Лекція 10 Критеріїsopromat.org.ua/sopromat_files/LEC_TR_10.pdfЛекція 10 . Критерії руйнування і розрахунки на міцність з

Лекція 10 Критерії руйнування і розрахунки на міцність з урахуванням

тріщин

10.1 Поняття критерію руйнування Найважливішим поняттям механіки руйнування є поняття критерію руйнування. Відзначимо відмінність задач теорії пружності і механіки руйнування. Якщо поставити і розв’язати задачу теорії пружності або пластичності для тіла, що має тонкий розріз, то в отримане рішення у вигляді параметра увійде розмір розрізу, як і інші розміри тіла. При заданих і фіксованих зовнішніх зусиллях ряду значень довжини розрізу відповідає ряд значень компонент напруженого і деформованого станів. В отриманому розв’язку задачі теорії пружності міститься довжина розрізу нарівні з іншими геометричними розмірами тіла. Але при цьому в ньому немає зв'язку зовнішнього зусилля з довжиною розрізу при заданому навантаженні (при заданому навантаженні можна довільно змінювати розміри тіла, що відображається тільки на напружено-деформованому стані). Для того, щоб отримати такий зв'язок, необхідно до одержаного розв’язку додати деяку умову або критерій руйнування, який переводить розріз в тріщину. Такий критерій встановлює величину зусилля, при якому розріз починає розповсюджуватися. В цьому випадку величина навантаження і довжина тріщини стають взаємозв'язаними. При цьому не можна змінити довжину тріщини, не змінивши і саме навантаження. Якщо розріз одержує можливість розповсюджуватися швидко або поволі, то такий стан тіла називають граничним або критичним, при цьому критерій руйнування задовольняється. Критерій руйнування встановлює умову настання граничного стану рівноваги. В стані граничної рівноваги зовнішнє зусилля і характерний розмір тріщини зв'язані функціональною залежністю. Критерій руйнування є додатковим рівнянням до рівнянь теорії пружності і пластичності. Тому наявність розв’язків теорії пружності для тіл з тонкими розрізами ще не створює теорію тріщин. Основне питання теорії тріщин — встановлення і вивчення критерію руйнування. Загальний вигляд критерію руйнування

( , ) CF P l F≤ , (10.1)

де – критеріальна функція зовнішнього навантаження і довжини ( , )F P l

тріщини, – критерій, знайдений експериментально для критичного стану при

якому CF

( , )C C CF P l F= . (10.2)

Величина має смисл характеристики тріщиностійкості матеріалу.

Тріщиностійкість матеріалу можна визначити через різні критерійні параметри механіки руйнування, що входять в ліву частину виразу (10.1).

CF

На площині вираз (10.2) є рівнянням лінії, яка називається критичною P l−діаграмою руйнування або просто діаграмою руйнування. Вона

відділяє безпечну область, у якій ,C CP P l l< < , від небезпечної, де ,C CP P l l> > . Точки на діаграмі руйнування ,C CP P l l= = задовольняють

рівняння (10.2) і відображають настання критичного стану рівноваги. Як вже

наголошувалося, при 0Pl

∂>

∂ критичний стан рівноваги стійкий, а при 0P

l∂

<∂

нестійкий.

У розрахунках на міцність широке використання мають два критерії, які встановлюють умови, при яких настає стан граничної рівноваги при руйнуванні. Це силовий критерій Ірвіна CK і критерій критичного розкриття тріщини (КРТ). Критерії є однопараметричними, оскільки вони дозволяють зробити висновок про настання руйнування при зміні величини одного параметра, коефіцієнта інтенсивності напружень або розкриття тріщини.

10.2 Силовий критерій руйнування Дж.Р.Ірвіна

Якщо взяти пластину з тріщиною заданої довжини , прикласти aрозтягуючу силу і визначити напруження у момент руйнування , тоді за сσ

формулою IK aσ π= можна знайти значення у момент 1 ICK K≡руйнування

1c cK aσ π= . (10.3) К1С можна вважати константою матеріалу, оскільки близькі значення

одержують при різних довжинах тріщин. Знаючи К1С можна розрахувати міцність матеріалу з тріщинами довільних

розмірів. Можна також розрахувати, який розмір тріщини можна допустити при заданих напруженнях. (Справжнє значення К1С експериментально можна

одержати на зразках великої товщини, де реалізується плоска задача деформування, інакше К1С буде залежати від товщини зразка).

З наведених раніше (лекція 3) асимптотичних формул Вестергардта- Ірвіна для напружень біля вершини тріщини видно, що при напруження 0r →σ →∞ , тобто у вершині тріщини має місце особливість (сингулярність) виду 1/ r (рис.10.1).

Рис.10.1

Коефіцієнт при цій особливості – коефіцієнт інтенсивності напружень К

– визначає величину напружень у цілому по усій області, у якій справедливі ці формули. Характер розподілення напружень у цій області (залежність від x і y) однаковий для довільних тіл і схем навантаження. У зв’язку з цим знання коефіцієнта інтенсивності достатньо для характеристики напруженого стану біля вершини тріщини. Зростання навантажень приводить до пропорційного збільшення коефіцієнта К. Базуючись на цьому, Ірвін у 1957 році запропонував силовий критерій руйнування у вигляді

ICK K≤ . (10.4) Нерівність означає безпечний стан, тобто відсутність зростання тріщини;

рівність означає , що тріщина знаходиться у критичному стані (має можливість зростати). Зліва у нерівності стоїть коефіцієнт інтенсивності напружень, який необхідно визначити як функцію навантажень, розмірів деталі і тріщини, а справа коефіцієнт інтенсивності, визначений експериментально, так званий критичний коефіцієнт інтенсивності ( іноді – в’язкість руйнування або просто тріщиностійкість). Коефіцієнти КІ, КІІ, КІІІ є мірою сингулярності напружень біля вершини тріщини для відповідних типів тріщин і грають таку ж роль як коефіцієнти концентрації в опорі матеріалі для макрооб`ємів. (Але там напруження у точці концентрації не дорівнюють нескінченності).

