ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ.1.1

Επιμέλεια: Κοντομάρης Στέλιος 1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

1. Ένα αυτοκίνητο διανύει απόσταση 120m σε χρόνο 4s με σταθερή ταχύτητα. Να

υπολογίσετε την τιμή της ταχύτητας του αυτοκινήτου και να κάνετε τα διαγράμματα

ταχύτητας - χρόνου και διαστήματος - χρόνου.

Λύση

Η ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι σταθερή. Επομένως το αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα

και ομαλά. Η ταχύτητα στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση δίνεται από τη σχέση:

sms

m

t

x/30

4

120

Διάγραμμα Ταχύτητας - Χρόνου

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

t(s)

υ(m

/s)

Διάγραμμα Διαστήματος - Χρόνου

0

50

100

150

0 1 2 3 4 5

t(s)

s(m

)

2. Μια ατμομηχανή έχει μήκος, ml 20 κινείται με ταχύτητα υ = 10m/s και περνά μια

γέφυρα μήκους s = 1.980 m. Για πόσο χρόνο θα βρίσκεται τμήμα της ατμομηχανής πάνω στη

γέφυρα; Λύση

ssm

mlstlst

t

ls200

/10

2000

Το αυτοκίνητο έχει σταθερή ταχύτητα

μέτρου 30m/s στα 4s της κίνησής του

Το διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο σε 4s

κίνησης θα είναι:

mss

mts 120430

Ο πίνακας τιμών που αντιστοιχεί στο διπλανό

διάγραμμα είναι:

)(st )(mx

0 0

4 120

Τμήμα της ατμομηχανής πάνω στη

γέφυρα θα βρίσκεται για διάστημα

s+l=1980m+20m=2000m. Δηλαδή από

τη στιγμή όπου το μπροστινό μέρος της

θα πατήσει πάνω σε αυτήν.

ms 1980

ml 20



Λύση

Α) Σε ένα διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου, το εμβαδό που περικλείεται από την γραμμή που

περιγράφει την ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου και τον άξονα του χρόνου ισούται

αριθμητικά με τη μετατόπιση του κινητού. Στη συγκεκριμένη άσκηση η μετατόπιση του

οχήματος ταυτίζεται με το διάστημα καθώς η κίνηση είναι ευθύγραμμη χωρίς να αλλάζει η

φορά κίνησης (δεν υπάρχουν αρνητικές ταχύτητες).

Στο χρονικό διάστημα ss 4020 το όχημα κινείται με σταθερή ταχύτητα sm /20 . Το εμβαδό

του ορθογωνίου 3 δίνει το διάστημα που διανύει το όχημα στο συγκεκριμένο χρονικό

διάστημα. Άρα:

ms

ms

s

mssYBs 400202020)2040(33

Επομένως το συνολικό διάστημα που διανύει το όχημα θα είναι το συνολικό εμβαδόν,

δηλαδή:

mmmssss 5004000100321321

Β) Η μέση ταχύτητα ορίζεται ως το πηλίκο του ολικού διαστήματος που διανύει το όχημα σε

συγκεκριμένο χρόνο κίνησης προς το χρόνο αυτό,

sms

m

t

s/5,12

40

500

3. Όχημα κάνει ευθύγραμμη κίνηση και το

διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου φαίνεται στην

εικόνα.

Α. Να βρεθεί το συνολικό διάστημα που διανύει

το όχημα.

Β. Ποια είναι η τιμή της μέσης ταχύτητας του

οχήματος;

Γ. Να γίνει το διάγραμμα διαστήματος - χρόνου.

Στα πρώτα 10s το όχημα κινείται με σταθερή

ταχύτητα 10m/s. Το εμβαδό του ορθογωνίου1

δίνει το διάστημα που διανύει το όχημα στο

συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Άρα:

ms

msYBs 100101011

Στο χρονικό διάστημα 10s-20s η ταχύτητα του

οχήματος μηδενίζεται, επομένως το όχημα

σταματάει. Άρα:

022 s

1

3



Γ)

4. Δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε ταυτόχρονα από τα σημεία A και B μιας ευθύγραμμης διαδρομής

κινούμενα αντίθετα με σταθερές ταχύτητες υ1 = 36km/h και υ2 = 54km/h αντίστοιχα.

Α. Να βρεθεί μετά από πόσο χρόνο και σε ποιο σημείο θα συναντηθούν τα αυτοκίνητα, αν

είναι AB=1km.

Β. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου και διαστήματος χρόνου και για τα δύο

κινητά σε κοινά συστήματα αξόνων.

