Семинар 1. Введение Физика микромираtretiakova.ru/seminar/materials/03sem01.pdf · 2016-07-26 · Семинар 1.Введение.Физика микромира

Семинар 1. Введение. Физика микромира Во введении рассматриваются основные составляющие новой физики, возникшей на рубеже XIX и XX столетий:

• Теория относительности, изменившая существующие в классической физике представления о пространстве и времени.

• Квантовая теория, изменившая представление о структуре мате-рии. Явление радиоактивности, открытие электрона, сложная структура атома, протон-нейтронная структура атомного ядра, открытие фундаментальных частиц и взаимодействий привели к формированию современных представлений об окружающем мире.

• Открытия в области физики частиц, коренным образом повлиявшие на понимание процессов, происходящих во Вселенной.

1.1. Масштабы явлений в физике 1.2. Упругое рассеяние α -частиц. Формула Резерфорда 1.3. Сечение реакции 1.4. Размер ядра 1.5. Радиоактивность 1.6. Преобразования Лоренца 1.7. Эффект Доплера 1.8. Системы отсчета 1.9. Основные формулы релятивистской физики 1.10. Система единиц Гаусса

Задачи 1.1. Масштабы явлений в физике

Диапазон временных интервалов во Вселенной

Возраст Вселенной 13,8 млрд. лет Возраст Солнца 4,6 млрд. лет

Возраст Земли 4,5 млрд. лет

Появление жизни на Земле ~3,5 млрд. лет

Время прохождения светом расстояния Солнце–Земля ~5·102 с

Время прохождения светом расстояния 1 метр 3·10–9 с

Время прохождения светом расстояния, равного радиусу атома

~10–19 с

Время прохождения светом расстояния, равного радиусу атомного ядра

~10–24 с

6

Диапазон расстояний во Вселенной

Видимая граница Вселенной ~1010 св. лет

Ближайшая галактика (Магеллановы облака) 163 000 св. лет

Диаметр галактики Млечный путь 100 000 св. лет

Ближайшая звезда Проксима Центавра 4·1018 см = 4,2 св. года

Расстояние Земля – Солнце (астрономические единицы)

1,5·1013 см

Радиус Солнца 6,9·1010 см

Радиус Земли 6,4·108 см

Радиус Луны 1,7·108 см

Радиус атома водорода ~0,5·10–8 см

Радиус атомного ядра водорода ~0,8·10–13 см

Размеры лептонов, кварков <10–17 см

1 световой год (расстояние, которое проходит свет за 1 год)

~9,5·1017 см

1 парсек 3,1·1018 см = = 3,26 светового года

Диапазон масс во Вселенной

Масса видимого вещества во Вселенной ~1056 г Масса видимого вещества нашей галактики Млечный путь ~1012 масс Солнца

Масса Солнца 1,99·1033 г Масса Земли 5,98·1027 г Масса Луны 7,35·1025 г Масса 1 куб. м свинца 1,135·107 г Масса 1 куб. м воздуха (20°C, 1 атм.) 1,204·103 г Масса атома свинца 3,45·10−22 г Масса протона 1,67·10–24 г Масса электрона 9,11·10–28 г

1.2. Упругое рассеяние α -частиц. Формула Резерфорда Классическая физика основана на ряде блестящих экспериментов,

среди которых особое место занимают эксперименты Г. Кавендиша и Ш. Кулона. С помощью крутильных весов ими были установлены законы гравитационного и электрического взаимодействий макроскопических тел. Однако метод эксперимента, который использовался Кавендишем и Кулоном, не может использоваться в микрофизике из-за малых размеров исследуемых объектов.

7

Новый метод изучения микроскопических систем был предложен Э. Резерфордом. Он первым разработал и применил метод исследования с помощью рассеяния пробной «частицы-снаряда» на исследуемом объекте. В эксперименте по рассеянию α-частиц на атомах, Резерфорд установил, что вероятность рассеяния α-частиц на атоме, как функция угла рассеяния θ, подчиняется соотношению для рассеяния заряженной частицы на точечном кулоновском центре:

вероятность рассеяния ~ ( )

22

41

4 sin /яZ Z ed

d Tασ

θ

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟Ω ⎝ ⎠ 2

, (1.1)

где Zα, Zя – заряды (в единицах элементарного заряда) α-частицы и ядра-мишени, – кинетическая энергия α-частицы. Резерфорд показал, что в атоме имеется ядро размером менее 5·10

T–12 см, в котором сосредоточена

почти вся масса атома. Соотношение (1.1) называется формулой Резерфорда.

Рис. 1.1. Рассеяние α-частицы на ядремишени с зарядом Zя. Угол рассеяния θзависит от прицельного параметра b:

2tg( / 2) / (2 )Z Z e bTθ = .

