Probabilité - exercices corrigés - ChercheInfo

PROBABILITEacute Exercices corrigeacutes

Herveacute Carrieu

Collection dirigeacutee par Daniel Guin

El S C I ENCES

Imprimeacute en France

ISBN 978-2-7598-0006-3

Tous droits de traduction drsquoadaptation et de reproduction par tous proceacutedeacutes reacuteserveacutes pour tous pays Toute reproduction ou repreacutesentation inteacutegrale ou partielle par quelque proceacutedeacute que ce soit des pages publieacutees dans le preacutesent ouvrage faite sans lrsquoautorisation de lrsquoeacutediteur est illicite et constitue une contrefaccedilon Seules sont autoriseacutees drsquoune part les reproductions strictement reacuteserveacutees agrave lrsquousage priveacute du copiste et non destineacutees agrave une utilisation collective et drsquoautre part les courtes citations justifieacutees par le caractegravere scientifique ou drsquoinformation de lrsquoœuvre dans laquelle elles sont incorporeacutees (art L 122-4 L 122-5 et L 335-2 du Code de la proprieacuteteacute intellectuelle) Des photocopies payantes peuvent ecirctre reacutealiseacutees avec lrsquoaccord de lrsquoeacutediteur Srsquoadresser au Centre franccedilais drsquoexploitation du droit de copie 3 rue Hautefeuille 75006 Paris Teacutel O 1 43 26 95 35

2008 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar BP 112 Parc drsquoactiviteacutes de Courtabccuf 91944 Les Ulis Cedex A

TABLE DES MATIEgraveRES

Int ro d uc t ion

I Theacuteorie de la mesure

I I Inteacutegration

III Mesure de probabiliteacute

IV Indeacutependance

VI Probabili teacutes et espeacuterances conditionnelles

VI1 Martingales (agrave t emps discret)

VI11 Chaicircnes de Markov (agrave espace drsquoeacutetats deacutenombrable)

Convergence de suites de variables aleacuteatoires

INTRODUCTION

Ce recueil drsquoexercices corrigeacutes complegravete le livre Probabzlzteacute de Ph Barbe et M Ledoux eacutediteacute dans la mecircme collection I1 regroupe lrsquoensemble des eacutenonceacutes des chapitres I agrave VI11 (excepteacute lrsquoun drsquoeux du chapitre VIII) les reacutefeacuterences au cours sont noteacutees en caractegraveres gras et gardent la mecircme numeacuterotation

Je remercie tregraves sincegraverement Philippe Barbe et Michel Ledoux de lrsquoaccueil qursquoils ont fait agrave ce projet de reacutedaction

Trsquoespegravere que cet ouvrage constituera une aide efficace et agreacuteable aux eacutetudiants en leur rappelant que la recherche active de solutions drsquoexercices est indispensable ii lrsquoassimilation de notions nouvelles et qursquoelle apporte souvent plus que la solution elle-mecircme

Je remercie les eacuteditions EDP Sciences et D Guin directeur de la collection drsquoavoir accepteacute et accompagneacute la publication de cet ouvrage Merci eiifiri agrave Patrice Lassegravere pour SOKI aide et se5 encouragements

Cauterets juillet 2007 Herveacute Carrieil

THEacuteORIE DE LA MESURE

Eacutenonceacutes

11 Soit E une partie (fixeacutee) drsquoun ensemble R et soit

amp = ( A euro P ( R ) A C E

Deacuteterminer lrsquoalgegravebre de Boole engendreacutee par 1

12 Si Al et A2 sont des tribus sur R on pose

Deacutemontrer que a ( J ) = a(A1 U Az) = o(U)

13 Soit (R = R1 x R2A = A1 A2) un espace mesureacute produit Si A E A montrer que pour tout w1 E 01 la section A = w2 E 0 2 (w1 w2) E A est mesurable

14 Soit (fn)ntN une suite de fonctions mesurables de (0A) dans un espace meacutetrique ( E d ) muni de sa tribu boreacutelienne On suppose que f n converge ponc- tuellement vers f (ie pour tout w E R limn-ocjfTL(w) = f ( w ) ) Montrer que f est mesurable

Indlctrttorr pour fout o u i l ( r t I r dr E ( f Irsquo E W torricdrr( I U = Irsquo E U ( ( I I- I T ) gt il1 1 1 7 c 7 f i p r f - l ( r ) = u 1 1 1 nligtll j~(v)

CHAPITRE I THI~ORIE DE LA AIESURE

15 Si x = (21 xn) E IRn on note +(x) le vecteur x ordonneacute par ordre croissant ie dans le cas ougrave tous les x2 sont distincts on a +(x) = (XI xn) ougrave XI = min1121n x et

x=min(x i lt z lt n x J i lt j lt z - 1 ) 2 5 i ~ n

Montrer que + est mesurable

Indiccit~oii tout 1 5 2 5 71 mi c o n s i d i r a n t I C 3 cnsrrrili7e~ I I 5 ( I ( I E R

o r 1 poirrrci conirrifr1(cr par r r r m t r c i q i i c I t-) r ) c s t rnr~surab l t~ pour

16 Sur IR on deacutefinit la relation drsquoeacutequivalence z N y si 2 - y E Q En utilisant lrsquoaxiome du choix (si A est une fonction sur un ensemble I telle que A(x ) 0 pour tout x de I il existe une fonction f telle que f ( x ) E A(x ) pour tout x E I ) construire un ensemble A C [ O 1 [ qui contient exactement un point de chaque classe drsquoeacutequivalence Supposons A mesurable et soit a = X(A) sa mesure de Lebesgue Montrer que si T S E Q et T s alors ( A + s) ri ( A + r ) = 0 ougrave A + x = y + x y E A et que X(A + s) = X(A) Remarquer que

Un exemple drsquoensemble non mesurable

1 = X( [0 1 ] ) I X( u ( A + T ) ) I X ( [ - 1 2 ] ) = 3

En utilisant la 0-additiviteacute de A montrer que cette ineacutegaliteacute conduit drsquoune part agrave a = O drsquoautre part agrave a gt O Conclure

ram] -11[

17 Theacuteoregraveme drsquoEgorov Soit (Q A p) un espace mesureacute tel que p(R) lt 00 on considegravere des applications f f n E N de R dans IR telles que f + f p-pp crsquoest-agrave-dire telles que

P ( W f n ( 4 7 4 f ( 4 gt) = 0

a) Pour n E N et E gt O soit G = w E R I fn(w) - f ( w ) l 2 E et E = Urngt GmE Deacutemontrer que pour tout E gt O

et en deacuteduire que limn+m p(E+) = O

11) Deacuteduire de la question preacuteceacutedente que pour tous ~ b gt O il existe no E N et BE6 E A tels que p(Bb) lt 6 et pour tout w E R BE6 et tout n 2 no I f n W - f ( 4 5 E

c) Soit a gt O pour tout entier p 2 1 on pose E = lp 6 = a 2 p A = BEpb et A = Upgti A Deacutemontrer que p ( A ) 5 a et que f n + f uniformeacutement sur OA

18 Soit (0 A p) un espace mesureacute Une partie N C R est dite pu-neacutegligeable si elle est contenue dans un ensemble mesurable A tel que p ( A ) = O La tribu B est dite complegravete pour p si elle contientrsquo tous les ensembles neacutegligeables Si N deacutesigne lrsquoensemble des parties p-neacutegligeables soit

A= A u N A E A N E N

Montrer que A est une tribu appeleacutee la tribu p-compleacuteteacutee de A

19 Soient X et Y deux espaces topologiques munis respectivement des tribus boreacuteliennes Bx et B y p une mesure sur Bx et f X -f Y une fonction continue p-pp crsquoest-agrave-dire telle que lrsquoensemble N = z E X f discontinue en x soit p-neacutegligeable Deacutemontrer que f est mesurable de ( X Bx) dans (Y B y ) ougrave ax est la tribu compleacuteteacutee de Bx par rapport agrave p

Solutions

11 toutes les parties de E et toutes les parties de R contenant Euml crsquoest-agrave-dire

Notons A lrsquoalgegravebre de Boole engendreacutee par amp I1 est clair que A contient

A E P ( f l ) A c E ou A 2 Euml

Et ce dernier ensemble de parties est une algegravebre de Boole Ainsi

A = A E P(G) A c E OU A 3 E

Remarque crsquoest aussi lrsquoensemble de toutes les parties A de 0 veacuterifiant

A n E = E OU A n E = 0

12 Remarquons que les compleacutementaires drsquoensemble de J crsquoest-agrave-dire les ensembles de la forme (Al n A z ) = Al U A2 sont dans U Cela implique que a ( 3 ) c a(U) Par le mecircme argument on a lrsquoinclusion reacuteciproque et donc lrsquoeacutegaliteacute de ces deux tribus De plus puisque J contient Ai et A2 (car A = A n n ) on a a(A1uumlAz) C a ( 3 ) Enfin une tribu eacutetant stable par union lrsquoinclusion de Ai et A2 dans o(A1UA2) montre que a(U) c a(A1 U A2) Ainsi

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

13 Soit M lrsquoensemble

M = A E A V W ~ E Ai A E A2

I1 est clair que M contient tous les paveacutes de A1 8 A2

Veacuterifions que M est une tribu

~ S2 E M car 0 2 E Az

- Pour tout A E M et tout w1 E 01 on a (A) = (Awl ) E A2

- Pour toute suite (An)n de parties de M et tout w1 E R I on a

Par deacutefinition de la tribu dl Az on en deacuteduit que M = A O

14 On suppose donc que brsquow E Q f n ( w ) -f f ( w ) Par la Proposit ion 1114 il suffit de veacuterifier que quel que soit lrsquoouvert U c E f - rsquo (U) E A Or pour tout w E R

w E f - y U ) f ( w ) E u iimfn(w) E U

3r E IV fn(w) E Ur agrave partir drsquoun certain rang rn

++ E un K ( W rm n

Or quels que soient n et r fi1(amp) E A donc j - rsquo (U) E A O

15 Pour tout a E IR

ougrave I parcourt lrsquoensemble des parties agrave i eacuteleacutements de lrsquoensemble 12 n La fonction z H t ion 1114)

est alors mesurable (voir Excrriples 118 et Proposi-

Enfin par la Proposit ion 121 qi est mesurable

16 Srsquoil existe zy E A distincts tels que z + r = y + s alors z et y sont dans la mecircme classe drsquoeacutequivalence ce qui contredit la deacutefinition de A Drsquoougrave ( A + r ) n ( A + s ) = 0 On en deacuteduit que la reacuteunion

est une reacuteunion de parties disjointes deux agrave deux Drsquoautre part la mesure de Lebesgue eacutetant invariante par translation quel que soit T X(A + r ) = X(A) = cy Drsquoougrave

CHAPITRE I THGORIE DE

on a neacutecessairement

et la somme dans (11) est donc borneacutee drsquoougrave a = O Enfin par construction de A

drsquoougrave

Ce qui contredit lrsquoassertion ucirc = O Donc la partie A nrsquoest pas mesurable

a) Notons E lrsquoensemble mesurable sur lequel la suite drsquoapplications converge et soit E strictement positif Par deacutefinition on a

MW E E 3n E N MVL 2 n I fm(W) - f ( ~ ) l lt E

Autrement dit

Prenant lrsquoeacutevegravenement contraire on a

Remarquons que cet eacutevegravenement de mesure nulle est deacutecrit comme lrsquointer- section drsquoune suite deacutecroissante drsquoeacutevegravenements car la suite Gme)n est deacutecroissante et la mesure p eacutetant finie on a (voir Proposition 143(iv))

s O L 111 I ON S

11) Soit 6 gt O et no E N veacuterifiant

On pose BJ = E et donc p(BE6) I 6 Dautre part si w E R B6 alors quel que soit n 2 no w E G et donc

WAJ E a BEamp VT2 2 720 I f n ( 4 - f(4l lt E

c) Lensemble mesurable A veacuterifie

Montrons alors que la suite ( f n ) ) converge uniformeacutement sur R A Soit E gt O et soit po E N veacuterifiant l p o lt E On a

w$A===+dp WEamp

En particulier w E A et donc par construction de A il existe un no E N tel que

P dw E R A dn L no If(w) - f(w)l I - lt E

Donc la suite ( f ) converge uniformeacutement vers f sur R A

18 Soit (An)euro= une suite de parties de Ap On pose alors

A = A uuml NA avec A E A NA c N E A et p(Nn) = O

E d EN

ougrave uNA E N car

On en deacuteduit que UA E A Concernant le passage au compleacutementaire pour A eacuteleacutement de A on pose

A = Al uuml Ni avec Al E A Ni C N2 et p(N2) = O

I1 est clair que Al E A et dautre part

K=ZU(K) _ _

Or Ni N2 = N2 Ni E N car inclus dans N2 On obtient donc - A = (ampnx) u (ampn (K)) E A --

Enfin il est eacutevident que R E A donc A est une tribu O

19 dans Y f - l (W) est un voisinage de z dans X Pour tout ouvert O de Y on a

On rappelle que f est continue en z si quel que soit W voisinage de f ( z )

Si f continue en 2 avec de plus f ( z ) E O alors O eacutetant un voisinage de f ( z ) f - (O) est un voisinage de z Donc f - l (O) fl ( X N ) est un ouvert Dautre part f - l (O) n N est p-neacutegligeable car inclus dans N Par (I2) f-l(O) est la reacuteunion dun ouvert et dun p-neacutegligeable donc est mesurable O

INTEacuteGRATION

111 Un exemple de fonction Lebesgue inteacutegrable qui nrsquoest pas Riemann inteacutegrable f(z) = llQn[ol](II) II E [ O 11 Montrer que J f d X = O mais que f nrsquoest pas Riemann inteacutegrable sur [ O 11

112 Examiner le lemme de Fatou sur lrsquoexemple suivant f 2 n = n A fzn+1 = 1

Soit (Cl A p ) un espace mesureacute et soient A et B deux eacuteleacutements de A

113 Soit p une mesure de probabiliteacute sur I = [ O 11 On note

m = JI amp+) lsquou = J+ - mI2 dP(II)

a = JI I I ~ dp(x ) - m2 b = (i - m ) + Sr x(1 - x) d p ( x )

Exprimer 2i et b en fonction de a En deacuteduire que a 5 14 et que a = 14 pour line unique mesure p que lrsquoon deacuteterminera

7J4 positives inteacutegrables On suppose que

Soit ( R A p ) un espace mesureacute f fn n E N des fonctions mesurables

En utilisant lrsquoineacutegaliteacute (f - f n ) + 5 f deacutemontrer que limn+m J(f - fn)+ dp = O En deacuteduire que fn + f dans L1(p)

CHAPITRE II INTEacuteGRATION

115 Soit C(IR) lensemble des fonctions sur IR infiniment diffeacuterentiables agrave support compact Montrer que si A est intervalle ouvert alors n A est limite simple de fonctions dans Cy(IR) majoreacutees par 1

Iridirti t iorr or) pour dnbortl torrid(+ I l i i i trri inll f [ 0 I ] c t les fonctioris

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

En deacuteduire que a(CK(IR)) = B(R) et quune mesure p est caracteacuteriseacutee par la donneacutee de J f dp pour toute fonction f E C(IR)

117 Cet exercice montre que le dual topologique de L([Ol]B([Ol])A) = Lm nest pas L1([Ol]B([Ol])A) = L1 En effet C [ O l ] C LW C (L1) ougrave deacutesigne le dual La masse de Dirac So est dans le dual de C[ O 11 par la dualiteacute (do f ) = J f dd0 = f ( 0 ) De plus la norme de 60 E C[O l] est 1 Par le theacuteoregraveme de Hahn-Banach montrer que lon peut prolonger So en une forme lineacuteaire A sur Loo de norme 1 Prouver que A nest pas dans L1

118 de Lebesgiie A sur [ O 11 On considegravere la suite de fonctions

a) = 2 + sin(nt)

Soit L1 ([ O 1 1 A) lespace des fonctions reacuteelles inteacutegrables pour la mesure

t E IR n E N

a ) Deacutemontrer que pour toute fonction f de L1([ O 11 A) on a

ougrave p = (2)-l JF(2 + sinu)-ldu

119 Sur un espace mesureacute ( f l A p ) soient f et g deux fonctions inteacutegrables positives ou nulles telles que J f d p = J g d p = 1 On deacutefinit les mesures (de probabiliteacute) P et Q de densiteacutes f et g par rapport agrave p Si IIP - QI1 deacutesigne la distarice en variation totale deacutefinie par

deacutemontrer aue

CHAPITRE II IIumlVTEacuteGII imox

Solut ions

II 1 Lrsquoensemble Qn [O 11 est deacutenombrable donc de mesure de Lebesgue nulle La fonction f est nulle A-presque partout donc son inteacutegrale de Lebesgue est nulle En revanche si E deacutesigne lrsquoensemble des fonctions en escaliers sur [O 11 on a

Ce qui prouve que la fonction f nrsquoest Riemann inteacutegrable sur [O 11 o

112 Pour la suite ( f n ) deacutefinie par f2n = n A et f zn+l = IB on a

Le lemme de Fatou

donne donc ici P ( A n B ) 5 inf P(A) P ( B )

113 Par des calculs eacuteleacutementaires on obtient

v = a et b = - - a

Drsquoautre part JI x(1 - x) dp(x) 2 O car la mesure p est porteacutee par [O 11 Donc b est positif et a 5 i Si p = $(ao + 6) alors m = 12 et on a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

Pour prouver lrsquouniciteacute de p7 il suffit de remarquer que a = 14 implique b = O et par suite

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

Ainsi la mesure p est porteacutee par lrsquoensemble O 1 Drsquoautre part II z dx = 12 JI

donc p(0) = p(i) drsquoougrave p = +SI) O

114 On applique ici le theacuteoregraveme de la convergence domineacutee agrave la suite ( f - f n gt +

( f - f n ) + -O n-tcc et l ( f - f n ) + l = ( f - f n ) + 5 f inteacutegrable

dougrave

Le mecircme raisonnement vaut aussi pour (f - fn ) - et donc

115 On pose E = ln et on deacutefinit la suite de fonctions ( f n ) n par

Toute limite simple de fonctions mesurables est mesurable donc ]O 1 [ ~ a(Cg(IR)) On en deacuteduit que tout intervalle ]a b[ est dans a(Cg(IR)) car

Donc a(Cg (IR)) contient tous les intervalles ouverts De plus tout ouvert est reacuteunion deacutenombrable de ses composantes connexes qui sont des intervalles ouverts donc a(CK(IR)) 3 B(IR) Le caractegravere minimal de a(C(IR)) implique que

Par convergence domineacutee on a a(Cg(R) = B(IR) O

La connaissance de f dp pour toute fonction f E Cg(IR) nous donne p ( I ) pour tout intervalle ouvert et donc pour tout intervalle On connaicirct ainsi la mesure p sur lalgegravebre de Boole des reacuteunions finies dintervalles p est alors fixeacutee sur la tribu des boreacuteliens (voir Proposition 147)

CHAPITRE II INTBCRLTION

116 Notons g = 2 et f = 8 On peut eacutecrire

Pui lt P2 -43 P3 9 f

Pour tout eacutevegravenement A on a

Drsquoapregraves la Proposition 127 la fonction g est limite drsquoune suite croissante de fonctions eacutetageacutees qursquoon note ( g n ) n Pour n fixeacute gn srsquoeacutecrit CianAi ougrave la somme est finie On a

Drsquoautre part toujours par convergence monotone on a

Dans le cas ougrave p3 est elle-mecircme absolument continue par rapport agrave ~ 1 lrsquoassertion (111) devient

Pui lt P2 3c P l s f

dP2 dpl (E)-rdquo

Et le reacutesultat preacuteceacutedent donne f ( t ) g ( t ) = 1 On a donc bien - =

SOLTJTIONS

117 La forme lineacuteaire 60 C[O 11 + IR f H f ( 0 ) est continue de norme 1 et drsquoapregraves le theacuteoregraveme Hahn-Banach elle se prolonge en une forme lineacuteaire continue sur Lrdquo que lrsquoon note A On va montrer par lrsquoabsurde qursquoil nrsquoexiste pas de fonction h E L1 telle que

Vf E Lldquo A(f) = Jrdquo f ( t ) h ( t ) d t O

On suppose donc lrsquoexistence drsquoune telle fonction et on considegravere la suite de fonctions ( f n ) deacutefinies par

