Rede recíproca - IF - Instituto de Física / UFRJtclp/estadosolido/Redereciprocab.pdf · Fam ília de planos de redelia de planos de rede: conjunto de planos de rede, paralelos,
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�� DefiniDefiniçção rede recão rede recííprocaproca
�� Planos de BraggPlanos de Bragg
�� Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin
�� Planos de rede; Planos de rede; ííndices de Millerndices de Miller
Algumas definições
Rede recíproca
difração em cristaiscálculo de estruturas de bandas de energialeis de conservação de momentumFunções com periodicidade da redeetc...
O conjunto de todos os vetores de onda que dão origem à ondas planas
Definição
Considere um conjunto de pontos constituindo uma rede de Bravais.
Rr
Kr
rKierr.
( ) rKiRrKi eerrrrr.. =+
Re RKirrr
∀= ,1.
com a periodicidade da respectiva rede de Bravais éconhecido como a rede recíproca (da rede de Bravais).
( )
( )
( )321
213
321
132
321
321
.2
.2
.2
aaa
aab
aaa
aab
aaa
aab
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
rrr
××
=
××
=
××
=
π
π
π
{ }321 ,, aaarrr
Rede de Bravais(rede direta)
Rede recíproca
{ }321 ,, bbbrrr
332211 bkbkbkKrrrr
++=
ijji ab πδ2. =rr
=
≠=
ji
jiij
1
0δonde
(delta de Kronecker)
332211 anananRrrrr
++=
1. =RKierr
, ∀∀∀∀ R def. rede recíproca
RnnknknkRKrrr
∀=++= ,2)(2. 332211 ππ
=321 ,, kkk inteiros quaisquerinteiro
A rede recíproca é uma rede de Bravais!
332211 bnbnbnGrrrr
++=
{ }321 ,, bbbrrr
: vetores primitivos da rede recíproca
A rede recíproca da rede recíproca é a rede direta original
1
321
32
).(2 a
bbb
bb rrrr
rr
=×
×π , etc...
{ } { }RKGe KGirrrrr
=⇒∀= ´,1´.
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1
Exemplos
Rede recíproca para a rede cúbica simples (SC)
zaayaaxaa ˆ,ˆ,ˆ321 ===rrr
( )z
aby
abx
aaaa
aab ˆ
2,ˆ
2,ˆ
2
.2 32
321
321
ππππ ===
××
=rr
rrr
rrr
SC
Rede recíproca é cúbica simples com parâmetro de redea
π2
( ) 333 /2 aVeav π== ( ) vV /23π=
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1
( ) ( ) ( )zyxa
ayxza
axzya
a ˆˆˆ2
,ˆˆˆ2
,ˆˆˆ2
321 −+=−+=−+=rrr
a
( ) ( ) ( )yxa
bzxa
bzya
b ˆˆ2
,ˆˆ2
,ˆˆ2
321 +=+=+=πππ rrr Célula cúbica :
FCC a
π4
( )2
.3
321
aaaav =×=rrr
( )3
321
4
4
1.
=×=a
bbbVπrrr
( )32
vV
π=
Rede recíproca para a rede BCC
Célula cúbica :BCC
Rede recíproca para a rede BCC é a rede FCC
( ) ( ) ( )yxa
azxa
azya
a ˆˆ2
,ˆˆ2
,ˆˆ2
321 +=+=+=rrr Célula cúbica :
FCC
( ) ( ) ( )zyxa
byxza
bxzya
b ˆˆˆ2
,ˆˆˆ2
,ˆˆˆ2
321 −+=−+=−+=πππ rrr Célula cúbica :
BCC a
π4
( )32
vV
π=
Rede recíproca para a rede FCC
a
( )4
.3
321
aaaav =×=rrr
( )3
321
4
2
1.
