y z z x x y

A (1.283)

."רוטור" במקרה זה נהוג לכנות את האופרטור בשם

שהדיברגנץ של רוטור והרוטור של גרדיאנט זהויות וקטוריות חשובות הנובעות מהגדרות אלו הןשתי

:מתאפסים

0 A (1.284)

–ו 0 (1.285)

(1.288)–ו (1.284) הוכחת הזהויות : יבדוגמה

לשם כך . נגזרות באותם הכלים שהצגנו בדוגמאות הקודמות וקטוריות שלהוזהויות האת אפשר להוכיח

:נשתמש בסימון המקוצר

1 2 3, , (1.286)

–כך ש

kk (1.287)

:פעולת הדיברגץ מתוארת בצורה ;המתקבל מפעולת הגרדיאנט רהווקטושל kהוא רכיב

מבוא: 1פרק

139

i iA A (1.288)

:של הרוטור של פונקציה וקטורית הוא kורכיב

ijk i jk

A A (1.289)

: )1.284(הזהות באגף שמאל שלנחשב כעת את הביטוי

k k ijk i j ijk k i jk

A A A A (1.290)

:ולכן )1.261( לפי נוסחה ijk ואת סדר האינדקסים בטנסור, אבל אפשר להחליף את סדר פעולות הנגזרת

ijk i k j kji i k j ijk k i jA A A A (1.291)

עצמו ולכן הוא הגודל השוואה של אגפי ימין בזוג הנוסחאות האחרונות מראה שקיבלנו גודל השווה למינוס

.בהכרח אפס

:)1.285(שבאגף שמאל של רהווקטושל kנתבונן כעת ברכיב

ijk i jk

(1.292)

j–ו iואילו החלפה של האינדקסים , הנגזרות חילופיתשפעולת מאחר ,וגם כאן ברור שהתוצאה מתאפסת

.ijkמחליפה את הסימן של הטנסור

:בצורה אשר מוגדר, הלפלסיאןהוא אופרטור בפיזיקה מרכזי נוסף אופרטור

2 2 2

22 2 2x y z

(1.293)

:שהוא סכום הנגזרות השניות מקבלים סקלר ,פועל על פונקציה סקלרית כאשר אופרטור זה

2 2 2

22 2 2x y z

(1.294)

, הפונקציה בנפרדממרכיבי הפעולה של הלפלסיאן על פונקציה וקטורית מתקבלת מהפעלה שלו על כל אחד

:כלומר

גלים ואופטיקה

140

2 2 22 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2 2 2

, , y y yx x x z z zA A AA A A A A A

x y z x y z x y z

A (1.295)

:שקשורות באופרטור הלפלסיאן הן המרכזיותהווקטוריות הזהויות

2 (1.296)

–ו

2 A A A (1.297)

(1.297) –ו (1.296) תיוהוכחת הזהו : יגדוגמה

:ונראה שהוא שווה לאגף ימין )1.296(ל משוואה נחשב את אגף שמאל ש

2

i i ii (1.298)

:הזהות שבאגף שמאל של רהווקטושל kרכיב נחשב את לשם כך. )1.297(להוכיח את הזהות נפנה כעת

ijk i ijk i nmj n m kij nmj i n mjk

A A A A (1.299)

כעת אפשר לסכם על . האחרון ביצענו החלפה ציקלית של האינדקסים באחד הטנסורים השוויוןכאשר לקבלת

:ולקבל) מחליפים תפקידים j–ו kבה ש )1.268(בהתאם לנוסחה ( jהאינדקס

kn im km in i n m k m m m m kk

A A A A (1.300)

2אבל

m m ואילו ,הוא אופרטור הלפלסיאןm mA A של הפונקציה הדיברגץהואA ) ראה

כאשר היא רשומה במונחי הרכיבים של ,(1.297)קטורית ואת הזהות הומכאן נקבל .)(1.288)נוסחה

:וקטורים שבשני האגפיםוה

2 2k kk k

A A A A A (1.301)

מבוא: 1פרק

141

משפטי אינטגרציה 1.8.3

, בין אינטגרל של פונקציה על תחום כלשהומקשר יהאינפיניטסימאלהמשפט היסודי של החשבון

0נניח 1( , )x x , 0הקצה נקודותכלומר ב(הקדומה שלה על שפת התחום לבין ערכי הפונקציהx 1–וx(:

1

0

1 0

x

x

df xdx f x f x

dx

.כעת הם הכללה של משפט זה עבור אינטגרלים במרחבמשפטי האינטגרציה שנציג

משפט גרין

ינהיותה, יא עקום סגור חלק למקוטעיןה, C ,ששפתו xy תחום במישור D יהי ,xA x y ו–

,yA x y פונקציות שנגזרתן רציפה ב–D .לפי משפט גרין:

y x

x y

D

A Adxdy dxA dyA

x y

C

(1.302)

