ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ Σύνοψη Στο δωδέκατο τούτο κεφάλαιο περιγράφεται το εναλλασσόμενο ρεύμα και ορίζονται οι έννοιες της ενεργού τιμής τάσεως και ρεύματος. Μελετώνται τa κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος με πυκνωτή και επαγωγέα, και καθορίζονται οι φυσικές ποσότητες της χωρητικής και επαγωγικής αντίστασης. Επίσης μελετάται το κύκλωμα αντιστάτη-πυκνωτή-επαγωγέα (κύκλωμα RLC), και ορίζονται η σύνθετη αντίσταση και η γωνία φάσης κυκλώματος. Τέλος περιγράφονται οι μετασχηματιστές και η λειτουργία τους στην μεταφορά ηλεκτρικής ισχύος. Προαπαιτούμενη γνώση Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Νόμος του Faraday. Αυτεπαγωγή. 12.1 Εισαγωγικά Στο κεφάλαιο 10 περιγράψαμε την αρχή λειτουργίας της ηλεκτρογεννήτριας εναλλασσομένου ρεύματος, με την δημιουργία μιας αρμονικά μεταβαλλόμενης τάσης εξ επαγωγής. Όταν το μέτρο και η πολικότητα της τάσης μεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο, η τάση ονομάζεται εναλλασσόμενη τάση και το αντίστοιχο ρεύμα που παράγεται εναλλασσόμενο ρεύμα, διότι η φορά του ρεύματος στο κύκλωμα αλλάζει με περιοδικό τρόπο(Sears, 1951), (Benumof, 1961), (Halliday, Resnick & Krane, 2009). Έτσι λοιπόν, εάν περιστρέφουμε με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω ένα κλειστό αγώγιμο πλαίσιο ή πηνίο μέσα σ’ ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο, στα άκρα του πηνίου αναπτύσσεται μια εναλλασσόμενη τάση, ίση με ο sin V V ωt (12.1) όπου V ο είναι η μέγιστη τιμή της τάσης που ονομάζεται πλάτος, ενώ ω είναι η γωνιακή συχνότητα, η οποία ορίζει την περίοδο Τ μεταβολής της τάσης (Grant & Phillips, 1975), (Halliday, Resnick & Walker, 2013), (Serway & Jewett, 2013). Το αντίστοιχο εναλλασσόμενο ρεύμα που δημιουργεί η εναλλασσόμενη τάση, είναι ο sin I I ωt (12.2) όπου I ο είναι η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος ή αλλιώς πλάτος του ρεύματος (Young & Freedman, 2010). Η συχνότητα f της τάσης V είναι 2 ω f π (12.3) Σήμερα για την διανομή της ηλεκτρικής ενέργειας από τον τόπο παραγωγής στον τόπο κατανάλωσης, χρησιμοποιείται αποκλειστικώς εναλλασσόμενη τάση με συνήθη συχνότητα f=50 Hz (50 κύκλοι), η οποία αντιστοιχεί σε κυκλική συχνότητα ω=314 rad/s. Στην οικία μας, το ρεύμα που χρησιμοποιούμε για την λειτουργία των ηλεκτρικών συσκευών, όπως το ραδιόφωνο, η τηλεόραση, το ψυγείο, κ.ά., είναι εναλλασσόμενο ρεύμα. Γιατί όμως αυτή η προτίμησή μας στο εναλλασσόμενο ρεύμα έναντι του συνεχούς; Η απάντηση ευρίσκεται στο ζήτημα της μεταφοράς της ηλεκτρικής ενέργειας από τον τόπο παραγωγής, π.