zbieżność strategii optymalnych na rynkach finansowych z ...
Post on 13-Feb-2017
218 Views
Preview:
Transcript
Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 · 2015
Rafał Kucharski
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Statystyki rafal.kucharski@ue.katowice.pl
ZBIEŻNOŚĆ STRATEGII OPTYMALNYCH NA RYNKACH FINANSOWYCH
Z OGRANICZENIAMI PŁYNNOŚCI Streszczenie: W pracy rozważamy model rynku finansowego opisanego przez Çetina i Rogersa [2007], w którym ściśle wypukłe koszty transakcyjne służą do modelowania efektów związanych z ograniczeniami płynności. Udaje się wzmocnić rezultaty tej pra-cy, dowodząc jedyności strategii optymalnych, oraz wykazać ich ciągłość względem preferencji inwestorów. Słowa kluczowe: koszty transakcyjne, strategie optymalne, ryzyko płynności, wycena instrumentów. Wprowadzenie
Ryzyko płynności jest jednym z najważniejszych typów ryzyka, z jakim mamy do czynienia na rynkach finansowych. Dotychczasowe badania związane z modelowaniem ryzyka płynności i jego wpływu na zachowanie się inwestorów i rynków finansowych nie są jednak zbyt zaawansowane, być może z powodu braku zgody w sprawie definicji płynności, nawet w kategoriach jakościowych. Efekty związane z płynnością można najprościej opisać jako trudności lub ko-nieczność poniesienia dodatkowych kosztów w sytuacji, gdy chcemy w krótkim czasie sprzedać lub kupić większą ilość pewnych aktywów.
Występują dwa podejścia do modelowania efektów związanych z płynno-ścią. Według pierwszego z nich transakcje dużego inwestora mają wpływ na cenę rynkową. Znane są udokumentowane przypadki, gdy duży inwestor (lub grupa inwestorów) wpływał na rynek, co zwykle objawiało się znacznym wzro-
stem cen,na rynku 48,70 dolczas nastędany walostorzy, ktsą do zakudziałania
Istniewa na cenczyni moinwestor mna jakie zstawione szy o prem
Çetinrym efektgo rynku cena płacopisany foptymalnypracy prosię nam wstrategii o
Opis rów obecnje bogactwtematyce wyceny inokreślającwanie inwrametrów praktycznmentalną
Probcji badali pełnego zruch Browcesów opt
Zbieżność
po którym srebra w la
ara za uncjęępujący: nalor, a następnórzy zajęli kupów, co na z użyciem opeją wady tegnę, to cena p
odel niemal bmoże wystaw
zostały wystaopcje bezwamię, za jaką sn i Rogers [2t działalnościma jedynie ona przez te
funkcją wypuych dla probwadzimy rozwzmocnić zaoptymalnych
strategii inwnych na niepewo w sposóbfinansowej. nstrumentówcego preferenwestora i jeg
rynku finannej implemenrolę przy oblem stabilnojako pierws
z czasem ciągwna. Dowiedtymalnego b
ć strategii opt
następował atach 1979-1ę [Rogers i Sleży zająć dnie dokonać krótkie pozyrynku z obnpcji można p
go podejścia.powinna uwzbezużytecznwić opcje typawione opcjeartościowymisprzedał opc2007] stosująi dużego inwkrótkookres
ego inwestorukłą. Autoroblemu maksyzważania w tawarte w cyoraz wykaza
westycyjnychewnych rynkb optymalny,Optymalność
w finansowycncje inwesto
go optymalnonsowego. Pyntacji modelliczeniach nu
ości strategii si Jouini i Nagłym, na któdli oni zbieżnbogactwa i k
tymalnych na
krach. Przyk1980, która sSingh, 2004].długą pozycjdużych zakucje, wraz z w
niżoną podażpodjąć na ryn. Po pierwszzględniać dz
nym. Drugi apu down-ande, co spowodi. Po odkupi
cje, więc osiąą inne podej
westora w obsowy, „lokalnra różni się om udaje sięymalizacji użtym samym
ytowanej praać ich zbieżn
h, które powikach finansow, jest typowyć ta może doch, jak i makora. Naturalność zależą o