.3. С

о э

яα

Атом состоит из ядра и связанных с ним электронов. Атомное ядро состоит из нуклонов: Z протонов и N нейтронов. Массовое число

. В нейтральном атоме число электронов равно числу протонов Z. А = Z + N соответствует суммарному числу протонов и нейтронов

1 ечение реакции Для характеристики вероятности процессов в микромире пользуются понятиями полног ффективного сечения σ и дифференциального эффек-

тивного сечения Ωd

dσ . Дифференциальное сечение используется для описа-

ния вероятности процесса взаимодействия частиц. Если мишень содержит Nм ядер и вся находится в пучке падающих частиц плотностью J (J − число частиц, падающих ицу времени на единицу поперечной площади

мишени), то число

в един

ΩddN )(θ частиц, рассеиваемых мишенью в единицу вре-

мени на угол θ в пределах телесного , опре угла dΩ деляется соотношением:

ΩddN )(θ = J Nм Ωd

d )(θσ . (1.2)

8

Полное число час рассеив мишеньвсеми углами, определяется соотношением

тиц, аемых ю в единицу времени под

N = ∫ ΩΩ

π4

0d

ddN = J Nм ∫ Ω

Ω

π σ ddd = j N

4

0м σ, (1.3)

σ = ∫ ΩΩ

π σ4

0d

dd − полное эффективное сечение, Nм = nSd — характеристика

мишени (n − число ядер мишени в единице объёма, S − обл чаемау я попереч-ни, d − толщина мишени в направлении падающего пучка

части

олучены из экспериментов по рассея диусы яд

ная площадь мишец). Полное сечение измеряется в барнах (1 барн = 10–24см2).

1.4. Размер ядра Наиболее распространенный метод исследования атомных ядер – это

рассеяние на ядрах различных частиц и ядер, ускоренных до высоких энергий. Точные данные по размерам атомных ядер были п

нию электронов. Ра ер R растут с увеличе-нием массового числа А и хорошо описываются соотношением

R ≈ 1,3⋅A1/3⋅10−13 см 1/31,3 A= ⋅ Фм. (1.4) Численный коэффициент в (1.4) зависит от метода определения радиуса

еделах 1,1÷1,4. Здесь и далее будет использоваться значен

. К явлению радиоактивности относится также испускание атомным ядром гамма-квантов, но при этом ни з

ядра и изменяется в прие 1,3.

1.5. Радиоактивность Радиоактивность – свойство атомных ядер самопроизвольно

(спонтанно) изменять свой состав (заряд Z, массовое число A) в результате испускания частиц или ядерных фрагментов

аряд Z, ни массовое число A не изменяются.

9

Основные виды радиоактивных распадов: • α-распад: ( , ) ( 4, 2)A Z A Z α→ − − +

из атомного ядра испускается α-частица – ро атома 4Не β

яд• –-распад: ( , ) ( , 1)A Z A Z e ν−→ + + +

из атомного ядра испускаются электрон e− и антинейтрино ν , один

• из нейтронов ядра превращается в протон. β+-распад: ( , ) ( , 1)A Z A Z e ν+→ − + + из атомного ядра испускаются позитрон e+ и нейтрино ν, один из

• протонов ядра превращается в нейтрон. e–-захват: , ) ( , 1)A Z e A Z( ν−+ → − + в результате взаимодействия между протоном и электроном атомной

из ядра испускается нейтрино, один из протонов ядра

•

оболочки превращается в нейтрон γ-распад: ( , )* ( , )A Z A Z γ→ + из возбужденного атомного ядра испускается один или несколько гамма-квантов.

Рис. 1.2. Зависимость активности от времени (слева). Данная зависимость в логарифмическом масштабе отображается прямой, тангенс угла наклона которой равен постоянной распада λ. Справа приведена кривая активации (наведенной радиоактивности) в зависимости от времени. Рост числа радиоактивных ядер практически прекращается при достижении активации насыщения за время t T 5≈
1/2

Процесс радиоактивного распада, как и все процессы в микромире, – это случайный (статистический) процесс. Атомные ядра одного сорта рас-падаются за разное время. Однако среднее время жизни τ ядер, вычислен-ное по наблюдению большого числа распадов, оказывается не зависящим от способа получения этих ядер и от внешних условий. Среднее время жизни τ ядра характеризует скорость их распада.

Постоянная распада λ: λ = 1 /τ . (1.5) Физический смысл λ – это вероятность распада радиоактивного ядра в единицу времени.

