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書名 Java 於資料結構與演算法之實習應用

書號　 PG20098原著　河西朝雄著譯者　周明憲 /徐堯譯

第一章 學習重點 多多學習各種視野的演算法 (Algorithms) ，

有助於提昇程式設計功力。 本書從第 2 章起將分別說明各個領域的典型

演算法。 本章將說明與這些領域較為不同的簡單之演

算法，以奠定演算法的基礎。

1-0 何謂演算法 演算法 (algorithms) 是指解決問題的邏輯或

步驟。解決問題的演算法有很多種，但是適合人類使用的演算法卻不見得（說一定也不為過）不會成為電腦適用的演算法。

1-0 何謂演算法 演算法的評價

1. 信賴度高 2. 處理效率佳 3. 具普遍性 4. 具擴充性 5. 一目了然 6. 可移植性 (Portability) 高

1-0 何謂演算法 演算法與資料結構

電算處理通常會處理到大量的資料，而資料結構 (data structure) 如有不同，則其演算法便會不同。

正如『 Algorithms +Data Structure=Program（演算法＋資料結構＝程式）』（ N.Wirth 著）這個書名，資料結構與演算法具有緊密的關係，選取好的資料結構，就能製作出好的程式。

1-1 漸進式 - 排列組合 開始練習演算法的邏輯推演… 例題 1 求解 求由 n 個之中選出 r 個數字排列組合的數值

rnC

1-1 漸進式 - 排列組合 變成 Java 程式 class Rei01Panel extends Panel { long combi(int n,int r) { int i; long p=1; for (i=1;i<=r;i++) p=p*(n-i+1)/i; return p; } public void paint(Graphics g) { int n,r; for (n=0;n<=5;n++){ for (r=0;r<=n;r++) g.drawString(""+n+"C"+r+"="+combi(n,r),r*60,n*20+20); } } } …

1-2 映射 例題 2 直方圖 (histogram) 將 0 ～ 100 的得分按每 10 分分成一組（ 0 ～ 9 ， 10

～ 19 ， ...90 ～ 99 ， 100 共 11 組），求各組的分數分佈 (histogram)

histo[0] ～ histo[10] 為求分數的陣列， histo[0] 存放 0 ～ 9 的分數 histo[1]存放 10 ～ 19 的分數，依次類推。

histo [0]

分數分佈的陣列

[1] [2] [3] [9] [10]

35 25 56 78 ...43

1-2 映射 以 35 分為例，將此分數除以 10 （分數分佈的幅

度）的商數的 3 之 histo[3] 的內容 +1 ，分數的分佈即可計算出來。

由此我們就可將下列的 0 ～ 100 分的資料範圍映射成 0 ～ 10 的範圍。

0~100

X0~10

X

rank=a[i]/10

1-2 映射 class Rei02Panel extends Panel { public void paint(Graphics g) { final int Num=20; int[] a={35,25,56,78,43,66,71,73,80,90, 0,73,35,65,100,78,80,85,35,50}; int[] histo=new int[11]; int i,rank;

for (i=0;i<=10;i++) histo[i]=0; for (i=0;i<Num;i++) { rank=a[i]/10; // 映射 if (0<=rank && rank<=10) histo[rank]++; } for (i=0;i<=10;i++) { g.drawString(""+i*10+" - :",10,i*20+20); g.drawString(""+histo[i],50,i*20+20); } } }

1-3 排名 例題 3 單純的方法

假設有成績測驗分數的資料，現欲求其排名順序 假設有下列的得分資料：

juni

1 ＋1

56 25 67 88 100 55 67 76 56

j

＋1 ＋1 ＋1 ＋1

61

i

1-3 排名 class Rei03Panel extends Panel { public void paint(Graphics g) { final int Num=10; int[] a={56,25,67,88,100,61,55,67,76,56}; int[] juni=new int[Num]; int i,j;

for (i=0;i<Num;i++) { juni[i]=1; for (j=0;j<Num;j++) { if (a[j]>a[i]) juni[i]++; } }

g.drawString(" 得分 排名 ",10,20); for (i=0;i<Num;i++) { g.drawString(""+a[i],10,i*20+40); g.drawString(""+juni[i],50,i*20+40); } } }

1-3 排名—改良 在例題 3 的排名順序演算法中，資料如為 n 個，反覆計算次數便

為 n2 ，因此資料如有增加，資料的處理時間變化增加。為此我們要想出減低反覆計算次數的排名順序演算法來

當我們將分數範圍設定為 0 ～ 100 時，需將此分數範圍增加。我們要設定 juni[0] ～ juni[100] 的陣列，並額外設定 1 個 juni[101]的陣列，此 2 陣列的內容設定為 0 。