χ. υδροηλεκτρικό ή άλλου είδους εργοστάσιο, στον τόπο κατανάλωσης, όπως οικίες, βιομηχανίες κλπ. Όταν πρόκειται να μεταφέρουμε ηλεκτρική ενέργεια σε μεγάλες αποστάσεις (εκατοντάδες ή χιλιάδες χιλιόμετρα), θεμελιώδες ζήτημα είναι η ελαχιστοποίηση των απωλειών της. Έτσι είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε εναλλασσόμενο ρεύμα (alternative current –AC), αντί συνεχές ρεύμα (direct current – DC), διότι: α) συμβαίνει μικρότερη απώλεια ενέργειας στις γραμμές μεταφοράς, και β) μπορούμε να ανυψώνουμε ή να υποβιβάζουμε το πλάτος της έντασής του ευκολότερα. Παραδείγματος χάριν, για ενέργεια δεδομένης ισχύος, η μεταφορά είναι οικονομικότερη όταν γίνεται με υψηλή τάση, διότι τότε το ρεύμα είναι χαμηλό, όπως και οι απώλειες ενέργειας στις γραμμές μεταφοράς (βλ. εξ. 7.4). Γι’ αυτόν τον λόγο χρησιμοποιούνται γραμμές μεταφοράς ενέργειας με τάση 350 kV, ενώ τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται ακόμη και 765 kV. Όμως, στην καθημερινή χρήση του ηλεκτρικού ρεύματος για την λειτουργία των οικιακών συσκευών, οι
20
Embed
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ · 2016. 6. 8. · 4 (12.13) V I R V I R V Vεν εν εν ο εν ο 0.707 0.707 (12.14) (Grant & Phillips, 1975), (Αλεξόπουλος
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12
ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ
Σύνοψη
Στο δωδέκατο τούτο κεφάλαιο περιγράφεται το εναλλασσόμενο ρεύμα και ορίζονται οι έννοιες της
ενεργού τιμής τάσεως και ρεύματος. Μελετώνται τa κυκλώματα εναλλασσομένου ρεύματος με πυκνωτή και
επαγωγέα, και καθορίζονται οι φυσικές ποσότητες της χωρητικής και επαγωγικής αντίστασης. Επίσης μελετάται
το κύκλωμα αντιστάτη-πυκνωτή-επαγωγέα (κύκλωμα RLC), και ορίζονται η σύνθετη αντίσταση και η γωνία
φάσης κυκλώματος. Τέλος περιγράφονται οι μετασχηματιστές και η λειτουργία τους στην μεταφορά ηλεκτρικής
ισχύος.
Προαπαιτούμενη γνώση
Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. Νόμος του Faraday. Αυτεπαγωγή.
12.1 Εισαγωγικά
Στο κεφάλαιο 10 περιγράψαμε την αρχή λειτουργίας της ηλεκτρογεννήτριας εναλλασσομένου
ρεύματος, με την δημιουργία μιας αρμονικά μεταβαλλόμενης τάσης εξ επαγωγής. Όταν το μέτρο και η
πολικότητα της τάσης μεταβάλλεται περιοδικά με τον χρόνο, η τάση ονομάζεται εναλλασσόμενη τάση και το
αντίστοιχο ρεύμα που παράγεται εναλλασσόμενο ρεύμα, διότι η φορά του ρεύματος στο κύκλωμα αλλάζει με
Παράδειγμα 12.2 Κύκλωμα RC εναλλασσομένου ρεύματος Σ’ ένα κύκλωμα AC ρεύματος, όπως αυτό του σχήματος 12.4, είναι συνδεδεμένα μια αντίσταση 300
Ω και ένας πυκνωτής με χωρητικότητα 10 μF. Η τάση στα άκρα της αντίστασης δίδεται από την σχέση 31.50Vsin[(2 10 rad/s) ]RV t . α) Προσδιορίστε την έκφραση για την
ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα. β) Υπολογίστε την χωρητική εμπέδηση
του κυκλώματος. γ) Προσδιορίστε την σχέση για την τάση στα άκρα του
πυκνωτή.