).1-17ראה איור ( ן מחוגי השעוןומתבצעת כנגד כיו ,C ,כאשר האינטגרציה לאורך העקום

ההוכחה של משפט גרין 1-17איור

גלים ואופטיקה

142

הוכחת משפט גרין : ידדוגמה

בעזרת שתי פונקציות C תחום שבו ניתן לתאר את העקוםנוכיח את משפט גרין עבור תחילה y f x ,

שבאגף (1.302) בר השני באינטגרלינחשב את הא. 1-17באיור צג וכמ, 1x–ו 0x הנקודות ביןהמוגדרות

:שמאל

1

0

1 1

0 0

01

0 1

, ,

, ,

, ,

f xxx x

D x f x

x x

x x

x x

xx

x x x

x x

A x y A x ydxdy dx dy

y y

dxA x f x dxA x f x

dxA x f x dxA x f x dxA

C

(1.303)

:באופן דומה אפשר לקבל

,y

y

D

A x ydxdy dxA

x

C

(1.304)

בעזרת הפונקציות C ארים את העקוםמתהפעם כאשר

x g y , ומבצעים תחילה את האינטגרל לאורך ציר

x , ורק אחר כך לאורךy.

וואות שקיבלנו נותן את משפט גריןחיבור המש

אבל כל . 1-17עבור התחום הפשוט המתואר באיור (1.302)

זה המוצג כמו, תחום הבנוי מאוסף של תחומים הדומים לו

הסיבה לכך היא . קיים גם הוא את משפט גריןמ, 1-18באיור

לסכם ,עבור כל תחום בנפרד גרין משפטניתן להפעיל את ש

את התוצאות ולהשתמש בעובדה שהסכום של אינטגרלים

,אבל במגמה הפוכה ,המתבצעים לאורך אותו המסלול

בסופו של לכן התרומה היחידה שנשארת לאינטגרל הקווי היא ). 1-18באיור םמקווקוויים וראה קו(מתאפס

.Cכלומר האינטגרל לאורך , צוניתמהשפה החיזו שבאה דבר

ההוכחה של משפט גרין עבור תחום 1-18איור

שהוא איחוד של תחומים מהצורה של התחום .1-17המוצג באיור

מבוא: 1פרק

143

גאוסמשפט

ותהי , S א המשטחשפתו היממדי ש–תחום במרחב תלת Vיהי A x שנגזרתה נקציה וקטורית פו

:המכונה גם משפט הדיברגנץ, לפי משפט גאוס. רציפה

V S

dV ds A x n A x (1.305)

של משוואה זו הוא האינטגרל הנפחי של הדיברגנץ של הפונקציה אגף שמאל A x בכל הנפח V ,

של המכפלה הסקלרית שבין הפונקציה ,S ,ואילו אגף ימין הוא אינטגרל על פני השפה A x

יצג ימ dsהסימן ,לבסוף. 1-19כמודגם באיור , חוץכלפי לשפה ומצביע ניצבה ,n ,חידהווקטור י

.S אלמנט שטח אינפיניטסימאלי של השפה

גאוסהוכחת משפט : טודוגמה

ומה ברוחה להוכחה של ההוכחה של משפט גאוס ד

נוכיח את המשפט עבור תחום ראשוןהבשלב . משפט גרין

–נסמן ב .1-19בדומה לזה המוצג באיור ,קמור

, ,x y zn n nn הניצב למשטח ומצביע רהווקטואת =

באופן (1.305)ונרשום מחדש את המשוואה , כלפי חוץ

: מפורט יותר בעזרת רכיבים

yx zx x y y z z

V S

AA Adxdydz ds n A n A n A

x y z

(1.306)

:zרכיב למשל, נוכיח תחילה את המשוואה רק עבור רכיב אחד ,כמו במקרה של משפט גרין

zz z

V S

Adxdydz dsn A

z

(1.307)

–נסמן ב ,z f x y של התחתוןהמשטח את את הפונקציות המתארות את המשטח העליון וS ,כך ש–

C הוא ההיטל במישורxy לכן). 1-19איור ראה (הללו של השפה של שני המשטחים,

ההוכחה של משפט גאוס 1-19איור

גלים ואופטיקה

144

,

,

, , , ,

, , , , , ,

f x yz z

V D f x y

D

A x y z A x y zdxdydz dxdy dz

z z

dxdy A x y f x y A x y f x y

(1.308)

, Cהתחום על ידי העקום xyהוא התחום במישור Dכאשר . 1-19איור ב כמוצג

zdxdyעל המשטח העליון אבל n ds ,ש מכיוון–coszn ,

) 1-20ראה איור ( zציר בין ו n רהווקטווית שבין והיא הז כאשר

:ולכן

cos z

dxdy dxdyds

n (1.309)

zdxdy –ש מאותם שיקולים נובע n ds ל נקבלובסך הכ ולכן , על המשטח התחתון:

, , , , , , z z

D S

dxdy A x y f x y A x y f x y dsn A (1.310)

:נוסף משוואותזוג שיקולים זהים מובילים ל .(1.307) בזאת הוכחנו את משוואה

xx x

V S

Adxdydz dsn A

x

ו– yy y

V S

Adxdydz dsn A

y

(1.311)

עבור (1.306)נותן את משפט גאוס (1.307) אלו ובנוסחה המופיעות בנוסחאותשל המשוואות סיכום

. 1-19התחום הקמור המתואר באיור

ושימוש במשפט , קמורים תחומים–לתתי תחום כללי על ידי פירוק התחוםלכחה אפשר להכליל את ההוכעת

–תתיסכום האינטגרלים המשטחיים על השפה המפרידה בין זוג ,פט גריןשמבדומה ל. גאוס עבור כל אחד מהם

לכן סכום . הפוכים בכיוונים יםצביעמ, בנקודה נתונה על המשטח ,י הכיווןווקטורהואיל , מתאפסתחומים

.ובזאת הוכחנו את המשפט, האינטגרלים המשטחיים זהה לאינטגרל המשטחי על השפה החיצונית של התחום

היחס שבין אלמנט שטח על 1-20איור

.xyהמשטח ובין אלמנט שטח במישור

מבוא: 1פרק

145

נוסחת גרין : טזדוגמה

,(1.305)נציב במשפט גאוס

u v v u A x x x x x (1.312)

כאשר v x ו– u x האינטגרנד באגף שמאל ,עבור בחירה זו .שנגזרתן השנייה רציפההן פונקציות כלשהן

:הואשל המשוואה

2 2u v v u A x x x x x (1.313)

:הואהאינטגרנד באגף ימין ואילו ,)הנגזרות המעורבות מתבטליםשאיברי מאחר (

u v v un n

n A x x x x x (1.314)

כאשר

n

n (1.315)

:הוא )1.312( נקבל שמשפט גאוס עבור הבחירהמכאן . מציין נגזרת בכיוון הניצב למשטח

2 2

V S

dV u v v u ds u v v un n

x x x x x x x x (1.316)

.גרין) או זהות( נה נוסחתמכומשוואה זו

משפט סטוקס

,חלק למקוטעין, 218כיוון–ברממדי –דופתוח משטח S יהי

ותהי , Cששפתו היא העקום A x פונקציה וקטורית רציפה

. וגזירה

- ונסתפק בהגדרה האינטואיטיבית שלפיה משטח בר, כיוון-להגדרה המתמטית המדויקת של משטח ברלא ניכנס 218

-דוגמה למשטח שאינו בר. כיוון הוא משטח שבו אפשר להגדיר באופן יחיד את הכיוון בכל נקודה על המשטח

אז בשלב מסוים אפשר לחזור לאותה הנקודה אבל , אם במשטח זה נעים לאורך הטבעת. כיוון הוא טבעת מוביוס

.ומשמעות הדבר היא שאין למשטח כיוון מוגדר, מצדו השני של המשטח

הגיאומטריה של משפט סטוקס 1-21איור

גלים ואופטיקה

146

:משפט סטוקסלפי

S

ds d n A l AC

(1.317)

dl–ו, הוא וקטור הניצב למשטח S, nהוא אלמנט שטח אינפיניטסימאלי על המשטח ds רכאש

יד פי כלל –עלנקבע כיוון מסלול האינטגרציה .C המשיק למסילה יאינפיניטסימאלאורך וקטור הוא

אזי הבוהן מצביעה ,Cמצביעות בכיוון מסלול האינטגרציה על אם אצבעות יד ימין ,כלומר. ימין

). 1-21ראה איור ( nבכיוון של

משפט גרין כמקרה פרטי של משפט סטוקס : ז"ידוגמה

להיות Sלשם כך נבחר את המשטח . בדוגמה זו נראה שמשפט גרין הוא מקרה פרטי של משפט סטוקס

:ולכן, zהוא וקטור יחידה בכיוון ציר n–כך ש xy מישורב Dתחום

y xz

A A

x y

n A A

(1.318)

dsבמקרה זה ,כמו כן dxdy , מצטמצם לצורה (1.317)ולכן אגף שמאל של משוואה:

y x

S D

A Ads dxdy

x y

n A (1.319)

טמצם למשפט מצסטוקס משפט ברור שבמקרה זה כבר מכאן . (1.302) כמו אגף שמאל של משוואהבדיוק

זהבמקרה שהיות , )1.302( משוואה אגף ימין שללהה ז (1.317) אגף ימין של משוואהש לוודא אפשר גם .גרין

כלומר ,xyנמצא במישור dl רהווקטו , ,0d dx dyl x ולכן ,= yd dxA dyA l A =.

