Uji Hipotesis - FMIPA Personal Blogs / ITBpersonal.fmipa.itb.ac.id/utriweni/files/2014/02/10.-Uji-Hipotesis... · Kesalahan Tipe I Menolak H 0 padahal H 0 ... melampaui rata-rata

Uji Hipotesis

MA2081 STATISTIKA DASAR 17 Maret 2014 Utriweni Mukhaiyar

Pengertian

• Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya

2

1. Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥)

2. Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <.

Galat (error)

3

H0 benar H0 salah

H0 ditolak P(menolak H0 | H0 benar)

= galat tipe I = α keputusan benar

H0 tidak ditolak

keputusan benar P(tidak menolak H0 | H0

salah) = galat tipe II = β

yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini

Skema Umum Uji Hipotesis

4

Hipotesis Statistik

H0

H1

•Hipotesis yang ingin diuji •Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥) •Dapat berupa - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain

•Hipotesis yang ingin dibuktikan •Disebut juga hipotesis alternatif •Memuat suatu perbedaan (≠, > atau <)

Keputusan

H0 ditolak H0 tidak ditolak

H1 benar

Kesimpulan Kesimpulan

Tidak cukup bukti untuk menolak H0

Kesalahan

Tipe I

Menolak H0 padahal H0 benar

P(tipe I) = α = tingkat signifikansi

Tipe II

Menerima H0 padahal H0 salah

P(tipe I) = β

???

mungkin terjadi

Statistik Uji dan Titik Kritis

• Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan.

• Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H0. Diperoleh dari tabel statistik yang bersangkutan.

• H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.

5

1 -

daerah

kritis = /2

titik kritis

daerah

penerimaan H0

titik kritis

0

titik kritis

1 -

daerah

penerimaan H0 daerah

kritis

daerah

kritis = /2

diperoleh dari

tabel statistik

Uji Rataan Satu Populasi

1. H0 : = 0 vs H1 : 0

2. H0 : = 0 vs H1 : > 0

3. H0 : = 0 vs H1 : < 0

6

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

uji dua arah

uji satu arah

Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi

1. Kasus σ2 diketahui

7

0

/

XZ

n

0

/

XT

s n

2. Kasus σ2 tidak diketahui

~ N(0,1)

~ t(n-1)

Tabel Z (normal baku)

Tabel t

Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi

σ2 diketahui σ2 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

H0 : = 0 vs H1 : 0 Z < - Z1-α/2 atau Z > Z1-α/2 T < - Tα/2 atau T > Tα/2

H0 : = 0 vs H1 : > 0 Z > Z1-α T > Tα

H0 : = 0 vs H1 : < 0 Z < - Z1-α T < - Tα

8

titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1

Uji Rataan Dua Populasi

1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

3. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0

9

0 adalah suatu konstanta yang diketahui

uji dua arah

uji satu arah

Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi

1. Kasus σ12 dan σ2

2 diketahui

10

2. Kasus σ12 dan σ2

2 tidak diketahui dan σ12 ≠ σ2

2

1 2 0

H2 2

1 2

1 2

X X μZ =

σ σ

n n

1 2 0

H2 2

1 2

1 2

X X μT =

S S

n n

3. Kasus σ12 dan σ2

2 tidak diketahui dan σ12 = σ2

2

1 2 0

H

p

1 2

X X μT =

1 1S

n n

dengan 2 2

2 1 1 2 2p

1 2

(n 1)S (n 1)SS =

n n 2

Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi

11

σ12, σ2

2 diketahui

σ12, σ2

2 tidak diketahui

Statistik uji : Z T

σ12 = σ2

2 σ12 ≠ σ2

2

Derajat Kebebasan n1 + n2 - 2

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0

Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2

T < - Tα/2 atau T > Tα/2

T < - Tα/2 atau T > Tα/2

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0

Z > Zα T > Tα T > Tα

H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0

Z < - Zα T < - Tα T < - Tα

22 2

1 2

1 2

2 22 2

1 2

1 1 2 2

S S

n nv =

S S1 1

(n 1) n (n 1) n

Uji untuk Rataan Berpasangan

• Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui.

12

0 ;/d

D μT =

S n

1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0

2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0

3. H0 : d = 0 vs H1 : d < 0

Contoh 1 Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm.

a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah pernyataan literatur tersebut?

13

Solusi Diketahui

Ditanya:

a. Hipotesis statistik

b. Kesimpulan uji hipotesis

Jawab:

Parameter yang akan diuji : μ

a. Rumusan hipotesis:

H0: μ = 70

H1: μ > 70

14

X 71.8, s 8.9,0 70, 0,05

• b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.645

• Karena t > t0.05,(99) , maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak.

• Jadi sampel yang ada mendukung pernyataan literatur tersebut, yaitu bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah “SH” lebih dari 70 mm.