ytanie to ma lu, gdyż stabumerycznychoptymalnycapp [2004], rym ceny akność prawie
konsumpcji o
rynkach finan
kładem jest dspowodował. Schemat poę w kontrak
upów na rynwygasaniemżą skutkuje wnku akcji. e, jeśli pojed
ziałania wszyargument to d-out, a nastęduje spadek iieniu aktywóąga zysk bez ście: opisują
bliczu ograniny” wpływ nod rynkoweję dowieść mżyteczności modelu rynk
acy rezultatyność. inny być wywych, a pragnym problemeotyczyć zarówksymalizacjine jest równid tych prefeszczególne
bilność rozwh. h i cen wzglktórzy rozw
kcji opisane sna pewno or
oraz zbieżnoś
nsowych…
działalność bła wzrost ceostępowania ktach termin
nku pierwotnm kontraktówwzrostem cen
dynczy inweystkich inwes
tzw. free rępnie sprzedaich kursu, cz
ów inwestor jryzyka. ą model rynkczonej płynnna cenę: w tj o koszt tra
m.in. istnienina takim rynku finansowey, dowodząc
ybierane przenących pomn
em rozważanywno najkorz pewnego fuież pytanie, jerencji oraz iznaczenie p
wiązań odgry
lędem zmianważali model są przez geomraz w , ść optymalny
29
braci Hunt ny z 9 do jest wów-
nowych na nym. Inwe-w zmuszeni n. Podobne
estor wpły-storów, co
round trip: ać aktywa, zyniąc wy-jest bogat-
ku, na któ-ności owe-tym ujęciu ansakcyjny ia strategii nku. W tej ego. Udaje
jedyności
ez inwesto-nażać swo-ym w ma-
zystniejszej unkcjonału jak zacho-innych pa-rzy próbie
ywa funda-
n preferen-rynku zu-
metryczny , pro-
ych strate-
30
gii w dodatkowrozszerzytyngałamibilności d[Kardaras
W czinwestoróżeniami dgii optymteczności ograniczocyjnych i 1. Model
RozpÇetina i Rdelem rynkretną filtnia w obakoncie baCeny akc
, felu z
gdzie przez inwmiast pro
rze, na któ
Potrz
w ogólnymwych założenł te rozważai, obejmującdla modeli fis i Žitković, 2zasie dyskretów zajmowaldotyczącymi
malnych na ryokreślonym
onymi do półz kosztami z
l rynku
poczniemy oRogersa [200nku finansowtracją rczoną ryzyk
ankowym, ktcji opisuje ś
do pow
westora w chocesy i
zórym jest sko
zebny nam b
R
m przypadku niach na procania na klasę c w ten sposfinansowych 2011] i [Larstnym problemli się Carassuregularnośc
ynku, na któmi na całej prłosi podobnezawierają odp
od omówien07], który będwego jest tu
. Inwestorzkiem akcję ortórego stopaściśle dodatn
. Pomiędzywoduje zmia
. Zakhwili , więc
są adaptozakładamy, żończona, ora
ędzie równie
Rafał Kuchars
i ich prawieces cen i funmodeli, w kób również z czasem ci
sen i Žitkovimem ciągłejus i Rásonyi i dowiedli z
órym inwestorostej. Dla pre rozważaniapowiednio p
nia najbardzdzie podstaw
przestrzeń pzy obecni na raz lokowania procentowatni, adaptowy momentamianę ilości got
kładamy, że c proces owane. O fuże jest ściśle az spełnia wa
eż techniczny
ki
e pewną zbinkcje użytecktórych cenyrynki niezupiągłym zajmć, 2007]. zależności s[2007], którbieżności prorzy posługuroblemu z fua dla rynkówprace [Kucha
ziej istotnycwą naszych daprobabilistycrynku mają
ia gotówki naa jest, dla u
wany proces i t i t + 1 zmitówki z do
wielkość jest
unkcji opisujrosnąca i śc
arunki:
y warunek:
ieżność przyczności. Larsy są ciągłymipełne. Proble
mują się równ
strategii od przy pod pewnrawie na pewują się funkcunkcjami uży
w bez kosztówarski, 2006, 2
h elementówalszych rozwczna możliwość ina pozbawion
uproszczenia, o
iana liczby ako
jest wprognozowaącej koszty
ciśle wypukł
y pewnych sen [2009] i semimar-emem sta-nież prace
preferencji nymi zało-wno strate-cjami uży-yteczności w transak-
2008].
