Тема 3 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 7 Системы случайных величин При исследовании различных процессов и систем возникают случаи рассмотрения различной совокупности случайных величин – системы двух, трех и большего числа случайных величин. Так, например, цена единицы товара Х и количество товара Y на рынке представляют собой двумерную случайную величину ( Х, Y). Положение корабля на карте характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин: коорди-натами широты Х и долготы Y. Количество очков при одновременном бросании двух игральных костей определяется двумерной случайной величиной (Х, Y): количеством очков Х одной кости и количеством очков Y другой. Двумерная случайная величина может рассматриваться как случайная точка на плоскости (Рис. 3.49). При исследовании спроса товара на рынке цена единицы товара Х, количество товара Y и завод изготовитель Z товара представляют собой трехмерную случайную величину (Х, Y, Z). Положение в пространстве летательного аппарата определяется, в частности, системой (Х, Y, Z) трех случайных величин: широтой Х, долготой Y и высотой Z летательного аппарата. Трехмерная случайная величина может рассматриваться как случайная точка в трехмерном пространстве Рис. 3.50. Количество n видов товаров на рынке представляют собой систему n случайных величин ) , ,... ,..., , ( 2 1 n i X X X X , где i X ) ,..., 1 ( n i количество товара i - го вида. Если некоторая система состоит из n элементов, то моменты времени i X случайных отказов этих элементов образуют n - мерную систему случайных величин ) , ,... ,..., , ( 2 1 n i X X X X .
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Тема 3
СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Лекция 7
Системы случайных величин
При исследовании различных процессов и систем возникают случаи
рассмотрения различной совокупности случайных величин – системы двух,
трех и большего числа случайных величин.
Так, например, цена единицы товара Х и количество товара Y на рынке
представляют собой двумерную случайную величину (Х, Y). Положение
корабля на карте характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин:
коорди-натами широты Х и долготы Y. Количество очков при одновременном
бросании двух игральных костей определяется двумерной случайной
величиной (Х, Y): количеством очков Х одной кости и количеством очков Y
другой. Двумерная случайная величина может рассматриваться как
случайная точка на плоскости (Рис. 3.49).
При исследовании спроса товара на рынке цена единицы товара Х,
количество товара Y и завод изготовитель Z товара представляют собой
трехмерную случайную величину (Х, Y, Z). Положение в пространстве
летательного аппарата определяется, в частности, системой (Х, Y, Z) трех
случайных величин: широтой Х, долготой Y и высотой Z летательного
аппарата. Трехмерная случайная величина может рассматриваться как
случайная точка в трехмерном пространстве Рис. 3.50.
Количество n видов товаров на рынке представляют собой систему n
случайных величин ),,...,...,,( 21 ni XXXX , где iX ),...,1( ni количество
товара i - го вида. Если некоторая система состоит из n элементов, то
моменты времени iX случайных отказов этих элементов образуют
n - мерную систему случайных величин ),,...,...,,( 21 ni XXXX .
Упорядоченный набор ),,...,...,,( 21 ni XXXX случайных величин iX
),...,1( ni называют системой n случайных величин, n - мерной случайной
величиной или случайным вектором.
Одномерные случайные величины ni XXXX ,,...,...,, 21 называются
составляющими или компонентами n - мерной случайной величины
),,...,...,,( 21 ni XXXXX . Каждому элементарному событию n - мерная
случайная величина ставит в соответствие n чисел ),,...,...,,( 21 ni xxxx , которые
в результате опыта приняли случайные величины ni XXXX ,,...,...,, 21 . Вектор
),,...,...,,( 21 ni xxxxx называется реализацией
n - мерной случайной величины. Геометрически значения n - мерной
случайной величины представляются, в частности, точками в n - мерном
пространстве действительных чисел nR .
Ограничимся для простаты и наглядности рассмотрением системы двух
случайных величин, так как основные понятия для двумерных случайных
величин обобщаются на случаи большего числа компонент.