Λύση

Α) Το πρώτο βήμα είναι να μετατρέψουμε τις μονάδες μέτρησης σε μονάδες S.I.

mkm 10001

ssh 36006060min160min601

Επομένως:

s

m

h

km

3600

100036361

s

m

36

1036

s

m10

s

m

h

km

3600

100054542

s

m

36

1054

s

m15

Τα δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε ταυτόχρονα τη χρονική στιγμή 00 t . Έστω t η χρονική στιγμή

στην οποία συναντώνται. Τη στιγμή συνάντησης το αυτοκίνητο 1 έχει διανύσει απόσταση x

και το αυτοκίνητο Β απόσταση xAB . Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με σταθερές

ταχύτητες. Επομένως:

Αυτοκίνητο 1: tx 1 (1)

Αυτοκίνητο 2: txAB 2 (2)

Στο χρονικό διάστημα 0-10s το όχημα διανύει

διάστημα ms 1001 .


διάστημα 02 s .


διάστημα ms 4003 .

Επομένως το συνολικό διάστημα που διανύει

είναι: mssss 500321 .

)(ms

)(st )0,0( 10 20 40

100

500

Α Β 2

1

x xAB

(+)



ABttAB 21 ABtt 21 t )( 21

21

ABt

s

m

s

m

mt

1510

1000

s

m

mt

25

1000 st 40

Επομένως συναντώνται μετά από s40 κίνησης.

Για να βρούμε το σημείο συνάντησης πρέπει να βρούμε το x .

Από τη σχέση (1) έχουμε: mss

mtx 40040101 .

Επομένως το σημείο συνάντησης απέχει m400 από το Α και mmxAB 4001000

m600 από το Β.

Β) Η ταχύτητα του πρώτου αυτοκινήτου είναι σταθερή και ίση με s

m101 . (Έχουμε

θεωρήσει ότι το αυτοκίνητο κατευθύνεται προς τη θετική κατεύθυνση. Για το λόγο αυτό η

ταχύτητα του 1 θα έχει θετικό πρόσημο).

Η ταχύτητα του δευτέρου αυτοκινήτου είναι σταθερή και ίση με s

m152 . (Έχουμε

θεωρήσει ότι το αυτοκίνητο κατευθύνεται προς την αρνητική κατεύθυνση. Για το λόγο αυτό

η ταχύτητα του 2 θα έχει αρνητικό πρόσημο). Επομένως το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου

για τα δύο αυτοκίνητα είναι αυτό που ακολουθεί.


-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

0 10 20 30 40 50

t(s)

υ(m

/s)

Στο διάγραμμα διαστήματος - χρόνου δεν λαμβάνουμε υπόψη την κατεύθυνση. Το πρώτο

αυτοκίνητο διανύει απόσταση m400 μέχρι τη στιγμή της συνάντησης, ενώ το δεύτερο m600 .


0

200

400

600

800

0 10 20 30 40 50

t(s)

s(m

)

Α

Β

Α

Β



5. Περιπολικό αρχίζει να καταδιώκει μοτοσικλετιστή που βρίσκεται σε απόσταση d = 500m

μπροστά από το περιπολικό. To περιπολικό έχει σταθερή ταχύτητα υπ = 30m/s, ενώ ο

μοτοσικλετιστής κινείται με σταθερή ταχύτητα υΜ =20m/s.

Να βρεθούν:

Α. O χρόνος t που απαιτείται για να φτάσει το περιπολικό τον μοτοσικλετιστή.

Β. To διάστημα που θα διανύσει το περιπολικό στο χρόνο αυτό.

Λύση

Α. Έστω t η χρονική στιγμή της συνάντησης. Τα δύο κινητά έχουν σταθερές ταχύτητες,

επομένως κινούνται ευθύγραμμα ομαλά. Τη χρονική στιγμή της συνάντησης t το περιπολικό

έχει διανύσει απόσταση txty )500( (1)

,ενώ η μοτοσικλέτα: tx (2)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στη σχέση (1): tttt 500500

stsm

mttt 50

/10

500)2030(500)(500 .

Β. Το διάστημα που διανύει το περιπολικό στο χρόνο αυτό είναι:

mss

mty 15005030 .

6. H εξίσωση κίνησης ενός ποδηλάτη που κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά είναι: x = 10t (x σε

m, t σε s). Να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για την κίνηση αυτή, από t = 0 μέχρι t =

5s. Να υπολογίσετε το διάστημα που διάνυσε ο ποδηλάτης σε 5s.

Λύση

Η εξίσωση της κίνησης του ποδηλάτη είναι tx 10 . Η εξίσωση αυτή είναι της μορφής

tx , όπου sm /10 . Επομένως ο ποδηλάτης εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με

ταχύτητα sm /10 . Σε χρονικό διάστημα st 5 , θα έχει διανύσει διάστημα ts

mss

m50510 .


0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

t(s)

υ(m

/s)

Ο ποδηλάτης κινείται με σταθερή ταχύτητα

10m/s. Επομένως το διάγραμμα ταχύτητας –

χρόνου θα έχει τη διπλανή μορφή.

x m500

y

Σημείο συνάντησης τη

χρονική στιγμή t

Sx



Ο ποδηλάτης κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Επομένως το διάστημα που διανύει ταυτίζεται

με τη μετατόπισή του. Όμως γνωρίζουμε ότι το εμβαδό που περικλείεται από τη γραμμή που

περιγράφει την ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου και των άξονα του χρόνου ισούται

αριθμητικά με τη μετατόπιση (επομένως στην προκειμένη περίπτωση και με το διάστημα)

του κινητού.