w modelu ważań. Mo-
z dys-nwestowa-
nym ryzyka , równa 0.
własności kcji w port-
wyznaczana alny, nato-
płynności ła na zbio-
gdzie funmamy tu
Celemtówki tak aby wteczności ściśle rosn
Ponadla pewne 2. Istnien
Inwebędzie od
z g
Defin
gdzie oces nie i całko
Za prLemat 2.1Lemat 2.2
Lemat 2.3
gdzie s
Zbieżność
nkcja
m inwestora, prz
w chwili
nąca, ściśle w
adto zakładamego fu
nie i jedyno
estor, który wdtąd stosowagotówką
niujemy funk
oznacza rodz jest p
owalne dla w
racą [Çetin i 1. Funkcje 2. Dla
3. Dla
są wypukłym
ć strategii opt
) jest wypua jest maksymzy czym w ch
posiadać opis
wklęsła oraz
my, że unkcja
ość strategi
w chwili pał strategię
kcje wartośc
zinę tych proprognozowa
wszystkich
Rogers, 200 są wklęsłe i
fun
ora
mi sprzężenia
tymalnych na
okukłym sprzężmalizacja użhwili inwjedynie gotó
sująca prefespełnia waru
j
ii optymaln
posiada kwot
i
ocesów, dla kalny, dla
. Z
07] przytaczai rosnące ze wkcje wartośc
az
mi zdefini
rynkach finan
kreślona dlażeniem funkcżyteczności k
westor likwiduówkę. Zakła
erencje inweunki Inady:
, dla dowest rosnąca.
nych
tę gotówk, zakończy
których . F
Zauważmy, ż
amy następujwzględu na ci spełniają r
, ,
iowanymi jak
nsowych…
a (dcji .
końcowego zuje pozycję w
adamy, że funstora jest ni
olnych
ki i sztuk y inwestycje
, Funkcje te sąże
jące wyniki. i prawie
równanie Bel
, ma
ko
31
dla
zasobu go-w akcjach, nkcja uży-iedodatnia,
, oraz
akcji oraz w chwili
(1)
oraz pro-ą niedodat-
na pewno. llmana
(2)
amy
32
W szczegóLemat 2.malne dla
Musistrategii ofunkcje ww dowodzLemat 2.wklęsłe i śDowód. Śskorzystamściśle wklkłości :
Ustal
. Oz
sowymi, dmy:
co oznaczLemat 2.wyznaczo
ólności, 4. Dla dowo
a problemu (1imy wzmocnoptymalnych
wartości są śzie jedyności.5. Dla ściśle rosnącŚcisła monotmy z indukclęsła dzięki dla
lmy teraz o
znaczając pr
dla których o
za ścisłą wklę6. Dla każdena jednozna
R
. olnych (1). nić nieco powh, potrzebujściśle rosnąci strategii op
, fuce ze względutoniczność jcji wstecznejścisłej wklęs
,
oraz załóżmyrzez
, gdzosiągnięte je
ęsłość i naego cznie.
