SISTEM BILANGAN REAL · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua: Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. 2/13/2019 [MA 1124]
Post on 26-Jan-2020
22 Views
Preview:
Transcript
SISTEM BILANGAN REAL
1
Integral Lipat Dua
1. Bentuk partisi R dengan membagi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.
2. Pilih pada setiap sub interval.
3. Bentuk jumlah Riemann atas R
4. Jika norm|P|→ 0 diperoleh limit jumlah Riemann.
5. Ketika |P|→ 0 maka n menuju takhingga
2/13/2019[MA 1124]KALKULUS II
2
Z = f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R yang merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}
)y,x( kk
( , )k kx y
1
( , y )n
n k k k
k
S f x A=
=
| | 01
lim ( , )n
k k kP
k
f x y A→
=
1
lim ( , )n
k k kn
k
f x y A→
=
6. Jika limit tersebut ada, maka 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 terintegralkan atasR, yakni ditulis
2/13/2019[MA 1124]KALKULUS II
3
Z = f(x,y)
x
y
z
b
a
R
c d
xkyk
)y,x( kk
1
( , ) lim ( , )n
k k kn
kR
f x y dA f x y A→
=
=
Integral Lipat Dua
Definisi integral lipat dua :
Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi padasuatu persegi panjang tertutup R.
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 5
=
→
n
k
kkkP
Ayxf
10
),(limJika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R.
Lebih lanjut =RR
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
=R
dAyxf ),( =
→
n
k
kkkP
Ayxf
10
),(lim
yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :
=R
dydx)y,x(f =
→
n
1k
kkkk0P
yx)y,x(flim
atau
Arti Geometri Integral Lipat Dua
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 6
Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegi panjang R,
maka R
dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang
terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.
Menghitung Integral Lipat Dua
Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:
(i) Sejajar bidang XOZ
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 7
y
x
z Z = f(x,y)
ca
b
d
a b
z
x
A(y)
=
b
a
dxyxfyA ),()(
A(y)
Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 9
=
d
cR
dyyAAdyxf )(),(
=
d
c
b
a
dydxyxf ),( =
d
c
b
a
dydxyxf ),(
Maka
R
dAyxf ),( =
d
c
b
a
dydxyxf ),(
Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan)
(ii) Sejajar bidang YOZ
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 10
y
x
z z= f(x,y)
ca
b
d
c d
z
y
A(x)
=
d
c
dyyxfxA ),()(
A(x)
Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 11
=
b
aR
dxxAAdyxf )(),(
=
b
a
d
c
dxdyyxf ),( =
b
a
d
c
dxdyyxf ),(
Maka
R
dAyxf ),( ( , )
b d
a c
f x y dy dx=
Contoh
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 12
1. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( ) +R
dAyx 22 2
dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}
Jawab:
( ) +R
dAyx 22 2 ( ) +=
6
0
4
0
22 2 dxdyyx
+=
6
0 0
432
3
2dxyyx
+=
6
0
2
3
1284 dxx
0
63
3
128
3
4xx += 544256288 =+=
R
6
4
y
x
Contoh
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 13
( ) +R
dAyx 22 2 ( ) +=
4
0
6
0
22 2 dydxyx
+=
4
0 0
623 2
3
1dyxyx
( ) +=
4
0
21272 dyy
43
0
72 4y y= + 544256288 =+=
Atau,
Contoh
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 14
2. Hitung integral lipat dua berikut ini : ( )sin
R
x y dA+dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}
R
/2
/2
y
x
Jawab:
( ) +R
dAyxsin ( ) +=
2/
0
2/
0
sin
dxdyyx
+−=
2/
0 0
2/
)cos(
dxyx
( )2
0
cos cos2
x x dx
= − + +
/2
0
sin sin2
x x
= − + +
( )sin sin sin 22 2
= − + + =
Latihan
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 15
+
1
0
1
0
22
. dxdyexya yx
( ) −
2
0
1
1
2. dxdyxyb
+
1
0
2
0
2 1. dxdy
x
yc
1. Hitung
2. ( )R
dydxyxf , untuk fungsi
a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]
b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]
c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]
Sifat Integral Lipat Dua
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 16
Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegi panjang R
1. ( ) ( ) =RR
dAyxfkdAyxfk ,,
2. ( ) ( )( ) ( ) ( ) +=+RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
3. Jika R = R1 + R2 , maka
( ) ( ) ( ) +=
21
,,,RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
4. Jika f(x,y) g(x,y), maka
( ) ( ) RR
dAyxgdAyxf ,,
Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang
Ada dua tipe• Tipe I
D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }
• Tipe II
D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }
2/13/2019[MA 1124]KALKULUS II
17
Tipe I
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 18
D
a b x
q(x)
p(x)
y
=
b
a
xq
xpD
dxdyyxfdAyxf
)(
)(
),(),(
D = {(x,y)| a x b, p(x) y q(x)}
x
y
Tipe II
Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 19
( )
( )
( , ) ( , )
s yd
D c r y
f x y dA f x y dx dy=
D = {(x,y)|r(y) x s(y), c y d}
x
y
D
c
d
r (y) s (y)
x
Aturan Integrasi
• Urutan pengintegralan dalam integral lipat duatergantung dari bentuk D (daerah integrasi).
• Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlumerubah urutan pengintegralan. Hal ini dapatdisebabkan dengan perubahan urutan pengintegralanakan memudahkan dalam proses integrasinya.
• Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapatmenggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kitadapat merubah urutan integrasi dengan mengacupada sketsa daerah integrasi yang sama.
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 20
Contoh
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 21
1. Hitung ( )2 x
R
y e dA , R dibatasi x = y2, y =1, sumbu y
xR
( )R
x dAey2 ( ) =
1
0 0
2
2y
x dydxey
=
1
00
2
2 dyeyy
x
( ) −=
1
0
122
dyey y
( ) 2111
0
22
−=−−=−= eeyeyx
y
x = y2
1
1
R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}
Contoh
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 22
Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:
R
( )R
x dAey2 ( ) =
1
0
1
2x
x dxdyey
=
1
0
12 dxye
x
x
1
0
x xe xe dx= −( ) 1
0
xxx exee +−=
R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}
y x
y
x = y2
1
1
2)11(2 −=+−−= eee
Contoh
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 23
4
0
2
2
2
.2 dxdyex
y
Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2}
Jawab:
xR
x
y
y = x/2
4
2
y
Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:
R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2}
Sehingga
4
0
2
2
2
dxdyex
y
=
2
0
2
0
2
dydxey
y
142
0
2
−== eey
=
2
0
2
0
2
dyxeyy
=
2
0
2
2 dyey y
x=2y
Latihan
2/13/2019[MA 1124]
KALKULUS II 24
−
3
1
y3
y
y dydxex.13
2
0 0
dxdy
xsin
xcosy.2 −
1
0
1
x
y dxdye.52
3
4 2
0
6. x
y
e dx dy +
1
0
2
0
2dxdy
1x
y.3
+2
0
2
0
dydx)yxsin(.4 ( ) −
+
2
0
x4
0
dxdyyx.7
2
2
0 0
dxdy
xcos
xsiny.8
0
sin9.
x
ydy dx
y
top related