הוכחת משפט סטוקס : יחדוגמה

ואז מכלילים , עבור יריעה קטנה, תחילה, מוכיחיםאת משפט סטוקס גם, כמו בשני המשפטים הקודמים

בעזרת , למשל, אותה ניתן לתארש יריעה וא בהוכחת המשפט עבוראפ נסתפק. את ההוכחה ליריעה כללית

הפונקציה ,z f x y .והאינטגרל , מתקבלת על ידי הטלת האינטגרל המשטחי ,במקרה זה ,ההוכחה

:נתבונן תחילה באינטגרל המשטחי. ביניהם בעזרת משפט גרין השוויוןוהוכחת , xyהמסלולי למישור

מבוא: 1פרק

147

y yx xz zx y z

S S

A AA AA Ads ds n n n

y z z x x y

n A (1.320)

ל המשטחע ,z f x y , וקטור הכיווןn נקבל, (1.309) ובעזרת נוסחה, (1.281) ביטוינתון ב:

y yx xz z

S D

A AA AA Af fds dxdy

x y z y z x x y

n A (1.321)

.)1-22ראה איור ( xyמישור העל Sהוא ההיטל של המשטח Dכאשר

,(1.317) רל המסלולי באגף ימין של משוואהעת לאינטגנעבור כ

x y zd dxA dyA dzA l A =

C C

(1.322)

לשם כך נשתמש .xyונבטא גם אותו כאינטגרל מסלולי במישור

:בצורה dzכלל השרשרת כדי לרשום את הדיפרנציאל ב

f fdz dx dy

x y

(1.323)

:ברים נותניםיוסידור א (1.322)הצבה בנוסחה

D

x z y z

f fd dx A A dy A A

x y

l A =C C

(1.324)

כעת אפשר להשתמש במשפט . )1-22ראה איור ( Dהתוחם את xyהוא העקום הסגור במישור DCכאשר

: המסלולי כאינטגרל משטחיכדי לרשום את האינטגרל (1.302)גרין

D

x z y z

y z x z

D

f fd dx A A dy A A

x y

f fA A A Ay x

dxdyx y

l A =C C

(1.325)

הוכחת משפט סטוקס 1-22איור

גלים ואופטיקה

148

D, ח בעובדה שעל המשטנשתמש עכשיו , , ,i iA A x y f x y ,כדי לחשב את האינטגרנד באגף ימין

:בעזרת כלל השרשרת

2

2

y z x z

y y z zz

x x z zz

f fA A A Ay x

x y

A A A Af f f f fA

x z x x y z x y x y

A A A Af f f f fA

y z y y x z x y x y

(1.326)

:ברים נותןיוסידור מחדש של יתר הא, האחרונות מתבטליםברים האחרונים בשתי השורות ישני הא

y z x z

y y x xz z

y yx xz z

f fA A A Ay x

x y

A A A AA Af f f f

x z x x y y z y y x

A AA AA Af f

x y z y z x x y

(1.327)

: נותנת (1.438)ה במשוואהצבה של ביטוי זה , אם כן

y yx xz z

D

A AA AA Af fd dxdy

x y z y z x x y

l A =C

(1.328)

.(1.317)ובזאת הוכחנו את משפט סטוקס , (1.321) המשוואשבאבל הביטוי באגף ימין זהה לזה

מבוא: 1פרק

149

לסקירה ההיסטורית רשימת מקורות :נספח ב 1.9

ספרים

1. Baker, B. B. & Copson, E.T. (1987). The Mathematical Theory of Huygens’ Principle.

3rd Edition. Chelsea Publishing Company, New York.

2. Beyer, R. T. (1974). Nonlinear acoustics. U.S. Dept. of Defense, Dept. of the Navy,

Naval Sea Systems Command.

3. Beyer, R. T. (1998). Sounds of our times: Two hundred years of Acoustics. Springer–

Verlag, New York.

4. Born, M. & Wolf, E. (1959). Principles of optics; electromagnetic theory of

propagation, interference, and diffraction of light. Pergamon Press, New York.

5. Boyer, C. B. (1959). The Rainbow, From Myth to Mathematics. Thomas Yoseloff.

6. Buchwald, J. Z. (1989). The Rise of the Wave Theory of Light: Optical Theory and

Experiment in the Early Nineteenth Century. University of Chicago Press, Chicago.

7. Cannon, J. T. & Dostrovsky, S. (1981). The evolution of dynamics: Vibration theory

from 1687 to 1742. Spinger–Verlag, New York.

8. Edme, M. (1740). Oeuvres de M. Mariotte. La Haye, Jean Neaulme.

9. 'Espinasse, M. (1956). Robert Hooke. University of California Press, Berkeley and Los

Angeles.

10. Galileo Galilei, Two New Sciences. Translated with Introduction and Notes by D.

Stillman. University of Wisconsin Press, Wisconsin, 1974).

11. Grattan–Guinness, I. (1972). Joseph Fourier 1768–1830, A survey of his life and work,

based on a critical edition of his monograph on the propagation of heat presented to the

Institut de France in 1807. MIT Press.