1 - n t O l t lt i n t gt i n

Quel que soit n la fonction f n est continue et donc pour tout n E N A(fn) = f n ( 0 ) = 1 Or la fonction f n h converge simplement vers O sur ]O l] et

V n E N Ifnhl 5 Ihl

Drsquoougrave par convergence domineacutee

ce qui contredit A(f) = 1 On en deacuteduit que A ne peut ecirctre identifieacutee agrave un eacuteleacutement de L1 et donc que

L1 c (Lrn)

a) Pour f E C1([0 I]) on a 1

f ( t ) a n ( t ) d t = 2 f ( t ) d t + Ju f ( t ) sin(nt) d t 1rsquo et par une inteacutegration par parties on obtient

On obtient donc 1rsquo f ( t ) sin(nt) d t - 0 n-++co

et finalement

Soit maintenant f E L1([O 11 A) et une suite (fk)k 2 O drsquoeacuteleacutements de Crsquo([Ol]) veacuterifiant Ilf - f k l l l 5 (par densiteacute de C1([Ol]) dans

En remarquant que llunllco 5 3 on eacutecrit L1([0 11 Agt)

drsquoougrave

Soit E strictement positif On considegravere lrsquoineacutegaliteacute

et observant que f k ( t ) d t __+ J f ( t ) d t on peut eacutecrire Ic-tcc

pour IC et n suffisamment grands On deacuteduit de (112) que

1 ) ) Eacutetudions au preacutealable lrsquointeacutegrale srdquo -amp d t Par le changement de variable u = nt et utilisant la peacuteriodiciteacute de la fonction t H l un(t) on a

1 du = - du

2 + sinu n o 2 + sinu

du gt O car et observant que JO 2n 1 1 gt O

1 n(b-a) 1 du

ougrave 11 deacutesigne ici la partie entiegravere Or nO donc

du 2rr 1 2 + sinu

Pour f en escalier sur [O 11 cest-agrave-dire constante eacutegale agrave ai sur ]ai aisi [ ougrave uo = O lt a1 lt lt UNS1 = 1 on a

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

Pour f E L1([O 11) on utilise la densiteacute des fonctions en escaliers dans L1([O 11) et on procegravede comme dans la question a)

c) La premiegravere des eacutegaliteacutes suivantes vient des proprieacuteteacutes eacuteleacutementaires de la fonction sin 27r-peacuteriodiciteacute impariteacute et sin(7r - t ) = sin(t)

d t d t

119 Soit A E A veacuterifiant P(A) 2 Q(A) On a alors

- Q ( A ) I = P(A) - Q(A) = J f ( t gt - d t ) dt A

Observant que J f ( t ) - g ( t ) d t = O on obtient

Le cas ougrave P(A) 5 Q(A) se traite eacutevidemment de maniegravere analogue On a ainsi montreacute que

CHAPITRE II INTEGRATION

drsquoougrave

IIP - Q I 1 I f 1 Ifgt - dtgtl dt -

Pour montrer lrsquoineacutegaliteacute inverse on considegravere les parties mesurables -

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

drsquoougrave lrsquoeacutegaliteacute $ J If(t) - g ( t ) l d t = IIP - QI[

MESURE DE PROBABILITEacute

Eacutenonceacutes

1111 Un tiroir contient n paires de chaussures On choisit au hasard 27- chaussures (2r 5 n) Quelle est la probabiliteacute quil ny ait parmi ces 2r chaussures aucune paire complegravete Quelle est la probabiliteacute quil y ait exactement k paire(s) complegravete(s) (1 5 k 5 r )

1112 Soit X une variable aleacuteatoire agrave valeurs dans un ensemble M muni de la tribu de ses parties telle que P X = z gt O pour tout z E M Montrer que M est fini 011 deacutenombrable

1113 (Paradoxe de Bertrand) Soit C le cercle de centre O et de rayon 1 dans R2 On cherche agrave deacuteterminer la probabiliteacute pour que la corde AB de ce cercle choisie ltlt au hasard raquo soit plus grande que le cocircteacute du triangle eacutequilateacuteral inscrit dans le cercle Faire le calcul dans les diffeacuterents cas suivants

a ) On fixe un point I du cercle on choisit un point M sur le segment 01 selon la probabiliteacute uniforme on lui associe la corde AB perpendiculaire agrave 01 et passant par M

1)) On fixe A sur le cercle et on choisit B selon la probabiliteacute uniforme sur le cercle

c) On choisit M dans le disque selon la probabiliteacute uniforme AB est alors la corde passant par M et perpendiculaire agrave O M

1114 La plupart des ordinateurs disposent dun algorithme permettant de simuler des variables aleacuteatoires uniformes sur [ O 11 Supposons donc savoir tirer une variable aleacuteatoire de loi 24[01~ Utiliser la Proposition 11127 pour simuler une variable aleacuteatoire de loi

a) exponentielle de paramegravetre 1

1) ) de fonction de reacutepartition F ( z ) = 1 - z- si 2 2 1 et F ( z ) = O si z 5 1 (loi de Pareacuteto)

c) de Cauchy de densiteacute 1 ~ ( 1 + z2)

1115 Soit X une variable aleacuteatoire agrave valeurs dans N telle que

ougrave a gt O Deacuteterminer la valeur de a Calculer lespeacuterance et la variance de X en remarquant que

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

pour tout k ougrave T = 2 + 1 et Y et 2 sont deux variables de loi de Poisson de paramegravetre 2

1116 Soit f2 lensemble des n permutations CT des entiers de 1 agrave n muni de la probabiliteacute uniforme Soient C I en et u~ un des nombres reacuteels On deacutefinit S ( a ) = c~u(I) Posons

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

= C I l k i n 1 u = C l lt k l n U k sc - x C i lt k lt n ( ~ k - I2 gt su - x C l lt k lt n ( U k - I2

a) Montrer que lespeacuterance de S est eacutegale agrave ncuuml

1) Calculer la variance de u c ( k ) puis la covariance de u0(q et uc(l) ( I C 1 )

Indication noter que u(k) = Cllkln uk c) Deacuteterminer la variance de S en fonction de sc et s i

1117 Soit X une variable aleacuteatoire de loi n ( O l ) Montrer que 2 = ex est de densiteacute f Z ( z ) = (2ir)-12z-1e-(0g2)22 si z gt O et f Z ( z ) = O si z 5 O La loi de 2 sappelle la loi log-normale Pour a E [- l l] soit f a (x ) = fZ(x) ( l + asin(2nlogz)) z gt O Montrer que si 2 est de densiteacute f a alors 2 et 2 ont les mecircmes moments et donc que les moments ne caracteacuterisent pas une loi de probabiliteacute (comparer avec 11157 et le Theacuteoregraveme III 58)

1118 On dit quun vecteur aleacuteatoire X = (XI Xd) est eacutechangeable si la loi de X est invariante par permutation des coordonneacutees ie pour toute permutation 7r de 1 2 d X a mecircme loi que (X) X)) Soit donc X un tel vecteur aleacuteatoire eacutechangeable de carreacute inteacutegrable tel que de plus X1 + + Xd = 1 Montrer qualors E(X) = l d et

VarXl d - 1 C0V(XXj) = -~ i j

1119 Soit X une variable aleacuteatoire reacuteelle sur (O A P )

i l ) On suppose que X est de carreacute inteacutegrable Deacutemontrer quil existe un unique reacuteel zo tel que la fonction g(z) = E((X - z)) soit minimum en ce point Deacuteterminer zo et g(z0)

1)) On appelle meacutediane de X un reacuteel m tel que

Deacutemontrer quun tel reacuteel existe toujours mais quil nest pas neacutecessairement unique Prouver que si X est inteacutegrable et m est une meacutediane de X

E ( I X - ml) = inf E ( I X - al) a E R

CHAPITRE III ~ I E S U R E DE PROBABILITEacute

11110 et soit X E ] O 1 [ Deacutemontrer que

Soit X une variable aleacuteatoire positive de carreacute inteacutegrable sur (n A P )

(1 - X ) E ( X ) I E(XqAE(x ) co[ (X) ) gt

et en deacuteduire par lrsquoineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz que

11111 Si P est une mesure de probabiliteacute sur 12 n on deacutefinit lrsquoentropie de P par H ( P ) = -C15kltnpklogpk - ougrave p k = P ( k ) avec la convention OlogO = o Montrer que H est agrave valeurs dans IRrsquo et trouver P telle que H ( P ) = O Deacutemontrer que la mesure uniforme sur 12 n reacutealise le maximum de H Si P est une mesure de probabiliteacute sur N on deacutefinit de mecircnie son entropie par H ( P ) = - xnEW p logp Montrer que H est agrave valeurs dans R+ U cc Quand srsquoannule-t-elle Deacutemontrer que la loi geacuteomeacutetrique de paramegravetre p O lt p lt 1 reacutealise le maximum drsquoentropie sur lrsquoensemble des mesures de probabiliteacute sur N de moyenne infeacuterieure ou eacutegale agrave (1 - p ) p Si P est une mesure de probabiliteacute sur (RB(R)) de densiteacute f par rapport agrave la mesure de Lebesgue on note H ( P ) = s f (z ) log f ( z ) dz lorsque cette inteacutegrale a un sens H ( P ) = cc sinon Calculer lrsquoentropie de la loi normale N(0l) Deacutemontrer qursquoelle minimise lrsquoentropie de toute mesure de densiteacute f veacuterifiant sR xf(z) dx = O et JR x2f(z) dz = 1

Indication on p o w m commencer p n ~ mosi t lcr yulsquo pour toute c l e ~ ~ ~ s l t k $1

1 log(f(x)g(x))f(r) dr 2 o

puis prendre p u r y lu densiteacute gauss i fmir

11112 Montrer que la fonction p(t) = ( 2 ~ ) - l ~ JR e i tx-x22 dz t E R est solution drsquoune eacutequation diffeacuterentielle du premier ordre En deacuteduire la fonction caracteacuteristique de la loi N(0l) ainsi que tous les moments de la loi N(0l)

11113 (Lemme de Riemann-Lebesgue) Soit X une variable aleacuteatoire reacuteelle de densiteacute f Montrer que limt+co pX(t) = O

Irampxlikm o n powmu consideacuterer d rsquoabord uric densiteacute iiriiforine de la forme l [ ( L b ] ( b - a ) puis uric densiteacute en esralier et approcher dnr1s L1 une demi t6 quelconque par m e fonction en escnler

En deacuteduire que si f admet des deacuteriveacutees f() f() inteacutegrables alors Ipx(t)l = o(ltlp) lorsque t + 00

11114 Soit P la mesure de probabiliteacute sur Z deacutefinie par

C P=C- n2 log n (6 + L) ngt2

ougrave c est la constante de normalisation faisant de P une probabiliteacute Cette mesure admet-elle un moment dordre l Soit cp la transformeacutee de Fourier de la niesure P Pour tout entier N 2 2 on deacutefinit

Deacutemontrer que f ~ ( t ) 5 t N et que g N ( t ) 5 l tN logN Trouver une fonction t H N ( t ) de [ O 00 [ dans N telle que 1imt-o fN( t ) ( t ) = 1irnt-o g N ( t ) ( t ) = O En deacuteduire que cp est deacuterivable en O

11115 Soit f une densiteacute sur Et paire (ie f(z) = f ( - z ) ) de fonction caractii- ristique y Pour z gt O soit g(z) = J t p f ( t ) d t et poser g(-z) = g(z) Montrer que g est ilne densiteacute dont la fonction caracteacuteristique est t- Ji p(s) ds

CHAPITRE III ~II SLIJIIC DE P R O ~ ~ A I ~ I L I T J

Solut ions

1111 On peut supposer que toutes les parties agrave 2 r eacuteleacutements de lrsquoensemble des chaussures ont la mecircme probabiliteacute drsquoecirctre choisies Cette hypothegravese nous conduit agrave modeacuteliser cette expeacuterience aleacuteatoire par lrsquoespace probabiliseacute (O (a) P) ougrave O deacutesigne lrsquoensemble de toutes les parties agrave 2 r eacuteleacutements drsquoun ensemble agrave 2 n eacuteleacutements et ougrave P est la probabiliteacute uniforme (eacutequiprobabiliteacute) Si A c O repreacutesente lrsquoeacutevegravenement il nrsquoy a aucune paire complegravete parmi les 27- chaussures choisies alors

(Dans la formule preacuteceacutedente le (E) exprime le fait de choisir 2 r paires et le 22r celui de choisir dans chaque paire une chaussure) Si B repreacutesente lrsquoeacutevegravenement il y a exactement k paires complegravetes parmi les 27- chaussures choisies alors

(rdquo) ( n-k )22T-2k card(B) k 2r-2k P(B) = card(R)

(Ici le (i) exprime le fait de choisir les paires complegravetes celui de choisir les paires non complegravetes et enfin 22r-2k celui de choisir une seule chaussure parmi ces derniegraveres)

1112 si ml m k sont k eacuteleacutements distincts de Mn

Le cardinal de Mn est neacutecessairement strictement infeacuterieur agrave n En effet

P X E (1711rsquo

Donc k lt n en particulier Mn est fini Par hypothegravese

M = U M n ngtl

lrsquoensemble M est donc une reacuteunion deacutenombrable drsquoensembles finis I1 est donc au plus deacutenombrable O

1113 Tout triangle eacutequilateacuteral inscrit dans le cercle uniteacute est de cocircteacute fi a) On note 11 le milieu du segment 01 Pour que la corde soit plus grande

que f i il faut et il suffit que le point M soit sur le segment 011 On trouve donc une probabiliteacute de 1 2

1)) On fixe A sur le cercle et partant de A on ( coupe gtgt le cercle en 3 arcs deacutegales longueurs On note les deux autres points Al et A2 On choisit un point B au hasard sur le cercle Pour que la corde AB soit plus grande que 4 il faut et il suffit que le point B soit sur larc de cercle (A1A2) On trouve donc une probabiliteacute de 13

c) Lors de cette construction pour que la corde AB soit plus grande que 4 il faut et il suffit que le point M soit dans le disque centreacute en lorigine

et de rayon 12 On trouve ici une probabiliteacute de - = 1 4

1114 Pour les ezemples qui suivent la fonction F se calcule facilement On rappelle que si U deacutesigne une variable aleacuteatoire suivant la loi uniforme sur ]O 1[ alors F+(U) suit la loi ayant F pour fonction de reacutepartition

a) Pour F fcnction de reacutepartition dune loi exponentielle de paramegravetre 1

on a F + ( y ) = - ln(1 - y) pour y euro]Ol[ s i x 5 0

F ( x ) =

s i u suitla loi uniforme sur IO I[ - ln(i - U ) suit la loi exponentielle de paramegravetre 1 (On peut mentionner que - ln(U) suit alors aussi la loi exponentielle de paramegravetre 1)

11) Pour F fonction de reacutepartition dune loi de Pareacuteto 1-x- s i x gt 1

s i x 5 1 F ( x ) = on a ~ ( y ) = (1 - y)- pour y euro10 I[

Si U suit la loi uniforme sur ]O 1[ (1 - U)-l suit la loi de Pareacuteto

c) Pour F fonction de reacutepartition dune loi de Cauchy F ( x ) = 1 7r (arctanz + z ) on a ~ + ( y ) = tan(iry - ) pour y euro10 I[ Si u suit la loi uniforme sur ]O 1[ tan(irU - 2) suit la loi de Cauchy

1115 La variable X est agrave valeurs dans N et donc CkEN PX = k = 1 Or

Donc a = 3 2 et

i eeuml2zk 3 eeuml22-lk 4 k 4 I C P X = I C = -- + -

On peut eacutecrire 1 3 4 4 PX = I C = -PY = k ) + -PT = k

ougrave on a poseacute e-22k- 1 k

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

Autrement dit T = 1 + 2 et 2 suit une loi de Poisson de paramegravetre 2 tout comme Y On sait alors

E(T) = 1 + E ( 2 ) = 3 E(Y) = 2 et Var(T) = Var(2) = Var(Y) = 2

On en deacuteduit E ( X ) et E ( X 2 ) 1 3

E ( X ) = -JkPY = I C + ampldquoT = k IC20 k 2 0

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

Or E(Y2) = JT(Y)~ + Var(Y) = 6 et E(T2) = E(T)2 + Var(T) = 11

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

1116 Signalons lrsquoabus de notation utiliseacute ici pour deacutesigner la variable aleacuteatoire u ~ ( ~ ) On pourrait noter celle-ci X k deacutefinie sur R lrsquoensemble des permutations de (1 n en posant X k ( a ) = u u ( k )

a) S = C l l k lt n C ~ C un(r~) et donc E ( S ) = Clltkltn - ck E(un(k)) avec

La derniegravere eacutegaliteacute se justifiant par le fait que lrsquoensemble EL = T tels que ~ ( k ) = i est de cardinal (n - l) On obtient donc

b) Remarquons que quel que soient i et j distincts un(i) et uo(j) suivent la mecircme loi En outre il est clair que la loi du couple (u(i) ua(j)) avec i j ne deacutepend pas du couple ( i j ) Drsquoautre part la somme Cljklnua(k) ne deacutepend pas de a elle est eacutegale agrave x l lt k l n ~ k - crsquoest-agrave-dire agrave nuuml On en deacuteduit que

ou encore en vertu de la remarque preacuteliminaire

nVar(uu(1)) + (n2 - n)Cov(uu(l)u(2))

Via le theacuteoregraveme du transport

(1111)

En utilisant (1111)rsquo on obtient alors

On peut deacutesormais calculer la variance de S On a n

k = l kltl n

Or la derniegravere expression entre parenthegraveses nrsquoest autre que la variance drsquoune variable aleacuteatoire uniforme sur les c k qui est eacutegale agrave sc(n - l ) n On a donc

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

La variable aleacuteatoire 2 ne prend que des valeurs positives et pour t gt O

PZ 5 t = P X 5 lnt = Qgt(lnt)

ougrave CP deacutesigne ici la fonction de reacutepartition de la loi normale centreacutee reacuteduite La fonction de reacutepartition de 2 est donc

Q(1nt) si t gt O sinon

F Z ( t ) =

Elle est continue sur R deacuterivable sur R La variable 2 admet donc une densiteacute obtenue en deacuterivant F Z On obtient

s i t gt O

Pour a E [-1 11 la fonction fa deacutefinit bien une densiteacute de probabiliteacute sur R+ car elle est positive et su fa(t) dt = 1 Pour veacuterifier cette derniegravere eacutegaliteacute il suffit deacutecrire

f z ( t ) sin(27r In t ) dt = E ( s i n ( 2 ~ In 2)) = E(sin(27rX)) = O J I - - (I

Leacutegaliteacute () eacutetant la formule de transport (voir Theacuteoregraveme 1141) et la derniegravere espeacuterance est nulle car la densiteacute de X est paire Soit alors une variable 2 ayant fa pour densiteacute On veacuterifie sans difficulteacute que quel que soit lentier k 2 et 2 admettent un moment dordre k De plus

E ( Z t ) = t k f f z ( t ) ( l + asin(2irlnt)) dt

= E ( Z k ) + a i+OO t k f z ( tgt s i n ( 2 ~ In t ) dt

Or cette derniegravere inteacutegrale vaut zeacutero

t k f z ( t ) sin(2ir lnt) dt = E(Zk sin(27r In 2)) = E ( e k x s i n ( 2 ~ X ) )

Les deux variables 2 et 2 ont donc les mecircme moments mais ne suivent pas la mecircme loi car leur densiteacutes respectives sont distinctes Cet exemple illustre le fait que les moments ne caracteacuterisent pas la loi dans le cas ougrave la variable nrsquoest pas borneacutee

1118 On note 7r1 la projection sur la premiegravere composante du d-uplet ( 2 1 zd) I1 est clair que 7rl(X1 X2 X3 Xd) suit la mecircme loi que 7r1 (X2 X I X3 Xd) et donc que X1 et X2 suivent la mecircme loi On montrerait de la mecircme faccedilon que quels que soient i j Xi et X j suivent la mecircme loi et donc E ( X i ) = E ( X j ) De lrsquoidentiteacute X I + + Xd = 1 on deacuteduit que

E ( X 1 ) + + E ( X d ) = 1 = d E(X1) donc E ( X i ) = - d

De mecircme X I ( X l + + Xd) = X1 et donc en prenant lrsquoespeacuterance

1 - = E ( X 1 ) + E(X1X2) + + E(X1Xd) = E ( X 1 ) + (d - 1) E ( X i X j ) (1112) d

