ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο€¦ · Web view1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση...

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - 1 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο

1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και οι ιδιότητές τους.

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Ιδιότηταα+β=β+α α.β=β.α Αντιμεταθετικήα+(β+γ)=(α+β)+γ α(βγ)=(αβ)γ Προσεταιρική α(β+γ)=αβ+αγ Επιμεριστικήα+0=α α.1=α Ουδέτερο στοιχείο

α+(-α)=0 α. =1 (α¹0) Συμμετρικό στοιχείο

Συνέπειες του ορισμού των πράξεων1. Αν α=β και γ=δÞ

(Πρόσθεση και πολλαπλασιασμός ισοτήτων κατά μέλη)

2. Αν α=βÞα+γ=β+γΑντίστροφα:α+γ=β+γÞα=β (Ιδιότητα διαγραφής)

Αν α=βÞα.γ=β.γΑντίστροφα:Αν αγ=βγ (γ¹0)Þα=β (Ιδιότητα διαγραφής)

3. α.0=0α.β=0Þα=0 ή β=0

4. (-1)α=-α(-α).β=-α.β(-α)(-β)=α.β (Κανόνας προσήμων)

5. -(α+β)=-α-β (Απαλοιφή παρενθέσεων)

6. Λογισμός με κλασματικές παραστάσεις (Ιδιότητες αναλογιών).

1.2. Δυνάμεις

ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405- ΒΟΛΟΣ. ΤΗΛ: 2421050413-6973306167


Ορίζω:

Δέχομαι ότι: α1=α α0=1

α-ν= .

Ιδιότητες δυνάμεων1. ακ.αλ=ακ+λ

2.

3. (ακ)λ=ακ.λ

4. ακ.βκ=(α.β)κ

5.

6.

1.3. Ταυτότητες1. (α+β)2=α2+2αβ+β2

2. (α-β)2=α2-2αβ+β2

3. (α+β)(α-β)=α2-β2

4. (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2αβ+2βγ+2γα5. (α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3

6. α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)7. α3-β3=(α-β)(α2+αβ+β2)8. (x+α)(x+β)=x2+(α+β)x+αβ

9. α3+β3+γ3-3αβγ= (α+β+γ)[(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2] (Ταυτότητα Euler).

10. Αν α+β+γ=0 ή α=β=γ, τότε: α3+β3+γ3=3αβγ (Ταυτότητα Euler με συνθήκη) Γενικές ταυτότητες

1.αν+βν=(α+β)(αν-1-αν-2β+…-αβν-2+βν-1) ( μόνο αν ν είναι περιττός)11. αν-βν=(α-β)(αν-1+αν-2β+…+αβν-2+βν-1) (για κάθε φυσικό αριθμό ν).

1.4. Εξίσωση α’ βαθμούαx+β=0 (Ε)

Διερεύνηση

Αν α¹0 , η (Ε) έχει μία μόνο λύση x=-

Αν α=0 και β¹0 , η (Ε) είναι αδύνατηΑν α=0 και β=0 , η (Ε) είναι ταυτότητα (δηλαδή αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x).

Για τη λύση της εξίσωσης α’ βαθμού ακολουθώ τα βήματα:I. Απαλοιφή παρανομαστών (αν υπάρχουν).II. Απαλοιφή παρενθέσεων (αν υπάρχουν).III. Χωρισμός γνωστών αγνώστων.IV. Αναγωγή ομοίων όρων.



V. Διαίρεση με τον συντελεστή του αγνώστου αν αυτός είναι διάφορος του 0.

Παράδειγμα

α. (ΕΚΠ=10)

Λύση

Û2(x-4)-5(x-3)=5(2x+1)Û2x-8-5x+15=10x+5Û2x-5x-

10x=8-15+5Û

Û

β. Να λυθεί η (παραμετρική) εξίσωση: (λ2-25)x=λ2+5λΛύση(λ2-25)x=λ2+5λÛ(λ+5)(λ-5)x=λ(λ+5) (Ε)