Άρα: ms

msYBS 50105 .

Το διάστημα που διανύει το κινητό θα μπορούσε να υπολογιστεί και αλγεβρικά, σύμφωνα με

τη σχέση του διαστήματος στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση:

mss

msts 50510

7. Ένας μοτοσικλετιστής ξεκινά από την ηρεμία και κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με

σταθερή επιτάχυνση 2m/s2.

Να υπολογιστούν:

Α. H ταχύτητά του μετά από 15s.

Β. H απόσταση που διάνυσε στο χρόνο αυτό.

Λύση

Α. Ο μοτοσικλετιστής ξεκινάει από την ηρεμία. Επομένως δεν έχει αρχική ταχύτητα ( 00 ).

Η ταχύτητα στην περίπτωση της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης σε κάθε

χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση:

t 0 t smss

m/30152

2 .

Β. Το διάστημα (δηλαδή η απόσταση) που διανύει ένα σώμα που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά

επιταχυνόμενη κίνηση σε κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση:

2

02

1tts 2

2

1ts 2

2)15(2

2

1s

s

ms ms

s

ms 2252251 2

2

8. Στην εικόνα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου για ένα κινητό που κάνει

ευθύγραμμη κίνηση. Να υπολογίσετε:

Α. To διάστημα που διάνυσε το κινητό

σε χρόνο 10s.

Β. To διάστημα που διάνυσε το κινητό

στο 2o δευτερόλεπτο της κίνησής του.

S



Λύση

Α. Σύμφωνα με το διάγραμμα, το κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

Επομένως το διάστημα που διανύει ταυτίζεται με τη μετατόπισή του. Όμως γνωρίζουμε ότι το

εμβαδό που περικλείεται από τη γραμμή που περιγράφει την ταχύτητα συναρτήσει του

χρόνου και των άξονα του χρόνου ισούται αριθμητικά με τη μετατόπιση (επομένως στην

προκειμένη περίπτωση και με το διάστημα) του κινητού.

Άρα: ms

msYBS 1002010

2

1

2

1 .

Β. 1ος τρόπος

Για να βρούμε το διάστημα που διανύει στο 2ο δευτερόλεπτο της κίνησής του, πρέπει να

βρούμε το διάστημα που διανύει στα 2 πρώτα δευτερόλεπτα (2s ) και το διάστημα που διανύει

στο 1ο δευτερόλεπτο (1s ) και να τα αφαιρέσουμε. Για να γίνει αυτό πρέπει πρώτα να βρεθεί η

επιτάχυνση του κινητού. Η επιτάχυνση είναι η κλίση της ευθείας της ταχύτητας η αλλιώς η

εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία της ταχύτητας με τον οριζόντιο άξονα του

χρόνου. Δηλαδή:

Κλίση ευθείας = 2/2010

0/20sm

s

sm

t

Επομένως:

2

022

1tts 2

22

1ts 2

22 )2(22

1s

s

ms ms

s

ms 441 2

22

2

012

1tts 2

12

1ts 2

21 )1(22

1s

s

ms ms

s

ms 111 2

21

mmmsss 31412

2ος τρόπος: Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε και γραφικά.

Το διάστημα που διανύει το κινητό στο 2ο δευτερόλεπτο της κίνησης είναι το εμβαδόν του

τραπεζίου μεταξύ του χρονικού διαστήματος ss 21 . Αυτό διότι το διάστημα που διανύει

στα s2 θα είναι το 2s , δηλαδή το τρίγωνο ΟΑΒ. Επίσης το διάστημα που διανύει στο s1 θα

είναι το 1s , δηλαδή το τρίγωνο ΟΓΔ. Αν τα αφαιρέσουμε τα δύο τρίγωνα προκύπτει το

ζητούμενο τραπέζιο: ΟΑΒ-ΟΓΔ=ΑΒΔΓ

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

t(s)

υ(m

/s)

Τη χρονική στιγμή 1s η

ταχύτητα είναι t

smss

m/212

2 .

Άρα sm /2 .

Τη χρονική στιγμή 2s η

ταχύτητα είναι t

smss

m/422

2 .

Άρα sm /4 .

O

Α

B

Γ

Δ

Ε



Επομένως:

mssm

sssmsm

312

/6)12(

2

/2/4

22

Λύση

A. Στο χρονικό διάστημα s100 , το κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

Στο χρονικό διάστημα s2010 , το κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

Στο χρονικό διάστημα s3020 , το κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

Επομένως σε όλη τη διάρκεια της κίνησης το κινητό κάνει ευθύγραμμη κίνηση σταθερής

φοράς. Δηλαδή η μετατόπιση του κινητού ταυτίζεται με το διάστημα που διανύει.