La derniegravere eacutegaliteacute se justifiant par le fait que X1X2 suit la mecircme loi que XiXj quel que soit i j (I1 suffit de consideacuterer lrsquoapplication

et de remarquer que

suivent la mecircme loi pour toute permutation a) On obtient alors

c o v ( x ~ rsquo X j ) = E(X2Xj) - E ( X i ) E ( X j )

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

a) La fonction g deacutefinie par g(x) = E((X - x ) ~ ) = x2 - 2E(X)x + E(X2) atteint son minimum en xo = E(X) Le minimum de g vaut alors g(x0) = E ( ( X - E ( X ) ) ~ ) = Var(X)

11) Notons F la fonction de reacutepartition de X La fonction F est croissante continue agrave droite limt-t-F(t) = O et limt++F(t) = 1 Observant alors que t F ( t ) 2 12 est non vide et minoreacute on deacuteduit lrsquoexistence de inf t F ( t ) gt_ 12 = m Par continuiteacute agrave droite on obtient

Drsquoautre part P X 2 m = 1 - P X lt m = 1 - F(m- ) On peut alors distinguer les cas F continue en m et F discontinue en m pour conclure que P X 2 m 2 12 I1 suffit drsquoobserver que dans le cas F continue en m F ( m ) = F ( m - ) = 12 et que dans le cas F discontinue en m on a neacutecessairement F ( m - ) lt 12

Pour se convaincre de la non uniciteacute en geacuteneacuteral il suffit de consideacuterer X suivant la loi uniforme sur O 1 et observer que tout reacuteel de ]O 1 [ est une meacutediane

F ( m ) = PX 5 m 2 12

Montrons maintenant que si a lt b

E ( I X - bl) - E ( I X - a ( ) = u PX I x-PX 2 x d x = u $(z )dx

Pour cela on considegravere les applications

n[t+[(x(w)) et nl-tl(X(w)) deacutefinies pour ( t w ) E [a b] x R

auxquelles on appliquera plus bas le theacuteoregraveme de Frsquoubini-Tonelli Aupa- ravant on observe que

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

si X ( w ) 2 b U-l-mt](X(~)) d t = - bl 7 si X ( W ) euro ] a b[

puis que

( X - bl - IX - al si X euro ] a b[

la - bl IX - bJ - IX - ucircl = s i X gt b

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

On soustrait et on obtient

E(IX-b)-E(IX-al) = P X lt t - P X 2 t d t = $ ( t ) d t O Jr Lb Pour conclure on remarque

- La fonction $ est eacutevidemment croissante avec lim-m $(t) = -1 et lim+ $(t) = 1

- Si m est une meacutediane de X et si x gt m en supposant de plus que z nrsquoest pas une meacutediane alors $(z) gt O II est en effet clair que P X 2 x lt 12 et donc P X 5 x 2 12 et donc $(x) gt O

Si z lt m en supposant de plus que z nrsquoest pas une meacutediane alors $(x) lt 0

- Si m lt mrsquo sont deux meacutedianes alors $(t) = 0rsquovrsquom lt t lt mlsquo En effet les eacutevegravenements X 5 m et X 2 mrsquo eacutetant disjoints on a P X 5 m = 12 et P X 2 mlsquo = 112 et donc P m lt X lt mrsquo = O donc si rn lt t lt mrsquo on a P X 5 t - P X 2 t = O

Par conseacutequent si m et mrsquo sont deux meacutedianes

E ( ( X - ml) - E ( ( X - mrsquol) = $(t) d t = O Lrnlsquo L

et si m a (m lt a par exemple) avec m meacutediane alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

Finalement E ( ] X - ml) = in fE(IX - Q I ) a E X O

11110 Quel que soit a ~ ] 0 1 [ on peut eacutecrire

x = XnXgtaE(X) + x n X lt a E ( X ) et E(XnXltaE(X)) i a E ( X )

drsquoougrave

Or il est clair que E(X2IlxgtE(x)) - 5 E ( X 2 ) donc

S O L I rsquo 1 I O h S

11111 leurs dans IR+ Drsquoautre part

Lrsquoexpression H est une somme de termes positifs donc elle est agrave va-

H ( P ) = (-pkinpk) = O ssi lrsquoun des pk vaut 1

Si P est la loi uniforme sur (1 n alors H ( P ) = in(n) On veacuterifie maintenant que si Q est une mesure de probabiliteacute sur (1 n alors H ( Q ) =

q k In q k I ln(n) Pour cela en utilisant la concaviteacute de la fonction In on remarque que quelles que soient les distributions (pk) et ( q k ) sur (1 n

lltkltn

crsquoest-agrave-dire

l lt k lt n l lt k lt n

qui donne pour pk = i n

H ( Q ) = - q k In(qk) 5 1n(n) lltkltn

On considegravere maintenant une mesure de probabiliteacute sur N noteacutee P Lrsquoexpres- sion H ( P ) est encore agrave valeurs positives (eacuteventuellement 00 si la seacuterie diverge) et

H ( P ) = pk In pk = O ssi lrsquoun des pk vaut 1 k O

Si P est la loi geacuteomeacutetrique de paramegravetre p alors (en posant q = 1 - p)

4 = - lnp - - lnq 4 = - lnp - plnq (1 - d2 P

On observe maintenant que lrsquoineacutegaliteacute (1114) est valable pour des sommes infi- nies Plus preacuteciseacutement si pour tout k entier P ( k ) = pk et Q ( k ) = q k deacutefinissent des mesures de probabiliteacute sur N) alors

(III 5)

Pour montrer ceci on utilise lrsquoineacutegaliteacute ln ( l+z) 5 z valable pour tout z gt -1

(En remarquant que quel que soit k 7 2 -1) On considegravere maintenant P loi geacuteomeacutetrique de paramegravetre p et donc drsquoespeacuterance qp et Q mesure de probabiliteacute quelconque sur N On a alors drsquoapregraves lrsquoineacutegaliteacute preacuteceacutedente

0 I Qk ln(qk) - Qk WPk) k20 k 2 0

= -H(Q) - q k ln(Pgt - qk kin() kgtO kgtO

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Concernant la loi normale rappelons que si X y+ N(ucirc i) alors E(X) = 0 et E(X2) = 1 On en deacuteduit que si P est une mesure de probabiliteacute de loi normale N(0 I) on a

Soient f et g deux densiteacutes de probabiliteacute En srsquoinspirant de la preuve de (1115)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

En particulier si g est la densiteacute de P suivant une loi N(0l) et si JR x2 f ( x ) dx = 1 on obtient par (1116)

H ( P ) = - in (6) - 5 J In ( f ( z ) ) f ( x ) dz O 1 R

11112 On pose pour ( x t ) E IR2

Cette fonction + est de classe C1 sur IR2 avec de plus

Drsquoougrave par deacuterivation sous le signe inteacutegral on obtient

cplsquo(t) = 1 s i x eitx-x22 dx

Agrave lrsquoaide drsquoune inteacutegration par parties (en deacuterivant ie i tx et en inteacutegrant x e euml x 2 j 2 ) on obtient

On en deacuteduit que cp(t) = K eeumlt2I2 pour une certaine constante K Or p(0) = 1 (car cp est une fonction caracteacuteristique) donc cp(t) = eeumlt2l2 En utilisant le deacuteveloppement en seacuterie entiegravere de cp au voisinage de zeacutero on obtient la valeur de cp(rdquo(0) = i k E ( X k ) quel que soit k (cf Proposi- tion 11156)

On en deacuteduit donc

11113 pour toute fonction f E Lrsquo(IR) on a

Ce reacutesultat est le theacuteoregraveme Riemann-Lebesgue Agrave savoir

+W 1 eitZ f ( z ) d x 4 O t4cc

Si est f est lrsquoindicatrice i[ab] drsquoun segment (ou de tout intervalle borneacute) on obtient le calcul

) -+ o i t b - cita t+co

+m b eitx f ( x ) d x = 1 eitx

On peut eacutetendre ce cas particulier agrave toute combinaison lineacuteaire finie drsquoindica- trices drsquointervalles borneacutes (appelleacutee fonction en escalier) Dans le cas geacuteneacuteral pour f E Lrsquo(Et) on considegravere une fonction en escalier qui approche f dans LI (Par densiteacute des fonctions en escaliers dans (Lrsquo(Et) 1111i))

( O n remarquera qursquoune indicatrice drsquoun ensemble mesurable ou qursquoune fonc- taon eacutetageacutee inteacutegrable est un objet a priori beaucoup plus compliqueacute qursquoune fonction e n escalier et que le cas de telles fonctions rentre dans le cas geacuteneacuteral des fonctions Lrsquo )

Soient alors E gt O g en escalier veacuterifiant JR If() - g ( x ) l d x lt ~ 2 et t o tel que

On a eitx g ( x ) dz l lt ~ 2 pour tout t gt t o

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

Le reacuteel E eacutetant arbitraire on en deacuteduit que pour toute fonction inteacutegrable f

L e i t x f ( x ) d x -+ O t+m

En particulier limt+m vX(t) = O cl On suppose deacutesormais que la densiteacute f admet une deacuteriveacutee frsquo inteacutegrable Ceci implique que neacutecessairement f ( x ) --+ O En effet la fonction

x ts lx f rsquo ( t ) d t

admet une limite quand x tend vers +CO donc f admet une limite en +00 et neacutecessairement cette limite est nulle pour que f soit inteacutegrable Le mecircme raisonnement est valable pour -00 Une inteacutegration par parties dans JR eitx f ( x ) d x

Ces calculs se geacuteneacuteralisent sans difficulteacute si les deacuteriveacutees f(rsquo) f(rsquo) sont inteacutegrables pour obtenir le reacutesultat

pX(t) = o(JtJ- rsquo ) quand t -f 00 O

11114 Notons X une variable aleacuteatoire dont la loi est donneacutee par la mesure P La seacuterie (de Bertrand) c amp est divergente et donc X nrsquoest pas inteacutegrable

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

Donc X nrsquoadmet pas de moment drsquoordre 1 Neacuteanmoins sa fonction caracteacuteristique ltp est deacuterivable en O comme le prouvent les calculs suivants

par conseacutequent

- - c(cos(tn) - 1) c sin2(nt2) d i gt - d o ) lsquo 2 C = -4gt t n2 lnn n22 tn21nn 7122 t

- 4C(fN(t) + gN(t))rsquo ougrave N est un entier quelconque Utilisant lrsquoineacutegaliteacute I sinzl 5 1x1 on obtient

(1117)

Drsquoautre part

(III S) i i J lsquo rdquo $ d u = 1

t l n N N t N ln(N) rsquo et N(t) = L$(t)J (partie entiegravere de $(t)) I1 est tampG On pose alors $(t) =

clair que limto $(t) = +m et qursquoon a donc aussi $(t) - N(t) t-to

Utilisant les ineacutegaliteacutes (1117) et (1118) on obtient

De plus I

donc QN(t) (t) t7o 0 Finalement

cp(t) - = -4c(fN(t)(t) + gN(t)(t)) tzo 0 t et donc cp est deacuterivable en O avec cp(0) = O O

11115 On remarque que g est bien deacutefinie et positive sur IR+ En effet

f (t) lt fo va gt O Y t 2 a O 5 - 7 t - U donc t ++ t f(t) est inteacutegrable sur [a +CO[ et ainsi g est deacutefinie en a et g(a) 2 O La fonction g eacutetant paire pour veacuterifier quelle est une densiteacute de probabiliteacute il faut veacuterifier que so g(z) dz = 12 Dapregraves le theacuteoregraveme de Fubini-Tonelli (voir Theacuteoregraveme 1151)

1 f ( t ) dt = 12

en deacutesignant par A lensemble (z t ) O 5 II I t La fonction g est donc une densiteacute de probabiliteacute et si Y est une variable aleacuteatoire admettant g pour densiteacute sa fonction caracteacuteristique quon notera $ est deacutefinie par

$(t) = E ( e i t Y ) = 1 eitYg(y)dy = 2 1 cos(ty)g(y)dy f

car g est paire On a

Y OLT ri- I O N s

et agrave nouveau par le theacuteoregraveme de Fubini-Tonelli

I1 reste agrave veacuterifier que

(1119)

En invoquant le theacuteoregraveme de deacuterivation sous le signe s on remarque que la fonction de t deacutefinie dans le premier membre de lrsquoeacutequation (1119) est deacuterivable et sa deacuteriveacutee vaut

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

Drsquoautre part p eacutetant continue la deacuteriveacutee du second membre vaut p(t) Lrsquoiden- titeacute (1119) eacutetant valable pour t = O on en deacuteduit que

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

IV1 Une urne contient T boules rouges et b boules blanches On tire ces boules une agrave une sans remise jusqursquoagrave eacutepuisement Pour O 5 k 5 b quelle est la probabiliteacute pour qursquoexactement k boules blanches soient tireacutees avant la premiegravere boule rouge

IV2 Deux joueurs A et B jouent une suite de parties indeacutependantes Lors de chacune drsquoelles ils ont respectivement les probabiliteacutes p pour A et q = 1 - p pour B de gagner Le vainqueur final est celui des deux joueurs qui IC premier obtient 2 victoires de plus que son adversaire Quelle est la probabiliteacute pour que A soit vainqueur

IV3 sur [ O il Soit pour tout n 2 1

Soit R = [ O 11 muni de sa tribu boreacutelienne et P la mesure de Lebesgue

Montrer que la famille est mutuellement indeacutependante -

IV4 Soient X et Y deux variables deacutefinies sur (O A P ) ne pouvant prendre que deux valeurs distinctes Montrer que X et Y sont indeacutependantes si et seulement si E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )

CHAP ITRE IV IN LI I P E N D A N c 1

IV5 Soit X une variable aleacuteatoire reacuteelle et soient f et g deux fonctions croissantes de IR dans R On suppose que E(f(X)2) lt 03 et E ( g ( X ) 2 ) lt 00 Deacutemontrer que

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

IV6 Soient X et Y deux variables aleacuteatoires indeacutependantgtes de mecircme loi exponentielle de densiteacute f e ( x ) = Beeumlezll~oco[(x) 6 gt O Deacuteterminer les densiteacutes des lois de X 3 IX - YI m in(X Y 3 ) Mecircme question lorsque X et Y suivent la loi uniforme sur [ - 11 1

IV7 Soient F et G deux fonctions de reacutepartition et U une variable aleacuteatoire de loi uniforme sur ] O 1 [ Montrer que V ( x y) = min(F(z) G(y)) est la fonction de reacutepartition du vecteur aleacuteatoire (F(U) G+(U)) En particulier V est de marges F et G Montrer que si W est une fonction de reacutepartition sur R2 de marges F et G alors H 5 V

IV8 Soient Xi 1 5 i 5 n des variables aleacuteatoires indeacutependantes Xi eacutetant de fonction de reacutepartition Fi Soit m = min1ri5Xi et 111 = maxlltiltXi _ _

Montrer que la fonction de reacutepartition de Ad en x est Fi(x) que celle de rn est 1 - n(i - Fi()) et que

IV9 de paramegravetre 1 Montrer que P 3 i j Xi = X j = O On pose

Soient XI X des variables indeacutependantes de mecircme loi exponentielle

2 = min Xi et N = min 15 i 5 n Xi = Z l_ltisn

Deacuteterminer la loi de 2 Eacutetablir que

P ( N = ~ Z gt t = e - ~ ~ l n k = l n t gt O

En deacuteduire que Z et N sont des variables aleacuteatoires indeacutependantes et preacuteciser la loi de N

IV10 Soit P une loi sur R dont on suppose quelle admet une transformeacutee de Laplace L ( t ) = J etx dP(z) pour It1 petit Soit P la n-iegraveme convolueacutee de P avec elle-mecircme deacutefinie par P = P et P = P(-) P (ie P est la loi dune somme de n variables aleacuteatoires indeacutependantes de loi P ) Soit t tel que

L( t ) existe et soit Pt la loi deacutefinie par sa densiteacute - = - Montrer que Pt7 dPt etx dP L ( t )

etx Montrer que - - dP

admet une densiteacute par rapport agrave P donneacutee par - dP L ( t p

~ ~ ( [ z oo 1) 5 eeumltxL(t)nPtn([z cc [) pour t gt O (comparer cegravette ineacutegaliteacute avec celle de Chernoff Exemples III4lOiii)

I V l l On appelle loi gamma de paramegravetre p gt O et on note rp la loi de densiteacute yp(z) = (r(p))-lzP-leeumlX sur R+ ougrave qP) assure que J igt(z) dz = 1 Montrer que r ( p ) = ( p - l)l(p - 1) et que pour p entier r ( p ) = ( p - l) Montrer que rp r4 = rptq En deacuteduire la loi de AI + + + A ougrave les A sont des variables aleacuteatoires indeacutependantes et de loi exponentielle de paramegravetre 1 Montrer que la fonction caracteacuteristique de la loi Soit maintenant (X) une suite dc variables aleacuteatoires indeacutependantes et de mecircme loi exponentielle Soit S = XI + + X leur somme Pour t 2 O soit N ( t ) = card( i S 5 t En eacutevaluant P N ( t ) 2 k montrer que N ( t ) suit une loi de Poisson de paramegravetre t

est (1 - i t ) - p

IV12 Soient X I X Xn+i des variables aleacuteatoires indeacutependantes de loi exponentielle de paramegravetre 1 Calculer la loi de la somme Sk = X I + + X k 1 5 k 5 n + 1 Deacutemontrer que la loi du vecteur ( U I Un) deacutefini par Ui = SiSn+l i = 1 n a une densiteacute par rapport agrave la mesure de Lebesgue sur Rn donneacutee par n ID ougrave

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

CHAPITRE IV INDlhENDXNCE

IV13 Soient XI X des variables aleacuteatoires reacuteelles indeacutependantes de meacuterne loi de fonction de reacutepartition F ayant une densiteacute f Ces variables ordonneacutees par ordre croissant sont noteacutees XI lt Xz lt lt X Claire- ment les Xi 1 lt i lt n ne sont pas indeacutependantes puisque par construction xi I Xi+ln

a ) Montrer que la probabiliteacute que IC des variables XI X soient infeacuterieures agrave z et n - IC soient supeacuterieures agrave est CF(z)(l - F(z))- En deacuteduire que P Xi 5 z = ~iCkICF(z)(l - F ( Z ) ) ~ - et que Xi admet une densiteacute

fz(z) = ic f(z)F(z)-l(i - q q - 2 J E IR

1)) Montrer par un argument analogue que pour zy E IR

P xi I z Xifl gt y = C()Z (1 - F ( y ) y

( a ) En deacuteduire la fonction de reacutepartition du couple (Xi amp+I)

(1) Montrer que le couple (Xi admet une densiteacute

c ) Soit amp+I = Xi+l -Xi Montrer que le couple (Xi $+I) admet pour densiteacute

n-2-1 g(z s) = i(n - igtCf()f(z + s)F()Z-(l - F ( z + s ) )

z E R s gt o

f ) Supposons les Xi de loi exponentielle de paramegravetre 1 Montrer qualors amp+I est de loi exponentielle de paramegravetre n - i

IV14 Soit (X)nEN une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi de Bernoulli de paramegravetre p Pour tout n 2 1 on deacutefinit par reacutecurence T = inf IC gt T-I XI = 1 si cet infimum est fini T = CO sinon et To = O Deacutemontrer que les variables aleacuteatoires TI T2 - T I T - T-I sont indeacutependantes et de mecircme loi Calculer la loi de TI et sa fonction caracteacuteristique En deacuteduire la loi de T

IV15 Versions du lemme de Borel-Caritelli

P(A is ) = 1 (Reacutenyi)

Iridttntiori poiir tocif ri 2 i poiir dfrnorrtrrr q i t r Cigt n 1 = x p 5

Si i j alors P(A is ) gt O (Kotska)

applrqucr bin4qdttk (16 lcrtrricr III6 10 (i X = Clsilt n 1

P(A) = 00 et P(A n A J ) 5 cP(A)P(A) pour un c gt O et tous

IV16 Ineacutegaliteacute de Kolmogorov Soient X I X des variables aleacuteatoires indeacutependantes despeacuterance O et de variance finie Soit s = X I + + X Montrer lineacutegaliteacute de Kolmogorov

IV17 Trouver une fonction h de J R dans J R et un reacuteel c gt O tel que la fonction

( X Y ) E JR2

soit la densiteacute de la loi dun vecteur non gaussien de IR2 dont les lois marginales sont gaussiennes

