习题讨论课一 1. 力学 变质量体系问题 刚体定轴转动， 相对论 2. 振动与波 3. 热学

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习题讨论课一1. 力学变质量体系问题刚体定轴转动，相对论2. 振动与波3. 热学

教师：郑采星

大学物理

2

1. 一火箭初质量为M0，每秒喷出的质量 (-dM/dt)恒定，喷气相对火箭的速率恒定为．设火箭竖直向上发射，不计空气阻力，重力加速度恒定，求 t = 0时火箭加速度在竖直方向（向上为正）的投影式。参考解答：设火箭从地面竖直向上发射，取坐标系 Oy竖直向上，原点 O在地面，取研究对象为 t时刻的火箭及其携带的喷射物，质量分别为M和dM. 设 v为物体系统在 t时刻的绝对速度， u为喷射物的相对速度，向上为正。t时刻，物体系统的动量为： v)d()( MMtp

t+t时刻，物体系统的动量为： )d(d)d()( vvvv uMMttp

t时刻，物体系统所受合外力即重力为： gMM )d(

由动量定理 ,dd ptF 得 vv ddddddd MMuMtMgtMg

略去高阶小量 dMdt、 dMdv，有MuMtMg ddd v

得火箭加速度为：

gt

M

M

u

tta

d

d

d

d)(

v

t = 0, M = M0，代入上式，并考虑 d

M/dt为每秒喷出的质量，用题目给定条件 -dM/dt代入上式，得

gt

M

M

ua )

d

d(

0

3

2. 一竖直向上发射之火箭，原来静止时的初质量为 m0经时间 t 燃料耗尽时的末质量为 m，喷气相对火箭的速率恒定为 u，不计空气阻力，重力加速度 g恒定．求燃料耗尽时火箭速率。 参考解答：根据上题，

gt

M

M

u

tta

d

d

d

d)(

v

得 gt

m

m

u

t

d

d

d

dv tgm

mu d

dd v

积分得： m

m

t

tgm

mu

0 00

dd

dvv

gtm

mu 0lnv

火箭起飞时，从尾部喷出的气体的速度为 3000m/s ，每秒喷出的气体质量为 600kg ，若火箭的质量为 50t ，求火箭得到的加速度。

gt

M

M

ua )

d

d(

0

23

0

m/s2.268.96001050

3000

d

d

g

t

M

M

ua0

d

d

t

M 所以

4

一弹道火箭自身质量（含燃料）M0 = 12.9 t(吨 )，所载燃料的质量为 m =

9.0 t(吨 )，发动机工作时喷出气体的速率（相对于火箭体）为常量 u = 2×103 m/s，此火箭由静止开始发射后，若不计重力及空气阻力，则在燃料烧尽后，它的速度为 ________．

m/s104.20.99.12

9.12ln102ln 33

0

0

mM

Muv

0vv dddd MMuM

略去高阶小量 dMdv，有 MMuM dd0ddMu

vv

得火箭速度为：

mM

M

M0

0

dd0 M

uv

v

参考解答：取研究对象为 t时刻的火箭及其携带的喷射物，质量分别为M和 dM. 设 v为物体系统在 t时刻的绝对速度， u为喷射物的相对速度。

t时刻，物体系统的动量为： v)d()( MMtp

t+t时刻，物体系统的动量为： )d(d)d()( vvvv uMMttp

由动量守恒定律

0d M

5

3. 质量 m =10 kg、长 l =40 cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为 m1 =10 kg的物体，如图所示． t = 0时 ,系统从静止开始运动 , 这时 l1 = l2 =20 cm< l3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体 m1速度和加速度的大小． l1

l2

l3

m1

解：分别取 m1和链条 m 为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为 x， amTgm 11 malxgmT /

解出 )/1(21 lxga

当链条刚刚全部滑到桌面时 20 m/s9.4

2

gax

xt

x

xta

d

d

d

d

d

d

d

d vv

vv

xlxgxa d)/1(21dd vv

两边积分

0

0 2

d)1(d2l

xl

xg

v

vv

2222

2 )4/3(/21 gllglgl v m/s21.13

2

12 glv

m1

x0

x

6

3. 质量 m =10 kg、长 l =40 cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为 m1 =10 kg的物体，如图所示． t = 0时 ,系统从静止开始运动 , 这时 l1 = l2 =20 cm< l3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体 m1速度和加速度的大小． l1

l2

l3

m1

另解：求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体 m1的速度。取物体、链条、桌与地球为研究对象，由机械能守恒，得：

2121

2 )(2

1)()

