Take Home Test
Post on 06-Feb-2016
52 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
10. PENGENALAN
Matematik sememangnya satu ilmu yang hebat dan harus diterokai. Sejak dari zaman dahulu
lagi, matematik telah diguna pakai dalam segala bidang seperti bidang seni, bidang masakan,
sukan, perubatan dan sebagainya. Ilmu matematik sangat penting dalam kehidupan seharian
kita dan tidaklah hanya sekadar diatas kertas peperiksaan sahaja. Telah ramai ilmuan
matematik yang berusaha menerapkan matematik di dalam kehidupan mereka seperti
menggunakan nisbah emas dalam pembinaan bangunan dan menggunakan nombor Fibonacci
dalam seni lukisan. Sumbangan ilmuan-ilmuan terdahulu sangat membantu kita pada masa kini
dengan pelbagai formula yang tercipta. Matematik juga merupakan kegiatan budaya yang
berterusan. Kajian matematik yang digunakan oleh orang-orang yang berbeza telah
berkembang dan kini dikenali sebagai etnomatematik.
Bukan itu, sahaja, tanpa sedar, matematik sebenarnya sangat mempengaruhi teknologi
moden sejak dari dahulu sehingga kini. Menurut Kamus Dewan (2005), teknologi bermaksud
aktiviti atau kajian yang menggunakan pengetahuan sains untuk tujuan praktis dalam industri,
pertanian, perubatan, perniagaan dan sebagainya. Justeru itu, elemen matematik telah
digunakan didalam teknologi moden seperti pembinaan pesawat agar dapat terbang diudara,
penciptaan robot dan sebagainya.
1
2.1 PERANAN MATEMATIK DALAM TEKNOLOGI MODEN
Penerbangan pesawat merupakan satu seni dan sains bermula dengan masa berlepas
sehinggalah tiba di destinasi yang diingini dalam masa paling singkat tanpa kehilangan arah.
Seorang juruterbang yang baik hendaklah mengetahui beberapa perkara seperti berikut.
Antaranya ialah titik mula penerbangan, titik akhir penerbangan, arah pengembaraan, jarak
pengembaraan, ciri-ciri pesawat yang diterbangkan, kapasiti bahan bakar pesawat, maklumat
berat dan keseimbangan pesawat. Jika ciri-ciri tersebut dipertimbangkan semasa awal
merekabentuk pesawat, ia dapat membantu jurutera aeronotik untuk membina kapal terbang
yang lebih baik. Matematik telah digunakan dalam mengendalikan pesawat. Antaranya ialah,
Vektor: satu peringatan
Kuantiti vektor mempunyai magnitud dan arah. Ia boleh diwakili dengan geometri
menggunakan segmen sejajar dengan satu anak panah. Panjang vektor mewakili magnitud
dengan skala dan anak panah menunjukkan arah. Halaju merupakan salah satu contoh kuantiti
vektor.
Kelajuan udara, kelajuan tanah, kelajuan angin
Kelajuan pesawat boleh dipertingkatkan atau dikurangkan oleh angin. Ia merupakan
sebab untuk mengambil kira dua lagi kelajuan iaitu kelajuan tanah serta kelajuan udara.
Kelajuan tanah adalah kelajuan dimana pesawat bergerak di atas tanah. Manakala kelajuan
udara pula adalah kelajuan pesawat dalam berhubung dengan udara persekitaran. Kelajuan
angin adalah kelajuan fizikal bagi udara untuk ke tanah. Kelajuan udara, kelajuan angin dan
kelajuan tanah merupakan vektor kuantiti. Hubungan antara ketiga-tiga vector tersebut dapat
ditunjukkan melalui persamaan dibawah;
vg=va+vw
Ilmu pengetahuan tentang penerbangan sesebuah pesawat amat penting untuk
menjamin keselamatan. Salah satu operasi yang penting adalah operasi mencari dan
menyelamat. Sebagai contoh, terdapat mereka yang terperangkap di pergunungan dalam
cuaca yang buruk. Dengan menggunakan telefon bimbit yang dibawa, mereka memanggil
penyelamat untuk mendapatkan bantuan. Jadi, penyelamat akan menghantar helikopter untuk
menyelamatkan mereka. Dengan isyarat panggilan yang diterima daripada mereka yang
2
terperangkap, penyelamat dapat menentukan bearing daripada helikopter ke pergunungan
tersebut adalah 054°(lebih kurang utara-timur) dan anggaran jarak adalah lebih kurang 50km.
Justeru itu, matematik dilihat dapat membantu untuk mengesan kedudukan mangsa dan
memudahkan lagi operasi menyelamat dilakukan. Dengan adanya penggunaan bearing
tersebut, ia memudahkan para penyelamat untuk menyelamatkan mereka yang terperangkap.
Rajah 1
Diandaikan sebuah helikopter penyelamat boleh melakukan perjalanan dengan kelajuan
100 knot dan angin bertiup 20 knot pada bearing 180°. Knot adalah unit standard untuk
mengukur kelajuan pesawat. Knot adalah sama nilai dengan satu batu nautika sejam.
Rajah 2
3
Kelajuan tanah dan perjalanan
Rajah 3
Kita dapat mengenalpasti kelajuan tanah dengan cepat dan tepat menggunakan lakaran untuk
menunjukkan masalah yang dihadapi. Dengan mengambil kira kesan kelajuan angin, helikopter
perlu terbang kearah point B dimana lebih jauh ke arah utara berbanding kedudukan C. Dengan
menggunakan hukum kosine, kelajuan tanah akan diperolehi seperti dibawah;
c2=a2+b2−2abcosC
1002=202+b2−2×20×bcos126
b2−23.5b−9600=0
Dengan menggunakan persamaan kuadratik, penyelesaian dapat diperolehi dengan mengambil
nilai positif:
b=86.7knots ≈ 45m /sec
Setelah mendapat nilai kelajuan tanah, gunakan hukum sin untuk mengira arah untuk helikopter
tersebut lalui.
sin B=b sinCc
=86.7 sin 126100
¿44.7 degre
Dengan keputusan yang diperolehi, dapatlah disimpulkan bahawa sekirannya pesawat
mengambil arah 044.7° dengan kelajuan 100 knots dibawah kesan tiupan angin ke selatan, ia
sebenarnya mengurangkan kelajuan tanah pesawat kepada 86.7 knots dan bergerak pada
bearing 054°.
4
Masa penerbangan
Masa penerbangan adalah masa sebenar pesawat tersebut berada di udara bermula dari
tempat berlepas ke destinasi yang dituju. Masa penerbangan dikira (apabila kelajuan konsisten)
dengan menggunakan formula di bawah.
Masa= JarakKelajuan
Apabila anggaran jarak anatara A dan c ialah 50km dan kelajuan tanah adalah 45m/sec,
anggaran masa penerbangan 18 minit seperti yang telah ditunjukkan dnegan pengiraan di
bawah.