Закон радиоактивного распада показывает, как со временем изменяется в среднем число радиоактивных ядер в образце. Если в момент времени t имеется большое число N радиоактивных ядер, то к моменту t + dt распад испытают в среднем λNdt ядер. Поэтому изменение их числа dN определяется соотношением

dN = −λNdt (1.6) Знак минус означает, что общее число радиоактивных ядер уменьшается в процессе распада. Интегрируя соотношение (1.6), получим закон радиоактивного распада:

N = teN λ−0 , (1.7)

где 0N − число радиоактивных ядер в начальный момент t = 0. Закон радиоактивного распада относится к статистическим средним величинам и справедлив лишь при достаточно большом числе распадающихся ядер.

10

Среднее время жизни τ ядра вычисляется по формуле

0

0

1t

t

te dt

e dt

λ

λτ

λ

∞

∞

−

−= =

∫

∫. (1.8)

Часто для характеристики скорости радиоактивного распада атомных ядер используют величину, называемую периодом полураспада.

Период полураспада 1 2T – это время, за которое число радиоактивных

ядер уменьшается вдвое: =0 / 2N 0N 1 2Te λ− , следовательно

1 2T = ln 2 0,693 0,693τλ λ

≈ = . (1.9)

Активность образца А – число распадов в единицу времени, является производной от N по времени, взятой с обратным знаком:

A = dtdN− = λN. (1.10)

Активность образца уменьшается со временем по тому же экспоненциаль-ному закону, что и число нестабильных ядер. Активность измеряют в беккерелях или в кюри (внесистемная единица).

1 Ки – это а 1 К

Энергия раснеопределенности распадающееся соволновой функциеэкспоненциальном

Ядро в любом сос∆E ≈ Γ, которая свΓ − ширина уровня Подавляющераспадаются по теядра. Традиционнопериод полураспадвремя жизни τ.

1 Бк (беккерель) = 1 распад в секунду ктивность 1 г радия вместе с продуктами его распада.и (кюри) = 3,7⋅1010 Бк; 1 Бк ≈ 2,71⋅10−11 Ки

падающейся системы в соответствии с принципом Гейзенберга, не может быть точно определена. Всякое стояние, имеющее среднее время жизни τ, описывается й ψ(t), квадрат модуля которой убывает со временем по у закону радиоактивного распада

τψψt

et−

= 22 )0()( . тоянии с τ ≠ ∞ имеет энергетическую неопределенность язана с τ соотношением неопределенностей Γ⋅τ ≈ ћ , где на половине высоты. е число частиц также являются нестабильными и м же законам радиоактивного распада, как и атомные радиоактивность атомных ядер описывают, используя а T1/2, а распады частиц описывают, используя среднее

11

1.6. Преобразования Лоренца Основные положения специальной теории относительности изучались

в разделе «Механика» общего курса физики. Здесь лишь напомним основные соотношения релятивистской физики.

Принцип относительности − все законы природы должны быть одинаковыми для всех наблюдателей, движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью.

Специальная теория относительности была построена на двух постулатах, сформулированных Эйнштейном в 1905 году:

1. Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

2. Скорость света в вакууме равна постоянной величине с независимо от скорости движения источника.

Рассмотрим материальную точку, имеющую массу покоя m. Ее координаты в инерциальной системе отсчета S определяются как (t, ) = (t, x, y, z), а скорость u = |u |. Координаты той же точки в другой инерциальной системе отсчета S' (t', x', y', z'), движущейся относительно S вдоль оси z с постоянной скоростью

r

υ , связаны с координатами в системе S преобразованиями Лоренца.

Рис. 1.3. Штрихованная система S' движется относительно системы S со скоростью υ вдоль оси z.

В случае, если координатные оси систем z и z' сонаправлены с вектором υ и в начальный момент времени t = t' = 0 начала координат обеих систем совпадали, то преобразования Лоренца даются выражениями:

'x x= ; 'y y= ; ' ( )z z ctγ β= − ; ' (ct ct z)γ β= − , (1.11)

где cυβ = (0 < β< 1), а

2

11

γβ

=−

– лоренц-фактор.

12

Скорость частицы в системе S' связана со скоростью в системе S соотношением:

'u u

( )'

21 /x

xz

uuu cγ υ

=−

, ( )'

21 /y

yz

uu

u cγ υ=

−, ( )

'21 /

zz

z

uuu c

υυ−

=−

, (1.12)

Обратные преобразования Лоренца получаются взаимной заменой координат , и учетом изменения направления скорости '

ir r→ i iu 'iu →

υ υ→ − : 'x x= ; 'y y= ; ( ' ')z z ctγ β= + ;

( ' ')ct ct zγ β= + , (1.13) При малых скоростях преобразования Лоренца совпадают с нерелятивист-скими преобразованиями Галилея:

Преобразования Лоренца Преобразования Галилея

'x x= ; 'y y= 'x x= ; 'y y=

' (z z )tγ υ= − 'z z tυ= −

' (ct ct z)γ β= − 't t=

Относительность пространственных расстояний (релятивистское сокращение расстояний):

' /l l γ= . (1.14) Относительность промежутков времени между событиями (релятивист-ское замедление времени):

't tγ∆ = ∆ . (1.15) Относительность одновременности событий. Если в системе S для событий A и B tA = tB и xA ≠ xB, то в системе S'

( )' ' 2/A B Bt t c x xγυ= + − A

3

. (1.16)

В общем случае преобразования Лоренца записываются в терминах 4-векторов 0 0 1 2( , ) ( , , , )a a a a a a a= = . При относительном движении системы S' вдоль оси z системы S (рис. 1.3), 4-вектор a преобразуется следующим образом:

0 0 3 1 1 2 2 3 3 0( ), , , (a a a a a a a a a aγ β γ β′ ′ ′ ′= − = = = − ). (1.17)

Скалярное произведение двух 4-векторов a и b в 4-мерном пространстве времени определяется как:

0 0·a b a b g a b a b abµ µ νµ µν

µ µν

= = = −∑ ∑

и является инвариантом, т.е. сохраняется во всех инерциальных системах отсчета.

13

Таким образом, квадрат 4-вектора также является инвариантом. Например, квадрат 4-вектора координаты

2 2 2 2 2( , ) ( )X ct r c t r 2τ= = − = (1.18) определяет "собственное" время частицы τ (т.е. время в ее системе отсчета). 4-вектор скорости ( , )u cγ υ= вводится таким образом, чтобы (u)2 = c2. 4-импульс, определяется как произведение массы на скорость

( , ) ( ,/ )P mu m c E c pγ υ= = = . (1.19)

Так как u2=c2, то 2 2 2 2( ) ( / ) ( )P m c E c p= = − 2 , или 2 2 2 2( )2.E p c mc= + (1.20)

Следовательно, 2 , , / .2E mc p m c p Eγ γ υ υ= = = (1.21)

Преобразования Лоренца для 4-импульса (1.17): / ( / ), , , ( /z x x y y z z )E c E c p p p p p p p E cγ β γ′ ′ ′ ′= − = = = − β (1.22)

Скалярное произведение 4-импульсов является инвариантом по определе-нию. Вместо произведения 4-импульсов двух частиц, P1P2, обычно используют квадрат инвариантной массы двух частиц (s-инвариант):

2 22 21 2 1 2

12 1 22

( ) 2( /P P E E c p ps m mc c+

= = + + 1 22

)− (1.23)

1.7. Эффект Доплера. Если в системе S (рис. 1.2) в направлении оси z испущен фотон

энергии 0 0E p c= , то его энергия E, длина волны λ и частота ν в системе отсчета S' (наблюдатель удаляется от источника света) составит

0 00( ) (1E E c Ep ),γ β γ= − = − β

0

0 0

1 .1

EE

ν λ βν λ β

−= = =

+ (1.24)

Параметр смещения 0 0

0

( ) (z )λ λ ν νλ ν−

= =−

0

в этом случае больше 0, что

соответствует красному смещению 0;λ λ ν ν<> . Если скорость системы S' направлена в противоположную сторону (наблюдатель приближается к источнику света), то знаки скорости (β) изменяются на противоположные:

0

0 0

1 .1

EE

ν λ βν λ β

+= = =

− (1.25)

В данном случае наблюдается синее смещение: 0λ λ< . Поскольку в общем случае преобразование Лоренца записывается как 2

0( ( ) / )E E p cγ υ= − , то, в

14

отличие от классической физики, в релятивистском случае также наблюдается поперечный эффект Доплера: 0/ .ν ν γ=

Из формул, соответствующих синему смещению, можно получить классическую формулировку эффекта Доплера, используя разложение в

ряд: 0

1 (1 )(1 ) 1 ( )1 2 2

Oν β β β βν β

+= = + +… + −… = + +

−. Тогда для относитель-

ного изменения частоты излучения: 0/ c/ν ν β υ= = , что соответствует классической формулировке эффекта Доплера (без учета среды):

0 (1 / ).звукν ν υ υ= +

8. Системы отсчета Рассмотрим двухчастичный процесс a b c d+ → + . 4-х импульсы сталкивающихся частиц ( / ,a a aP E c p= ) и ( / ,b b bP E c p= ) соответственно.

