RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 5

2

Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci

0)",',( yyxF

(y nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie

)(' xuy

do równania

0)',,( uuxF

Równania różniczkowe rzędu drugiego

3

Przykład

Rozwiązać równanie

'")1( yyx

Funkcja jest jednym z rozwiązań równania.

Dla Cy stosując podstawienie otrzymujemy uux ')1(

Rozdzielając zmienne x

dx

u

du

1 i całkując obustronnie dostajemy

Cxu ln|1|lnln , czyli )1( xCu

Zatem CxC

dx

dy

Stąd 1

2 )2(2

1CxxCy

)(' xuy

RCCy ,

Równania różniczkowe rzędu drugiego

4

Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci

0)",',( yyyF

(x nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie

)(' yuy

do równania

(ponieważ )

0),,( dy

duuuyF

dy

duu

dx

dy

dy

du

dx

dyy

'"

Równania różniczkowe rzędu drugiego

5

Przykład

Wyznaczyć całkę ogólną równania

1+(y’)2=2yy”

Po podstawieniu y’= u(y) (y”= u’y’= u’u ) dostajemy

1+u2 = 2yuu’

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych

1'

,1

0,lnlnlnln

ln)1ln(

1

2

1

21

111

2

2

yCyu

uyC

CyCCyCy

Cyu

y

dy

u

udu

Równania różniczkowe rzędu drugiego

6

Przykład (c. d.)

eostateczni i

) ()14( , 12

2 2 ,2

zatem

2

12 i

12mamy 1 acPodstawiaj

1

21111

11

1

111

11

1

CxCyCCxCyC

CxCzdxCdzdxdzC

dzCyC

dy

yC

dyCdzzyC

dxyC

dy

,1

)(4

1

1

2

11 Cx

C

Cy

Równania różniczkowe rzędu drugiego

7

Definicja Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci

)()()(" xfyxqyxpy

Jeśli f(x) 0, to równanie nazywamy jednorodnym,

Jeśli f(x) 0, to równanie nazywamy niejednorodnym

Twierdzenie

Jeżeli p, q, f są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x0(a, b), y0, y1R,

to zagadnienie Cauchyego

.

10

00

)('

)(

)()()("

yxy

yxy

xfyxqyxpy

ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale (a, b)

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

8

Uwaga

Podobnie jak w przypadku równania pierwszego

rzędu, rozwiązywanie równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego polega

na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu

metody uzmiennienia stałych, bądź przewidywań.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

9

Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego

0)()(" yxqyxpy

Uwaga

Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe ( y(x) 0).

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y1(x) i y2(x) są całkami szczególnymi równania liniowego

jednorodnego, to

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) (kombinacja liniowa)

jest też rozwiązaniem tego równania.

Definicja

Funkcje y1(x) i y2(x) są liniowo niezależne na przedziale (a, b) jeżeli

C1y1(x) + C2y2(x) 0 C1 = C1 = 0

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

10

Józef Hoene-Wroński (1776-1853)

Twierdzenie

Funkcje y1(x) i y2(x) klasy C1(a, b) są liniowo niezależne, wtedy i tylko wtedy

gdy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)

),(0)()(

)()()(

'2

'1

21baxdla

xyxy

xyxyxW

Definicja Liniowo niezależne rozwiązania równania liniowego jednorodnego nazywamy układem fundamentalnym (podstawowym) rozwiązań tego równania.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y1(x) i y2(x) tworzą fundamentalny układ rozwiązań, to

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) jest CORJ.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

11

Uwaga

Nie istnieje ogólna metoda wyznaczania układu fundamentalnego rozwiązań dla dowolnego równania różniczkowego liniowego jednorodnego drugiego rzędu.

Układ fundamentalny rozwiązań można zawsze wyznaczyć w przypadku równań o stałych współczynnikach

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

12

Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach

Definicja Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

0" qyypy

gdzie p, q R.

Poszukujemy rozwiązań tego równania w postaci funkcji

)e",e'(e 2 rxrxrx ryryy

Wstawiając do równania i dzieląc obustronnie przez rxe dostajemy równanie

02 qprr .

Jest to tzw. równanie charakterystyczne.

Twierdzenie

Jeżeli r jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to funkcja rxy e jest

rozwiązaniem równania.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

13

Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań

Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1 i r2 ( > 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje

xrxr xyxy 21 e)(ie)( 21 ,

a CORJ ma postać xrxr CCxy 21 ee)( 21 .

Jeżeli równanie charakterystyczne ma podwójny pierwiastek rzeczywisty r ( = 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje

rxrx xxyxy e)(ie)( 21 ,

a CORJ ma postać rxrx xCCxy ee)( 21 .

Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki zespolone r1= + i

oraz r1= - i ( < 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje

xxyxxy xx sine)(icose)( 21 ,

a CORJ ma postać

)sincos(e)( 21 xCxCxy x .

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

14

Przykład

Rozwiązać równanie

0" yy

Równanie charakterystyczne

012 r

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1 = 1 i r2 = -1, więc CORJ jest postaci xx CCxy ee)( 21

Przykład

Rozwiązać równanie

0'2" yyy

Równanie charakterystyczne

0122 rr

ma rzeczywisty pierwiastek podwójny r = -1, więc CORJ jest postaci xx xCCxy ee)( 21

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

15

Przykład

Rozwiązać równanie

0" yy

Równanie charakterystyczne

012 r

ma dwa pierwiastki urojone r1 = i oraz r2 = -i ( = 0, = 1), więc CORJ ma postać

xCxCxy sincos)( 21 .

