מתמטיקה בדידה1 תשע" א רפאל ברכאן1 פרק1 – מבוא ללוגיקה מתמטית תחשיב הפסוקים( הגישה הבלתי פורמלית) – מונחים בסיסיים לוגיקה( מתמטית) היא שפת המתמטיקה- חוקי הלוגיקה מעניקים משמעות מדויקת לטיעונים מתמטיים. טיעון( מתמטי) הוא אוסף של הנחות ומסקנה, הנובעת או לא נובעת בהכרח מצירופן. חוקי הלוגי קה מאפשרים בין היתר להבחין בין טיעונים תקפים( כאלה שהמסקנה בהם נובעת מצירוף ההנחות) לבין טיעונים שאינם תקפים( כאלה שהמסקנה בהם אינה בהכרח נובעת מצירוף ההנחות) . נתבונן, למשל, בשני הטיעונים הבאים: א. " אם יורד גשם, אז הכביש רטוב. יורד גשם. לכן, הכביש רטוב". ב" . אם יורד גשם, אז הכביש רטוב. לא יורד גשם. לכן, הכביש אינו רטוב". טיעון א' תקף( המסקנה" : הכביש רטוב" נובעת בהכרח מצירוף שתי ההנחות הקודמות לה בטיעון.) לעומת זאת, טיעון ב' אינו תקף( המסקנה" : הכביש אינו רטוב" אינה נובעת בהכרח מצירוף ההנחות הקודמות לה בטיעון) . במהלך הקורס נוכיח תקפות של טיעונים בכלים מתמטיים- לוגיים מדויקים. אחת מהמטרות העיקריות של קורס זה היא ללמד את הסטודנט להבין ולבנות בעצמו טיעונים מתמטיים תקפים. לשם כך מן הראוי שיבין הלכה למעשה את חוקי הלוגיקה. ללוגיקה תפקיד חשוב גם במדעי המחשב– חוקי הל וגיקה מאפשרים לתכנן ולבנות מעגלי חומרה, לתכנן אלגוריתמים( אלגוריתם– מתכון לפתרון בעיה חישובית בעל תכונות מסוימות, כפי שיוסבר בהמשך הקורס) , לכתוב תוכניות מחשב ולבדוק ולהוכיח את נכונותם של אלגוריתמים ותוכניות מחשב. נתחיל את הדיון בלוגיקה( המתמטית) במספר ה גדרות ודוגמאות לצידן. פסוק– משפט חיווי שהוא אמיתי או שקרי, אך לא שניהם דוגמא ות: o אני אוהב שוקולד( . פסוק) o אם אין קמח, אין תורה( . פסוק) o 2 3 5 ( פסוק) o לכלx חיובי מתקיים: x 1 ( . פסוק) o מה השעה? ( אינו פסוק) o לך מכאן! ( אינו פסוק) o x 1 2 ( אינו פסוק) o x 1 ( אינו פסוק) o " אני משקר עכשיו( ". אינו פסוק) הערה: הלוגיקה עוסקת בפסוקים ובקשרים( ביחסים) ביניהם. עיקר עיסוקה הוא בהענקת צורה( הצרנה, סימבוליזציה) למשפטים( פסוקים.) הלוגיקה אינה עוסקת בתוכ נם של משפטים כמו גם אין מבחינתה משמעות ל אלמנטים דקדוקיים קריטיים של שפה טבעית( עברית, למשל) , כגון: מין( זכר/ נקבה) , יחיד/ רבים, זמנים וכדומה. כך למשל, הפסוק" : יורד גשם" והפסוק" : ירד גשם" שקולים זה לזה מבחינה לוגית.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
1
מבוא ללוגיקה מתמטית – 1פרק
מונחים בסיסיים –( הגישה הבלתי פורמלית)תחשיב הפסוקים
חוקי הלוגיקה מעניקים משמעות מדויקת -היא שפת המתמטיקה ( מתמטית)לוגיקה
הנובעת או לא , הוא אוסף של הנחות ומסקנה (מתמטי)טיעון . לטיעונים מתמטייםטיעונים מאפשרים בין היתר להבחין בין קהחוקי הלוגי .נובעת בהכרח מצירופן
טיעונים שאינם לבין ( כאלה שהמסקנה בהם נובעת מצירוף ההנחות) תקפים .(כאלה שהמסקנה בהם אינה בהכרח נובעת מצירוף ההנחות) תקפים :בשני הטיעונים הבאים, למשל, נתבונן
."הכביש רטוב, לכן. יורד גשם .אז הכביש רטוב, יורד גשםאם " .א ."הכביש אינו רטוב, לכן. לא יורד גשם. אז הכביש רטוב, אם יורד גשם. "ב
מצירוף שתי ההנחות הקודמות בהכרחנובעת " הכביש רטוב: "המסקנה) תקף' טיעון אאינה נובעת " הכביש אינו רטוב: "המסקנה) אינו תקף' טיעון ב, לעומת זאת (.לה בטיעון
.(מצירוף ההנחות הקודמות לה בטיעון בהכרח .לוגיים מדויקים-בכלים מתמטיים תקפות של טיעוניםבמהלך הקורס נוכיח
אחת מהמטרות העיקריות של קורס זה היא ללמד את הסטודנט להבין ולבנות בעצמו .לשם כך מן הראוי שיבין הלכה למעשה את חוקי הלוגיקה. טיעונים מתמטיים תקפים
ולבנות וגיקה מאפשרים לתכנן חוקי הל –במדעי המחשב גם ללוגיקה תפקיד חשוב
מתכון לפתרון בעיה חישובית בעל – אלגוריתם) לתכנן אלגוריתמים, מעגלי חומרהלכתוב תוכניות מחשב ולבדוק ולהוכיח , (כפי שיוסבר בהמשך הקורס, תכונות מסוימות .אלגוריתמים ותוכניות מחשבאת נכונותם של