При описании взаимодействий частиц и атомных ядер, как и в классической физике, обычно используются две системы отсчета: система покоя мишени и система центра инерции (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Определение некоторых систем отсчета

1. Система покоя мишени – система, в которой частица b (мишень) покоит-ся, 20,b b bp E m c= = . Обычно под лабораторной системой (ЛС) отсчета подразумевается система покоя мишени. В данной системе s-инвариант:

2 2 2 /a b a b2.s m m E m c= + + (1.26)

Энергия налетающей частицы, выраженная через s-инвариант: 2 2

2( ) ( )2a b

ab

s m mE cm

− −= (1.27)

2. Система центра инерции (СЦИ) – система, в которой * * 0a bp p+ = (величи-ны в СЦИ в дальнейшем будут отмечаться звездочкой). s-инвариант в СЦИ:

2 * * 2 * *1 2

2 4( ) ( ) (/ )/a b a bs P P E E sc c 2/E E c= + = + ⇒ = + (1.28) В экспериментах физики высоких энергий часто используется система встречных пучков – система, в которой частицы равной массы и равных по абсолютной величине импульсов сталкиваются под углом (π θ− ). При

0θ = система встречных пучков совпадает с СЦИ. 1.9. Основные формулы релятивистской физики

Универсальность законов сохранения приводит к необходимости установить для релятивистской кинематики такие уравнения, которые

15

удовлетворяли бы законам сохранения энергии и импульса и были инвариантны относительно преобразований Лоренца:

1. 2 4 2 2 2 2E m c p c mc mc Tγ= + = = + , E – полная энергия частицы, – масса частицы, mс – скорость света в вакууме, p mγ υ= – релятивистский импульс частицы,

/ cβ υ= , ( ) 1/221γ β−

= − – Лоренц-фактор, υ – скорость частицы,

( )2 1T mc γ= − – релятивистская кинетическая энергия частицы. 2. 2 2 2(2 )p c T mc T= + . 3. 0τ γτ= – релятивистское замедление времени,

0τ – время жизни частицы в состоянии покоя, τ – время жизни частицы, движущейся со скоростью υ .

4. 0llγ

= – релятивистское сокращение длины,

5. 2 2 2E p c inv− = , E – полная энергия частицы или системы частиц, p – импульс частицы или суммарный импульс системы частиц.

6. Энергия налетающих частиц Е в ускорителе с неподвижной ми-шенью, эквивалентном коллайдеру с пучками частиц массы m и энергии E*,:

2

22

2( *)EE mcmc

= − . (1.29)

7. Порог реакции. Если на неподвижной мишени b под действием налетающих частиц a происходит реакция ...a b c d+ → + + и энергия реакции (изменение суммарной массы частиц) ( ) 2 0i fQ m m c= − <∑ ∑ , то минимальная кинетическая энергия частицы а (пороговая энергия реакции Ta), необходимая для осуществления такой реакции

( ) ( )2 2

22

| || | 12 2

f i aa

b b

m m m QT c Qm m− ⎛ ⎞

= ⋅ = +⎜⎝ ⎠

∑ ∑bm c

+ ⎟ (1.30)

1.10. Система единиц Гаусса

При решении задач будет использоваться система единиц Гаусса, в которой основными единицами являются сантиметр, грамм и секунда. В данной системе диэлектрическая и магнитная проницаемости являются безразмерными величинами, причём для вакуума они приняты равными единице. В качестве единицы измерения энергии используется внесистемная единица 1 эВ (электрон-Вольт) – энергия, приобретаемая электроном при прохождении разности потенциалов в 1 Вольт.

16

Время 1 с

Энергия, масса 2E mc=

1 эВ (электрон-Вольт) эрг = 121,6 10−= ⋅191,6 10−= ⋅ Дж.

1 эВ =10–3 кэВ = 10–6 МэВ =10–9 ГэВ = = 10–12 ТэВ

Энергия покоя

электронапротонанейтрона

0,511 МэВ 938,3 МэВ 939,6 МэВ

Длина

1 Фм (ферми) 1310−= см

1 Å (ангстрем) = 10–8 см

Скорость света в вакууме 103 10c = ⋅ см·с–1

Заряд электрона 104,8 10e −= ⋅ ед. СГС

Приведенная постоянная Планка

Константы

22/ 2 6,58 10h π −= = ⋅ МэВ·с

197c = МэВ·фм; 2 1

137ec

α = =

Задачи

1.1 α-частица (ядро ; 42He 2Zα = ) с кинетической энергией 5 МэВ

испытывает лобовое столкновение с ядром золота (197 ; T =

79Au 79яZ = ). Рассчитать расстояние максимального сближения α-частицы с ядром золота.

На расстоянии максимального сближения α-частицы с ядром ее кинети-ческая энергия полностью превращается в потенциальную энергию кулоновского отталкивания

яZ eZ eTR

α= .