Masa=50×100045
=1111.11 sec ≈18min
Keperluan bahan bakar
Juruterbang menggunakan formula dibawah bagi menentukan jumlah bahan bakar yang
diperlukan semasa penerbangan.
Bahan bakar yang diperlukan (liter) = kadar penggunaan bahan bakar x masa penerbangan
(jam)
Berapa banyak dan berapa jauh pesawat menggunakan bahan bakar dikenali sebagai kadar
penggunaan bahan bakar. Dianggarkan kadar penggunaan bahan bakar pesawat adalah 600
liter/ jam dan ia boleh menyimpan 3200 liter bahan bakar. Jika masa penerbangan adalah 2
minit semasa berlepas dan 20 minit operasi menyelamat dan juruterbang tersebut mahu
membuat simpanan bahan bakar untuk 30 minit, jadi berapa lama masa yang boleh diambil
untuk proses mencari?
Masa yang diambil dari lapangan ke titik C
¿2+18+2=22minit
Masa yang diambil untuk pulang
5
¿22×2=44minit
Masa yang diambil untuk menyelamat = 20 minit
Jadi, jumlah masa ialah 64 minit.
Disebabkan juruterbang ingin menyimpan bahan bakar untuk 30 minit, jadi, ia perlu 300 liter
bahan bakar tinggal didalam tangki apabila helikopetr sampai ke lapangan. Jadi, juruterbang
hanya boleh menggunakan 2900 liter bahan bakar untuk melengkapkan misi menyelamat dan
ia akan berakhir pada 290 minit atau dianggarkan selama 4 jam 50 minit. Hal ini dapat dilihat
dimana, rumus matematik tersebut berperanan dalam embantu juruterbang membuat
persediaan yang rapi bagi mengelakkan kejadian yang tidak diingini berlaku seperti kehabisan
bahan bakar dan sebagainya.
masa penerbangan=2900600
=4.83 jam≈290minit
¿4 jam50minit
Kesimpulannya, matematik sangat penting dalam dunia penerbangan. Dengan matematik, ia
dapat membantu juruterbang untuk memandu mengikut arah yang betul. Disamping itu, dengan
matematik juga, ia dapat membantu untuk mengelakkan kejadian yang tidak diingini berlaku.
Sebagai contoh, dengan adanya formula untuk mengira jumlah bahan bakar yang diperlukan
untuk satu penerbangan, ia akan mengelakkan pesawat daripada menghadapi masalah
kekurangan bahan api semasa membuat penerbangan.
6
2.2 MATEMATIK SEBAGAI AKTIVITI BUDAYA BERTERUSAN
Matematik dan seni merupakan dua bidang yang saling berkait. Di dalam bidang seni,
penggunaan matematik sangat membantu bagi memperoleh hasil yang baik dan
mengagumkan. Perkaitan seni dalam matematik dapat dilihat melalui seni bina, seni lukis dan
seni muzik. Korelasi antara matematik dan seni dapat dilihat sejak dari zaman Mesir dan Greek
lagi iaitu penggunaan nisbah emas ataupun golden ratio dalam rekaan monument seperti
Piramid Mesir, Parthenon, dan Colloseum. Disamping itu, pada zaman dahulu, ramai pengiat
seni mengkaji matematik bagi memperhalusi seni rekaan mereka. Antaranya ialah Ploykleitos
yang merupakan pengukir terkenal tamadun Greek.
Matematik merupakan satu kajian tentang kuantiti, corak struktur, perubahan dan ruang.
Matematik juga merupakan penyiasatan aksiomatik yang menerangkan struktur abstrak
menggunakan logik dan simbol matematik. Ketika zaman Renaissance, kesedaran terhadap
hubungan matematik dan seni berada pada tahap yang ketara. Hal ini adalah kerana para
pelukis pada zaman tersebut berusaha mencari ilham bagi menghasilkan lukisan berimej tiga
dimensi diatas kanvas dua dimensi. Disamping itu, ahli falsafah serta para pelukis juga yakin
matematik merupakan intipati asas dan pengajian dunia fizikal dan alam semesta termasuk
seni.
Setiap tamadun zaman dahulu mempunyai budaya dan nilai tersendiri yang diterapkan
didalam seni bina masing-masing. Hal ini terjadi kerana dipengaruhi oleh kepercayaan, minat,
kecenderungan masyarakat serta topografi lokasi tamadun-tamadun tersebut. Namun begitu,
kesemua tamadun tersebut masih lagi mempunyai persamaan dimana tamadun-tamadun
terdahulu mengaplikasikan konsep matematik dalam seni bina. Zaman Renaissance
menunjukkan kesedaran yang padu terhadap hubungan matematik dan seni bina. Banyak
monumen dan bangunan yang menarik telah dibina berasaskan kepada konsep matematik.
Konsep simetri sering menjadi pilihan pereka seni dalam menghasilkan corak yang
cantik dan seragam. Hal ini dapat dilihat pada rekaan seni bina sesebuah bangunan sejak dari
zaman kuno lagi. Objek dikatakan bersimetri apabila ia mematuhi operasi simetri iaitu pantulan,
putaran dan transilasi. Elemen simetri telah lama digunakan di dalam mereka bentuk di serata
dunia dan gaya seni bina dan pengaruhnya sangat nyata pada bangunan-bangunan seperti
menara Pisa, Masjid Alhambra, Monticello, Astrodome, bangunan opera Sydney, tingkap gereja
Gothic dan Pantheon. Andrea Palladino telah menunjukkan hasil kerja yang baik dimana beliau
7
telah menonjolkan konsep simetri dalam seni bina. Baroque pula telah menggunakan
lengkungan dan bentuk yang digubah menggunakan konsep simetri dalam pelbagai binaan
seperti bilik, tiang, anak tangga dan dataran. Reka bentuk elemen asas bangunan juga banyak
banyak menggunakan simetri seperti pintu, tingkap dan perhiasan. Masayarakat cina pula telah
menggunakan simetri pada cetaka perunggu sejak abad ke 17 sebelum masihi lagi. Motif utama
dan corak yang diulang-ulang dapat dilihat pada penjana perunggu. Kaum asli Amerika Najavo
pula gemar menggunakan bentuk serongan tebal dan motif segi empat dalam rekaan mereka.
Pada masa kini, konsep fractal dimana satu konsep pengulangan bentuk menggunakan skala
yang berbeza dan merupakan salah satu pecahan konsep simetri telah digunakan untuk
menganalisis pelbagai bagunan bersejarah. Sehingga kini, konsep simetri dan fractal masih lagi
digunakan dalam seni bina. Kita dapat lihat konsep simetri pada bangunan-bangunan pada
masa kini seperti Menara Berkembar Petronas.
