VJEROJATNOST SLUČAJNOG DOGAĐAJA

VJEROJATNOST VJEROJATNOST SLUČAJNOG DOGAĐAJASLUČAJNOG DOGAĐAJA

OSNOVE EKONOMETRIJEOSNOVE EKONOMETRIJE33

Klasična definicijaU klasičnoj se teoriji pretpostavlja da je prostor elementarnih događaja konačan, da su svi ishodi jednako mogući, te da je vjerojatnost događaja omjer broja ishoda koji realiziraju događaj i broja svih jednako mogućih ishoda.

n

mAP )(

m = broj ishoda koji realizira događaj An = broj svih jednako mogućih ishoda

Bacanje novčića: vjerojatnost da padne glava

Vjerojatnost apriori ili matematička vjerojatnost

Bacanje kocke: vjerojatnost da padne petica

Vjerojatnost aposteriori ili statistička vjerojatnost

Bacanje novčića više puta: vjerojatnost da padne glava

Osobe koje traže zaposlenjeGodine starosti

Broj osoba p

od do

18 20 685 0,1370

20 25 900 0,1800

25 30 864 0,1728

30 40 1330 0,2660

40 50 848 0,1696

50 60 267 0,0534

60 70 106 0,0212

    5000 1

i

ii f

fp

n

AmAP

n

)(lim)(

A

Primjer: Eksperiment bacanje kockeDogađaji:A-pao je paran brojB-pao je broj manji od 3

B

6;5;4;3;2;1S

C-pao je paran broj manji od tri

6;4;2A 2;1B

2 BACD-pao je broj manji od 3 ili parni broj 6;4;2;1 BAD

S2

1

6

3)( AP

3

1

6

2)( BP

)()(6

1)()( BPAPBAPCP

6

4

6

1

6

2

6

3

)()()(6

4)()(

BAPBPAP

BAPDP

)(16

4)( BPBP

Primjer: Eksperiment bacanje dvije kocke promatra se zbroj brojeva na obje kocke1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

Izračunajte vjerojatnost Izračunajte vjerojatnost slučajnih događaja:slučajnih događaja:

1.1. A - zbroj djeliv sa 5A - zbroj djeliv sa 52.2. B - zbroj djeliv sa 3B - zbroj djeliv sa 33.3. C - zbroj je paran brojC - zbroj je paran broj4.4. D - zbroj djeliv sa 3 ili 5D - zbroj djeliv sa 3 ili 55.5. E - zbroj djeliv sa 2 ili 5E - zbroj djeliv sa 2 ili 5

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

36

7)( AP

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

36

12)( BP

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

2

1

36

18)( CP

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

BA Ø

36

19

36

12

36

7)()()()( BPAPBAPDP

BA Ø )()()()()( CAPCPAPCAPEP

36

22

36

3

36

18

36

7)( EP

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

Uvjetna vjerojatnostŽelimo izračunati vjerojatnost da će se dogoditi događaj B ako se dogodio događaj A

0)( )(

)()/(

AP

AP

BAPABP

A B

12

5

)(

)()/(

Am

BAmABP

S

30n 12)( Am

15)( Bm

30

12)()(

n

AmAP

30

15)()(

n

BmBP

12

5

3012305

)/( ABP

Kolika je vjerojatnost da će pasti paran zbroj ako znamoda je pao zbroj djeliv sa 5

1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1

1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2

1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3

1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4

1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5

1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6

36 ;18)( ;7)( nCmAm

4;1

3;2

2;3

1;4 6;4

5;5

4;6

4;1

3;2

2;3

1;4 6;4

5;5

4;6

7

3)/( ACP

3)( CAm

7

3

)(

)()/(

Am

CAmACP

7

3

367363

)(

)()(

)(

)/(

AP

CAP

nAmnCAm

ACP

Kolika je vjerojatnost da će pasti zbroj djeliv sa 5 ako znamoda je pao paran broj

18

3

3618

363

)(

)()/(

CP

CAPCAP

1;1 3;1 5;1

2;2 4;2 6;2

1;3 3;3 5;3

2;4 4;4 6;4

1;5 3;5 5;5

2;6 4;6 6;6

Multiplikativni zakon

0)( )(

)()/(

AP

AP

BAPABP 0)(

)(

)()/(

BP

BP

BAPBAP

)/()()( ABPAPBAP )/()()( BAPBPBAP

Slučajni događaji A i B su međusobno nezavisni ako pojava događaja A nema utjecaja na vjerojatnost nastupa događaja B.

)()()(

)()/( )()/(

BPAPBAP

APBAPBPABP

)/()()/()()( BAPBPABPAPBAP

Da li su događaji A i C iz prethodnog primjera nezavisni

POTPUNA VJEROJATNOSTPOTPUNA VJEROJATNOSTBAYESOVA FORMULABAYESOVA FORMULA

AA

HH11 HH22 HH33 HH44

S

4321 HHHH Ø

1)()()()()( 43214321 HPHPHPHPHHHHP

Vjerojatnost P(A)Vjerojatnost P(A)

1HA4HA2HA 3HA

Poznate veličine:)/( i )( ii HAPHP

)/()()( iii HAPHPHAP

i

iHAPAP )()(

i

ii HAPHPAP )/()()(

Vjerojatnost P(HVjerojatnost P(Hrr/A):/A):

)(

)()/(

AP

HAPAHP r

r

)/()(

)/()(

ii

rr

HAPHP

HAPHP

Primjer 1:Primjer 1: U nekoj tvornici 30% prizvoda proizvodi se na stroju S1, 25% na S2 i ostatak na S3. Stroj S1 radi sa 1% škarta, S2 sa 1,2% i S3 sa 2%. Ako slučajno izaberemo jedan proizvod kolika je vjerojatnost da je loš.

S P(S) P(A/S)

1 0,30 0,010

2 0,25 0,012

3 0,45 0,020

  1,00  

P(A∩S)=P(S)P(A/S)

0,0030

0,0030

0,0090

0,01500,0150

Primjer 2:Primjer 2: Neki hotel je posjetilo 200 engleza,300 francuza i 500 talijana 4 engleza su bili nezadovoljni uslugom, 5 francuza i 10 talijana

Kolika je vjerojatnost da u tom hotelu slučajno izaberemo gosta koji je nezadovoljan uslugom

Kolika je vjerojatnost da nezadovoljan gost bude francuz

H N m(A)

1 200 4

2 300 5

3 500 10

  1000  

P(H) P(A/H)

0,2 0,0200

0,3 0,0167

0,5 0,0200

P(H)P(A/H)

0,0040

0,0050

0,0100

0,0190

2632,0019,0

005,0

)(

)/()()/( 22

2

AP

HAPHPAHP