0─

0┬

0

25

─0

─0

┬0

─

55 56 61 67 76

─

88

0─

100 101

0 0 0 ...0... 0juni

1 2 100 1010

1個額外的陣列

1-3 排名—改良 將下來將 101 的元素的初始值設定為 1 （表示排名順序為

1 ），再將 1 各右邊的元素內容加在 juni[100]→juni[0] 的各陣列內。

如此就可求出〈得分 +1 〉的陣列順序了。以上例而言， 100 分的排名是在 101 的位置上， 88 分的排名是在 89 的位置上。

這個方法的資料如為 n ，資料範圍如為 m ，則排名順序反覆計算次數為 n+m 次。76 77 88 89

2

100 101

13 2… 3 … … 2 …34

76分的排名 88分的排名 100分的排名

1-3 排名—改良 public void paint(Graphics g) { final int Num=10,Max=100,Min=0; int[] a={56,25,67,88,100,61,55,67,76,56}; int[] juni=new int[Max+2]; int i;

for (i=Min;i<=Max;i++) juni[i]=0;

for (i=0;i<Num;i++) juni[a[i]]++;

juni[Max+1]=1; for (i=Max;i>=Min;i--) juni[i]=juni[i]+juni[i+1];

g.drawString(" 得分 排名 ",10,20); for (i=0;i<Num;i++) { g.drawString(""+a[i],10,i*20+40); g.drawString(""+juni[a[i]+1],50,i*20+40); } }

1-4 亂數排列 例題 4 亂數排列（效率較差的方法）

以 1 ～ N 的值產生亂數排列 以 1 ～ 6 為例，其亂數排列為 3 ， 2 ， 5 ， 1 ， 6 ，

4 。 下列的演算法在做差的情況下是以的次序反覆進行

計算，因此是效率差的方法。 (1) 求得 1 個 1 ～的亂數。將此亂數設為排列的第 1 個資

料。 (2) 將其下以 -1 次反覆計算

(3) 求得 1 個～ 1 的亂數 (4)(3) 所求得的亂數如以代入目前所產生的排列中，則

返回 (3) 。

1-4 亂數排列 public void paint(Graphics g) { final int N=20; int[] a=new int[N+1]; int i,j,flag;

a[1]=irnd(N); for (i=2;i<=N;i++) { do { a[i]=irnd(N); flag=0; for (j=1;j<i;j++) if (a[i]==a[j]) { flag=1;break; } } while (flag==1); } String s=""; for (i=1;i<=N;i++) s=s+a[i]+","; g.drawString(s,10,20); }

1-4 亂數排列—改良

1 2

交換

1 2 3 N

Na[ ] 2 31 N-1

N-1

1 2 j N

交換

確定

1 2 j N-1

交換

確定

1-4 亂數排列—改良 public void paint(Graphics g) { final int N=20; int[] a=new int[N+1]; int i,j,d;

for (i=1;i<=N;i++) a[i]=i;

for (i=N;i>1;i--) { j=irnd(i-1); d=a[i];a[i]=a[j];a[j]=d; }

String s=""; for (i=1;i<=N;i++) s=s+a[i]+","; g.drawString(s,10,20); }

1-5 蒙地卡羅法 例題 5 求 π

以蒙地卡羅法求 π 的值

X

X

X

X

X

X

X

X X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

XX

X

X

XX

X

X

1

1

Y

X

半徑1的1/4的面積=4

14

1 2

=正方型的面積 111

將亂數產生的x, y值予以描繪出來的圖形

1-5 蒙地卡羅法 …. add(p=new Panel(),"Center"); add(tf=new TextField("",10),"North"); add(bt=new Button(" 圓周率的計算 "),"South"); bt.addActionListener(new ActionListener() { public void actionPerformed(ActionEvent e) { Graphics g=p.getGraphics(); final int N=50000; double x,y,pai; int i,sum=0,px,py; g.clearRect(50,10,100,100); g.drawRect(50,10,100,100); for (i=1;i<N;i++) { x=Math.random(); y=Math.random(); if (x*x+y*y<1) { px=50+(int)(100*x);py=110-(int)(100*y); g.drawLine(px,py,px,py); sum++; } } pai=(double)4*sum/N; tf.setText(" 圓周率 ="+pai); g.dispose(); …

1-5 蒙地卡羅法—求面積 練習問題 5 求面積

以蒙地卡羅法求出橢圓的面積

s

S

2

－1

－2

1

將 0 ～ 2 的亂數對應至， 0 ～ 1 的亂數對應至，並將其均勻的分佈在的長方形內。若將分佈在 1/4 橢圓（圖的斜線部分）內的亂數數量設為，分佈在亂數的總數設為， 1/4 橢圓的面積設為，則，