Двумерные случайные величины
Если опыт описывается не одной случайной величиной X , а двумя
случайными величинами X и Y, то упорядоченную пару ( , )X Y называют
двумерной случайной величиной. В зависимости от типа случайных величин,
по характеру реализаций двумерные случайные величины могут быть
дискретными, непрерывными и смешанными. В первом случае компоненты
двумерной случайной величиной величины X и Y дискретны, во втором –
непрерывны, в третьем – разных типов. Рассмотрим дискретные и
непрерывные двумерные случайные величины.
Дискретная двумерная случайная величина может принимать конечное
или счетное множество значений. Под возможными значениями, которые
может принимать дискретная двумерная случайная величина ( , )X Y ,
понимается набор пар действительных чисел ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj ,
образующих полную группу несовместных событий. Возможное численное
значение ( ji yx , ), которое может принимать дискретная случайная величина
( , )X Y , определяется вероятностью ijp появления этого числа. Вероятность
того, что дискретная случайная величина примет значение ),( ji yYxX с
вероятностью ijp , определяется математическим выражением:
),( jiij yYxXPp , ),...,1( mi , ),...,1( nj
Так как возможные значения ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj реализации
дискретной случайной величины ( , )X Y образуют полную группу
несовместных событий, то сумма вероятностей всех ее возможных значений
равна единице, т.е.
),(11
j
n
ij
i
m
i
yYxXP = 111
n
ij
ij
m
i
p .
Полной вероятностной характеристикой дискретной случайной
величины ( , )X Y , как и в случае одномерной случайной величины, является
закон распределения, устанавливающий связь между возможными
значениями дискретной случайной величины ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj и
вероятностями ijp их появления.
Закон распределения дискретной случайной величины ( , )X Y может
быть представлен в виде двумерной матрицы распределения (в табличной
форме)
1y
2y
…
jy
…
ny
n
j
iji pp1
1x 11p 12p … jp1 …
np1 1p
2x 21p 21p … jp2 …
np2 2p
… … … … … … … …
Y
X
ix 1ip 2ip …
ijp … inp
ip
… … … … … … … …
mx 1mp 2mp …
mjp … mnp
mp
m
i
ijj pp1
1p
2p
…
jp
…
np
1
где на пересечении i ой строки для значения компоненты ixX и
j го столбца для значения компоненты jyY указаны вероятности
),( jiij yYxXPp , ),...,1( mi , ),...,1( nj значений ),( ji yYxX
дискретной случайной величины ( , )X Y .
Закон распределения дискретной случайной величины ( , )X Y может
быть представлен также в виде графика распределения Рис 3.51. Если закон
распределения дискретной случайной величины ( , )X Y известен, то можно
найти законы распределения каждой из компонент X и Y (обрат-ное
невозможно). Так как события ),( 1yYxX i , ),( 2yYxX i ,…
…, ),( ni yYxX несовместны и событие )( ixX может появиться только с
одним из несовместных событий )( 1yY , )( 2yY ,… …, )( nyY
образующих полную группу, то вероятность )( ii xXPp события )( ixX ,
по формуле полной вероятности представляется в виде суммы вероятностей
несовместных событий ),( 1yYxX i , ),( 2yYxX i ,… …, ),( ni yYxX :
)( ii xXPp = ),(1
ji
n
j
yYxXP ij
n
j
p1
.
Аналогично определяется вероятность )( jj yYPp события )( jyY
)( jj yYPp = ),(1
ji
m
i
yYxXP ij
m
i
p1
.
Таким образом, суммируя элементы матрицы распределения по столбцам,
получим распределение случайной
величины X , а по строкам –
распре-деление случайной
величины Y . Вероятности
)( ii xXPp записывают-ся в
последний столбец матрицы
распределения, а )( jj yYPp в
последнюю строку.
Пример 3.8. В Урне пять шаров: три красных, один белый и один синий. Из урны
наудачу извлекают два шара. Определить закон распределения для системы из двух шаров
– белого и синего. Найти при этом законы распределения белого шара и синего шара.
Решение. Пусть случайная величина X характеризует отсутствие )0(X или
извлечение )1(X белого шара, а случайная величина Y характеризует отсутствие
)0(Y или извлечение )1(Y синего шара при извлечении наудачу из урны
одновременно двух шаров.
Для вычисления вероятности значений дискретной двумерной случайной величины
( , )X Y определим число n возможных способов извлечения 2 шаров из 5: 102