Η μετατόπιση και το διάστημα θα δίνεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραμμή της

ταχύτητας και του άξονα του χρόνου. Το ζητούμενο εμβαδό, όπως βλέπουμε από το σχήμα

είναι τραπέζιο (το εμβαδό του τραπεζίου ΟΑΒΓ) .

msms

smss

ES 400/202

40)/20(

2

1030

22

B. H μέση ταχύτητα δίνεται από το πηλίκο του διαστήματος που διανύει το κινητό στο

συνολικό χρόνο κίνησης προς το χρόνο αυτό.

sms

m

t

S/

3

40

30

400

10. H ταχύτητα ενός αυτοκινήτου σε μια ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τη σχέση υ = 8 + 2t

(υ σε m/s, t σε s). Να βρείτε το διάστημα που διάνυσε το αυτοκίνητο από τη χρονική στιγμή

2s μέχρι τη χρονική στιγμή 4s.

Λύση

Η σχέση που δίνει τη ταχύτητα του αυτοκινήτου είναι: t 28 . Η σχέση αυτή είναι της

μορφής t 0, με sm /80 και 2/2 sm . Επομένως το αυτοκίνητο εκτελεί

ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

1ος τρόπος: Ο πρώτος τρόπος είναι να δουλέψουμε αλγεβρικά.

Το διάστημα που διανύει από τη χρονική στιγμή 2s μέχρι τη χρονική στιγμή 4s είναι το

διάστημα που διανύει στα 4s ( 4s ) μείον το διάστημα που διανύει στα 2s ( 2s ). Άρα:

9. H γραφική παράσταση της τιμής της ταχύτητας ενός κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο,

στα πρώτα 30s της κίνησής του δίνεται από το διάγραμμα της εικόνας. Να υπολογιστούν:

Α. Το συνολικό διάστημα που διάνυσε

το κινητό.

Β. H τιμή της μέσης ταχύτητας του

κινητού.

S=Ε

Α Β

Γ Ο Δ



2

022

1tts 2

22 )2(22

128 s

s

ms

s

ms mmms 204162

2

042

1tts 2

24 )4(22

148 s

s

ms

s

ms mmms 4816324

Επομένως το ζητούμενο διάστημα θα είναι: mmmsss 28204824 .

2ος τρόπος: Ο δεύτερος τρόπος είναι να δουλέψουμε γραφικά.

Η σχέση t 28 είναι της μορφής xy , όπου 2/2 sm είναι η κλίση της

ευθείας (η επιτάχυνση του αυτοκινήτου) και sm /8 είναι το σημείο τομής της γραφικής

παράστασης με τον κάθετο άξονα (τον άξονα της ταχύτητας). Το σημείο τομής είναι η αρχική

ταχύτητα του σώματος sm /80 .

Με την ίδια λογική που ακολουθήσαμε στην άσκηση 8 καταλήγουμε ότι το εμβαδό που δίνει

το ζητούμενο διάστημα θα είναι το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΓΔ.

mssm

sssmsm

S 2822

/28)24(

2

/12/16

22

11. Δύο κινητά βρίσκονται στο ίδιο σημείο ευθύγραμμου δρόμου και ξεκινούν ταυτόχρονα.

Στο διάγραμμα της εικόνας φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις ταχύτητας - χρόνου για τα

δύο αυτά κινητά.

Λύση

Α. Η ταχύτητα των δύο κινητών είναι ίδια στο σημείο τομής των δύο γραφικών

παραστάσεων. Το σημείο τομής είναι το (6,30). Επομένως η ταχύτητα των δύο κινητών έχει

την ίδια τιμή τη χρονική στιγμή s6 και είναι sm /30 .

Β. Τα δύο κινητά κινούνται ευθύγραμμα, ξεκινούν ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο και δεν

αλλάζουν φορά κίνησης (οι ταχύτητες είναι παντού θετικές). Επομένως η μετατόπισή του

καθενός ταυτίζεται με το διάστημα που διανύει. Η μετατόπιση και το διάστημα για κάθε

Η γραφική παράσταση στο διπλανό σχήμα

κατασκευάζεται σύμφωνα με τον ακόλουθο πίνακα

τιμών.

)(st )/( sm

0 8

2 12

4 16

Να υπολογιστούν:

Α. Σε ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα των κινητών

έχει την ίδια τιμή;

Β. Στα 10s πόσα m προηγείται το κινητό β του

κινητού α;

Γ. Σε ποια χρονική στιγμή συναντώνται τα κινητά;

)/( sm

)(st 2 4

8

12

16

0,0

Α

Β

Γ Δ

Α

Β Ο

Γ Δ



κινητό θα δίνεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραμμή της ταχύτητας του καθενός

και του άξονα των χρόνων.