При зростанні тріщини процес руйнування матеріалу є зосередженим у малій області біля вершини тріщини. Виходячи з цього, можна вважати, що процес руйнування контролюється асимптотичним виразом для напружень

поблизу кінця тріщини. Як відомо, напруження біля краю тріщини характеризується коефіцієнтом інтенсивності напружень (рис. 10.2). Як Квидно збільшення коефіцієнта пов’язано зі збільшенням напружень в околі Kтріщини, рівень яких обумовлює розвиток тріщини.

Рис.10.2 Асимптотичні напруження yσ перед вершиною тріщини відриву

при різних коефіцієнтах К . Цей коефіцієнт залежить від прикладеного навантаження, геометрії тіла,

положення точки в околі вершини тріщини . Для анізотропного матеріалу або rпри неврівноваженому навантаженні на берегах тріщини коефіцієнт залежатиме і від характеристик пружності. Критерій (10.4) було запропоновано Дж. Р. Ірвіном для руйнування квазікрихких тіл по типу І. Тріщина почне розвиватися, якщо коефіцієнт інтенсивності К1 досягне критичного значення, яке визначається для кожного матеріалу експериментально.

К1=К1С (плоска деформація), К1=КС (плоский напружений стан). Для тріщин типів ІІ і ІІІ умови критичного стану будуть такі:

ІІсКІІК = , ІІІсКІІІК = . (10.5) У наведених рівностях КІ, КІІ, КІІІ – визначаються для даного виду

тріщини для конкретної форми тіла і навантаження, КІС, КІІС, КІІІС – характеристики матеріалу – визначаються експериментально.

Якщо у тілі є різні тріщини, то критичний стан визначається більш складною умовою

1321=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ m

IIICKIIIKm

IICKIIKm

ІСКІК , (10.6)

де m1 m2 m3 – константи матеріалу. Критичне значення означає, що тріщина може почати розвиватися. Для

стійкої тріщини справедливі нерівності

0ddaσ> 0idK

da< (i , , )I II III= . (10.7)

Нестійке положення визначається нерівностями

0ddaσ> , 0idK

da< . (a - довжина тріщини). (10.8)

Очевидно, треба знати до якого виду відноситься тріщина. Для нестійкого положення таку тріщину допускати не можна.

Задача про тріщини на основі критерію Ірвіна розв'язується таким чином.

Спочатку методами теорії пружності знаходиться асимптотичний вираз для напружень на кінці тріщини заданої довжини і встановлюється коефіцієнт інтенсивності напружень . На теперішній час існують декілька комп'ютерних Кпрограм для чисельного визначення коефіцієнта на ПК. Після цього, Квикористовуючи умову (10.4), досліджують граничну рівновагу тіла з тріщиною.

Найбільш ефективно використовувати коефіцієнт інтенсивності напружень при маломасштабній текучості, тобто коли розміри пластичної зони, виникаючої у вершини тріщини, достатньо малі в порівнянні з довжиною тріщини. Це характерно для крихких матеріалів.

К

Дж.Р.Ірвін також показав еквівалентність силового критерію руйнування і енергетичного критерію Гріффітса.

Для ідеально пружного тіла при підростанні тріщини на величину Sδ виконується енергетична умова Гріффітса, яку можна записати у вигляді

G Sδ δΓ = , (10.9) де Γδ - величина поверхневої енергії, яка необхідна для утворення нової

поверхні розриву площею Sδ .

У виразі (10.9) величина dWGdS

= − є потоком енергії у вершину

тріщини, яка приходиться на одиницю площі тріщини або, інакше, інтенсивність звільненої пружної енергії. Енергія Γ забезпечує існування твердого тіла як єдиного цілого. Згідно з Гріффітсом, енергія має поверхневу природу, вираз для якої записується у вигляді

Γ

2 Sδ γδΓ = , (10.10) де γ – питома (на одиницю площі) поверхнева енергія, яка витрачається

на руйнування. За певних умов вона може вважатися сталою матеріалу. По аналогії з (10.4) запишемо критерій тріщиностійкості за Гріффітсом у

вигляді G Gc≤ , (10.11)

де ,dWGds

= - механічна характеристика тріщиностійкості матеріалу,

яка відображає його опір зростанню тріщини і називається в'язкістю руйнування.

Потік енергії у вершину тріщини можна обчислити, якщо на продовженні тріщини умовно ввести розріз, на поверхнях якого діють ті напруження, які виникають в суцільному середовищі перед фронтом тріщини від зовнішнього навантаження. При просуванні тріщини на одиницю площі поверхні уявного розрізу віддаляються один від одного. Тоді робота сил dxуσ на переміщеннях

υ і є потоком енергії 11 2

2 0G dy xσ υ= − ∫ . (10.12)

Знак мінус тут стоїть тому, що сила і шлях, на якому сила виконує роботу, направлені в різні боки (напруження протидіє переміщенню берегів тріщини).