I. Αν λ¹±5 η (Ε) έχει μία λύση: x= Ûx=

I. Αν λ=5 η (Ε)Þ0x=50 είναι αδύνατηII. Αν λ=-5 η (Ε)Þ0x=0, είναι ταυτότητα

1.5. Διάταξη πραγματικών αριθμώνΑνισώσεις α’ βαθμούΈστω δύο αριθμοί α και β (πραγματικοί). Λέμε ότι ‘’ο α είναι μεγαλύτερος του β’’ και γράφω ‘’α>β’’ όταν η διαφορά α-β είναι θετική.Πιο σύντομα α>βÛα-β>0

Ιδιότητεςα. Διάταξη και πράξεις

α>β και β>γÞα>γ (μεταβατική ιδιότητα)α>βÞα+γ>β+γΑν γ>0 τότε: α>βÛαγ>βγΑν γ<0 τότε: α>βÛαγ<βγΑν α>β και γ>δÞα+γ>β+δΓια θετικούς αριθμούς ισχύει:Αν α>β και γ>δÞαγ>βδ

β. Διάταξη και δυνάμειςαν-βν>0Ûαν>βν

(Εννοείται ότι οι α,β είναι θετικοί αριθμοί και β φυσικός ¹0)

Ανισώσεις α’ βαθμούαx+β>0 ή αx+β<0

Πίνακας διερεύνησης της αx+β>0 (Α)

α>0 Η (Α) έχει λύσεις x>-



α<0 Η (Α) έχει λύσεις x<-

α=0 β>0 η (Α) είναι ταυτότηταβ£0 η (Α) είναι αδύνατη

1.6. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

Ορισμός: |α|=

Συνέπειες του ορισμού: |α|³0|α|³α και |α|³-α|α|=|β|Ûα=β ή α=-β|α|2=α2

ΙδιότητεςI. |α.β|=|α|.|β|

II.

III. |α±β|£|α|+|β|IV. Αν θ>0 τότε |x|<θÛ-θ<x<θV. Αν θ>0 τότε |x|<θÛx<-θ ή x>θ

Απόδειξη των Ι και ΙΙΈχω διαδοχικά: |αβ|=|α|.|β|Û|αβ|2=(|α|.|β|)2Û|αβ|2=|α|2.|β|2Û(αβ)2=α2.β2 που ισχύειΌμοια αποδεικνύεται και η ΙΙ.

Απόδειξη της ΙΙΙΈχω διαδοχικά: |α+β|£|α|+|β|Û|α+β|2£(|α|+|β|)2Û(αβ)2£|α|2+|β|2+2|α|.|β|ÛÛα2+β2+2αβ£α2+β2+2|α|.|β|Û2αβ£2|α|.|β|Ûαβ£|α|.|β| που ισχύει

Απόδειξη της IV|x|<θÛ|x|2<θ2Ûx2<θ2Ûx2-θ2<0Û(x-θ)(x+θ)<0Ûx+θ, x-θ ετερόσημοι οπότε θα είναι: x+θ>0 και x-θ<0 (γιατί x+θ>x-θ)Άρα x>-θ και x<θ ή -θ<x<θ

Απόδειξη της VΗ |x|>θ αληθεύει για εκείνα τα x που δεν αληθεύει η |x|£θÛ-θ£x£θ τότε: |x|>θÛx<-θ ή x>θ

1.7. Ρίζες πραγματικών αριθμώνΝιοστή ρίζα

Ορισμός: Αν α³0 και xν=αÛx=

Συνέπειες του ορισμού: Αν α³0 τότε:( )ν=α και =α.

Ιδιότητες ριζών



Αν α,β³0, τότε:I. . =

II.

III.IV.

Απόδειξη της I και ΙΙΥψώνω τα μέλη της Ι στη ν-οστή και έχω:( . )ν=( )νÛ( )ν.( )ν=αβÛα.β=αβ που ισχύειΌμοια αποδεικνύεται και η ΙΙ.