Откуда R = 2 10 2

6 122 79 (4,8 10 ед.СГСЕ)5 10 1,6 10 эрг/эВ

яZ Z eT эВ

α−

−⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅

= 4,5⋅10−12 см.

Вариант расчета с использованием констант и : c 2 /e c

R = 2 2 2 79 197 МэВ Фм

5МэВ 137я яZ Z e Z Z e c

T T cα α ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

= 45 Фм = 4,5⋅10−12 см.

1.2 Протон с кинетической энергией Т = 2 МэВ налетает на неподвиж-ное ядро золота . Определить дифференциальное сечение 197

79Au

17

рассеяния /d dσ Ω на угол θ = 60°. Как изменится величина дифференциального сечения рассеяния, если в качестве рассеиваю-щего ядра выбрать алюминий ? 27

13Al

Дифференциальное сечение рассеяния на угол θ определяется формулой Резерфорда, в которой заряд α-частицы Zα = 2 надо заменить на заряд протона Zр = 1, а в качестве Zя использовать заряд ядра золота

AuZ = 79. В итоге для рассеяния протонов на ядре золота имеем

24

222

41 1 79 197 МэВ Фм 2

4 sin ( / 2) 4 2 МэВ 137 p яZ Z ed с

d T сσ

θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Ω ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠=

⋅

= 3,2⋅103 Фм2/ср = 32 барн/ср, где использована единица сечения 1 барн = 100 Фм2= 10−24 см2.

Из формулы Резерфорда следует, что отношение дифференциальных сечений рассеяния при замене ядра на определяется отношением квадратов зарядов этих ядер:

19779Au 27

13Al

2 2Au2 2AlAu Al

79 3713

Zd dR d d Zσ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= = =Ω Ω

=

i

,

т. е. при одинаковых условиях сечение рассеяния на ядре золота будет в 37 раз больше, чем на ядре алюминия.

1.3 Частица массы ma налетает на покоящуюся частицу массы mb. В

результате реакции в конечном состоянии образуется n частиц с массами m’1,…m’n . Определить энергию и порог реакции.

Обозначим суммарную массу взаимодействующих частиц a b im m m+ = ∑

(индекс i соответствует начальному состоянию (initial)), суммарную массу образовавшихся частиц 1 2' ' ... 'n f

m m m m+ + = f∑ (индекс f обозначает конеч-ное состояние (final)). Энергия реакции Q соответствует изменению суммарной массы частиц: 2( i fi f

Q m m= − )c∑ ∑ . (1.31) Пороговая энергия реакции – это дополнительная кинетическая энергия, необходимая для осуществления эндотермической реакции (Q < 0). Данное значение энергии соответствует предельному случаю, когда продукты реакции в СЦИ образуются с нулевыми импульсами и s-инвариант в конечном состоянии равен квадрату суммы масс конечных продуктов:

* 2 2 2( ) / (f ff)fs P c m= =∑ ∑ . В начальном состоянии в СЦИ

* 2 2 * * 2 4( ) / ( ) /i i a bs P c E E= = +∑ c

2

. Следовательно, необходимая суммарная энергия сталкивающихся частиц должна быть * *

a fb fE E m+ = c∑ . Пороговая кинетическая энергия в СЦИ:

18

* * 2 2 | |a b f iT T m c m c Q+ = − =∑ ∑ .

В лабораторной системе отсчета частица-мишень покоится: 2| ,| 0b b bp E m c= = . Соответственно, s-инвариант в лабораторной системе в

начальном состоянии равен: 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) / ( / / ) ( / / ) /2 .a b a b a b a b a bs P P c E c E c p c p c m m E m c= + = + − − = + −

Приравнивая s в начальном и конечном состояниях, получаем: 2 2 2

2( )

2f a bf

ab

m m mE c

m

− −=

∑, (1.32)

( ) ( )2 2

2

2ff i

a a ab

m mT E m c c

m

−= − =

∑ ∑ 2i. (1.33)

Раскладывая разность квадратов и выделяя Q, получим (1.30):

2

| || | 12

aa

b b

m QT Qm m c

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Значение пороговой энергии реакции в лабораторной системе всегда больше соответствующего значения в системе центра инерции. Их разность определяет ту часть энергии, которая идет на движение центра инерции в лабораторной системе. 1.4 Получить выражение для энергий и импульсов продуктов

двухчастичного распада через массы частиц в релятивистском случае в СЦИ.