22(

11vmmglmEg

lmE

mpmp

21221 )(

2

1

4vmmgl

mglm 22

2 104

1010 v

glgl

m/s21.132

12 glv22

4

3v

gl

零势能点

7

4. 地球对自转轴的转动惯量是 0.33mR2，其中 m是地球的质量（ 5.981024kg）， R是地球的半径（ 6370 km）．求地球的自转动能． 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自转周期增加 16s．这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？潮汐对地球的平均力矩多大？

解题：地球的自转动能为 222k )

π2)(33.0(

2

1

2

1

TMRIE

J102.14)1064.8

π2()1037.6()1098.5(33.0

2

1 2924

2624

86400606024

地球自转动能的变化率为

) d

d(

π)2()

π2(

d

d)

π2(

d

d)

2

1(

d

d

d

d3

22k

t

T

TI

TtTI

tII

tt

E

J/S)1015.3(10

16

)10(8.64

π4])104.6()1098.5(33.0[ 7634

22624

)1015.3(10)606024365(10 766 kW10-2.6J/s106.2 912

即相当于摩擦消耗的功率为 2.6109kW，由此可以算出，一年内潮汐消耗的能量相当于我国 1999年的发电量（ 41018J）的大约 20倍．

8

4. 地球对自转轴的转动惯量是 0.33mR2，其中 m是地球的质量（ 5.981024kg）， R是地球的半径（ 6370 km）．求地球的自转动能． 由于潮汐对海岸的摩擦作用，地球自转的速度逐渐减小，每百万年自转周期增加 16s．这样，地球自转动能的减小相当于摩擦消耗多大的功率？潮汐对地球的平均力矩多大？

即相当于摩擦消耗的功率为 2.6109kW，由此可以算出，一年内潮汐消耗的能量相当于我国 1999年的发电量（ 41018J）的大约 20倍．

潮汐作用对地球的平均力矩为

t

T

TI

TtI

tIIM

d

dπ2)

π2(

d

d

d

d2

mN105.3

)1015.3(10

16

)10(8.64

π2])104.6()1098.5(33.0[

16

76242624

9

5. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 AC自由转动，转动惯量为 J0，环的半径为R，初始时环的角速度为 0．质量为 m的小球静止在环内最高处 A点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心 O在同一高度的 B点和环的最低处的 C点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大 ?( 设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 r<<R.)

RA

0

BC

解：选小球和环为系统．运动过程中所受合外力矩为零，角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒．取过环心的水平面为势能零点．

小球到 B点时： I00＝ (I0＋ mR2) （ 1）

)2(2

1

2

1

2

1 22220

200 BRmImgRI v

式中 vB表示小球在 B点时相对于地面的竖直分速度，也等于它相对于环的速度．由式（ 1）得： ＝ I00 / (I0 + mR2)

代入式（ 2）得

02

22002

ImR

RIgRB

v

当小球滑到 C点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至 0，又由机械能守恒定律知，小球在 C的动能完全由重力势能转换而来．即：

Rmgm C 22

1 2 v

gRC 4v

10

6. 一质量为M、长为 l的均匀细棒，悬在通过其上端 O且与棒垂直的水平光滑固定轴上 ,开始时自由下垂，如图所示．现有一质量为 m的小泥团以与水平方向夹角为的速度击在棒长为 3/4处 ,并粘在其上．求： (1) 细棒被击中后的瞬时角速度；(2) 细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角．

0v

O

(3/4)l

解： (1) 选细棒、泥团为系统．泥团击中后其转动惯量为

22

4

3

3

1

lmMlI

在泥团与细棒碰撞过程中对轴 O的角动量守恒

Ilm cos4

30v

lmM

m

mlMl

lm

2716

cos36

169

31

43

cos0

22

0

vv

11

mglMgl

mlMl

4

3

2

1

)16

9

3

1(

2

1

cos1

222

gmM

lmM

7248

27161cos

21

glmMmMm

271632cos54

1cos22

02

1 v

6. 一质量为M、长为 l的均匀细棒，悬在通过其上端 O且与棒垂直的水平光滑固定轴上 ,开始时自由下垂，如图所示．现有一质量为 m的小泥团以与水平方向夹角为 的速度击在棒长为 3/4处 ,并粘在其上．求： (1) 细棒被击中后的瞬时角速度；(2) 细棒摆到最高点时，细棒与竖直方向间的夹角．