.גדרות ודוגמאות לצידןבמספר ה( המתמטית)נתחיל את הדיון בלוגיקה אך לא שניהם, משפט חיווי שהוא אמיתי או שקרי – פסוק
:ותדוגמאo (פסוק. )שוקולדאני אוהב
o (פסוק. )אין תורה, אם אין קמח
o 2 3 5 (פסוק)
o לכלx חיובי מתקיים :x 1 ( .פסוק)
o (אינו פסוק)? מה השעה
o (אינו פסוק)! לך מכאן
o x 1 2 (אינו פסוק)
o x 1 (אינו פסוק)
o "(אינו פסוק." )אני משקר עכשיו
עיקר עיסוקה הוא . ביניהם( ביחסים)הלוגיקה עוסקת בפסוקים ובקשרים :הערה
עוסקת הלוגיקה אינה (. פסוקים)למשפטים ( סימבוליזציה, הצרנה)בהענקת צורה אלמנטים דקדוקיים קריטיים של לאין מבחינתה משמעות כמו גםשל משפטים נםבתוכ
.זמנים וכדומה, רבים/יחיד, (נקבה/זכר)מין : כגון, (למשל, עברית)שפה טבעית .שקולים זה לזה מבחינה לוגית" ירד גשם: "והפסוק" יורד גשם: "הפסוק, כך למשל
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
2
ת משמעות לוגיתובעל( חת או יותרא)קישור /ת חיבורומיל – קשר לוגי
אם ורק אם, אז...אם, לא, או, (ו)וגם : דוגמאות
פסוק נטול קשרים לוגיים – פסוק אטומי
:דוגמאותo (פסוק אטומי. )אני אוהב שוקולד
o (פסוק אטומי. )היום יום שני
o (פסוק שאינו אטומי. )עוגות גבינה וגםאני אוהב שוקולד
p (אם: המילה הפסוק שלאחר )ו (תנאי הגרירה)התנאי : נקרא- q ( הפסוק שלאחר
. (תוצאת הגרירה)תוצאה : נקרא( אז: המילה .Tהוא כל הפסוק( האמת של)ערך , Fכאשר התנאי הוא !שימו לב
:(equivalence, אם ורק אם)שקילות ה קשר :סימון
qp q p
T T T F F T F T F T F F
. 0 -הוא גדול מ( ם"אם) אם ורק אםמספר הוא חיובי :דוגמא
.כפי שנראה בהמשך, ,: מהקשרים ,למעשה, קשר זה מורכב :הערה
:באופן הבא, אפוא, לרישוםהפסוק שבדוגמא האחרונה ניתן .המספר הוא חיובי אז 0 -הוא גדול מ אם וגם 0 -הוא גדול מ אזמספר הוא חיובי אם
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
5
של תנאים מספיקות והכרחיות
p: את הפסוק q במספר אופנים( למשל, לעברית)ניתן לתרגם לשפה טבעית:
q גורר את p .א q אז, p אם .ב
p אם q .ג
p אז q אם רק .ד
q אם רק p .ה q -ל תנאי מספיקמהווה p .ו
יתקיים p -ש מספיקיתקיים q -כדי ש .ז
p -ל תנאי הכרחימהווה q .ח יתקיים q -ש הכרחייתקיים p -כדי ש .ט
.הכביש רטוב – q, יורד גשם – p: נסמן. אז הכביש רטוב, אם יורד גשם: נתבונן בפסוק
ל "נצרין את הפסוק הנ. הצרנה: ללוגיקה נקרא( עברית, למשל)תרגום משפה טבעית p: כך q.
. מתחייב כי הכביש רטוב, אם יורד גשם, י הפסוק וטבלת האמת של קשר הגרירה"עפהפסוק , בכל מקרה –יתכן שהכביש יהיה רטוב ויתכן שלא , אולם אם לא יורד גשם
תנאי ניתן לומר כי ירידת גשם היא , לפיכך. אינו שקרי( ובאז הכביש רט, אם יורד גשם)שיירד מספיק, כדי שהכביש יהיה רטוב: או במילים אחרות, להיות הכביש רטוב מספיק
.עליו גשם: או במילים אחרות, להיות הכביש רטובתנאי הכרחי ירידת גשם אינה מהווה , מצד שני
י טבלת האמת אנו "שכן עפ, עליו גשםאין זה הכרחי שיירד , כדי שהכביש יהיה רטובאז הכביש , אם יורד גשם)הפסוק , רואים שגם במקרה בו לא יורד גשם והכביש רטוב
.הוא פסוק אמת( רטוב
נדגיש את נוכחותו של . חביתה לא ניתן להכיןאז , ביצים איןאם : נתבונן עתה בפסוק :הבא( עט מסורבלוהמ)י שנרשום אותו באופן המפורט "קשר השלילה בפסוק זה ע
ניתן – q, ביצים קיימות – p: נסמן. חביתה ניתן להכיןאז לא , אם לא קיימות ביצים
: ל כך"נצרין את הפסוק הנ .חביתהלהכין p q . אם נבדוק פסוק זה אל מול
q: הפסוק p , בהמשך נקרא . )זהותנגלה כי לשני הפסוקים הללו טבלאות אמת
.(שקולים לוגיתלשני פסוקים כאלה פסוקים
q p p q q p q p
T T F F T T
T T T F F T
F F F T T F
T T T T F F
ניתן אם "ולומר " חביתה לא ניתן להכיןאז , ציםאם אין בי"המשמעות היא שלומר
. זה היינו הך מבחינת הלוגיקה" ביציםיש אז , להכין חביתה
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
6
בין חביתה הכרחיתישנה התניה " ביצים ישאז , חביתה ניתן להכיןאם " :י הפסוק"עפ
שכן ללא ביצים אין , שיהיו בנמצא ביצים הכרחיבאופן שכדי שתהיה חביתה ,לביציםאו , חביתה (להכנת) קיוםל הכרחיתנאי קיום ביצים הואניתן לומר כי , לפיכך .חביתה
