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7/29/2019 Time Vector

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Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP) 0044 -227 5/86/0 0338 7-083.10/0Vol. 37, M ay 1986 9 Birkh~iuserVerlag B asel, 1986

A n o t e o n q u a n t i z a t i o n i n r o t a t i n g c o - o r d i n a t e s

B y F a h e e m H u s s a i n * ) , I n t e r n a t i o n a l C e n t r e f o r T h e o r e t i c a l P h y si cs , T ri es te ,

I ta ly a n d A s g h a r Q a d i r * * ), M a t h e m a t i c s D e p a r t m e n t , Q u a i d - i - A z a m

U n i v e r s i t y , I s l a m a b a d , P a k i s t a n

1 . In tro d u ct io n

L e t a w a n d P f a u t s c h [1] c o n s i d e r e d t h e p r o b l e m o f c a n o n i c a l q u a n t i s a t io n o f

t h e f re e s c a la r f i e ld f o r t h e s ix c la s s e s o f s t a t i o n a r y c o o r d i n a t e s y s t e m s i n

M i n k o w s k i s p a c e [ 2 ]. A s a n e x a m p l e o f c l a ss - C c o o r d i n a t e s y s t e m s b a s e d o n a

K i l l i n g v e c t o r f i e ld w i t h c o m p o n e n t s ( 1 + ~ x , z t - -c y , ~ x , o ), ~ > ~ , t h e y s t u d -

i e d w h a t t h e y c a l l e d " r o t a t i n g c o o r d i n a t e s " ( t, r , ~0, z ) w h i c h a r e r e l a t e d t o t h e

c y l i n d r i c a ] M i n k o w s k i c o o r d i n a t e s ( t', r ', ~ 0', z ') t h r o u g h t h e t r a n s f o r m a t i o n s

t = t ' , r = r ' , q o = q o ' - f A t ' , z = z ' . (1 )

T h e y d e m o n s t r a t e d t h a t t h e v a c u u m d e f i n e d i n t h es e " ro t a t in g " c o o r d i n a t e s i sj u s t t h e M i n k o w s k i v a c u u m . S i m i l ar c o n c l u s i o n s w e re r e a c h e d i n t w o e a r li e r

p a p e r s b y t h e s a m e a u t h o r s [ 3] a n d b y D e n a r d o a n d P e r c a c c i [4 ].

W e a r g u e t h a t t h e t r a n s f o r m a t i o n g i v e n b y E q . (1 l ) d o e s n o t c o r r e s p o n d t o

r e la t iv i s it ic u n i f o r m , c i r c u la r m o t i o n . T h e c o r r e c t r o t a t i n g c o o r d i n a t e s w e r e

g i v e n m u c h e a r li e r b y P o s t [5] a n d w e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f q u a n t i s a t i o n o f

t h e f re e s c a l a r fi e ld i n th e s e c o o r d i n a t e s a n d r e a c h t h e c o n c l u s i o n t h a t , h e r e t o o ,

t h e v a c u u m is j u s t t he M i n k o w s k i v a c u u m .

2 . T h e t r a n s f o r m a t i o n t o u n i f o r m l y r o t a t i n g c o o r d i n a t e s

T h e r e h a s b e e n m u c h w o r k d o n e o n t h e p r o b l e m o f i d e n ti fy i n g t h e c o rr e c t

r e la t iv i s ti c t r a n s f o r m a t i o n t o r o t a t i n g c o o r d i n a t e s f o r u n i f o r m c i r c u la r m o t i o n

a n d q u a n t i z i n g t h e sc a l a r f ie ld i n t h e b a c k g r o u n d m e t r i c s o o b t a i n e d . M o s t

a u t h o r s i n c l u d i n g L e t a w a n d P f a u t s c h [1 , 2 , 3 ], c o n s i d e r t h e t r a n s f o r m a t i o n g iv -

e n i n E q . (1 ) a s t h e c o r r e c t t r a n s f o r m a t i o n f r o m t h e c y l i n d ri c a l M i n k o w s k i

c o o r d i n a t e s ( t', r ', (p ', z ') t o t h e " r o t a t i n g " c o o r d i n a t e s ( t, r , ~o, z ). A s i s o b v i o u s ,

*) Perm anent address: Physics Dep artment, Quaid-i-Aza m University, islamabad, Pak istan.**) Also, Centre of Basic Sciences, UG C, Islamabad, Pakistan.