Απόδειξη της IΙΙ( )μν=[( )μ]ν=( )ν=α (1)( )μν=α (2)Από (1) και (2) =

Απόδειξη της IVΈχω διαδοχικά:

= =

Ορισμός δύναμης με ρητό εκθέτη

(Ισχύουν οι ιδιότητες των δυνάμεων που αναφέρθηκαν παραπάνω)

Η εξίσωση xν=α (Ε)Για την (Ε) ισχύει ο παρακάτω πίνακας διερεύνησης

Α ν Ρίζες της (Ε)α=0 0α>0 άρτιος και -

περιττόςα<0 άρτιος καμία

περιττός -

Μετατροπή κλάσματος σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή

Μορφή Ι: Κλάσμα της μορφής , βÎIR+*, μ,νÎΙΝ

Μετατροπή: =

Μορφή ΙΙ: ή , β,γÎIR+*

Μετατροπή (π.χ. της ): =

Μορφή ΙΙΙ:



Μετατροπή (π.χ.της ):

=(ξανά συζυγή παράσταση)=………=

=

Ασκήσεις 1 ου Κεφαλαίου

Πράξεις στο σύνολο των πραγματικών αριθμών1. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων:

α) , β) γ)

2. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α) [(3x-4ψ)+(2x-3)-(ψ+5)]+[(2x+3ψ-7)-(6x+ψ+10)] όταν x=3ψ+2. β) [(4x+5ψ-2)-(3x+2ψ-3)]-[(2x-3ψ-4)-(2x-5ψ+7)] όταν ψ=-x-10.

3. Nα γίνουν οι πράξεις:

α) γ)

ε)

4. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις:

α)

5. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις και κατόπιν να γράψετε τις παραστάσεις αυτές σε πιο απλή μορφή:

α)

Αναλογίες

6. Αν να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

7. Αν , να αποδείξετε ότι: x-ψ+z=0.

8. Aν να αποδείξετε ότι:



9. Αν να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων:

α)

Θεωρία αριθμών10. Να αποδείξετε ότι:

i) To άθροισμα άρτιου και περιττού είναι περιττός. ii) To άθροισμα και η διαφορά δύο περιττών είναι άρτιος. iii) Το τετράγωνο ενός άρτιου είναι άρτιος. iv) To τετράγωνο ενός περιττού είναι περιττός.

11. Να αποδείξετε ότι: i) To γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθμός. ii) Tο γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων διαιρείται: α) με το 4, β) με το 8. iii) Το άθροισμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών περιττών είναι άρτιος.

Δυνάμεις- ταυτότητες12. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης: Α=

13. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης:

Α=

14. Να γίνουν οι πράξεις:

α) β) (-5x3y2ω2)(-2xy2ω)(-x4y)

γ) (5x2+4xy)(3xy-2x2) δ) (x-3)2(x+3)2

ε) (-8x+4)2-(x-7)2 ζ) (5αβ+γ)2-(γ-2δ)2

η) (x+y)3+(x-y)3 θ) (x3yω2)-2.(x3y2ω)-1.(xyω3)-3

ι) κ) (-12x6y7ω4):[(-4x3y2ω).(-xy3)]

λ) [(-12x6y7ω4)2(-4x3y2ω)].(-xy3) μ) (2α+3β)3-(2α-3β)3

ν) (5α+9β)2-(5α-9β)2

15. Να δειχθούν οι ισότητες:α) x3-125=(x-5)(x2+5x+25)

β)

γ) (x2+y2)2+4xy(x2-y2)=(x2-y2+2xy)2 δ) (α-β)3+3(α-β)2(α+β)+(α+β)3+3(α+β)2(α-β)=8α3

ε) 1+x6=(1+ +x2)(1+x2)(1- +x2) η) (α2+β2+γ2+δ2)2-(α2+β2-γ2-δ2)2=4(αγ+βδ)2+4(βγ-αδ)2

θ) (x2+xy+y2)2-4xy(x2+y2)=(x2-xy+y2)2

ι) x4-y4-(x-y)3(x+y)=2xy(x2-y2)

16. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:

α) α2+β2+γ2-αβ-βγ-γα= [(α-β)2+(β-γ)2+(γ-α)2]



β) (α2+β2)2-(2αβ)2(α2-β2)2 γ) (α+β)2+(α-β)2=2(α2+β2) δ) α(α-2β)3+β(2α-β)3=(α-β)(α+β)3

17. Αν α+β+γ=2τ, να δείξετε ότι:

18. Αν α+β+γ=0, να δείξετε ότι η παράσταση: είναι

ανεξάρτητη των α, β, γ.