CHAPITRE IV I x u ~ + ~ s u ~ ~ c e

IV18 covariance C = ( 8 F) Deacutemontrer que X et Y sont proportionnelles

Soit ( X Y ) un vecteur gaussien centreacute agrave valeurs dans IR2 de matrice de

IV19 Soit X une variable aleacuteatoire suivant une loi N(0 1) et soit E une variable de Bernoulli telle que P E = 1 = P E = -1 = 12 indeacutependante de X Deacutemontrer que E X et ~1x1 ont mecircme loi que X Le couple ( X E X ) est-il gaussien

IV20 Soit X un vecteur gaussien centreacute agrave valeurs dans IRrsquo et soit Y une copie indeacutependante de X On pose Xe = X cos O + Y sin O et Xeacute = -X sin O + Y cos O O E [ O 27r 1 Deacutemontrer que pour tout 8 X e et Xg sont indeacutependantes de mecircme loi que X

IV21 Soient X et Y deux vecteurs aleacuteatoires de IRlsquo indeacutependants et de mecircme loi tels que X + Y et X - Y sont indeacutependants On deacutesigne par p la fonction caracteacuteristique de la loi de X

a) Montrer que pour tous s t E Rd

En deacuteduire lrsquoexistence drsquoune fonction continue 11 sur IRd telle que p = e$

1) On pose +p(t) = $(+( t ) + +(-t)) et +(t) = $ ( ~ ( t ) - ~ ( - t ) ) t E P Deacutemontrer qursquoil existe rn E Rd tel que amp(t) = i (m t ) t E IRd

( 3 ) Soit amp(s t ) = amp(s + t ) - gp(s) - g p ( t ) s t E IRrsquo Deacutemontrer que Q est reacuteelle symeacutetrique neacutegative Eacutetablir que Q est bilineacuteaire

(1) Deacuteduire de ce qui preacutecegravede que la loi de X est gaussienne

IV22 (Lois infiniment divisibles) Soit X une variable aleacuteatoire reacuteelle sur un espace probabiliseacute ( O A P ) de loi p on dit que p est infiniment divisible si pour chaque entier n 2 1 il existe des variables aleacuteatoires reacuteelles XI^ Xnn indeacutependantes et de mecircme loi un telles que la loi de la somme XI^ + + + XnrL soit p

a) Deacutemontrer qursquoune loi p est infiniment divisible si et seulement si sa fonction caracteacuteristique p est pour tout entier n 2 1 la puissance n-iegraveme drsquoune fonction caracteacuteristique

b) p est-elle infininient divisible dans les cas suivants

(i) p = 6 a E R (ii) p est la loi gaussienne de moyenne m et de variance g 2

(iii) p est la loi de Poisson de paramegravetre A

(iv) p est la loi de Cauchy (on rappelle que la fonction caracteacuteristique de la loi de Cauchy est donneacutee par eumlltl)

c) Soit X de loi p de Bernoulli sur O 1 de paramegravetre O lt p lt 1 soient eacutegalement Y et 2 des variables aleacuteatoires indeacutependantes de loi commune v telles que la somme Y + 2 soit de loi p

(i) Si B est un intervalle ne contenant pas O et 12 deacutemontrer que p ( B + B ) = O (ougrave B + B = ldquo +y zy E B ) En deacuteduire que

(ii) Deacuteduire de la question preacuteceacutedente que Y ne peut prendre que les valeurs

(iii) Conclure que p nrsquoest pas infiniment divisible

v v (B x B ) = o

O et 12

(1) Soit cp une fonction caracteacuteristique et soit X gt O On deacutefinit

(t) = X(p(t)-1) t E R

Sur (Cl A P ) on considegravere une suite (XrL)nEW de variables aleacuteatoires indeacute- pendantcs de mecircme loi de fonction caracteacuteristique c p ainsi qursquoun variable aleacuteatoire N suivant une loi de Poisson de paramegravetre A indeacutependante de la suite (Xn)EN Pour chaque w E C2 on pose

1 lt k 5 N (w)

(avec la convention Ciltklto = O) Deacutemontrer que Y est une variable aleacuteatoire de fonction caractampampique Montrer que la loi de Y est infiniment divisible

CHAPITRE IV INDIPEKDANClsquoE

Solutions

IV1 On note Bi lrsquoeacutevegravenement la ie boule tireacutee est blanche Lrsquoeacutevegravenement consideacutereacute srsquoeacutecrit alors BI n Ba n - - n BI n Bk+l Les tirages se faisant sans remise les eacutevegravenements Bi ne sont pas indeacutependants Neacuteanmoins on a

P ( B ~ ~ B ~ ~ nBknEkS1) = P ( B ~ ) P ( B ~ I B ~ ~ B ~ ) P ( B ~ + ~ I nBk)

La probabiliteacute chercheacutee est donc b - k + l r b b - 1

b + r b + r - 1 b + r - k + l b + r - k lsquo O

IV2 Le vainqueur ne peut ecirctre deacutesigneacute qursquoapregraves un nombre pair de parties On considegravere les eacutevegravenements Ccedil = A gagne g2 = A gagne apregraves 2n parties ) puis amp2k = apregraves 2k parties aucun vainqueur nrsquoest encore deacutesigneacute On a alors

Ccedil = U 62 = U ( ~ 2 k n A gagne les parties 2c + icirc et 2k + 2 )

On en deacuteduit que P ( Ccedil ) = CI gtoP(euro2k )p2 Drsquoautre part on a facilement P(amp21+2) = P(euro21)2pq donc quel que soit k 2 O P ( amp 2 k ) = ( 2 ~ q ) ~ et finalement

n2 l k 2 0

IV3 Pour n E N on pose

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

Par deacutefinition la famille des eacutevegravenements A est indeacutependante si pour toute partie finie J de N on a

j euro J j euro J

I1 suffit alors de remarquer que quel que soit i E Nrdquo P(A) = 12 et que pour tout k et quel que soit le k-uplet j 1 lt - + lt j k on a

En effet une partie du type Ajl n Aj n n Ajk-l est une reacuteunion drsquointervalles deux agrave deux disjoints de longueur 1 2 j k - 1 et construire son intersection avec

P(Aj n Aj2 n n A j k ) = P(Ajl n Aj2 n n A j k P l )

Aj consiste agrave (( couper )) chacun de ces intervalles en son milieu et agrave eacuteliminer le (( morceau )gt de droite On obtient alors par reacutecurrence

P(Aj n Aj n - n Aj) = - = P ( A j i ) P(Aj) 1 P(Aj) 2 k

IV4 couple ( i j )

Les variables X et Y sont indeacutependantes si et seulement si pour tout

P X = xi Y = y j = P X = X i P Y = Y j

E ( ( X - X i ) ( Y - Y j ) ) = E ( X - xz)E(Y - Y j )

De lrsquohypothegravese E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) on deacuteduit par lineacuteariteacute de lrsquoespeacuterance

Et cette derniegravere eacutegaliteacute srsquoeacutecrit

(Xj-Zi)(yi-yj)PX = x j Y = yz = (Xj-xz)PX = Zj (y i -y j )PY = Yi

P X = xj Y = yz = P X = Xj P Y = Y i drsquoougrave

et les variables X et Y sont bien indeacutependantes O

IV5 Les fonctions f et g eacutetant toutes les deux croissantes quels que soient x et y f ( x ) - f ( y ) et g(x ) - g ( y ) sont de mecircme signe et donc pour tous 2 y E R

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

Soient alors X et Y indeacutependantes et de mecircme loi Apregraves avoir remarqueacute que f ( X ) g ( X ) E L1 (car f ( X ) et g ( X ) sont dans L2) on utilise le fait que

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E ( ( fW - f ( Y ) ) ( S W ) - 9 ( Y ) ) ) 2 0 On a donc

On rappelle que f ( X ) et g ( Y ) sont indeacutependantes et qursquoon peut alors eacutecrire que E ( f ( X ) g ( Y ) ) = E ( f ( X ) ) E ( g ( Y ) ) I1 en est de mecircme des variables f ( X )

On rappelle aussi que E ( f ( X ) ) = E ( f ( Y ) ) et E ( g ( X ) ) = E ( g ( Y ) ) Lrsquoineacutega- liteacute (IVl) devient

et f ( Y ) 9 ( X ) et g ( Y ) et f ( Y ) et 9 ( X )

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

On applique ce reacutesultat agrave la variable X veacuterifiant (XI lt 1 et aux fonctions f(x) = i(i - x) et g(z) = -1(i + z) qui sont croissantes sur 1-1 i[ On obtient

cest-agrave-dire

IV6 Les diffeacuterentes variables aleacuteatoires consideacutereacutees ont une fonction de reacutepartition continue et deacuterivable sauf en un nombre fini de points (ici au point O) On veacuterifie de plus que cette fonction de reacutepartition est de classe C1 sur les intervalles sur lesquels elle est deacuterivable (ici It+ et K) Deacuterivant cette fonction de reacutepartition on obtient une densiteacute de la variable aleacuteatoire par rapport agrave la mesure de Lebesgue (ie F ( z ) = j F(t) dt) Dans le cas ougrave X suit la loi exponentielle de paramegravetre 19 X prend presque sucircrement des valeurs positives et donc X 3 aussi Dautre part pour tout t gt O

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

6 s i t gt O La fontion de reacutepartition de la variable X 3 est donc t H

Elle est continue et de classe C1 sur IR+ donc X 3 admet la densiteacute (obtenue en deacuterivant sa fonction de reacutepartition)

-e- sinon

On pose 2 = min(XY3) Les variables X et Y 3 eacutetant indeacutependantes on a pour t gt O

PZ gt tgt = P ( X gt tgt n y3 gt tgtgt = P X gt t P Y ~ gt tgt = e- e-

On en deacuteduit la densiteacute de 2

19(i + $-23) e- w+) si t gt O t H O sinon

On pose W = IX -YI Pour t gt O W 5 t = (XY) E A) ougrave

At = (w) E R2 Ix - YI 5 L I

Les variables X et Y eacutetant indeacutependantes on connait la loi du couple (X Y) il admet la densiteacute

Pour le calcul de P ( X Y) E At = JJA p(x y) dx dy il convient de N par- titionner gtgt At en posant At = A uuml A2 ougrave A = At f l O 5 x 5 t et A = At n t lt x On a alors

Donc IX - YI suit la loi exponentielle de paramegravetre O La meacutethode est identique dans la cas ougrave X suit une loi uniforme sur [-l l]

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

Ainsi X3 admet la densiteacute

1 t-23 si - 1 lt t lt 1 sinon

Si Z = min(x3 y ) on a pour -1 5 t 5 1

l - t l - f i PZ gt t = P(X gt t n y3 gt t ) = PX gt t py3 gt t = - -

La variable W = IX - YI prend ses valeurs dans [O 21 et le couple ( X Y) suit une loi uniforme sur le carreacute [-1 11 x [-1 11 cest-agrave-dire agrave densiteacute constante

CHAPITRE IV IND~PEN DANCI

sur [-1 11 x [-11] Pour O 2 t I 2 on a (avec pour A la mecircme deacutefinition que preacuteceacutedemment)

1 t2 -dxdy = t - -

PW I t = J An[-ii]x[-ii] 4 4

Dougrave la densiteacute de IX - YI deacutefinie par

S(2 - t ) si O lt t lt 2 sinon

deacuteduit

Pour tout u E IR on a F(F(u)) 2 u En effet si 2i = F(u) = infa F ( a ) 1 u donc F ( v ) gt_ u car F est continue agrave droite On en

F(U) I c F(F(U)) I F ( z ) c U I F ( z ) On peut bien sucircr eacutecrire les mecircmes inclusions pour les eacutevegravenements concernant la fonction G et on obtient

PF(U) 52 G(U) I Y i min(F(z)G(y))

Dautre part par deacutefinition de la fonction quantile F pour tout reacuteel z

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

U 5 F ( z ) c F(U) 5 F + ( F ( z ) ) car F est croissante

Utilisant les mecircmes ineacutegaliteacutes pour la fonction G on a

U 5 F ( z ) c F(U) I x par (IV2)

U I F ( z ) fl U I G(Y)) = U I min(F(4 G(Y)) c F+(U) i n G(U) I Y

et passant aux probabiliteacutes on obtient lineacutegaliteacute

min(F(z)G(y)) i PF(U) 52 G(U) I Y O

Donc V est bien la fonction de reacutepartition du couple (F(U) G(U)) Ses marges ont F et G pour fonction de reacutepartition (voir Proposition 11127)

Soit H la fonction de reacutepartition dun couple ( X Y ) avec F et G fonction de reacutepartition respectives de X et Y On a X 5 z n Y I y c X I z donc H(z y ) 2 F ( z ) On a la mecircme ineacutegaliteacute pour la fonction G et ainsi H 5 V

S o I I JT IO N s

IV8 Pour tout reacuteels x X I xn on a lrsquoeacutequivalence

max xi I x rsquodi xi I x lltiltn

On en deacuteduit lrsquoeacutegaliteacute des eacutevegravenements

Mn Igt = n (xi 1x1 llti ln

et les variables Xi eacutetant indeacutependantes on obtient

Pour le min des X i lrsquoeacutequivalence

min xi gt x a V i xi gt x iltiltn

donne lrsquoeacutegaliteacute des eacutevegravenements

mn gt X ) = n xi gt xgt lltiltn

IV9 Le vecteur ( X I X 2 X n ) admet par rapport agrave la mesure de Le- besgue sur IRn la densiteacute f ougrave f ( x1 x) = e-rdquol eeumlZn donc pour i j

car Aij = ( x i x) xi = x j est un hyperplan donc de mesure de Lebesgue nulle Ainsi P(3 i j Xi = X j = O car

P - J i j xi = X j = P U X z = X j I C P X = X j = o O i j i j

CHAPITRE IV INDampFN~IAKCrsquoE

Drsquoautre part Z Y-) euroxp(n) car PZ gt t = P n i X i gt t = e-nt et N suit une loi uniforme sur (1 n En effet

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = lz gt t = S f ( ~ 1 xn ) dxn

De mecircme pour tout 1 5 k 5 n on a

P N = k Z gt t

Donc N et Z sont indeacutependantes

O L Li I I O N S

IV10 Pour toute fonction boreacutelienne borneacutee 4 on a

tx On obtient donc dP2 dpt+ - - amp Ce reacutesultat se prolonge aiseacutement par reacutecurrence agrave tout n 2 2

cl dPtn - etx dPn L(t)n -~ -

Pour tout t gt O suffisamment petit

P ( [x +CO[) = amp 7+ et dPn(u)

etx gt l+ dPn(u) = - Pn ([x +CO[) - L(t)n wn

On en deacuteduit lineacutegaliteacute

Pn ([x +CO[) 5 ~ ( t ) ~ eeumltX P ([x +CO[) (IV3)

O Dautre part Pn ([x +CO[) peut ecirctre majoreacute par lineacutegaliteacute de Chernoff (voir Exemple 111410(iii)) on consideacutere (X i ) i une suite de va indeacutependantes de mecircme loi P Pour t gt O suffisamment petit

On obtient alors P ~ ([z +CO[) 5 ~ ( t ) ~ e-tx (IV4)

Lineacutegaliteacute (IV3) est donc plus fine que lineacutegaliteacute (IV4)

CHAPITRE IV IND~PRNJ)A~-CE

IV l l tion par parties dans linteacutegrale cette relation jusquagrave p = 1 on obtient icirc ( p ) = ( p - l) r(1) = ( p - l) Pour montrer que r rQ = lp+g on peut proceacuteder de deux faccedilons

La relation de reacutecurrence iuml ( p ) = ( p - l)r(p - 1) vient dune inteacutegra- zp- e - dz Pour p entier en reacuteiteacuterant

- La premiegravere utilise les fonctions caracteacuteristiques la fonction caracteacuteristique de la loi r que lon calculera plus bas eacutetant pp(t) = - on veacuterifie que

On deacuteduit de cette relation et des proprieacuteteacutes des fonctions caracteacuteristiques que r r4 = rp+q

tion des deux densiteacutes 7 et T ~ Pour z 1 O on a

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

- La deuxiegraveme est calculatoire il suffit de calculer le produit de convolu-

1 up- (z - u)QP1 du

(IV5) En posant u = zu dans la derniegravere inteacutegrale Jup-(z - u)q-du on obtient

e- + r(P)r(q)

(Yp YQgt(4 = 1 Yp(u)Yq(z - 4 du =

up-( - u)Q-l du = zP+Q- vP-(l - )Q- du 6 6 Linteacutegrale J vp-(i-v)q- dv est la fonction Beacuteta noteacutee ~ ( p 4 ) Leacutega- liteacute (IV5) devient alors

Utilisant lidentiteacute classique() B ( p q) = w on obtient

(Yp YQ) = Yp+n- O

On deacuteduit alors de ce reacutesultat que si XI A sont des variables aleacuteatoires indeacutependantes suivant la mecircme loi exponentielle de paramegravetre 1 alors A1 + La fonction caracteacuteristique de la loi rp noteacutee pp(t) vaut

+ A suit la loi I

Pour p reacuteel strictement positif le calcul de cette inteacutegrale peut se faire par la meacutethode des reacutesidus(2)

(Voir par exemple ltlt Principles of Mathematical Analysis raquo W Rudin McGRAW-HILL Voir par exemple (( Inteacutegration et probabiliteacutes Analyse de Fourier raquo G Letac MASSON

Remarquons neacuteanmoins que pour p entier une inteacutegration par parties donne

Et reacuteiteacuterant ce calcul jusqursquoagrave cpl(t) = A on obtient le reacutesultat

La suite (Sn)n eacutetant croissante on a Sk+1 5 t c SI 5 t et remarquant que

W(t) = k = S k I t lt S k + l gt

on a P W ) = k = PSk 5 t - PSk+l 5 t

Drsquoautre part

- - + ( k - 1) uk-2e-u d u par inteacutegr par part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

Et par conseacutequent

P N ( t ) = I C = PSk 5 t - PSk+I 5 t = -e-t

soit N ( t ) c) P(t) O

IV12 chapitre IV La variable Sk suit la loi r k et admet donc la densiteacute

La loi de SI = X1 + + XI a eacuteteacute calculeacutee dans lrsquoexercice 11 du

si t 2 O

sinon fk(t) =

Pour calculer la loi du vecteur (YI Un) calculons drsquoabord la loi de ( S I Sn) On veacuterifie que le vecteur ( S I Sn) admet pour densiteacute la

fonction e- sur E = SI s) s1 5 5 s On peut proceacuteder de deux faccedilons

- Par reacutecurrence sur n en utilisant le fait que la loi de S sachant (Si S-i) = (SI s-1) est la loi de s-1 + X (voir Exemple VI65(ii)) La densiteacute de (SI S-l S) est donc donneacutee par

fn(sl s) = fn-l(sl ~ - l )e -~n+~n- l - e-Sn-le-~n+Sn-l - -Sn - - e par hyp de reacutec 0

- En consideacuterant une fonction boreacutelienne borneacutee q5 deacutefinie sur Rn ou plutocirct sur E et en calculant E(q5(S1 S))

E(q5(S1 Sn)) =

q5(zti ICI + z2 z1 + 2 2 t a + z)eeumlZ1 e- dz1 dz

( 31 = 21

s2 = 21 + 2 2 Par le changement de variable dont la valeur ab-

(sn=z1+-+ICn solue du jacobien vaut 1 on obtient

s Sn+l Sn+l - Sn+d Si La densiteacute du vecteur aleacuteatoire (Ul Un Un+l) = (-

sur En+ = O I u1 I u2 5 I u 5 1 et u+1 2 O En effet pour tout fonction boreacutelienne borneacutee deacutefinie sur

( ~ 1 un u+1) ++ eeumlUn+l

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

de jacobien uE+l donne

(ul un+l) e-un+lun+l du1 du+i O = EL+l

S Pour obtenir la densiteacute du vecteur (snt e) on integravegre par rapport agrave la derniegravere variable

uE+le-un+ldun+l = n Ju+m Donc la densiteacute de (e amp) est constante eacutegale agrave n sur O 5 u1 5

o 5 un 5 1 j

a) La probabiliteacute que ltlt XI XI soient infeacuterieures agrave z et Xk+l X n soient supeacuterieures agrave J gt) est par indeacutependance des variables X i eacutegale agrave F(z)(l - F ( z ) ) ~ - On en deacuteduit que la probabiliteacute que ltlt k variables soient infeacuterieures agrave z et n - k soient supeacuterieures agrave z gtgt est eacutegale agrave

