Unidad 2– Los números realessaldubamatematicas.16mb.com/attachments/article/69/Unidad02Sol… · 3 c) Número decimal periódico mixto. 5 0'83 6 d) Número decimal periódico puro.
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Unidad 2– Los números reales PÁGINA 24
SOLUCIONES
Operar con números racionales.
Realiza las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
3 1 3 7 3 3 7 30 3 14 412 4 5 10 2 20 10 20 20 20 20� � � � � � � � � �
3 3 3 6 12 30 182 35 4 5 4 20 20 203 3 3 3 25 5 5 5
� � � � � �� � � �
1 2 5 6 15 14 141 493 5 15 15 152 7 202 3 4 2 15 8 50:: :3 10 213 2 5 3 10 10
� �� �
� � � �� � � �� �� � � �
3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 9 5 42 2 25 3 4 5 3 2 5 3 2 5 3 15 15 15
� � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � �
30
Fracciones propias e impropias
Expresa como fracción impropia los siguientes números mixtos:
a)
b)
c)
d)
Expresa como números mixtos las siguientes fracciones impropias:
a)
b)
c)
d)
1 4 1 514 4 4 4
� � � �
3 4 3 714 4 4 4
� � � �
3 10 3 1325 5 5 5
� � � �
7 4 3 314 4 4 4� � � �
7 6 1 123 3 3 3� � � �
17 14 3 327 7 7 7� � � �
25 24 1 164 4 4 4� � � �
1 18 1 1936 6 6 6
� � � �
31
PÁGINA 26
SOLUCIONES
1. a) Número decimal exacto.
b) Número decimal periódico puro. 2 0 '666... 0 '63� �
�
c) Número decimal periódico mixto. 5 0 '836�
�
d) Número decimal periódico puro. 1 0 '142857147�
2. a)
b) � 274 2 2722 '74
99 99�
� �
c) 70 '07
90�
�
d) � 2353 23 2330 2332 '353
990 990 99�
� � �
e)29 2 272 '9 3
9 9�
� � ��
25 0 '64�
50 '05100
�
32
PÁGINA 27
SOLUCIONES
3. Número racional: 0’320111 Número Irracional: 0’32011101001000100001…
4. a) Racional 12 1 111'2
9 9�
� � ��
�
b) Irracional 3
5 �
c) Racional � 1234 12 1222 6110 '1234
9900 9900 4950�
� � � ��
d) Racional 1 14 2� � ��
5.
33
PÁGINA 28
SOLUCIONES
6. a) ( , 3)�� �
� �: 3x x� � ��
b) [2, 7)
� �: 2 7x x� � ��
c) [ 5, )� � � � �: 5x x� � ��
d) (–10, –5)� �: 10 5x x� � � � ��
34
7. a) [–2, 5)
� �: 2 5x x� � � ��
b) (–2, 3] � �: 2 3x x� � � ��
c) ( , 1]�� �
� �: 1x x� � ��
d) (–3, 0) � �: 3 0x x� � � ��
e) [ 1, )� � � � �: 1x x� � ��
f) [0, 4] � �: 0 4x x� � ��
35
10. a)122 b)
433 c)
562 d)
352
PÁGINA 29
SOLUCIONES
8.
� �� �32 43 5 8 2 2
5 425 4 4 5 5 6 53
2 3 : 31 2 2 2 3 3 1 1 1 3a) 2 b) 2 c) d) e)2 2 2 3 1 2 2 : 3 22
��
�� �� � � � � �
9. a) 3 43 b) 4 5 c) 2 d) 4 32 1 48 43 3 3� �
56 56 632 2 2� �
36
11. a) 112 2 b) 34 23 3� c) 62 3� d) 3 4 2 3
53 4
2 3 2 35 5� �
�
12. a) 65 2� b) 33 c) 3 75
13. 12 93 62 3 32 5� � �
PÁGINA 30
SOLUCIONES
2 1 48 43 3 3� �
36 360 536 360 55 5 5 5� � �6 215 56 215 15 564 2 2 2 2� � � �
2 33 3 3 3 3� � � � 3 32 6 735 5 5 5 5� � � �
12 6 12
4123 12
3124 12
2126 12
12 12 12 12
3 6 4
2 2 64
3 3 81
75 75 421875
32 32 1024
64 81 1024 421875
2 3 32 75
� �
� �
� �
� �
� � �
� � �
37
PÁGINA 31
SOLUCIONES
14. a) 5�
b) 3 27 7�
15.