橢圓的面積則為：

1-5 蒙地卡羅法—求面積 public void actionPerformed(ActionEvent e) { Graphics g=p.getGraphics(); final int N=50000; double x,y,s; int i,sum=0,px,py;

g.clearRect(50,10,100,100); g.drawRect(50,10,100,100); for (i=1;i<N;i++) { x=2*Math.random(); y=Math.random(); if (x*x/4+y*y<=1) { px=50+(int)(50*x);py=110-(int)(50*y); g.drawLine(px,py,px,py); sum++; } } s=(double)4*(2.0*sum/N); tf.setText(" 面積 ="+s); g.dispose(); }

1-6 歐基理德輾轉相除法 例題 6 歐基理德輾轉

相除法（之一）以歐基理德輾轉相除法求出 m, n 這 2 個整數的最大公約數

2)24 18 3)12 9 4 3

24 與 18 的最大公約數是以下列的方式求出：

1-6 歐基理德輾轉相除法 (1) 這個方法是根據「設有整數，的最大公約數可轉換成求的最

大公約數的方法」的原理而來的。 也就是說， m 與 n 的大問題可轉換成的 m-n 與 n 小問題，

而也可以對 m-n 用同樣方式反覆處理下去，當 m=n 時， m( 或 n) 就為所要求出的最大公約數。

此方法可整理成如下的演算法：(1) 當 m 不等於 n 時，反覆進行下列的運算(2) 若 m>n 則 m=m-n 否則 n=n-m(3) m( 或 n) 為所要求出的最大公約數。

m=24, n=18 時，將 m 與 n 的值描繪出的圖形如下所示：

1-6 歐基理德輾轉相除法 (1) public void actionPerformed(ActionEvent e) { int m,n; m=Integer.parseInt(tf1.getText()); n=Integer.parseInt(tf2.getText()); while (m!=n) { if (m>n) m=m-n; else n=n-m; } tf3.setText(" 最大公約數 ="+m); }

1-6 歐基理德輾轉相除法 (2) m 與 n 的差如相差太大時，可用 (m % n)

來取代 (m-n) ，這樣的處理效率較高。以下便以此方法求出最大公約數。

m%n 歐基理德輾轉相除演算法解說如下：(1) 設 k 為 m 除 n 以後的餘數(2) 將 n 代入 m ， k 代入 n(3)k 如不等於 0 則返回 (1)(4)m 即為所要求得的最大公約數。

1-6 歐基理德輾轉相除法 (2)假設 m=32, n=14 時：m n k32 14 4 (32%14=4)14 4 2 (14%4=2)4 2 0 ← 結束條件2 0↑答案

1-6 歐基理德輾轉相除法 (2) public void actionPerformed(ActionEvent e) { int m,n,k; m=Integer.parseInt(tf1.getText()); n=Integer.parseInt(tf2.getText()); do { k=m % n; m=n;n=k; } while(k!=0); tf3.setText(" 最大公約數 ="+m); }

1-7 厄拉多塞篩的求質數法 例題 7 　質數的判定，判斷 n 是否為質數

質數是指除了 1 及其本身以外沒有其他約數的數， 2,3,5,7,11...等都是質數。 1 並不是質數。

在判斷 n 是否為質數時，將 n 除 n 以以下的整數直至 2 為止，以觀察能否除盡，這時如有被除盡的數，便被視為質數而脫離出迴圈。到了最後如無除盡的數，則此數即為質數。此外，即使以 n/2 以上的整數除以 n ， n 也沒有被除盡的道理，因此程式開始時的值並不是從 n 開始，從 n/2 開始也沒關係，這點從直覺上即可判斷出來。

在數學計算上也可從 開始。

1-7 厄拉多塞篩的求質數法 public void actionPerformed(ActionEvent e) { int i,n,Limit; n=Integer.parseInt(tf.getText()); if (n>=2) { Limit=(int)Math.sqrt(n); for (i=Limit;i>1;i--) { if (n%i ==0) break; } if (i==1) ta.setText(ta.getText()+n+" 是質數 \n"); else ta.setText(ta.getText()+n+" 不是質數 \n"); } }

1-7 厄拉多塞篩的求質數法 厄拉多塞篩演算法解說如下：

1. 將 2 ～ n 的所有數存放至「篩子」。2. 將「篩子」中最小的數設為質數。3. 從「篩子」中取出質數的所有倍數4. 在達到 n 之前，反覆進行 (2) ～ (3) ，留在「篩子」（沒有劃斜線的部分）數即為質數。

2 n3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

將2～n的所有的數放入篩子

從篩子取出2的倍數

從篩子取出3的倍數