TEMA 8: MATRICES - WordPress.com...TEMA 8: MATRICES 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ 2. IGUALDAD DE MATRICES 3. TIPOS DE MATRICES 4. OPERACIONES CON MATRICES 4.1.- SUMA DE MATRICES 4.2.- PRODUCTO
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Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo
1
TEMA 8: MATRICES
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
2. IGUALDAD DE MATRICES
3. TIPOS DE MATRICES
4. OPERACIONES CON MATRICES
4.1.- SUMA DE MATRICES
4.2.- PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ
4.3.- PRODUCTO DE MATRICES
5. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ
6. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ (REGULAR)
7. ECUACIONES MATRICIALES
8. SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES
9. CÁLCULO DE POTENCIAS DE MATRICES
10. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ
11. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ
1. DEFINICIÓN DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de números reales colocados “rectangularmente” encerrados entre paréntesis, corchete o doble barra. Fila de una matriz son las líneas horizontales y columnas las verticales. Ejemplo:
158
230
411
158
230
411
158
230
411
Para notar una matriz se utiliza o: una letra mayúscula, por ejemplo A, o también
ija
Ejemplo:
ijaA
158
230
411
Si queremos referirnos a un único elemento o entrada de una matriz, se utiliza la
misma letra que la de todo la matriz sin doble paréntesis con doble subíndice ija el
primero ""i se refiere a la fila y el segundo "" j a la columna.
Ejemplo:
12051
158
230
411
3323213212
aaaaaA
Se llama dimensión de una matriz al número (sin efectuar) de filas por columnas
nxmdimensióndeA nxm tiene “m” filas y “n” columnas.
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2
Cuando mn se denomina matriz rectangular y cuando mn se denomina matriz cuadrada de orden “n”. Ejemplo:
2 3 3
1 1 42 5 0
rectangular 2 x3 0 3 2 35 1 3
8 5 1xA B cuadrada de orden
Sea A una
matriz cuadrada de orden “n”, esto es nA , se denomina:
Diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos de la forma
niaii ,....3,2,1
Ejemplo: 431
452
230
411
3322113
aaaB
Diagonal secundaria son los elementos de la forma 1 njiconaij
Ejemplo: 234
452
230
411
3122133
aaaB
2. IGUALDAD DE MATRICES
Sean A y B dos matrices, diremos que son iguales cuando sean del mismo orden mxn
y además n,.......,jm,......,iba ijij 2121
Ejemplo:
2 1 4 /2 log 10
1,2 1,20 1 0 1 ij ijA B a b i j
3. TIPOS DE MATRICES
Matriz fila es la que tiene una única fila, esto es mxA 1
Ejemplo: 108241 xA
Matriz columna es la que tiene una sola columna, esto es 1xnA
Ejemplo:
3
0
9
13 xA
Matriz traspuesta de una matriz dada es la que resulta de cambiar filas por
columnas. Si la matriz dada es A, notaremos su transpuesta como AoA t
Se verifica que: tttttttt ABBABABAAA
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3
Ejemplo:
60
24
13
621
043
en elser a pasaA de elemento El
n xmorden de es Simxnorden de es Si
2332 xt
x
t
jiij
t
AA
Aaa
AA
Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica cuando coincide con su
transpuesta, esto es: tAA , para lo cual necesariamente jiaa ji ij
Ejemplo: 4 2 3 4 2 3
2 0 0 2 0 0
3 0 1 3 0 1
tA A
Matriz nula es la que tiene todos sus elementos nulos.
Ejemplo: 23
00
00
00
23 xordendenulamatrizN x
Matriz diagonal es una matriz cuadrada en que todas las entradas que no son
de la diagonal principal son nulas, esto es jia 0ij
Ejemplo: jiaD
0
100
000
004
ij3
Matriz escalar es una matriz diagonal en que todas las entradas son iguales, esto es
Rkka ii
Ejemplo: jiayaE ii
04
400
040
004
ij3
Matriz unidad o identidad es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal valen 1 uno. se representa por In
Ejemplo:
100
010
001
10
0132 II
Matriz triangular superior es una matriz cuadrada en que todos los elementos
por debajo de la diagonal principal son nulos, esto es jia 0ij
Ejemplo: jiaT
0
100
000
324
ij3
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4
Matriz triangular inferior es una matriz cuadrada en que todos los elementos
por encima de la diagonal principal son nulos, esto es jia 0ij
Ejemplo: jiaS
0
140
003
004
ij3
4. OPERACIONES CON MATRICES
Denotemos por M m x n al conjunto de matrices de orden m x n. Sean nxmMB,A
4.1.- SUMA DE MATRICES
La matriz suma C = A + B es aquella cuyas entradas son las sumas de las entradas, esto
es n,......,jm,....,ibac ijijij 2121
Nota: para poder sumar dos matrices han de tener la misma dimensión.