.יהיו ביציםש הכרחי, תהיה חביתהכדי ש: במילים אחרות
כדי : או במילים אחרות, קיום חביתהל מספיקמהווה תנאי אינו קיום ביצים, מצד שניאם : "של הפסוקי טבלת האמת "שכן עפ, שיהיו ביצים מספיקאין זה , שתהיה חביתה
, יש ביצים ואין חביתהאנו רואים שגם במקרה בו , "אז יש ביצים, ניתן להכין חביתה .(בדקו) .הפסוק הוא פסוק אמת
:ניתן לסכם את ההבדל המהותי בין הכרחיות ומספיקות של תנאים בטבלה הבאה
התנאי אינו מתקיים התנאי מתקיים
לא ידוע התוצאה מתקיימת תנאי מספיק
התוצאה אינה מתקיימת לא ידוע תנאי הכרחי
מחייב תנאי הכרחיבעוד ש, התנאי מתקייםמחייב שהתוצאה תתקיים כש תנאי מספיק
.התנאי לא מתקייםשהתוצאה לא תתקיים כשהרי , (יתקיים p -יתקיים מספיק ש q -כדי ש, כלומר) q -מהווה תנאי מספיק ל pאם
אין לדעת דבר , לא קרה( התנאי) pאם . קרה (התוצאה) qגם , קרה( התנאי) pשאם
יתקיים q -כדי ש, כלומר) q -מהווה תנאי הכרחי ל pאם , לעומת זאת (.התוצאה) qלגבי pאם . לא קרה( התוצאה) qגם , לא קרה( התנאי) pהרי שאם , (יתקיים p -הכרחי ש
(.התוצאה) qאין לדעת דבר לגבי , קרה( התנאי)
:עושים שימוש לא מדויק דיו בתבניות( לרבות עברית)בשפה טבעית , לעיתים
x: כדי שיתקיים: "המשפט, למשל. מספיק (תנאי), הכרחי (תנאי) 2 מספיק שיתקיים :
x 3 "(התנאי והתוצאה) שכן הביטויים, אינו פסוק :x 2 ,x 3 יחד עם .אינם פסוקים
x: כדי שיתקיים: "שכן באומרנו, נרצה להתייחס למשפט זה כאל פסוק, זאת 2
x: מספיק שיתקיים 3 "כדי שיתקיים לכל : "אנו בעצם מתכוונים לומרx ממשי :x 2
x: ממשי xיתקיים לכל מספיק ש 3 ."שכן הביטויים, המשפט האחרון הוא כבר פסוק
ו הכרחיות של כי משפטים בשפה טבעית המדברים על מספיקות א, אפוא, נסכיםהתנאי )גם אם מרכיביהם , המכילים את קשר הגרירה יוצרנו ללוגיקה כפסוקים תנאים
.ל"כדוגמת הנ, אינם פסוקים( והתוצאה
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
7
":נוסחאות" כדי ש- q ש מספיקיתקיים- p יתקיים p ל תנאי מספיקמהווה- q
אם p אז q p q
x: כדי שיתקיים: למשל 2 מספיק שיתקיים :x 3 ; x 3 x 2
כדי ש- q ש הכרחייתקיים- p יתקיים p ל תנאי הכרחימהווה- q
אם q אז p p q
x: כדי שיתקיים: למשל 3 הכרחי שיתקיים :x 2 ; x 2 x 3
כדי ש- q ש מספיקיתקיים- p יתקיים כדי ש- p ש הכרחייתקיים- q יתקיים ;p ל תנאי מספיקמהווה- q q ל תנאי הכרחימהווה- p
אם רקp אזq אםq אזp
כדי ש- q ש הכרחי ומספיקיתקיים- p יתקיים p הכרחי ומספיקתנאי מהווה
q p (ם"אם)אם ורק אם q p -ל q
.2 -יהיה מספר זוגי הכרחי ומספיק שהוא יתחלק ללא שארית ב x -כדי ש: למשל
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
8
בתחשיב הפסוקים לוגיות בסיסיות( שקילויות)זהויות
:(מונחים נוספים)ות הגדר שני פסוקיםp ו- q השמה כלם עבור "אם (טאוטולוגית/לוגית)שקולים : נקראים
שני פסוקים , במילים אחרות. הם בעלי אותו ערך אמת, של ערכי אמת לשניהם .ם יש להם את אותה טבלת אמת"אם (לוגית)שקולים
p :סימון q
".רןראני ב: "שקול לוגית לפסוק" רןרלא נכון שאני לא ב": הפסוק: דוגמא
( p p )
פסוקp ערכו ( של פסוקיו האטומיים)השמה בכלם "אם טולוגיהוטא: נקרא .T( תמיד)
p :סימון T
) .עכשיו לא חם אועכשיו חם :דוגמא p p T )
פסוקp ( תמיד)ערכו ( של פסוקיו האטומיים)ם בכל השמה "אם סתירה: נקראF.
p :סימון F
) .עכשיו לא חם וגםעכשיו חם :דוגמא p p F )
בכל פסוק שערכו אמת )יש להבדיל בין פסוק שערכו אמת לבין טאוטולוגיה :הערה
2: הפסוק(. אטומייםהשמה של פסוקיו ה 1 שכן , כי אם פסוק אמת, אינו טאוטולוגיהכי אם מהגדרות של עולם התוכן , אמיתותו אינה נובעת מהגדרות וחוקי הלוגיקה
אם נסמן פסוק אטומי זה , במילים אחרות(. <: אודות מספרים ממשיים והיחס)המתמטי . F או Tטבלת האמת שלו תניב , p -ב
בכל פסוק שערכו שקר )יש להבדיל בין פסוק שערכו שקר לבין סתירה , באופן דומה2: הפסוק ,לכן(. השמה של פסוקיו האטומיים 1 כי אם פסוק שקר, אינו סתירה.