Rafał Kuchars
istni
wyższe wyniemy ich jed
ce i ściśle wptymalnych.unkcje wartou na obie wspest oczywistj. Funkcja słości i mon
, y, że zdołaliś
zie są est supremum
a mocy induk optyma
ki
eją prognozo
iki, ponieważdyności. Na
wklęsłe, co n
ości są prpółrzędne. ta. W dowod
otoniczności,
, śmy już wyk
, prognozowa
m w (2) dla
kcji kończy dlna strategia
owalne strat
ż dowodząc zajpierw pokanastępnie pom
rawie na pew
dzie ścisłej w
i oraz ścis,
, kazać ścisłą
alnymi zmie,
dowód. a dla problem
tegie opty-
zbieżności ażemy, że może nam
wno ściśle
wklęsłości jest
słej wypu-, mamy:
,
wklęsłość oraz
ennymi lo-, ma-
mu (1) jest
Dowód. WPrzypuśćmdwie strat
jest ściś
gdzie ściśle rosn
na zbiorzestrategii o 3. Zbieżn
Chcąra będziemcjami użyśniej nał
, pnych w pznacznie sjak strategdamy war
RozpLemat 3.mi, że
punktami,
Zbieżność
Wystarczy pomy więc, iż tegie optymaśle wklęsła, d
nąca ze wzgl
e o dodatnimoptymalnych
ność strate
ąc rozważać my rozważaćyteczności ożyliśmy na
liczb poprawnie zdoprzedniej czstrategie optygie optymalnerunek:
poczniemy od1. Niech
, że
ć strategii opt
okazać jedyndla pewnego
alne , dla każdego
lędu na , ot
m prawdopod.
gii optyma
zbieżność stć ciąg inwes
, , a . Używnaturalnych
definiowane szęści własno
ymalne makse zachowują
d następując,
dla
tymalnych na
ność optymao
, że m
. Stąd, oratrzymujemy:
dobieństwie.
alnych
trategii optymstorów, któryspełniającym
wamy tu jaz dodaną ni
są funkcje wościach, jak rymalizujące się przy zbie
cego technicz, będą
, . Niech
rynkach finan
alnej strategi oraz
e mamy:
az korzystają
Ta sprzeczno
malnych, zamych preferencmi te same zako indeksóieskończonoś
wartości , również istniwyrażenie
eżnych prefer
znego lematuą takimi fun
oraz ponadto
nsowych…
i w rów m
.
ąc z faktu, że
ość dowodzi
miast jednegocje będą opiszałożenia, ktw elementóścią. Stąd, dl
eją wyznacz
rencjach, a za
u. nkcjami ściśl
, , bę
33
wnaniu (2). mamy takie
Ponieważ
e jest
i jedyności
o inwesto-sane funk-tóre wcze-ów zbioru la każdego
, o opisa-one jedno-. Pytamy,
atem zakła-
(3)
e wklęsły-
ędą takimi
34
Wówczas Dowód. U
jest prcym . Pniemal jeddostatecznwszystkic
więc zatem
W do
pracy Kabzbieżnego
roLemat 3.giem zmieciąg ciągu
Oto gLemat 3.problemu
Dowód. Zindukcją w
Dla upros
Zauważmstrony ma
istnieje taki pUstalmy rzedziałem zPonieważ cidnostajnie [Rnie dużych ch . St
. .
owodzie głóbanova i Strio podciągu ozumiemy zb.2. [Kabanovennych losow
, że.
główny wyni3. Niech (1) z funkcja
Zaczniemy owsteczną ze
szczenia zapi
my, że funkcjamy:
R
przedział zwa i niech
zwartym. Nieąg , jako Rockafellar i
warunektąd, dla takic
Biorąc pod
ównego twierickera [2001
zmiennych biór wszystkv i Stricker, wych, że e dla wszyst
ik pracy. or
ami użyteczn
od wykazaniwzględu na
isu definiujem
je te posiada
Rafał Kuchars
arty , że
ech będziciąg ciągłyc
i Wets, 1998k
ch oraz
uwagę wklę
rdzenia wyk], mówiący
losowych, kich zmienny
2001]. Niec
tkich ciąg
raz ności ,
ia zbieżnośc
my losowe,
ają ściśle wk
ki
dla d
e przedziałech funkcji w8; Corollary
m
ęsłość, mam
korzystamy to możliwośc
który cytuych losowychch
. g jest
oznaczają st. Wówcz
i funkcji wa. Dla
-mierzalne
klęsłe wersje
dostatecznie d
m zwartym wklęsłych, zb
7.18, s. 254] spełniony
amy
my także
także słynnyci mierzalnegujemy poniżh o wartościa
będzie Wówczas iszbieżnym p
trategie optyzas
artości. Posłu jest oczyw
e funkcje:
e. Dla
dużych . . Zbiór
zawierają-biega do ], więc dla y jest dla
,
y rezultat z go wyboru żej. Przez ach w . takim cią-
stnieje taki odciągiem
ymalne dla
użymy się wiste, że:
z jednej
Przecwprost, żedopodobie
de
Z naszegonatomiast
Ta sprzeczprzednio Indukcja d
Przej
wklęsłe fuprawdziw
Zdef. Z
Pokazbieżny dmamy taki losow
zmiennej optymalna
Ponieże z ciągu zbieżny d
Zbieżność
ciwna nierówe eństwie.