Ejemplo:
425
113
113
012
312
101BABA
4.2.- PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ
Sea n,....,jm,....,iaAMAyR ijnxm 2121
Esto es, los elementos de la matriz ijaA se obtienen multiplicando los
elementos de la matriz A por el escalar R .
Ejemplo:
624
2022
312
1012 AA
4.3.- PRODUCTO DE MATRICES
El producto de matrices no siempre está definido. Para que dos matrices sean multiplicables, el número de columnas del primer factor tiene que coincidir con el de filas del segundo factor, y el matriz producto tendrá dimensión filas del primero por columnas del segundo, esto es:
pxmpxnnxm MBACMBMA
Se multiplican filas de la primera matriz por columnas de la segunda matriz.
p,.......,,jm,.......,,ibacBAC
MBACMBMA
n
k
kjikij
pxmpxnnxm
21211
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5
Ejemplo:
Puede existir el producto BA y no AB , y pueden existir ambos y no ser iguales. Por tanto, en general, el producto de matrices no es conmutativo. Curiosidad: Cuando se trata de números reales si el producto de dos factores es nulo entonces necesariamente al menos ha de ser nulo uno de los factores, esto es:
000 boaba
Sin embargo cuando se trabaja con matrices NO tiene porqué ser así, esto es
ByAyBA:Ejemplo
BoA que mente necesariaimplica no nula)(matrizBA
00
00
10
00
00
01
Ejemplo:
e realizarspuede noABBA
MBAMB,MABA xxx
237
132
120
113
012
312
101323332
Ejemplo:
26
68
2
1
0
3
2
1
141
301
2
1
0
3
2
1
141
301
222332
BA
MBAMB,MA
BA
xxx
781
541
301
141
301
2
1
0
3
2
1
, 332332
AB
MABMBMA xxx
22121211
1
2112
22221221
1
2222
bababac
bababac
n
k
kk
n
k
kk
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Ejemplo:
14
3
2
1
321
963
642
321
321
3
2
1
321
3
2
1
111331
333113
AB
)ºn(MABMA,MB
)simétrica(BA
MBAMB,MA
BA
xxx
xxx
Ejemplo:
ACI2C2
:unidad matrizla2 por ar multiplicde resultaque
C matrizla por A matrizla ar multiplicde también resultaA2 matrizla que Comprobar
A2A2 matrizla calcular ASea
226
604
422
113
302
211
200
020
002
200
020
002
226
604
422
113
302
211
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Suponiendo que las expresiones siguientes son posibles, se tiene que el producto de matrices verifica las propiedades siguientes:
1. Asociativa: CBACBA
2. En general No es conmutativo: ABBA 3. Existe elemento neutro (para matrices cuadradas)
AAIIA norden de unidad matrizIMA
diagonal la en 1 con escalar matriz.......II
nn
100
010
001
10
0132
4. Para matrices cuadradas: dada una matriz A de orden “n”, diremos que A tiene inversa, cuando existe una matriz B tal que:
nIABBA
A la matriz inversa B se la denota por 1A No siempre dada una matriz A ésta tiene inversa. Cuando A tiene inversa se dice que A es una matriz regular o invertible. Cuando no existe inversa, se denomina matriz singular.
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5. El producto de matrices es distributivo: CBCACBA
Teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones con matrices vistas anteriormente, se puede comprobar lo siguiente:
BoAentenecesariamimplicanoBA
CBAexistesiyCABA 1
BABA ser porqué tiene o n
BABBAABABABA
222
222
BABA
BABBAABABABA
2ser porqué tieneno 22
222
22
22
BA ser porqué tiene no
BABBAABABA
111 ABBA
DEFINICIÓN
Una matriz se dice ortogonal cuando la inversa coincide con la traspuesta tAA 1 Ejercicio: Calcular, a partir de la definición, la inversa de la matriz A:
2
10
11
102
112
2
112
002
02
12
10
01
22
22
22
22
20
21
20
21
1
1
2
111
Abdb
aca
dd
cc
db
ca
:entradas as respectivsus iguales son cuando iguales son matricesdos
dc
dbca
dc
dbca
dc
baAA
IAAAA :qie tal dc
baA calculemos A
Nota: para calcular la inversa, en general, no se utiliza éste procedimiento.
5. TRANSFORMACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ Dada una matriz cualquiera, son transformaciones elementales de dicha matriz las siguientes:
1. Cambiar dos filas entre si: cambia entre si las filas p y q
cambia entre si las columnas p y q
p q
p q
F
K
2. Multiplicar la fila o la columna por un nº 0a : "p" por " "
"q" por " "
p
q
a F multiplicar la fila a
a K multiplicar la columna a
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3. Sumar a la fila (columna) “p” la fila (columna) “q” multiplicada ésta por
el nº 0a :
" " " " " "
" " " " " "
p q pq
p q pq
F a F fila p fila q multiplicada por a F a
K a K columna p columna q multiplicada por a K a
Notación: qp bFaF significa que a la fila “p” multiplicada por el nº “a” le sumamos la
fila q multiplicada por el nº “b” Ejemplo de transformaciones elementales:
1 3 2 2 1
3 2
1 1 0 4 0 1 4 0 1 4 0 1
2 1 3 2 1 3 1 2 1 3 2 6 1 1
4 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0
4 0 1
6 1 1
7 2 1
F F F F
F F
MATRICES ELEMENTALES Son las matrices obtenidas sometiendo a la matriz unidad, del orden correspondiente, a una transformación elemental. Ejemplo de matrices elementales:
312
3 12 3 1 2
4 2
1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0
0 1 0 1 0 0 4 0 1 0 2 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 4 0 0 1E E
I E F F F
Dada una matriz cuadrada, cualquier transformación elemental por filas, se puede conseguir multiplicando dicha matriz por la elemental (a izquierda) correspondiente a dicha transformación. Si la transformación es de columna entonces se multiplica por la elemental correspondiente pero por la derecha. Ejemplo:
2121
2121
3
104
321
311
100
001
010
104
312
011
104
011
312
104
312
011
100
001
010
100
010
001
104
312
011
KEA
FAE
IA
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6. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ (REGULAR) Sabemos que, dada una matriz cuadrada A de orden “n”, diremos que A tiene inversa,
cuando existe una matriz B tal que: nIABBA
¿Cómo podemos obtener la matriz B denominada inversa de la matriz A?: Para calcular la inversa de la matriz A, el método de Gauss consiste en hacer transformaciones elementales en la matriz A para transformarla en la matriz unidad In. Estas mismas transformaciones elementales también las aplicaremos a la matriz unidad In, obteniéndose como resultado la inversa de la matriz A dada:
1 2 3 4 1 2 3 4
sucesivas transformacione elementales sucesivas transformacione elementales
1 2 3
........ ........
.....
n
n
A B I
E E E E A B E E E E I
E E E
n
4 1 2 3 4
I sucesivas transformacione elementales
1 2 3 4
sucesivas transformacione elementales
... ........
........
n
n n
E A B E E E E I
I B E E E E I
11 2 3 4
sucesivas transformacione elementales
........