Nisbah emas juga merupakan satu aplikasi matematik yang popular dan sering
digunakan dalam seni bina, seni lukis dan seni ukiran. Nama lain bagi nisbah emas ialah
bahagian emas dan purata emas. Nisbah emas yang dianggarkan nilainya iaitu 1.6180339887
dan diperkenalkan oleh ahli matematik Yunani. Pythagoras dan Euclid. Hampir kesemua pelukis
dan arkitek telah berusaha terutamanya dalam bentuk segi empat emas iaitu nisbah sisi
panjang dan sisi yang pendek adalah nisbah emas. Bentuk-bentuk geometri yang diperoleh
daripada nisbah emas juga seperti segi empat emas, segi tiga emas dan segi tiga Kapler
memiliki keindahan dan keunikan yang menarik dari sudut kesenian. Justeru itu, banyak reka
bentuk hasil seni pada zaman purba mempamerkan kewujudan nisbah emas dan rekaan
mereka seperti pasu Mesir, Sumaria dan Greek, tembikar China, ukiran Olmec dan Greek dan
produk Mycenaean.
Monument keajaiban dunia seperti Piramid di Mesir juga turut menggunakan nisbah
emas. Kewujudan nisbah emas telah disedari dalam seni bina monumen kuno sejak kurun ke-
19 lagi. Nisbah emas paling ketara digunakan pada piramid yang dibina pada zaman firaun
Khufu. Lebar tapak piramid adlah 755-756 kaki dan tinggi strukturnya adalah 481.4 kaki.
Dengan menggunakan kaedah matematik, nisbah kecondongan struktur tersebut adalah
separuh lebarnya iaitu 1,619 iaitu kurang 1 peratus sahaja daripada nisbah emas. Masjid
Kairouan juga turut menggunakan nisbah emas. Penggunaan nisbah emas pada masjid ini
sangat konsisten dan ketara. Bentuk geometri bernisbah emas telah digunakan pada hampir
keseluruhan dimensi dan corak seni bina bangunan yang kebanyakannya dapat dilihat pada
ruangan solat dan mimbar masjid. Phidias pula telah diberi tanggungjawab untuk menghias
8
Parthenin. Beliau juga turut menggunakan nisbah emas dalam rekaannya. Malah simbol Greek
untuk nisbah emas dikenali sebagai Pi juga diambil bersempena dnegan nama beliau. Laman
serta lantai Parhenoan yang berbentuk segi empat emas merupakan antara aplikasi nisbah
emas dalam dalam seni bina bangunan tersebut. Frederik Macody Lund di dalam bukunya Ad
Quadratum turut mendedahkan seni bina berasaskan nisbah emas pada beberapa bangunan
keagamaan Kristian yang dibina pada kurun ke-12. Antaranya ialah Gereja Chartres, Greja
Katolik Loan, dan Gereja Katolik de Paris.
Nisbah emas juga turut digunakan oleh pelukis-pelukis pada zaman dahulu. Antaranya
ialah Salvador Dali yang telah menggunakan nisbah emas dalam lukisan yang dihasilkannya.
Leonardo da Vinci juga turut menghasilkan suatu ilustrasi polyhedron dalam De Divina
Proportione yang telah menunjukkan beberapa bahagian ilustrasi dalam nisbah emas. Para
pelukis terus berusaha mencari idea bagi menghasilkan lukisan perspektif tiga dimensi pada
kanvas dua dimensi. Perkembangan pesat dalam seni lukis berlaku pada zaman Reinaissance
di sebelah barat. Ibn al-Hatyam telah memberi penjelasan awal mengenai teori penglihatan iaitu
cahaya dipantulkan daripada objek ke dalam mata. Justeru itu, pelukis Renaissance telah
menggunakan idea tersebut dalam bidang seni. Pelukis Giotto telah menghasilkan lukisan yang
menunjukkan kesan kedalaman dengan mematuhi hukum perspektif garis lurus . Formula yang
tepat mengenai hukum perspektif garis lurus telah berjaya ditemui oleh Brunelleschi. Perkara
penting yang telah ditemui olehnya ialah pemahaman terhadap pengiraan yang
menghubungkait ukuran sebenar sesuatu objek dan ukurannya dalam gambar untuk
menghasilkan kesan ruang, kedalaman dan jarak tertentu dalam lukisan.
Piero della Francesca merupakan pelukis yang telah memberikan sumbangan kepada
perkembangan lukisan perspektif tiga dimensi. Leornado juga turut menggunakan pelbagai lagi
konsep matematik yang lain dalam hasil kerjanya. Beliau telah menggunakan konsep perspektif
garis lurus dalam lukisannya yang ‘Mona Lisa’ dan ‘The Last Supper’ yang telah mewujudkan
illusi jarak dalam lukisan tersebut. Beliau juga turut menggunakan segi empat emas dalam
lukisan Mona Lisa bagi mewujudkan matematik didalam lukisan beliau. Manakala tokoh
matematik dan seni grafik iaitu Mauritus Cornelis Escher telah menggunakan teori simetri dan
perspektif dalam menghasilkan kerja-kerja kreatifnya. Antara lukisan –lukisan struktur yang
sangat unik dan mustahil untuk wujud dalam dunia realiti ialah ascending and decending,
relativity, waterfall, up and down dan banyak lagi.
9
Matematik juga dapat dilihat pada arca-arca dimana mengaplikasikan bentuk-bentuk
polihedron. Masyarakat Greek merupakan orang pertama yang membuat arca menggunakan
aplikasi bentuk-bentuk polyhedron. Kemudiannya diteruskan masyarakat Islam dan China.
Antara tokoh terkenal yang mengaplikasikan polihedron ialah Abu Wafa, Piero della Francesca,
Pacioli, Leonardo Da Vinci Wenzel Jamnitzer dan Durer. Aplikasi polihedron juga turut
diaplikasikan ke dalam origami. Tomoko Fuse telah membuat perubahan kepada dunia origami
kepada perspektif matematik yang dikenali sebagai origami bermodul. Terdapat beberapa teori
matematik telah diperkenalakn dalam seni origami. Antaranya ialah teori Kawasaki dan Teori
Haga. Ini membolehkan polihedron sehingga 19 permukaan dibentuk dengan hanya
menggunakan kertas.
Seni muzik juga tidak ketinggalan daripada mendapat sentuhan matematik. Menurut
kajian, kanak-kanak yang bermain piano kebiasaanya memiliki aplikasi dalam permainan susun
suai gambar, permainan catur ataupun membuat kesimpulan matematik. Terdapat hubungan
yang penting antara not yang dimainkan dalam muzik dengan frekuensi setiap not. Muzik juga
dianggap sebagai zaman salah satu disiplin matematik yang melibatkan hubungan nombor,
nisbah, dan keseimbangan ketika zaman Greek kuno. Nombor Fibonaci dan nisbah emas
merupakan antara konsep matematik yang menarik yang diperkenalkan dalam muzik. Nisbah
emas dan nombor Fibonacci telah memudahkan mereka untuk mengubah lagu. Perancis Erik
Satie merupakan antara komposer dengan lagunya yang terkenal iaitu Sonneries de la Rose
Croix.