.מכאן ניתן להסיק כי פסוק אטומי לעולם לא יהיה טאוטולוגיה או סתירה
.לוגיות יסודיות( שקילויות)בץ זהויות מקנציג בעמוד הבא
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
9
לוגיות יסודיות( שקילויות)זהויות
הלוגית( השקילות)הזהות הלוגית( השקילות)שם הזהות
טאוטולוגיה בסיסית 1 p p T
סתירה בסיסית 2 p p F
p כלל הזהות 3 F p p T
p כללי השליטה 4 T T , p F F
p כלל הכפילות 5 p p p p
שלילה כפולה 6 p p
p (קומוטטיביות) כללי החילוף 7 q q p , p q q p
8
(אסוציאטיביות) כללי הקיבוץ
p q r p q r
p q r p q r
9
(דיסטריבוטיביות) לי הפילוגכל
p q r p q p r
p q r p q p r
כלל הבליעה 10 p p q p p p q
11
(D.M) מורגן-כללי דה
p q p q
p q p q
כלל הגרירה 12 p q p q
: ים הלוגייםלוגית המערבת אחד או יותר מהקשר זהותבהינתן :עקרון הדואליות
, , ואפס או יותר מהקבועים הלוגיים :T ,F , לוגית זהותהרי שניתן לקבל ממנה
,: י החלפת הקשרים"ע, אחרת י החלפת הקבועים הלוגיים"זה בזה וע :T ,F זה בזה
(.אם קיימים) :דוגמאות
p p q p p p q p , p q p q p q p q
p F p p T p , p p T p p F
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
10
סדר הקדימות של הקשרים הלוגיים הבסיסיים
:נהוג להגדיר את סדר הקדימות הבא בין הקשרים הלוגיים הבסיסיים
פנימית קדימות סימון שם הקשר סוגריים מהפנים לחוץ
מימין לשמאל שלילה
משמאל לימין וגם
משמאל לימין או
משמאל לימין גרירה
xor , -ו שקילות משמאל לימין
כפי שהוא מצוין , הבסיסיים סדר הקדימות של הקשרים הלוגייםיש לקרוא את :הסבר
בראש הטבלה יימצא הקשר בעל הקדימות הגבוהה –מלמעלה למטה , בטבלה זו .ביותר ובתחתיתה הקשרים בעלי הקדימות הנמוכה ביותר
כאשר אז , קדימות פנימית מתייחסת למצב בו יש מספר קשרים זהים באותו פסוק .מימין לשמאל או משמאל לימין –החישוב /להחליט מהו כוון הקריאה נדרש
:ותדוגמא
: ערך האמת של הפסוק .1 p q r s t יחושב כך : p q r s t .
p: בהשמה F , q T , r T , s F , t T ,ערך האמת שלו הוא :T( .בדקו).
: ערך האמת של הפסוק .2 p q r p q p p q r
: כךיחושב p q r p q p p q r .
p: בהשמה T , q F , r T ,ערך האמת שלו יהיה :
T F T T F T T F T
T T T T F T T T T
T T T T F T T T T T F T T
T T T T T T T T T T T T T T T
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
11
1' מס תרגול -תחשיב הפסוקים –שכן הוא משפט חיווי , הוא פסוק" הוא שבע רצון, למרות שגדליהו אינו רזה: "המשפט .1
שכן , הפסוק הוא פסוק מורכב. אך לא שניהם, (F)או שקר ( T)ניתן לייחס לו ערך אמת הצרנת . גדליהו שבע רצון – q, גדליהו רזה – p: נסמן. 'וגם'', לא' :יםבו הקשר" יםמסתתר"
.qp: הפסוק היא
.במשפט בהקשר זה( לוגית)אין כל משמעות " למרות: "למילה, מבחינת הלוגיקה! שימו לב
ועבור כל פסוק ציינו האם הוא פסוק אטומי או , נו אלו מהמשפטים הבאים הם פסוקיםציי .י שימוש בפסוקים אטומיים וקשרים לוגיים"כתבו כל פסוק מורכב ע. פסוק מורכב
.אז אזמין חברים, אם לא אלך לטייל ויהיה לי פנאי .א .אז לא יהיה לי פנאי ולא אזמין חברים, אם אלך לטייל .ב .כדי להצליח בקורס הכרחי ומספיק להכין את תרגילי הבית וללמוד היטב לבחינה .ג
.Cאו Bהכרחי שיתקיים אחד ורק אחד מהמאורעות Aכדי שיתקיים מאורע .ד .מעוין Mמרובע בו האלכסונים ניצבים זה לזה הוא היות Mתנאי מספיק להיות .ה
:קבעו את ערך האמת של הפסוקים הבאים .21אם .א 1 2 , 2אז 2 5 .
1אם .ב 1 3 , הוא מספר זוגי 3אז.
0 .ג 1 אינו מספר ראשוני 2אם ורק אם.
qprqp: נתון הפסוק .3 .האמת שלו ערך , מבחינת סדר קדימויות הקשרים
: יחושב כך qprqp .טבלת האמת שלו היא:
qprqp qpr qp pr p r q p
T T T F F T T T
T T T F F F T T T T T F F T F T T T T F F F F T T T T T T T T F T T T F T F T F T F F T T T F F F T F F T F F F
:ידוע כי ערך האמת של הפסוק .4 rqp את , סמך נתון זה-על, נרצה לחשב. הוא שקר
rqp:ערך האמת של הפסוק .עזר לשם כך בטבלת אמתיאפשרות אחת היא לה .
נציב את ערכי . Fת אמת לפסוק הנתון ונראה באילו שורות ערך האמת שלו הוא נכתוב טבלp ,q ,r אשר את ערך האמת שלו אנו מתבקשים למצוא, משורות אלה בכל פעם בפסוק ,
: עדיפה השיטה הבאה. שיטה זו היא מסורבלת למדי. וכך נוכל לגלות מהו ערך האמת שלו
rqp כאשר –במקרה אחד בלבד הוא פסוק שקרp הואT ו- rq הואF;
rq הואF כאשר –במקרה אחד בלבדq הואF ו- r הואF .נותר להציב את , עתה
rqp: הערכים הללו בפסוק ,ולקבל : T F F T F F T T T .
כפי שהוגדר בטבלה , דר הקדימות של הקשרים הלוגייםסי "יש לפעול עפ! שימו לב) .(בעמוד הקודם
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
12
.לא הכרחי ולא מספיק/הכרחי ומספיק/מספיק/הכרחי: השלימו .5
.6 -שהוא יתחלק ב_____ 12 -כדי שמספר שלם יתחלק ב .א
.3 -שהוא יתחלק ב_____ זוגי -איכדי שמספר שלם יהיה . ב
מתוכם יהיה כל טבעיש_____ זוגית -איתהיה טבעייםכדי שמכפלת . ג .זוגי-אי
שלפחות מספר אחד מתוכם _____ זוגי יהיהשלמים סכוםכדי ש . ד .יהיה זוגי
.טבעישהוא יהיה _____ כדי שמספר יהיה ראשוני . ה2x:כדי שיתקיים . ו 2 3 x _____5: שיתקייםx 5 7 3x .
14yx: כדי שיתקיים . ז _____7: שיתקייםy2x .
0x: כדי שיתקיים . ח 2 _____0: שיתקייםx .
xx: כדי שיתקיים . ט _____0: שיתקייםx .