On peut alors eacutecrire

(i)F(z)l - F(z))-k

Xin 5 J = u k variables sont infeacuterieures agrave J j k z i

= u k variables sont infeacuterieures agrave z k z i

et n - k sont supeacuterieures agrave z

pour en deacuteduire

PXZ 5 x = F(z)l - F(z))n-k iltkltn

On deacuterive par rapport agrave z cette derniegravere expression

CHAPITRE IV INDEacutePENDANCE

ougrave a k deacutesigne le reacuteel (n l )Fk(z ) (n-k) ( l -F(z ) ) -k- l On obtient ainsi

Ce reacutesultat peut aussi sinterpreacuteter physiquement de la faccedilon suivante

on choisit une variable au hasard (n choix possibles) qui soit dans [z z+dz] (ce qui arrive avec une probabiliteacute de f ( z ) dz) parmi les autres variables on en choisit au hasard i - 1 ((7) choix possibles) au plus eacutegales agrave z (avec donc une probabiliteacute de F ( x ) ~ - ) puis on veut les (n-i) autres variables plus grandes que z (avec une probabiliteacute ( 1 - F ( Z ) ) - ~ ) On obtient

b) Leacutevegravenement Xin 5 z Xi+l+ gt y nest autre que leacutevegravenement i variables sont infeacuterieures agrave z et n - i sont supeacuterieures agrave y Sa probabiliteacute se calcule par un raisonnement analogue agrave la question preacuteceacutedente et vaut (S)F(z)i(l - F(y))-i

c) En notant F la fonction de reacutepartition du couple (XinXi+ln) on a pour z I Y

(1) I1 suffit de veacuterifier que quels que soient -00 lt z 5 y lt +CO on a

= J- (JT+m i(n - i) ( ) f ( u ) f ( u ) F y u ) ( l - F(u))n-i-l d u ) d u

= i(n - i ) (gt 1 f (u)Fi - l (u) d u + m f ( u ) ( l - F(u))n-i-l du Y

= (7) Fi()(l - F(y))n-i = PXi 5 2 Xi+ln gt y o

e ) Le couple (Xin S ~ + I ~ ) prend ses valeurs dans R x R+ et pour (z y) E R X R +

(avec le changement de variable w = u - u dans la 2egraveme inteacutegrale)

De cette derniegravere expression on deacuteduit que le couple (Xi S ~ + I ~ ) admet pour densiteacute la fonction f deacutefinie par

f ) Si les X i suivent une loi exponentielle de paramegravetre 1 le couple (Xi Si+l) prend ses valeurs dans IR+ x IR+ et la variable Si+l admet pour densiteacute la fonction h deacutefinie par h(s) = s- g(z s) dx Pour s 2 O

on a donc

h(s) = i+m i(n - i ) ( y ) (l - e-z)i-l(e-z-s)n-i-l) dx

) dx = Jil+m i(n - i ) (lsquo2rdquo) e-2z-s (l - e-z)i-l(e-z-s)n-z-l

En notant Ii cette derniegravere inteacutegrale et en inteacutegrant par parties on obtient facilement la relation Ii = $amp Ii-1 Reacuteiteacuterant cette identiteacute jusqursquoagrave 11 = $ il vient

( i - l) (n - i ) 1 1 I2 = Il=---- (n - l) (I) nrsquo

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

et finalement S ~ + I ~ euroxp(n - i ) O

IV14 Pour (il i 2 in) E Nn lrsquoeacutevegravenement Ti = i l T2 -TI = 22 Tn - Tn-l = in srsquoeacutecrit

Les variables Xi eacutetant indeacutependantes

Drsquoautre part pour tout k entier

On deacuteduit de ce dernier calcul que les variables T I T2 - T I T - T-1 sont indeacutependantes et de mecircme loi La variable Ti suit la loi geacuteomeacutetrique de paramegravetre p et sa fonction caracteacuteristique vaut

Remarquant que Tn = Ti + (T2 - T I ) + + (T - T-1) et utilisant lindeacutependance des Ti - Ti-1 on a

La variable T suit la loi binomiale neacutegative de paramegravetre ( n p )

a) On pose X n = Cili5 Ildi et on lui applique lineacutegaliteacute deacutemontreacutee dans lexercice 11110

On rappelle que E(X) = Cilti5n P(A) -+ 00 Soit alors M un reacuteel positif et soit N E N veacuterifiant pour tout n entier 2 N aE(X) gt M Degraves que n 2 N X 2 M 2 X

aE(X) et donc

Dautre part

Soit E strictement positif fixeacute Pour n suffisamment grand on a alors

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

CHAPITRE IV INDEPENDANCE

et par conseacutequent

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

Cette ineacutegaliteacute est valable quels que soient O lt a lt 1 et E gt O En faisant tendre Q et E vers O on en deacuteduit P(UX 2 M ) = l M eacutetant arbitraire

En particulier pour tout entier N P(uumlX 2 N) = 1 et donc

P(nN Un X n 2 N ) = 1

La suite (X) eacutetant croissante on en deacuteduit que X converge presque O sucircrement vers linfini Donc P(A is ) = 1

b) On peut supposer que quel que soit i l(Ai) O et donc quitte agrave remplacer c par

m u P-(Al) PP1(A2) P-(A) c

on peut supposer que

vi$ P(Ai n A j ) 5 cP(Ai)P(Aj)

On reprend les notations et le raisonnement preacuteceacutedents on a

Il sensuit que pour tout entier N lineacutegaliteacute

est veacuterifieacutee si n est suffisamment grand

On note alors ON leacutevegravenement U n gt ~ X n - 2 N La suite (ON) est deacutecroissante donc

(1 - a)2 P(nNON) = limP(ON) 2 N C

gt o ( l - f f ) 2 On en deacuteduit P(A is ) 2 O

SOLLITIONS

IV16 et quon a

Remarquons que les eacutevegravenements Ak sont bien disjoints deux agrave deux

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

En utilisant alors (IV6)(IV7)(IV8) et (IV9) on obtient n n

Eacutetant donneacute que E(S) = Var(Sn)

IV17 On prend c = 1 on pose 1

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

et on cherche alors h pour que les conditions requises soient reacutealiseacutees Lhypothegravese JR h(t) d t = O impliquera que

- JJRZ f(X Y) dXdY = 1

- les lois marginales seront gaussiennes centreacutees reacuteduites

On pose alors t si (tl 5 a O sinon

h(t) =

et on choisit a pour que f ainsi deacutefinie soit positive La fonction f est donc la densiteacute de probabiliteacute dun couple qui coiumlncide avec la densiteacute N(0 I d ) en dehors du carreacute [-a al2 mais distincte de celle-ci dans [-a al2 I1 est clair que

O Agrave noter que dautres fonctions h conviennent ce couple ne peut ecirctre gaussien

IV18 Le vecteur ( X Y ) prend ses valeurs sur une droite (presque sucircrement) car sa matrice de covariance C est non inversible Elle admet pour noyau la droite IR (2 -1) On a

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

La variance de la variable 2X - Y est donc nulle Par conseacutequent 2X - Y est constante presque sucircrement et elle vaut zeacutero car son espeacuterance est nulle O

IV19 Pour tout boreacutelien de IFS noteacute A on a

PeacuteX E A = 12 P I X E A + 112 P X E - A 1 P X E A

car X est symeacutetrique Donc E X suit la mecircme loi que X On procegravederait de mecircme pour prouver que amp]XI suit la mecircme loi que X Le couple ( X amp X ) ne peut ecirctre gaussien car sa loi est porteacutee par la reacuteunion des deux droites y = x et y = -x

lV20 ristique

Soit l la matrice de covariance de X et ltpx = ltp sa fonction caracteacute-

v(ugt = E(e(J)) = e- i z tu ru u E p On peut calculer la fonction caracteacuteristique de Xe noteacutee ve

Le calcul de la fonction caracteacuteristique de Xeacute donne le mecircme reacutesultat donc Xg et Xe suivent la mecircme loi que celle de X Dautre part il est clair que le couple (Xe X eacute ) est un couple gaussien en tant que transformation lineacuteaire du couple gaussien ( X Y ) On va montrer que Xe et Xg sont indeacutependantes en montrant que la matrice de covariance de

(Xe Xeacute) est diagonale par blocs Plus preacuteciseacutement la matrice de covariance C de (XeXeacute) eacutetant une matrice de MPd(R) Xe et Xeacute sont indeacutependantes si et seulement si C srsquoeacutecrit sous la forme

Soit A E Md(R) veacuterifiant AtA = r Les vecteurs X et Y suivent alors la mecircme loi que le vecteur AG ougrave G y+ N(0 Id)

il est clair que le couple (XeXeacute) suit la cos 61 sin 6Jd - sin 6Id cos 6Id Notant A4 =

mecircme loi que le vecteur aleacuteatoire de

des vecteurs indeacutependants suivant la loi N(0 Id) La matrice de covariance de (Xe Xeacute) est donc

111 (t A) (n) ougrave les G~ sont

M (ti) - lsquo ( M (fi)) = M (lsquoO) t111= (lsquoO) Donc Xe et Xeacute sont indeacutependantes O

a) On va reacutesoudre cette premiegravere question pour des variables aleacuteatoires reacuteelles Le cas de variables aleacuteatoires agrave valeurs dans Rd se traite de maniegravere analogue sans difficulteacute suppleacutementaire

p(s + t)p(s - t ) = E ( e ) i( s+t)X )E( ei( s- t )X

- - E(ei(s+t)x)E(ei(S-t)Y)

= E(ei(s+t)xei(s-t)Y) car X et Y ont mecircme loi

car X et Y sont indeacutependantes = E(e is (X+Y) i t (X-Y))

= E(eiS(X+Y))E(ei t (X-Y))

= E(eisx)E(eisY)E(eitX)E(e-itY) car X + Y et X - Y sont indeacutependantes

car X et Y sont indeacutependantes = v2(sgtcp(t)v(-tgt = cp2(sgtlcp(t)l O

lsquodt7 cpw = v(t)21v(t)12rsquo

En prenant t = s dans la relation preacuteceacutedente on obtient

puis en remplaccedilant t par t2 et en reacuteiteacuterant lrsquoopeacuteration n fois il vient

lsquodt E R lsquodn E N cp(t) = cp ( - n)2n Iv () I Z n 67

On deacuteduit de cette relation que quel que soit t cp(t) O En effet si cp srsquoannule en un certain a alors ~ ( a ) = O et donc

trn E N cp (g) = O (IV 10)

En rappelant que cp est continue en O et que cp(0) = 1 un passage agrave la limite dans (IV10) donne la contradiction

Lrsquoapplication

est continue (ougrave U deacutesigne lrsquoensemble des complexes de module 1) Par un argument topologique (theacuteoregraveme de relegravevement) on obtient lrsquoexistence drsquoune application continue f R -i R telle que cp(t)lcp(t)l = On a

cp(tgt = ~cp(tgtl e i f ( t ) = elnlV(t)l+if(t)

Drsquoougrave lrsquoexistence drsquoune application + continue de R dans C telle que p ( t ) = e+(t) O

b) Soient gP et +i les parties paire et impaire de +rsquo crsquoest-agrave-dire

II = + $+ avec paire et IIi impaire

Utilisant le fait que cp(-t) = cp(t) la relation eacutetablie agrave la question a) donne

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

En identifiant les parties impaires il vient

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

Pour t = s on obtient quel que soit s sii(25) = 2+i(s) Pour t et s quelconques dans IRd en posant t = SI- ti et s = SI+ t i on obtient par (IV12)

Si(S1) + IIi(tl) = +i(Sl +t i )

La fonction $ eacutetant continue on en deacuteduit par un raisonnement classique (pour tout s E Rd et 1 E R $+(Zs) = l+i(s) via une deacutecomposition du reacuteel 1 en base 2) que IIi est lineacuteaire Et IIi eacutetant agrave valeurs dans il existe alors m et mrsquo E tels que

vt E Rd +i(t) = (t mrsquo) + i ( t m)

- La relation cp(-t) = cp(t) donne

l ipgt - liiw = l i p ) + lii(tgt (IV 13)

et donc amp(t) = S($( t ) ) et amp(t) est un complexe imaginaire pur Par O

c) On utilise agrave nouveau la relation (IV11) et identifiant les parties paires

l i p b + t ) + $ p ( s - t ) = 2 ( l i p ( s ) + l i p gt gt (IV14)

Remplaccedilant dans cette relation le couple ( s t ) par les deux couples (s + tl + t 2 s ) puis ( s + t l s + tz) il vient

conseacutequent m = O et pour tout t E I W ~ +i(tgt = i ( t m)

2 s I p ( sgt + 2 l i p ( s + t 1 + t 2 ) - l i p (ti + t 2 ) = 2 l i p ( s + t 1 ) + 2 l i p ( s + t 2 ) - ampI (t 1 - t 2 )

l i p ( t 1 - t 2 ) = 2 l i p ( t 1 ) + 2 l i p ( t 2 ) - l i p ( t 1 + t 2 )

Utilisant agrave nouveau la relation (IV14) on peut remplacer amp(tl - t 2 ) par

et obtenir la lineacuteariteacute par rapport agrave la deuxiegraveme variable de Q(s t ) Fina- lement Q est bien symeacutetrique et bilineacuteaire Par (IV13) 7++ est agrave valeurs reacuteelles

Enfin pour tout t E IRd (cp(t)( 5 1 et Icp(t)l = e $ p ( t ) donc lip(t) 5 O et O

d) Dapregraves la question preacuteceacutedente lip est une forme quadratique neacutegative

donc Q est bilineacuteaire symeacutetrique et neacutegative

La fonction caracteacuteristique de X seacutecrit

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

Cest la fonction caracteacuteristique dune loi gaussienne

a) Soient XI X X n variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi v et de fonction caracteacuteristique $ Si la loi de XI^ + Xz +

+ X est celle de X noteacutee p alors

cpX(t) = cp X1n+X2n+-+Xnn ( t ) = 9x1 ( t ) f cpXgt ( t ) = $(t)

(voir Proposition IV23)

Reacuteciproquement si cpX(t) = $E(t) et si 2 1 ~ Z sont n variables indeacutependantes de mecircme loi et de fonction caracteacuteristique sin alors la loi de 21~ + - e 1 + Z est p (voir Theacuteoregraveme 11152) et donc p est infiniment divisible

1) (i) Dans le cas ougrave p = Sa pX(t) = cita Remarquant que

et utilisant (a) on deacuteduit que 6 est infiniment divisible si X I X sont indeacutependantes et de mecircme loi Sa alors X i + - + X suit la loi Sa On peut aussi remarquer p = Sa signifie que X est presque sucircrement constante eacutegale agrave a On peut alors eacutecrire X = X I + + X n avec X i presque sucircrement constante eacutegale agrave a n

(ii) Si x - N(ma2) alors

Donc X suit la mecircme loi que X I + +X ougrave les va X sont indeacutependantes et de mecircme loi N(rnn Donc X est infiniment divisible

(iii) Si X P(A) alors e ~ ( e z t - l ) = ( e $ ( e t t - l ) ) n

(PX(t) =

Donc X suit la mecircme loi que XI + + X ougrave les va Xi sont indeacutependantes et de mecircme loi P(An ) Donc X est infiniment divisible

(iv) Si X suit une loi de Cauchy n px(t) = e - 1 1 = (e- l t l )

Donc X suit la mecircme loi que X I + + X ougrave les va Xi sont in- deacutepedantes et suivent la mecircme loi que X n Donc X est infiniment divisible

c) (i) Si B est un intervalle ne contenant ni O ni 12 alors pour tout z E B et y E B on a neacutecessairement J + y O et z + y 1 Donc

P(Y + 2 E B + B ) = p ( B + B ) = o Dautre part

(Y E B ) n (2 E B ) c (Y + 2 E B + B ) v v(B x B ) 5 p ( B + B ) = o donc

(ii) Si B est lrsquoun des intervalles ] - co O[ ]O 12[ ou ]12 +m[ drsquoapregraves c) (i) et lrsquoindeacutependance de Y et 2

P ( ( Y E B ) n (z E B ) ) = P(Y E B gt ~ = o On en deacuteduit P(Y E O 12) = 1

(iii) En posant P(Y = O) = a et P(Y = 12) = b et toujours sous lrsquohypothegravese ltlt Y et 2 suivent la mecircme loi et sont indeacutependantes raquo on a P(Y + 2 = 12) = 2ab Donc Y + 2 ne suit pas la mecircme loi que X et p nrsquoest pas infiniment divisible

d) On pose 2 = eitY et donc (pY(t) = E ( 2 ) Drsquoautre part 2 =

ampO - q N = k ) et

E(znN=k) = E(eitxl eitxk I=) = E(eitxl) E(eitxk)E(nN=k)

= p(t)kPP(N = I C

Par convergence domineacutee on obtient alors

Observant que

on conclut que Y est infiniment divisible Plus preacuteciseacutement soient

N N ~ N ~ N ~ x ~ x x ~ xrdquox2x1x2 x X k x x X E

une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes ougrave les Xi et les Xa suivent la mecircme loi ougrave N suit la loi de Poisson P(A) et ougrave N1 N 2 N n suivent la mecircme loi de Poisson P(Xn) On pose

alors Y1 + + Y suit la mecircme loi que Y

CONVERGENCE DE SUITES DE VARIABLES ALEacuteATOIRES

Eacutenonceacutes

V1 Soit (Xn)nEW une suite de variables aleacuteatoires reacuteelles sur un espace probabiliseacute (a A P ) on suppose quil existe une suite de reacuteels (un)nEW telle que les seacuteries

soient convergentes Deacutemontrer que la seacuterie E X est ps convergente

V2 variance ( c T ) ~ ~ convergeant en loi vers une variable aleacuteatoire X

Soit (Xn)TLEw une famille de variables aleacuteatoires gaussiennes centreacutees de

a) Montrer que la suite ( c T ) ~ ~ est convergente et en deacuteduire que X suit une loi gaussienne Eacutetudier le cas ougrave les X ne sont pas centreacutees

1 ) ) On suppose que X + X en probabiliteacute Deacutemontrer que X converge vers X dans tous les espaces LP

V3 Montrer que pour J gt O

Soit maintenant (Xn)nEW une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes toutes de mecircme loi N(0l) Montrer que

lim sup x = 1 p-s n+cc J27ogn

Montrer eacutegalement que

V4 Soit (X i ) iE I une famille de variables aleacuteatoires reacuteelles sur (a A P ) on suppose quil existe une fonction G [ O 00 [- [ O oa [ veacuterifiant limt+oo G(t) t = cc telle que supiEI E(G(IXi1)) est fini Deacutemontrer que la famille (X i ) iE I est uniformeacutement inteacutegrable

V5 (0 A P ) convergeant en loi respectivement vers X et Y

Soient (Xn)nEN et (Y)EN deux suites de variables aleacuteatoires reacuteelles sur

a) On suppose que pour tout n X et Y sont indeacutependantes et que X et Y sont indeacutependantes Deacutemontrer que X + Y converge en loi vers X + Y Donner un exemple montrant que lhypothegravese dindeacutependance est indispensable

I ) ) O K ~ suppose que Y = O Prouver que X + Y converge en loi vers X et XY corivergc en loi vers O

V6 Soit (an)-- une suite de nombres appartenant amp [ O 11 on lui associe une suite (X71)nEW de variables aleacuteatoires indeacutependantes sur un espace probabiliseacute (R A P ) dont les lois veacuterifient

si t lt O + (i -a)tn si t E [0 1]

si t gt 1

Agrave quelles conditions sur (a)-N la suite (X)nEN converge-t-elle en loi en probabiliteacute presque sucircrement

V7 Montrer que la probabiliteacute P converge eacutetroitement vers la probabiliteacute P si et seulement si 1ini7L+cc J 4 d ~ = J 4 d~ pour toute fonction 4 infiniment diffeacuterentiable agrave support compact

V8 Une formule drsquoinversion de la transformeacutee de Laplace

a ) Soit (A) = CnEW e-rsquo$amp la loi de Poisson de paramegravetre A Montrer que si X est de loi P(A8) alors ( X - M ) A converge en probabiliteacute vers O lorsque X -$m En deacuteduire que

1)) Soit ~ ( t ) = eeuml tX dP(z) la transformeacutee de Laplace drsquoune loi P sur IR+ Montrer que L ( t ) est deacuterivable Montrer que si P est de fonction de reacutepartition F alors

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

en tout point de continuiteacute de F

V9 Soient X Y deux variables aleacuteatoires reacuteelles indeacutependantes Notons f X la densiteacute de X

