Quantum Computing Hartmut Klauck Universität Frankfurt WS 04/05 8.12.
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Quantum Computing
Hartmut KlauckUniversität FrankfurtWS 04/058.12.
Hidden Subgroup Problem Ordnungsfinden und Simons Problem sind
Instanzen des Hidden Subgroup Problems Coset [Nebenklasse] zu einer Untergruppe H einer
Gruppe G: gH={gh: h2H} Es gebe eine Gruppe G, sowie eine unbekannte
Untergruppe H Es gebe eine Black Box Funktion f :
f ist konstant auf jedem Coset von H auf zwei Cosets CD hat f verschiedene Werte
Finde H, bzw. Generatoren von H.
Hidden Subgroup Problem Simons Problem:
G ist (Z2)n
H ist {0,s} Cosets {x, x©s} f: f(x)=f(x©s)
xy©s ) f(x)f(y)
Hidden Subgroup Problem Ordnungsfinden
G ist Z H ist {0,r,2r,3r,......}; r=r(x) mod N Cosets {a,a+r,a+2r,....] f(j)=xj mod N f(kr+a)= xkr+a mod N=xa mod N
=f(a)=f(k’r+a) f(kr+a) = xa mod N xb mod
Nf(kr+b) falls ab mod r
Hidden Subgroup Problem Finden von Perioden
G ist Z H ist {0,r,2r,3r,......}; Cosets {a,a+r,a+2r,....] f:Z!S (endl. Menge) f(kr+a)=f(a)=f(k’r+a) f(kr+a) f(kr+b) falls ab mod r
Vorsicht!
Ordnungsfinden (Shor Algorithmus) ist Hidden Subgroup Problem über Z, d.h. nicht endliche Gruppe (aber endlich erzeugt)
Approximation durch ZL
[{0,r,2r,3r,...} keine echte Untergruppe]
Hidden Subgroup Problem Diskreter Logarithmus Problem: Geg. x2Zp
*, Generator g von Zp*
Bestimme r so dass gr=x G ist Zp-1£ Zp-1mit + Operation H ist {(kr,k), k=0,...} Cosets {(u+kr,v+k);k=0,...} f:Zp-1£ Zp-1!Zp
* ; f(a,b)=gax-b
f(u+kr,v+k)=gu+krx-v-k=guxkx-kx-v=f(u,v) (a,b) (c+kr,d+k) )
f(a,b)=gax-b gc+kr,x-d-k=f(c,d)
Hidden Subgroup Problem [Kitaev] Es gibt einen Quantenalgorithmus
mit polynomieller Zeit, der die Untergruppe H identifiziert, wennn G abelsch ist
Weiteres Beispiel HSP: Graph IsomorphismusGegeben G1, G2, kann man Knotennummern permutieren, so dass beide gleich sind?
HSP über Gruppe der Permutationen, nicht abelsch,kein polynomieller Quantenalgorithmus bekannt
Verallgemeinere Shor Algorithmus Fouriertransformation/Hadamard
Transformation erzeugt Superposition über alle Gruppenelemente
Uf Anwendung Fouriertransformation Messung
Problem I: Fouriertransformation über G Problem II: Wie wird Messergebnis
genutzt?
Fourier Transformation
G sei endliche abelsche Gruppe Charakter einer Gruppe ist ein
Homomorphismus : G!C* (=C ohne 0) (g1+g2)=(g1)(g2) Es gibt genau |G| Charaktere von G, und
sie bilden eine Gruppe, die duale Gruppe Ĝ.
Die Fourier Transformation über G ist dann |xi (1/|G|1/2) j=,...,|G|-1 j(x) |ji
Fourier Transformation
|gi (1/|G|1/2) 0,...,|G|-1 j(g) |ji
Beispiel: ZL: j(k)=wLjk
Beispiel: (Z2)k:(x(1),...,x(k))(y1,...,yk)= j w2
x(j) y(j),dabei ist w2=e2i/2=-1,also x(1),...,x(k)=(-1)x ¢ y
Also ergibt sich Hadamard Transformation
Benutze: duale Gruppe zu G£H ist Ĝ£Ĥ
Fourier Transformation
Jede abelsche Gruppe ist isomorph zuZN(1)£ZN(2)££ZN(k) für N(j) Primzahlpotenzen [Kronecker]
D.h. g2G kann als (a1,...,ak) geschrieben werden
Charakter sind so gegeben:t(1),...,t(k)(a1,...,ak)
=(wN(1)t1a1)(wN(2)
t2a2) (wN(k)tkak),
wobei wN(j)=e2 i/N(j)
Fourier Transformation
Charakter t(1),...,t(k)(a1,...,ak)=(wN(1)
t1a1)(wN(2)t2a2) (wN(k)
tkak), wobei wN(j)=e2 i/N(j)
Fouriertransformation f. G abelsch:
Schnelle QFT
Schnelle QFT: Verwende QFT für alle ZN(j) unabhängig voneinander (mit dem normalen QFT Schaltkreis)
Erzeugen der Superposition QFT|0i ergibt uniforme Superposition über
alle Gruppenelemente im ersten Register
Nun: Uf: |xi |yi |xi|f(x) +yi Ergebnis:
Erzeugen der Superposition Ergebnis:
Messe zweites Register. Ergebnis: zufälliges f(x‘), Superposition:
Wende nun QFT auf erstes Register an!
Fourier Sampling
Wende nun QFT auf erstes Register an und messe!
Was passiert?
