Relasi dan Hasil Kali Cartesius

Oleh : Emanueli Mendrofa, S.PdMata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

Sekedar mengingatkan:

Relasi adalah pernyataan yang mendefinisikan hubunganantara suatu himpunan dengan himpunan lainnya.

Definisi:

Misal A dan B adalah dua himpunan sembarang, maka suaturelasi R dari A ke B adalah sembarang subset A x B, termasukhimpunan kosong yaitu R ⊆ A x B. Relasi ini dinyatakan sebagaiR = {(a, b)|a berelasi dengan b} = {(a, b)|a R b}

Contoh:

Misalkan A = {2, 4, 8, 9, 15} dan B = {2, 3, 4}. Jika Radalah relasi dari A ke B yang didefinisikan sebagai a R b= jika a habis dibagi b.

Maka :

R = {(2, 2),(4, 2),(8, 2),(9, 3),(15, 3),(4, 4),(8, 4)}

Relasi pada himpunan dilambangkan dengan huruf KapitalR, dan merupakan Subset dari hasil kali Cartesius.

Hasil Kali Cartesius dari dua himpunan A dan B adalah himpunan semuapasangan berurutan (x, y) dengan x ∈ A dan y ∈ B, dan dinyatakan denganA x B.

Hasil Kali Cartesius didefenisikan sebagai:

A x B = { (x, y) | x ∈ A dan y ∈ B}

Contoh:

1. A = {a, b} dan B = {c, d}

A x B = {a, b} x {c, d} = {(a, c), (a, d), (b, c}, (b, d)}

B x A = {c, d} x {a, b} = {(c, a), (c, b), (d, a), (d, b)}

a

b

c

d

A BA x B

2. C = {1, 2} dan D = {3, 4}

C x D = {1, 2} x {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3}, (2, 4)}

D x C = {3, 4} x {1, 2} = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}

3. H = {1, 2, p} dan K = {3, q}

H x K = {1, 2, p} x {3, q} = {(1, 3), (1, q), (2, 3), (2, q), (p, 3), (p,q)}

Catatan:

Jika A memiliki k unsur dan B memiliki l unsur maka A x B = k.l unsur.

Atau bisa ditulis n(A x B) = n(A) x n(B) = k x l

Konsep hasil kali dapat diperluas untuk tiga himpunan atau lebih.

A x B x C = { (x, y, z) | x ∈ A, y ∈ B dan z ∈ C}

Contoh:

A = {1, 2}, B = {x, y} dan C = {p}

(A x B) = {(1, x), (1, y), (2, x}, (2, y)}

(A x B) x C = {(1, x, p), (1, y, p), {(2, x, p), (2, y, p)}

(B x C) = {(x, p), (y, p)}

A x (B x C) = {{(1, x, p), (1, y, p), {(2, x, p), (2, y, p)}

Jadi, (A x B) x C = A x (B x C)

Sifat-sifat perkalian himpunan:

1. Jika A = atau B = maka A x B =

2. A x B B x A

A x B = B x A jika dan hanya jika A = B

3. (x, y) A x B x A dan y B

(x, y) A x B x A dan y B

4. (A x B) x C = A x (B x C)

Apabila himpunan banyak, misalkan ��, ��, ��, . . . , �� maka:

�� x �� = {(��, ��) | �� ∈ ��, �� ∈ ��}

�� x �� x �� = {(��, ��, ��) | �� ∈ ��, �� ∈ ��, �� ∈ ��}

�� x �� x . . . x �� = {(��, ��, . . . , ��) | �� ∈ ��, �� ∈ ��, . . . , �� ∈ ��}

Perkalian himpunan dapat dilakukan pada himpunan yang sama

Misalnya: A x A

A x A x A dan sebagainya.

Contoh:

1. A = {1, 2, 3}

Maka A x A = {1, 2, 3} x {1, 2, 3}

= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

2. G = {a, b}

Maka G x G x G = {a, b} x {a, b} x {a, b}

= {(a, a, a), (a, a, b), (a, b, a), (a, b, b), (b, a, a), (b, a, b),

(b, b, a), (b, b, b)}

Pada perkalian himpunan berlaku teorema berikut:

A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

Contoh:

Jika A = {1, 2}, B = {3, 4, 5, 6} dan C = {3, 4, 7}

Tunjukkanlah bahwa:

a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

Jawaban:

a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {3, 4, 7} = {3, 4, 5, 6, 7}

A x (B ∪ C) = {1, 2} x {3, 4, 5, 6, 7}

= {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7)}

A x B = {1, 2} x {3, 4, 5, 6} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}

A x C = {1, 2} x {3, 4, 7} = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7)}

(A x B) ∪ (A x C) = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(2, 7)}

Jadi, A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

B ∩ C = {3, 4, 5, 6} ∩ {3, 4, 7} = {3, 4}

A x (B ∩ C) = {1, 2} x {3, 4}

= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

A x B = {1, 2} x {3, 4, 5, 6} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(2, 6)}

A x C = {1, 2} x {3, 4, 7} = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7)}