15

0 71,8 702,02

8,9

100

xt

sn

Contoh 1-modifikasi 1 Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak lebih dari 70 mm.

a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

Rumusan hipotesis akan sama dengan Contoh 1. 16

Contoh 1-modifikasi 2 Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah “SH” yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut tidak kurang dari 70 mm.

a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik

Rumusan hipotesis akan berbeda dengan Contoh 1, menjadi:

H0: μ 70

H1: μ < 70

17

Contoh 2 Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang

diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan.

Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5.

Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

18

Solusi

Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2.

Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel.

Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah:

H0 : μ1 - μ2 2 H1 : μ1 - μ2 > 2

19

• Tingkat keberartian, α = 0.05

• Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu

• dengan

• Maka diperoleh :

20

1 1 1

2 2 2

85, 4, 12

81, 5, 10

x s n

x s n

1 2 0

1 2

1 1H

p

x x μt =

sn n

2 2

1 1 2 2

1 2

1 1 (11)(16) (9)(25)4.478

2 12 10 2p

(n )s (n )ss =

n n

1 2 0

1 2

(85 81) 21.04

1 1 4.478 (1/12) (1/10)H

p

x x μt =

sn n

• Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725.

• Karena t < 1.725, maka H0 tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.

21

Contoh 2 – modifikasi 1 Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkan oleh

gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan.

Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5.

Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 sebesar dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

Rumusan hipotesis menjadi : H0 : μ1 - μ2 = 2 H1 : μ1 - μ2 2

22

Contoh 3 (data berpasangan)

• Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut

23

No. Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik

Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik

Selisih (di)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2.76

5.18

2.68

3.05

4.10

7.05

6.60

4.79

7.39

7.30

11.78

3.90

26.00

67.48

17.04

7.02

3.10

5.44

3.99

5.21

10.26

13.91

18.53

7.91

4.85

11.10

3.74

94.03

94.03

41.70

4.26

-2.08

2.76

0.94

1.11

3.21

7.31

13.74

0.52

-2.45

-0.68

-0.16

68.03

26.55

24.66

24

Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.

25

Solusi

Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata

konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah

H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0 H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0 Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05

26

• Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( di ) adalah,

• Statistik uji yang digunakan adalah,

• Dalam hal ini,

27

d9.848 dan s 18.474d

0

/d

d dt =

s n

9.848 02.06

18.474 / 15t =

• Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H0 ditolak jika

t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 = 2.145.

• Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t0.025,14 = 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen bisa diabaikan.

28

Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi • Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk

kasus variansi satu populasi adalah

• Dengan 02 menyatakan suatu konstanta

mengenai variansi yang diketahui. 29

2 2 2 2

0 0 1 01. H : = vs H : 2 2 2 2

0 0 1 0 2. H : vs H :

2 2 2 2

0 0 1 03. H : vs H :

• Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah :

• Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan n-1.

30

22

2

0

( 1)n s

• Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :

• Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika

• Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika

31

2 2 2 2

0 0 1 0H : = vs H :

2 2 2 2

1 ,( 1) ,( 1)2 2

atau n n

2 2 2 2

0 0 1 0H : = vs H :

2 2

1 ,( 1)n

2 2 2 2

0 0 1 0H : = vs H :

2 2

,( 1)n

nilai dari tabel distribusi chi-square

dengan derajat kebebasan n - 1

Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi • Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji

hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah,

• Dengan σ12 dan σ2

2 masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2

32

2 2 2 2

0 1 2 1 1 21. H : vs H :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 22. H : vs H : 2 2 2 2

0 1 2 1 1 23. H : vs H :

• Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah,

• Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan,

v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2

33

2

1

2

2

sF

s

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :

Untuk hipotesis , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2H : vs H :

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau v v v v

F f F f

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2H : vs H :

1 21 ,( , )v vF f

2 2 2 2

0 1 2 1 1 2H : vs H :

1 2,( , )v vF f

1 2 1 2 1 2 1 2,( , ) 1 ,( , ) / 2,( , ) 1 / 2,( , ), , , dan v v v v v v v vf f f f adalah nilai-nilai

dari tabel distribusi Fisher dengan derajat kebebasan v1 dan v2

34

Contoh 4

• Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1.2 tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!

35

Solusi

H0 : σ2 = 0.81 H1 : σ2 > 0.81 α = 0.05 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji Titik kritis adalah Karena , maka H0 tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9

36

22

2

0

( 1) (9)(1.44)16

0.81

n s

2 2

, 1 0.05,9 16.919 n 2 2

0.05,9

Contoh 5

• Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.

37

Solusi

• Misalkan σ12 dan σ2

2 adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah

H0: σ12 = σ2

2

H1: σ12 ≠ σ2

2

α = 0.10

38

39

Statistik uji f = s12/ s2

2 = 16 / 25 = 0.64

H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

atau

v v v v

f f f f

α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9.

Maka

1 2

0.95,(11.9)1 ,( , )

2

0.34

v v

f f dan 1 2

0.05,(11.9),( , )

2

3.11 v v

f f

Karena , maka jangan tolak H0.

Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.

1 2 1 21 ,( , ) ,( , )2 2

v v v vf f f

Referensi • Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007.

40