Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006.

Theorie der unscharfen Mengen

Wintersemester 2005/2006

Vorlesung

Montags, 09.15–11.00h, MIB-1107

Übung

Freitags (ungerade Woche), 09.15–11.00h, MIB-1107

VeranstalterDr. Tatiana Starostina

E-mail: Tatiana.Starostina@math.tu-freiberg.de Tel. 3786

Sprechstunde nach Vereinbarung

Literatur1). Dirk H. Träger

Einführung in die Fuzzy-Logik Teubner, Stuttgart, 1994.

2). Hans Bandemer und Siegfried Gottwald Einführung in die Fuzzy Methoden4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin 1993

3). Hans Bandemer and Siegfried Gottwald Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with ApplicationsJohn Wiley & Sons, Chichester 1995.

4). George J. Klir and Bo YuanFuzzy Sets and Fuzzy Logic – Theory and ApplicationsPrentice Hall, 1995.

5). Hans-Jürgen ZimmermannFuzzy set theory and its applications2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.

Geschichte

Platon (427-347a.d.)

Vermutung: es gibt eine dritte Region

zwischen „wahr“ und „falsch“

Aristoteles (384-322a.d.)

Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten (bestimmt die Entwicklung mathematischer und

logischer Systeme in den nächsten zwei Jahrtausenden)

Geschichte

Georg Hegel (1770-1831)

Moderne Philosophen wie G. Hegel und B. Russel nahmen Platons Vermutung wieder auf.

B. Russell (1872-1970)

Russel: „The law of the excluded middle is true, when precise symbols are employed, but it is not true, when symbols are vague, as, in fact, all symbols are.“

GeschichteJ. Lukasiewicz (1878-1956)

● systematische Alternative zur zweiwertigen Logik● „wahr (1)“, „possible (1/2)“, „falsch(0)“● später vier und fünfwertige Logik● schließlich unendlichwertige Logik „alle Zahlen im Intervall [0,1]“

M. Black (1909-1988) ● Verfahren zur numerischen Darstellung von Unschärfe von Symbolen (in Anlehnung an Russel)● Definition der Ungenauigkeit oder Vagheit eines Symbols unter Zuhilfenahme des Komplements:es gibt mindestens ein Element, das weder vollständig zum Symbol noch vollständig zum Komplement gehört● Menge der Elemente, die nicht eindeutig zugeordnet werden können: „frings“ = Fransen

Geschichte

Lotfi Zadeh (geb. 1921)

• grundlegender Artikel „Fuzzy-Sets“ (1965)• Theorie der unscharfen Mengen• verbindet darin Blacks Idee der „frings“ mit Lukasiewiczs unendlichwertiger Logik

Theorie der unscharfen Mengen wurde durch die Beobachtung Lotfi ZADEHs ausgelöst, dass Menschen anscheinend in Kategorien denken und kommunizieren, die sich von den in Mengenlehre und Logik verwendeten (dualen) Strukturen unterscheiden.

Dies war zwar schon früher erkannt worden, aber ZADEH war der erste, den diese Beobachtung zur Formulierung einer neuen Theorie veranlasste.

Geschichte

80-iger Jahre:● Entdeckung des praktischen Nutzens in Japan: erste fuzzy-geregelte Waschmaschinen, Staubsauger → höherer Bedienkomfort, Aufsehen als denkende Konsumgüter● erster Fuzzy-Regler in großtechnischer Anwendung → Vermutung als neues Universalwerkzeug der Regelungstechnik● Skepsis in Europa, besonders in Deutschland → Qualitätsverbesserung bei Fuzzy-Einsatz oft durch zusätzliche Sensorik erreicht

70-iger Jahre: einige europäische Wissenschaftler befassten sich mit der unscharfen Logik und entwickelten erste erfolgreiche Anwendungen für industrielle Prozesse und Regelungen

90-iger Jahre:Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von Hochschulen aufgegriffen→ Fuzzy-Technologie keine vorübergehende Mode, sondern Revolution, die mit Denkgewohnheiten bricht und praktisch vorzeigbar Vorteile bringt→ neuer Zweig der Regelungstechnik ist entstanden→ Querschnittswissenschaft, die auch in nichttechnischen Bereichen Vorteile verspricht

Ziele der Theorie der unscharfen Mengen

1) Modellverbesserung (Relaxierung);

2) Komplexitätsreduktion;

3) Modellierung von Unsicherheit;

4) bedeutungserhaltendes Schließen.

Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen

(methodische Sicht)

Theoretische Anwendungen:•Mathematik (Algebra, Logik usw.);•Ökonomie;•Psychologie.

Modellbasierte und algorithmische Anwendungen:•Unscharfe Optimierung;•Unscharfes Clustern;•Unscharfe Petri-Netze;•Unscharfe mehrkriterielle Analyse;•Unscharfe Netzplantechnik.

Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen

Informationsverarbeitung:•Unscharfe Datenbanken;•Fuzzy-Programmiersprachen.

Wissensbasierte Anwendungen:•Fuzzy Control;•Unscharfe Datenanalyse;•Fuzzy-Expertensysteme.

Anwendungsgebiete • Wirtschaftswissenschaften;• Entscheidungstheorie;• Finanzdienstleistungen;• Mathematik: - Topologie;

- Algebra;

- Graphen und Netze;

- Optimierung usw.

• Naturwissenschaften:- Physik (Quantenmechanik, Strömungsdynamik);

- Chemie (Wirkstrukturanalyse);

- Medizin;

- Geologie, Ökologie usw.

• Ingenieurwissenschaften:- Regelung und Steuerung (Elektrotechnik, Maschinenbau);

- Automatisierung;

- Qualitätssicherung (unscharfe Datenanalyse).

Typen der Unsicherheit

Unsicherheit

Physikalische Unsicherheit

Linguistische Unsicherheit

Unexaktheit ZufälligkeitUnsicherheit

bei der Interpretation der Bedeutung

der Wörter

Unsicherheit bei der Interpretation

des Sinnes der Sätze

MesstheorieWahrscheinlichkeits-

theorie

Homonymie Unschärfe Theorie der formalen

Grammatiken

Klassische Mengen Theorie der unscharfen Mengen

Es sei X die Grundmenge und A eine Teilmenge von X: XA .

Ein Element gehört in der klassischen Mengenlehre entweder zu einer Menge A, oder aber es gehört nicht zu dieser Menge.

Wenn ein Element x von X zu A gehört, schreibt man: Ax .

Definition. Es sei X eine Grundmenge und A eine Teilmenge von X. Dann heißt die Funktion χA: X →{0,1} mit

AxA ,0

Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion der Menge A.

Beispiel Die Grundmenge X ist über folgende Fahrzeuge gegeben:

Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug -Wagen

ca. 2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h

Beispiel

2 km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h Langsam Schnell

Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche Formel1 Flugzeug

Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={Flugzeug}

Beispiel

2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h 250 km/h 350 km/h 800 km/h Langsam Schnell

Die Menge A der schnellen Fahrzeuge: A={VW Golf, Porsche, Formel1, Flugzeug}

Unscharfe Mengen Theorie der unscharfen Mengen

ist eine unscharfe Teilmenge von X, wenn die Zugehörigkeit der Elemente x von X

durch eine Zugehörigkeitsfunktion )(~ xA charakterisiert wird.

Die Werte der Zugehörigkeitsfunktion liegen im Intervall [0,1]. Beispiel:

)(~ xA =0 wenn Ax

)(~ xA =1 wenn Ax

~ vollständig,

)(~ xA =0,6 wenn Ax

~ mit einem der Zahl 0,6 entsprechenden Zugehörigkeitsgrad.

Mathematische Notation nach ZADEH:

• für endliche unscharfe Mengen:

}...,,,{ 21 nxxxX

1~ )()(...

• für „stetige“ unscharfe Mengen: X

Definition. Es sei X eine Grundmenge. Eine unscharfe Menge oder Fuzzy-Menge Ã in X ist eine Menge von geordneten Paaren

XxxxAA

:)(,:~

Hierbei ist XA

:~ eine reellwertige Funktion. Sie wird als Zugehörigkeitsfunktion (membership function) bezeichnet.

Ist 1)(sup ~ xA ,

so heißt A~

eine normalisierte unscharfe Menge.

Ist der Wertebereich von A~ die zweielementige Menge {0,1}, erkennt man, dass

das klassische Konzept von Mengen eine Spezialisierung der Theorie unscharfer

Mengen ist: }|))(,{(~

~ XxxxAA

ist in diesem Fall durch folgende Abbildung in eine klassische (scharfe) Menge überführbar:

}1)(|{)~

( ~ xXxAAEA .

Beispiel

Dreirad

Traktor

Trabant

VW Golf

Porsche

Formel1

Flugzeug

Abb. Darstellung der unscharfen Menge

„Schnell“ = {(Dreirad; 0), (Traktor; 0,1), (Trabant; 0,2), (VW Golf; 0,4), (Porsche; 0,6), (Formel1; 0,7), (Flugzeug; 1)}.

Unscharfe Menge „Schnell“

)(~ xA

Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunktionen (ZGF) repräsentiert.Die Art der Darstellung ist von der Grundmenge X abhängig.