На рис. 10.3 показано схематично просування кінця тріщини. В даному випадку асимптотичні вирази для напружень і зсувів, з урахуванням xr = ,

0=θ для yσ і xr −=1 , πθ = для υ , запишуться у вигляді

,2K

y xσ

π=

( )24 1 12

xKE

νυ

π

− −= . (10.13)

Рис.10.3 Схематичне зображення кінця тріщини до її просування на

одиницю довжини (а) і після просування (б). Підставивши вирази (10.13) в (10.12), після інтегрування отримаємо: для плоскої деформації

( ) 221 KG

Eν= − , (10.14)

для плоского напруженого стану 2

KG = . (10.15) E

Зазначимо, що для ідеально пружного тіла коефіцієнт інтенсивності напружень не залежить від ступеня утруднення поперечної деформації уздовж фронту тріщини, оскільки його величина визначається через напруження, незалежні від виду плоскої задачі. Отже, перехід від плоскої

K

деформації до плоского напруженого стану у формулах (10.14) і (10.15) приводить до зміни , але не . Істотна відмінність між в'язкістю руйнування при плоскій деформації і плоскому напруженому стані обумовлена різними розмірами пластичної зони перед кромкою тріщини.

G K

Таким чином, для висновку про початок розповсюдження тріщини маємо два еквівалентні формулювання критерію руйнування:

1. Енергетичне. Тріщина починає рости, якщо інтенсивність енергіїG , що звільнилася, досягає критичної величини CG .

2. Силове. Тріщина починає рости, якщо коефіцієнт інтенсивності напружень K досягає критичної величини Kc .

З приведеного видно, що умови руйнування, задані вищенаведеними залежностями, є еквівалентними. В пружній постановці між цими критичними характеристиками матеріалу існує такий зв'язок:

для плоскої деформації

( )2 21 К EGІс Icν− = (10.16)

для плоского напруженого стану 2K EGc c= (10.17)

Ці формулювання справедливі для ідеально пружного руйнування, при

yσ →∞ у кінця тріщини у лінеаризованій постановці задачі теорії пружності,

і ними, по суті, вичерпується лінійна механіка руйнування. В позначеннях характеристик у формулі (10.16) для випадку плоскої

деформації вводиться індекс " I ", який підкреслює відривний характер розповсюдження тріщини (прямий злам). При плоскому напруженому стані часто відбувається руйнування зрізом (косий злам) і щоб відзначити цей тип руйнування, індекс " I " не ставлять.

В реальних умовах експлуатації для більшості конструкційних матеріалів

в біля кінця розрізу внаслідок великих напружень виникає область нелінійних властивостей матеріалу, і розподіл напружень і зсувів у ній відрізняється від пружного розподілу. В схемі квазікрихкого руйнування по Оровану і Ірвіну приймається, що область нелінійних ефектів є малою порівняно з довжиною тріщини. Це дає підставу вважати, що і розмір цієї області, і інтенсивність пластичних деформацій у ній повністю контролюються коефіцієнтом інтенсивності K і границею текучості 2,0σ . Ця область настільки мала, що поле напружень навкруги неї все ще описується асимптотичними формулами.

Для квазікрихкого руйнування зберігаються обидва формулювання критерію руйнування і природно, що величини Kс і залежать від

характеристик опору матеріалу пластичної деформації. Причому, за наявності малої пластичної зони, елементи пружного розв’язку за цією зоною

Gc

зберігаються в незмінному вигляді. Співвідношення (10.4), (10.11) і (10.14), (10.15) є основними в лінійній механіці руйнування. З їх допомогою проводиться як розрахунок граничного стану елемента конструкції з тріщиною, так і оцінка механічних властивостей матеріалу, що описують його здатність гальмувати зростання тріщини. Величини GIc , а часто і Gc KIc , Kc

називають в'язкістю руйнування. Методика експериментального визначення в'язкості руйнування відображена в нормативних документах (див. також лекцію 9).

Відзначимо, що у більш загальному випадку напруженого стану потік пружної енергії у вершину розрізу, при фіксованих точках прикладеного навантаження, визначається у вигляді

1 1lim20 0

dWG u w dxy zydl

αy xσ υ τ

αα⎛ ⎞= − = + +∫ ⎜ ⎟⎝ ⎠→

τ , (10.18)

де, , ,y xy zyσ τ τ – напруження при вершині тріщини, відповідні переміщенням кромок тріщини типів І, II, III при , 0; ,r x u v w,θ= = – переміщення точок поверхні тріщини при ,r a x θ π= − = . При цьому тріщина росте у напряму осі . x

Після підстановки цих величин у формулу (10.18) і інтегрування, отримаємо для плоскої деформації

2 21 1 12 2 2K K G G GG KI II III I II IIIE E E

ν ν ν− − += + + = + + (10.19)

Для плоского напруженого стану у формулі (10.20) вираз 21 ν− треба замінити на одиницю.

Критерій початку розповсюдження тріщини у формулі (10.4) записано для тріщин типу І. Аналогічний критерій можна записати і для тріщин типу II, III, тобто у вигляді , де і - в'язкості руйнування при поперечному і поздовжньому зсуві відповідно. У випадку коли має місце складне навантаження, при якому одночасно

,II IIC III IIICK K K K≤ ≤ IICK IIICK

0, 0, 0I II IIIK K K≠ ≠ ≠

0

, то можна прийняти критерій руйнування у вигляді

( , , )F K K KI II III = . (10.20) Це є рівняння граничної поверхні, яка обмежує в просторі

коефіцієнтів , ,I II IIIK K K область допустимих станів. Точка всередині цієї області відповідає тріщині, що не розповсюджується. На координатних осях поверхня відсікає сталі матеріалу. Точка на поверхні (10.20) означає настання граничного стану рівноваги і тріщина дістає можливість зростання. Конкретний вид рівняння (10.20) потребує вивчення. Як деяке наближення можна скористатися виразом (10.19)

CK K K GI II IIIE E− +

+ + − =2 21 12 2 2( ) 0ν ν , (10.21)

або в більш загальному випадку

1K K KI II IIIK K KIc IIc IIIc

α β γ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, ,

, (10.22)