=×=a
bbbVπrrr
Rede recíproca para a rede FCC é a rede BCC
yaaxaa ˆ,ˆ21 ==rr
ya
bxa
b ˆ2
,ˆ2
21
ππ==
rr
rede quadrada,
rede quadrada, a
π2
xaa ˆ=r
xa
b ˆ2π
=r
Rede recíproca para a rede 2D quadrada
a
Rede recíproca para a rede 1D
zcaya
xa
axaa ˆ,ˆ2
3ˆ
2,ˆ
321 =+==rrr
zc
bya
byxa
b ˆ2
,ˆ3
4,ˆ
3
3ˆ
2321
πππ==
−=
rrr
rede hexagonal,
ca
ππ 2,
3
4
Rede recíproca para a rede hexagonal
a, c
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 2
rede hexagonal com eixo x girado de 30º
PLANO DE BRAGG
Plano perpendicular a linha bissetriz que liga a origem a um ponto da rede recíproca K
K
espaço recíproco
ZONAS DE BRILLOUINZONAS DE BRILLOUIN
A célula primitiva de Wigner-Seitz da rede recíproca é chamada de PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN
PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUINde uma rede de Bravais no espaço direto
1ª Zona de Brillouin : conjunto de pontos no espaço recíproco que pode seralcançado da origem sem cruzar nenhum plano de Bragg.
célula de Wigner-Seitzda rede recíprocarespectiva
Rede BCC
Rede direta: BCC Rede recíproca: FCC
a
π4
1ª zona de Brilloun: rhombic dodecaehedron
( ) ( ) ( )zya
zxa
yxa
ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ±±±±±±πππVetores que ligam a origem ao
centro das faces:(12 vetores)
Rede FCC
Rede direta: FCC Rede recíproca: BCC
a
π4
1ª zona de Brilloun: octaedro truncado
( ) ( ) ( ) ( )zyxa
za
ya
xa
ˆˆˆ2,ˆ2
2,ˆ2
2,ˆ2
2±±±±±±
ππππVetores que ligam a origem ao centro das faces:
Espaço recíproco: dinâmica dos elétrons na rede tratada no espaço dos momentos
Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin
Kkrr
+
kr
Kr
Um vetor de onda na 1ª ZB
É equivalente a todos os vetores onde
É um vetor da rede recíproca
De maneira equivalente: um vetor de onda
kr
fora da 1ª ZB
Pode ser “rebatido” para a 1ªZB subtraindo-se o K
rapropriado
Esfera de Fermi e 1Esfera de Fermi e 1ªª zona de zona de BrillouinBrillouin
Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin para uma rede para uma rede quadrada e esfera de Fermiquadrada e esfera de Fermi
11ªª zona de zona de BrillouinBrillouin e superfe superfíície cie de Fermi no esquema reduzido de Fermi no esquema reduzido
( )31
23 nkF π=r
DependeDepende apenas de apenas de nn
DependeDepende apenas da geometriaapenas da geometriaZBV1
PLANOS DE REDEPLANOS DE REDE
FamFamíília de planos de redelia de planos de rede: conjunto de planos de rede, paralelos, igualmente espaçados que contém todos os pontos da rede de Bravais.
“Para cada família de planos de rede, separados pela distância d, existem vetores da rede recíproca perpendiculares aos planos, sendo o de menor tamanho de comprimento .”
“Para cada vetor da rede recíproca, existe uma família de planos de rede normais à K e separados pela distância d, onde
é o comprimento do menor vetor da rede recíproca // a K .”d
π2
d
π2
ÍÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDENDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDE
Um plano com índices de Miller (h k l) é normal ao vetor da rederecíproca
Note que os índices de Miller dependem da escolha particular dos vetores primitivos.
Índices de Miller : conjunto de inteiros sem fatores comuns, inversamente proporcionais às intersecções do plano cristalino com os eixosdo cristal.
321 blbkbhrrr
++
321 ,, aaarrr
321
1:
1:
1::
xxxlkh =
Na prática, somente na descrição de cristais não cúbicos é que se deve lembrar que os índices de Miller são as coordenadas da normal no sistema dado pela rede recíproca e não pela rede direta.
Faces do cubo para um cristal cúbico :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }100100,010,001,001,010,100 ⇔rrr
(equivalentes por simetria)
DIREÇÃO NO ESPAÇO REAL : [ ]321 nnn332211 anananRrrrr
++=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 100100,010,001,001,010,100 ⇔rrr
Em cristais cúbicos a direção é ⊥⊥⊥⊥ ao plano
tendo os mesmos índices; isto não é, em geral, verdade para outrossistemas.
[ ]lkh ( )lkh
DeterminaDeterminaçção da estrutura ão da estrutura cristalina por difracristalina por difraçção de raiosão de raios--XX
Cap 4- MARDERCap 6 ASHCROFT- MERMINApêndice A- IVAN
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