Sesungguhnya hubungkait seni dan juga matematik tidak dapat disangkal. Sejak dahulu
lagi, konsep matematik telah banyak digunapakai samada dalam seni bina, seni lukisan
ataupun seni muzik. Bagi menghayati keindahan matematik sebagai suatu seni, matematik
seharusnya dilihat dengan meneroka keajaiban dunia. Dan tidak sekadar hanya lulus dengan
cemerlang.
10
3.1 PENGHAMPIRAN ARCHIMEDES BAGI PI
Pi atau pai adalah pemalar matematik iaitu π ≈3.14159 ialah nisbah ukur lilit sebuah bulatan
kepada diameternya dalam ruanagan Euclid dan sering dignakan dalam matematik, fizik dan
kejuruteraan. Ia juga dikenali sebagai pemalar Archimedes(bukan nombor Archimedes) dan
nombor Ludolph. Pi juga merupakan nombor nyata dengan nilai (8 tempat perpuluhan)
3.14159265. Kadang-kadang nilai pecahan 227
digunakan sebagai penghampiran untuknya.
Kedua-dua kaedah yang diperkenalkan oleh Archimedes dan Liu Hui menggunakan poligon
sama sisi yang dilukis di dalam bulatan. Archimedes kemudiannya memperkenalkan kaedah
poligon di luar lilitan bulatan sebagai pengayaan kepada kaedahnya. Kedua-dua mereka
memperkenalkan Prinsip kepenatan iaitu mengatakan sisi polygon akan mencapai satu tahap di
mana sisi-sisinya akan menjadi sangat pendek dan akan sama dengan lilitan bulatan. Beliau
telah menghitung nilai pi berdasarkan kepada prinsip matematik selain menggunakan pengiraan
lilitan, luas dan diameter bulatan secara terus.
Kaedah 1:
Beliau telah mengabungkan bulatan dan polygon sehingga berjaya mengitung julat nilai pi iaitu;
3+ 1071
<π<3+ 17
Π didefinasikan sebagai nisbah yang mengelilingi C dengan diamaternya d. nisbah Cd
bernilai
konsisten dan tidak bergantung kepada ukuran lingkaran sesuatu bulatan.
11
Rajah 4
Rajah 5
Merujuk kepada rajah diatas, terdapat segi empat sama, ABCD didalam bulatan. Oleh
kerana nisbah lilitan kepada diameter adalah sama bagi semua bulatan, jejari bulatan dipilih
sebagai r=1. Oleh yang demikian, pepenjuru segi empat sama itu , iaitu garis bintik pada rajah
12
ialah diameter bulatan, 2r=2. S ditandakan sebagai panjang setiap sisi supaya segi tiga tepat
ABD mempunyai dua sisi yang panajngnya s dan hipotenus yang panjangnya 2. Justeru itu
dnegan menggunakan teorum petagoras, s=√2. Akhirnya perimeter segi empat sama itu ialah
P=4s= 4√2. Perimeter segi empat sama memberikan anggaran pertama lilitan bulatan secara
kasar. Dengan menggantikan lilitan dengan perimeter, rumus yang akan diperolehi ialah
π= lilitandiameter
=4√22
=2√2=2.828427125
Penghampiran π sebagai 2.8284 sangat tidak tepat. Justeru itu, bilangan sisi poligon
akan digandakan. Dalam setiap langkah gandaan tersebut akan menjadikan jawapan yang
diperolehi menjadi lebih tepat. Rintangan utama cara ini ialah menentukan bagaimana
perimeter salah satu daripada polygon berkait dengan perimeter poligon yang berikutnya.
Ringan tersebut boleh diatasi dengan menggunakan teorem pethagoras yang lain.
Rajah 6
Rajah diatas menunjukkan sebahagian bulatan dengan pusat O dengan jejari r=1. Garis
AB dengan panjang a ialah sisi n-gon terterap dengan sekata. Dengan membahagi AB di D dan
melukis jejari melalui D. Segitiga ADO ialah segitiga tepat dengan hipotenes r=1 dan kaki AD
dengan panajng (12
)a. jika panjang kaki OD diwakili oleh x,maka teorem Pythagoras menjamin
bahawa:
13
12=(12 a)2
+x2=a2
4+x2→x2=1−a
2
4→x=√1−a24
Disebabkan panjang CD menunjukkan perbezaan antara panjang OC(satu jejari) dengan OD,
dapatlah disimpulkan bahawa panjang CD ialah
1−x=1−√1−a24Pada bahagian berlorek ADC akan menghasilkan,
b2=( 12 a)2
+(1−x )2=a2
4+1−2x+x2
¿ a2
4+1−2√1−a24 +1−a
2
4=2−2√1−a24
Oleh kerana sebutan a2
4batal, ungkapan tersebut dimudahkan dengan menggerakkan 2 dari
luar ke dalam radikal dengan menggandadua semasa proses tersebut untuk mendapatkan
b2=2−2√1−a24 =2−√4(1−a24 )=2−√4−a2
Dan akhirnya rumus yang diperoleh ialah
b=√2−√4−a2
Berdasarkan kepada rajah 2, sisi segi empat sama ditulis sebagai s=√2. Ia akan memainkan
peranan a apabila rumus diatas digunakan untuk mengitung sisi oktagon terterap sekata.
b=√2−√4−a2=√2−√4−¿¿¿¿
Jadi, perimeter oktagon ialah 8 xb=8√2−√2 dan π dianggar sebagai.
π= lilitandiameter
= perimeterdiameter
=8√2−√22
=4 √2−√2=3.061467459…
14
Seterusnya pergi kepada 16-gon. Kini a=√2−√2, iaitu sisi octagon yang telah ditentukan akan
digunakan untuk mendapatkan b, iaitu sisi 16-gon
b=√2−√4−a2 ¿√2−√4−¿¿¿¿
¿√2−√4−¿¿¿ ¿√2−√2+√2
Jadi, perimeter 16-gon ialah,
16 xb=16√2−√2+√2
Dengan anggaran π yang lebih baik iaitu
π= CD
= perimeterdiameter
=16√2−√2+√22
=8√2−√2+√2=3.121445153…
Dengan menggunakan pengandaan dan rumus, maka terhasilalah 32-gon terterap dalam
sekata sebagai
32√2−√2+√2+√2
Agar
π= CD
= perimeterdiameter
=16√2−√2+√2+√2=3.136548491…
Gandaan boleh terus dibuat untuk mencari nilai π yang lebih hampir. Terbuktilah 4096-gon
adalah sekata walaupun tidak sekena dengan bulatan yang ia terterap dalam tetapi ia agak
hampir. Anggaran π adalah terhasil seperti berikut;
π= CD
= perimeterdiameter
=2048√2−√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2+√2
=3.141594618…
Penggunaan PI
15
Nisbah ukur lilit kepada diameter sesuatu bulatan diwakili sebagai simbol π. Contoh formula
Matematik yang menggunakan Pi ialah bagi mencari isipadu silinder, luas bulatan. PI turut
digunakan dalam kehidupan manusia dimana antaranya ialah pembinaan piramid Besar Giza
atau turut dikenali sebagai piramid khufu. Pyramid ini dibina pada dimensi yang sangat
istimewa. Penglibatan nilai pi dalam dimensi utama menunjukkan ketepatan yang hampir
kepada nilai pi. Disamping itu, pi juga digunakan semasa pembinaan terowong. Keluasan dan
kestabilan lengkung perlu dikira dengan teliti. Contohnya, ketinggian terowong di Genting
Sempah adalah dengan jejari sepanjang 26 kaki . Jadi, jurutera perlu membina lakaran dimana
mengaplikasikan penggunaan pi dalam menentukan keluasan terowong. Nilai pi tersebut perlu
digunakan bagi mendapatkan ukuran yang tepat.