де, α β γ – емпіричні величини. 10.3 Деформаційний критерій

Використання деформаційного критерію обумовлено наявністю

пластичної зони у вершині тріщини. При розтягуванні плоского зразка в умовах плоского напруженого стану пластична зона повинна мати форму вузького клина малої ширини в напряму, перпендикулярному руху тріщини. Така форма пластичної зони є обов'язковою у випадку використання деформаційного критерію типу критичного розкриття тріщини. Уявне видалення пластично деформованого об'єму матеріалу і заміна його дії на тіло, що залишилося, розподіленим поверхневим навантаженням зводить задачу до пружної (рис.10.2,б). В цьому випадку з'являється можливість обчислення відстані δ між поверхнями пластичної межі у вершині тріщини. Напруження на границі пластичної зони перевищують границю текучості через утруднення поперечних деформацій навіть для ідеально пластичного матеріалу і тим більш для того, який зміцнюється. Дослідження показали, що це напруження близьке до границі міцності або навіть до істинного опору розриву при розтягу .

Рис.10.3. Тріщина з пластичною зоною у вершини: а – пружно-пластична задача; б – пружна задача.

Деформаційний критерій руйнування – це стан граничної рівноваги, коли виконується умова сδ δ= . Звідси випливає назва величини Cδ – критичне

розкриття тріщини КРТ, або в англо-американському варіанті COD (critical crack opening displacement) – критичне розкриття тріщини, скорочено КРТ). В теорії, заснованій на цьому деформаційному критерії, як і у теорії Ірвіна, не враховується повільне підростання тріщини зі збільшенням навантаження при

, або CK K< . δ Cδ<Величина cδ , з одного боку, може бути порівняльною механічною

характеристикою для оцінки схильності матеріалу до квазікрихкого руйнування, а з другого боку, припускається, що вона може бути основною для проведення розрахунків елементів конструкцій при наявності тріщин. Розрахунок ведеться за допомогою рівняння виду ( ), , , ,0P b E li i cδ σ = δ . Вираз

для δ знаходиться аналітично аналогічно виразу для коефіцієнта . Звичайно в цій формулі

K2,00 σσ = , але, як було відзначено, правильніше приймати

Bσσ =0 . Величину Cδ можна визначити експериментально або знайти аналітичний

вираз для тіла даної форми через 0, , ,CP E lσ аналогічно визначенню коефіцієнта .CK

Зв'язок силового, деформаційного і енергетичного критеріїв

механіки руйнування

Отже, ми розглянули три класичні параметри, характеризуючі умови настання руйнування в різних умовах. Вище було показано, що в пружній області коефіцієнт інтенсивності напружень і J-интеграл однозначно є пов'язані з інтенсивністю вивільнення пружної енергії. При цьому виявлений безпосередній зв'язок між КІН і J-интегралом у вигляді

( )21 2IJ E Kυ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ . (7.15)

Між J-интегралом і розкриттям тріщини при маломасштабній текучості

можна використовувати залежність TJ mσ δ= . (7.16)

Тут m – параметр, залежний від пластичного стиснення. При плоскому напруженому стані m = 1, а при плоскій деформації 1 < m < 3.

В діапазоні повномасштабної текучості залежність між J і COD витікає з моделі Дагдейла і має вигляд

TJ σ δ= . (7.17) Таким чином, в пружній області існує однозначний зв'язок між трьома

основними параметрами механіки руйнування. Знаючи один з них, завжди можна обчислити два інших.

10.4 Порівняльний аналіз критеріїв Порівняємо критерії розповсюдження тріщини, і відповідні їм механічні

характеристики: 1. Оцінка матеріалу по Кс припускає ідеально пружне руйнування, а

по Cδ - не припускає. Для оцінки квазікрихкого руйнування за допомогою величини CK до пружного розв’язку додається припущення про наявність області пластичних деформацій з метою врахування властивостей матеріалу при пластичній течії і його реальної поведінки у вершині тріщини, в той час як теорії критичного розкриття тріщини органічно властиве врахування пластичності матеріалу у вершині тріщини.

2. При проведенні розрахунків за цими двома критеріями з метою визначення критичних навантажень CP і довжин тріщини Cl , з'ясовується, що при розрахунку по CK із зменшенням довжини тріщини критичне навантаження необмежено зростає. Ця обставина обумовлює застосування теорії тільки в області достатньо великих довжин тріщин і малих рівнів критичних напружень у порівнянні з 0.2σ , які забезпечують розміри пластичної зони. При розрахунку по Cδ навіть в області малих довжин тріщин напруження може бути близьким до границі текучості або границі міцності, а пластична зона перед кінцем тріщини значно перевищуватиме довжину тріщини.

3. Інтенсивність енергії руйнування 2γ за критерієм Ірвіна для даного матеріалу, даної товщини приймається сталою величиною, незалежною від критичної довжини тріщини у зв’язку з малістю зони пластичної деформації. Обчислення 2γ за критерієм КРТ показує, що ця величина змінюється зі зміною критичної довжини тріщини. При цьому зі зменшенням довжини величина 2γ необмежено зростає, а зі збільшенням – прагне до T Cσ δ . Це можна помітити, аналізуючи загальний вираз інтенсивності енергії руйнування

( ) ( ),

2 2 ,γ σ∂ ∂ ∗= = +∫ ∫∂ ∂ T T

а av x ldx v x l dx Cl ll l

σ δ

)

(10.17)

де – переміщення точок поверхні тріщини при дотриманні умови

( ,v x l∗

2 ( , )Cv l δ . В цій формулі інтегральний доданок відображає зміну форми і розмірів

пластичної області, яке відбувається зі зміною довжини тріщини. При цьому ще

передбачається і незмінність величини сδ при зміні критичної довжини тріщини.