5 6 3 3
3
5 1a) 3 3 3 b) 3 3 3 27 c) 8 2 2 8 2 d)55
� � � � � � � � �
16.
3 2 4
4444
2
3a) 1 1 b) 5 5 5 5 5 5 3
3 3 3 3 4 2 2 2c) 3 d) 223 3 2
� � � � �
� �� � � �
6 6 63 3 362 5 3 125 2 5 3 5 5 5� � � � � � � � � � �
3 3 3 32 2 2 233 7 4 49 3 7 4 7 7 7� � � � � � � � �
38
PÁGINA 32
SOLUCIONES
17. a) A las milésimas: 2'345, 2'346, 2'346. A las diezmilésimas: 2’3455, 2’3456, 2’3456
b) A las milésimas: 1'732 1'733, 1'732. A las diezmilésimas: 1’7320, 1’7321, 1’7321.
c) A las milésimas: 1'399, 1'340, 1'340. A las diezmilésimas: 1’3998, 1’3998, 1’3999.
d) A las milésimas: 3'141, 3'142, 3'142. A las diezmilésimas: 3’1415, 3’1416, 3’1416.
39
18.
a) 2'34556:
b) 1'73205...:
c) 1'39984:
d) �
a r a
r aar
r r
E V V
V VEEV V
� �
�� �
2 '34556 2 '3456 0 '000040 '000017
a
r
EE
� � �
�
1 '32050808 1'7321 0 '000049190 '0000284
0 '000005
a
r
EECota
� � �
��
1'39984 1'3998 0 '000840 '0006
a
r
EE
� � �
�
3'141592... 3 '1416 0 '00000734640 '000002338
0 '000005
a
r
EECota
� � �
��
40
PÁGINA 33
SOLUCIONES
19. a) 123 ' 45 10� b) 72 ' 4 10� c) 33 '2 10�� d) 23 '5 10�� e) 73 ' 48 10�� f) 132 '3 10�
20. a) 73 '254 10� c) 68 '9 10�� � e) 65 ' 43 10�
b) 83 ' 4 10� d) 43 '244 10�� f) 53 '245 10��
41
PÁGINA 36
42
SOLUCIONES
Los números racionales.
21. a) 0 '16�
b) �0 '6428571 c) 0 '13�
d) �1'153846 e) �0 '714285 f) 1’8
22. a) 8925 b)3
356 893'56100 25
� �29 2 272 '9 3
9 9�
� � ��
c) 9225 d)
73
3679 367 3312 923'679900 900 25�
� � �� 23 2 21 72 '3
9 9 3�
� � ��
e) 3190 f)
3571.100
34 3 310 '3490 90�
� �� � 3245 32 3213 3570 '3245
9900 9900 1100�
� � �
g) 1733 h)
511
� 51 170 '5199 33
� � � 45 50 '4599 11
� �
i) 1 546495
� 3123 31 3092 15463'123990 990 495�
� � �
23.1 1 1; ;3 9 11
24.1 1 1; ;6 15 18
25.1 1 1; ;2 4 5
43
26. a) 5 '789�
3'41 2 '378 3'411 2 '378 5'789� � � �� � � � �
b) 10 '962�
� 4760 5160 98665'28 5'673 10 '962900 900 900
� � � � �� �
c) �23 '6383
� � � �22608 423 2106185'23 5 '3 4 '27 23'6383810 99 8910
� � � � � � �� �
Los números reales.
27. Irracionales: 8 ;117 ; 3 5 3� � Racionales:
4925 ; 5 '3232�
�; 121
28. 3’211009, 3’211008
29. 1’213030030003..., 1’213133133313333...
30. Tenemos que construir las hipotenusas de los triángulos de medidas siguientes:
a) 2 2 2 26 2 ( 2) ; 2 1 1� � � � b) 2 215 3 2� � c) 2 217 4 1� �
31. a) V: Todos los decimales periódicos son infinitos y son números racionales. b) F: El conjunto de números enteros es el formado por los números naturales y los naturales cambiados de signo, NUNCA son decimales.
� �... 3, 2, 1,0, 2,3...� � � ��
c) F: Sólo podemos expresar como fracción los números racionales. d) F: Los decimales inexactos no periódicos los asociamos con números irracionales, no racionales. e) F: El conjunto de números reales es el formado por todos los números racionales y TODOS los irracionales.
c� �� � �f) F: El conjunto de los números racionales se define como:
� �: , *a a bb� � �� � �
por lo tanto,�� �
44
Topología de la recta real.