Λύση α) Από το νόμο του Ohm ευρίσκουμε το ρεύμα που διαρρέει την
αντίσταση και επομένως αυτό του κυκλώματος, άρα
33 3150Vsin[(2 10 rad/s) ]
2 10 sin[(2 10 rad/s) ]300
RV tI I t
R
β) Η χωρητική εμπέδηση δίνεται ως
3 6
1 150
( rad/s) 10 10 F2 10C C CX X X
ωC
γ) Η τάση στα άκρα του πυκνωτή παρουσιάζει, σύμφωνα με την θεωρία που αναπτύξαμε πιο πάνω, μια
καθυστέρηση φάσης ίση με π/2 σε σχέση με το ρεύμα, επομένως ισχύει
3
ο οsin( ) [sin(2 10 rad/s) rad]2 2
C C C C
π πV V ωt V V t
Υπολογίζουμε το πλάτος της τάσης VοC από την σχέση
3
ο ο ο ο50 5 10 A 0.25VC C C CV X I V V
Τελικώς για την τάση του πυκνωτή στο κύκλωμα του AC ρεύματος στο σχ. 12.4, ισχύει
3 rad0.25Vsin[(2 10 ) ]
s 2C
πV t
12.4 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με επαγωγέα
Ας μελετήσουμε τώρα ένα απλό κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος, το οποίο αποτελείται από έναν
ιδανικό επαγωγέα L με μηδενική αντίσταση, και μια γεννήτρια AC τάσης, όπως δείχνει το σχ. 12.5α. Η
γεννήτρια δίνει AC τάση και ρεύμα αρμονικής μορφής, όπως περιγράφονται από τις εξισώσεις 12.1 και 12.2,
αντιστοίχως. Στα άκρα του επαγωγέα αναπτύσσεται επαγωγική τάση, η οποία σύμφωνα με το νόμο του
Faraday είναι
R
C V I
Σχήμα 12.4 Κύκλωμα
εναλλασσομένου ρεύματος με
πηγή τάσης V, αντίσταση R και
χωρητικότητα C, συνδεδεμένα
εν σειρά (παράδειγμα 12.2).
7
ο ο( sin ) cosL L
dI dV L L I ωt V LωI ωt
dt dt (12.26)
Όσο αυξάνεται το ρεύμα στο κύκλωμα, μία αντίθετης πολικότητας τάση VL αναπτύσσεται στα άκρα του
επαγωγέα, έτσι ώστε να δώσει ρεύμα αντιθέτου φοράς και να αντιταχθεί στην αύξηση του ρεύματος από την
γεννήτρια, σύμφωνα με το νόμο της ηλεκτρομαγνητικής επαγωγής. Το αντίθετο συμβαίνει όταν το ρεύμα
ελαττώνεται. Από την εξ. 12.26, συμπεραίνουμε ότι η επαγωγική τάση VL στα άκρα του επαγωγέα είναι
αρμονική συνάρτηση με διαφορά φάσης π/2 από το ρεύμα Ι (εξ. 12.2), μιας και το συνημίτονο διαφέρει σε
φάση από το ημίτονο 90ο μοίρες, ή αλλιώς π/2 ακτίνια. Πράγματι, όπως φαίνεται στο σχ. 12.5β, η επαγωγική
τάση μεγιστοποιείται όταν
το ρεύμα μηδενίζεται.
Έτσι μπορούμε να ειπούμε
ότι στο κύκλωμα AC
τάσεως με επαγωγέα L, η
τάση προηγείται του
ρεύματος κατά φάση π/2,
ή αλλιώς χρόνο Τ/4 (σχ.