Przykład

Rozwiązać równanie

025'8" yyy

Równanie charakterystyczne

02582 rr

ma dwa pierwiastki zespolone r1 = -4 - 3i oraz r2 = -4 + 3i ( = -4, = 3), więc CORJ ma postać

)3sin3cos(e)( 214 xCxCxy x

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

16

Metoda uzmiennienia stałych dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego

Podobnie jak w przypadku równania pierwszego rzędu uzmienniamy stałe w CORJ

)()()()()( 2211 xyxCxyxCxy

))(')()()(')(')()()(')('( 22221111 xyxCxyxCxyxCxyxCxy

i wstawiamy do równania niejednorodnego.

Po przekształceniach otrzymujemy układ równań

)()(')(')(')('

0)()(')()('

2211

2211

xfxyxCxyxC

xyxCxyxC

z którego wyznaczamy )(',)(' 21 xCxC .

Po scałkowaniu wyznaczonych funkcji wyznaczamy CORN.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

17

Przykład

Rozwiązać równanie

xyy

3cos

1"

CORJ ma postać

xCxCxy sincos)( 21 .

Uzmienniając stałe otrzymujemy układ równań

xxxCxxC

xxCxxC

321

21

cos

1cos)('sin)('

0sin)('cos)('

Stąd

12131cos2

1)(,

cos

sin)(' D

xxC

x

xxC

2222 tg)(,cos

1)(' DxxC

xxC

CORN:

x

xxDxDxDxxD

xxy

cos2

2cossincossintgcos

cos2

1)( 21212

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

18

Metoda przewidywań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego o stałych współczynnikach

Metodę przewidywań możemy stosować w przypadku równań o stałych współczynnikach, gdy wyraz wolny ma jedną z postaci przedstawionych w kolumnie 2 tabeli zamieszczonej w kolejnym slajdzie.

Wyznaczamy CSRN i wykorzystujemy zależność

CORN = CORJ + CSRN

Podobnie jak w przypadku równań rzędu pierwszego możemy też wykorzystać twierdzenie

Twierdzenie

Suma całki szczególnej równania

)()(' 1 xfyxpy

i całki szczególnej równania

)()(' 2 xfyxpy

jest całką szczególną równania

)()()(' 21 xfxfyxpy

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

19

Przewidywana postać CSRN dla równania liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach

Lp Prawa strona równania - f(x) Równanie charakterystyczne Przewidywana postać CSRN

a Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego

Wn(x) – ogólna postać wielomianu

stopnia n 1

b

Pn(x) – wielomian stopnia n Liczba 0 jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego x

mWn(x)

a Liczba k nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Wn(x)e

kx

2

b

Pn(x)ekx

, k R Liczba k jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego x

mWn(x)e

kx

a Liczba i nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Wn(x)cosx + Vn(x)sinx

3

b

Pn(x)cosx + Qn(x)sinx Liczba i jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego x

m (Wn(x)cosx + Vn(x)sinx)

a Liczba i nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Wn(x)e

xcosx + Vn(x) e

xsinx

4

b

Pn(x)ex

cosx + Qn(x) ex

sinx Liczba i jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego

xm (Wn(x)e

xcosx + Vn(x)

ex

sinx)

Pn(x), Qn(x) – wielomiany stopnia n

Wn(x), Vn(x) – wielomiany stopnia n o nieokreślonych współczynnikach (w postaci ogólnej)

Równania różniczkowe rzędu drugiego

20

Przykład

Rozwiązać równanie

xxyy cos9'' .

CORJ: xCxCy 3sin3cos 211 .

CSRN przewidujemy w postaci

xdcxxbaxy sin)(cos)(2 .

Obliczamy pochodne

xbaxcxdcxay sin)(cos)('2 ,

xdcxaxbaxcy sin)2(cos)2(''2

i wstawiamy do równania

xxxdcx

xbaxxdcxaxbaxc

cossin)(9

cos)(9sin)2(cos)2(

.

Po przekształceniach dostajemy

xxxadcxxcbax cossin)288(cos)288(

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

21

Przykład (c. d.)

Porównując obie strony mamy

028 ,08 ,028 ,18 adccba

skąd 32

1,0,0,

8

1 dcba

CSRN:

xxxy sin

32

1cos

8

12

.

CORN:

xxxxCxCyyy sin32

1cos

8

13sin3cos 2121

.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

22

Przykład

Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

1)0(',0)0(

" 2

yy

xyy

CORJ ma postać

xCxCxy sincos)( 21 .

CSRN wyznaczymy metodą przewidywań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego

tzn. y1 = Ax2 + Bx +C. Stąd y1'' = 2A i po wstawieniu do równania dostajemy

222 xCBxAxA

Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wtedy i tylko wtedy, gdy A = 1, B = 0,

C = -2. Wówczas y1 = x2 - 2, i CORN ma postać

2sincos)( 221 xxCxCxy

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

23

Przykład (c. d.)

Stałe C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych. Obliczamy pierwszą pochodną

xxCxCxy 2cossin)(' 21

i zapisujemy warunki początkowe

020cos0sin1

200sin0cos0

21

221

CC

CC

Stąd C1 = 2, C2 = 1 i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać

2sincos2)( 2 xxxxy .

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

24

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