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3 88 F . H u s s a i n a n d A . Q a d i r Z A M P

t h is t r a n s f o r m a t i o n is th e c y l i n d r i c a l e q u i v a l e n t o f t h e G a l i l e a n c o o r d i n a t e

t r a n s f o r m a t i o n : x - - x ' - v t '. T h e y t h e n d e r i v e t h e m e t r i c in " r o t a t i n g " c o o r d i -

n a t e s a s

d s 2 = ( 1 - r 2 ~ 2 ) d t 2 - - 2 Q r 2 d t dq~ - d r 2 - r 2 d ( o 2 - d z 2 . (2 )

I t h a s b e e n a r g u e d b y A d l e r , B a z i n a n d S c h if fe r t h a t t h e m e t r i c g i v en in

E q . ( 2 ) g i v e s t h e t i m e d i l a t i o n f a c t o r

7 = ( 1 - - r 2 ~ r ~ 2 ) - 1 /2 (3 )

w h i c h i s e x p e c t e d t o a r i s e d u e t o r e l a t i v e m o t i o n b e t w e e n t w o o b s e r v e r s , o n e

l o c a t e d o n t h e a x is o f r o t a t i o n a n d t h e o t h e r r o t a t i n g a t a c o n s t a n t a n g u l a r

v e l o c i t y , f2 , a t a d i s t a n c e r f r o m t h e a x i s. T h e y c o n s i d e r t h e p r o p e r t i m e

d r = ~ (4)

a n d p u t d r = d (p = d z = 0 , g i v i n g

dz -- (1 - r 2 ~ r - ~ 2 ) 1 / 2 d t = 7 - 1 d t (5 )

w h i c h t h e y a r g u e i s t h e r e q u i r e d t i m e d i l a t i o n f a c to r .

T h i s a r g u m e n t i s fa ls e fo r t h e f o l l o w i n g r e a s o n s :

I ) T h e l in e a r G a l i l e a n t r a n s f o r m a t i o n x = x ' - v t , t = t ' , does n o t l e av e d s 2

i n v a r i a n t a n d is , t h e r e fo r e , a n i n a d m i s s i b l e t r a n s f o r m a t i o n . S i m i l a r ly th e

t r a n s f o r m a t i o n g i v e n b y E q . (1), b e i n g a g e n e r a l i s a t i o n o f t h e G a l i l e a n t r a n s -

f o r m a t i o n , is n o t a d m i s s i b le f r o m a p u r e l y s p e c i al r e l at iv i s ti c p o i n t o f v ie w .L o c a l l y , s u c h a t r a n s f o r m a t i o n c a n n o t d e s c r ib e a u n i f o r m l y r o t a t in g c o o r d i n a t e

f r a m e .

2 ) T h e a r g u m e n t g i v e n a b o v e c a n b e tr i v ia l ly a p p l ie d t o t h e u s u a l l in e a r G a l l -

l e a n t r a n s f o r m a t i o n , f o r i n s u c h a c a s e

d s 2 - - ( 1 - - / ) 2 ) d t 2 _ 2 v d t d x - d x 2 - d y 2 - d z 2 ( 6 )

a n d , p u t t i n g d x = d y - - d z = 0 , w e w o u l d g e t a s e a si ly

dz = ~ 5 = (1 - v2) 1/2 d t (7)

a n d c l a i m , in t h e m a n n e r o f A d l e r , B a z i n & S c h i f fe r , t h a t E q . (7 ) g i v es t h e t i m e

d i l a t i o n f a c t o r . B u t t h i s a r g u m e n t i s o b v i o u s l y f als e. T h e t i m e d i l a t i o n f a c t o r is

n o t o b t a i n e d b y m a n u f a c t u r i n g a (1 - v 2) f a c t o r m u l t i p l y i n g t h e d t a t e r m i n d s 2 .