Το διάστημα που διανύει το (α) στα s10 της κίνησής του θα είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου

τριγώνου ΟΑΒ.

ms

ms

ABOBYBS 250

2

5010

22

Το διάστημα που διανύει το (β) στα s10 της κίνησής του θα είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου

παραλληλογράμμου ΟΓΔΒ.

mss

mYBS 3001030

Επομένως το κινητό (β) προηγείται του (α) κατά: mmmSSS 50250300 .

Γ.

Με τη ίδια λογική που ακολουθήσαμε στο ερώτημα β βρίσκουμε το διάστημα που διανύει το

κάθε κινητό, αυτή τη φορά μέχρι τη χρονική στιγμή t .

502

10250

2

)10(

22

tttS

ttYBS 3030

Τη χρονική στιγμή της συνάντησης ισχύει:

SS 502

102 t= t30 )102(50 t t 60 tt 60500100

stt 5,1250040

Επομένως η χρονική στιγμή της συνάντησης είναι s5,12 μετά τη στιγμή εκκίνησης.

12. Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση. Για να

περάσει από δύο σημεία A και B που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 200m χρειάζεται

χρόνο 10s. Av η ταχύτητα του αυτοκινήτου τη στιγμή που περνά από το σημείο B είναι υΒ =

30m/s να βρεθούν:

Α. η ταχύτητά του όταν περνά από το σημείο A και

Β. η επιτάχυνσή του.

Έστω t η χρονική στιγμή της συνάντησης. Από το σχήμα

παρατηρούμε ότι μετά το 10ο δευτερόλεπτο το κινητό (α)

αλλάζει είδος κίνησης. Από ευθύγραμμη ομαλά

επιταχυνόμενη εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή, (δηλαδή

σταθεροποιεί την ταχύτητά του στα 50m/s. Το κινητό (β)

συνεχίζει να κινείται ευθύγραμμα και ομαλά με την ταχύτητα

των 30m/s. Τη χρονική στιγμή της συνάντησης θα έχουν

διανύει ίσες μετατοπίσεις (και στην προκειμένη περίπτωση

και ίσα διαστήματα).

t

Α

Β

Δ

Κ

Ζ

Λ Ο

Γ



Λύση

Στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, η αρχική ταχύτητα είναι στο σημείο Α. Το αυτοκίνητο κάνει

ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Η ταχύτητά του δίνεται από τη σχέση:

tAB 1030 A 1030A (1)

Το διάστημα που διανύει στο χρόνο των s10 είναι:

2

2

1ttd

2)10(2

110200 100

2

110200 5010200 520

(2)

Αντικαθιστούμε τη σχέση (1) στη σχέση (2) και έχουμε:

520 5103020 2/2105 sm .

Αντικαθιστούμε την επιτάχυνση στη σχέση (1), οπότε προκύπτει η ταχύτητα του αυτοκινήτου

στο σημείο Α.

smsmssmA /10/210/301030 2

13. Αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόμο με ταχύτητα μέτρου υ0 = 72km/h. Ξαφνικά σε

απόσταση 50m ο οδηγός βλέπει εμπόδιο. O χρόνος αντίδρασης του οδηγού είναι t1 = 0,7s (ο

χρόνος από τη στιγμή που βλέπει το εμπόδιο μέχρι να πατήσει το φρένο).

Να εξετάσετε αν αποφεύγεται η σύγκρουση του αυτοκινήτου με το εμπόδιο. H επιβράδυνση

που προκαλούν τα φρένα είναι 10m/s2.

Λύση

Η άσκηση αυτή μπορεί να λυθεί αλγεβρικά και γραφικά:

1ος τρόπος:

Το πρώτο βήμα είναι να μετατρέψουμε την ταχύτητα του αυτοκινήτου σε μονάδες S.I.

Γνωρίζουμε ότι:

mkm 10001

ssh 36006060min160min601

Α Β

00 t At Bt

md 200

1x ?2x

m500



Επομένως: s

m

h

km

3600

10007272

s

m

36

1072

s

m20

Το αυτοκίνητο θα κινηθεί για st 7,01 με σταθερή ταχύτητα sm /200 (μέχρι να

αντιδράσει ο οδηγός). Στο χρόνο αυτό διανύει διάστημα mss

mtx 147,020101 .

Εν συνεχεία, ο οδηγός πατάει φρένο με αποτέλεσμα να κινείται ευθύγραμμα ομαλά

επιβραδυνόμενα με επιβράδυνση μέτρου 2/10 sm .

Το συνολικό διάστημα της επιβραδυνόμενης κίνησης μέχρι το αυτοκίνητο να σταματήσει

είναι

2

2

02 xs (Βλ. λυμένη άσκηση 12, ερώτημα β)

m

sm

sm

sm

smx 20

/20

/400

/102

/202

22

2

2

2

.

Επομένως το συνολικό διάστημα που διανύει το αυτοκίνητο μέχρι να σταματήσει είναι:

mmmmxx 5034201421

Επομένως το αυτοκίνητο αποφεύγει τη σύγκρουση.