efiniujemy zd
o przypuszct na zbiorach
zność pokazuwykazaną n
dowodzi zbiejdziemy tera
oraz zaunkcje ,
wy jest warun
finiujmy -auważmy, że
ażemy, że z do . Nie
dla dowy podciąg
losowej . a dla inwesto
eważ strateg
wybrać podo na
ć strategii opt
wność będz
Określmy
darzenia:
zenia oraz zh , dla
uje, że nierównościeżności funkaz do dowodauważmy, ż, zatem na m
nek
mierzalne zde dowolnego
ech będziostatecznie d
,
Z pierwszejora oraz z
gia optymaln. Powtarzająodciąg z
itd. Jako
tymalnych na
zie wymagał na z
y nieuj, któr
założenia ind mamy:
ą mamy kcji wartości du zbieżnoścże skoro zmimocy lematu
darzenia oraz
podciągu cie dowolnymdużych , wże ciąg
j części twieniemal jedn
na jest wyznaąc powyższe
zbieżny do rezultat otrzy
rynkach finan
ła więcej przbiorze emną ra jest dodatn
dukcyjnego
dla ci strategii oienne 3.1. dla praw
ągu m
m podciągiemwięc z lematu
jest zbi
erdzenia, tegostajnej zbie
aczona jednoe rozumowa
na ymamy pew
nsowych…
racy. Przypu o dodat
zmienną nia na . Dl
mamy
p.n., więc
. optymalnych
maksymalizwie wszystki
, . można wybram . Na zu 3.2. możemieżny na
go, że strategeżności otrzy
oznacznie, oanie, możem, z niego p
wien podciąg
35
uśćmy nie tnim praw-
losową la każdego
,
wraz z po- p.n.
h. Ustalmy zują ściśle ich
dla
ać podciąg zbiorze my wybrać do pewnej
gia jest ymujemy:
oznacza to, my kolejno podciąg
zbież-
36
ny prawienego poddo ,
i kończy d
4. Wynik
W tejrycznych.ważamy toraz cenadopodobie
. ZaPrzyjmujeuważmy, kosztów t
gdzie Przypadek(funkcji użwzględna wartość b
W tainwestorapejskiej o
. Z[Çetin i Rchoćby rórynku beztrajektorii
e na pewno dciągu ciągu oznacza to, ż
dowód twier
ki numeryc
ej części zilus. W dalszymtrzyokresow
a akcji w eństwem (statakładamy, żeemy parameże
transakcyjny
jest parak graniczny
). Rozpoczżyteczności awersja do
ezwzględnej
abelach 1 i 2 a chcącego zopcji sprzedaZwracamy uwRogers, 2007óżne wartoścz kosztów trai cen.
R
do na z możem
że:
dzenia.
czne
strujemy powm ciągu, wzorwy ( )
chwilach tystycznym)
e rachunek pietry
, a więc mch. Przyjmuj
ametrem, a im odp
zynamy nasztypu CARAryzyka) [Fö
j awersji do r
przedstawiozabezpieczyćaży (put) z cewagę, iż war]. Zawarte taci w kolumnansakcyjnych
Rafał Kuchars
zbiorze my wybrać p
wyższe rozwrując się na model dwum
m lub spaść
ieniężny rośn,
model nie dopjemy funkcję
m większa jepowiada rynkze rozważan
A (constant aöllmer i Schiryzyka:
ono wartości ć w sposób oeną wykonanrtości te różnam wartości nach orah zabezpiecz
ki
pełnej mpodciąg zbie
ważania rezulpracy [Çetinmianowy. Z
może w wzrosdo z
nie w każdym,
puszcza arbitę kosztów tra
ego wartość, kowi bez konia od jednoabsolute riskied, 2004], g
optymalnej optymalny knia inią się od tysą niepopraw
az dla zenie opcji n
miary. Skoroeżny prawie
ltatami obliczn i Rogers, 2
Zakładamy, żsnąć do prawdopodo
m okresie o c,
trażu nawet pansakcyjnych
tym wyższe osztów transoparametrowk aversion – gdzie
ilości akcji krótką pozycji terminem wych podanycwne, o czym
, podcznie powinno z
o z dowol-na pewno
zeń nume-2007], roz-że
z praw-obieństwem czynnik .