12.5β) (Halliday, Resnick
& Krane, 2009), (Giancoli,
2012), (Young &
Freedman, 2010). Με
βάση τα παραπάνω, μια
ισοδύναμη έκφραση της
εξίσωσης 12.26, η οποία
δείχνει καθαρά ότι η AC επαγωγική τάση VL προηγείται του ρεύματος, όταν η γεννήτρια συνδέεται με
επαγωγέα, είναι η ακόλουθη,
ο οsin ) sin )2 2
( (L L L
π πLωI ωt ωtV V V (12.27)
όπου το πλάτος της επαγωγικής τάσης VL είναι η μέγιστη τιμή της, ίση με VοL , για την οποία ισχύει
ο οLV LωI (12.28)
Βάσει της σχέσης μεταξύ τάσης και ρεύματος στο νόμο του Ohm, οδηγούμαστε σε αντιστοίχιση της
επαγωγικής τάσης και του ρεύματος μέσω της εξίσωσης
ο οL LV X I (12.29)
όπου ΧL ορίζεται η επαγωγική αντίσταση ή επαγωγική εμπέδηση του κυκλώματος L εναλλασσομένου
Η επαγωγική εμπέδηση αυξάνεται με την σταθερά αυτεπαγωγής L του επαγωγέα, αλλά και με την συχνότητα
ω της AC τάσης. Οι μονάδες μέτρησης της επαγωγικής αντίστασης στο ΔΣΜ είναι το Ohm, όπως ακριβώς η
ωμική αντίσταση R, αλλά και η χωρητική εμπέδηση XC. Ωστόσο, η επαγωγική αντίσταση είναι διαφορετική
φυσική ποσότητα από την ωμική αντίσταση. Για παράδειγμα, ενώ ισχύει V=RI, δεν ισχύει V=ΧLI, μιας και
όπως δείξαμε και παρατηρούμε στο σχ.12.5β, τα V και I δεν είναι σε φάση. Η εξ. 12.27 απλώς συνδέει
αριθμητικώς τα πλάτη VοL και Ιο , χωρίς αυτά ποτέ να παίρνουν ταυτοχρόνως τις τιμές αυτές. Στο ίδιο
ακριβώς συμπέρασμα καταλήξαμε και για την χωρητική αντίσταση ΧC (βλ. προηγούμενο εδάφιο). Σχετικά με
την τιμή της επαγωγικής αντίστασης, για δεδομένο επαγωγέα L, όσο πιο απότομα αλλάζει το ρεύμα (μεγάλο
ω), τόσο μεγαλύτερη είναι η ΧL , δηλ. τόσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση του πηνίου στην αύξηση του
ρεύματος στο κύκλωμα. Από την εξ. 12.29, για δεδομένη τάση VοL , το ρεύμα Ιο είναι τόσο μικρότερο, όσο
μεγαλύτερη είναι η επαγωγική αντίσταση ΧL. Για παράδειγμα, εάν η συχνότητα ω είναι πολύ μεγάλη,
μεγαλώνει και η ΧL , με αποτέλεσμα το πλάτος του ρεύματος Ιο να γίνεται πολύ μικρό, και να μην διαδίδονται
εύκολα στο κύκλωμα τα σήματα υψηλής συχνότητας. Έτσι, το AC κύκλωμα με τον επαγωγέα του σχήματος
L
Σχήμα 12.5 (a) Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με γεννήτρια AC τάσης V και
επαγωγέα L. (β) Μεταβολή του ρεύματος και της τάσης στα άκρα του επαγωγέα
συναρτήσει του χρόνου.
V I
(α)
T 2T
VοL
Iο
I,VL
T/2 3T/2 -Iο
t
-VοL
(β)
8
12.5α, αποτελεί ένα φίλτρο αποκοπής υψηλών συχνοτήτων. Τέτοια φίλτρα χρησιμοποιούνται σε διάφορα
τροφοδοτικά, ή σε συσκευές συμβολής ραδιοκυμάτων, όπου η διέλευση υψηλών συχνοτήτων είναι
ανεπιθύμητη. Αντιθέτως, τα χαμηλής συχνότητας σήματα μπορούν να διέρχονται από ένα τέτοιο κύκλωμα, το
οποίο ονομάζεται φίλτρο διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων, ή βαθυπερατό φίλτρο (Young & Freedman,
2010), (Knight, 2010), (Giancoli, 2012). Υψιπερατά και βαθυπερατά φίλτρα χρησιμοποιούνται στα ηχεία
μεγαφώνων, όπου στα μεγάφωνα υψηλών συχνοτήτων (τουίτερς), ένας πυκνωτής λειτουργεί ως υψιπερατό
φίλτρο, ενώ στα μεγάφωνα χαμηλών συχνοτήτων (γούφερς), ένα πηνίο λειτουργεί ως βαθυπερατό φίλτρο.