2ος τρόπος:

mmmms

mss

s

msxx 5034201420)7,07,2(

2

1207,02121

14. Τρένο μήκους l=70m περνά από γέφυρα μήκους s = 55m. To τρένο έχει αρχική ταχύτητα

υ0 = 20m/s και τη στιγμή που φτάνει στην γέφυρα αρχίζει να επιταχύνεται ομαλά με α =

2m/s2.Nα βρείτε επί πόσο χρόνο βρίσκεται τμήμα του τρένου πάνω στη γέφυρα.

Λύση

Με την ίδια λογική με αυτήν της άσκησης 2 καταλήγουμε ότι το τμήμα του τρένου πάνω στη

γέφυρα θα βρίσκεται για διάστημα mmmslx 1255570 . Το τρένο έχει αρχική

ταχύτητα sm /200 και μόλις φθάνει στη γέφυρα αρχίζει να επιταχύνεται. Το διάστημα

της κίνησης για το οποίο υπάρχουν τμήματα του τρένου πάνω στη γέφυρα είναι:

0125202012522

120125

2

1 2222

0 ttttttttx

st 51 ή st 252 (απορρίπτεται διότι δεν ορίζεται αρνητικός χρόνος)

Το διπλανό διάγραμμα αντιστοιχεί στην κίνηση του

αυτοκινήτου. Όπως βλέπουμε στα πρώτα 0,7s το

αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα ομαλά με ταχύτητα 20m/s

και στη συνέχεια επιβραδύνεται μέχρι να σταματάει για

χρόνο sttt 2102000 .

Επομένως σταματάει τη χρονική στιγμή

ssst 7,227,0 .Το συνολικό διάστημα κίνησης

δίνεται από το εμβαδό που περικλείεται από τη γραμμή της

ταχύτητας και τον άξονα των χρόνων, δηλαδή:

)/( sm

)(st

20

7,0 7,2 )0,0(

1

2



Επομένως τμήματα του τρένου πάνω στη γέφυρα βρίσκονται για χρόνο st 5 .

15. Οι εξισώσεις κίνησης δύο οχημάτων τα οποία κινούνται κατά μήκος του

προσανατολισμένου άξονα Ox είναι:

x1 = 10t και x2 = 4t2 στο S.I.

Α. Nα υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που τα κινητά συναντώνται.

Β. Nα κατασκευάσετε τα διαγράμματα, ταχύτητας - χρόνου και διαστήματος - χρόνου.

Λύση

Α.

2

21 410 ttxx 0104 2 tt 0104 2 tt 0)104( tt

0t ή sttt 5,21040104

Επομένως τα δύο οχήματα συναντώνται τη χρονική στιγμή st 5,2 .

Β. Η εξίσωση της κίνησης του πρώτου οχήματος είναι της μορφής tx 1 , με sm /10 .

Η εξίσωση της κίνησης του δεύτερου οχήματος είναι 2

22

1tx , με 2/8 sm .


0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

t(s)

υ(m

/s)


0

5

10

15

20

25

30

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

t(s)

x(m

)

Όπως βλέπουμε από τα παραπάνω διαγράμματα τη χρονική στιγμή της συνάντησης οι

ταχύτητες των δύο οχημάτων δεν είναι ίσες. Ίσα είναι τα διαστήματα που έχουν διανύσει. Τη

χρονική στιγμή της συνάντησης το πρώτο όχημα που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση έχει

ταχύτητα sm /101 και έχει διανύει διάστημα. mss

mtx 255,21011

Τα δύο οχήματα κινούνται στον διπλανό άξονα.

Ξεκινάνε ταυτόχρονα (από την αρχή του άξονα) διότι

για 0t 021 xx .

Επομένως αρχικά βρίσκονται στην ίδια θέση. Θα

ξανασυναντηθούν όταν ξαναβρεθούν στην ίδια θέση,

δηλαδή τη χρονική στιγμή για την οποία θα ισχύει:

Όχημα 1 Όχημα 2

)(st )/(1 sm )/(2 sm

0 10 0

5,2 10 20

Όχημα 1 Όχημα 2

)(st )(1 ms )(2 ms

0 0 0

1 10 4

1,5 15 9

2 20 16

2,5 25 25

O

x

Σημείο συνάντησης

1

2

1s

2s

Χρονική στιγμή

συνάντησης (Οι ταχύτητες

δεν είναι ίσες)

Χρονική στιγμή

συνάντησης



Ομοίως τη χρονική στιγμή της συνάντησης το δεύτερο όχημα που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά

επιταχυνόμενη κίνηση έχει ταχύτητα smss

mt /205,28

22 και έχει διανύει

διάστημα. mss

mtx 25)5,2(8

2

1

2

1 2

2

2

2 .

16. H κίνηση ενός δρομέα δίνεται προσεγγιστικά από το παρακάτω διάγραμμα ταχύτητας -

χρόνου.