. Za-przy braku h postaci:
są koszty. sakcyjnych ej rodziny stała bez-wyznacza
w portfelu ję w euro-wykonania ch w pracy m świadczą zas gdy na zależeć od
Tabela 1. α
0,05 5·10-5
0
Tabela 2.
α 0,05
5·10-5 0
Użyt
funkcją uż
dla niedodatnimodelowaotrzymujeakcji w oopcji sprznowej funprzez Tabela 3.
β 0,1 0,5 0,9 0,99
1 Tabela 4.
β 0,1 0,5 0,9 0,99
1 Niech
nansowym
Zbieżność
Optymalne zat = 0
-0,200 -0,337 -0,337
Optymalne zat = 0
-0,160 -0,768 -0,772
teczność typżyteczności p
, ią funkcją użać dużo szeremy model zeoptymalnym zedaży z cennkcji użytec
.
Optymalne zat = 0
-0,165 -0,194 -0,200 -0,200 -0,200
Optymalne zat = 0
-0,147 -0,153 -0,158 -0,159 -0,160
h C oznaczam. Definiując
ć strategii opt
abezpieczenie u
-0,186 -0,216 -0,216
abezpieczenie u
-0,190 -0,630 -0,629
pu CARA zapostaci:
. Jest to kżyteczności. rszy wachlare stałą awersportfelu zab
ną wykonanzności, na r
abezpieczenie u
-0,163 -0-0,184 -0-0,186 -0-0,186 -0-0,186 -0
abezpieczenie u
-0,189 -0-0,190 -0-0,190 -0-0,190 -0-0,190 -0
a wypłatę losc:
tymalnych na
dla d u
-0,415 -0,0-0,725 -0,0-0,726 -0,0
dla d u
-0,258 -0,1-1,228 -0,4-1,231 -0,4
astąpimy ter
kombinacja wMając do d
rz zachowań sją do ryzykabezpieczającynia i rynku z kosz
dla , d uu
0,295 -0,110,386 -0,100,411 -0,090,414 -0,090,415 -0,09
dla , d uu
0,210 -0,130,233 -0,130,253 -0,130,258 -0,130,258 -0,12
sową związan
rynkach finan
u ud 095 -0,239098 -0,594098 -0,595
uu ud 129 -0,167489 -1,065491 -1,075
raz nieco ba
wypukła funkdyspozycji trz
inwestora, pa. Tabele 3 iym krótką p
terminem wztami transak
u ud 11 -0,17402 -0,22296 -0,23795 -0,23995 -0,239
u ud 38 -0,14934 -0,15830 -0,16530 -0,16729 -0,167
ną z wycenia
nsowych…
du 9 -0,319 4 -0,594 5 -0,595
du 7 -0,198 5 -1,069 5 -1,075
ardziej skom
kcji typu CARzy parametryprzy czym d4 przedstaw
pozycję w euwykonania kcyjnymi ok
du -0,224 -0,297 -0,316 -0,318 -0,319
du -0,159 -0,178 -0,195 -0,198 -0,199
anym instrum
37
dd -0,450 -1,144 -1,146
dd -0,228 -1,715 -1,732
mplikowaną
RA z inną, y, możemy dla
wiają liczbę uropejskiej
dla kreślonymi
dd -0,280 -0,410 -0,445 -0,450 -0,450
dd -0,168 -0,197 -0,222 -0,228 -0,228
mentem fi-
38
za cenę inbę rzeczyw
Rys. w funkcji Kolejne ktość , oopcji. Zauspełnia wrametrach
Rys. 1. Cen
nstrumentu fiwistą
1 i 2 przedparametru
krzywe odpoodpowiadającuważmy, że
wymaganych h rynku nawe
na opcji put jako
R
finansowego , która speł
dstawiają wyk, przy
owiadają ca mniejszej
w przypadkprzez nas w
et wówczas z
o funkcja param
Rafał Kuchars
(utility inłnia warunek
kresy cen ,
awersji do ku graniczny
warunków Inzachowanie c
metru β: γ = 5
ki
ndifference pk:
europ oraz odpow
, prryzyka, odp
ym onady, jednakżcen opcji poz
price) przyjm
ejskiej opcji wiednio rzy czym wypowiada niżotrzymana fuże przy przyzostaje regul
miemy licz-
sprzedaży i .