I n f a ct , th e c o r r ec t L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n t o a u n i f o r m l y m o v i n g f r a m e

t = ~ ( t ' - v x ' ) , x = ~ ( x ' - v t ' ) ,

l e a d s t o t h e m e t r i c

d s 2 = d t 2 - - d x 2 - d y 2 - d z 2

y = y ' , z = z ' , (8 )

(9 )

w h i c h d o e s n o t h a v e t h e 7 - 2 f a c t o r p r e s e n t i n (6). N o 7 f a c t o r s a p p e a r i n th e

L o r e n t z m e t r i c b u t o n l y i n th e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n .

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Vol. 37, 1986 A note on quant ization in rotating co-ordinates 389

T r iv i a l ly , w e c a n s ee t h a t t h e G a l i l e a n t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e t r a n s f o r m a -

t i o n g i v e n b y E q . (1 ) i m p l y t h a t t h e r e i s n o t i m e d i l a t i o n b e c a u s e , s i n c e t = t ' i n

b o t h c a s es , w e m u s t h a v e A t - - A t ', w h e r e a s o n e c a n s e e t h a t A t = 7 A t ' f o r t h e

L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n g i v e n b y E q . (8). T i m e d i l a t i o n a r i s e s b e c a u s e , i n t h e

L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n , w e h a v e a n e x p l ic i t f a c t o r in th e t r a n s f o r m a t i o n o f t h e

t i m e c o o r d i n a t e .

I n a n s w e r t o t h e o b j e c t i o n t h a t E q . (1 ) i s a G a l i l e a n t r a n s f o r m a t i o n , i t

m a y b e a r g u e d t h a t g e n e r a l r e l a t i v i t y a l l o w s a ll c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s

a n d t h a t c o o r d i n a t e a r e m e r e l y a m e a n s t o p r o v i d e c o n v e n i e n t n u m b e r s t o

l a b e l s p a c e - t im e e v e n ts . T h e r e is n o d o u b t t h a t a l l c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n s

a r e a l l o w e d b y g e n e r a l r e l a ti v i t y b u t n o t e v e r y t r a n s f o r m a t i o n c o r r e s p o n d s

t o , f o r e x a m p l e , u n i f o r m l in e a r m o t i o n . T h u s , t h e G a l i l e a n t r a n s f o r m a t i o n ,

w h i l e p e r f e c t l y v a l i d a s a " t r a n s f o r m a t i o n " , d o e s n o t a p p l y t o r el a ti v is t i c ,

u n i f o r m , l i n e a r m o t i o n . S i m i l a rl y , E q . (1 ) d o e s n o t a p p l y t o u n i f o r m c i r c u l a r

m o t i o n .

A m u c h e a r li e r p a p e r b y P o s t [5] a l r e a d y p r o v i d e s t h e c o r r e c t t r a n s f o r m a -

t i o n t o a r o t a t i n g f r a m e

t = 7 - 1 t ' , r = r ' , ( p = q o ' - f 2 t ' , z = z ' ( 1 0 )

b y s i m p l y a p p l y in g t h e c o m p l e t e L o r e n t z t r a n s f o r m a t i o n s

t ' = 7 ( t + v . r )

i ( ( v . r ) t ( 1 1 )r ' = r - - v l - y ) v~ 7

t o u n i f o r m c i r c u l a r m o t i o n , r e m e m b e r i n g t h a t f o r c i r c u l a r m o t i o n v 9 r = 0 ,

a t e a c h p o i n t . T h e t i m e d i l a t i o n i s s e e n r e a d i l y f r o m E q s . (1 0) . T h i s e l e g a n t

p a p e r b y P o s t h a s g o n e la r g e ly u n n o t i c e d . P o s t h a d a l s o n o t e d t h a t t h e

t r a n s f o r m a t i o n (1 ) d o e s n o t g iv e t h e re q u i r e d t i m e d i l a t i o n . T h e a b o v e t r a n s -

f o r m a t i o n i s o n l y l o c a l ly d e f in e d a s w o u l d b e e x p e c t e d f o r a c c e l e r a t e d o b s e r v e r s .