Selain itu, pi juga turut digunakan dalam bidang pemakanan seperti semasa membuat pizza.
Contohnya seorang pembuat pizza perlu membuat pizza dimana keju perlu diletakkan di
sekeliling pizza. Jadi beliau perllu mengetahui ukur lilit satu pizza . sekeping pizza dianggarkan
berdiameter 10cm dan setiap satu memerlukan 2 keping keju. Pembuat pizza tersebut perlu
mengaplikasikan penggunaan pi bagi menentukan jumlah ukur lilit bagi kesemua pizza dan
bilangan keju yang diperlukan.
Pi juga turut digunakan dalam bidang sukan dimana melakar kawasan penjaga gol oleh kedua-
dua pihak kerana kawasan tersebut menggunakan semi bulatan. Penggunaan pi ini turut
diaplikasi pada gelanggang-gelanggang lain seperli gelanggang bola jarring, bola tampar dan
sebagainya. Pi juga turut digunakan ndalam bidang perindustrian. Contohnya pengeluar getah
paip . diameter paip yang biasa digunakan ialah 13mm, 20mm dan 25mm. Jadi pengeluar getah
paip perlu mengambilkira diameter getah paip yang biasa digunakan untuk mengetahui ukur lilit
paip tersebut menggunakan nilai pi.
Kaedah 2:
Antara kerja Arcimedes yang paling popular ialah The Measurement of a Circle yang
menyatakan bahawa lilitan mana-mana bulatan melebihi tiga kali ganda dengan kurang
daripada 17
tetapi lebih daripada 1071
. Lilitan bulatan terletak diantara perimeter poligon sekata
bersisi n terterap dalam. Demonstrasi ini dikenali sebagai method exhaustion. Dalam
menganggar nilai yang sesuai untuk pi, Archimedes terus terterap dalam dan terterap lilit
poligon yang sekata dengan sisi 6,12,24,48 dan 96 dalam dan luar bulatan.
Berikut adalah langkah-langkah pengiraan nilai pi oleh Archimedes
16
A. Pengiraan Perimeter Poligon di Luar Bulatan
Rajah 7
Andaikan:
AB = Diameter sesuatu bulatan
O= Pusat bulatan
AC = Tangent A sudut AOC
= 13
daripada sudut tegak
Seterusnya
OA:AC [=√3 ;1¿>265: 153OA:AC > 265:153… (1)
dan OC:CA [=2:1]= 306:153… (2)
Langkah pertama:
Lukiskan OD yang membahagi sudut AOC kepada separuh dan menemukan AC di D
Sekarang,
CO:OA =CD:DA (Teorem Euclid)
COOA
=CDDA
Supaya
CO+OA : AO=CA :DA
17
CO+OAOA
= CADA
Atau
CO+OA :CA=OA : AD
CO+OACA
=OAAD
Daripada (1) dan (2)
OADA
=CO+OACA
=CODA
+OACA
OADA
> 306153
+ 265153
OADA
> 571153
Maka,
OA :AD>571 :153… (3)
Dengan menggunakan theorem Pythagoras,
OD2: AD2[¿ (OA 2+AD2 ) :AD2]
OD2
AD2=OA
2+AD2
AD2
OD2
AD2=5712+1532
1532
OD2
AD2 >34945023409
Supaya
OD :DA>591 18:153
Langkah kedua
Lukiskan OE supaya membahagi sudut AOD kepada dua dan menemukan AD pada E
18
Kemudian,
DO :OA=DE : AE
DO+OAOA
=DE+EAEA
=DAEA
Maka,
DO+OADA
=OADA
Melalui (3) dan (4)
OAAE
>591
18+571
153
OAAE
>1162 18:153
Oleh itu,
OAAE
>1162 18:153……(5)
Dengan menggunaka theorem Pythogoras,
oe2
ea2>¿¿
oe2
ea2>1350534
3364
+23409
23409
oe2
ea2>1350534
3364
23409
oe2
ea2>1172
18
153
Dengan ini;
OE : EA>1172 18:153… (6)
19
Langkah ketiga
Lukiskan OF untuk membahagi sudut AOE kepada separuh dan emnemukan AE pada F
Daripada (3) dan (5)
OA:AF¿……(7)
Oleh itu,
OF2 :FA2>{¿
¿5472132 116:23409
Maka, OF :FA>2339 14:153… (8)
Langkah keempat
Biar OG membahagi sudut AOF kepada separuh dan menemukan AF pada G daripada (7) dan
(8),
FGAG
=OFOA
AFAG
=OF+OAOA
OAAG
=OFAF
+OAAF
OAAG
>2339
14+2334 1
4153
¿4673
12
153
Maka,
20
Sekarang sudut AOC (1/2 Daripada sudut tegak, telah dibahagikan kepada separuh sebanyak
empat kali dan
sudut AOG= 148daripada satu sudut tegak
Jadikan sudut OAH pada sisi OA yang lain sama dengan sudut AOG dan biarkan GA yang
terhasil menemukan OH pada H. Maka,
sudutGOG= 124daripada satu sudut tegak
Jadi, GH merupakan salah satu sisi daripada poligon sekata yang mempunyai 96 sisi di luar
bulatan.
Sejak
OA :AG>4673 12: 153
dan
AB=20 A ,GH−2 AG
Diikuti oleh,
AB : ( perimeter poligon96 sis ) ¿
AB : ( perimeter poligon96 sis ) ¿
Tetapi , lilitanbulatandiameter
< perimeterdiameter
14688
467312
<3+667
12
467312
21
14688
467312
<3 17
Oleh itu, lilitan bulatan yang kurang daripada perimeter polygon adalah kurang daripada 3 1/7
kali diameter AB, π <3 1/7
Rajah 8
Andaikan,
AB= diameter sesuatu bulatan AC menemukan bulatan
=13
daripada sudut tegak BC disambungkan
Kemudian,
ACCB
=√31
√3< 1351780
Maka,
AC: BC <1351:780
Langkah pertama
22
Biar AD membahagi sudut BAC kepada separuh dan menemukan BC pada d dan menemukan
bulatan pada D. Sambungkan BD
Maka ,
Sudut BAD = sudut dAC = sudut dBD
Sudut pada D dan C adalah sudut tegak. Dengan itu, segi tiga ADB, [ACd] dan BDd adalah
sama.