(A x B) ∩ (A x C) = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}

Jadi, A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

B − C = {3, 4, 5, 6} − {3, 4, 7} = {5, 6}

A x (B − C) = {1, 2} x {5, 6}

= {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

A x B = {1, 2} x {3, 4, 5, 6} = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5),

(2, 6)}

A x C = {1, 2} x {3, 4, 7} = {(1, 3), (1, 4), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 7)}

(A x B) − (A x C) = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}

Jadi, A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

Latihan:

1. Diketahui P = {FPB dari 24 dan 56} dan Q = {KPK dari 32 dan 40}. Tentukan hasil kali cartesius dari himpunan P dan Q.

2. Jika ditentukan A = {x | -3 ≤ x < 1}, B = {y | -1 ≤ y ≤ 2}

dan C = {z | 1 < z < 4}

Tunjukkanlah:

a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

Jawaban:

1.

Faktorisasi prima 24 = 2� × 3 Faktorisasi prima 56 = 2� × 7

FPB dari 24 dan 56 = 2� = 2 × 2 × 2 = 8

Jadi, P = {8}

12

3

6

24

2

2

2

28

7

14

56

2

2

2

Faktorisasi prima 32 = 2� Faktorisasi prima 40 = 2� × 5

KPK dari 32 dan 40 = 2� × 5 = 32 × 5 = 160

Jadi, Q = {160}

16

4

8

32

2

2

2

20

5

10

40

2

2

2

22

Hasil kali cartesius dari himpunan P dan Q

P x Q = {8} x {160}

= {8, 160}

2. Diketahui: A = {-3, -2, -1, 0}, B = {-1, 0, 1, 2} dan C = {2, 3}

a. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)

B ∪ C = {-1, 0, 1, 2} ∪ {2, 3} = {-1, 0, 1, 2, 3}

A x (B ∪ C) = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2, 3}

= {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (-1, -1), (-1, 0),

(-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}

A x B = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2} = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -1),

(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}

A x C = {-3, -2, -1, 0} x {2, 3} = {(-3, 2), (-3, 3), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 2), (-1, 3), (0, 2), (0, 3)}

(A x B) ∪ (A x C) = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-3, 3), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-2, 3), (-1, -1),

(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (-1, 3), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)}

b. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

B ∩ C = {-1, 0, 1, 2} ∪ {2, 3} = {2}

A x (B ∩ C) = {-3, -2, -1, 0} x {2}

= {(-3, 2), (-2, 2), (-1, 2), (0, 2)}

A x B = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2} = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -1),

(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}

A x C = {-3, -2, -1, 0} x {2, 3} = {(-3, 2), (-3, 3), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 2), (-1, 3), (0, 2), (0, 3)}

(A x B) ∩ (A x C) = {(-3, 2), (-2, 2), (-1, 2), (0, 2)}

c. A x (B − C) = (A x B) − (A x C)

B − C = {-1, 0, 1, 2} ∪ {2, 3} = {-1, 0, 1}

A x (B − C) = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1}

= {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), (0, 1)}

A x B = {-3, -2, -1, 0} x {-1, 0, 1, 2} = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-3, 2), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (-1, -1),

(-1, 0), (-1, 1), (-1, 2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (0, 2)}

A x C = {-3, -2, -1, 0} x {2, 3} = {(-3, 2), (-3, 3), (-2, 2), (-2, 3), (-1, 2), (-1, 3), (0, 2), (0, 3)}

(A x B) − (A x C) = {(-3, -1), (-3, 0), (-3, 1), (-2, -1), (-2, 0), (-2, 1), (-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0),

(0, 1)}

Oleh : Emanueli Mendrofa, S.Pd

Mata Kuliah : Teori Himpunan dan Logika Matematika

Relasi Identitas

Relasi identitas pada himpunan (ditulis IA atau ∆A)

adalah himpunan pasangan-pasangan (a, a) dengan a ∈

A, ditulis IA = {(a, a) | a ∈ A). Relasi identitas disebut juga

relasi diagonal, sebab anggota-anggota dari relasinya

merupakan diagonal dari diagram koordinatnya.

Contoh:

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}

A x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1),

(3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}

Maka IA = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

1

1

2

2

3

3 4

4

Relasi Kosong

Relasi kosong dari himpunan A (ditulis Ø) adalahhimpunan kosong dari A x A. Yang dimaksud relasi Ø disiniadalah himpunan kosong dari A x A.

Contoh:

A = Ø maka A x A = Ø

R suatu relasi dari A ke A adalah R ⊆ A x A

R = Ø

Relasi Invers

Misalkan R suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B.

Invers dari R (ditulis ��� ) adalah suatu relasi dari

himpunan B ke himpunan A, sedemikian hingga tiap

pasangan terurut pada ��� jika urutan anggota-

anggotanya dibalik merupakan anggota dari R.

Jadi, ��� = {(b,a) | (a,b) ∈ R}

Contoh:

Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika relasi Radalah “jika dan hanya jika p habis membagi q” dan relasiinvers dari R adalah “jika q adalah kelipatan dari p”.Tentukanlah R dan invers R.