U s i n g E q . ( i 1), t h e l i n e e l e m e n t f o r a r o t a t i n g o b s e r v e r b e c o m e s

d s 2 = dt 2 A- 2 r 0 2 ? 2 t d t d r - 2 r 2 Q 7 d t d o

- (1 - r 2 4 7 4t2 ) d r 2 - 2 r 3 ~23 7 3 d r d o - r 2 d c p 2 - d z 2 . ( 1 2 )

T h e d e t e r m i n a n t o f t h is m e t r i c t e n s o r i s - r 2 7 2. W e c a n s ee , i m m e d i a t e l y , t h a t

t h i s m e t r i c h a s a c o o r d i n a t e s i n g u l a r i t y a t r f2 = 1 , i n c o n t r a s t t o t h e m e t r i c

g i v e n b y E q . (2 ), w h i c h h a s a d e t e r m i n a n t - r 2. T h e s u r f a c e r = f 2 - 1 i s a s i n g u l a r

s p a c e - l i k e s u r f a c e f o r t h e o b s e r v e r a n d is n o t a h o r i z o n .

T h i s m e t r i c a d m i t s , a m o n g o t h e r s , t h e t i m e - l ik e a n d s p a c e - l i k e K i l l i n g v e c -

t o r f ie ld s , i n c o v a r i a n t a n d c o n t r a v a r i a n t f o r m :

K , = (7 , r ~ 2 r t , 0 , 0 ) , K " = (7 - ~ , 0 , - - O , 0 ) , )( 1 3 )

M , = ( r 2 ~ 7 , r 2 ~ 3 7 3 t , 0 , 0 ) , M " = ( 0 , 0 , - 1 , 0 ) .

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390 F. Hussa in and A. Q ad ir Z A M P

w h i c h h a v e m a g n i t u d e s 1 a n d - r 2 r e s p e c t i v e l y . T h e l i n e a r c o m b i n a t i o n

R u = K s - ~ ? M s , w h i c h h a s t h e c o m p o n e n t s 7 - 1 (1 , 0 , 0 , 0 ), is a l s o a K i l l in g

v e c t o r w h i c h i s t i m e - l i k e o n l y f o r r < ~ 2 - t , s i n c e R " R u = 1 - - ~22 r 2.

M s i s t h e g e n e r a t o r o f r o t a t i o n s a r o u n d t h e z - a xi s a n d i s e v e r y w h e r e s p a c e -

l i k e ; R s i s t h e t i m e t r a n s l a t i o n K i l l i n g v e c t o r i n t h e r o t a t i n g f r a m e ( it i s t h e

t a n g e n t v e c t o r t o t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e p o i n t s w i t h f i x ed z, r , (p) a n d i s t i m e - l i k e

o n l y f o r r < ~ 2 - 1 . F i n a l l y , K " is t h e t i m e t r a n s l a t i o n K i l l i n g v e c t o r in t h e n o n -

r o t a t i n g ( M i n k o w s k i ) f r a m e ( i t is t h e t a n g e n t v e c t o r t o t h e t r a j e c t o r ie s w i t h fi xe d

z ' , r ' , q / ) ; i t i s g l o b a l l y t i m e - l i k e a n d o r t h o g o n a l t o t h e h y p e r s u r f a c e s

7 t = t ' = co ns tan t ; i n f ac t , K u i s t h e u s u a l t i m e t r a n s l a t i o n K i l l i n g v e c t o r o f

M i n k o w s k i s p a c e w r i t t e n i n u n u s u a l c o o r d i n a t e s .