32. a) � �( 3, 3) : 3 3x x� � � � � ��
b) � �( 14, 5) : 14 5x x� � � � � � � ��
c) � �[ 4, ) : 4x x� � � � � � ��
d) � �( , 7) : 7x x�� � � ��
e) � �[ 3, 8) : 3 8x x� � � � � ��
f) � �[ 3, 5] : 4 5x x� � � � � ��
g) � �( , 4] : 4x x�� � � � � ��
h) � � � �5, 3 : 5 3x x� � � � � � � ��
45
33. a) [–6, 3]
b) (–2, 1]
c) [–3, –2)
34. a) ( , 5)�� �
b) [ 3, )� � �
c) ( , 6]��
d) (9, )� �
e) (0, 5)
35. a) –6, –7, –8 b) –2, –1, 0 c) 5, 4, 3 d) 10, 11, 12 e) 1, 2, 3
46
PÁGINA 37
47
SOLUCIONES
36. a) –4, –3, –2, –1, 0 b) Infinitos c) Infinitos d) Infinitos
37. a) � �(3, 7) : 3 7x x� � � �� d) � �(4, ) : 4x x� � � � ��
b) � �[ 2, 4] : 2 4x x� � � � � � �� e) � �( , 2] : 2x x�� � � � � ��
c) � �( 8, 3] : 8 3x x� � � � � � � ��
38. a) � �: 2 4x x� � � ��
b) � �: 3 6x x� � ��
c) � �: 2 5x x� � ��
d) � �: 3x x� ��
e) � �: 7 2x x� � � � ��
f) � �: 2x x� � ��
48
Las raíces: propiedades y operaciones.
39. 4 36 47 2 8 5� � �
40. a) 6 92 35 5� b) 8 126 92 2� c) 6 92 325 25� d) 64 2 310 10�
41. a) 32 b) 43 c) 5 32 d) 5
42. a) 50 b) 3 162
c) 45 d) 4
12827
43. a) 42 4 32 3 3� � b) 52 2 22 3 2 3� � � c) 72 3 2 4 53 5 2 3 5 2� � � � � d) 3
42 3
2 3 2 35 5� �
�
44.
� �� �
22 61 3 37 72 2
42 4 15 2 25 2 2
a) 2 2 c) 9 3 e) 5 5 5
1b) 3 3 d) 3 3 3 f) 55
�
� � � �
� � � �
12 6 12
3 94 12 12
3124 12
2126 12
12 12 12 12
346 4
2 2 64
5 5 1953125
8 8 512
7 7 49
49 64 512 1953125
7 2 8 5
� �
� �
� �
� �
� � �
� � �
4 6 34 64 2 2� �12
3 12 433 3 3� �18 330 518 330 52 2 2 2� � �
3 16 6 2125 5 5 5� � �
3 33 33 6 3 6 162� � � �
22 2 45 55 5 5
� �� � � �� �
4
4 4 44 3 4 3 1283 2 3 2 27
� �� � � �� �
25 2 5 2 50� � � �
49
45.6 63 2 53
3 5 15 15 152 3 10 9 19 43 3 3
a) 3 5 15 c) 2 2 2 2 = 2
b) 4 5 20 d) 2 2 2 2 2 2 2
� � � � �
� � � � � � � �
46.3 42 3 6
86 858 5
63 6 534 54
4 6 65 5
3 2 2a) 3 c) 2 23 2
2 2 2 2 2b) 2 d) 1 22 2 2
� � �
�� � � �
47.4 3 125 54
53 6 3 15
a) 2 2 c) 2 2
b) 2 2 d) 3 3
� �
� �
48.