: שיתקיים_____ qp: קייםכדי שית . י qp .
: הלוגית( שקילותה) זהותנוכיח באמצעות טבלת אמת את ה .6 rpqprqp .
rpqp rp qp rqp rq r q p
T T T T T T T T
T F T T T F T T
T T F T T T F T
F F F F F F F T F F F F T T T F
F F F F T F T F F F F F T T F F
F F F F F F F F
ל "ולכן הפסוקים הנ, זהות( המודגשות)העמודות החמישית והשמינית משמאל .שקולים
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
13
1' מסבית תרגיל - תחשיב הפסוקים פסוק ועבור כל פסוק ציינו האם הוא , פסוקיםציינו אלו מהמשפטים הבאים הם .1
י שימוש בפסוקים אטומיים "כתבו כל פסוק מורכב ע. פסוק מורכבאו אטומי .קשרים לוגייםו
.זוגי-הוא מספר אי 7 .א .זוגי-אינו מספר אי 9 .ב
?האם זו אמת .ג
.שוקי שמן וכן גם מוקי .ד
!גש הנה .ה
.אבל אינה רזה, ינה נמוכהסימה אמנם א .ו
.אין זו אגדה, אם תרצו .ז
x .ח 1 1
2x: ממשי xלכל .ט x. (ציינו רק אם המשפט הוא פסוק).
.כחול או צהוב –למכונית בה נהגתי היה צבע אחיד .י
.יאif p then q
else r (p ,q ,r הם פסוקים ).
.יב
if p then
if q then
if r then s
else t
(p ,q ,r ,s ,t הם פסוקים).
האחרון if -מתאים ל elseאך כל , elseישויך ifאין הכרח שלכל ! שימו לב)
.(הסמוך לו
.מנת שהנבחרת תנצח במשחק הכרחי שהיא תתאמן מסביב לשעון-על .יג
.מספיק להיות חסר כשרון" נולד לבלוט"כדי להשתתף בתוכנית .יד
.מילים 20 -קטן ביותר שלא ניתן להגדירו בפחות מה( ממשיה)מספר ה xיהי .טו
:של הפסוקים הבאים ערכי האמתקבעו את .2
1אם .א 1 3 , 2אז 2 5 .
זוגי של מחלקים -יש מספר אי 36 -הוא מספר ראשוני אם ורק אם ל 1 .ב
טבלאות וכתבו את , כללי הקדימויותי "עפ, הוסיפו סוגריים לפסוקים הבאים .3 .שלהם האמת
prqp .א
rqrp .ב
prqp .ג
pqqp .ד
.ה p q p p p q
:של הפסוק ערך האמתאם ידוע כי .4 srqp מהו ערך האמת של . הוא שקר
srqp:הפסוק ?נמקו.
.לא הכרחי ולא מספיק/הכרחי ומספיק/מספיק/הכרחי: השלימו .5 .5 -שהוא יתחלק ב_____ 10 -כדי שמספר שלם יתחלק ב. א .4 -שהוא יתחלק ב_____ כדי שמספר שלם יהיה זוגי . ב
שמספר אחד מתוכם יהיה _____ לת שלמים תהיה זוגית כדי שמכפ. ג .זוגי
שלפחות מספר אחד מתוכם _____ כדי שמכפלת שלמים תהיה זוגית . ד .יהיה זוגי
.זוגי-שכל אחד מהשלמים יהיה אי_____ זוגי -כדי שסכום שלמים יהיה אי. ה .זוגי-שהוא יהיה אי_____ כדי שמספר יהיה ראשוני . וyx: כדי ש. ז ש_____ יהיה מספר חיובי :y x יהיה מספר שלילי.
? אטומיים פסוקים n -המורכב מ, של פסוקכמה שורות מכילה טבלת אמת . א .7
.נמקו ? קיימים קשרים אונארייםכמה . ב .נמקו ? קיימים קשרים בינארייםכמה . ג
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
15
נחקרו במשטרה לגבי השאלה למי מביניהם יש -ביצי וגיצי , איצי -גמדים ושהשל .8
. יש מצנפת כתומה( ביצי וגיצי)איצי אמר שבדיוק לאחד מחבריו . מצנפת כתומהגיצי טען שאם איצי צודק . אז לגיצי אין כזו, ביצי אמר שאם לאיצי אין מצנפת כתומה
.אז גם ביצי צודק בדבריו, בדבריו
:הפסוקים האטומיים הבאים נסמן אתa – לאיצי יש מצנפת כתומה.
b – לביצי יש מצנפת כתומה.
c – לגיצי יש מצנפת כתומה. את טענתו של r -את טענתו של ביצי וב q -ב, את טענתו של איצי p -בנוסף נסמן ב
.גיצי .c -ו a ,b: באמצעות הפסוקים האטומיים r -ו p ,q: בטאו כל אחד מהפסוקים .א .r -ו p ,q: את טבלת האמת של כל אחד מהפסוקים כתבו .ב
האם יכול החוקר להסתייע בכך כדי . חוקר המשטרה גילה כי גיצי שיקר בדבריו .גנמקו זאת תוך ? למי מבין השלושה יש מצנפת כתומה ולמי לא בוודאותלדעת
.שימוש בתחשיב הפסוקים :ידוע כי. אט'יש גישה לצהעובדים באותו מקום עבודה חברים חמישהל .9
וטטים'אפריים או בתיה מצ.
וטטות'מצ, אך לא שתיהן, גבריאלה או דניאלה.
וטטת'אז גם גבריאלה מצ, וטטת'אם הראלה מצ.
וטטים או שאף 'או ששניהם מצ -לגבי דניאלה ואפריים מתקיים אחד מהשניים .וטט'אחד מהם אינו מצ
וטטים'אז גם הראלה ואפריים מצ, וטטת'אם בתיה מצ.