X A→ + B

В СЦИ распадающаяся частица X покоится, ее энергия , импульсы продуктов распада равны по величине и противоположны по направлению. Законы сохранения энергии и импульса:

2X XE m c=

2

| | | |A B X

A B

E E m cp p

⎧ + =⎨

=⎩

Учитывая, что 2 2 2( ) ( )2pc E mc= − и подставляя выражение EB через EA во второе уравнение, получим:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )A A X A B2.E m c m c E m c− = − −

Отсюда для частицы A: 2 2 2

2

2X B A

AX

m m mE cm

− += , (1.35)

22

( )( )2 2

X A B X A B BA

X X

m m m m m m m QT cm m

⎛ ⎞− + − −= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠X

Qm c

+ .

Выражения для частицы B получаются перестановкой соответствующих индексов.

19

Полезно выписать выражения для энергий продуктов распада в некоторых частных случаях: а) распад на частицы равной массы mA = mB.

2( )2 2

X X A BA

X

m m m m QTm

c− −= = ; (1.36)

б) образование безмассовой частицы mA = 0. 2 2 2 2

2 22

( ),2 2X B X B

A BX X

m m m m QE c T cm m− −

= = =2 Xm c

; (1.37)

в) нерелятивистский случай: , 2XQ m c X A Bm m m≈ +

2X A B B

AX A B

m m m mT Q Qm m m

− += =

+. (1.38)

1.5 Рассчитайте кинетические энергии Tα α -частиц и ядер ,

образующихся при распаде

222 Rn226 222Ra Rn α→ + .

( МэВ/c(Rn) = 206 764,10m 2, МэВ/c(Rа) = 210 496,35m 2, ( ) = 3 727,38m α МэВ/c2.)

1.6 Рассчитайте дифференциальные сечения рассеяния α -частицы с кинетической энергией 10 МэВ 1) на ядре кальция 40

20 на угол 60°, Ca2) на ядре меди на угол 90°, 63

29 Cu3) на ядре молибдена на угол 120°, 96

42 Mo4) на ядре серебра на угол 180°. 79

47 Ag

1.7 α -частицы с кинетической энергией 10 МэВ рассеиваются на ядре золота . Рассчитайте отношение сечений рассеяния W под углами 6° и 180°.

19779 Au

1.8 Рассчитайте расстояния максимального сближения R

1) α -частицы с кинетической энергией 5 МэВ с ядром лития , 73Li

2) α -частицы с кинетической энергией 10 МэВ с ядром 4020 , Ca

3) протона с кинетической энергией 7 МэВ с ядром золота 197 , 79 Au4) α -частицы с кинетической энергией 5 МэВ с ядром свинца . 208

82 Pb

1.9 Пучок α-частиц с кинетической энергией Т α = 5 МэВ падает перпендикулярно на тонкую мишень из серебра плотностью 1 мг/см2. α-частицы, рассеянные под углом 60°, регистрируются детектором площадью 1 см2, расположенном на расстоянии 20 см от

20

мишени. Какая доля от полного числа рассеянных α-частиц будет зарегистрирована детектором?

/N N∆

1.10 В ходе эксперимента медная фольга (Z = 29, Mmol = 63,55 г/моль) толщиной 2 мг/см2 облучается пучком α-частиц с с кинетической энергией Т α = 5 МэВ и интенсивностью 105 частиц в секунду. Сколько α-частиц в минуту ∆N будет регистрировать детектор площадью 1 см2, расположенный на расстоянии 10 см от мишени под следующими углами к направлению падающего пучка:

1) 30°, 2) 90°, 3) 120°? 1.11 Почему из экспериментов по упругому рассеянию α-частиц

следовало, что в атоме расположено положительно заряженное атомное ядро размером < 5·10–12 см? Почему полученные результаты нельзя было объяснить на основании модели Томсона?

1.12 Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного изотопа йода в течение первых суток больше числа распадов в течение

вторых суток ? Период полураспада изотопа 131

13153I 1N

2N 53I 131

1 2 53( I) 193T = часа.

1.13 Пучок π+-мезонов движется со скоростью υ = 0,9c. Среднее время жизни π+-мезонов составляет 0τ = 2,6·10–8 с. Какое расстояние Lπ в среднем они пройдут до своего распада?

1.14 На каком расстоянии L интенсивность пучка мюонов с кинетической энергией 0,5T = ГэВ, движущихся в вакууме, уменьшается до половины первоначального значения?

( )=105,66 МэВm µ , 6( )=2,197 10τ µ −⋅ сек.

1.15 Полная энергия электрона составляет 2,5 МэВ. Определите его импульс p и скорость υ в лабораторной системе отсчета.

1.16 Частица ускоряется разностью потенциалов 107 В. Рассчитайте фактор γ, скорость υ, импульс p и полную энергию E для 1) электрона 2) протона.