Dengan ini
AD:DB=BD:Dd=AB:Bd(Theorem Euclid VI,3)
AD:DB= (AB+AC)Bd+Cd)
AD:DB= (AB+AC):BC
Atau (BA+AC):BC=AD:DB
Tetapi
ACBC
=21=1560780
Disebabkan
ADDB
=BA+ACBC
ADDB
= BABC
+ ACBC
ADDB
=21+ 1351780
ADDB
=2911780
Maka, AD:DB <2911:780.. (1)
Seterusnya, AB2=AD2+BD2
23
AD2
BD2=A D 2
BD2 +1
AB2
BD2<29112
7802+1
AB2
BD2<9082321608400
ABBD
<3013
34
780
Maka, AB:BD < 3013 ¾:780….(2)
Langkah 2
Biarkan AE membahagi dua sudut BAD kepada separuh dan emenmukan bulatan pada E.
Sambungkan BE
Daripada
AEEB
= AB+ADBD
AEEB
<3013
34
780+2911780
AEEB
<5924
34
780
AEEB
< 30131823240
Maka,
AE:EB <1823:240… (3)
Daripada (2),
24
AB2=AE2+BE2
AB2
BE2= AE2
BE2+1
AB2
BE2=1823
2
2402+1
AB2
BE2=1838
911
2402
Maka,
AB :BE<1838 911:240… (4)
Langkah 3
Biarkan AF membahagi sudut BAE kepada separuh, menemukan bulatan pada F
Daripada (3) dan (4),
AFFB
=BA+AEBE
AFFB
= ABBE
+ AEBE
AFFB
=3661
911×1140
240 X1140
AFFB
< 100766
Maka, AF:FB <1007:66… (5)
Seterusnya seperti diatas
25
AB2=AF2+BF2
AB2
BF2= AF2
BF2+1
AB2
BF2=1007
2
662+1
AB2
BF2=1009
16
66
Langkah 4
Biarkan AG membahagi sudut BAF kepada separuh, menemukan bulatan G daripada (5) dan
(6),
AGGB
=BA+AFBF
BABF
+AFBF
<2016
16
66
Maka,
AG :GB<2016 16:66
Dan
AB2=AG2+BG2
AB2
BG2=AG2
BG2+1
AB2
BG2<¿¿
26
AB2
BG2<4069284
136
4356
ABBD
<2017
14
66
Maka, BG: AB > 66:2017 ¼…..(7)
Sudut BAG, hasil pembahagian sudut BAC kepada separuh, sebanyak 4 kali atau satu pertiga
daripada sudut tegak adalah persamaan dengan 1/48 daripada sudut tegak. Manakala 1/24
daripada sudut tegak adalah sudut tengah BOG. Jadi, BG adalah salah satu daripada sebuah
sisi poligon sekata bersisi 96 sisi dalam bulatan
Daripada (7)
( perimeter poligon ) : AB>96 X 66 :2017 14
( perimeter poligon ) : AB>6336 :2017 14
Dan
6336
201714
>3 1071
Merujuk
31071
<π<3 17
27
3.2 PENENTUAN LUAS BULATAN ARCHIMEDES
Luas bulatan dapat dikira dengan emnggunakan rumus πr2. Keseluruhan proses yang
dilakukan oleh Archimedes dipanggil exhaustion. Luas bulatan adalah had kepada luas poligon
didalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidakterhinggaan. Luas polygon dengan sisi
n(n-gon) yang dilukis didalam bulatan menghampiri suatu nilai iaitu π apabila n meningkat.
Perimeter poligon juga semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi polygon
meningkat. Archimedes cuba menentukan luas bulatan menggunakan poligon dengan bilangan
sisi polygon ditingkatkan sehingga menjadi sisi n.
Berikut adalah contoh pengiraan luas heksagon didalam bulatan
28
Katakan AB =r dan tinggi segitiga sebagai h. pengiraan bagi menentukan tinggi segi tiga ialah
h2+( r2)2
=r2
h2+ r2
2
=r2
h2=3 r4
2
h=√3 r2
maka luas hexagon ialah = 6x luas segi tiga dimana pengiraannya ialah :
¿6× 12×tapak×tinggi
¿6× 12×r×h
Masukkan h=√3 r2
kedalam persamaan diatas,
¿6× 12×r× √3 r
2
29
¿6( √3 r2
4)
¿ 3√3 r2
2¿
¿2.5981 r2
Bagi mengira luas bagi octagon didalam bulatan pula,
Rajah 9
Katakana AB=r. Berikut adalah pengiraan bagi menentukan tinggi satu segi tiga. Jadikan tinggi
sebagai h.
30
sin 22.5 °=ar
a=0.3826 r
kos 22.5°=hr
h=0.9239 r
luas segi tiga ABC=a×h
luas segi tiga ABC=0.3826 r ×0.9239 r
luas segi tiga ABC=0.35 r2
luas segi tiga ABC=2.8 r2
Cara yang sama boleh digunakan dalam mencari luas polygon lain didalam bulatan. Justeru itu,
luas bagi poligon sisi n adalah n kali luas satu segitiga seperti yang ditunjukkan dibawah;
A=n 12(hb)
31
Seterusnya bagi luas bagi icosikaitetragon yang mempunyai 24 isi dikira.
Dikatakan bahawa AB=r. seterusnya pengiraan menentukan tinggi satu segi tiga dikira dan
jadikan tinggi yang diperoleh sebagai h.
sin 7.5 °= cr
c=0.1305 r
kos 7.5°=hr
h=0.9914 r
luas segi tiga ABC=c ×h
luas segi tiga ABC=0.1305 r ×0.9014 r
luas segi tiga ABC=0.13 r2
Jadi, luas icosikaitetragon
32
A=24×0.13 r 2
A=3.12r 2
Apabila bilangan n-sisi bertambah,
A=n 12
(hb )=12h (nb)
Nb adalah perimeter sesuatu polygon. Semakin meningkat bilangan n, maka ia menghampiri
lilitan bulatan iaitu 2πr. Menurut Archimedes, sekirannya poligon tersebut mempunyai sisi n,
maka setiap segitiga dikira sebagai 1n
daripada lilitan bulatan disamping tinggi segitiga , h , juga
akan turut menghampiri jejari bulatan, r. Dapatlah disimpulkan disini bahawa, semakin
bertambah bilangan poligon, maka luas poligon tersebut akan menghampiri dan memenuhi luas
bulatan. Justeru itu, Archimedes telah menentukan luas bagi bulatan ialah;
A=12h (nb )≈ 1
2r (2 πr )=πr2
Nilai π digunakan dalam menentukan luas bulatan dimana wujud sebagai nisbah lilitan bulatan
kepada diameter bulatan.
