一、基本概念 1.代数系统 运算， S n S 的映射称为 S 上的 n 元运算

一、基本概念 1. 代数系统 运算， SnS 的映射称为 S 上的 n 元运算 代数系统：一个非空集合 S, 与一个或若干

个定义在 S 上的运算 Q1,…,Qk(k1), 就构成了一个代数系统 , 表示为 [S;Q1,…,Qk] 。

单位元，结合律，交换律，逆元，零元，分配律

同态，同构

2. 相容 设“ ~” 为 S 上的等价关系，“ *” 为 S

上的二元运算。若对任意 a,b,c,dS ，当 a~b， c~d时，必有 ac~bd，则称等价关系 ~ 与运算 是相容的，称 ~为代数系统 [S;] 的相容等价关系。

3. 半群，拟群，群 有关定理 4. 元素的阶和群的阶 定义 , 结论

5. 子群与陪集 概念 , 定理 , 陪集的实质 6. 商群与群同态基本定理 7. 环的基本概念 环的零元 , 环的单位元 , 交换环 在环中讨论元素可逆 1-un=(1-u)(1+u+u2++un-1) 8. 特征数 整环的特征数 9. 子环，理想，商环 9. 主理想 , 主理想环 10. 多项式环

11. 扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12. 代数元与代数扩域 极小多项式 13. 根域 根域的存在性与唯一性 ( 同构意义下 ) 14. 有限域，形式微商 15. 本原元与本原多项式

二、证明及判别、计算 1. 群 元素阶与群的阶 陪集与划分 , 拉格朗日定理应用 , 特别是补充证明的

一些结论。 子群，正规子群的验证和证明 设是群 G 上的等价关系 , 并且对于 G 的任意三个

元素 a,x,x‘ ，若 axax’ 则必有 x x‘ 。证明：与G 中单位元等价的元素全体构成 G 的一个子群。

H={xG|xe} 对任意的 xH ， xe=xe=xx-1 ，因此有 ex-1 ，所以 x-1H ， 对任意的 x,yH ，有 xe ， ye ， 即 x-1xy=eye=x-1x ，因此有 xyxe ， 所以 xyH 用群同态基本定理证明群同构

2. 环 理想 , 子环的判别 设环 R 存在唯一一个右单位元，证明该环

一定存在单位元。er 为右单位元，对任意的 a R∈ ，(era-a+er) ，设法证明 (era-a+er) 也是右单位元设 A 是环 R 的理想， B 是 R 的子集，

B={b| 对任意 aA, ba=0} ，证明： B 是环 R 的理想。

商环中的元素表示 零因子 用环同态基本定理证明环同构 求多项式的逆

3. 域 扩域 , 代数元 求 在有理数域上的极小多项式 . 4. 根域 确定根域 , 及扩张次数 有限域的根域存在性 , 唯一性证明方法 重根与形式微商 Zp 上 n 次不可约多项式根域 定理 :Zp 上的 n 次不可约多项式 f(x) 的根

域是 GF(pn)=Zp()

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5. 本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 GF(pn) 的表述 , 化简 求出所有本原元 , 本原多项式 已知为 GF(pn) 上的本原元，怎样求出

GF(pn) 上的所有本原元？ GF*(pn) 中的每个元素可表示为的幂次

形式 k 。由习题 14.19 知， k 的阶为pn -1 当且仅当 (k, pn -1)=1 ，即 k 为本原元当且仅当 (k, pn -1)=1 。因此我们就可在 ,2,pn-1 中找出所有的本原元。

已知 Zp 上的一个 n 次本原多项式 f(x), 怎样求出所有的 n 次本原多项式 ?

1. 为本原多项式 f(x) 的根 , 则有 f(x)=(x-)(x-p)(x-p2)(x-pn-1) 2. 已知 Zp 上的一个 n 次本原多项式 f(x), 求所

有 n 次本原多项式的方法是 : (1) 先求出 f(x) 的一个根 , 即本原元 , 然后求

出 GF(pn) 中的所有本原元 , (2) 根据求出的本原元按结论 1 中的方法构造其

他本原多项式 . 3. 凡不可约多项式若有一个根是本原元 , 则它

的所有根都是本原元 , 即 , 它一定是本原多项式 .

已知 x4+x+1 是 Z2 上的本原多项式 , 设是x4+x+1 的根 , (1) 求出 GF(16) 上的所有本原元，并用的幂次形式表示 .(2) 求出 Z2 上的所有四次本原多项式。

与 15 互质： 1 ， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ， 13 ，14

， 2 ， 4 ， 7 ， 8 ， 11 ， 13 ， 14 ， (x-)(x- 2)(x- 4)(x- 8) (x-7)(x- (7)2)(x- (7)22)(x-(7)23) =(x-7)(x- 14)(x- 13)(x-11)

定理 2( 艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 ) ：设f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数 p ，使得

(1)p 不能整除 an ； (2)p|a0,a1, ,a┅ n-1 ； (3)p2 不能整除 a0 ； 那么， f(x) 在有理数域上不可约。 1. 证明 2xn+9x2+6(n>2) 是有理数域上的不可

约多项式。 p=3

基本概念要清楚 熟知的数集上性质 注意按照定义和规则，不能想当然 要有一定的灵活，善于思考

考题类型：判断说明理由；证明，说明，计算考试时间： 5 月 8 日 9:50—11:35地点： Z2108占总分 40%

第十六章 格与布尔代数

§1 偏序与格

一、格的一般概念 偏序集 (P;≤) 是由一个非空的集合 P 及

在 P 上定义的偏序关系≤构成 在偏序集 (P;≤) 中，若对任意 a,bP 有

a≤b 或 b≤a 时称 P 为全序。 定义 16.1: 设 (L;≤) 为偏序集 , 如果对任

意的 a,bL 有最小上界与最大下界时 ,称 L 为格。以 ab=lub(a,b) 表示 a,b 的最小上界 ,ab=glb(a,b) 表示 a,b 的最大下界。