12. Hakfoort, C. (1995). Optics in the age of Euler: Conceptions of the nature of light,

1700–1795.Cambridge University Press, USA.

13. Helmholtz, H. On the Sensation of Tone. Dover publications, New York, 1954.

14. Hertz, H. (1893). Electric waves; being researches on the propagation of electric action

with finite velocity through space. Authorized English translation by D. E. Jones with a

preface by Lord Kelvin. Macmillan.

15. Hunt, F. V. (1978). Origins in Acoustics, The Science of Sound from Antiquity to the Age

of Newton. Yale University Press, New Haven and London.

גלים ואופטיקה

150

16. Johnston, I. (2002). Measured Tones, The Interplay of Physics and Music. IOP

Publishing Ltd.

17. Kangro, H. (1976). Early History of Planck's Radiation LawTaylor & Francis Ltd,

London.

18. Kepler, J. (2002). Harmonies of the World. Edited with commentary by Stephen

Hawking, Running Press.

19. Kuhn, T. S. (1978). Black–Body Theory and the Quantum Discontinuity, 1894–1912.

Oxford University Press.

20. Levenson, T. (1994). Measure for Measure, A Musical History of Science. Simon &

Schuster. New York.

21. Lindberg, D. C. (1970). John Pacham and the Science of Optics, Perspectiva

Communis. Edited with Introduction, English Translation, and critical notes, University

of Wisconsin Press.

22. Mach, E. (1926). The Principles of Physical Optics, An Historical and

Philosophical treatment. Translated by Anderson J. S. & Young A. F. A., Dover.

23. Omar, S. B. (1977). Ibn al–Haytham's Optics, A Study of the Origins of Experimental

Science. Bibliotheca Islamica, Minneapolis.

24. Rayleigh, J.W. S. (1945). The Theory of Sound. Dover Publications, New York.

25. René Descartes, Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. Translated

with an Introduction by Paul J. Olscamp. The Bobbs–Merrill Company, Inc. 1965.

26. Silverman, M. M. (1998). Waves and Grains. Princeton University Press.

27. Sir Isaac Newton. Optics. Based on the forth edition London, 1730. Dover Publications,

New York, 1952.

28. Sir Isaac Newton. The Principia, Translated by Andrew Motte, Prometheus Books,

1995.

29. Smith, A. M. (1996). Ptolemy's Theory of Visual Perception: An English Translation of

the "Optics" With Introduction and Commentary. The American Philosophical Society,

Philadelphia.

30. Sommerfeld, A. (2004). Mathematical Theory of Diffraction. Translated by R. J.

Nagem, N. Zampolli & G. Sandr. Birkhäuser, Boston

31. Theodoricus Teutonicus De Vriberg, De iride et radialibus impressionibus. In Beiträge

Zur Geschichte der Philosophie des Mittelalters, Clemens Baeumker (Münster i. W.

1914).

מבוא: 1פרק

151

32. Todhunter, I. (1886). A history of the theory of elasticity and of the strength of materials,

from Galilei to Lord Kelvin. . Edited and completed for the syndics of the Cambridge

University Press by Karl Pearson (Cambridge: At the University Press, London).

33. Unguru, S. (1977). Witelonis Perspectivae Liber Primus, Book I of Witelo's Perspectiva.

An English translation with Introduction and Commentary and Latin edition of the

Mathematical Book of Witelo's Perspectiva. The Polish Academy of Sciences Press.

34. Wallace, W. A. (1959). The Scientific Methodology of Theodoric of Freiberg, A case

study of the relationship between science and philosophy. The University Press,

Fribourg Switzerland.

35. Waller, M. D. (1961). Chladni Figures, a Study in Symmetry. G. Bell and Sons Ltd,

London.

36. Whittaker, E. (1960). A History of the Theories of Aether and Electricity. Harper

& Brothers, New York.

37. Christiaan Huygens' The Pendulum Clock or Geometrical Demonstrations Concerning

the Motion of Pendula as Applied to Clocks. Translated with Notes by Richard J.

Blackwell, Introduction by H. J. M. Bos. The Iowa State University Press, Ames, 1986.

38. Harmonie Universelle, contenant La Théorie et la pratique de la Musique (Paris, 1636),

Édition facsimilé de l'exemplaire conserve à la Bibliothèque des Arts et Métiers et

annoté par l'Auteur (Centre National de la Recherche Scientifique, Paris 1963).

39. Prismatic and Diffraction Spectra, Memoirs by Joseph von Fraunhofer, Translated and

edited by J. S. Ames. Harper & Brothers Publishers, 1898.

40. The Almagest, by Ptolemy, On the Revolutions of Heavenly Spheres, by Nicolaus

Copernicus, Epitome on Copernican Astronomy: IV and V. The Harmonies of the

World: V, by Johannes Kepler (Encyclopædia Britinica, Inc. 1952)

41. The Wave Theory of Light, Memoirs by Huygens, Young and Fresnel. Edited by Henry

Crew. American Book Company, 1900.