Une formule drsquoinversion de la transformeacutee de Fourier

a ) Montrer que ~ ( e - ~ ~ ~ c p ~ ( ~ ) ) = E ( ( ~ ~ ( x - t ) ) t E IR

1)) Prendre Y de loi N(0a2) et supposer (px inteacutegrable par rapport agrave la nie- + CO montrer la formule donneacutee au sure de Lebesgue En consideacuterant

ThCoregraverrie 11154

f x ( ~ ) = amp euml i t x p X ( t ) dt

c) Montrer que pour tous zy et m gt O

(Px (4 d t

oo sin(tx) On rappelle que JO

En deacuteduire que si J et y sont des points de continuiteacute de Flsquo alors

d t = signe(z)~2

ce qui donne une formule drsquoinversion de Fourier et montre que px caracteacuterise F X et donc Px

CHAPITRE v CONVERGENCE DE SLJITES DE VARI4BLES ALEacuteATOIRES

V10 Soit (Xi ) i2 l une suite de variables aleacuteatoires de loi uniforme sur [ O 11 Soit N une variable aleacuteatoire de loi binomiale B(np) et indeacutependante des X i Montrer que nminlltiltN _ - Xi converge en loi lorsque n --f 00 vers une variable aleacuteatoire exponentielle de moyenne lp

V l l Appliquer le theacuteoregraveme limite central agrave une suite (X) de variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi de Poisson de paramegravetre 1 pour trouver la limite de la suite

un = e-n c $ n E N o g lt n

V12 Soit (Xi)i2l une suite de variables aleacuteatoires reacuteelles indeacutependantes et de mecircme loi P On appelle mesure empirique de X I X la loi de probabiliteacute P = n- C1siIIL 6xi (cette mesure est aleacuteatoire puisque les Xi le sont) Montrer que presque sucircrement P converge eacutetroitement vers P

Indication uhliser la deacutefinlition 4l i et lu loi forte des grands norrrbres Si F (resp F ) est ba fmiction de reacutepartition de P (ESP P ) on prendra garde nu fait que l ensemble de mesure nulle sur lequel 1irnTL+= FrL(t) F ( t ) doit pouvoir ecirctre pris iridkpesidant tif t 6 cette fin on peut utiliser ln mraquonotonie et In borriitude de F

V13 Notons U(P) la variable aleacuteatoire reacuteelle cigt L-ZX ougrave les X i sont indeacutependantes de loi B(1p) et soit L ( P ) la loi de UTp) Soit J E [ O 11 Notons z = Cigtl 2-izi son deacuteveloppement en base 2 -

a) En utilisant la loi forte des grands nombres montrer que sous L) pour presque tout 5 la proportion de 1 dans le deacuteveloppement en base 2 (ie n-l xi) tend vers p En deacuteduire que les lois L(P) sont eacutetrangegraveres les unes par rapport aux autres

b) Montrer que L(12) est la mesure de Lebesgue sur [ O 11 (loi uniforme sur [011)

Montrer que les lois L(P) nont pas de parties discregravetes Donc si p O 1 2 1 la fonction de reacutepartition de C ( P ) est continue mais pas absolument continue

EacuteNONClsquoEacuteS

V14 Au Theacuteoregraveme IV31 nous avons vu comment construire une suite infinie de variables aleacuteatoires indeacutependantes Donnons ici une construction plus explicite sur IR Soient X n 2 1 les variables aleacuteatoires de loi i(112) construites agrave lrsquoExemple IVl7ii En utilisant lrsquoexercice V13 et lrsquoExemple V13irsquo montrer qursquoon peut construire une suite (Un)gtl de variables aleacuteatoires uniformes sur [ O 1 1 indeacutependantes

Iiidicatiraquon considelsquorer la constriction en tnuriglc

ui = 2-1x + 2-lsquox2 + 2 P X 4 + 2PX7 + u2 = 2r1xlt + 2-rsquox5 + 2-ldquoxx + u3 = 2r1xrj + 2-rsquoamp + rsquo rsquo

l i d = 2-rsquoXlo +

Montrer alors que si lrsquoon se donne une famille de loi Pi i E N sur IR on peut construire une suite de variables aleacuteatoires reacuteelles ( Zi) iEN indeacutependantes telles que Zi est de loi Pi Nous avons donc dans ce cas une preuve constructive du Theacuteoregraveme de Kolmogorov IV31

V15 On considegravere une marche aleacuteatoire sur Z partant de lrsquoorigine repreacutesenteacutee par une suite (X) de variables aleacuteatoires sur un espace probabiliseacute (fl A P ) mutuellement indeacutependantes et de mecircme loi de Bernoulli sur - 1 l de paramegravetre O lt p lt 1 (autrement dit P X = 1 = 1 - P X = -1 = p pour tout n) On pose S = Xi + + + X n 2 1 et par convention So = O La variable aleacuteatoire S repreacutesente donc la position au tenips n du marcheur parti de O On srsquointeacuteresse agrave la probabiliteacute de revenir une infiniteacute de fois agrave son point de deacutepart crsquoest-agrave-dire agrave la probabiliteacute de lrsquoeacutevegravenement

A = S = O pour une infiniteacute de n

a) Deacutemontrer que Sn converge presque sucircrement vers une limite que lrsquoon preacutecisera

11) Deacuteduire de la question preacuteceacutedente que P(A) = O si p 12

c ) On suppose agrave preacutesent que p = 12

(il Pour tout k 2 O soit Z = (sp+i - ~p)dlsquo iF Prouver que z I a mecircme loi que S2kamp En deacuteduire en faisant usage du theacuteoregraveme limite

CHAPITRE V ClsquoONVERGENClsquoE DE SUITES DE VARIARLECgt mAroIrtIils

central que pour tout reacuteel M

P ZI 2 M = 00

(ii) Conclure de la question preacuteceacutedente que P supk 21 2 M = 1 pour tout A l puis que P supk IZkI = 00 = 1 En deacuteduire que

(iii) Deacutemontrer avec la loi du 0-1 que lrsquoeacutevegravenement BS = supnL1 Srsquofi = +CO est de probabiliteacute 0 ou 1 Soit B- = infgti S T L f i = -00)

Deacutemontrer que P ( B f ) = P(B-) Conclure agrave lrsquoaide de la question preacuteceacutedente que P(B+) = P(B-) = 1

(iv) Deacuteduire de ce qui preacutecegravede que P(A) = 1

V16 On appelle distance en variation totale la quantiteacute

Soient p et v deux mesures de probabiliteacute sur un espace mesurable ( E a)

Soient X et Y deux variables aleacuteatoires sur (n A P ) de lois respectives Prdquo et PY

a) Montrer lrsquoineacutegaliteacute I(Px - PYll lt_ P X Y

1)) Soient Y et E deux variables aleacuteatoires indeacutependantes sur (n A P ) Y de loi de Poisson de paramegravetre O lt p lt 1 et E de loi de Bernoulli de paramegravetre 1 - (1 - p ) e p Soit X = 1 - li(E=Y=Ogt Calculer la loi de X et deacutemontrer que lrsquoon a P X Y lt p 2

c ) Soit S une variable aleacuteatoire de mecircme loi qursquoune somme de n variables aleacuteatoires indeacutependantes de lois de Bernoulli de paramegravetre p O lt p lt 1 i = 1 n Deacutemontrer qursquoil existe une variable aleacuteatoire 2 suivant une loi de Poisson de paramegravetre X = Clltzltnp2 telle que _ _

d) Retrouver le Theacuteoregraveme V56 pour pi = Xn X gt O 1 5 i 5 n (n 2 A)

ci OLT TT I O N s

Solutions

Vl On considegravere les eacutevegravenements X agt que lrsquoon note A Eacutetant donneacute que CP(A) converge drsquoapregraves le lemme de Borel-cantelli P(A i s ) = O Donc pour presque tout w E R X(w) = a agrave partir drsquoun certain rang (deacute- pendant de w ) Pour un tel w la seacuterie CX(w) converge car par hypothegravese En a converge

O Donc E X est presque sucircrement convergente

a) Soit (X) une suite de variables aleacuteatoires de loi N(0 a) avec

La suite des fonctions caracteacuteristiques (pXn ( t ) ) converge simplement sur R vers pX(t) donc

On en deacuteduit que la suite (a) est convergente vers un reacuteel a positif Dans le cas ougrave a gt O pX(t) = eumlu2t22 et la variable X suit donc la loi gaussienne N(0a2) En revanche le cas a = O donne une convergence en loi vers la variable constante eacutegale agrave O qui nrsquoest pas gaussienne

On suppose deacutesormais que X suit la loi N(m a) On a

et donc en prenant les modules

Comme preacuteceacutedemment on en deacuteduit que la suite (an) est convergente vers un reacuteel a

La suite (X) eacutetant convergente en loi elle est uniformeacutement tendue (voir par exemple la suite du Theacuteoregraveme V44 page 128) Par conseacutequent en consideacuterant les eacutevegravenements X E [m - a M + a] on obtient que la suite (m) est neacutecessairement borneacutee

CHAPITRE v CONVERGENCE DE SUITES DE VARIABLES ALEacuteATOIREY

Si (rn) admet deux points daccumulation distincts alors la suite (eitmn) ne peut converger pour toute valeur de t En conclusion (rn) converge vers un reacuteel rn et

eitmn-ant22 -3 eitm-02t22 n

La suite (X) converge en loi vers la loi de Gauss N(m a2) dans le cas ougrave O O ou bien vers la constante rn si n = O

b) Par le reacutesultat du a) X est gaussienne centreacutee et de variance cr2 Dapregraves le Corollaire V36 il suffit de montrer que la suite ( E ( ~ X ~ ~ ) ) est majoreacutee On pose X = aY et Y suit donc une loi normale centreacutee reacuteduite De plus

E(IXnIp) = nE(IYnIP) = nE(IYolP) I K p

ougrave KP est une constante indeacutependante de n dont lexistence est assureacutee par la convergence de la suite (on) La suite (X) converge donc dans LP pour tout p

V3 Montrons que pour tout x gt O

Pour la premiegravere des ineacutegaliteacutes une inteacutegration par parties donne

_ _ t 2 t-l t e - 5 d t = - - dt l+cc e-$ d t = I+

On eacutecrit

et on en deacuteduit

SOLUTIONS

Soit alors O lt E lt 1 On pose

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

J2lr J G ( 1 - euro) Jinn 1 - i n n ( i - ~ ) ~ 1 1

N- -K--

On reconnaicirct le terme geacuteneacuteral drsquoune seacuterie de Bertrand divergente Les eacutevegravenements A eacutetant indeacutependants par le lemme de Borel-Cantelli on obtient P(A is) = 1 Pour E strictement positif on considegravere maintenant les eacutevegravenements

Xn B = ~ gt (1 + amp) x 2 G ( l + amp ) J2lnn - pour lesquels

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

On reconnaicirct ici le terme geacuteneacuteral drsquoune seacuterie de Bertrand convergente Agrave lrsquoaide du lemme de Borel-Cantelli on obtient P(Bis) = O De ces deux reacutesultats on deacuteduit que

Xn d G limsup ___ = 1 ps

Montrons maintenant que

lt 1 + E -+ 1 maxiltiltn Xi J2irin n

Pour cela on montrera

1) P(1- E lt m z nrsquo 1

Tout drsquoabord

et les variables Xi eacutetant indeacutependantes

ltl+E=J-JPxi5(l+E)d5Kz i=l

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

par lrsquoeacutequivalent (V2)

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

ce qui prouve a) Pour montrer b) on montre que P ms 5 1 - E -t O

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

par leacutequivalent (V2) 1

- o n++m

Ce qui prouve b) En remarquant que P(An n Bn) -+ 1 degraves que l(An) -+ 1 et P(Bn) -f 1 on obtient le reacutesultat O

V4 Sans perte de geacuteneacuteraliteacute on suppose les X i positives et on note que pour tout reacuteel a Jxtgtnr XidP = JtdPxt(t) On pose

Soit A gt O arbitraire et a0 tel que t gt a0 + y gt A Si a gt ao on a

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

1 M dPXz( t ) 5 - A E(G(Xi)) 5 - A di E I l+m t dPXz( t ) 5 l+

On en deacuteduit Xi dP O SUP iEZ 1 Xigt a++m

La famille ( X i ) i E ~ est donc uniformeacutement inteacutegrable

a) On utilise les fonctions caracteacuteristiques

E(eit(xfyn) gt = E(eifXX)E(eityn) car X et Y indeacutependants

-+ E ( e i tx ) E ( city) n

= E(eit(X+Y)) car X et Y indeacutependants

CHAPITRE V CONVERGENCE DE SLJITES DE VARIAHLES ALEacuteATOIRES

Donc X + Y converge en loi vers X + Y Pour se convaincre de limportance de lhypothegravese dindeacutependance il suffit de consideacuterer une variable aleacuteatoire X suivant une loi normale N(0l) et poser

x=x Y= -x On a ainsi

X n + X Y - + X et X+Y = O C C

b) Pour tout IL E R et tout E gt O

xn F x - E n IKl I E c xn + y i x En consideacuterant les eacutevegravenements contraires puis les probabiliteacutes respectives on obtient

FX-(z - E ) 5 FXn+Yn(z) + P)Y) gt E

De mecircme

X gt + E n gt E c X n + Yn gt IL

puis F X n +un (IL) F F X ( z + E ) + P(YI gt E

De ces deux ineacutegaliteacutes on obtient

F X ( z - E ) - PIYI gt E 5 FX+Yn(z) F X q z + amp) + PIYI gt E

La fonction F X n eacutetant croissante on deacuteduit lencadrement

IFXnfYn(IL) - Fx(z)I 5 F X ( z + E ) - F X ( z - E ) + PIYI gt amp

On considegravere alors IL point de continuiteacute de F X On peut choisir E aussi petit que lon veut avec de plus z - E et z + E points de continuiteacute de F X et F X ( z + E ) - F X ( z - E ) arbitrairement petit Pour de tels IL et E

limsup ( F ~ ~ + ~ ~ ( I L ) - F ~ ( ~ ) I 5 ~ ~ ( z + E ) - F ~ ( I L - E ) n

C On en deacuteduit Fxn+yn(x) -$ F x ( z ) et X + Y t X

On va montrer que le produit X Y converge en probabiliteacute vers O Pour tout entier k

IXnl lt k n IYnl lt $1 c IX Ynl lt i 84

S o L I IT IONS

et donc IXnYnl 2 c IXnl L k u IYnl 2 $ 1

I1 srsquoen suit

PIXn Yl 2 I PIXnl 2 k + PIYI 2 $1 Soit E gt O La suite (X) eacutetant convergente en loi elle est tendue Donc quel que soit n PIXl 2 k lt E si est k est suffisamment grand Drsquoautre part la suite (Y) convergente en loi vers une constante converge en probabiliteacute vers cette constante (voir Exemples V42 (iv)) donc PIYnI 2 -amp lt E si n suffisamment grand Finalement

La variable ( X Y) converge en probabiliteacute et donc en loi vers O 0

V6 pour lequel la suite ( P X 5 t ) soit convergente

Pour que la suite (X) converge en loi il faut qursquoil existe un t ~ ] 0 1 [

ier cas Si la suite (a) ne tend pas vers O alors quel que soit t ~ ] 0 1 [

P X 5 t = a + tn + antn N an

Dans ce cas il est neacutecessaire que (an) soit convergente Si a -+ a la suite (X) converge en loi vers la loi de Bernoulli a60 + (1 - cy)amp 2e cas Si la suite (a) tend vers O alors la suite (X) converge en loi vers X = 1

En conclusion pour que (X) converge en loi il faut et il suffit que a soit convergente vers un reacuteel a et (X) converge alors en loi vers a60 + (1 - a)amp Pour pouvoir affirmer que la convergence soit une convergence en probabiliteacute il faut et il suffit que la limite X soit constante presque sucircrement crsquoest-agrave-dire a -+ O ou a --f 1 De mecircme pour pouvoir affirmer que x X -+ O (resp 1) presque sucircrement il faut et il suffit que C P X gt E lt 00 (resp CPi - X gt E lt w) pour tout E (voir Proposition V 12 Lemme de Borel-Cantelli) crsquoest-agrave-dire si C(i - a) lt 00 (respCa lt w)

V 7 Lrsquoensemble des fonctions infiniment diffeacuterentiables agrave support compact noteacute CK est dense dans Co(R) muni de la norme uniforme On va montrer dans un premier temps que

CHAPITRE v CONYERGEWCE DE SUITES DE VARI4BLECcedil 4LlAT011lES

Soit (+p)p une suite drsquoeacuteleacutements de Cg convergente vers + dans (Co(R) 1 1 1 1 ) On a

Ces deux derniers termes sont aussi petits que lrsquoon veut pourvu que p soit suffisamment grand pour le premier et que n soit suffisamment grand pour le second On a ainsi montreacute (V3) Soit deacutesormais cp E (espaces des fonctions continues borneacutees) et ( f k ) k

une suite croissante de fonctions positives dans Cg veacuterifiant

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

Quel que soit cp E cb(R) on a

5 llpll(1 - f k ) dPn -t- 1 cp f k d P - 1 f k dPn 1 + I(flI - f k ) dP

le dernier terme est aussi petit que lrsquoon veut pourvu que k soit suffisamment grand et le deuxiegraveme terme pour k alors fixeacute est aussi petit que lrsquoon veut pourvu que n soit suffisamment grand Enfin concernant le premier terme on remarque

I1 est donc aussi petit que lrsquoon veut

a) Soit E strictement positif

J f k dPn) n+w l(ltpI( (I - f k ) dP

si n suffisamment grand

SOLLITIONS

La majoration utiliseacutee eacutetant lineacutegaliteacute de Tchebitchef appliqueacutee agrave X x On en deacuteduit que converge en probabiliteacute vers O et donc converge en loi vers O

Pour x gt O on a

CI 1 si x gt O k x++w O s i z lt O

donc -xe (Wk e

b) Par utilisation des theacuteoregravemes de deacuterivation sous le signe inteacutegral() la fonction L est deacuterivable sur RS En effet

(i) t H eeuml tx est deacuterivable sur Rs pour tout x 2 O (ii) Si a gt O pour tout x 2 O et tout t 2 a Ize-tXl 5 Ixe-I E

Donc L est deacuterivable sur [a +m[ avec L(t) = amp+oc)(-x) e-tx dP(x) Le reacuteel a gt O eacutetant quelconque on en deacuteduit que L est deacuterivable sur R On peut reacuteiteacuterer ce raisonnement pour prouver que quel que soit IC E N L est k fois deacuterivable sur R avec

L(P) car borneacutee

Pour prouver leacutegaliteacute demandeacutee on utilise le reacutesultat montreacute en a) On remarque

et donc par convergence domineacutee

Voir par exemple (lt Calcul inteacutegral raquo J Faraiit EDP Scierices 87

CHAPITRE v CONVERGENCE DE SIJITES DE VARIABLES ALEacuteATOIRES

Si II est un point de continuiteacute F alors part pour tout II gt O

I[[dP(8) = F ( z ) Dautre

On obtient donc pour tout II gt O point de continuiteacute de F

Concernant le cas particulier II = O la somme preacuteceacutedente vaut L(X) et agrave nouveau par convergence domineacutee

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

a) On utilise le theacuteoregraveme de Fubini (voir Theacuteoregraveme 1151)

E(eeumli ty px(Y)) = E(e-ztY eiyxfx(II) dx)

= E ( ei(Yxc-tY f x O d X )

E ( e i Y ( x - t ) f x ( z ) dx par le thm de Fubini

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

b) On rappelle que si Y suit une loi normale N(0 u2) on a p Y ( t ) = eeumla2t22 Lidentiteacute montreacutee preacuteceacutedemment devient alors

(V4) vt E(e-Zty px(y)) = E(e-$(x- t )2)

et cette derniegravere expression nest autre que lexpression au facteur LL J2n pregraves de la densiteacute dune variable X + 2 avec 2 indeacutependante de X et suivant la loi N(0 a2 ) (voir Exemples IV24(iv))

SOLUTIONS

Drsquoautre part lorsque a -+ +oo la variable aleacuteatoire 2 converge en loi vers O (regarder par exemple la convergence des fonctions caracteacuteristiques) et drsquoapregraves le reacutesultat eacutetabli agrave lrsquoexercice V5b)rsquo X + 2 - X en loi On a donc pour toute fonction continue agrave support compact $