4 3 4
6 43 63
3a) 2 2 2 c) 3 3
3b) 3 3 3 d) 3 3
� �
� �
49.6
8 71833 9
3 68 183 73
3 9
3 3a) 3 c) 3 3 3 3 3 3
3 3 3b) 2 2 2 d) 3 3 3 3
� � �
�� � �
50
50. a) 4 3 22 5�
b) 8 113
c) �12 16 172 3
d) 33
e) 16 152
f) 12 3
16 168 4 2 158 1642 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � � �
� �6 212 123 6 12 12
122 3 2 8123
3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 33
� � � �� � �
4 43 3 2 3 24 42 5 2 5 2 5� � � � �
8 85 10 1148 83 3 3 3 3� � � �
3 4 5 16 15 2 16 174 12 1262 3 3 2 3 3 2 3� � � � � � �
3 3 6 64 4 8 9 33 6 63 3 3 3 3 3 3 3� � � � � � �
51
51. a) 82 73 3�
b) 32 22 2�
c) 2 6a a�
d) 3 2a a�
e) 2
32
32 5�
f) 4 6� �
g) 8 6�
h) 3 4x x�
4 8 8 8 810 3 10 3 20 3 23 2 743 3 3 3 3 3 3 3 3� � � � � � �
3 3 3 6 6 6 6 6 6 34 5 4 5 3 8 5 16 2 4 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � � � � � � �
3 6 6 65 3 10 13 2 6a a a a a a a� � � � � �
3 32 232 2 2 2 23
3 3 23
1 1 a aa a a a a aa aa a a
� � � � � � � � ��
3 32 2 2333
23 23
1 18 1 18 5 1 18 5 32 5 2 2 5 2 55 5
� �� � � � � �
��
3 3 3 37 24 8 54 216 7 2 3 8 2 3 2 3 14 2 3 24 2 3 6 2 3 4 6� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
5 2 596 150 486 7 2 3 8 2 3 5 2 3 4 6 5 6 9 6 8 6� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� �28 8 8 8 8 83 2 6 2 2 6 4 2 10 3 2 344 4x x x x x x x x x x x x x x x� � � � � � � �
52
PÁGINA 38
53
SOLUCIONES
Aproximaciones. Error absoluto y relativo.
52. a) 3’47; 3’46; 3’47 c) 2’65; 2’64; 2’65 e) 3’18; 3’18; 3’19 b) 0’06; 0’05; 0’06 d) 2’90; 2’89; 2’90 f) 3’57; 3’56; 3’57
53. a) 3’4653; 3’4653; 3’4654 c) 2’6458; 2’6457; 2’6458 e) 3’1849; 3’1849; 3’1850 b) 0’0556; 0’0556; 0’0557 d) 2’8964; 2’8963; 2’8964 f) 3’5657; 3’5656; 3’5657
54
54.
a) 3'465343243:
b) 0'05564543:
c) �7:
d) 2'89635433
e)3'18490986
f)3'565656...
a r a
r aar
r r
E V V
V VEEV V
� �
�� �
3'465343243 3'4653 0 '0000432430 '000012478
a
r
EE
� � �
�
0 '05564543 0 '0556 0 '000045430 '000816419
a
r
EE
� � �
�
2 '645751311... 2 '6458 0 '00004868...0 '000018402...
cot 0 '00005
a
r
EEa
� � �
��
3'565656 3'5657 0 '0000434350 '0000121815
cot : 0 '00005
a
r
EEa
� � �
�
2 '89635433 2 '8964 0 '000354330 '000122336
a
r
EE
� � �
�
3 '18490986 3 '1849 0 '000009860 '0000030958
a
r
EE
� � �
�
55
55.
Orden Truncamiento Redondeo Aprox. por exceso.
Milésimas 0’001 0’0005 0’001Diezmilésimas 0’0001 0’00005 0’0001Cienmilésimas 0’00001 0’000005 0’00001Millonésimas 0’000001 0’0000005 0’000001
Diezmillonésimas 0’0000001 0’00000005 0’00000001
Notación científica.