42. Traite de la Lumière; avec, Un discours de la cause da la pesanteur, 1690, Christiaan

Huygens, Facimile Reprint. Dawson, London, 1966.

:המופיעים בספרמקוריים תמציות וקטעי מאמרים

43. Magie, W. F. (1935). A Source Book in Physics. McGraw–Hill Book Company, New

York and London.

(I) Von Guerike, The air pump, p.80.

(II) Hook, Law of elastic force, p.93.

(III) Mersenne, Musical tones produced by strings, p. 115.

גלים ואופטיקה

152

(IV) Sauveur, Harmonics or Overtones, p. 119

(V) Fourier, Theory of dimensions, p. 175.

(VI) Descartes, Refraction of light, p. 265, and The rainbow, p.273.

(VII) Fermat, Refraction of light, p. 278.

(VIII) Bartholinus, Double refraction, p. 280.

(IX) Huygens, Huygen's principle, p. 283.

(X) Grimaldi, Diffraction of light, p. 294.

(XI) Newton, Dispersion of light, p. 298, and The nature of light, p. 305

(XII) Young, Interference of light, p. 308

(XIII) Malus, Polarization and Reflection, p. 315.

(XIV) Fresnel, Diffraction of light, p. 319.

(XV) Arago and Fresnel, Interference of polarized light, p. 325.

(XVI) Roemer, The velocity of light, p. 335.

(XVII) Bradly, The velocity of light, p. 337.

(XVIII) Fizeau, The velocity of light, p. 340.

(XIX) Foucault, The velocity of light, p. 343.

(XX) Faraday, Magnetic rotation of the plane of polarization, p. 352.

(XXI) Kirchhoff, The Fraunhoffer lines, p. 354.

(XXII) Michelson and Morley, The Michelson–Morley experiment, p. 369.

(XXIII) Gilbert, Magnetism and electricity, p. 387.

(XXIV) Oersted, The action of currents on magnets, p. 437.

(XXV) Maxwell, A dynamical theory of the electromagnetic field, p. 528.

(XXVI) Hertz, Electric radiation, p. 549.

ספרים אלקטרוניים

44. Biographies of Distinguished Scientific Men by Francois Arago, Project Gutenberg,

http://www.gutenberg.org/

45. De Anima (On the Soul), Great Books Index, http://books.mirror.org/gb.aristotle.htm

46. Encyclopædia Britannica, Eleventh Edition, http://1911encyclopedia.org/

47. Experimental Researches in Electricity, Volume 1 by Michael Faraday, Project

Gutenberg, http://www.gutenberg.org/

48. Faraday as a Discoverer, by John Tyndall, BootLegBooks.com

http://www.bootlegbooks.com/

49. Meteorology, Aristotle, Great Books Index, http://books.mirror.org/gb.aristotle.htm

50. Micrographia by Robert Hooke, Project Gutenberg http://www.gutenberg.org/

51. Œuvres D'Augustin Fresnel (Paris, 1866), Internet Archive http://www.archive.org/

מבוא: 1פרק

153

52. On the Nature of Things, by Lucretius, Translated by William Ellery Leonard

http://classics.mit.edu/Carus/nature_things.html

53. Treatise on Electricity and Magnetism, James Clerk Maxwell, Internet Archive

http://www.archive.org/

מאמרים54. Adawi, I. (1989). Centennial of Hertz' radio waves. Am. J. Phys. 57, 125.

55. Allen, J. E. (1998). The early History of Solitons (Solitary Waves). Physica Scripta 57,

436–441.

56. Barr, E. S. (1960). Historical Survey of the Early Development of the Infrared Spectral

Region. Am. J. Phys. 28, 42.

57. Beyer, R. T. (1973). Nonlinear Acoustics. Am. J. Phys. 41, 1060–1067.

58. Beyer, R. Y. (1978). Radiation Pressure - the history of a mislabeled tensor. J. Acoust.

Soc. Am. 63, 1025.

59. Bohren, C. F., Fraser, A. B., & Shapiro, A. E. (1992). Comment on "Newton's zero–

order rainbow: Unobservable or nonexistent?" Am. J. Phys. 60, 749–750.

60. Boyer, C. B. (1950). Kepler's Explanation of the Rainbow. Am. J. Phys.18, 360–366.

61. Boyer, C. B. (1952). William Gilbert on the Rainbow. Am. J. Phys. 20, 416–421.

62. Broek, J. A. Van Den (1955). Isochronal Spiral Regulator. Am. J. Phys. 23, 224–239.

63. Buchwald, J. Z.(1989). The battle between Arago and Biot over Fresnel. J. Optics

(Paris), 20, 109.