U-++CC

En utilisant (V4) on obtient

Drsquoautre part sous lrsquohypothegravese ltlt px inteacutegrable raquo et par convergence domineacutee

s Y2 V t e-ztYpx(y) e - s d y ---+ U-t+CC e-ZtYpX(y) d y

Agrave nouveau par un argument de convergence domineacutee on a

$(t) (1 eeumlitYpX(y) e-$ d y ) d t 27r

Et de lrsquoidentiteacute

valable pour toute fonction continue agrave support compact on deacuteduit que

27r 1 e-ZxYpX(y) d y p s o

c) On suppose ici que 2 lt y On applique le theacuteoregraveme de Fubini (voir Theacuteoregraveme 1151) pour inteacutegrer la fonction

e-itx - e-ity e i t Z

it ( t 4

sur lespace ([-m m] x R X 63 d P X ) I1 vient

e-itx - e-ity eit d t 8 dPX ( z )

sint(z - x) dt - Im sin t ( z - Y)

7 1 0 t

Lexpression entre parenthegraveses tend vers 1 1 ~ ~ [ ( z ) + l 2 ( l l ~ x ~ ( z ) + n Y ) ( z ) ) lorsque m tend vers +CO et peut ecirctre majoreacutee par une constante indeacutependante de m et de z Par convergence domineacutee on a

Pour x et y points de continuiteacute de F X cette derniegravere inteacutegrale vaut F x ( y ) - F x ( z ) et on obtient bien la relation demandeacutee qui carateacuterise donc F X et donc la loi Px O

V10 Soit t E [ucirc i ] On a

n min xi gt tgt = Un min xi gt tgt n N = IC i lt i j N n l j i lt N n

SOL11 1 IONS

Les Xi et Nn eacutetant indeacutependantes il sen suit

Pour t g [O il le calcul est trivial et finalement

dt E R P(n min Xi 5 t ) --f P(Y 5 t ) ougrave Y y-f amp x p ( p ) lltiltN n

V l l Si (Xn)gtl est une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes suivant la mecircme loi de Gisson (A) on sait que X1 + X Z + + Xn v+ P(nX) avec en particulier E(X1 + + X n ) = nX et Var(X1 + + Xn) = nX On prend alors X = 1 et on applique le theacuteoregraveme limite central

XI+ + X - n 1 O _ - t 2 1 lt ucirc z - e 2 d t = - 2 6 -cc Or

Dougrave le reacutesultat nk 1

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

V12 Soit F la fonction de reacutepartition de XI et t E R On pose

La suite (Xl)i21 est alors une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi et dapregraves la loi forte des grands nombres

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

Rt = w E 0 pour lesquels la convergence a lieu

Xi(w) +-+xltwgt = E a n

CHAPITRE V CONVERGENCE DE SYITES DE ~ ~ I I I A B L E S ALEacuteATOIRES

Soit (tn) une suite de rationnels ltlt surjective sur Q raquo (On pourrait consideacuterer toute autre suite veacuterifiant tn n E N dense dans IR) On considegravere R = nnR On a l(az) = 1 On prend w E 0 et on note Fk la fonction de reacutepartition de Pk =

IC- c i lt i lt k xi() Soient t E IR un point de continuiteacute de F et E gt O I1 existe alors ti et t j tels que

ti lt t lt t j et O lt F ( t j ) - F(ti ) lt E

Pour tout k E N Fk(ti) I Fk(t) I Fk(tj) et pour tout n Fk(tn) c F(tn) donc par passage agrave la limite quand k tend vers +oo

F(ti ) I liminf Fk(t) 5 limsupFk(t) 5 F( t j )

Le reacuteel E eacutetant arbitraire (Fk(t))k converge vers F ( t ) Donc presque sucircrement P converge eacutetroitement vers P O

a) On considegravere les variables Xi deacutefinies sur (RAP) Dapregraves la loi forte des grands nombres

On note 0 = w E R CfXi(U) p nce

P(0 ) = 1 et donc PU((E) = 1 et ainsi

Soient p q ~ ] 0 1 [ avec p q On pose

On a eacutevidemment EP n E4 = 0 et donc

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

Ainsi les lois C(P) sont eacutetrangegraveres les unes par rapport aux autres O

b) On considegravere lintervalle dyadique [ ~ 2 ~ ( k + 1)2n[ de [O 11 ougrave n est un entier quelconque et O 5 IC 5 2n - 1

Si X deacutesigne la mesure de Lebesgue X([IC2 (IC+1)2[) = 1 2 n Dautre part la reacutealisation ou non de leacutevegravenement U(12) E [ ~ 2 ~ ( I C + 1 ) 2 n [ ne deacutepend que des valeurs prises par XI X n Plus preacuteciseacutement on a

u(li2) E [ I C ~ ~ ( I C + i gt 2 n ] - x = i lgt n - n xn = ingt

pour des i l lindeacutependance des variables Xi

in deacutetermineacutes dans O 1 ) de maniegravere unique Utilisant

1 PU(IZ) E [IC2n ( I C + 1 ) 2 n ] = PX1 = i l x x P X n = in = - 2n

Donc C(12) coiumlncide avec la mesure de Lebesgue sur les intervalles dyadiques Observant quune union dintervalles dyadiques se deacutecompose en une union disjointe dintervalles dyadiques (puisque lintersection de deux intervalles dyadiques est un intervalle dyadique) C(12) et la mesure de Lebesgue coiumlncident sur lalgegravebre de Boole engendreacutee par les intervalles dyadiques Par la Proposition 147 elles coiumlncident sur la tribu engendreacutee qui nest autre que la tribu engendreacutee par les intervalles cest-agrave-dire la tribu des boreacuteliens Donc d1l2) est la mesure de Lebesgue sur [O 11

O Remarque o n peut aussi prouver que dl) est la mesure de Lebesgue sur [O 11 e n utilisant les fonctions caracteacuteristiques Si U deacutesigne la variable aleacuteatoire Ck21 3 o n a

eitU - eitCkgtl 3 2k ) E(1ime itCLl$$)

- - lim(E(eitCk=l $ ) 7 par convergence domineacutee

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

et o n peut facilement montrer que

cos ($) - cos (g) sin (g) = (+gt-I sin (i) O n e n deacuteduit alors

Dougrave q5U(t) = it Cest la fonction caracteacuteristique de la mesure de Lebesgue sur [O 11 donc les mesures cokcident

Drsquoautre part pour z = 3 E [O 13 -

PU(P) = xgt = pnl[xi = xi]) = O pour tout p e O il Pour p O et p 1 la mesure L(P) nrsquoadmet donc pas de partie discregravete et si de plus p 12 elle nrsquoest pas absolument continue (par rapport agrave la mesure de Lebesgue) car eacutetrangegravere agrave celle-ci

V14 Drsquoapregraves lrsquoexercice V13 les variables Ui suivent la mecircme loi uniforme sur [O 11 Drsquoautre part il est clair que la construction en triangle agrave partir des Xi indeacutependantes permet drsquoassurer que les Ui sont indeacutependantes Enfin si Fi deacutesigne la fonction de reacutepartition de Pi et Fi+ sa fonction de quantile (voir Proposition 11127)rsquo alors la suite (Zi)i = (FC(Uigt)i est une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes avec Zi de loi Pi o

a) Drsquoapregraves la loi forte des grands nombres

q presque sucircrement (ougrave q = 1 - p )

1)) Supposons p gt q et soit a veacuterifiant O lt a lt p - q On note 0rsquo lrsquoeacutevegravenement

Ainsi llsquo(arsquo) = 1 et pour tout w E Rrsquo il existe N E N veacuterifiant

I1 est clair que quel que soit n 2 N Sn(w) O donc w e A Par conseacute- O

(i) La variable 2 = ( S 2 k + 1 - S2) = (X2k+l + - + X2+) suit la mecircme loi que ( X I + + + ~ p ) car les xi ont mecircme loi et sont indeacutependantes Drsquoautre part lrsquoeacutecart-type de X i valant 1 le theacuteoregraveme limite central donne

quent A n 0lsquo = 0 et donc P(A) = O

2 Donc Pzk 2 M ampJp e z d t -4_ O e t

la seacuterie x k _ gt ( ) P Z k L M diverge grossiegraverement et O

(ii) Les eacutevegravenements Zk 2 M k = O 1 sont indeacutependants car les variables z k sont indeacutependantes Du lemme de Borel-Cantelli (voir Theacuteoregraveme IV35) on deacuteduit Pzk 2 M is = 1 En particulier

x k gt O pzk 2 M = 0

V M PsUPZk 2 M = 1 k

Dautre part

On note agrave nouveau R = w E R tel que supk I z k ( W ) I= +CO On a

Pour w E R

Dapregraves lidentiteacute (V5) la suite --in ne peut ecirctre borneacutee et donc 6

(iii) Lrsquoeacutevegravenement B+ srsquoeacutecrit

Donc B+ appartient agrave la tribu terminale des tribus o ( X n ) et O

En consideacuterant la suite -Xnrsquo on montre que P(B+) = P(B-) et on a

drsquoapregraves la loi du 0-1 P(B+) = O ou 1

sP l $ l= +a c B+ rdquo B-

et par (V6)rsquo on a P(B+) = P(B-) = 1 O (iv) On raisonne par lrsquoabsurde en supposant que P(A) lt 1 On a

- A = (A n Brsquo) U (A n B-) la reacuteunion eacutetant disjointe ici

Drsquoougrave P(A) = P (An B+) + P (2 n B-) gt O donc lrsquoun des deux termes est neacutecessairement strictement positif disons le premier On a alors P (An B-) lt P(A) et

P(B-) = P(B- n A ) + P(B- n A) I P(A) + P(B- n 2) lt P(A) + llsquo(A) = 1 drsquoapregraves la derniegravere remarque

Or P(B-) = 1 drsquoougrave la contradiction Donc P(A) = 1 O

a) Pour tout B E A on a

X E B = ( X E B n X = Y ) u ( X E B n x Y )

et donc

P X E B = ~ ( x E B n X = Y ) + P ( X E B n x Y )

De mecircme pour Y drsquoougrave

I P ~ ( B ) - Prsquo(B)~ = JP(x E B n X Y )

-P(Y E BI n X Y)J L P X Y

Ainsi I(Px - PyI( 5 P X Y O

11) Remarquons drsquoabord que pour O lt p lt 1 on a O lt 1 - (1 - p)eP lt 1 La variable X suit une loi de Bernoulli avec

P X = O = PE = OPY = O = ((1 - p)eP) e-P = 1 - p

Donc X --+ B ( p ) On a

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

= e-P(i - (i - p)eP) + i - eeumlP - p e euml P = - p e euml p + p 5 p 2 car eeumlp 2 i - p O

c ) En srsquoinspirant de la question preacuteceacutedente on considegravere pour 1 5 i 5 n Y yf P(pi) et ~i y-f B(l-(l-pi)eP~) avec de plus Y I Yz Y ~ 1 E~

indeacutependantes On construit alors X i = 1 - l(icirc=K=o) I1 est alors clair que Xi yf B(pi ) et que les Xi sont indeacutependantes

On pose S = C X i et Z = CY La variable Z suit une loi de Poisson de paramegravetre C p i

De lrsquoinclusion n i X i = y Z c S = Z on deacuteduit S Z c UiXi y Z puis

Drsquoougrave lrsquoexistence de 2 veacuterifiant (IPS - PzI( 5 x p O

En particulier

Vk E N

PROBABILITEacuteS ET ESPEacuteRANCES CONDITIONNELLES

Eacutenonceacutes

VIl Soient X et Y des variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi inteacutegrables Comparer les lois des couples ( X X + Y ) et (Y X + Y ) En deacuteduire que E ( X 1 x + Y ) = E(Y I x + Y ) = ( X + Y)2

VI2 leur somme quelle est la loi de Xi sachant que S est paire

X1 et X eacutetant les reacutesultats indeacutependants de deux jets de deacutes et S eacutetant

VI3 reacuteelle Deacuteterminer la loi de X conditionneacutee par X A a

Soit X une variable aleacuteatoire reacuteelle quelconque et soit a une constante

VI4 n E W

Soit X une variable aleacuteatoire agrave valeurs dans IV telle que pour tous rn

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

(on dit que X est sans meacutemoire)

i l ) On pose P X = O = a Deacuteterminer la loi de X

1)) Soit Y une copie indeacutependante de X Quelle est la loi de S = X + Y Deacuteterminer la loi conditionnelle de X sachant S = p p E W Interpreacuteter le reacutesultat

VI5 Soit X = (X) une suite de variables aleacuteatoires Soit N line variable aleacuteatoire agrave valeurs dans N indeacutependante de la suite X Montrer que X N est une variable aleacuteatoire Montrer que pour tout k E N la loi de X N sachant N = k est la loi de X k

VI6 Soient X I X des variables aleacuteatoires indeacutependantes suivant des lois de Poisson de paramegravetres respectifs A l A Deacuteterminer la loi conditionnelle du vecteur aleacuteatoire ( X I X) sachant que Ciltilt X i = n - _

VI7 la loi N(0 l ) Deacutemontrer que la loi de X I sachant S =

N(Sn 1 - 1n)

Soient X I X des variables aleacuteatoires indeacutependantes suivant chacune X i est la loi

VI8 ucirc gt O Eacutetablir que

Soit X une variable aleacuteatoire suivant une loi exponentielle de paramegravetre

Montrer que cette proprieacuteteacute caracteacuterise la loi exponentielle parmi les lois agrave densiteacute Prouver que 1irnh-o h - l ~ t lt x lt t + h 1 x gt t = B pour tout t

VI9 Soient X et Y deux variables aleacuteatoires reacuteelles indeacutependantes de loi N(O 1) On pose X = R cos B et Y = R sin B

a ) Montrer que X + Y et X - Y sont indeacutependantes et en deacuteduire la loi de R2 sachant que Y = X

l t l c t r t o i O i l p o 7 f F c i r c I P = $((-Y t 1-y + (X ~ Y)])

I ) ) Montrer que R et ucirc sont indeacutependantes et en deacuteduire la loi de R2 sachant que ucirc = n4 ou 571-14 (cest-agrave-dire sachant que Y = X )

( ) Pour montrer que les reacutesultats ne sont pas contradictoires preacuteciser les sous- tribus de Conditionnement dans les deux questions

VI10 On se donne une matrice carreacutee JP = ( t i j ) l j i j l n Deacuteterminer agrave quelle condition sur P il existe des variables aleacuteatoires X et Y agrave valeurs dans 1 n telles que

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

On appellera une telle matrice matrice de transition (voir chapitre VIII)

P eacutetant une matrice de transition (loi conditionnelle de Y sachant X ) on deacutesigne par M le vecteur de IRn repreacutesentant la loi de X Mi = P X = i i = 1 n Deacutemontrer que la loi de Y se repreacutesente par le vecteur tPM

V I l l Nous avons vu agrave lrsquoexercice V614 comment construire une suite infinie de variables aleacuteatoires indeacutependantes sur lrsquoespace probabiliseacute ( [ O 11 B([ O il) A) Agrave lrsquoaide de lrsquoexercice V614 construire sur cet espace une suite de vecteurs aleacuteatoires indeacutependants de loi Pi i E IV donneacutees sur IR2

VI12 Soit P une loi sur IR2 de marges Px et P y et ( X Y ) de loi P Soit Fxlv(x) la fonction de reacutepartition de la loi conditionnelle C ( X I Y = y) Soient U V deux variables aleacuteatoires indeacutependantes et de loi uniforme sur [ O 1 1 Montrer que le couple (i t(U)Fx(FYC(U)(V)) est de loi P Ceci donne un proceacutedeacute de simulation drsquoun vecteur aleacuteatoire

VI13 On reprend les notations de lrsquoexercice IV13 Montrer que

n-i P 2 s 1 amp72 = z = 1 - F ( z + s ) ) 2 E IR s 2 O

et que

VI14 Soient X I X des variables aleacuteatoires reacuteelles indeacutependantes et de mecircme loi admettant une densiteacute f Soit XI 5 5 X ces variables aleacuteatoires ordonneacutees et deacutefinissons les espacements Sin = Xin - Xi-l 2 5 i 5 n qui mesurent les distances entre les variables adjacentes (faire un dessin) Soit

la fonction de reacutepartition empirique des espacements laquelle compte la proportion drsquoespacements plus petits que zn Notons

Soit enfin Jin = 1 si aucune des variables XI X ne tombe dans lrsquointervalle ] X i Xi + x n ] et Ji = O sinon

I) hdontrer que le vecteur (Il I) est eacutechangeable crsquoest-agrave-dire que sa loi est invariante par permutation des coordonneacutees (voir aussi exercice 11168)

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

() Montrer que suit une loi de Bernoulli de paramegravetre

(1) Eacutevaluer P ~ i = 1 I = i

cgt) Montrer que limn-m E(L(x)) = L ( z ) et que limn+m E ( L ( x ) ~ ) = L ( x ) ~

f ) En utilisant la continuiteacute la bornitude et la monotonie de L montrer que

lim sup ~L(S) - L(z)l = O n+m X E R

en probabiliteacute

(Pour n assez grand ce reacutesultat donne une ideacutee sur la taille des eacutecarts entre les points aleacuteatoires adjacents XI+ X)

VI15 La proposition 11127 nous donne une faccedilon drsquoengendrer des variables aleacuteatoires reacuteelles pourvu que la fonction de quantile soit facile agrave calculer Ce nrsquoest pas toujours le cas en pratique Une meacutethode assez efficace est la meacutethode dite du rejet qui fonctionne comme suit Soient f g deux densiteacutes sur IR On souhaite simuler une variable de densiteacute g en supposant qursquoon sache facilement simuler une variable de densiteacute f et qursquoil existe une constante c telle que g 5 c f Soit ( X U ) un couple de variables aleacuteatoires indeacutependantes respectivement de lois de densiteacute f et uniforme sur [ O 11

a) Montrer que le couple ( X c U f ( X ) ) est uniformeacutement distribueacute sous le graphe de f

- f = ( x y ) ER2 o 5 Y L c f ( z ) crsquoest-agrave-dire qursquoen notant X la mesure de Lebesgue sur IR2

VA E B(IR2) P ( X c U f ( X ) ) E A = X(A n f)

En deacuteduire que L ( X I c U f ( X ) 5 g ( X ) ) a pour densiteacute g

I ) ) Soient (U X ) des couples indeacutependants de mecircme loi que ( X U ) Soit NO =

Montrer que P Ni = k = (1 - c - l ) k - l c~ l et que E(N1) = c Montrer que XN i 2 1 est une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes de lois de densiteacute g Expliquer pourquoi en pratique il faut prendre c le plus petit possible

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

VI16 (Processus de Poisson)

a) On considegravere une famille de variables aleacuteatoires ( X i X) indeacutependantes et uniformeacutement distribueacutees sur [ O t 1 On note Xi 5 5 X la famille reacutearrangeacutee dans lrsquoordre croissant On dit alors que ( X I 5 5 X) est une n-statistique drsquoordre sur [ O t ] Donner la loi de ( X i 5 5 X)

Irrdtccitiori or) p o i i r i i i t i i t rodu i i t 1 r i (nicinblf i

A = (XI I 5 7 ) ) (X(I) F I X( )) po i i i to i i l r p r i r n i i t ~ i t i o n (T iI I I t rsquo l i r r ~ ~ ~ ~ t i

1)) Montrer que si (Xi 5 5 X) est une n-statistique drsquoordre sur [ O t ] alors la loi conditionnelle de ( X I 5 5 X-i) sachant X = 2 a la loi drsquoune (n - 1)-statistique drsquoordre sur [ O X I

c ) Supposons que (XI 5 5 X) est une n-statistique drsquoordre sur [ O t ] Consideacuterons des reacuteels O = t o 5 ti 5 5 t = t et des entiers O = IC0 5 ki 5 5 kp = n Montrer que

P v j = O p - 1 vi = k + 1 k+irsquo X E] t t+1]

CHAPITRE VI PROBABILITrS E I ESPERANCES CONDITIONNELLES

(1) On considegravere une suite de variables exponentielles de paramegravetre A indeacutependantes (Tk)kgtl et on note Sn = TI + + T n 2 1 Calculer la loi de (SI S) puis la loi de S Montrer que la loi conditionnelle de (SI Sn) sachant Sn+l = s est la loi dune n-statistique dordre sur [ O s 1

c) On pose Nt = E lt[otj(Sn) Montrer que la variable Nt est finie presque sucircrement En utilisant c) et d) montrer que pour tous O = t o 5 tl 5 5 t pour tous entiers k l kn on a