4. Існуюча формула T cGc σ δ= виходить з порівняння рішень для

критичних напружень при розтягуванні площини з тріщиною з використанням обох критеріїв.

Маємо за першим критерієм

1 2EGc

кр lкрσ

π

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

, (10.18)

за другим критерієм

1 2TE c

кр lкр

σ δσ

π

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

, (10.19)

Як видно з приведених виразів (10.18) і (10.19), між і cG Cδ існує вказана кореляція. Проте суттєво те, що кореляція справедлива тільки при , тобто при малих критичних напруженнях по порівнянню з

l →∞Tσ або, іншими словами,

справедлива для тих матеріалів, для яких правомірне визначення . CGЗ проведеного порівняння виходить, що при великих довжинах тріщин і

малій локальної пластичності матеріалу спостерігається повний збіг результатів розрахунку за обома критеріями. При цьому обидві характеристики матеріалу повністю співпадають

( )2 TK EG Ec c cσ δ= = . (10.20)

При малих довжинах тріщин є значна розбіжність в розрахунковій оцінці критичних навантажень за двома критеріями. Як видно, в рамках розглянутих теорій з погляду оцінки матеріалу, характеристики і сК Cδ є рівноцінними, оскільки не залежать від критичної довжини тріщини.

Можна, природно, розширити рамки теорії за рахунок розгляду пластичних зон перед кромкою тріщини іншої форми. Форма пластичної зони може відрізнятися від форми тонкої смуги перед фронтом тріщини і розповсюджуватися в райони, що знаходяться з боків від напряму розповсюдження тріщини. Це розширення торкнеться теорії cδ , а не , оскільки остання обмежена тільки лінійними розмірами пластичної зони, а не її формою. Розрахунок за критерієм КРТ якщо і можливий, то тільки для випадку тонкої пластичної зони, яка виникає при плоскому напруженому стані. Тому

є більш прийнятною і універсальною розрахунковою характеристикою, ніж

сК

сКcδ . Характеристиці cδ може бути відведена роль деякої технологічної проби,

яку можна використовувати для вибору матеріалу або оптимальних технологічних режимів. Ця характеристика може бути також оцінкою при зіставленні матеріалів, особливо у разі випробування достатньо пластичних матеріалів великої товщини. Обмеженість використовування cδ в розрахунках зв'язана в першу чергу з тим, що її експериментальні значення розрізняються між собою залежно від форми пластичної зони і інших особливостей деформації біля кінця тріщини. Крім цього, якщо і є критичними характеристиками, то, як вже наголошувалося,

CK ICK

Cδ може бути як доктритичною, так і критичною. Відсутність у параметрі Cδ напружень і навантажень робить цю величину практично менш значущою, ніж і . Дійсно, можна уявити собі два матеріали, з однаковою величиною

CK ICK

Cδ , які вдвоє розрізняються за величиною максимального навантаження. Природно, що ці матеріали не можна вважати рівноцінними. Відмінність міцності різних матеріалів при однаковому

Cδ можна зрозуміти, якщо пригадати, що 0Cδ = при різних значеннях ідеально крихкої міцності. Для з'ясування відмінності характеристик КІс і cδ і їх можливостей в оцінці матеріалів корисно провести наступну аналогію. Так само, як Вσ , δ ,ψ відповідно оцінюють міцність і пластичність гладкого зразка, так і Кс , КІс , Cδ оцінюють міцність і пластичність особливих точок зразка з тріщиною.

10.5 Границя тріщиностійкості При зміні довжини тріщини з'являється можливість отримання різних

видів руйнування. Якщо, виходячи з експериментів, побудувати граничну криву залежності коефіцієнта інтенсивності напружень від довжини тріщини, то можна побачити, що вона обмежує стан матеріалу з тріщиною з боку опору як крихкому, так і в'язкому руйнуванню. Побудовану граничну криву можна вважати границею тріщиностійкості матеріалу Ic . Для побудови граничної кривої необхідно провести випробування зразків з різними довжинами тріщин, зафіксувавши руйнуюче навантаження і початкову довжину тріщини. Далі, підставивши отримані величини у формулу коефіцієнта інтенсивності напружень , одержати його значення для даної довжини тріщини. Якщо тепер Kпобудувати графік залежності одержаного значення залежно від довжини Kпочаткової тріщини, то в результаті одержимо граничну криву для коефіцієнтів інтенсивності напружень. Ця крива і представлятиме границю тріщиностійкості матеріалу .

Механічний смисл поняття границі тріщиностійкості матеріалу можна пояснити таким чином. Нехай є критична діаграма l−σ , побудована при відсутності пластичних деформацій у вершині тріщини, тобто на основі концепції коефіцієнта інтенсивності напружень. Однак ця діаграма є теоретичною і не співпадає з реальною lp −σ через розвиток пластичної зони

у вершині тріщини. Діаграми lσ − і lpσ − можна представити на рис.10.4.

відповідно лініями 2 і 1, причому завжди pσ σ> при даній l .

В області довжин тріщин, при яких концепція інтенсивності напружень

несправедлива, маємо l<ϕ . Тоді, враховуючи, що ( )1 2 lK l Yb

σ π ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

і для

даного зразка при руйнуванні K K Ic= , можна записати

( )1 2

1 2 lK l Yp Ic bσ ϕ π

−⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎥ . (10.21)

Запишемо рівність (10.21) у вигляді

( )1 2

1 2 ll Y Kp Ibσ π ϕ c

−⎡ ⎤⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ . (10.22)

Рис. 10.4 Критична діаграма по Cδ - теорії (1) і по Грифітсу (2) для полоси

з тріщиною, яка розтягується. Докритичні діаграми показано лініями 3 і 4 відповідно. Безрозмірні позначення 0/pλ σ= , довжина 08 / Cl Eζ σ π δ= .