19. Αν x2-ψ2=1, να δείξετε ότι:

20. Αν α-β=1, να δείξετε ότι: α3(1-β)+β3(1+α)=α+β .21. α) Αν x+ψ=5 και x2+ψ2=7, να υπολογίσετε την παράσταση x3+ψ3.

β) Αν xψ=2 και x2+ψ2=40, να υπολογίσετε την παράσταση: x3-ψ3.22. Αν α,β να αποδείξετε ότι:

23. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) , β) 5αx-10x2-3 , γ) x210x+25-9ψ2, δ) x2-8x+15, ε) x+xψ-ψ-1, ε) α2+2αβ+β2-25, στ) (α2+β2-γ2)2-4 ζ) 125-8 .

24. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις:

δ) , ε)

Εξισώσεις α’ βαθμού-ρητές εξισώσεις

25. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) (x-2)2-(x-5)2=(7-4x)2-(3-4x)2 β) (x-8)(x-3)+x2=(x+6)2+(x-5)2

γ) δ)

ε)

ζ)

η) θ)

ι) κ)

Παραμετρικές εξισώσεις26. Να λυθούν οι παραμετρικές εξισώσεις:

α) (λ2-64)x=λ2+8λ β) 7(λ+1)x+5=8x+4(λ+6)



γ) (λ2-49)x=λ(λ+7)(λ+5) δ) (λ+4)x+6(2λ+1)=3(x-4)+λ+2 ε) (x+1)2-(x-2λ)2=λ(5-2λ-x)+5 ζ) 9x+λx-20λ=λx(λ+9)-20λ2

η) λ2(x-2)-3λ=x+1

27. Να προσδιοριστεί ο μ ώστε η εξίσωση 4μ2x-1=x+2μ να είναι ταυτότητα.28. Να προσδιοριστεί ο μ ώστε η εξίσωση μ2(x-1)-7μ=2(2μ+5) να είναι αδύνατη.29. Να προσδιοριστεί ο μ ώστε η εξίσωση μ2x+3=x+1 να έχει μοναδική λύση.30. Η εξίσωση (λ-2)x3-(μ-1)x2+(3+μ)x=5 έχει λύση το 1 και η εξίσωση

είναι αδύνατη. Να βρεθούν τα λ και μ.

Ανισωτικές σχέσεις

31. Aν α και β ομόσημοι, να αποδείξετε ότι: α<β

32. Να αποδειχθούν οι ανισότητες: α) 2(x2+ψ2) (x+ψ)2 β) (x+ψ)2 4xψ γ) α2+β2+5 2(2α+β) δ) α2+β2+γ2 -αβ-βγ-γα

33. Αν 1<α<β, να συγκριθούν οι αριθμοί:

34. Αν α, β 0 και α+β=1, να δείξετε ότι:

35. Αν x , ψ ομόσημοι, να αποδείξετε ότι:

36. Αν x , ψ ετερόσημοι, να αποδείξετε ότι:

37. Αν β>0 και α-β=1, να αποδείξετε ότι: `

38. Αν 0<α<β, να συγκρίνετε τους αριθμούς:

39. Αν α<β, να αποδείξετε ότι:

40. Αν α,β>0 και α<β, να αποδείξετε ότι:

41. Αν α, β>0, να αποδείξετε ότι:

42. Να αποδείξετε ότι: α) α2+β2+2 2(α+β). β) α2+β2+γ2+3 2(α+β+γ).