X hat endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele Elemente oder X ist ein Kontinuum, z.B. kontinuierliche Messgrößen

diskrete Darstellung von ZGF parametrische Darstellung von ZGF

1 3 4 7 9 12 x

0,7 0,6 0,4 0,3

Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktionen

1) Trapezförmige

a b d x

2) Dreieckförmige (Trianguläre)

mit a < b < c < d .

axdxax

3) Monoton fallende Funktion • lineare Funktion: (L-Funktion)

• geglättete Funktionen:

.0,)(2

~ kex kx

4) Monoton steigende Funktion • lineare Funktion: (-Funktion)

• geglättete Funktion: (geglättete -Funktion)

,,0)( 2)(~

axox axkA

Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen

Zadeh‘s S-Funktion Die Funktion des Exponentialtyps

cabmit

.0,)(2)(

~ kx e

Definitionen

Stützende Menge: Die stützende Menge )

~(AS einer unscharfen Menge A

~ ist definiert durch:

0)(~ xSxA .

(AS heißt Träger oder Einflussbereich (Support) der unscharfen Menge Ã in X.

Beispiel [Zimmermann, 1991]: X ist eine Menge aller möglichen Autobahn-Reisegeschwindigkeiten.

X={80; 100; 120; 140; 160; 180}.

Unscharfe Menge A~

=„sichere Autobahngeschwindigkeit“.

={(80; 0,5), (100; 0,7), (120; 1,0), (140; 0,9), (160; 0,6), (180; 0,0)}.

= {80, 100, 120, 140, 160} )~

(ASTräger:

Definitionen

Normalisierte unscharfe Menge: Ist

1)(sup ~

so heißt die unscharfe Menge A~

normalisiert.

Falls 1)(sup ~

Xx , aber > 0 (die Menge ist subnormal) ist, so kann eine

unscharfe Menge A~

immer dadurch normalisiert werden, dass man ihre

Zugehörigkeitsfunktion )(~ xA durch )(sup ~ x

dividiert.

Eine unscharfe Menge Ã in X heißt leer, wenn )(~ x

A =0 für alle Xx .

Eine unscharfe Menge Ã in X heißt universell, wenn

)(~ xA =1 für alle Xx .

-Niveaumengen Theorie der unscharfen Mengen

Sei A~ eine unscharfe Menge über die Grundmenge X und ]1,0[ .

Dann heißt die klassische Menge

)(: xXxA A

eine -Niveaumenge ( -level set, -Schnitt, -cut) von A~ .

Die Verschärfung auf „>“ gemäß

)(:* xXxA A

nennen wir eine strenge -Niveaumenge von A~ .

(1) 1221 AA für alle ]1;0[, 21

(2) )))(,(min(max)( ~~ xxAA

Operationen Grundmenge X: 1)( xX

Enthaltensein AX: )()( xx XA

Komplement: )(1)( xx AA

Schnittmenge: ))(),((min)( xxx BABA Vereinigung: ))(),((max)( xxx BABA Boolesches Produkt: )()()( xxx BABA Boolesche Summe: )()()()()( xxxxx BABABA

Differenz: )()(\ xx BABA

Disjunkte Summe: )()()()(

xxBABABA ,

Operationen A~ und B

~ seien zwei unscharfe Teilmengen der Grundmenge X: A~ X , B

~ X. Grundmenge X : 1)( xX Enthaltensein A

~ X: )()(~ xx XA

Komplement: )(1)( ~~ xxAA

Schnittmenge: ))(),((min)( ~~~~ xxxBABA

Vereinigung: ))(),((max)( ~~~~ xxxBABA

Algebraisches Produkt: )()()( ~~~~ xxxBABA

Algebraische Summe: )()()()()( ~~~~~ˆ~ xxxxxBABABA

Differenz: )()( ~~~\

~ xxBABA

Disjunkte Summe: )()()

~~ xxBABABA

Operationen von unscharfen Mengen Theorie der unscharfen Mengen

A~ und B

Enthaltensein: Eine unscharfe Menge A

~ ist genau dann in B~ enthalten, wenn gilt:

)()( ~~ xxBA , Xx .

Gleichheit: Ist A

~ in B~ enthalten und B

~ in A~ enthalten, dann sind beide unscharfe

Menge gleich, oder

= B~ )()( ~~ xx

BA , Xx .