0v

O

(3/4)l

解： (2) 选泥团、细棒和地球为系统，在摆起过程中，机械能守恒．

cos14

3cos1

2

1

2

1 2 mglMglImM

lm

lM

cr

4

32

)cos1()(2

1 2 cgrmMI

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7. 长为 l 的匀质细杆，可绕过杆的一端 O 点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨 O 点悬一单摆，轻质摆线的长度也是 l ，摆球质量为 m ．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求： (1) 细杆的质量． (2) 细杆摆起的最大角度． O

M

m l l解： (1) 设摆球与细杆碰撞时

速度为 v0 ，碰后细杆角速度为，系统角动量守恒， 得：

lmI 0v 由于是弹性碰撞，所以单摆的动能变为细杆的转动动能

220 2

1

2

1 Im v

代入 2

3

1MlI

(2) 由机械能守恒式

202

1vmmgl

cos12

1

2

1 2 MglI

并利用 (1) 中所求得的关系可得

3

1arccos得 mM 3

cos12

1 Mglmgl

cos12

3

mm

13

8*. 一长度为 l 的轻质细杆，两端各固结一个小球 A 、 B （见图），它们平放在光滑水平面上。另有一小球 D ，以垂直于杆身的初速度v0 与杆端的 A 球作弹性碰撞．设三球质量同为 m ，求：碰后（ 球A 和 B ）以及 D 球的运动情况．

A

B

D

l0v参考解答：

解题分析 这是球 D 和一刚体（球 A 、 B 和固结的细杆看作刚体，下称刚体）弹性碰撞的问题．刚体在碰后的运动可分解为随质心的平动和绕通过质心轴的转动．

解题过程设碰后刚体质心的速度为 vC ，刚体绕通过质心的轴的转动的角速度为，球 D 碰后的速度为 v ，设它们的方向如图所示．

A

B

D0v

C杆长 l

Cv

v

过程：球 D 和刚体弹性碰撞的过程；

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过程：球 D 和刚体弹性碰撞的过程；

A

B

D0v

C杆长 l

Cv

v

系统： D — 刚体（即 D 和 A+B ）；条件：因水平无外力，系统动量守恒；

方程： Cmmm vvv )2(0 得 )1(20 Cvvv

条件：因是弹性碰撞，没有能量损耗，系统动能不变；

方程： 22220 2

1)2(

2

1

2

1

2

1 Immm C vvv

得 )2(2

222

2220

lC

vvv

222220 ])

2(2[

2

1)2(

2

1

2

1

2

1 lmmmm C vvv

三个未知数。,C,vv

15

条件：合外力矩为零，系统绕通过质心轴的角动量守恒 , 方程：

由 (1) 、 (2) 、 (3) 各式联立解出lC00 ;

2;0

vvvv

即碰后， D 球静止，刚体（球 A 、 B 及细杆）以速度 vC 平移并绕通过质心的轴以角速度 转动．

A

B

D0v

C杆长 l

Cv

v

)1(20 Cvvv

)2(2

222

2220

lC

vvv

三个未知数。,C,vv

Ilm

lm

220 vv

)3(0 lvv

2

0 22

22

lm

lm

lm vv

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9. 在实验室中测得电子的速度是 0.8c ， c 为真空中的光速．假设一观察者相对实验室以 0.6c 的速率运动，其方向与电子运动方向相同，试求该观察者测出的电子的动能和动量是多少？（电子的静止质量 me ＝ 9.11×1031k

g ）

解：设实验室为 S系，观察者在 S′系中，电子为运动物体．则 S′对 S系的速度为 u = 0.6c，电子对 S系速度为 vx = 0.8c．电子对 S′系的速度

ccu

u

x

xx 385.0

)/(1 2

v

vv

观察者测得电子动能为

J1085.6)1)/(1

1( 15

2

20

20

2

c

cmcmmcEx

Kv

动量为xmp v

2

0

)/(1 c

m

x

x

v

v

＝ 1.14×10-22 kg·m/s

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10. 两个质点 A和 B，静止质量均为 m0．质点 A静止，质点 B的动能为 6m0c

2．设 A、 B两质点相撞并结合成为一个复合质点．求复合质点的静止质量． 解：设复合质点静止质量为M0，运动时质量为M．由能量守恒定律可得 )1(

220

2 mccmMc其中 mc2为相撞前质点 B的能量．

)2(2

02

02

02 76 cmcmcmmc

故 08mM

设质点 B的动量为 pB，复合质点的动量为 p．由动量守恒定律得 Bpp

利用动量与能量关系，对于质点 B可得 )3(

420

42420

22 49 cmcmcmcpB

Pc

E=mc2

m0c2 对于复合质点可得 )4(

420

42420

22 64 cmcMcMcP

(4) (3) 可得 20

20

20

20 164864 mmmM

00 4mM