T h e m e t r i c g i v e n i n E q . (1 2) i s n e i t h e r s t a t i o n a r y ( gu y t i m e i n d e p e n d e n t ) n o r

s t a t i c ( g o i - - 0 , i = 1 , 2 , 3 ). T h e r e a r e n o s t a t i c f o r m s o f t h i s m e t r i c b e c a u s e t h e r e

i s n o s u r f a c e e v e r y w h e r e o r t h o g o n a l t o t h e K i l l i n g v e c t o r f i e l d R s . Since th i s

c o o r d i n a t e s y s t e m i s n o t s t a t i o n a r y i t d o e s n o t f a ll , i n t o a n y o f t h e c a t e g o r i e s

e n u m e r a t e d b y L e t a w a n d P f a u t s c h [ 2] . T h e i r a n a l ys i s n e ed s t o b e l o o k e d a t

m o r e c a r e f u l l y a s w e l l . T h e y w o r k o u t t h e " m o v i n g t e t r a d " f o r a c c e l e r a t e d

m o t i o n i n M i n k o w s k i s p a c e a n d c la s si fy i t a c c o r d i n g t o v a r i o u s p a r a m e t e r s o f

t h e K i l l in g v e c t o r s . I n t h e i r a n a l y s i s t h e y s h o w t h a t , f o r u n i f o r m c i r c u la r m o t i o n ,

t h e y h a v e a u n i t t i m e - l ik e K i l li n g v e c t o r f ie ld w h i c h i s h y p e r s u r f a c e o r t h o g o n a l

i n c o n t r a d i c t i o n t o o u r c l a im h e r e . T h e r e a s o n f o r th i s d i ff e re n c e is t h a t t h e y a r e

a n a l y s i n g m o t i o n a l o n g a c i r c l e a n d t h e y t a k e r t o b e c o n s t a n t . T h u s , f o r

c o n s t a n t g2, t h e y g e t a c o n s t a n t 7 , a n d h e n c e t h e K i l l in g v e c t o r h a s c o n s t a n tm a g n i t u d e . B y r e s c a li n g t h e m a g n i t u d e o f t h e K i l l in g v e c t o r i t c a n b e c h o s e n t o

b e u n i ty . H o w e v e r , t h i s w o r k s o n l y f o r m o t i o n i n a g i ve n c ir cl e. I f t w o o b s e r v e r s

a t d i f f e re n t v a l u e s o f r a r e r o t a t i n g w i t h t h e s a m e a n g u l a r s p e e d , ~2, a n d c o m m u -

n i c at in g , t h e y c a n n o t a g r e e th a t b o t h h a v e u n i t t im e - l i k e K i ll i n g v e c to r s . T o d o

f i el d t h e o r y w e n e e d t o c o n s i d e r v a r i a t i o n o f r . I f r is a v a r i a b l e , 7 i s n o t a c o n s t a n t

a n d h e n c e t h e K i l li n g v e c t o r f ie ld d o e s n o t h a v e c o n s t a n t m a g n i t u d e . T h u s t h e

c l a s s i f i c a t i o n o f L e t a w [2 ] w h i l e c o r r e c t f o r m o t i o n i n a g i v e n c i r c le is n o t

c o m p l e t e l y r e l e v a n t f o r d o i n g f i e l d t h e o r y .

F o r t h e r e a s o n s s t a t e d e a r li e r , E q . (1 2 ) g i v e s t h e c o r r e c t m e t r i c f o r a re l a t iv -i s t i c , u n i f o r m l y r o t a t i n g s y s t e m . I n o t h e r w o r d s , a r o t a t i n g o b s e r v e r c a n n o t b e

r e p r e s e n t e d b y a s t a t i o n a r y m e t r ic . T h e c o o r d i n a t e s u r f ac e s o f t h e s e re l a ti v is t ic

r o t a t i n g c o o r d i n a t e s a r e d i s p l a y e d i n F ig . 1 . S u r f a c e s o f c o n s t a n t r a re i d e n t ic a l

t o c o o r d i n a t e s u r f a c e s i n c y l in d r i c a l M i n k o w s k i c o o r d i n a t e s . S u r f a c es o f c o n -

s t a n t t a r e g i v e n b y

tt ' = (14)