A~ und B

Schnittmenge: }|))(,{(:

~~~~ XxxxBABA

. Die Zugehörigkeitsfunktion der Schnittmenge zweier unscharfer Mengen A

~ und B~ ist punktweise

definiert durch:

))(),((min)( ~~~~ xxxBABA , Xx .

Vereinigung:

}|))(,{(:~~

~~ XxxxBABA

. Die Zugehörigkeitsfunktion der Vereinigung zweier unscharfer Mengen A

~ und B~ ist definiert als:

))(),((max)( ~~~~ xxxBABA , Xx .

)(x A~

A~ und B

Das Komplement:

}|))(,{(:~

~ XxxxAA

Die Zugehörigkeitsfunktion des Komplements einer unscharfen Menge A~

wird definiert wie folgt:

)(1)( ~~ xxAA , Xx .

Bemerkung 1. Ist die unscharfe leere Menge

~={ Xxx :)0,( } und die unscharfe

Grundmenge }:)1,{(~

XxxX , so bildet die Menge aller unscharfen Teilmengen auf X mit

~ und X

~ einen distributiven Verband.

Bemerkung 2. Die Definitionen über Minimums- oder Maximumsbildung der Zugehörigkeitsfunktionen und die Komplementbildung über )(1 ~ x

Xx ist eine natürliche Erweiterung der klassischen mengentheoretischen Operationen.

Produkt:

}|))(,{(:~~

~~ XxxxBABA

. Die Zugehörigkeitsfunktion des algebraischen Produktes zweier unscharfer

Mengen A~

und B~

ist definiert als: )()()( ~~~~ xxx

BABA , Xx .

Algebraische Summe:

}|))(,{(:~~

~~ XxxxBABA

Die Zugehörigkeitsfunktion der algebraischen Summe von A~

und B~

ist definiert als:

)()()()()( ~~~~~~ xxxxxBABABA , Xx .

Beschränkte Summe: }|))(,{(:~ˆ~

~ˆ~ XxxxBABA

, )}()(,1min{)( ~~~ˆ~ xxx

BABA , Xx .

Beschränktes Produkt: }|))(,{(:~

~ XxxxBABA

, }1)()(,0{max)( ~~~

ˆ~ xxx

BABA , Xx .

Drastische Summe: }|))(,{(:~~

~~ XxxxBABA

Xxxoderxwennxxx BABA

,0)(0)()},(),({max)(

~~~~~~

Drastisches Produkt: }|))(,{(:~

~ XxxxBABA

1)(1)()},(),({min)(

xoderxwennxxx BABA

Differenz: }|))(,{(:~

~ XxxxBABA

)()( ~~~\

~ xxBABA

Disjunkte Summe: }|))(,{(:~~

~~ XxxxBABA

~~ xxBABABA .

Unscharfes kartesisches Produkt

XXBA , A~ , B

},|)),(),,{((:~~

~~ XbababaBABA

)}(),({min),( ~~~~ babaBABA , Xba , ,

wobei ),( ba repräsentieren das geordnete Paar von Xa und Xb .

Folgerung Theorie der unscharfen Mengen

Satz über Dekomposition Für jede unscharfe Menge A

~ über einer Grundmenge X gilt die Formel

Darin ist das Produkt aus dem Skalar ]1;0[ und dem -Schnitt A als folgende unscharfe Menge A erklärt:

)()( xx AA ,

.:)(,0

,:)(,1)(

Axxfür

Axxfürx

Satz Für die unscharfe Mengen A

~ und B

~ über einer Grundmenge X gilt für jedes

BABA )~~

Eigenschaften von klassischen Mengen

},,{ 321 xxxX . Die Potenzmenge P hat 23=8 Elemente.

1x 2x 3x 0 0 0 1 0 0 { 1x } 0 1 0 { 2x } 0 0 1 { 3x } 1 1 0 { 1x , 2x } 1 0 1 { 1x , 3x } 0 1 1 { 2x , 3x } 1 1 1 { 1x , 2x , 3x }

{ 32 , xx }

{ 31, xx }

{ 21 , xx }

{ 3x }

{ 2x }

{ 1x }

{ 321 ,, xxx }

Eigenschaften von unscharfen Mengen

ccc acc

caa baa

abcvccc

aacvccc

aabvccc

abbvccc

abavccc

acavccc

acbvccc

bac bba

bbc cbc

bcb },,{ 321 xxxX

M = {a, b, c}

1x 2x 3x 1x 2x 3x 1x 2x 3x

a a a b a a c a a a a b b a b c a b a a c b a c c a c a b a b b a c b a a b b b b b c b b a b c b b c c b c a c a b c a c c a a c b b c b c c b a c c b c c c c c

Eigenschaften von klassischen Mengen

Gegeben sei XCXBXA ,, .

kommutativABBA

assoziativCBACBA

CBACBA

)()()4

)()()3

idempotentAAA

vdistributiCABACBA

CABACBA

)()()()8

)()()()7

AA)9 = A)12 =A XAA )10 AXA )13

A)11 = XXA )14

AA )()15 Involution

MorgandevonTheoremBABA

Eigenschaften von unscharfen Mengen

itätKommutativABBA

~~~~)2

~~~~)1

itätAssoziativCBACBA

CBACBA

IdempotenzAAA

vitätDistributiCABACBA

CABACBA

)9 = - gilt nicht mehr

XAA ~~

)10 - gilt nicht mehr A

~)11 = AXA )13 A

~)12 = A

()15 Involution

BABA~~~~

~~~~)16 Theorem von de Morgan

Theorie der unscharfen Mengen Wintersemester 2005/2006.

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