.נמקו? וטט 'ל מי מבין החמישה מצ"האם ניתן לקבוע בהסתמך על הנתונים הנ .(וטטים'אחד או יותר מבין החמישה מצ, ייתכן כי אפס)
אולם כתם דיו . בה רק תשובה אחת נכונה, גדליהו השתתף בבחינה אמריקאית .10
:נשפך על אחת מהשאלות והוא ראה רק את התשובות לאותה השאלה .תשובות הבאות נכונותכל ה (1) .אף תשובה מהבאות אינה נכונה (2) .כל התשובות דלעיל נכונות (3) .רק תשובה אחת דלעיל נכונה (4) .אף תשובה דלעיל אינה נכונה (5) .נמקו? מהי התשובה הנכונה לשאלה זו
!בהצלחה
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
16
חילופיות וקיבוציות של קשרים לוגיים
.קשר לוגי בינארי # יהי :הגדרות
פסוקים q -ו pם לכל "אם (קומוטטיבי)חילופי ( לוגי)הוא קשר #נאמר כי .א
p: מתקיים #q q # p( .הקשר , למשל שכן לכל , הוא קשר חילופיp ו- q פסוקים
p: מתקיים q q p ,לעיל 9לוף בטבלה שבעמוד י כללי החי"עפ).
פסוקים r -ו p ,qם לכל "אם (אסוציאטיבי) קיבוצי( לוגי)הוא קשר #נאמר כי .ב
: מתקיים p #q #r p # q #r( .הקשר , למשל שכן לכל , קיבוציהוא קשרp, q ו-
r פסוקים מתקיים : p q r p q r ,9בטבלה שבעמוד הקיבוץי כללי "עפ
.(לעיל
,)מבין הקשרים הלוגיים הבינאריים שסקרנו עד כה , , , ) , כולם למעט
.קשר הגרירה אינו חילופי ואינו קיבוצי. קשר הגרירה הם חילופיים וקיבוציים
לוגיות( שקילויות)אופני הוכחה של זהויות
באמצעות טבלת אמת –הוכחה שיטותלוגית בשתי ( שקילות)יח זהות ניתן להוכ, ככללאם קיימות )יותר ובסיסיות יסודיות, אחרותלוגיות ( שקילויות)או בהתבסס על זהויות
לעיל ניתן להוכיח באמצעות 9בעמוד את כל הזהויות הבסיסיות שבטבלה (.כאלה, וכיח זהויות אחרותניתן להשתמש בהן כדי לה, מרגע שעשינו זאת. טבלת אמת
.מורכבות יותר
: את הזהות ,למשל, נוכיח p q p q ל"השיטות הנבשתי:
:באמצעות טבלת אמת .א
p q q p q p q q p
F F F T T T T T T F F T F F F T T F
F T F T F F
(.לוגית)ולכן הפסוקים המתאימים להן שקולים , העמודות המודגשות זהות שתי
:נפשט את אגף שמאל באמצעות זהויות בסיסיות יותר מהטבלה שבעמודים .ב
: נקבל. לעיל 8-9 p q p q D.M p pp q p q p q p q
.
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
17
:r -ו p ,q -פסוקים 3בור מורגן גם ע-ניתן להכליל את כללי דה
p q r p q r
p q r p q r
הפסוקים שבשני אגפי זהויות אלו מוגדרים היטב לאור תכונת הקיבוציות שימו לב כי ,: של הקשרים . ל"שיטות הנהנוכיח את ההכללה הראשונה בשתי:
:באמצעות טבלת אמת .א
p q r r q p p q r p q r r q p
F F F F F T T T T F T F F F T F T T F F T F F T T F T F T T F F T F F T
F F F T F T T T F F T F T F T F T F F F T T F T T F F T T T T T F F F F
(.לוגית)ולכן הפסוקים המתאימים להן שקולים , שתי העמודות המודגשות זהות
9 מהטבלה שבעמוד יסודיות ובסיסיות יותרנפשט את אגף שמאל באמצעות זהויות .ב
: נקבל. לעיל
associativity of D.M D.M
associativity of
p q r p q r p q r p q r
p q r
(:גכללי הפילו)למשל , באותו אופן ניתן להכליל גם זהויות לוגיות בסיסיות אחרות
p q r s p q r s p q r p q s r p q s p q
r p r q s p s q r p r q s p s q
p r q r p s q s
p q r s p q r p q s r p q s p q
r p r q s p s q r p r q s p s q
p r q r p s q s
(תרגיל -נימוקי המעברים בין הפסוקים )
לוגיות באמצעות טבלת אמת או באמצעות שימוש בזהויות)הוכחה אלה שיטות שתי .משמשות גם בהוכחה כי פסוק נתון הוא טאוטולוגיה או סתירה( יסודיות ובסיסיות יותר
: וכיח כי הפסוקנ, למשל p q p יש להוכיח את , למעשה. הוא טאוטולוגיה
: הזהות p q p T .ל"נוכיח זאת בשתי השיטות הנ:
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
18
:באמצעות טבלת אמת .א
p q p q p q p
T T T T T T F T T F T F T T F F
:קיבלנו כי ערך האמת של הפסוק p q p הואT בכל השמה של פסוקיו
.משמע הוא טאוטולוגיה, האטומיים
בסיסיות יותר מהטבלה שבעמודיסודיות ונפשט את אגף שמאל באמצעות זהויות .ב: נקבל. לעיל 9
q p q p a b a b commutativity of
associativity of p p T
p q p p q p p q p p p q
p p q T q T
ניתן להעזר גם במשפט , מנת להוכיח כי פסוק נתון הוא טאוטולוגיה או סתירה-על :הבא
:משפט .הוא סתירה pם הפסוק "הוא טאוטולוגיה אם pפסוק .א
.טאוטולוגיההוא pם הפסוק "אם סתירההוא pפסוק .ב
qp: הפסוק .ג ם"הוא טאוטולוגיה אם: qp .
(.תרגיל)קלה למדי הוכחת המשפט
:האחרון שימושים למשפט/ותדוגמא
כדי להראות שהפסוק : r r משפט הי "עפ, מספיק להראות, הוא טאוטולוגיה
: כי הפסוק, ('סעיף א) האחרון r r r r זהותאבל זו , א סתירההו
(.סתירה בסיסית)ידועה
כדי להראות שהפסוק : p q p י "עפ, מספיק להראות, הוא סתירה
: כי הפסוק, ('סעיף ב) האחרוןמשפט ה p q p p q p הוא
.את זאת הוכחנו לעילאבל , טאוטולוגיה
כדי להראות שהפסוק : r s t r s r t מספיק , הוא טאוטולוגיה
: כי, ('סעיף ג)המשפט האחרון י "עפ, להראות r s t r s r t , אבל זו
: הפסוק, לכן(. 9ראו לעיל הטבלה בעמוד – אחד מכללי הפילוג)ידועה זהות
r s t r s r t הוא טאוטולוגיה.
