Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren Literatur Newbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham.

Zeitreihenanalyse und Prognoseverfahren

LiteraturNewbold & Bos, Introductory Business Forecasting (2nd ed.), Cincinnati: South Western Publ., 1994 Abraham & Ledolter, Statistical Methods of Forecasting, New York: Wiley, 1983.

5.11.2003 Prognoseverfahren 2

Zeitreihen

in regelmäßigen Zeitabständen genommene Beobachtungen y1, y2, …, yt, …, (yn) eines Merkmals Y

Beispiele jährliche Investitionen eines Unternehmens die wöchentlichen Umsätze einer

Supermarkt-Kette die täglichen Börsenkurse einer

Aktiengesellschaft

5.11.2003 Prognoseverfahren 3

Aufgaben der Zeitreihenanalyse

Beschreibung der Zeitreihe Prognose Erklärung der Datengenerierung

5.11.2003 Prognoseverfahren 4

Komponenten von Zeitreihen

Trend Saisonale (und/oder zyklische)

Schwankungen (Saisonalität) Irreguläre Schwankungen (Störterm,

noise)

5.11.2003 Prognoseverfahren 5

Modelle für Zeitreihen

additives Modell yt = Tt + St + Ut

multiplikatives Modell yt = Tt * St * Ut

mit Tt: Trend St: Saisonalität Ut: Störterm

5.11.2003 Prognoseverfahren 6

Tt = a + b.t (linearer Trend) Tt = a + b.t + g.t2 + … (polynomialer

Trend) Tt = a exp {b.t} (exponentieller Trend) Tt = a/[1 + b exp {– g.t}]

(Sättigungsmodell)

Modelle für den Trend

5.11.2003 Prognoseverfahren 7

Schätzen der Trendkomponente

Globale Anpassung: Methode der kleinsten Quadrate

Lokale Anpassung: Methode der gleitenden Durchschnitte

5.11.2003 Prognoseverfahren 8

Schätzen der Saisonkomponenten

Annahme eines additiven Modells Schätzung des Trends Tt Abziehen des Trends liefert (näherungs-

weise) St + Ut, Durchschnitt der Werte jeder Saison-

komponente gibt vorläufige Schätzer Zentrieren der Saisonkomponenten

(Abziehen des Durchschnitts)

5.11.2003 Prognoseverfahren 9

Autokorrelation

Autokorrelation rk: Maß für die Stärke der Abhängigkeit zwischen yt und yt+k (oder yt-k)

rk = sk/s2 mit

sk = S(yt-ybar)(yt+k-ybar)/n

(k=0,1,2,…); ybar: Durchschnitt der yt; s2 = s0

5.11.2003 Prognoseverfahren 10

Autokorrelationsfunktion

r(k) = rk, k=0,1,2,…

die graphische Darstellung wird auch Korrelogramm genannt

gute Hilfe zur Interpretation der Zeitreihe Hinweise auf Saisonalität Hinweise auf Trend Hinweise auf Prognosequalität

5.11.2003 Prognoseverfahren 11

Prognose

oder Vorhersagen für Beobachtung yn+r:

ŷn(r)

n: Prognosezeitpunktr: Prognosehorizont

Prognoseintervall ŷn(r) ± c

5.11.2003 Prognoseverfahren 12

Aufgabe der Prognoserechnung

Bestimmung von ŷn(r) und c

5.11.2003 Prognoseverfahren 13

Prognosemethoden

Univariate Methoden exponentielles Glätten Box-Jenkins ARIMA Modelle Strukturelle Zeitreihenmodelle

Multivariate Methoden Regressionsmodelle Ökonometrische Modelle (simultane

Gleichungssysteme) Judgmental Methods

5.11.2003 Prognoseverfahren 14

Wahl der Prognosemethode

entsprechend dem Typ der Zeitreihe: Kein Trend, keine Saisonalität Trend, keine Saisonalität Trend, Saisonalität

5.11.2003 Prognoseverfahren 15

Kein Trend, keine Saisonalität

yt = + ut

: Niveau, ut: Störterm, noise

1. Konstantes Niveau ŷn(r) = ybar für alle r

2. Variables Niveau ŷn(r) = Ln für alle r

geschätztes Niveau: Ln= yn + (1–)Ln-1

(Methode des Exponentiellen Glättens)

5.11.2003 Prognoseverfahren 16

Exponentielles Glätten

Rekursion zum „Update“ des SchätzersLn= yn + (1–)Ln-1

Langschreibweise:Ln = [yn + (1–) yn-1 + (1–)2 yn-2+ …]

Exponentiell abnehmende Gewichte(1–), (1–)2, …

Glättungskonstante

5.11.2003 Prognoseverfahren 17

Beispiel

y1 = 5; y2 = 4; y3 = 5; y4 = 6; y5 = 8 Anfangswert: L1 = y1

Glättungskonstante: = 0.2 Berechnen des Niveau-Schätzers L2 = y2 + (1-)L1= (0.2)(4) + (0.8)(5) =