При цьому з'являється можливість наступного трактування виразу (10.22).

Ліва частина рівняння є формулою для коефіцієнта інтенсивності напружень, в яку при даній довжині тріщини підставлено реальне руйнуюче напруження. Зазначимо, що при цьому концепція коефіцієнта інтенсивності напружень не дотримується. Права частина формули (10.22) – граничне значення коефіцієнта інтенсивності напружень, залежне від довжини тріщини. Тоді рівність (10.22) можна представити у вигляді

K Ic= (10.23)

За експериментально знайденим значенням границі тріщиностійкості з рівності (10.23) можна обчислити реальне руйнуюче напруження, яке входить у відому формулу для K.

Ic

Границю тріщиностійкості можна також обчислити, якщо є можливість обчислення руйнуючого брутто-напруження сσ залежно від довжини тріщини

. Нехай для розтянутої площини з одиночною тріщиною критична діаграма представлена виразом l

( ) 1 2

KIcc

l rσ

π=⎡ ⎤+⎣ ⎦

, (10.24)

де 2qr ασ −= ; lim ; 0;C B l aσ σ= → − коефіцієнт; q – деяке емпіричне число.

З умови Bcσ σ= , при 0=l знайдемо коефіцієнт . ( )2( ) /IC BqKα π= σ

Тоді отримаємо

( ) ( ) ( )2 2

B

qcl K Kc Ic

σσ π

σ

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2Ic (10.25)

Як відомо, для розтягнутої нескінченної площини з тріщиною

( )1 2K lσ π= , (10.26)

і, за визначенням, при Kcl = Cσ σ= , тобто 2 2( ) ( )C CI lσ π= . Звідси одержуємо апроксимацію границі тріщиностійкості

1 2

1q

cI Kc IcB

σ

σ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⎜ ⎟ . (10.27) ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Взагалі, показник ступеня може бути підібраний емпірично, зокрема, за деякими оцінками . 2 4q = −

Вираз (10.27) може бути записаний трохи інакше 2

1B

q Ic cKIc

σ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

В такому варіанті вираз (20.27) є рівнянням граничної лінії у залежності коефіцієнта K від навантаження, яку на рис. 10.5 зображено у вигляді лінії , що походить через точки . , , , ,C CK D B A P

Рис. 10.5 Зростання коефіцієнта К з ростом параметра навантаження Р.

Лінія ОА – при l const= ; у точці С – старт тріщини; CD – зростання К з ростом l при Р=const; CB – докритичне зростання тріщини з одночасним зростанням Р.

Таким чином, границя тріщиностійкості є по суті критичною діаграмою

руйнування, записаною в термінах коефіцієнта інтенсивності напружень. Зазначимо, якщо у формулу (10.26) підставити значення руйнуючого

напруження з формули критичного напруження для площини з тріщиною, що має тонку пластичну зону

00

2 arccosexp8

CC

Epl

π δσ

π σ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

,

то одержимо межу тріщиностійкості у вигляді

1 2

8 lnsec2 2T T

c cI Kc Icσ πσ

σ σπ

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

. (10.28)

Узагальнюючи вищевикладене, запишемо єдине розрахункове рівняння, справедливе як для крихких, так і для пластичних станів:

( )( )I ncK n

m= , (10.29)

де T

Bnσσ

= – запас міцності по границі міцності, одержано на основі

першої теорії міцності для розрахункового номінального напруження 1σ в небезпечній точці деталі; – запас по границі тріщиностійкості, яка необхідна для визначення допустимої довжини тріщини; – границя тріщиностійкості; – коефіцієнт інтенсивності напружень для розрахункового навантаження.

1m >

CI (n)( )K n

Якщо розрахункове навантаження одержано з граничного діленням на запас , то величина залежатиме від значення , тобто , оскільки гранична величина коефіцієнта інтенсивності напружень залежить від руйнуючого напруження, яке може бути записано через запас міцності у

n K n ( )nKK =

вигляді , де ( )1 В nсσ σ σ= = 1σ - напруження в небезпечній точці. У цьому

випадку і границя тріщиностійкості також залежить від , тобто n ( )I I nc c= . Для врахування відмінностей у конструкційних формах і умовах навантаження

вводиться конструкційна границя тріщиностійкості у вигляді добутку границі тріщиностійкості матеріалу

детІсІс на конструкційний фактор ψ , тобто

детІ Iс cψ= . Умова безпечної роботи конструкції з тріщиною приймає такий вигляд:

K Icψ< . (10.30) Конструкційний фактор ψ повинен бути визначений спеціально

поставленими експериментами. Для плоских деталей, працюючих на згин і розтяг, хороша відповідність розрахованих руйнуючих навантажень і експериментальних має місце при

1 2В

В

дет детbb

σψ

σ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

, (10.31)

де, - відповідно ширина деталі і зразка уздовж лінії тріщини. ,детb bПо суті, конструкційний фактор дозволяє взаємно перераховувати

властивості зразків і деталей у задачі конструкційної міцності. Подібна задача виникає при використанні кожної механічної характеристики. Зрозуміло, що для більш складної і відповідальної характеристики деталі з тріщиною потрібні і більш ретельні дослідження, які спеціально направлені на розв’язання проблеми конструкційної міцності.