Karena definisi relasi R dari P ke Q yaitu: �, � ∈ � jikadan hanya jika p habis membagi q. Maka:

R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}

��� merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke Pyang berbentuk: �, � ∈ ��� jika q adalah kelipatan darip, maka diperoleh:

��� = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

Perbandingan R dan ���:

R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,9), (3,15), (4,4), (4,8)}

��� = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}

Sebuah relasi A x A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri,dapat memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

1. Refleksif

2. Irefleksif

3. Simetrik

4. Anti-simetrik

5. Transitif

Refleksif (reflexive)

� ⊂ � × �, disebut relasi refleksif jika dan hanya jika

untuk setiap � ∈ � maka �, � ∈ � (setiap anggota A

berelasi dengan dirinya sendiri).

1

Contoh1:

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R adalah relasi “≤” yang didefenisikan pada himpunan A.

Maka diperoleh:

R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

Terlihat bahwa (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.

Contoh2:

Diketahui bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, 5}

Maka relasi “habis bagi” pada himpunan bilangan aslibersifat refleksif karena ∀ (dibaca “setiap” atau “semua”)bilangan asli habis dibagi dengan dirinya sendiri.

Jadi, R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)}

Non-Refleksif

� ⊂ � × �, disebut relasi non-refleksif jika dan hanya

jika ∃ � ∈ � maka �, � ∉ � (ada anggota A yang tidak

berelasi dengan dirinya sendiri).

∃ (dibaca “ada” atau “beberapa”)

Contoh:

Diketahui A = {2, 3, 4, 8, 9, 15} dan relasi R pada himpunan A adalah “faktor prima dari”

Maka R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9), (3,15)}

Jadi, R bersifat nonrefleksif karena ada anggota R yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri yaitu (4,4), (8,8), (9,9), (15,15)

Irefleksif

� ⊂ � × �, disebut relasi irefleksif jika dan hanya jika

untuk setiap � ∈ � maka �, � ∉ � (setiap anggota A

tidak berelasi dengan dirinya sendiri).

2

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R adalah relasi “<” yang didefenisikan pada himpunan A, maka:

R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

Terlihat bahwa unsur dari R tidak berelasi dengan dirinya sendiri.

Simetrik (symmetric)

� ⊂ � × �, disebut relasi simetrik jika dan hanya jika

setiap dua anggota �, � ∈ �, �, � ∈ � maka �, � ∈ �

(untuk setiap dua anggota a, b dari A, jika a berelasi

dengan b maka b juga berelasi dengan a). Jadi, terdapat

hubungan timbal balik.

3

Contoh1 (pendekatan):

Fadli adalah seorang pria tampan dan Nita adalah

seorang wanita elok dan manis. Keduanya memiliki

hubungan yaitu berpacaran. berarti, Fadli berpacaran

dengan dan Nita dan Nita berpacaran dengan Fadli.

Perisitiwa ini disebut dengan relasi bersifat simetrik.

Contoh2:

Misalkan R merupakan relasi pada himpunan R={bilangan Real} yang dinyatakan oleh: a R b jika dan hanya jika a – b ∈ Z dan b – a ∈ Z (Z = bilangan bulat) . Periksalah apakah relasi R bersifat simetrik!

Misalkan ambil sembarang nilai a = 5 dan b = 10 pada himpunan A, maka:

a – b = 5 – 10 = -5 (-5 ∈ Z)

b – a = 10 – 5 = 5 (5 ∈ Z)

Jadi, relasi R bersifat simetrik

Anti-simetrik (antisymmetric)

� ⊂ � × �, disebut relasi antisimetrik jika dan hanya jika

setiap dua anggota �, � ∈ �, �, � ∈ � dan �, � ∈ �

maka berlaku jika � = � (setiap dua anggota a, b dari A,

jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan a maka

berlaku jika a sama dengan b).

4

Contoh:

Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}. dan relasi R adalah relasi “≤” yang didefenisikan pada himpunan A. Tunjukkanlah bahwa relasi R bersifat anti simetrik.

R dengan relasi “≤” diperoleh:

R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}

Karena anti simetrik maka berlaku a = b, berarti:

R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

Transitif (transitive)

� ⊂ � × �, disebut relasi transitif jika dan hanya jika

setiap tiga anggota �, �, � ∈ �, �, � ∈ � dan �, � ∈ �

maka �, � ∈ � (jika setiap tiga anggota a, b, c dari A,

jika a berelasi dengan b dan b berelasi dengan c maka a

berelasi dengan c).

5

Contoh1 (pendekatan):

Pak Ahmad memiliki seorang anak bernama Pak Tino.

Pak Tino memiliki seorang anak bernama Fahrel.

Berarti Pak Ahmad memiliki hubungan dengan Fahrel

yaitu cucu.

Jadi, Pak Ahmad memiliki cucu yaitu Fahrel.

Contoh2:

Misalkan A = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, dan relasi Rdidefinisikan oleh: a R b jika dan hanya jika a habismembagi b, dimana �, � ∈ �.

Dengan memperhatikan definisi relasi R pada himpunanA, maka:

R = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4,8)}

Ketika (2,4) ∈ � dan (4,8) ∈ � maka (2,8) ∈ �

Dengan demikian R bersifat transitif.