4.8 L3 = (0.2)(5) + (0.8)(4.8) = 4.84 etc.

5.11.2003 Prognoseverfahren 18

Beispiel, Forts.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7

y_t

L_t

yhat_t

5.11.2003 Prognoseverfahren 19

Korean. Exporte, 70/1-86/2

0,0

2000,0

4000,0

6000,0

8000,0

10000,0

12000,0

5.11.2003 Prognoseverfahren 20

Glättungskonstante

Bedingung für Konvergenz: 0 ≤ ≤ 1 Übliche Werte: 0.1 ≤ ≤ 0.3 durch Minimieren der Summe der

quadrierten einstufigen PrognosefehlerSSE = [yt – ŷt-1(1)]2

5.11.2003 Prognoseverfahren 21

Glättungskonstante , Forts

Extreme Werte für : = 1:

ŷn(r) = Ln = yn

Naive Prognose, „random walk“ Prognose = 0:

ŷn(r) = Ln = (1/n)[yn + yn-1 + … + y1] gleiches Gewicht für alle Beobachtungen

5.11.2003 Prognoseverfahren 22

Trend, keine Saisonalität

yt = + t + ut

: Niveau, : Anstieg der Trendge-raden, ut: Störterm, noise

Prognose (Exponentielles Glätten nach Holt):

ŷn(r) = Ln + r Tn für alle rLn: geschätztes Niveau

Tn: geschätzte Trendkomponente

5.11.2003 Prognoseverfahren 23

„Update“ der Schätzer

Ln = 1 yn + (1 – 1) [Ln-1 + Tn-1]

Tn = 2 [Ln – Ln-1] + (1 – 2) Tn-1

1, 2: Glättungskonstante 0 ≤ 1 ≤ 1, 0 ≤ 2 ≤ 1

großer Wert einer Glättungskonstanten: Betonung der neuesten Information

kleiner Wert einer Glättungskonstanten: alle Beobachtungen bekommen ziemlich das gleiche Gewicht

5.11.2003 Prognoseverfahren 24

„Update“ der Schätzer, Forts.

Initialisierung: L2 = y2, T2 = y2 – y1

Wahl der Glättungskonstanten durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler

5.11.2003 Prognoseverfahren 25

Korean. Exporte, 70/1-86/2

0,0

2000,0

4000,0

6000,0

8000,0

10000,0

12000,0

t 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

5.11.2003 Prognoseverfahren 26

Trend und Saisonalität

Exponentielles Glätten nach Holt-Winters

Bei Monatsdaten (s = 12)ŷn(r) = [Ln + r.Tn] Sn+r-12 (r=1,…,12)

= [Ln + r.Tn] Sn+r-24 (r=13,…,24) = etc.

Ln: geschätztes Niveau, Tn: geschätzte Trendkomponente, Sn: geschätzte Saisonkomponente

5.11.2003 Prognoseverfahren 27

„Update“ der Schätzer

Ln = 1 [yn/Sn-12] + (1–1) [Ln-1+Tn-1]

Tn = 2 [Ln–Tn-1] + (1–2) Tn-1

Sn = 3 [yn/Ln] + (1–3) Sn-12

1, 2, 3: Glättungskonstante

0 ≤ 1, 2, 3 ≤ 1

Wahl der i: durch Minimieren der Summe der quadrierten einstufigen Prognosefehler

5.11.2003 Prognoseverfahren 28

Prognoseintervall

für ŷn(r): Berechnung aller r-stufigen Prognosefehler

yr+1–ŷ1(r), yr+2–ŷ2(r), …, yn–ŷn-r(r) Varianz der Prognosefehler

sr2 = [yt – ŷt-r(r)]2 /(n – r)

95%-iges (r-stufiges) Prognoseintervall für yn+r:

ŷn-r(r) ± 2sr

5.11.2003 Prognoseverfahren 29

Autoregressive Modelle

AR(1)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + ut

AR(2)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + 2 yt2 + ut

AR(p)-Modell yt = 0 + 1 yt1 + ... + p ytp + ut

5.11.2003 Prognoseverfahren 30

Analyse der AR-Modelle

Identifikation, d.h. Festlegen der Ordnung p

Schätzen der Parameter zum Schätzen wird LS-Schätzung verwendet

Prognose

5.11.2003 Prognoseverfahren 31

AR(1)-Modell: Prognose

ŷn(1) = b0 + b1 yn

ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1)

...ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) für r 2

mit bi: Schätzer von i

5.11.2003 Prognoseverfahren 32

AR(2)-Modell: Prognose

ŷn(1) = b0 + b1 yn + b2 yn-1

ŷn(2) = b0 + b1 ŷn(1) + b2 yn

ŷn(3) = b0 + b1 ŷn(2) + b2 ŷn(1)

...ŷn(r) = b0 + b1 ŷn(r-1) + b2 ŷn(r-2) für r 3