64. Bunge, M. (1965). Mach's Critique of Newtonian Mechanics. Am. J. Phys. 34, 585–596.

65. Cannell, D. M. (1999). George Green: An Enigmatic Mathematician . The

American Mathematical Monthly, 106, 136.

66. Cantor, G. N. (1984). Was Thomas Young a wave theorist? Am. J. Phys. 52 (4), 305.

67. Cazden, N. (1980). The Definition of Consonance and Dissonance. International Review

of the Aesthetics and Sociology of Music, 11, 123–168.

68. Chen, X. (1997). The debate on the "polarity of light" during the optical revolution.

Archive for History of Exact Sciences, 50, 359–393.

69. Cohen, I. B. (1940). Roemer and the First Determination of the Velocity of Light

(1676). Isis, 31, 327–379.

70. Craik, A. D. D. (2004). The Origins of Water Wave Theory. Annu. Rev. Fluid

Mech. 36, 1.

71. Craik, A. D. D. (2005). George Gabriel Stokes on Water Wave Theory. Annu.

Rev. Fluid Mech. 37, 23–42.

גלים ואופטיקה

154

72. Darrigol, O. (2003). The Spirited Horse, the Engineer and the Mathematician: Water

waves in Nineteen–Century Hydrodynamics. Arch. Hist. Exact Sci. 58, 21–95.

73. Dauben, J. W. (1985). Sophie Germain. An Essay in the History of the Theory of

Elasticity. Review Author The American Mathematical Monthly, 92, 64.

74. Davies, B. (1974). Edme Mariotte (c.1620–1684). Phys. Educ. 9, 275–278.

75. De Jager, E. M. (2006). On the origin of the Korteweg–de Vries equation.

http://arxiv.org/abs/math.HO/0602661.

76. Eastwood, B. S. (1970). Robert Grosseteste on Refraction Phenomena. Am. J. Phys. 38,

196–199.

77. Erlichson, H. (1996). Christiaan Huygens' discovery of the center of oscillation formula.

Am. J. Phys. 64, 571–574.

78. Erlichson, H. (1997). The young Huygens solves the problem of elastic collisions. Am.

J. Phys. 65, 149–154.

79. Ferraro, R. & Sforza, D. M. (2005). Arago (1810): the first experimental result

against the ether. Eur. J. Phys. 26, 195.

80. Frankel, E. (1976). Corpuscular Optics and the Wave Theory of Light: The Science and

Politics of a Revolution in Physics. Social Studies of Science, 6, 141–184.

81. Frercks, J. (2005). Fizeau's Research Program on Ether Drag: A Long Quest for

Publishable Experiment. Phys. Perspect. 7, 35.

82. Gee, B. (1983). Through a hole in the window–shutter. Part 2. Phys. Educ. 18,

140–143.

83. Gentry, J. W. (1997). The Legacy of John Tyndall in Aerosol Science. J. Aerosol

Sci. 28, 1365.

84. Girill, T. R. (1972). The First Law of Elasticity. Am. J. Phys. 40, 16–20.

85. Handschy, M. A. (1982). Re–Examination of the 1887 Michelson–Morley Experiment.

Am. J. Phys. 50, 987.

86. Hartman, H. I. (2003). On Mach's critique of Newton and Copernicus. Am. J. Phys. 71,

1163–1169.

87. Houston, W. V. (1955). Physics in Engineering. Am. J. Phys. 23, 610.

88. Howard, J. (2004). 'Physics and fashion': John Tyndall and his audiences in mid–

Victorian Britain. Stud. Hist. Phil. Sci. 35, 729–758.

89. Jackson, J. D. & Okun, L. B. (2001). Historical roots of gauge invariance. Rev. Mod.

Phys. 73, 663–680.

90. Jones, A. T. (1935). The Discovery of Difference Tones. Am. J. Phys. 3, 49.

מבוא: 1פרק

155

91. Kelly, E. M. (1963). Maxwell's Equations as Properties of Vortex Sponge. Am. J. Phys.

31, 785.

92. Kirchner, F. (1957). Determination of the Velocity of Light from Electromagnetic

Measurments According to W. Weber and R. Kohlrausch. Am. J. Phys. 25, 623.

93. Korff, S. A. & Breit, G. (1932). Optical Dispersion. Rev. Mod. Phys. 4, 471.

94. Kracht M. & Kreyszig E. (1990). E. W. von Tschirnhaus: His Role in Early Calculus

and His Work and Impact on Algebra. Historia Mathematica, 17, 16–35.

95. Krumm, H. P. & Scourfield, M. W. J. (1986). The Light in Maxwell's wave equation.

Eur. J. Phys. 7, 189–194.

96. Leitner, A. (1975). The life and works of Joseph Fraunhofer (1787–1826). Am. J.

Phys. 43, 59.

97. Lenihan, J. M. A. (1951). Mersenne and Gassendi, an early chapter in the history of

sound. Acustica 1, 96–97.