43. Να αποδείξετε ότι: (α2+β2)(x2+ψ2) (αx+βψ)2.44. Αν 1<x<3 και 2<ψ<5, να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκονται οι

παραστάσεις: α) x+ψ, β) 2x+3ψ-5, γ) x2+ψ2, δ)

Ανισώσεις α’ βαθμού45. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) β)

46. Να λυθούν οι ανισώσεις: α. (x-3)(x-4)<2+(x+2)(x-5) β. (x-1)(x-2)(x-3)>x2(x-6)

47. Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις:



α. x(x+3)-(x+2)x>3 και 4x(x-2)<x(4x-9)+5

β. και

γ. x(x+5)-2(2x-1)>x2+8 και

48. Να λυθούν οι παραμετρικές ανισώσεις:

α) β)

γ) δ)

Απόλυτες τιμές49. Να απλοποιηθεί η παράσταση:

Α= 50. Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α=51. Να γίνει απαλοιφή απολύτων τιμών στην παράσταση: Α=|x-3|+|3x-1|+6, όταν

xÎIR.

52. Αν x= και y= δείξτε: |x|+|y|=1.

53. Αν xÎΙR και Α= , να δειχθεί ότι: Α= .

54. Αν x<y<z, να απλοποιηθεί η παράσταση: Α=3|x-y|+5|y-z|-7|z-x|.55. Αν να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

Α=56. Αν |x|£2, |y|£8 και |z|£9, να δειχθεί ότι: -19£x+y+z£19.

57. Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α= .

58. Αν xÎIR και |x|£1, δείξτε ότι: |8x3-5x2+2|£15.59. Αν x,yÎIR, δείξτε ότι: xy-x|y|>|x|y-|xy|.60. Να αποδειχθεί ότι:

α)

β)

61. Αν x= , y= , z= , δείξτε ότι: .

62. Αν x,yÎIR*, δείξτε ότι: .

63. Αν x,yÎIR, να δειχθεί η ισοδυναμία: ||x|-|y||=|x+y|Ûxy£0.

64. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 6|x|-15=0 β) |x+5|=19 γ) |5x-2|=-3 δ) |7x-4|=|-3x+5|

ε) ζ)



η) (3|x|+2)(6|x|-1)=(2|x|+5)(9|x|-2) θ) |9-x|=

ι)

κ)

λ) |-4x+3|=|x+8| μ) |x|=2|x+4| .

65. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α)

β)

66. Αν ο αριθμός x ισαπέχει από τους αριθμούς 5 και 11 να βρεθεί ο x. 67. Nα βρεθεί ο αριθμός x ο οποίος απέχει από το 5 λιγότερο από 4 μονάδες.68. Τα σημεία Α και Β παριστάνουν τους αριθμούς 2 και –4.

α) Να το σημείο Μ το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β. β) Να βρείτε τα σημεία Μ, των οποίων η απόσταση από την αρχή Ο του άξονα είναι το πολύ 4 μονάδες, ενώ η απόστασή τους από το σημείο Α είναι μεγαλύτερη από 3 μονάδες.

69. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) γ)

δ) 70. Να λυθούν οι ανισώσεις:

α) β)

γ) δ)

71. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) β)

γ) δ) ε) ζ)

72. Να υπολογιστούν οι τιμές του x ώστε να ισχύει: α) d(x,2)>3 β) 3<d(x.,-2)<5

γ) d(x, 1)+2d(1, x)=6 δ) d(x+1, -3)<5 ε) d(2x, 3)<7 ζ) d(3x, -5)=2d(4, -2x)

73. Αν για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει ότι d(x, 0)< , να αποδείξετε ότι:

α) d(x –1)> β) d

74. Έστω α και β δύο μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί. Αν οι α και β ισαπέχουν από τους –2β και –2α αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι α και β ισαπέχουν από το μηδέν.

75. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) |x-4|>3(3-x) β) 5(4-x)<|x-2| γ) 1£|x-1|£2 δ) 4£|x|£10

76. Να λυθεί το σύστημα:



77. Aν να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης: Α=

78. Δείξτε ότι ισχύουν:

α. β.

Ρίζες πραγματικών αριθμών

79. Aν x+ , να υπολογίσετε το x2.80. Aν x2= να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:

81. Να υπολογιστούν τα ριζικά:

α. β. γ.

82. Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων (xÎIR)

α. A= β. B=

γ. Γ= δ. Δ=

83. Να βρείτε τα παρακάτω εξαγόμενα: i) iv) v)

84. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α) β)

γ)

δ)

85. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) γ)

86. Να γράψετε τις παραστάσεις με τη βοήθεια μίας μόνο ρίζας: α)

87. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α=

88. Να γίνουν οι πράξεις: α) β) γ) δ) ε) ζ)



η) θ) ι) κ)

89. Να γίνουν οι πράξεις:

α) (5α+4β- )(5α+4β+ ) β) (α - +7)(α + -7)

γ) δ)

ε)

90. Να τραπούν σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή τα παρακάτω κλάσματα:

α) β)

γ) δ)

ε) ζ)

91. Δείξτε ότι: , xÎIR*, -1<x<1.

92. Αν x= , δείξτε ότι:

93. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α. (71/2-31/2).(71/2+31/2).(α1/2+3).(α1/2-3) β. (5.31/2+51/2)2-(5.31/2-51/2)2

γ. (21/4.α+31/4.β)(31/4.α+21/4.β)-61/4.(α2-β2)+21/2.αβ δ. (x3-2x1/2y3/4-x5/2y1/3+2y1/12):(x1/2-y1/3)

94. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) x6-2x2=0 β) x4+x=0 γ) x5+16x=0 δ) x3-x=0

95. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 27x2-x5=0 β) x7-64x=0 γ) x6=-x δ) 3x+x11=0.

96. Να δειχθεί ότι:

α)

β)

γ) αν x<

97. Αν α= , β= , γ= , δείξτε ότι: α.β.γ=198. Δείξτε ότι:



99. Δείξτε ότι: . Κατόπιν να υπολογιστεί το

άθροισμα: Σ=

100. Να δειχθεί ότι η παράσταση: Α= είναι ρητός αριθμός.

101. Να δειχθεί ότι: .

102. Δείξτε ότι η τιμή της παράστασης Α= είναι ίση με

Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ»Πράξεις- ταυτότητες1. x3+ψ3=(x+ψ)3 Σ Λ � �2. (x2)3=x6 Σ Λ � �3. x2+x3=x5 Σ Λ � �4. 3-1+3-1= Σ Λ � �

5. 7-1+ Σ Λ � �

6. Aν x=ψ τότε x2=ψ2 Σ Λ � �7. Αν x2=ψ2 τότε x=ψ. Σ Λ � �8. Αν x3=ψ3 τότε x=ψ Σ Λ � �9. (-α-β)2=(α+β)2 Σ Λ � �10.(-α-β)3=-(α+β)3 Σ Λ � �11.α2+β2=(α+β)2-2αβ Σ Λ � �12.α2+β2=(α-β)2+2αβ Σ Λ � �13.α3+β3=(α+β)3-3αβ(α+β) Σ Λ � �Εξισώσεις- ανισώσεις 14.Η εξίσωση 3x=0 είναι αδύνατη. Σ Λ � �15.Η εξίσωση 0x=0 έχει μοναδική λύση x=0 Σ Λ � �16.Η εξίσωση x+1=x+4 είναι αδύνατη. Σ Λ � �17.Η εξίσωση (λ-1)x=λ+1 είναι ταυτότητα για λ=1. Σ Λ � �18.Η εξίσωση (λ2-2λ)x=λ(λ-1) έχει μοναδική λύση για λ Σ Λ � �19.Η εξίσωση (λ2-2λ)x=λ(λ-1) είναι αόριστη για λ=0. Σ Λ � �20.Η ανίσωση 0x<3 είναι αδύνατη Σ Λ � �21.Η ανίσωση 0x αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Σ Λ � �22.H ανίσωση 0x<0 είναι ταυτότητα. Σ Λ � �23.Για κάθε x, ψ ισχύει x2+ψ2 2xψ Σ Λ � �24.Για κάθε x, ψ ισχύει x2+ψ2 -2xψ. Σ Λ � �25.Ισχύει 2α2+2α+1>0 για κάθε α πραγματικό αριθμό. Σ Λ � �



26.Η ισοδυναμία x<ψ ισχύει για κάθε ζεύγος πραγματικών

αριθμών διάφορων του μηδενός. Σ Λ � �Απόλυτες τιμές

27.Ισχύει Σ Λ � �28.Ισχύει: για κάθε πραγματικό αριθμό x. Σ Λ � �

29.Ισχύει μόνον για x 0. Σ Λ � �

30.Ισχύει μόνον όταν x Σ Λ � �

31.Aν τότε x =0 ή ψ=0 Σ Λ � �

32.Aν τότε x =0 και ψ=0 Σ Λ � �

33.Η ανισότητα αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Σ Λ � �

34.H ανισότητα αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x. Σ Λ � �

35.Η ανισότητα αληθεύει για μόνο x=2. Σ Λ � �

36.Αν d(x, 4)<3, τότε: -1<x<7. Σ Λ � �

37.Αν Σ Λ � �

38.Aν d(x, 1) , τότε Σ Λ � �

Ρίζες πραγματικών αριθμών

39. Σ Λ � �

40. Σ Λ � �

41. Σ Λ � �

42.Ισχύει για κάθε α,β πραγματικούς. Σ Λ � �

43.Αν x,ψ τότε: Σ Λ � �

44.Αν x<0 τότε: Σ Λ � �

45.Ο αντίστροφος του Σ Λ � �

46.Οι λύσεις της εξίσωσης x5=-125x2 είναι x=0 και x=5. Σ Λ � �



47.H παράσταση είναι ίση με Σ Λ � �

48.Η παράσταση ισούται με Σ Λ � �

49.Η δεν ορίζεται για καμιά πραγματική τιμή του x. Σ Λ � �

50.Aν τότε α=β ή α=-β. Σ Λ � �

Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

51.Αν κ περιττός, τότε η τιμή της παράστασης: Α=1κ+1κ+1+(-1)κ+2+(-1)κ+3+(-1)κ+4 είναι: Α: 0,

Β:1, Γ: 2 Δ: 3 Ε: 5.

52.Αν τότε η τιμή του ν είναι:

Α:2, Β:0, Γ:4, Δ:7, Ε:5.

53.Η εξίσωση (λ2+1)x+λ+1=0 έχει μοναδική λύση: Α: για λ=1, Β: για λ=0, Γ: για κάθε λ , Δ: για λ=

54.Η εξίσωση (λ-2)x+2-λ=0 μοναδική ρίζα το 1: Α : Για λ , Β: για κάθε λ , Γ: για λ=-2, Δ: για λ=0.

55.Αν –3<x<2, τότε: Α: -3<-x<2, B: -3<-x<-2, Γ: -2<-x<3, Δ: -1<-x<0.

56.Aν –6<-3x<6, τότε:

Α: 2<x<-2, B: -2<x<3, Γ: -1< <1, Δ: 0<x<3.

57.Aν –1<x<1 και -1<ψ<1, τότε: Α: -2<x-ψ<2, Β: -2<x-ψ<0, Γ: 0<x-ψ<2, Δ: -1<x-ψ<1.

58. Αν αβ<0, τότε η παράσταση ισούται με:

Α: α+β, Β: α-β, Γ: Δ: Ε:

59.Αν αβ>0, τότε η παράσταση ισούται με:

Α: α+β, Β: α-β, Γ: Δ: Ε:

60.Αν d(x, 2)<1, τότε: Α: -1<x<1, Β: -2<x<2, Γ: -3<x<3, Δ: 1<x<2, E: -3<x<-1.

61.Aν d(x,α)<α, α , τότε λάθος είναι το: Α: x>0, B: x<0, Γ: , Δ: 0<x<2α, Ε: α>0.



62.Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο αριθμός:

Α:

63.Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο αριθμός:

Α:

64.Ο αντίστροφος του αριθμού

Α:

65.Αν α>β>0, και Κ=

Α:

********************** *************

******


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο€¦ · Web view1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασμός και οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση...

Documents