yższa war-ższej cenie unkcja nie
yjętych pa-larne.
Zbieżność strategii optymalnych na rynkach finansowych… 39
Rys. 2. Cena opcji put jako funkcja parametru β: γ = 1 Podsumowanie
Wykorzystanie wypukłej funkcji kosztów transakcyjnych, zaproponowane przez Çetina i Rogersa [2007], jest interesującym i efektywnym sposobem mo-delowania efektów związanych z ograniczeniami płynności. Głównym wyni-kiem niniejszej pracy jest twierdzenie 3.3 pokazujące, że w modelu tym strategie optymalne zmieniają się w sposób ciągły wraz z preferencjami inwestorów. Wynik ten uzasadnia możliwość stosowania technik aproksymacji numerycznej w wyzna-czaniu strategii optymalnych oraz wycenie instrumentów finansowych opartej na funkcji użyteczności. Literatura
Carassus L., Rásonyi M. (2007), Optimal strategies and utility-based prices converge when agents’ preferences do, „Mathematics of Operations Research”, Vol. 32 (1).
Çetin U., Rogers L.C.G. (2007), Modeling liquidity effects in discrete time, „Mathemati-cal Finance”, Vol. 17 (1).
Föllmer H., Schied A. (2004), Stochastic Finance. An Introduction in Discrete Time, 2nd edition, „De Gruyter Studies in Mathematics”, No. 27, Walter de Gryter & Co., Berlin.
Jouini E., Napp C. (2004), Convergence of utility functions and convergence of optimal strategies, „Finance and Stochastics”, Vol. 8 (1).
Rafał Kucharski
40
Kabanov Y., Stricker C. (2001), A teachers’ note on no-arbitrage criteria, [w:] Séminai-re de Probabilités, XXXV, „Lecture Notes in Math”, Vol. 1755, Springer, Berlin.
Kardaras C., Žitković G. (2011), Stability of the utility maximization problem with ran-dom endowment in incomplete markets, „Mathematical Finance”, Vol. 21 (2).
Kucharski R. (2006), Convergence of optimal strategies in a discrete time market with finite horizon, „Applicationes Mathematicae”, Vol. 33 (1).
Kucharski R. (2008), Convergence of optimal strategies under proportional transaction costs [w:] Ł. Stettner (ed.), Advances in mathematics of finance, No. 83 in Banach Center Publications, Polish Academy of Sciences, Institute of Mathematics, Warsaw.
Larsen K. (2009), Continuity of utility-maximization with respect to preferences, „Ma-thematical Finance”, Vol. 19 (2).
Larsen K., Žitković G. (2007), Stability of utility-maximization in incomplete markets, „Stochastic Processes and their Applications”, Vol. 117 (11).
Rockafellar R.T., Wets, R.J.-B. (1998), Variational analysis, Vol. 317 of „Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften” [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Springer-Verlag, Berlin.
Rogers L.C.G., Singh S. (2004), Modelling liquidity and its effects on price, Technical Report, Cambridge University.
CONVERGENCE OF OPTIMAL STRATEGIES ON FINANCIAL MARKETS WITH LIQUIDITY CONSTRAINTS
Summary: In this paper we consider the model of financial market described by Çetin and Rogers [2007], where strictly convex transaction costs are used to model the effects of liquidity constraints. We were able to improve results of that paper, proving uniqu-eness of optimal strategies and their continuity with respect to investors’ preferences. Keywords: transaction costs, optimal strategies, liquidity, pricing.
top related