.

Λύση

Α. Η μέση ταχύτητα του δρομέα θα δίνεται από το πηλίκο του ολικού διαστήματος που

διανύει προς τον ολικό χρόνο στον οποίο το διανύει, δηλαδή:

t

s (1)

Το ολικό διάστημα ισούται αριθμητικά με το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραμμή της

ταχύτητας και τον άξονα του χρόνου.(Από τη στιγμή που δεν έχουμε αρνητικές ταχύτητες,

δηλαδή ο δρομέας δεν αλλάζει φορά κίνησης, το διάστημα που διανύει ταυτίζεται με τη

μετατόπισή του.) Επομένως:

321 S (2)

ms

msE 5,1393

2

11

ms

ms

s

mssE 45959)38(2

mss

m

sss

m

s

m

E 5,2232

15

)811(2

69

3

(2) mmmmS 815,22455,13321

Η μέση ταχύτητα του δρομέα θα είναι:

(1) sms

m

t

s/36,7

11

81

Να υπολογίσετε:

Α. Τη μέση ταχύτητα του δρομέα και

Β. την επιτάχυνσή του, όπου η κίνηση είναι

μεταβαλλόμενη

1 2

3



Β. Χρονικό διάστημα s30 : Ο δρομέας εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση

καθώς η ταχύτητά του αυξάνεται ομαλά από sm /0 σε sm /9 .Η επιτάχυνσή του σε αυτό το

χρονικό διάστημα θα είναι:

2

1

11 /3

03

0/9sm

s

sm

t

Χρονικό διάστημα ss 83 : Ο δρομέας εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση καθώς η ταχύτητά

του παραμένει σταθερή ( sm /9 )..Η επιτάχυνσή του σε αυτό το χρονικό διάστημα θα είναι:

02

Χρονικό διάστημα ss 118 : Ο δρομέας εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση

καθώς η ταχύτητά του μειώνεται ομαλά από sm /9 σε sm /6 .Η επιτάχυνσή του σε αυτό το

χρονικό διάστημα θα είναι:

2

3

33 /1

811

/9/6sm

ss

smsm

t

(αρνητική επιτάχυνση καθώς ο δρομέας επιβραδύνεται)

17. Ένα αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα υ0 = 10m/s και ο οδηγός κάνοντας χρήση

των φρένων προκαλεί στο αυτοκίνητο σταθερή επιβράδυνση α = 2m/s2.

Α. Μετά από πόσο χρόνο η ταχύτητα του αυτοκινήτου θα υποδιπλασιαστεί και πόσο

διάστημα θα έχει διανύσει στο χρόνο αυτό;

Β. Για πόσο χρόνο θα κινηθεί το αυτοκίνητο με τη σταθερή αυτή επιβράδυνση και πόσο

διάστημα θα διανύσει;

Λύση

Α. Η αλγεβρική σχέση της ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση είναι:

10 t

Ψάχνουμε τη χρονική στιγμή 1t για την οποία 2

0 . Επομένως:

ssm

smtttt 5,2

/22

/10

222 210

10

1100

2

11012

1tts . Δηλαδή: mssmssms 75,18)5,2(/2

2

15,2/10 22 .

β) Ψάχνουμε τη χρονική στιγμή 2t για την οποία 0 . (το αυτοκίνητο σταματάει)

Επομένως:

ssm

smtttt 5

/2

/100

2

020220

Ομοίως με το ερώτημα α:

2

22022

1tts . Δηλαδή: mssmssms 25)5(/2

2

15/10 22 .



18. Ένα αυτοκίνητο και μια μοτοσικλέτα είναι ακίνητα στην αρχή μιας αγωνιστικής πίστας.

Τo αυτοκίνητο ξεκινάει κινούμενο με σταθερή επιτάχυνση α1 = l,6m/s2 και 4 δευτερόλεπτα

κατόπιν, ξεκινάει ο μοτοσικλετιστής ο οποίος καταδιώκει το αυτοκίνητο με σταθερή

επιτάχυνση α2 = 2,5m/s2.

Α. Μετά από πόσο χρόνο, από το ξεκίνημα του αυτοκινήτου, ο μοτοσικλετιστής θα φτάσει το

αυτοκίνητο και τι διάστημα θα έχουν διανύσει μέχρι τότε;

Β. Πόση, είναι η ταχύτητα κάθε οχήματος τη στιγμή της συνάντησης και πόση η μέση

ταχύτητα με την οποία κινήθηκε μέχρι τότε το αυτοκίνητο;

Γ. Να κάνετε για το αυτοκίνητο τα διαγράμματα υ = f(t) και s = f(t).

Λύση

Α. Η μοτοσικλέτα ξεκινάει s4 μετά από το αυτοκίνητο. Επομένως τη χρονική στιγμή της

συνάντησης, το αυτοκίνητο θα έχει κινηθεί για χρόνο t , ενώ η μοτοσικλέτα για χρόνο st 4 .