י הגדרת הקשר "עפ, לוגיתל שקולים "של המשפט הנ' ב -ו' סעיפים א :הערה
.( בדקו. )שקילות/ם"אם
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
19
צורות נורמליות של פסוקים
.פסוקים אטומים כלשהם r -ו p, qיהיו :מונחים בסיסיים
פסוק אטומי – אטום ;p, q ו- r אטומים, אפוא, הם.
שלילת פסוק אטומי – נגטום ;p, q ו- r נגטומיםהם.
יטרלל (literal) – למשל; אטום או נגטום :p , p ליטרליםהם.
.ם מקורותיהם הם פסוקים אטומים שונים"אם שוניםהם שני ליטרליםנאמר ש :דוגמאות
p ו- q שמקורותיהם בהינתן, הם ליטרלים שונים– p ו- q הם פסוקים –בהתאמה
.pמקור שניהם הוא הפסוק האטומי –אינם ליטרלים שונים p -ו p .אטומים שונים
.נוכיח את נכונותו של כל כוון במסקנה בנפרד :הוכחהpנתון כי :מימין לשמאל q כי ( ל"צ)וצריך להוכיחp q.
p, לעילדי ההגדרה "עפ q פירושו ש :p q וגםq p .י המשפט האחרון"עפ ,
p: משמעות הדבר היא כי q T וגםq p T .כי מתקיים, אפוא, נשים לב :
p q T q p T ולכן :p q T ( p q p q q p ) ,משמע p q
.(לעיל 18י משפט מעמוד "עפ)pנתון כי :משמאל לימין q כי ( ל"צ)וצריך להוכיחp q.
p q נובע כי לעיל 18וד י משפט מעמ"ועפ: p q T .י זהות לוגית שהוכחה "עפ
(: 'סעיף ד 6שאלה , 14עמוד )לעיל 1בתרגיל בית מספר p q p q q p ,
: מתחייב ש p q T q p T .משמעות הדבר היא כי, י המשפט האחרון"עפ :
p q וגםq p לעיל פירושו של דבר כי דולאור ההגדרהp q.
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
32
סמך קבוצה -על, פסוק באמצעותו ניתן להסיק, טיעון תקף יסודי – כלל היסקבהוכחה . תורת ההיסק עוסקת בפורמליזציה של הוכחות); סופית של פסוקים
שלב , ותוך שימוש בכללי היסק, מהצגה של הפסוקים הנתוניםחילים מתמטית מת (.למסקנה – מגיעים לפסוק אותו מעוניינים להוכיח, אחר שלב
:נציג להלן מספר כללי היסק נפוצים
כלל ההיסק שם כלל ההיסק
1. Modus Ponens (M.P) p q p q
2. Modus Tollens (M.T) p q q p
3. Hypothetical Syllogism (H.S) p q q r p r
4. Disjunctive Syllogism (D.S) p q p q
5. Addition p p q
6. Simplification p q p
7. Resolution p q p r q r
:הערות
, כללי היסק בינאריים: נקראים ,5למעט כלל , כל כללי ההיסק שבטבלה לעיל (1 ובהיות, כלל היסק אונארי: נקרא 5כלל .(כל אחד)הנחות שתיבהיותם מכילים
.בלבדמכיל הנחה אחת p(: בעמוד הקודם)לאור המסקנה האחרונה (2 q ם "אםp q , כל מ "לייצר"ניתן
חשוב לזכור כי כל כלל היסק הוא . בכוון אחד או יותר זהות לוגית כלל היסק :למשל. ולכן הוא מכיל הנחה אחת או יותר ומסקנה אחת, (תקף)ביסודו טיעון
: מורגן-זהות דהמתוך "לייצר"ניתן (א p q p q ההיסק יללכאת שני
: יםהבא p q p q , p q p q .
p: זהותמתוך ה "לייצר"ניתן (ב q q p בעלת השם :Contrapositive את
p: שני כללי ההיסק הבאים q q p ,q p p q .
ת על בסיס זהויות לוגיות יסודיות כשם שניתן להוכיח זהויות לוגיות מסוימו, כמובן
כך ניתן להוכיח תקפותם של טיעונים על סמך , (לעיל 9בעמוד כדוגמת אלו שבטבלה ) .כללי היסק
נזמין , אם לא נלך לסרט: "בדרך האחרונה את תקפות הטיעון הבא, למשל, נבדוקנית תכ משודרת. לא נזמין חברים, בנאליהתכנית ריאליטי בערוץ תשודראם . חברים
."ולכן נלך לסרט הבנאליריאליטי בערוץ
:נסמן את הפסוקים האטומיים שבטיעון זה -בשלב הראשון נבצע הצרנה p – נלך לסרט ,q – נזמין חברים ,r - הבנאליתכנית ריאליטי בערוץ משודרת
: נצרין את הטיעון ונקבל p q r q r p .
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
33
:בטבלת אמת ללא שימוש הוכחת תקפות הטיעון
צעד ההוכחה נימוק
1. Hypothesis (הנחה) r q
2. Hypothesis (הנחה) r
3. M.P using 1,2 q
4. Hypothesis (הנחה) p q
5. 3 q
6. M.T using 4,5 p
p שלילה כפולה .7
: גם כךזו ניתן לרשום הוכחה
r q r q , M.P p q q p , M.T p pp q r q r p q q p p
"כלל היסק בשירות מדעי המחשב" –( resolution)רזולוציה
המאפשרים לבצע אוטומטיזציה של ( ותוכנות)השנים פותחו אלגוריתמים במהלך רבים מאלגוריתמים אלה מבוססים על כלל .תהליכי ההסקה וההוכחה של משפטים
: הקודםהמופיע בתחתית טבלת כללי ההיסק בעמוד , (resolution)רזולוציה ההיסק
p q p r q r . לרזולוציה גם תפקיד חשוב בשפות תכנות המבוססות על
.פרולוגשפת כדוגמת , חוקי הלוגיקה
יש , לשם כך. טיעון על סמך רזולוציה בלבדקיימים אלגוריתמים המוכיחים תקפות של לא בהכרח ) CNFלבטא את צירוף ההנחות כמו גם את המסקנה שבטיעון בצורת
: ההנחות, למשל, כך(. שלמה p q r , p q תבוטאנה באופנים השקולים
: הבאים בהתאמה p q p r ,p q כצורות ה- CNF (הלא שלמות )שלהן.