Έτσι, τα τουίτερς δίνουν μόνο ήχους υψηλών συχνοτήτων (πρίμα), ενώ τα γούφερς δίνουν μόνο ήχους
χαμηλών (μπάσα).
Παράδειγμα 12.3 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με επαγωγέα Το πλάτος ρεύματος στο πηνίο ενός ραδιοφώνου πρέπει να είναι 280 μΑ, όταν το πλάτος τάσης του
πηνίου είναι 3.45 V για συχνότητα 100 ΜΗz (ραδιοφωνική λήψη στη ζώνη των FM). α) Πόση πρέπει να είναι
η επαγωγική εμπέδηση XL, και πόση η σταθερά αυτεπαγωγής L του πηνίου; β) Αν το πλάτος της τάσης στο
πηνίο διατηρηθεί σταθερό, πόσο θα είναι το πλάτος του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο για λήψη σήματος
του ραδιοφώνου στη συχνότητα των 16 MHz (ραδιοφωνική λήψη στη ζώνη των βραχέων -SW);
Λύση α) Για τα πλάτη της ΑC τάσης και ρεύματος στο πηνίο ισχύει η σχέση
4οο ο 6
ο
3.45V1.23 10
280 10 A
LL L L L L
VV X I X X X
I
Γνωρίζοντας την επαγωγική εμπέδηση, μπορούμε να υπολογίσουμε την σταθερά αυτεπαγωγής L του πηνίου,
ως
4(12.3)5
6
1.23 101.96 10 H
2 2 100 10 Hz
L LL
X XX Lω L L L
ω πf π
β) Από την σχέση των πλατών εξ. 12.29 παίρνουμε
ο ο οο ο ο6 5
3.45V1.75mA
2 2 ×16×10 Hz 1.96 10 H
L L L
L
V V VI I I
X ωL πfL π
Γενικότερα ισχύει ότι, όσο μικρότερη είναι η συχνότητα ταλάντωσης της AC τάσης στα άκρα ενός πηνίου,
τόσο μεγαλύτερο είναι το πλάτος του ΑC ρεύματος που το διαρρέει.
12.5 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος με αντιστάτη, επαγωγέα και πυκνωτή,
σε σύνδεση εν σειρά (AC κύκλωμα RLC)
Ένα πιο σύνθετο κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος είναι αυτό που περιέχει και τα τρία
διαφορετικά στοιχεία, δηλ. αντιστάτη, επαγωγέα και πυκνωτή. Κάθε τέτοιο κύκλωμα ονομάζεται AC
κύκλωμα RLC. Πιο ειδικώς, όταν η σύνδεση των τριών στοιχείων R, L και C, γίνεται σε σειρά (σειριακή
σύνδεση), όπως φαίνεται στο σχ. 12.6α, τότε το κύκλωμα ονομάζεται σειριακό κύκλωμα RLC (Knight,
2010). Όταν «κλείσει» ο διακόπτης S, και αφού προηγουμένως περάσει κάποιος χρόνος, η γεννήτρια AC
ρεύματος παρέχει στο κύκλωμα τάση και ρεύμα που περιγράφονται από τις σχέσεις 12.1 και 12.2. Για την
διαφορά δυναμικού στα άκρα της πηγής εναλλασσομένου ρεύματος V=Vad , ισχύει
ad ab bc cd C L RV V V V V V V V (12.31)
Ενώ όμως, κάθε στοιχείο του κυκλώματος διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα ο sinI I ωt , όπως δείξαμε
στα προηγούμενα εδάφια, οι τάσεις στα άκρα του πυκνωτή και του επαγωγέα, παρουσιάζουν διαφορά φάσης
π/2 με το ρεύμα. Συγκεκριμένα, η τάση του πυκνωτή VC έπεται του ρεύματος, δηλ. ο sin( )2
C C
πV V ωt .
