Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, όπως και το πρώτο τεύχος, είναι εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη και απευθύνεται στους μαθητές της Γ΄ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής. Δεν είναι απλά μια προσαρμογή του επί δέκα συναπτά έτη δοκιμασμένου και από- λυτα επιτυχημένου βιβλίου μας, που αποτέλεσε για χιλιάδες μαθητές το βοήθημα της επιτυχίας τους, αλλά πρόκειται για ένα νέο βιβλίο, αισθητικά αναβαθμισμένο, ριζικά αναδομημένο, συμπληρωμένο και εμπλουτισμένο με τις γνώσεις και τις απαιτήσεις του σήμερα. Κάθε ενότητα περιέχει: ♦ Τη βασική θεωρία, με σχόλια, παρατηρήσεις και τις απαραίτητες μεθοδεύσεις. ♦ Λυμένες ασκήσεις που επιλέχθηκαν προσεκτικά, ώστε μέσα από τη μελέτη τους ο μαθητής να κατακτήσει όλες τις έννοιες και τις τεχνικές που αφορούν τη συγκεκριμένη παράγραφο. ♦ Προτεινόμενες ομάδες ασκήσεων με σκοπό την εξάσκηση και την εμβάθυνση στα αντίστοιχα θεωρήματα και τις εφαρμογές τους. ♦ Ερωτήσεις κατανόησης για τον έλεγχο της θεωρίας και τον εντοπισμό των πιο λεπτών σημείων της. ♦ Θέματα προετοιμασίας, δηλαδή ασκήσεις με συνδυασμό ερωτημάτων, στο πνεύμα των Πανελληνίων Εξετάσεων, ώστε ο μαθητής να εξοικειώνεται από νωρίς με τη μορφή και το επίπεδο δυσκολίας της τελικής εξέτασης. ♦ Απαντήσεις, επαρκείς υποδείξεις ή πλήρεις λύσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκή- σεις, ώστε ο μαθητής να ελέγχει τα αποτελέσματά του και η μελέτη να γίνεται ευχάριστη και αποτελεσματική. Οι δύο τελευταίες ενότητες είναι αφιερωμένες στη γενική επανάληψη. Περιέχουν διεξοδικά τη θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων, τους ορισμούς συγκεντρωτι- κά αλλά και όλα τα θεωρήματα στα οποία μπορεί να ζητηθεί η απόδειξη. Δίνονται επί- σης τα θέματα των Πανελληνίων Εξετάσεων των προηγούμενων ετών σύμφωνα με τη νέα ύλη. Οι επαναληπτικές ενότητες ολοκληρώνονται με τη συστηματοποίηση των ασκήσεων μέσω γενικών μεθοδεύσεων. Για την τελική εξάσκηση στο τελευταίο στάδιο της προετοιμασίας δίνονται πάνω από 250 γενικά θέματα. Θέλουμε να πιστεύουμε ότι το βιβλίο αυτό, βάσει της δομής και του περιεχομένου του, καθώς και της διδακτικής εμπειρίας των συγγραφέων του, καθίσταται χρήσιμο εργαλείο στα χέρια των αναγνωστών του και θα οδηγήσει τους υποψηφίους στην επί- τευξη των στόχων τους. Ευχαριστούμε από τη θέση αυτή τις συναδέλφους Φωτεινή Καλδή και Αντιγόνη Λυκοτραφίτη για τις παρατηρήσεις τους, καθώς και τον Δημήτρη Τσάκο για την επιμέ- λεια του βιβλίου. Οι συγγραφείς
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,
Τοβιβλίοαυτό,όπωςκαιτοπρώτοτεύχος,είναιεναρμονισμένομετηνπρόσφατακαθορισμένηύληκαιαπευθύνεταιστουςμαθητέςτηςΓ΄ΛυκείουπουέχουνεπιλέξειτονπροσανατολισμόΘετικώνΣπουδώνήΣπουδώνΟικονομίαςκαιΠληροφορικής. Δενείναιαπλάμιαπροσαρμογήτουεπίδέκασυναπτάέτηδοκιμασμένουκαιαπό-λυταεπιτυχημένουβιβλίουμας,πουαποτέλεσεγιαχιλιάδεςμαθητέςτοβοήθηματηςεπιτυχίαςτους,αλλάπρόκειταιγιαένανέοβιβλίο,αισθητικάαναβαθμισμένο,ριζικάαναδομημένο,συμπληρωμένοκαιεμπλουτισμένομετιςγνώσειςκαιτιςαπαιτήσειςτουσήμερα. Κάθεενότηταπεριέχει:♦ Τηβασικήθεωρία,μεσχόλια,παρατηρήσειςκαιτιςαπαραίτητεςμεθοδεύσεις.♦ Λυμένεςασκήσειςπουεπιλέχθηκανπροσεκτικά,ώστεμέσααπότημελέτητουςομαθητήςνακατακτήσειόλεςτιςέννοιεςκαιτιςτεχνικέςπουαφορούντησυγκεκριμένηπαράγραφο.