1.17 Какую энергию надо затратить, чтобы электрон достиг скорости eTа) 0,5 c, б) 0,9 c, в) 0,99 c? Какая энергия необходима, чтобы протон достиг тех же скоростей?

pT

1.18 Какую энергию надо затратить, чтобы увеличить скорость протона а) от 0,20 c до 0,21 c, б) от 0,80 c до 0,81 c, в) от 0,90 c до 0,91 c, г) от 0,98 c до 0,99 c.

1.19 Полная энергия частицы в два раза больше ее энергии покоя. Рас-считайте отношение υ/c для этой частицы и определите ее импульс.

21

1.20 Определите массу частицы если известно, что ее импульс равен 500 МэВ/c, а энергия – 1746 МэВ.

1.21 Рассчитайте скорость уменьшения массы Солнца, если известно, что плотность лучистой энергии Солнца на Земле в среднем равна 1,37·103 Вт/м2.

1.22 Энергия связи электрона в атоме водорода составляет 13,6 эВ. Насколько масса атома водорода меньше суммы масс электрона и протона?

1.23 Энергия связи дейтрона (система, состоящая из протона и нейтрона) составляет 2,224 МэВ. Насколько масса ядра дейтрона меньше суммы масс составляющих его нуклонов?

1.24 Энергия, выделяющаяся при делении одного ядра 235U, составляет ~200 МэВ. Какое количество массы ядра урана превращается в энергию?

1.25 Какой должна быть относительная скорость υ двух наблюдателей, чтобы измеряемые ими интервалы времени различались на 5 %?

1.26 На какое время ∆t разойдутся показания часов земного наблюдателя и наблюдателя на спутнике Земли с периодом обращения 90 мин через 5 лет?

1.27 Используя разложение в ряд, получите следующие формулы для приближенного вычисления релятивистских поправок в случае

υ << c: 2

2

112 c

υγ ≈ + ; 2

2

1 112 c

υγ

≈ − ; 2

2

1 11 12 c

υγγ

− ≈ − ≈

1.28 Исходя из релятивистского соотношения между энергией и импульсом, покажите, что в нерелятивистском пределе выполняется соотношение для кинетической энергии

2

2mvT =

1.29 Длина волны, излучаемая атомом водорода, составляет 0 6560λ = Å. Измерение длины волны этого же излучения из удаляющейся галактики составляет 1 14 580λ = Å. Определите скорость υ, с которой галактика удаляется от Земли.

1.30 Галактика удаляется от земного наблюдателя со скоростью 1,9·107 м/с. Определите относительную величину красного смещения 0( ) / 0λ λ λ− для света этой галактики.

1.31 Измерение гравитационного потенциала ∆φ при удалении на бесконечность с расстояния R от центра сферического не

вращающегося тела массы M составляет 2 .R

GM GMdrr R

ϕ∞

= =∫ При

этом величина красного смещения света определяется 22

соотношением 02

0 0

GMc R

ν ν νν ν

−= = . Оцените величину красного

смещения линии водорода в гравитационном поле Солнца. Оцените величину синего смещения этой линии в гравитационном поле Земли.

1.32 Видимый свет от близкой звезды смещен в фиолетовую часть спектра на 5 %. С какой лучевой скоростью движется звезда?

1.33 С какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы красный свет светофора ( 70кр 00λ = Å) выглядел зеленым ( 5300зелλ = Å)? Сравните результат с величинами космических скоростей.

1.34 Определите порог реакции 73Li pα α+ → + . Определить долю кине-

тической энергии налетающей частицы, идущую на движение центра инерции. ( ) = 3 727,38МэВm α , ,

. ( ) = 938,27 МэВm p

73( Li) = 6 533,83МэВm

1.35 Рассчитайте порог реакции 14 17N O pα+ → + в двух случаях: • налетающей частицей является ядро азота 14N, • налетающей частицей является α-частица. Объясните полученный результат.

1.36 1) В коллайдере LHC энергия пучков протонов составляет *pE = 7 ТэВ. Определите энергию столкновения s в системе центра

инерции. Какая энергия протонного пучка pE потребовалась бы для достижения данной энергии в ускорителе с неподвижной мишенью? Сравните результат с энергией протонов космических лучей. 2) В условии задачи 1) рассмотрите столкновение пучков электронов и позитронов с энергиями *

eE = 500 ГэВ (проект ILC).

3) В условии задачи 1) рассмотрите столкновение пучков протонов с энергиями *

pE = 1 ТэВ (коллайдер TEVATRON).

4) В условии задачи 1) рассмотрите столкновение пучков электронов с энергиями *

eE = 100 ГэВ (коллайдер LEP)

23

Семинар 1. Введение Физика микромираtretiakova.ru/seminar/materials/03sem01.pdf · 2016-07-26 · Семинар 1.Введение.Физика микромира

Documents