98. Lilienfeld, P. (2004). A Blue Sky History. Optics & Photonics News, 32.

99. Lindsay, R. B. (1940). William Gilbert and Magnetism in 1600. Am. J. Phys. 8, 271–

282.

100. Matthews, M. R., Gauld, C., & Stinner, A. (2004).The pendulum: Its Place in Science,

Culture and Pedagogy. Science & Education, 13, 261.

101. Miles, J. W. (1981). The Korteweg–de Vries equation: a historical essay. J. Fluid Mech.

106, 131–147.

102. Mulligan, L. (1996). Self–Scrutiny and the Study of Nature: Robert Hooke's Dairy a

Natural History. The Journal of British Studies, 35, 311.

103. Narasimhan, N., T. (1999). Fourier's heat conduction equation: History, influence, and

connections. Reviews of Geophysics, 37, 151–172.

104. Nauenberg, M. (1994). Hooke, orbital motion, and Newton's Principia. Am. J. Phys. 62,

331–350.

105. Partington, R. & McKie, D. (1938). Historical Studies on the Phlogiston Theory.–III.

Light and Heat in Combustion. Annals of Science, 3, 337–371.

106. Pedersen, K. M. (2000). Water-Filled Telescopes and the Pre-History of Fresnel's

Ether dragging. Arch. Hist. Exact Sci. 54,499–564.

107. Pittenger, H. W. (1965). Ernst Mach: Biographical Notes. Science 150, 1120-1122.

108. Rashed, R. (1990). A pioneer in anaclastics: Ibn Sahl on burning mirrors and lensesIsis,

81: 464–491.

109. Reichenbach, H. (1983). Contributions of Ernst Mach to Fluid Mechanics. Ann. Rev.

Fluid Mech. 15, 1–28.

גלים ואופטיקה

156

110. Rossing, T. D. (1982). Chladni's law for vibrating plates. Am. J. Phys. 50, 271.

111. Scarpello, G. M. & Aldo, S. (2005). The Work of Tschirnhaus, La Hire and Leibniz on

Catacaustics and the Birth of the Envelopes of Lines in the 17th Century. Archive for

History of Exact Sciences, 59, 223–250.

112. Schagrin, M. L. (1974). Early Observations and Calculations on Light Pressure. Am. J.

Phys. 42, 927.

113. Shankland, R. S. (1963). Conversations with Albert Einstein. Am J. Phys. 31, 47.

114. Shankland, R. S. (1964). Michelson–Morley Experiment. Am. J. Phys. 32, 16.

115. Shea, J. H. (1998). Ole Rømer, the speed of light, the apparent period of Io, the Doppler

Effect, and the dynamics of Earth and Jupiter. Am. J. Phys. 66, 561.

116. Smith, A. M. (2004).What is the History of Medieval Optics Really About? Proc. Am.

Phil. Soc. 148, 180.

117. Sparberg, E. B. (1966). Misinterpretation of Theories of Light. Am. J. Phys. 34, 377.

118. Tyndall, J. (1868). On the Blue Colour of the Sky, the Polarization of Skylight,

and on the Polarization of Light by Cloudy Matter Generally. Proc. Roy. Soc.

Lond. 17, 223.

119. Watson, E. C. (1939). Edme Mariotte (c. 1620–1684). Am. J. Phys. 7, 230–232.

120. Wheeler, G. F. & Crummett, W. P. (1987). The vibrating string controversy. Am. J.

Phys. 55, 33.

121. Wilkins, D. R. (2005). William Rowan Hamilton: mathematical genius. Physics

World, August, 33.

122. Yamalidou, M. (1999). John Tyndall, The Rhetorician of Molecularity. Part one.

Crossing the Boudary towards the Invisibile. Notes Rec. R. Soc. Lond. 53, 231–

242.

אינטרנטאתרי

123. Conical Refraction, from

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/ConicalRefraction/

124. Encyclopædia Britannica, Eleventh Edition, from http://1911encyclopedia.org/

125. Hamilton's Papers on Geometrical Optics, from

http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Optics.html

126. Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles–Lettres de Berlin, from

http://perso.orange.fr/dboudin/zGalerie/AcademieBerlin.html#1765

מבוא: 1פרק

157

127. Kristjansson, L. Iceland Spar: The Helgustadir Calcite Locality and its Influence on the

Development of Science, University of Iceland, from

http://www.nagt.org/files/nagt/jge/abstracts/Kristjansson_v50n4p419.pdf

128. O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. (2002). Light through the ages: Ancient Greece to

Maxwell. from http://www–history.mcs.st–andrews.ac.uk/ HistTopics/ Light_1.html

129. The Euler Archive, from http://www.eulerarchive.com/

130. The Royal Institution of Great Britain, from http://www.rigb.org/

131. Zalta, E. N. (Ed.) Stanford Encyclopedia of Philosophy, from http://plato.stanford.edu/