( 1 - r 2 ~ ' ~ 2 ) 1 / 2

i n M i n k o w s k i c o o r d i n a t e s . T h e t = 0 s u r fa c e is a p l a n e w h e r e a s t h e t @ 0 su r -

f a c e s a r e s u r f a c e s g o i n g o f f t o o o a t r = ~ 2 - 1. L i n e s o f c o n s t a n t q~ a r e d i s p l a c e d

r e l a t i v e t o l i n es o f c o n s t a n t ~o' a t a c o n s t a n t r a t e t 2 ( r e la t i v e t o t h e c o o r d i n a t e

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Vol. 37, 1986 A no te on quantization in rotating co-ordinates

Figure 1Ro tating coordinate surfaces displayedin rectangular Minkowski coordinates.Constant t surfaces are give n by t ' =

t

in Minkowski coordi-(1 - - r 2 ~ ' ~ 2 ) 1 / 2n a r e s . T h e t = 0 s u r f a c e i s a p l a n e

whereas the t + 0 surfaces going off toat r = ~ - 1. Constant r surfaces are

circular cylinders identical to surfacesin cylindrical Minkowski coordinates.Con stant ~p surfaces resemble an Ar-chimedean screw.

t = C o n s t a n t

d

391

x

- - k = C o n s t a n t

" ~ d = C o n s t a n t

y

t i m e t ' f o r t h e M i n k o w s k i s y s t e m o n l y ) t h u s f o r m i n g h e li ce s r a t h e r t h a n v e r t ic a l

s t r a i g h t l i n e s , a s

q~' = r + y g 2 t = q~ + ~2 t' . ( 15 )

A s a r e s u l t o f t h is d i s p l a c e m e n t s u r f a c e s o f c o n s t a n t ~p a r e r i g h t c o n o i d s r e s e m -

b l in g t h e s c r e w o f A r c h i m e d e s .

T h e g e o d e s i c e q u a t i o n s f o r t h e c o r r e c t r o t a t i n g m e t r i c a r e q u i te c o m p l i -

c a t e d . H o w e v e r , i f w e o n l y c o n s i d e r i n s t a n t a n e o u s r a d i a l m o t i o n , ~b = 0 , a n d

r e s t r ic t o u r s e l v e s t o t = 0 , w e f i n d t h a t w e o b t a i n t h e u s u a l c e n t r i f u g a l a n d

C o r i o l i s f o r c e s

i" = r Q 2 , r ~ + 2 O f = 0 . (1 6)

3 . Q u a n t i z a t i o n o f th e s c a l a r fi e ld

I n r o t a t i n g c o o r d i n a te s t h e K l e i n - G o r d o n e q u a t i o n is

I ( 8 2

82 1 ~ 82 82

+ 2 r ( 2 2 7 2 t Or O t r ~r Or 2 2 ~ 7 - 1 - -8 t8~o

1 ~ 2 ~ 2 ]

- - r2 7 2 ~ q ~ 2 ~ ~ z ~ = - M 2 ~ . (1 7)

A t f i rs t s i g h t th i s e q u a t i o n is n o t e a s i ly s e p a r a b l e . H o w e v e r , o n e c a n e a s i l y c h e c k

t h a t t h i s e q u a t i o n h a s t h e s i m p l e s o l u t i o n s

~kq ,, ,;~o = N e - i~ t (~ - mr) e im~ e ik~ j , , , (q r) (18 )

w i t h i n t e g e r m , q > 0 , 0) 2 = k 2 -4- q 2 -4- M 2 a n d N a n o r m a l i s a t i o n f a c t o r t o b e

o b t a i n e d b e l o w .