Aplikasi luas bulatan dalam konteks sebenar
Bagi kolam renang yang tidak berbentuk petak, formula luas digunakan bagi mendapat luas
bagi kolam renang tersebut. Justeru itu, rumus bulatan arcemedes akan digunakan.
Seterusnya, penggunaan rumus tersebut dapat dilihat pada penghasilan botol minuman. Bagi
menentukan saiz yang sesuai dengan muncung botol minuman, penggunaan luas bulat
digunakan bagi menentukan saiz tersebut.
Penggunaan luas bulatan turut terdapat pada bidang sukan iaitu semasa membina gelanggang
bola keranjang. Hal ini adalah kerana untuk mendapatkan ukuran yang tepat terutamanya
ukuran pada bulatan tengah. Dalam pembuatan glob, luas bulatan turut digunakan. Para saintis
33
telah mengaplikasikan penggunaan formula bagi luas permukaan sfera bagi menghasilkan glob
agar replika tersebut menyerupai ukuran yang sebenar. Jadi, semua glob yang dihasilkan
mempunyai skala yang sama.
3.3 PARADOK ZENO
Paradoks zeno ini terkenal dalam sejarah Yunani dan juga matematik kerana orang Yunani
gagal menjelaskan paradox ini. Paradox yang dianggap seakan-akan keperluan untuk
percangahan atau kemustahilan. Antinomy merupakan satu paradoks yang timbul secara logik.
Paradox boleh diketegorikan sebagai paradox logic, paradox infiniti, paradox pengetahuan,
paradox bahasa dan paradox diri rujukan. Keempat-empat paradok tersebut merupakan
paradox yang sama tetapi bukan yang sebenar.
Paradoks Achilles dan kura-kura
34
Didalam paradox ini, Archilles dan juga kura-kura akan berlumba. Archilles
membenarkan kura-kura untuk memulakan larian 100 meter lebih kehadapan. Setiap pelari
akan memulakan larian dalam kadar yang konsisten. Kemudian selepas beberapa lama,
Archilles telah berlari sejauh seratus miter dimana tempat kura-kura memulakan larian. Namun
begitu, pada masa tersebut, kura-kura telah berlari sejauh 10 meters, dan ini menyebabkan
Archillers perlu menambahkan masanya untuk berlari pada jarak tersebut. Namun begitu kura-
kura akan tetap lebih jauh. Ini menunjukkan bahawa, walaupun Archilles telah sampai dimana-
mana kura-kura tersebut telah berada, namun dia perlu pergi lebih jauh.
Paradox ini menekankan bahawa walaupun pelari pantas telah berada pada kedudukan pelari
yang lambat, namun begitu plari lambat sudahpun bergerak ke titik yang seterusnya. Zeno
menyatakan bahawa perjalanan Achilles boleh dibahagikan kepada beberapa bahagian yang
tidak terhingga. Menurutnya, garisan masa boleh dibahagikan kepada beberapa bahagian yang
tidak terhingga tetapi tidak bagi selang masa.
Berikut adalah hujah-hukah yang diketengahkan oleh ahli falsafah matematik dalam
menyangkal paradox Archilles dan kura-kura ini.
Hujah 1:
Archilles melalui jarak yang tidak terhad untuk megejar kura-kura
100m+50m +25m+12.5m+6.25m+…
Namun begitu, jumlah jarak tidak terhad adalah satu jumlah jarak yang terhad. Tetapi Zeno
mengatakan bahawa jarak yang dilalui Archilles adalah jarak yang tidak terhad.
Buktinya:
a=100mr=12n=∞
Jadi, janjang geometri akan digunakan untuk mencari jarak yang tidak terhad.
s∞=a1−r
¿ 100
1−12
35
¿200meter
Jadi, jumlah yang tidak terhad sepertimana yang dikatakan oleh zeno merupakan jumlah jarak
yang terhad. Sebelum janjang geometri ditemukan, paradox ini telah dikeluarkan. Jadi, apabila
terdapat janjang, ia telah menyangkal paradox Zeno ini.
Paradoks panah
Merupakan salah satu paradox Zeno dari Elea. Paradox ini membuat pertimbangan
mengenai anak panah dalam penerbangan. Masalah timbul apabila anak panah berada di
angkasa. Antara masalah tersebut ialah jika anak panah berada pada titik tertentu,
bagaimanakah anak panah tersebut bergerak? Masalah yang kedua ialah jika ianya tidak
bergerak, bagaimana ia mendapatkan dari titik ke titik dalam peredaran masa?
Hujah 1:
Jika anak panah berterbangan bergerak pada jarak d=20 meter dalam masa,t=4 saat
Halaju anak panah:
v=dt
¿ 20m4 s
¿5ms−1
Anak panah yang terbang pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai;
Jarak, d=0 meter seperti yang telah dikatakan oleh Zeno sebenarnya mempunyai jarak d yang
boleh dikira..
d=vt
¿ (5ms−1 ) (1 s)
¿5m
36
Ini menunjukkan bahawa terdpaat pergerakan pada sesuatu ketika dimana pada waktu itu, anak
panah sebenarnya sedang bergerak. Realitinya, ruang dan masa adalah berasingan.
Paradox Stadium
Paradox ini adalah berkenaan dengan badan-badan yang bergerak pada arah yang
bertentangan dengan kelajuan yang sama. Zeno berfikir bahawa dua kelajuan yang sama
seperti setengah kelajuan. Jika kita lihat gambar dibawah, terdapat 3 buah barisan benda iaitu
A, B dan C. barisan A diletak di tengah manakala barisan B dan barisan C diletakkan diantara
kiri dan kanan A. Barisan B dan C akan bergerak untuk berada sebaris dengan A dengan
kecepatan yang sama . Namun begitu, titik C paling kiri melalui dua buah B tetapi satu buah A.
ini bererti waktu C untuk melalui B adalah setengah waktu untuk melalui A.
Hujah:
Penyelesaian matematik untuk paradox Stadium adalah:
Halaju B menuju A ¿ sm s−1
Halaju C menuju A ¿ sm s−1
Halaju C menuju B ¿2ms−1
Jarak unutk menghabiskan pergerakan ¿2Dm(2kereta /unit )
Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan
37
¿ 2Dm2S s−1
¿ DmS s−1
1unit waktu(s)
Realitinya ruang dan masa tidak boleh dibahagikan
Zeno dan gurunya mempunyai pendapat yang sama mengenai pergerakan dan alam semesta.