♦ Προτεινόμενεςομάδεςασκήσεωνμεσκοπότηνεξάσκησηκαιτηνεμβάθυνσηστααντίστοιχαθεωρήματακαιτιςεφαρμογέςτους.♦ Ερωτήσειςκατανόησηςγιατονέλεγχοτηςθεωρίαςκαιτονεντοπισμότωνπιολεπτώνσημείωντης.♦ Θέματαπροετοιμασίας,δηλαδήασκήσειςμεσυνδυασμόερωτημάτων,στοπνεύματωνΠανελληνίωνΕξετάσεων,ώστεομαθητήςναεξοικειώνεταιαπόνωρίςμετημορφήκαιτοεπίπεδοδυσκολίαςτηςτελικήςεξέτασης.♦ Απαντήσεις,επαρκείςυποδείξειςήπλήρειςλύσειςσεόλεςτιςπροτεινόμενεςασκή-σεις,ώστεομαθητήςναελέγχειτααποτελέσματάτουκαιημελέτηναγίνεταιευχάριστηκαιαποτελεσματική. Οιδύοτελευταίεςενότητεςείναιαφιερωμένεςστηγενικήεπανάληψη.Περιέχουνδιεξοδικάτηθεωρίασεμορφήερωτήσεων–απαντήσεων,τουςορισμούςσυγκεντρωτι-κάαλλάκαιόλαταθεωρήματασταοποίαμπορείναζητηθείηαπόδειξη.Δίνονταιεπί-σηςταθέματατωνΠανελληνίωνΕξετάσεωντωνπροηγούμενωνετώνσύμφωναμετηνέαύλη.Οιεπαναληπτικέςενότητεςολοκληρώνονταιμετησυστηματοποίησητωνασκήσεωνμέσωγενικώνμεθοδεύσεων.Γιατηντελικήεξάσκησηστοτελευταίοστάδιοτηςπροετοιμασίαςδίνονταιπάνωαπό250γενικάθέματα. Θέλουμεναπιστεύουμεότιτοβιβλίοαυτό,βάσειτηςδομήςκαιτουπεριεχομένουτου, καθώς και της διδακτικής εμπειρίας των συγγραφέων του, καθίσταται χρήσιμοεργαλείοσταχέριατωναναγνωστώντουκαιθαοδηγήσειτουςυποψηφίουςστηνεπί-τευξητωνστόχωντους. ΕυχαριστούμεαπότηθέσηαυτήτιςσυναδέλφουςΦωτεινήΚαλδήκαιΑντιγόνηΛυκοτραφίτηγιατιςπαρατηρήσειςτους,καθώςκαιτονΔημήτρηΤσάκογιατηνεπιμέ-λειατουβιβλίου.
1.23 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R $ R για την οποία ισχύει:f ´(x) > 3x2 για κάθε x ! R και f (0) = 0
α) Να αποδειχθεί ότι:( )lim f x
x" 3+ = +3 και ( )lim f x
x" 3- = -3
β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. γ) Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης f.
Λύση
Πρόκειται για χαρακτηριστικό θέμα, διότι δείχνει έναν τρόπο αξιοποίησης μιας ανισοτι-κής σχέσης που περιέχει παράγωγο. Τονίζουμε ότι οι ανισοτικές σχέσεις ούτε παραγωγί-ζονται ούτε αντιπαραγωγίζονται (ολοκληρώνονται).α) Επειδή3x2 = (x3)´,προκύπτειότι:f ´(x) > 3x2 ,f ´(x) > (x3)´ ,f ´(x) - (x3)´ >0, (f (x) - x3)´ >0(1)
1.25 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 2x3 + 3x2 - α, α ! R. α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία. β) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (-1), καθώς και τα όρια:
( )limA f xx
=" 3-
και ( )limB f xx
=" 3+
γ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = 0 για τις διάφορες τιμές του α.
1.130 Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτά-σεις ως σωστές (Σ) ή ως λανθασμένες (Λ):α) ΑνησυνάρτησηfείναισυνεχήςστοΑκαιισχύειf ΄(x)>0σεκάθεεσωτερικόσημείοτουΑ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτοΑ.
ι) Ανησυνάρτηση f είναιγνησίωςμονότονησεέναδιάστημαΔ,τότεείναικαι"1 - 1"στοΔ.ια)Έστωμιασυνάρτησηf,ηοποίαείναισυνεχήςσεέναδιάστημαΔ.Ανf ΄(x)>0σεκάθεεσωτερι-κόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιγνησίωςφθίνουσασεόλοτοΔ. (Θέμα εξετάσεων)
1.131 Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:Έστωμιασυνάρτησηf,ηοποίαείναισυνεχήςσεέναδιάστημαΔ.Ανf ΄(x)>0σεκάθεεσωτερικόσημείοxτουΔ,τότεηfείναιγνησίωςαύξουσασεόλοτοΔ. (Εξετάσεις 2012)
Θέματα για τις εξετάσειςΤα επόμενα θέματα μπορούν να αξιοποιηθούν για τη γενική επανάληψη της ενότητας ή για την προετοι-μασία του σχετικού επαναληπτικού διαγωνίσματος.