9
Αντιθέτως, η τάση του επαγωγέα VL προηγείται του ρεύματος, δηλ. ο sin( )2
L L
πV V ωt , ενώ η τάση
στα άκρα του αντιστάτη VR είναι πάντα σε φάση με το ρεύμα (βλ. εδάφιο 12.2). Για τα πλάτη των τάσεων στα
άκρα κάθε στοιχείου του κυκλώματος ισχύουν αντιστοίχως οι σχέσεις, VοC=IοXC , VοL=IοXL και VοR=IοR. Οι
τάσεις λοιπόν στα άκρα του επαγωγέα, του αντιστάτη, και του πυκνωτή, διαφέρουν μεταξύ τους ανά δύο κατά
φάση π/2, όπως δείχνει το σχ. 12.6β. Οι πιο πάνω πληροφορίες για το AC σειριακό κύκλωμα RLC,
παρουσιάζονται στον πίνακα 12.1.
Πίνακας 12.1 Στοιχεία του κυκλώματος RLC εναλλασσομένου ρεύματος (σχ. 12.6).
Jewett, 2013). Εάν δηλ. το ρεύμα δίνεται ως o sinI I ωt , η τάση θα δίνεται ως o sin( )V V ωt φ . Εάν η
επαγωγική εμπέδηση XL είναι μεγαλύτερη από την χωρητική εμπέδηση XC, δηλ. ισχύει XL>XC , τότε η γωνία
φ είναι θετική, και η τάση V προηγείται του ρεύματος Ι, όπως δείχνει το σχ. 12.7α . Αντιθέτως, εάν ισχύει
XL<XC , τότε η γωνία φ είναι αρνητική, και η τάση έπεται του ρεύματος,, όπως δείχνει το σχ. 12.7β. Η σχέση
12.35 για την Ζ, ισχύει και όταν απουσιάζει κάποιο από τα τρία στοιχεία του κυκλώματος, εφόσον όμως η
σύνδεση παραμένει σειριακή. Έτσι λοιπόν, όταν λείπει η αντίσταση, στην εξ. 12.35 έχουμε R=0, όταν λείπει
ο επαγωγέας έχουμε L=0, ενώ όταν λείπει ο πυκνωτής έχουμε C→∞, διότι τότε XC=0.
Τέλος πρέπει να επισημάνουμε, ότι η παραπάνω ανάλυση που κάναμε για το AC κύκλωμα RLC,
ισχύει μόνο για σειριακή σύνδεση των R, L και C στοιχείων με την πηγή. Για κάθε άλλη σύνδεση, θα πρέπει
να κάνουμε αντίστοιχη ανάλυση. Επίσης, η ανάλυση της λειτουργίας του κυκλώματος, έγινε για αρκετό
χρόνο μετά το κλείσιμο του διακόπτη S (σχ. 12.6α), όπου η λειτουργία του κυκλώματος σταθεροποιείται, μιας
και αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη, μπορεί να εμφανιστούν πρόσθετες τάσεις και ρεύματα, τα οποία
ονομάζονται μεταβατικά. Επιπλέον, για λόγους ευκολίας, θεωρήσαμε ότι η αρχική φάση φο της AC τάσης (εξ.
12.1) είναι μηδέν. Όλα τα παραπάνω ισχύουν και για αρχική φάση διάφορη του μηδενός (φο≠0), η οποία όμως
θα πρέπει να εμπεριέχεται σε όλες τις αρμονικώς μεταβαλλόμενες ποσότητες.