10.6. Послідовність розрахунку на міцність

Розрахунок на міцність, що пропонується механікою крихкого руйнування,

включає наступні етапи: а) вибір форми, розміру і місцеположення найбезпечнішого

тріщиноподібного дефекту; б) визначення КІН на фронті тріщини з урахуванням внутрішніх напружень

металургійного, технологічного або експлуатаційного походження; в) вибір критерію локального руйнування на фронті тріщини, вивчення

докритичнго розвитку тріщини і визначення критичного (граничного) стану, який відповідає виходу конструкції на нерозрахунковий режим (наприклад, руйнування).

Перший етап реалізується на основі натурних і лабораторних спостережень і багато в чому залежить від інтуіції інженера.

Другий етап розв'язується на основі методів класичної теорії пружності.

На останньому етапі розрахунку на міцність обчислене значення найбільшого КІН (як певної функції навантажень, розмірів тіла і довжини початкової тріщини) прирівнюється до деякого критичного значення цього коефіцієнта, характеризуючого опір матеріала відриву на фронті тріщини нормального розриву.

Практично найважливішу роль грають наступні критичні КІН: а) в'язкість руйнування (при монотонному навантаженні до початку

локально нестабільного руйнування в умовах обмеженої плоскої деформації); 1CK

б) величина (при монотонному навантаженні пластин з крізними тріщинами);

CK

в) величина (при циклічному навантаженні); YKг) величина IsccK (в умовах тривалого навантаження сталим

навантаженням в корозійно-активному середовищі). Величина змінюється в межах CK (1 3) ICK÷ . Величина є практичною

границею втоми, вона дорівнює приблизно YK

(0.1 0.05) ICK÷ . Пороговий коефіцієнт інтенсивності напружень IsccK суттєво залежить від зовнішнього середовища.

Якщо IK менше (або відповідно YK IsccK ), то тріщина не росте. Насправді це висновок справедливий тільки для деякої фіксованої бази випробування, граючої роль гарантійного терміну (менше циклів для

і менше року для

810 10÷ 9

YK IsccK ). Метод розрахунку крихкої міцності за критичним КІН не можна вважати

цілком задовільним, оскільки він не враховує повільного докритичного розвитку втомних і корозійних тріщин. Проте ясно, що цей чинник йде в запас міцності, тому у ряді випадків буває достатньо одержуваних оцінок.

10.7. Обмеження лінійної пружної механіки руйнування (ЛПМР)

Рівняння ЛПМР, будучи наближеними, мають верхню і нижню границіі застосування. Це пов'язано з тим, що розв’язки з використанням КІН приводять до сингулярності напружень у вершині тріщини при r = 0, і хоча вони можуть давати достатньо хорошу оцінку величини пластичної зони, вони не описують поля деформацій усередині пластичної зони і, отже, непридатні для описання процесу в'язкого руйнування усередині пластичної зони. При високому рівні напружень K - розв’язки фактично вже не описують дійсного поля напружень, і, отже, істинних розмірів пластичної зони. Це може привести до невиправдано консервативних результатів розрахунків, оскільки перерозподіл напружень у результаті пластичної течії і притуплення вершини тріщини, пов'язаного з ним, допускають більш високі експлуатаційні навантаження, особливо для високопластичних матеріалів.

Прийнято, що ЛПМР може використовуватися при дотриманні умов rp ≤ a/50, W/50, B/50, де W, B – ширина і товщина пластини. При цьому напруження

не повинні перевершувати / 5Tσ . Зрештою випробування на основі методів ЛПМР і застосування концепції ICK для матеріалів з високою в'язкістю і пластичністю (коли крихкому руйнуванню передує розвиток великої пластичної зони у вершині тріщини) вимагають зразків дуже великих розмірів, в яких тріщини і їх пластичні зони не залежать від границь зразка і має місце плоский деформований стан, тобто виконується умова B≥ 2.5(K/σт)2.

Також є недосяжною для описання апаратом ЛПМР тріщина, що виникла на дні надрізу, тобто яка знаходиться в пластичній зоні.

За межами вказаних обмежень застосування ЛПМР дає помилку, зростаючу із зростанням відношення розміру пластичної області до розміру пружної області. Відповідь на питання, до якого моменту можна допускати існування вказаної помилки, залежить від тих вимог, які прийняті при проектуванні.

У випадку руйнування крихких матеріалів в ЛПМР вводять відповідну поправку на пластичність, що дозволяє зменшити цю помилку.

На закінчення відзначимо, що нижню межу розмірів будь-якої тріщини, яка піддається опису на основі законів механіки суцільного середовища, можна знайти, вводячи поняття розміру мінімальної пластичної зони, наприклад ∼ 10 мкм, що дає мінімальну довжину тріщини ∼ 0.5 мм При менших розмірах ЛПМР стає непридатною, і тріщини завдовжки менше 0.5 мм розглядаються як короткі.

10.8 Двокритеріальний підхід і діаграма оцінки руйнування

З параметром розкриття тріщини пов’язані пропозиції по використанню

декількох критеріїв у залежності від величини зони текучості. У методі

запропонованому Е.М. Морозовим [2] для маломасштабної текучості критерій

руйнування записується у вигляді

lсК

вРкР

вРсР

πσ11== .

Для повномасштабної текучості –

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

8

2exparccos2

вPkP

вРсР π

π.

Для діапазону загальної текучості (пластичне руйнування) –

11==

σσс

РвсР ,

де РС – дійсне руйнівне навантаження; РВ – граничне навантаження згідно

з теорією пластичності; РК – руйнівне навантаження, яке встановлюється згідно

з лінійною механікою руйнування.