: נוכיח על בסיס רזולוציה כי :דוגמא p q r r s p s .
: אכן
distributivity r s r s
commoutativity and resolutionassociativity of
simplification
p q r r s p r q r r s
p r q r r s p r r s q r
p s q r p s
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
34
3' תרגול מס -תחשיב הפסוקים : Modus Tollens (M.T) כלל ההיסק( נאותות)תקפות את , טבלת אמתבאמצעות , נוכיח .1
p q q p . מספיק להראות כי, י משפט"עפ : p q q p T .
:אכן
p q q p p q q q p q q q/ p פ
T F F T T T
T F T F F T T F F T T F
T T T T F F
: האםבאופן דומה עתהנבדוק p q p r q r . מספיק לבדוק , י משפט"עפ
: האם p q p r q r T ( .שימו לב לחשיבות השימוש בסוגריים כאן ).
:שכן, מסתבר שטיעון זה אינו תקף
(1) (2) (3) (1) (2) q r
(3)
p r
(2)
p q
(1) r q p
T T T T T T T T T F F F T F T T T F T T F T F T
T F T F F F F T T T T T T T T F
F T F T T F T F T T T T T T F F T T T T T F F F
:את תקפותם של הטיעונים הבאים באמצעות טבלת אמתהפריכו /הוכיחו
.א p q p r q r
.ב p p q q r r
:שלא באמצעות טבלת אמת, הוכיחו את תקפותם של הטיעונים הבאים .2
אם לא . נלך לשחות רק אם תזרח השמש. השמש לא זורחת והיום קריר יותר מאתמול" .א
ור נחז, לכן. נחזור הביתה עד לשקיעה, אז נצא לשיט ואם נצא לשיט, נלך לשחות ."הביתה עד לשקיעה
.ב p t r s q u t u p s q r
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
35
:ים הבאים הם טאוטולוגיותכי הפסוק, ללא טבלת אמת, הוכיחו .3
.א p q p r q r
.ב p q r p r s s t t
.לעיל' סעיף א 2נצרין את הטיעון שבשאלה :'פתרון ב ,נצא לשיט - s, נלך לשחות – r, קריר יותר מאתמול היום – q, השמש זורחת – p :סימון
t – נחזור הביתה עד לשקיעה pאז qאם q אז pרק אם :תזכורת
:הצרנת הטיעון p q r p r s s t t
p, י משפט"עפ. לעיל הוכחנו כי טיעון זה תקף' סעיף א 2בשאלה q (טיעון זה תקף )
pם "אם q T .לכן , p q r p r s s t t T .
ם קיימת השמה של פסוקיו האטומיים עבורה "אם, (ניתן לסיפוק) ספיקכ aנגדיר פסוק .4
: כי הפסוקכדי להוכיח ברזולוציההשתמשו . Tערך האמת שלו הוא
p q p q p q p q ספיק אינו.
(:לא בהכרח שלמה) CNFנייצג תחילה את הפסוק הנתון בצורת :הוכחה
a b a bp q p q p q p q
p q p q p q p q p q p q p q p q
כלומר , הפסוק ספיקנניח בשלילה כי . הפסוק אינו ספיקכי *נוכיח עתה על דרך השלילה נשתמש בכלל ו ,Tעבורה ערך האמת שלו הוא ( p ,q)קיימת השמה של פסוקיו האטומיים -
:נקבל. (פסוקים אחרים)לוציה כדי להסיק מתוכו מסקנות הרזו
resolution
p q p q p q p q
p q p q p q p q
q q q q q q F
והגענו ( נאותים, מוכחים)השתמשנו בכללי היסק , הפסוק ספיקיצאנו מתוך הנחה כי .הוא אינו ספיקלכן , אינה נכונה( הפסוק ספיקכי )הנחת הבסיס שלנו , משמע. לסתירה
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- :הוכחה על דרך השלילה היא שיטת הוכחה המבוססת על הרעיון הבא *
(.Tערך האמת שלו הוא )נכון pנניח כי מעוניינים להוכיח כי הפסוק qומחפשים סתירה , (Fערך האמת שלו הוא )ן אינו נכו pכי הפסוק ( בשלילה)לשם כך מניחים
q: למשל) r r F )כך שהפסוק :p q יהיה נכון( בעל ערך אמתT.) הרי , אם הצלחנו
p: ופסוק qשמצאנו פסוק סתירה q שערכוT , מצב המחייב כיp הואF (משמע ,p הוא
T) , כי הפסוק ( הנחת השלילה)בסתירה להנחהp אינו נכון(F.)
.pבכך הוכחנו את נכונותו של הפסוק
רפאל ברכאן א"תשע 1מתמטיקה בדידה
36
3' מסבית תרגיל - תחשיב הפסוקים
:באמצעות טבלת אמת הבאים כללי ההיסק (נאותות) הוכיחו את נכונות .1
. א p q p q ב . p q p r q r
שלא באמצעות טבלת אמת, הבאים תקופתם של הטיעוניםהפריכו את /הוכיחו .2 :(Resolution)וללא שימוש בכלל ההיסק רזולוציה
p .א q p
p .ב q p q
.ג p q r q p r
.ד p q p r r s q s
.ה q s p q r r s t t
להפריך את שני הסעיפים האחרונים בשאלה /כדי להוכיח רזולוציההשתמשו ב .3 (.2)הקודמת
:שלא באמצעות טבלת אמת, הוכיחו את תקפות הטיעון הבא .4
אם לא . רק אם היא מלאה במים, אקפוץ לבריכה. ואכלתי פיצה קפצתי לבריכה"שילמתי את היטל , לכן. הבריכה אינה מלאה במים, תשילמתי את היטל הבצור
."הבצורת
:כי הפסוקים הבאים הם טאוטולוגיות, שלא באמצעות טבלת אמת, הוכיחו .5
.א p q r q r p
.ב p q p r q r
:רזולוציהסמך -הסיקו על .6 p q p r q r , כי הפסוקים הבאים הם