Επίσης τη χρονική στιγμή της συνάντησης, τα δύο οχήματα θα έχουν διανύει το ίδιο

διάστημα.

Αυτοκίνητο: 2

112

1ts (1)

Μοτοσικλέτα: 2

22 )4(2

1 ts (2)

Όμως:

21 ss 2

12

1t 2

2 )4(2

1 t

2

1 t 2

2 )4(t 26,1 t 2)4(5,2 t

26,1 t )168(5,2 2 tt 26,1 t 40205,2 2 tt 040209,0 2 tt

st 201 ή st8,1

42 (Η λύση αυτή απορρίπτεται διότι ο χρόνος στον οποίο συναντώνται

δεν μπορεί να είναι μικρότερος από το χρόνο των s4 στον οποίο ξεκινάει η μοτοσικλέτα)

Επομένως συναντώνται τη χρονική στιγμή st 201 .

Για να υπολογιστεί το κοινό διάστημα που έχουν διανύει τα δύο κινητά στο χρόνο των

s20 αρκεί να αντικαταστήσουμε σε μία εκ των σχέσεων (1) ή (2).

(1) mss

mts 320)20(6,1

2

1

2

1 2

2

2

11

Β. Ταχύτητα αυτοκινήτου τη στιγμή της συνάντησης: smss

mt /32206,1

211

Ταχύτητα μοτοσικλέτας τη στιγμή της συνάντησης: smss

mst /40165,2)4(

222

Η μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου τη στιγμή της συνάντησης θα είναι:

s

Σημείο συνάντησης τη

χρονική στιγμή t st 4



sms

m

t

s/16

20

320

Γ.


0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25

t(s)

s1(m

)


0

100

200

300

400

0 5 10 15 20 25

t(s)

s1(m

)

19. Στο διάγραμμα αποδίδεται γραφικά η ταχύτητα ενός κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο.

Λύση

Α. Το κινητό ξεκινάει την κίνησή του τη χρονική στιγμή 00 t με αρχική ταχύτητα

sm /100 . Στο χρονικό διάστημα:

s50 : Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση καθώς η ταχύτητα αυξάνεται ομαλά από

sm /10 σε sm /20 .

ss 155 : Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση καθώς η ταχύτητα παραμένει σταθερή ( sm /20 ).

ss 2015 : Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση καθώς η ταχύτητα μειώνεται ομαλά

από sm /20 μέχρι που μηδενίζεται.

)(st )/(1 sm

0 0

20 32

)(st )(1 ms

0 0

5 20

10 80

15 180

20 320

Α. Nα περιγράψετε την κίνηση του κινητού έως

τη χρονική στιγμή 25s.

Β. Nα υπολογίσετε την επιτάχυνσή του, από τη

χρονική στιγμή μηδέν έως τη χρονική στιγμή 5s.

Γ. Nα υπολογίσετε το διάστημα που διανύει το

κινητό και τη μετατόπισή του για τα 25s της

κίνησής του.

Δ. Nα βρείτε τη μέση ταχύτητα του κινητού στη

διάρκεια των 25s.



ss 2520 : Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση προς την αντίθετη κατεύθυνση (το

κινητό αλλάζει φορά κίνησης) μέχρι που φθάνει ταχύτητα μέτρου sm /20 .

Β. s50 : 2

1

11 /2

05

/10/20sm

s

smsm

t

Παραθέτουμε ενδεικτικά και τις επιταχύνσεις στο υπόλοιπο χρονικό διάστημα:

ss 155 : 0515

/20/20

2

22

ss

smsm

t

(σταθερή ταχύτητα)

ss 2015 : 2

3

33 /4

1520

/200sm

ss

sm

t

(επιβράδυνση)

ss 2520 : 2

4

44 /4

2025

0/20sm

ss

sm

t

(επιτάχυνση προς την αντίθετη κατεύθυνση)

Γ. Στην περίπτωση αυτή το διάστημα δεν ταυτίζεται με τη μετατόπιση καθώς το κινητό

αλλάζει φορά κίνησης στο χρονικό διάστημα ss 2520 . Επειδή στο διάστημα αυτό το

κινητό έχει αρνητική κατεύθυνση θα έχει και αρνητική μετατόπιση. Η μετατόπιση σε κάθε

διάστημα της κίνησης θα υπολογιστεί από τα εμβαδά 4321 ,,, .

Επομένως η συνολική μετατόπιση θα είναι:

mmmmmxxxxx 2755050200754321

Το ολικό διάστημα είναι η συνολική απόσταση που διάνυσε χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η

κατεύθυνση. Επομένως:

mmmmmsssss 3755050200754321

Δ.

sms

m

t

s/15

25

375

mssmsm

x 7552

/10/2011

ms

mssx 20020)515(22

ms

mssx 5020)1520(

2

133

ms

mssx 5020)2025(

2

144

1 2

3

4

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦ.1.1

Documents