定义 16.2:(L;≤) 为格 , 如果 a≤b,ab( 记为 a<b), 且不存在 uL-{a,b} 使 a≤u≤b,则称 b覆盖 a。

当 a<b 时 , 如有 c1,,ckL(k1), 使 ci+1

覆盖 ci(i=1,2,,k-1), 且有a=c1<c2<<ck=b, 则称 c1,,ck 为连接a,b 的链。如果 L 的任何两个元素 a<b,总有连接它们的链 , 则称 L 是离散的。有限的离散全序集的哈斯图由一条链组成。

例 : 设 G 是一个群 ,L(G) 表示 G 的所有子群构成的集合 , 则 L(G) 关于集合包含关系构成一个偏序集 ,

并且是格 . 称为 G 的子群格 例 : 设 G 是一个群 ,P(G) 表示 G 的所有

正规子群构成的集合 , 则 P(G) 关于集合包含关系构成一个偏序集

并且是格 . 称为 G 的不变子群格

例 : 设 B={0,1},≤n 为定义在 Bn 上的关系 , 对任 (a1,,an),(b1,,bn)Bn, (a1,,an)≤n (b1,,bn) 当且仅当 ai≤nbi(1in), 显然这是一个偏序关系。并且 (Bn,≤n) 是格 .

格的定义是 : 设 (L;≤) 为偏序集 , 如果对任意的a,bL 有最小上界与最大下界时 , 称 L 为格。

定义 16.3(L;≤) 为偏序集 , 当任 AL 有最大下界 , 最小上界时 ,L 显然是格 , 称为完全格。 L 自身的最小上界是整个格 L 的最大元 , 记为 1;L 自身的最大下界为整个格L 的最小元 , 记为 0 。于是任xL,x≤1,0≤x 。

注意 : 此处的子集 A 可以是有限的 , 也可以是无限的。

例如前面的子群格 L(G) 是完全格 .

例 : 取 S={a,b,c},(P(S);) 是一个格 , 其最大元是 S={a,b,c}, 最小元是。任取一个子集合有最大下界和最小上界 , 如{{a},{a,c},{c}} 的最大下界是 , 最小上界是 {a,c}; 它是一个完全格。

要说明的是并不是所有的格都是完全格 .

二、作为代数系统的格 (L;≤) 为偏序集 , 如果对任意的 a,bL 有

最小上界与最大下界时 , 称 L 为格。以ab=lub(a,b) 表 示 a,b 的 最 小 上界 ,ab=glb(a,b) 表示 a,b 的最大下界。而最小上界和最大下界都是 L 中的元素。

在格 (L;≤) 中，对任意两个元素 a,bL,可 唯 一 确 定 ab 和 ab, 且 它 们 都属于L ，和看作为集合 L 上的 2 个二元运算

定理 16.1:(L;≤) 为格 , 则对任意 a,bL有 :

(1)a≤ab,b≤ab,ab≤a ab≤b; (2)a≤b 当且仅当 ab=b; (3)a≤b 当且仅当 ab=a 。

非空集合 L 上和这两个二元运算所具有性质， [L;,] 为一个代数系统。

定理 16.2:(L;≤) 为格 , 任 a,b,cL 有 : L1 幂等律 :aa=a,aa=a;

L2 交换律 :ab=ba,ab=ba;

L3 结合律 :a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c; L4吸收律 :a(ab)=a, a(ab)=a 。

对于一个代数系统 [L;,], 其中 , 为 L 上的二元运算 , 它们满足 L1～ L4, 此时有何特点

引理 16.1: 在 [L;,] 中二元运算 ,满足 L1～L4, 则对任 a,bL,ab=a, 当且仅当 ab=b 。

引理 16.2 ：在 [L;,] 中 ,,满足 L1 ～ L4, 定义 在 L 上 定 义 二 元 关 系 ≤ : 对 任 意a,bL,a≤b, 当且仅当 ab=b ，则 (L;≤) 为偏序集。

自反 :反对称 :传递 :

在代数系统 [L;,] 中 ,,满足 L1 ～ L4, 定义在 L 上定义二元关系≤ : 对任意 a,bL,a≤b,当且仅当 ab=b ，则 (L;≤) 为偏序集。

(L;≤) 是否为格？ 关键证明存在最小上界和最大下界 因此考虑是否能证明 ab,ab 为最小上界和

最大下界 先证明 ab 是 a 和 b 的上界 , 即是否成立 a≤ab, b≤abL1 L～ 4

然后证明 ab 为 a 和 b 的最小上界 即证明若存在 uL, 使得 a≤u,b≤u, 必有 ab≤u

定理 16.3: 如引理 16.2 所得之偏序集(L;≤) 为格。

定义 16.4: [L;,] 为一代数系统 ,, 为定义在 L 上的二元运算 , 当其满足 L1 ～ L4

时，称 L 为格。并称为积 ( 或交 ), 为和( 或并 )

例： Z+ 表示正整数集，对任意 a,bZ+,定义 :ab=(a,b) ( 最大公因子 )

ab=[a,b] ( 最小公倍数 )

, 是 Z+ 上的二元运算 它们满足 L1 ～ L4

取 Z+ 的子集 P={2n|n=1,2,}

有最大下界 2,无最小上界，所以它不是完全格。

作业 P219 3,8,9

L1 幂等律 :aa=a,aa=a;

L2 交换律 :ab=ba,ab=ba;

L3 结合律 :a(bc)=(ab)c, a(bc)=(ab)c; L4吸收律 :a(ab)=a, a(ab)=a 。