la inversa de A es la matriz que resulta de aplicar esas mismas
transformaciones pero a l
nB E E E E I A
a matriz unidad nI
Ejemplo: calcular, por el método de Gauss la inversa de la matriz
20
21A
122 1 2 2 1
2
1
12
1 2 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1( 1)
0 2 0 1 0 2 0 1 0 1 0
1 1
0
A I F F F
A
Ejemplo: calcular, por el método de Gauss la inversa de la matriz
41
23A
2 2 1 1 2
6 321 21
1 121 141 2 31
14 14
6 3 6 121 21 21 71
3 31 114 14 14 14
3 2 1 0 3 2 1 0 21 0 6 33 7
1 4 0 1 0 14 1 3 0 14 1 3
1 0,
0 1
A I F F F F
F F
A
Ejemplo: calcular, por el método de Gauss la inversa de la matriz
353
231
012
A
Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo
10
574
463
231
574
463
231
100
010
001
10148
203015
203010
200
050
0010
5
10148
203015
001
200
050
012
2
10148
021
001
200
450
012
75
203
021
001
670
450
012
32
100
021
001
353
450
012
2
100
010
001
353
231
012
1
321
251
1101
21
3223
13123
A
F,F,FFF
FFFF
FFFFIA
7. ECUACIONES MATRICIALES
Son aquellas en las que intervienen matrices en lugar de números, se trata de buscar una matriz X que verifique la ecuación. Ejemplos: sean las matrices
31
21
11
12
43
11CBA
Obtener la matriz X en los siguientes casos: Ecuación 1: IBAX
despejamos la matriz X y luego hacemos las operaciones:
1
1
1
1
1111
43
11
43
11
10
01
11
12
2
A Calculamos
XAIBX
AIBAAXAIBAAXIBAXI
12
29
12
29
13
14
21
13
43
11
10
01
11
12
13
14
43
11
13
14
10
01
13
01
10
113
10
01
43
11
1
1
1
1
2112
XSolución X
AIBXLuego
A
FFFF
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11
Ecuación 2:
13
24
13
24
20
11
13
14
11
12
31
21
43
11
13
14
43
11
1
1
1
11
11
2
XSolución
BCAX
AcomoBCAX
BCAXAABCXACBXAI
8. SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES
Son aquellos en que intervienen matrices. Se resuelven análogamente a los sistemas de ecuaciones numéricos. Ejemplo: Obtener las matrices X e Y que verifiquen el sistema:
101
234
012
221
101
2343
012
2212
ByA sdenominamo
YX
YX
2Hacemos por reducción:
3
2 1Y 2
2 6 2 7
6 3 3 1X 3
3 7
1 2 2 4 3 2 1 3 41 1 1X 3 3
2 1 0 1 0 1 7 3 17 7 7:
4 3 21 1Y 2 2
17 7
X Y A
X Y B
X Y AB A
X Y B
X Y AA B
X Y B
A B
Luego
B A
1 2 2 9 8 61
0 1 2 1 0 0 1 27
1 3 4 9 8 61 1:
7 3 1 0 1 27 7Soluciones X Y
9. CÁLCULO DE POTENCIAS DE MATRICES
Dada una matriz A cuadrada, se trata de dar una expresión para la potencia n-ésima,
esto es, para NnA n
Ejemplo: Sea
11
11A Obtener 120A
Utilizaremos el método de inducción completa (Newton): 1º.- Calculamos las primeras potencias:
Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo
12
22
22
34
22
22
23
11
11
2
00
00
1
22
22
88
88
11
11
44
44
22
22
44
44
11
11
22
22
22
22
22
22
11
11
11
11
22
22
11
11
AAA
AAA
A
A
2º.- Damos una expresión para nA
AA nn
nn
nnn
11
11
11
211
112
22
22
Ejemplo: Sea
100
010
101
A Obtener nA
1º.- Calculamos las primeras potencias:
100
010
1011A
100
010
401
100
010
101
100
010
301
100
010
301
100
010
101
100
010
201
100
010
201
100
010
101
100
010
101
34
23
2
AAA
AAA
A
2º.- Damos una expresión para nA
100
010
01 n
A n
10. RANGO O CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes que tiene, es decir, el número de filas que no se pueden expresar como combinación lineal de las demás. Ejemplos:
Matemáticas 2º Bachillerato. Profesora: María José Sánchez Quevedo
13
El rango de matrices escalonadas, es el número de filas distintas de la fila (0,0,0,…….0)
TEOREMA DEL RANGO En cualquier matriz, el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes, es decir, el rango de una matriz y el rango de la transpuesta son coincidentes: ( ) ( )
11. MÉTODO DE GAUSS PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ Las transformaciones a las que sometemos una matriz al aplicar el método de Gauss no modifican el rango, por tanto para hallar el rango de una matriz podemos proceder a “hacer ceros” para transformar la matriz en una escalonada.
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14
Ejemplo: Calcular el rango de la matriz A
14271550
323426100
16171350
11131031
2
3
1
81512
15413
54321
11131031
11131031
15413
54321
81512
41
31
21
14
F
F
F
FA
00000
15100
16171350
11131031
00000
210200
16171350
11131031
210200
00000
16171350
11131031
1
232
134
42
32FF
F
F
A la vista del resultado podemos decir que el rango de la matriz M es 3, esto es:
3Mrg , 3 es el máximo número de filas o columnas linealmente independientes.
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