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3 9 2 F . H u s s a i n a n d A . Q a d i r Z A M P

T h e n o r m a l i s a t i o n f a c t o r N is o b t a i n e d b y n o r m a l i s in g t h e m o d e f u n c t io n s

o v e r a t = 0 = t ' h y p e r s u r f ac e Z :

i I ~ b k * m ; o , ~ U ~ k k a m ; 'o d X u = b m m ' 6 ( k - - k ' ) l 6 ( q - - q ' ) 'q(19)

w h e r e

y , = I g l l / 2 g , ~ ~ X v ~ X v{ g ] l / 2 guy. (20)

T h i s p r o c e d u r e y i e l d s t h e n o r m a l i s a t i o n c o n s t a n t

1N = (21)

2~12co11/2

s o t h a t t h e n o r m a l i s e d m o d e f u n c t i o n s a r e

1e - i r t ~ o, - m Q ) e i m ~ e ik ~ J m ( q r ) (22)

~ k k q , . ; o , ( t , x ) - - 2n12r

L e t u s n o w c o n s i d e r t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e e n e r g y

m o d e s . T h e L i e d e r i v a t iv e w i t h r e s p e c t t o t h e t i m e - l i k e K i l li n g v e c t o r R u , f o r t h e

r o t a t i n g c o o r d i n a t e s , i s

L ~~ - - R " V . = 7 - 1 8O t (23)

w e , t h e r e f o r e , g e t

5 e s O k q m ; o , = - - i ( 0 9 - - m r 2 ) ~ kk q ,. ; ,o (24)

* * ( 2 5 )s O k q ~ ; = i ( c o - - m s ~ bk ~ =; ~ o .

I t is ev ide n t t ha t t he m o de 0kqm;o , (0*q,. ;,~) i s no t ge ne ra l ly o f pos i t i ve (nega t ive)

e n e r g y . H e r e o u r r e s u lt s c o i n c i d e w i t h t h o s e o f L e t a w a n d P f a u t s c h [1 , 3] a l-

t h o u g h t h e y s t a r te d w i t h a w r o n g t r a n s f o r m a t i o n . T h e r o t a t i n g m o d e s ~ a r e

i d e n ti c a l to t h e c y l in d r ic a l M i n k o w s k i m o d e s

1e i ,, ,t ' e i m r e i k z ' (26)

_ 27z 12co11/2 J , , ( q r ' )

w h e n b o t h m o d e s a r e e x p r e s se d in t h e s a m e c o o r d i n a t e s y st e m . N o t e t h a t ~ is

n o r m a l i s e d o v e r t h e s a m e h y p e r s u r f a c e a s ~ .

T h e f ie ld o p e r a t o r 4~ c a n n o w b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e p o s i t iv e e n e r g y

r o t a t i n g m o d e s a s

= ~ I ( a k q ,~ ~ k k o m + ak + qm ~ '~ q m ) q d q d k . (27)m = ~

t o - m O > O

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V o l . 3 7 , 1 98 6 A n o t e o n q u a n t i z a t i o n i n r o t a t i n g c o - o r d i n a t e s 3 93

S i n c e w e r e q u i r e co - m ~2 > 0 f o r p o s i t i v e e n e r g y , t h e v a c u u m w i l l n o t b e t h e

l o w e s t e n e r g y s t a t e .

T h e B o g o l i u b o v t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n t h e tw o s e ts o f m o d e s i s

- - + + ( 2 8 )k q m ~ C L kqm , a k q m ~ - -- a k q m

w h e r e g ( a) r e fe r t o M i n k o w s k i ( r o t at i n g ) c o o r d i n a t e s . T h u s , a s fo r L e t a w a n d

P f a u t s c h [1 , 3], t h e v a c u u m d e f i n e d i n r o t a t i n g c o o r d i n a t e s i s j u s t t h e M i n k o w s k i

v a c u u m . O u r f i n al re s u l t a g r e e s w i t h L e t a w a n d P f a u t s c h [ 1, 3 ] i n t h a t t h e f ie l d

t h e o r i e s i n r o t a t i n g a n d c y l i n d r ic a l c o o r d i n a t e s d if fe r o n l y b y a r e d e fi n i ti o n o f

t h e e n e r g y o f a m o d e . H o w e v e r , w e b e li e v e t h a t t h e e a r l ie r d e r i v a t i o n s o f t h is

r e s u lt b y L e t a w a n d P f a u t s c h [ 1, 3 ] a n d b y D e n a r d o a n d P e r c a c c i [4] w e r e f l a w e d

b y t h e u s e o f a w r o n g c o o r d i n a t e s y s te m .