Paradoks Dikhotomi (pembahagian)
Sebelum objek yang bergerak melakukan perjalanan jarak, tertentu, ia mesti melalui
setengah daripada jarak tersebut. Namun begitu, sebelum bergerak setengah jarak, objek
tersebut mesti berjalan ¼ daripada jarak tersebut. Ia akan berterusan selama-lamanya seperti
objek asal tidak dapat mengembara dan mustahil untuk bergerak.Homer ingin pergi kearah bas
yang tidak bergerak, sebelum dia sampai kesana, dia mesti melalui separuh perjalanan.
Sebelum dia dapat sampai ke separuh perjalanan, dia perlu melalui sepertiga perjalanan.
Sebelum dia sampai ke sepertiga perjalanan, dia mesti melalui seperlapan dan seterusnya.
Keputusan sekuen ditunjukkan seperti berikut,
38
Sekuen ini juga menunjukkan maslaah kedua dimana tiada jarak pertama untuk berlari.
Kesimpulan bagi paradoks ialah, perjalanan untuk mencapai mana-mana jarak terhad boleh
tidak selesai ataupun bermula.
Ahli matematik dan falsafah moden telah mengemukakan hujah yang dapat menyangkal
paradox zeni ini:
Urutan 1 ,12,14,19
dan lain-lain mempunyai had kepada 0
Urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had kepada 1
Apabila kita menulis 0.99999…., ianya bermaksud had nombor 9 adalah sehingga
infiniti, maka 0.9999...≈1
Ini menunjukkan urutan yang sebenarnya akan menghampiri had yang kita kehendaki.
Rajah 10
39
3.4 PENYIASATAN LENGKUNG KUBIK NEWTON
Pada 4 Januari 1643, Sir Isaac Newton telah dilahirkan di Woolsthorpe-by-Colsterworth. Beliau
telah mempelajari falsafah Decartes, Gassendi, Hoobles dan Boyle. Penemuan pertama
Newton adalah tentang cahaya putih yang sebenarnya wujud berdasarkan pembiasan tujuh
jenis warna yang terdapatpada pelangi. Pencapaian terbesar beliau adalah mengenai
pengkelasan lengkung kubik pada akhir abad ke tujuh belas. Beliau telah menemui 72 lengkung
yang berbeza. Beliau menyatakan bahawa semua kubik boleh dihasilkan melalui lima unjuran
parabola kubik yang berbeza.
Newton menunjukkan bahawa mana-mana kubik boleh didapati dengan unjuran yang sesuai
bagi lengkung eliptik dengan persamaan dibawah;
y2=ax3+bx2+cx+d
40
Unjurannya adalah transformasi birational dan kubik umum boleh ditulis sebagai;
y2=x3+ax2+b
Persamaan newton bagi kelas pertama adalah;
xy2+ey=ax3+bx2+cx+d
Trident of Newton merupakan lengkungan Newton yang ke 66. Newton telah mengenalpasti
beberapa tingkahlaku kualitatif yang mungkin wujud melalui lengkungan yang ada persamaan
seperti dibawah. Persamaan umum lengkung kubik ialah,
ax3+bx2 y+cxy2+dy3+cx2+ fxy+gx2+hx+iy+ j=0
Dimana a,b,c…j merupakan perimeter tetap manakala x dan y adalah pembolehubah.
Sekurang-kurangnya satu pekali a hingga d adalah bukan sifar agar ia dapat membentuk
lengkungan kubih yang sah. Kajian boleh dibuat dengan mengaplikasikan pengetahuan
mengenai kalkulus dan aljabar seperti berikut. Berdasarkan daripada pesamaan diatas, 72 jenis
lengkung kubik telah dicipta.
Berdasarkan daripada persamaan umum tersebut, Newton telah memecahkan kepada 4 jenis
persamaan iaitu:
Jenis 1: Witch og Agnesi
Jenis 2: Newton’s Trident
41
Jenis 3: Newton Diverging Parabolas
Jenis 4: Cubic Parabolas
42
43
Permukaan dalam ruang tiga dimensi telah diperkenalkan oleh Alexis Claude Clairaut setelah
beliau menjalankan penyiasatan terhadap jenis III isitu Newton Diverging Parabolas.
44
Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid. (d) Deltoid. (e) Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli. (g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve. (j) Fermat's spiral. (k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid."> Plane curves. (a) Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid. (d) Deltoid. (e) Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli. (g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve. (j) Fermat's spiral. (k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid.
Aplikasi lengkung kubik
Lengkung kubik telah digunakan didalam lukisan yang dihasilkan oleh St. James sehingga
lukisan tersebut kelihatan seolah-olah 3 dimensi.
4.0 PENUTUP
Matematik sememangnya sangat penting dalam kehidupan kita. Dengan adanya matematik,
kehidupan manusia menjadi lebih berstruktur dan sistemnatik. Disamping itu, matematik juga
banyak digunakan dalam kehidupan seharian tidak kiralah dalam apa jua bidang termasuklah
dalam bidang seni bina, lukisan, masakan, perniagaan dan sebagainya. Melalui rumus-rumus
matematik yang telah dicita, kehidupan manusia pada masa kini menjadi lebih mudah.
Contohnya, bagi memudahkan seorang tukang masak menyediakan barangan untuk membuat
kek, matematik dapat membantu beliau untuk menganggar.
Secara keseluruhannya, matematik sangat penting dalam kehidupan seharian kita. Kita
seharusnya berterima kasih dengan ahli matematik yang telah berjaya menemukan rumus-
rumus dimana ia sangat membantu kita dalam menyelesaikan sesuatu masalah. Kita
seharusnya mengetahui dnegan lebih mendalam mengenai kepentingan matematik dan tidak
hanya mempelajarinya diatas kertas semata-mata.
45
5.0 RUJUKAN
Bruce L.B & Richard T.O. (2007). Business Statistic in Practice Fourth Edition.New York. Mc
Grow Hill.
Giancoli . (1998). Physics Fifth Edition.United States of America.Prentice Hall.
James S. (1999). Calculus Forth Edition. United States of America. Brooks/Cole Publishing
Company.
Kenneth H.R. (2007). Discrete Mathematics And Its Applications Sixth Edition. New York. Mc
Grow Hill.
Mat Rofa bin Ismail.(1995). Sejarah Arithmetic Dan Aljabar Islam. Selangor. Penerbit Universiti
Pertanian Malaysia.
46
Thales.The Mathematics Of Aircraft Navigation. Diakses pada September 10,2014 daripada
www.raeng.org.uk/publications/other/1-aircraft-navigation
Ahmad Asyraf Bin Ahmad Shaharudin. (2011). Matematik dan Seni. Diakses pada September 10, 2014
daripada www.raeng.org.uk/publications/other/1-aircraft-navigation
(2013).Memecahkan Paradox Zeno. Diakses pada 15 September 2014 daripada file:///D:/pismp%20sem
%208/math/Memecahkan%20Paradoks%20Zeno%20_%20Sainstory.htm
47
top related