Orthogonale Untergruppen Zu jeder Untergruppe Hµ G gibt es Untergruppe
H?µ G, Definiert durch: H?={y2 G: y (x)=1 für alle x2 H} Eigenschaften: |H?|=|G|/|H| (H?)?=H
Beispiel: G=ZL, H={0,r,2r,...,L-r} [r teile L und L/r=A] x(y)=e2 i xy/L
H?={y2 ZL: ykr=0 mod L für alle k} ={y2 ZL: yk = 0 mod A für alle k} ={y2 ZL: y = 0 mod A} H? enthält die Ausgaben von Shors Algorithmus (im
einfachen Fall der Analyse)
Orthogonale Untergruppen H?={y2 G: y (x)=1 für alle x2 H}
Beispiel: G= (Z2) n H={0,s} x(y)=(-1)
xy
H?={y2(Z2) n :x¢y =0 mod 2}
H? enthält die Ausgaben von Simons Algorithmus
Fourier Sampling
Fouriertransformation über G bildet uniforme Superposition über H auf uniforme Superposition über H? ab.
Fourier Sampling
Denn
x2 H?) Summe ist |H|, denn x(y)=1 immer x nicht in H?) Summe ist 0
Fourier Sampling
Auf Cosets:
Messung jetzt ergibt zufälliges Element aus H?
Bestimme H aus genügend zufälligen Elementen von H?
Beispiel Simons Problem: Element aus H? gibt Gleichung über Z2; y¢s=0.
Rekonstruktion von H
Erstens: Zeige, dass nach poly(log |G|) vielen zufälligen h2H? eine generierende Menge von H? gefunden wird (mit hoher Wahscheinlichkeit)
Zweitens: Berechne H aus H? (d.h. bzgl. Mengen von Generatoren)
Rekonstruktion von H
Warum verwendet man nicht Superposition über Cosets von H, um H zu bestimmen ?
“Erstens” funktioniert nicht, da Cosets selbst zufällig durch Messung von Register 2, erst QFT “schiebt” zufällige Translation in Phasenfaktor
Beispiel: Simons Problem H={0,s}, zufälliges Coset {x,x©s} für zufälliges x
I) Generierung durch zufällige Elemente Sei G eine endliche Gruppe Wieviele zufällige Elemente von G
brauchen wir, um eine generierende Menge für G zu erhalten?
Behauptung: Wenn log|G| +t Elemente zufällig gezogen, dann wird G mit Ws. 1-1/2t generiert.
I) Generierung durch zufällige Elemente Behauptung: Wenn dlog|G|e +t
Elemente zufällig gezogen, dann wird G mit Ws. 1-1/2t generiert.
Beobachtung: Sei |G|· 2k. Dann ist (Z2) k
“schwieriger” als G (d.h. Erfolgswahrscheinlichkeit kleiner)
Dann: Für (Z2) k ist
Erfolgswahrscheinlichkeit 1-1/2t nach k+t Elementen [lineare Algebra]
I) Generierung durch zufällige Elemente Beobachtung: Sei |G|· 2k, k¸ 1. Dann ist (Z2)
k “schwieriger” als G. (d.h. Erfolgswahrscheinlichkeit kleiner)
Beweis: (H,t): Wahrscheinl., dass nach t gezogenen Elementen H
erzeugt Induktion über |G|, |G|=1 trivial Betrachte Fall, dass H nach t-d-1 Schritten erreichte
Untergruppe, |H|· |G|/2 und Schritte t-d,...,t keinen weiteren Generator bringen
Wahrscheinlichkeit dass das nicht passiert 1-(|H|/|G|)d¸ 1-1/2d
= entsprechende Wahrscheinlichkeit für (Z2) k
(G,t)= EH,d Prob[H nach t-d-1 Schritten erreicht, G nach t Schritten erreicht]= EH,d Prob[G nach t Schritten erreicht | H nach t-d-1 Schritten erreicht] ¢ Prob[H nach t-d-1 Schritten erreicht]
Induktion für zweiten Term, erster Term wie oben
II) Bestimme H aus H?
Angenommen wir haben Generatoren g[1],...,g[t] von H?
h 2 H , h(g[j])=1 für alle j Verwende wieder dass G abelsch Jede abelsche Gruppe ist isomorph zu
ZN(1)£ZN(2)££ZN(k)
Charaktere: h1,...,hk(g1,...,gk)=(wN(1)
h1g1)(wN(2)h2g2) (wN(k)
hkgk), wobei wN(j)=e2 i/N(j)
d sei kgv der N(j);(j)=d/N(j) h1,...,hk(g1,...,gk) = wd
(j)gjhj
h(g)=1 gdw. (j)gjhj = 0 mod d Menge der g[i] ergibt Gleichungssystem mit Variablen
entsprechend der Darstellung der h2H [mit zufäligen Koeffizienten]
Analog zu Simons Algorithmus kann so H bestimmt werden.
Insgesamt
Fouriertransformation gefolgt von Uf, gefolgt von Fouriertransformation
Fouriertransformation effizient, da G abelsch Algorithmus ergibt h2 H?, iteriere O(log |G|)
mal Postprocessing: Lösen von
Gleichungssystemda G abelsch
Also insgesamt polynomielle Laufzeit, konstante Erfolgswahrscheinlichkeit
Vorsicht!
Ordnungsfinden (Shor Algorithmus) ist Hidden Subgroup Problem über Z, d.h. nicht endliche Gruppe (aber endlich erzeugt)
Approximation durch ZL
[{0,r,2r,3r,...} keine echte Untergruppe]
Hidden Subgroup Problem ähnlich für endlich erzeugte abelsche Gruppen lösbar
Nur für wenige nicht-abelsche Gruppen bisher lösbar, manchmal schnelle QFT bekannt
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