4 . C o n c l u s i o n s

W e h a v e s t u d i e d t h e q u a n t i z a t i o n o f a s c a l a r f ie ld in t h e m e t r i c o f a r e la t iv -

i st ic r o t a t i n g o b s e r v e r . T h e v a c u u m i n th i s m e t r i c d o e s n o t d i ff er f r o m t h e

M i n k o w s k i v a c u u m , a re s u lt id e n ti c a l to t h a t o b t a i n e d b y q u a n t is i n g i n a

G a l i l e a n r o t a t i n g f r am e . I t a p p e a r s t h a t t h e m e r e e x i s t e n c e o f a s u r f ac e o n w h i c h

t h e m e t r i c i s s i n g u l a r i s n o t s u f f i c i e n t t o p r o d u c e a v a c u u m w h i c h i s d i f f e r e n t

f r o m t h e M i n k o w s k i v a c c u m . T o p r o d u c e a d if fe r en t v a c u u m i t s e e m s th a t i t is

n e c e s s a r y t o h a v e a n e v e n h o r i z o n [1 , 7 ].

A c k n o w l e d g e m e n t

T h e a u t h o r s w o u l d l ik e to t h a n k P r o f e s s o r G . D e n a r d o f o r u s e fu l d i s cu s -

s i o n s a n d P r o f . A b d u s S a l a m , t h e I n t e r n a t i o n a l A t o m i c E n e r g y A g e n c y a n d

U N E S C O f o r h o s p i t a li t y a t t h e I n t e r n a t i o n a l C e n t r e f or T h e o r e t i c a l P h y s ic s ,

T r i e s t e w h e r e p a r t o f t h is w o r k w a s d o n e . W e a r e a l s o g r a t e fu l t o J . R . L e t a w a n d

J . D . P f a u t s c h f o r t he ir c o m m e n t s o n a n e a rl ie r v e r s io n o f t hi s w o r k w h i c h

a l l o w e d u s to c la ri fy o u r o w n c o n c e p t s a n d t o s h a r p e n o u r a r g u m e n t s . F i n a ll y ,w e w o u l d l i k e to a c k n o w l e d g e t h a t o u r F i g . 1 is a m o d i f i e d v e r s i o n o f F i g . 2 o f

t h e p a p e r b y L e t a w a n d P f a u t s c h [ 2 ] .

References

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[ 3 ] J . R . L e t aw an d J . D . P f au t s ch , Ph y s . Rev . D 2 2 , 1345 (1980).

[ 4 ] G . D e n a r d o a n d R . P e r c a c c i , N u o v o C i m e n t o 4 8 , 81 (1967).

[ 5 ] E . J . Po s t , Rev . Mo d . Ph y s . 3 9 , 475 (1967).

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394 F. Hussain and A. Qadir ZAMP

Abstract

The quantization of scalar fields in a uniformly rotating frame is reconsidered. It is pointedout that the coordinates usually used do not represent a frame describing unifo rm circular motionand the metric in the correct coordinates has a singularity. The result obtained earlier with the wrong

coordinates, that there is no radiation, nevertheless holds.

Zusammenfassung

Die Quantisierung skalarer Felder in einem gleichf6rmig rotierenden Koordinatensystem wirderneut betrachtet. Dabei wird hervorgehoben, dab die gew6hnlich verwendeten Koordinaten diegleiehf6rmige Kreisbewegung nicht beschreiben und dab die Metrik in den richtigen Koord inateneine Singularitfit aufweist. Trotzdem bleibt das fri iher mit den falschen Koordinaten abgeleitete

Resultat erhalten, dab nfimlich ein strahlungsfreier Zustand existiert.

(Eingegangen: December 12, 1985)