(У наведених формулах використовується напруження σ1 замість Т

σ для

врахування деформаційного стиснення)

Харрисон и Милен [3] запропонували використати залежність величини

1

1r

c

KKK

= від параметра Pв

cPrS = (рис. 5.3)

Рис.5.3

Діаграму пропонується використовувати у такій послідовності:

1. Визначити К1 для виявленого дефекту і розрахувати cK

KrК

11= ;

2. Визначити відношення зовнішньої сили до граничного навантаження за

теорією пластичного руйнування Pв

cPrS = ;

3. Помножити ці відношення на коефіцієнт безпеки n:;

4. Побудувати точку на діаграмі і якщо точка лежить в області А, то дефект у даний момент буде стійким. Якщо розмір дефекту з яких-небудь причин збільшиться треба зробити перевірку за п. 1-4.

Висновки 1. Основне питання теорії тріщин – встановлення і вивчення критерію руйнування. Критерій руйнування встановлює умову настання граничного стану рівноваги. Загальний вигляд критерію руйнування

( , ) CF P l F≤ , (10.1)

де – критеріальна функція зовнішнього навантаження і довжини

тріщини, – критерій, знайдений експериментально для критичного стану при

якому

( , )F P l

CF

( , )C C CF P l F= . (10.2)

Співвідношення (10.4), (10.11) і (10.14), (10.15) є основними в лінійній механіці руйнування. З їх допомогою проводиться як розрахунок граничного стану елемента конструкції з тріщиною, так і оцінка механічних властивостей матеріалу, що описують його здатність гальмувати зростання тріщини. Величини GIc , а часто і Gc KIc , Kc називають в'язкістю руйнування.

Методика експериментального визначення в'язкості руйнування відображена в нормативних документах (див. також лекцію 9).

ICK K≤ . (10.4)

G Gc≤ , (10.11)

для плоскої деформації

( ) 221 KGE

ν= − , (10.14)

для плоского напруженого стану

2KG

E= (10.15)

2. У розрахунках на міцність широке використання мають два критерії, які встановлюють умови, при яких настає стан граничної рівноваги при руйнуванні. Це силовий критерій Ірвіна і критерій критичного розкриття CK

тріщини (КРТ). Критерії є однопараметричними, оскільки вони дозволяють зробити висновок про настання руйнування при зміні величини одного параметра, коефіцієнта інтенсивності напружень або розкриття тріщини. Силовий критерій Ірвіна має вигляд

I ICK K≤ . ІІ ІІК К с≤ , ІІІ ІІІсК К≤ . Критичні коефіцієнти інтенсивності , ,IC IIC IIICK K K можна знайти за формулою

c cK aσ π= , де Cσ – напруження в момент руйнування.

3. Якщо у тілі є різні тріщини, то критичний стан визначається більш складною умовою

1 2

1m m m

І II III

ІС IIC IIIC

К K KК K K

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= , (10.6)

де m1 m2 m3 – константи матеріалу.

4. Критерій тріщиностійкості за Гриффітсом має вигляд G Gc≤ , (10.11)

де ,dWGds

= - механічна характеристика тріщиностійкості матеріалу,

яка відображає його опір зростанню тріщини і називається в'язкістю руйнування.

для плоскої деформації

( ) 221 KGE

ν= − , (10.14)

для плоского напруженого стану

2KG

E= . (10.15)

Таким чином, для висновку про початок розповсюдження тріщини маємо два еквівалентні формулювання критерію руйнування:

3. Енергетичне. Тріщина починає рости, якщо інтенсивність енергіїG , що звільнилася, досягає критичної величини CG .

4. Силове. Тріщина починає рости, якщо коефіцієнт інтенсивності напружень K досягає критичної величини Kc .

5. Умови руйнування, задані двома критеріями є еквівалентними. В

пружній постановці між цими критичними характеристиками матеріалу існує такий зв'язок:

для плоскої деформації

( )2 21 К EGІс Icν− = , (10.16)

для плоского напруженого стану

2K EGc = c .

у загальному випадку напруженого стану

2 21 1 12 2 2G K K K G G GI II III I II IIIE E E

ν ν ν− − += + + = + + (10.19)

6. При великих довжинах тріщин і малій локальної пластичності

матеріалу спостерігається повний збіг результатів розрахунку за обома критеріями. При цьому обидві характеристики матеріалу повністю співпадають

( )2 TK EG Ec c cσ δ= =

Розрахунок на міцність, згідно з положеннями механіки крихкого руйнування, включає наступні етапи:

а) вибір форми, розміру і місцеположення найбезпечнішого тріщиноподібного дефекту;

б) визначення КІН на фронті тріщини з урахуванням внутрішніх напружень металургійного, технологічного або експлуатаційного походження;

в) вибір критерію локального руйнування на фронті тріщини, вивчення докритичнго розвитку тріщини і визначення критичного (граничного) стану, який відповідає виходу конструкції на нерозрахунковий режим (наприклад, руйнування).

Перший етап реалізується на основі натурних і лабораторних спостережень і багато в чому залежить від інтуіції інженера.

Другий етап розв'язується на основі методів класичної теорії пружності. На останньому етапі розрахунку на міцність обчислене значення

найбільшого КІН (як певної функції навантажень, розмірів тіла і довжини початкової тріщини) прирівнюється до деякого критичного значення цього коефіцієнта, характеризуючого опір матеріала відриву на фронті тріщини нормального розриву.

7. При великих пластичних деформаціях критерієм тріщиностійкості приймається критичне розкриття тріщини (КРТ). Умова тріщиностійкості має вигляд

Cδ δ< .

Розрахунок ведеться за допомогою рівняння виду ( )δ σ δ, , , ,P b E li i b c= .

Вираз для δ знаходиться аналітично аналогічно виразу для коефіцієнта .. KВеличину Cδ можна визначити експериментально, або знайти

аналітичний вираз для тіла даної форми через 0, , ,CP E lσ аналогічно визначенню коефіцієнта .K