Παράδειγμα 12.4 Κύκλωμα εναλλασσομένου ρεύματος RLC σε σειριακή σύνδεση Σ’ ένα AC κύκλωμα RLC σειριακής σύνδεσης, όπως αυτό του σχήματος 12.6α, υπάρχουν τα στοιχεία
R=300 Ω, L=60 mH και C=0.50 μF. Η μέγιστη εναλλασσόμενη τάση που επιτυγχάνεται είναι Vο=50 V, ενώ η
γωνιακή συχνότητα του εναλλασσομένου ρεύματος είναι ω=104 rad/s. Να ευρείτε τα XL,, XC , Ζ, το μέγιστο
ρεύμα Ιο και τη γωνία φάσεως φ του κυκλώματος. Επίσης υπολογίστε τις μέγιστες τάσεις στα άκρα του κάθε
στοιχείου, δηλ. τα VοL , VοC και VοR.
Λύση Η επαγωγική εμπέδηση XL είναι
3 460 10 10 rad/s 600L LX Lω X
Η χωρητική εμπέδηση XC είναι
6 4
1 1200
0.5 10 F 10 rad/sC CX X
Cω
H σύνθετη αντίσταση Ζ του κυκλώματος είναι
2 2 2 2 4 2 4 2
4 2
( ) (300 ) (600 200 ) 9 10 16 10
25 10 500
L CZ R X X
Ζ
Ισχύει για τα πλάτη τάσεως και ρεύματος
o oo o
o
50V0.1
500
V VZ I I
I Z
Για την γωνία φάσεως του κυκλώματος ισχύει
ο600 200tan tan 1.33 arctan1.33 53
300
L CX Xφ φ φ φ
R
12
Επειδή XL>XC , η γωνία φ είναι θετική και η τάση V προηγείται του ρεύματος Ι. Εάν δηλ. για το ρεύμα ισχύει
o sinI I ωt , τότε για την τάση ισχύει, o sin( )V V ωt φ .
Για την μέγιστη τάση στα άκρα του πηνίου, ισχύει
o o o600 0.1 60VL L LV X I V
Για την μέγιστη τάση στα άκρα του πυκνωτή, ισχύει
o o o200 0.1 20VC C CV X I V
Για την μέγιστη τάση στα άκρα της αντίστασης ισχύει
o o o300 0.1 30VR RV RI V
12.5.1 Συντονισμός σε σειριακό κύκλωμα RLC
Αξίζει να σταθούμε λίγο περισσότερο στην εμπέδηση Ζ του
κυκλώματος RLC. Όπως αναφέραμε στο προηγούμενο εδάφιο, η
εμπέδηση Z εξαρτάται από την γωνιακή συχνότητα ω του AC ρεύματος
(εξ. 12.35). Έτσι λοιπόν, για δεδομένα στοιχεία R, L και C σε ένα
σειριακό κύκλωμα RLC, η εμπέδηση Ζ και συνεπώς οι επιμέρους
εμπεδήσεις XL,,και XC , μεταβάλλονται συναρτήσει της ω, όπως δείχνει
το σχ. 12.8. (Young & Freedman, 2010). Για δεδομένο πλάτος AC
τάσης Vo , το πλάτος του ρεύματος Ιο εξαρτάται από την τιμή της Ζ, διότι
από την εξ. 12.36 μπορούμε να γράψουμε
oo
VI
Z (12.38)
Βάσει αυτής της εξίσωσης, το πλάτος του ρεύματος γίνεται μέγιστο όταν η Ζ ελαχιστοποιείται. Αυτό
συμβαίνει όταν η επαγωγική εμπέδηση XL γίνει ίση με την χωρητική XC , μιας και τότε η εμπέδηση Ζ γίνεται
ίση με την ωμική αντίσταση R. Η συχνότητα ωο για την οποία ελαχιστοποιείται η Ζ, και άρα μεγιστοποιείται
το πλάτος του ρεύματος Ιο , ικανοποιεί την σχέση
2
o o o
o
1 1 1L CX X ω L ω ω
ω C LC LC (12.39)
Η μεγιστοποίηση του πλάτους του ρεύματος στην ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση σ’ ένα κύκλωμα RLC,
ονομάζεται συντονισμός, και η αντίστοιχη γωνιακή συχνότητα ωο για την οποία συμβαίνει ο συντονισμός,