56. a) 20 000 c) 2 000 000 e) 0’00000003 b) –234 000 d) 0’0032 f) 0’000004
57. a) 73 '2 10� c) 94 '529 10�� � e) 55 '67 10��
b) 73 ' 45 10�� d) 104 '56 10� f) 148 '976 10� �
58. a) 53 ' 45 10� c) 194 '387 10� e) 254 '353 10��
b) 42 '344 10�� d) 102 '34 10� f) 92 '3 10��
59.a) 213 '33 10�
b) 86 ' 497 10� c) 57 '35 10�� d) 184 '7073 10��
60.a) 82 '966 10� �
b) �� 52 '112 10
61.a) 31'23 10��
b) 122 '389 10�
62.a) 52 10��
b) 124 10�� � c) 65 10� � d) 90
56
63.a) 75 '7 10�
b) 512 '377 10�
c) 112 '9935 10�� �
64.301'98 10 kg�
65.21 31'09 10 m�
� �7 10 17 7 7 72 '1 10 2 '4 10 1 '5 10 2 '1 10 3 '6 10 5 '7 10�� � � � � � � � � � � �
� �317 50 51 51 511 '3 10 1'8 10 2 '197 10 0 '18 10 2 '377 10� � � � � � � � �
2 5 9 2 4 4 4 411
15 15 15 15
1 '3 10 3 10 2 10 1'3 10 6 10 0 '013 10 6 10 5'987 10 2 '9935 102 10 2 10 2 10 2 10
��� � � � � � � � � � � � � � �
� � � � �� � � �
� �4
24 4 28 30
330000 33 10
6 10 33 10 198 10 1'98 10
� �
� � � � � � �
2427 3
3
6 10 1 '09 105 '5 10
m md vv d
v m
� � �
�� � �
�
57
PÁGINA 39
58
SOLUCIONES
66. 140.000.571 km Dada la posición del dibujo, el problema se reduce a aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo
siguiente: donde C = 1'4.108 km y c = 4.105 km, de forma que nos queda calcular la hipotenusa.
67. 265 '34544 10 kg��
El átomo de azufre tiene � 16 electrones:
� 16 protones y 16 neutrones:
Entonces, la masa total del átomo de azufre es:
68. 55 10�� s
� � � � � � � �
2 2 2
2 2 2 22 8 5 5 5 10
10
1 '4 10 4 10 1400 10 4 10 1960016 10
1960016 10 140000571'4
H C c
H
H km
� �
� � � � � � � � � �
� � �
31 31 2716 9 10 144 10 0 '0144 10 kg� � �� � � � � �
27 2732 1 '67 10 53 '44 10 kg� �� � � �
27 27 27 2653 '44 10 0 '0144 10 53 '4544 10 5 '34544 10 kg� � � �� � � � � � �
3
35
8
15 15 1015 10 5 103 10
e ev tt v
e km m
t s�
� � �
� � �
�� � �
�
59
69. 61'8 10� J (julios)
70. 320 m
1.
�
87 8 79a) 0 '00879000 900032325 3 32322b) 3'2325
9999 9999
�� �
�� �
�
2. 1'2301001, 1'23002
3. a) (�, -3] � �: 3x x� � ��
b) (-2, -1] � �: 2 1x x� � � � ��
c) [2, 5] � �: 2 5x x� � ��
4. 18 30 56 12 23a) 2 2 b) 2 2� �
5. 45 9 19 34 44a) 3 9 3 b) 2 4 2 c) 5 625 5 � � �
3 3 21 '6 10 0 '2 0 '32 10 3 '2 10 320
ev e v t
te m
� � � �
� � � � � � � �
� �
2
231 8 15 14
121 9 10 2 10 18 10 1'8 102
c
c
E mv
E J� � �
�
� � � � � � � �
60
6.3
32 2 732
2 2a)3 2 3 2 b)2 2 2 c) 2 3 3
� � � �
7.
� � � �5 10 42 9 3
556 62 5 43 6
6
a) 3 3 3 c) 2 2 2
5b) 5 d) 3 3 3 3 3 5
� � �
� � � �
8.
Orden Milésimas Millonésimas Número 3'4195 1'32855435 Aproximación por exceso 3'420 1'328555 Truncamiento 3'419 1'328554 Redondeo 3'420 1'328554 Cota error redondeo 0'0005 0'0000005 Cota error truncamiento 0'001 0'000001
9. a)
b)
10.
12 13 13 13 133 '5 10 8'5 10 0 '35 10 8'5 10 8'85 10� � � � � � � � �
171 2
18
2 '7 10 0 '9 10 9 103 10
� ��� � � �
�
5 4 2 6 6 613
7 7 7
3 '2 10 2 10 2 '3 10 0 '32 10 4 '6 10 4 '92 10 1'29 103'8 10 3 '8 10 3 '8 10� � �
� � � � � � � � �� � � �
� � �
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PÁGINA 40
SOLUCIONES
Números como el 4 (D(4)=1, 2, 4), el 8 (D(8)=1, 2, 4, 8) o el 16 (D(16)=1, 2, 4, 8, 16) tiene todos sus divisores pares. Ocurrirá lo mismo para todos aquellos números que sean una potencia de 2.
Sin embargo, el 6, el 10 o el 14 tienen el mismo número de divisores pares que impares, puesto que son el producto de dos por otro número primo.
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