En deacuteduire que les variables Ntz - NtzpI sont indeacutependantes et suivent des lois de Poisson de paramegravetre A( t i - ti-1)

soi 1 1 I O N S

Solut ions

VIl Les couples ( X X + Y ) et (Y X + Y ) suivent la mecircme loi On peut le montrer en utilisant les fonctions caracteacuteristiques Notons p la fonction caracteacuteristique de X (et de Y ) On a pour tout (a b) E IR

E(ei((b)r(XA+Y))) = E(ei((+b)X+bY) 1 = d a + b) p ( b ) = E(ei((ab)gt(YX+Y)) gt On en deacuteduit que E ( X I X + Y ) = E(Y I X + Y ) Dautre part E ( X + Y I X + Y ) = X + Y = E ( X I X + Y ) + E ( Y I X + Y ) d o n c

X + Y E ( X 1 x + Y ) = E(Y 1 x + Y ) = 2 Remarque le fait que E ( X I X + Y ) = E(Y I X + Y ) pourrait se justifier ainsi toute variable aleacuteatoire 2 a ( X + Y)-mesurable seacutecrit sous la forme f ( X + Y ) O n a donc

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

La deuxiegraveme eacutegaliteacute eacutetant justifieacutee par le fait que ( X X + Y ) et (Y X + Y ) suivent la mecircme loi

VI2 Les variables X I et Xz sont indeacutependantes et

V i j E 12 6 P X = iY = j = P X = iPY = j = 136

On a P S est paire = 12

Vi E (1 6 P ( X 1 = i I S est paire = 16 et

VI3 borneacutee on eacutecrit

On suppose ici que O lt P X gt u lt 1 Pour p une fonction boreacutelienne

Cp(Xgt = Cp(x)nxlta + dx)nxgta 7

E ( v ( X ) I x A a ) = ltp(x)nxltu + E(cp(X)qxgta I x A 4

en remarquant que p(X) l l Xla est une fonction de X A a donc a ( X A u)- mesurable Lespeacuterance conditionnelle donne

ougrave K est une constante eacutegale agrave J cp(X) dP( w I X gt a) On en deacuteduit que

si x 5 a si x gt a C ( X ) sous P ( I X gt a)

C ( X I X A a = z ) =

a) Quel que soit m E N on a

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

Crsquoest-agrave-dire

Vm E N P X 2 m + i = P X 2 m P X 2 i = (i - a ) P X 2 m

La suite ( P i x 2 m) est donc geacuteomeacutetrique de raison 1 - a et pour tout m E N7 P X 2 m = (1 - u ) ~ On en deacuteduit

P X = I C = P X 2 k - P X 2 k + l = (1 -a)rdquo

La variable X suit une loi geacuteomeacutetrique de paramegravetre a

b) Les deux variables X et Y eacutetant indeacutependantes on a pour tout k E N IC

P S = I C = C P X = i PY = IC -i i=O

= C(1 - amp(l - )k-i = Cay1 - a)IC = ( k + l )a( l - a) i=O i = O

On reconnaicirct la loi binomiale neacutegative de paramegravetre (2 a) Quel que soit O 5 k 5 p

P X = krsquo s = P l p s =pgt

P X = k I s = P =

- P X = k Y = p - k ) - pis = P l P X = k P Y = p - k - 1

- - - PS = P l p + 1lsquo

La variable S peut ecirctre interpreacuteteacutee comme eacutetant le nombre drsquoeacutechecs obtenus lors drsquoune suite drsquoeacutepreuves de Bernoulli reacutealiseacutees jusqursquoagrave lrsquoobtention de 2 succegraves Le calcul preacuteceacutedent montre que sachant que S = p le nombre drsquoeacutechecs obtenus jusqursquoagrave lrsquoobtention du premier succegraves suit une loi uniforme sur 12 p + l

Y o I I IT I ~ N s

VI5 Pour tout boreacutelien B la partie

X N E B = u Xk E B n N = I C k E N

est mesurable Drsquoautre part pour tout IC E N et tout B boreacutelien

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

P X N E B I N = I C =

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

PXk E B P N = I C P N = I C

- - = PXk E B

Donc la loi conditionnelle de X N sachant N = I C est la loi de Xk 0

VI6 La variable aleacuteatoire X I + + X suit une loi de Poisson de paramegravetre X 1 + + A = X (voir Exemple IV24 ( i i ) ) et pour tout ( i l i) tels que il + + + i = n on a

n X - - i l A An

On en deacuteduit que la loi conditionnelle du vecteur ( X I X) Cllilp Xi = n est la loi multinomiale M ( n X1X ampA)

sachant

VI7 On considegravere le couple gaussien ( X I S) On sait alors (voir VI4) que la loi conditionnelle de X1 sachant S = s est une loi gaussienne de moyenne E ( X 1 I S = s) et de variance E ( ( X 1 - E(X1 I S))2) I1 est clair que E(X1 I S) = E(amp I S) quel que soit 1 5 i 5 n (car (Xi S ) et (XiS) ont mecircme loi) et que E(S I Sn) = S = C i E ( X i I S) On en deacuteduit

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

s n n2 E ( ( X 1 - E(X1 I S))2) = E ( ( X i - $)2) = E (x - 2x1 - + )

Par conseacutequent

2 Sn S i 2 Sn sn 2 1 1 E ( X - 2 X 1 - + - ) = E ( X 1 ) - 2 E ( X 1 - ) + E ( - ) =1- -+- = I - -

n n2 n n2 n n n Donc la loi de X1 sachant S = Cilil Xi est la loi N(n 1 - i) O

VI8 On note F x ( t ) la fonction de reacutepartition de la variable X et Cx( t ) = 1 - F x ( t ) (la coda de la variable X ) Si X suit une loi exponentielle de paramegravetre 8 Cx( t ) = exp(-8t) et pour tout s t gt 0

- -OS - p - X gt s P X L t + s - P X 2 t + s I x gt t = P X gt t

Reacuteciproquement si une variable aleacuteatoire X admettant une densiteacute veacuterifie

P X 2 t + s I X gt t = P X gt s s t 2 O sa coda C( t ) est continue sur R et veacuterifie

v s t 2 O C(t + s ) = C(t)C(s) (VI1) En prenant t = s = O dans la relation (VIl) on obtient C(0) = 1 et on en deacuteduit que X est positive presque sucircrement Drsquoautre part par un reacutesultat classique drsquoanalyse toute fonction continue sur IR+ veacuterifiant (VIl) est de la forme C(t ) = exp(-8t) (ici 0 gt O car O I Q(t) L 1) La variable X suit donc une loi exponentielle de paramegravetre 8

O Enfin

P t lt X lt t + h 1 X gt t - e-et - eeumle(t-th) -

h h eeumlet 1 - -eh - 8 O - -

a) Le couple ( X + Y X - Y ) est un couple gaussien centreacute et E ( ( X + Y ) ( X - Y ) ) = E ( X 2 - Y 2 ) = E ( X 2 ) - E(Y2) = O Donc X + Y et X - Y sont indeacutependantes

La variable R2 = i ( ( X + Y ) 2 + ( X - Y ) 2 ) = h(X+Y X - Y ) avec X+Y et X - Y indeacutependantes donc la loi conditionnelle de R2 = h ( X +Y X - Y ) sachant X - Y = O est la loi de h(X+YO) (voir Exemple VI35(ii)) crsquoest-agrave-dire la loi de ( X + Y ) 2 On a X +Y -N(o2) et pour t 2 0

P i ( X + Y ) 2 I t = P - J 2 t 5 X + Y 5 A = 2F(amp)

SOLUTIONS

avec F fonction de reacutepartition de N(02) On en deacuteduit que $ ( X + Y ) 2 admet la densiteacute

si t 5 O f ( t ) =

h) On considegravere que ucirc prend ses valeurs dans E [O 2 ~ [ On veacuterifie que pour tout ( t a ) E [027T[XRT

27T P ( R 5 t n ucirc 5 a) = -(i - e-) = PR 5 tP8 _lt a

(Par un calcul eacuteleacutementaire drsquointeacutegrale double) On en deacuteduit lrsquoindeacutependance de R et de 8 O

La variable R2 est alors indeacutependante de 8 et la loi conditionnelle de R2 sachant ucirc est donc la loi de R2 Pour t 2 O on a PR2 5 t = 1 - e- Ainsi R2 suit la loi exponentielle de paramegravetre 12

c) La tribu a ( X - Y ) est distincte de a(8) Par exemple lrsquoeacutevegravenement (-1 lt X - Y lt 1) nrsquoappartient pas agrave a(8) Ceci justifie le fait que les deux lois conditionnelles calculeacutees preacuteceacutedemment peuvent ecirctre diffeacuterentes

VI10 de transition il faut et il suffit que pour tout i = 1 n

Pour qursquoune telle matrice agrave coefficients positifs soit une matrice dite

n CONDITION NEacuteCESSAIRE

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

Drsquoautre part quel que soit j

drsquoougrave la condition neacutecessaire O

CONDITION SUFFISANTE

Toute matrice P satisfaisant agrave cette derniegravere condition fournit avec la donneacutee dune loi quelconque de X (avec P X = i O) la loi dun couple ( X Y ) qui admet alors cette matrice P comme matrice de transition O On a les eacutegaliteacutes suivantes

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

VI11 (On pourra se reacutefeacuterer agrave lexercice VI12) Soit ( X i y Z ) un couple aleacuteatoire de loi donneacutee Pi Soit (Un)n2~ une suite de va indeacutependantes de loi uniforme sur [O 11 La suite

est une suite de variables aleacuteatoires agrave valeurs dans IR2 indeacutependantes ougrave chaque terme de la suite est de loi donneacutee Pk

VI12 E(cp(XY)) pour toute fonction boreacutelienne borneacutee cp deacutefinie sur IR2 Or

La loi dun couple agrave valeurs dans IR2 est donneacutee par la valeur de

E(ltp(X Y ) ) = E(E(ltp(X Y ) ) I y ) )

La connaissance de la loi de Y et de la loi conditionnelle L ( X I Y = y) nous permet donc de connaicirctre la loi du couple ( X Y ) Le couple (Fyt ( U ) FXIFY()+(V)) est de loi P

VI13 La densiteacute du couple (Xin S ~ + I ~ ) est donneacutee par

g(z s ) = i(n - i) f ( z ) f ( s + z)FZ-l(zgt(l - F ( s + X))+I

(voir exercice IV13)

SOLUI I O N S

Apregraves avoir calculeacute la densiteacute marginale de Xi on obtient une expression de la densiteacute conditionnelle de Si+1 sachant Xin = z (voir Exemple VI35(iii))

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

f( + t ) (n - i ) ( l - F ( z + t))- d t J+m PSi+in 2 s I Xin = gt =

Pour montrer la deuxiegraveme relation on pose Yi = -Xi La fonction de reacutepartition de cette variable aleacuteatoire est donneacutee par G(t) = 1 - F(- t ) On deacutefinit les variables Yi Ynn agrave partir des va Yi et il est clair que les vecteurs

et (Xln Xnn) - (Yi 1 Y)

suivent la mecircme loi Enfin on note Ti+l = Tin suit la mecircme loi que S+a-i Dapregraves le premier reacutesultat eacutetabli on a

- Y On veacuterifie alors que

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

On a dautre part la suite deacutegaliteacute suivante

PZ+l n 2 s I Yzn = Y = P(Y+ln - Xn L I q 7 1 = Y

= P-Xn-zn + Xn+l-in 2 s I -Xn+l-in = Y

= W L + l - i n - Xn-in 2 s I Xn+l-in = -Y

On pose y = -2 et on obtient

PXn+i-in-Xn-in 2 s I Xn+l-in = X = (l-G(-z+s))n-i = ( F ( ~ - s ) ) ~ - z

puis en changeant i en n - i lidentiteacute voulue

PXi+in - Xin 2 s I Xi+ln = = ( F ( z - S))Z O

a) La variable Il est une fonction de ( X i X n ) symeacutetrique en les variables X X On pose

1 1 J = p(X) ougrave (X) = ( X i X)

Si X i deacutesigne le vecteur deacuteduit de X en intervertissant les composantes X I et Xi on a

Izn = (p(Xi)

La loi du vecteur ( X i X n ) eacutetant invariante par permutations des variables X i le vecteur

est eacutechangeable

h) La variable n n- 1 C(1 - ampn) = n - C I2n

i=l i=l

deacutenombre les espacements Sin infeacuterieurs agrave xn On obtient ainsi

c ) On note Ai leacutevegravenement lin = 1) On a l(Ai) = l(Al) et

d) Le vecteur ( 1 1 ~ In+) eacutetant eacutechangeable

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

On utilise ici un conditionnement par o(X1 X2) la tribu engendreacutee par X1 et X2

Les Xi eacutetant indeacutependants on a comme preacuteceacutedemment

et donc

e ) Dapregraves les reacutesultats preacuteceacutedents

Dautre part on sait que pour toute fonction h continue sur Eucirc et pour tout z E Eucirc

[+h( t )dt euroO - eh()

car z H sax h(t) d t est deacuterivable

Pour une fonction h E L1(Eucirc) lapplication z H s h(t) d t est deacuterivable sur IR presque sucircrement()

On en deacuteduit que pour h E C(Et)

h( t )d t - e h ( z ) ps sur IR Jx euroO

et donc pour toute variable X absolument continue par rapport agrave la mesure de Lebesgue

h(t)dt - E ~ ( X ) ps sur R sx euro-+O

On en deacuteduit le calcul

- exp(-zf(X1)) ps sur R n

Dautre part en tant que probabiliteacute

(Voir par exemple ( Analyse reacuteelle et complexe raquo W Rudin DUNOD 113

donc par convergence domineacutee

~ ( 1 - F ( X ~ + x n gt - F ( x ~ ) ) ~ - ~ ) - E ( e x p ( - z f ( X l ) ) ) I

I1 sensuit

E(Ln(2 ) ) - 1 - s f ( t )euml f) d t = L(z) n

Partant de la relation (VI2) on obtient lexpression de Ln(z)

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

On prend lespeacuterance de chacun des termes en remarquant que par la question a) E(IinIjn) ne deacutepend pas du couple (z j )

Dapregraves les calculs preacuteceacutedents

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

Dautre part presque sucircrement sur R

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

et agrave nouveau par convergence domineacutee on obtient

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= E ( exp(-zf(Xl))E( exp(-lccedilf(X2)) car X i X2 indeacutependants

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

On passe agrave la limite dans (VT3)

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

La variable amp(II) a une espeacuterance qui tend vers L ( z ) et une variance qui tend vers zeacutero car

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

On deacuteduit de ceci que Ln(z) tend vers L(z ) en probabiliteacute

Soit E strictement positif puis N tel que

Drsquoougrave le reacutesultat

f ) La fonction L est clairement croissante et veacuterifie

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

Par convergence domineacutee L ( x ) tend vers 1 quand II tend vers +cc et L est continue sur [O +oo[ par les theacuteoregravemes classiques sur les fonctions deacutefinies par une inteacutegrale()

Soit E gt O et n E N tel que l n 5 ~ 4 On considegravere alors les IC + 1 reacuteels O = xo lt 2 1 lt lt xk reacuteels veacuterifiant V i O 5 L(zi+i) - L(zi) 5 ~ 4 On a pour xi 5 x 5 zi+l

(lsquo)Voir par exemple (( Calcul Inteacutegral raquo J Faraut EDP Sciences 115

CHAPITRE VI PROBABILITEacuteS ET ESPEacuteRANCES CONDITIONNELLES

et dautre part la fonction z H L(z) eacutetant croissante

ILn(4 - Ln(z2)I I (Ln(zz+l) - Ln(zz)l P

On note E la partie de R sur laquelle

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

Dougrave le reacutesultat O

l(En) -+ i et E c ILn(z) - L(z)I 5 E

a) On pose Y = c f ( X ) U Y la loi du couple ( X Y ) et dans la suite on notera respectivement A1 et A2 la mesure de Lebesgue dans IR et IR2 Il est clair que le couple (X Y ) prend ses valeurs dans ((2 y) O 5 y 5 c f ( z ) = f Dautre part la loi conditionnelle L(Y I X = x) est la loi de cf(z)Uuml(voir Exemples VI35 (ii)) cest-agrave-dire la loi uniforme sur [O c f ( x ) ] On a donc pour tout boreacutelien A de B(R2)

Et pour tout A boreacutelien de IR

On en deacuteduit donc que L ( X I c U f ( X ) I g ( X ) ) a pour densiteacute g

(i - c-l) et que pour tout IC 2 1

b) Remarquons que P c U f ( X ) lt g ( X ) = P Y lt g ( X ) = (C - 1)c-l =

Nl = k = nicUif(xi) gt g(xi) ncUkf(xk) 5 g ( X k ) r i=l 1 Ces diffeacuterents lt facteurs gt) eacutetant des eacutevegravenements indeacutependants on en deacuteduit

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

La variable Ni suit donc une loi geacuteomeacutetrique de paramegravetre c-l et son espeacuterance vaut donc e Pour tout B boreacutelien de R

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

La variable XN admet donc g pour densiteacute 0

On a pu ainsi simuler une variable admettant g pour densiteacute Cette simulation srsquoappuie sur les simulations des variables Xi et Ui et des lt( tirages )gt

indeacutependants Une valeur Xjvi sera obtenue drsquoautant plus rapidement en moyenne que c est plus petite

Soit B un boreacutelien de IR utilisant la variable Ni presque sucircrement finie on a

PxN E B ) = CP(XIV E B ) n N = I C ) k gt l

et un calcul analogue au preacuteceacutedent montre que

Ainsi P X N E B = JB g ( t ) d t et X N admet aussi g pour densiteacute On montrerait de mecircme que quel que soit I C la variable X N admet g pour densiteacute

On note F la tribu engendreacutee par X I X U1 U Pour prouver que par exemple que les variables X N et X N sont indeacutependantes on peut remarquer que pour toute fonction cp boreacutelienne borneacutee

CHAPITRE VI PROUABIL11 EacuteS ET ECcedilPEacuteR ANClsquoES CONDITIONNELLES

= ~ ( I I ( X N 1 ) ) 9 ( X N 2 1) Drsquoougrave lrsquoindeacutependance de X N ~ et X N ~ O

a) Le vecteur (XI X) prend ses valeurs dans A(t) c Rn ougrave

amp(t) = ( Z l xn)O 5 x 1 I I x I t et pour tout paveacute P = n [ a i bi] c A)

(X l n Xnn) E pgt = u (XCr(l) rsquo X)) E Pl U

ougrave a parcourt toutes les permutations de 12 n Drsquoougrave

On en deacuteduit que (XI X) admet la densiteacute

Le vecteur (XI X) suit donc la loi uniforme sur A(t)

t)) La loi conditionnelle C((Xl X-l) 1 X = x) admet la densiteacute

(voir Exemple 35(iii))

et du calcul preacuteceacutedent on peut deacuteduire que pour O 5 IC 5 t

n xn-l tn (n - i) - - -

Donc la loi conditionnelle C ( ( X I ~ Xn-l) I X = IC) admet la densiteacute

c) Leacutevegravenement consideacutereacute peut se deacutefinir de la faccedilon suivante

Parmi les composantes de ( X i X) kl sont dans [O t i ] k2 - dans ] t i tz] kp - kp-i sont dans ]tp-l tp]

On reconnaicirct le cadre standart donnant lieu agrave une loi multinomiale (tirages avec remise de n boules dans une urne contenant des boules de p couleurs diffeacuterentes Ci en proportion -t-) Par conseacutequent ti-ta-1

d) On va montrer par reacutecurrence sur n que la loi de (Si Sn) admet la densiteacute

Le reacutesultat est clair pour n = 1 Pour cp une fonction boreacutelienne borneacutee sur A = (si sn) O 5 si 5 5 s on a

E(cp(S1 1 7 sn-1 Sn)) = E(4Si7 sn-1 sn-1 + X ) 1 X ) )

ougrave la variable aleacuteatoire X est indeacutependante des Si et suit une loi exponentielle de paramegravetre A La loi conditionnelle L(cp(S1 Sn-l Sn-i+X) I X = IC) est la loi de cp(S1 S-i +IC) (voir Exemple 35(ii))

CHAPITRE VI PROBABILITEacuteS ET ESPERANCES CONDITIONNELLES

cp(s1 s-l s) AneeumlXsn ds1 ds

La loi de Sn est la ne loi marginale du vecteur (SI Sn) Elle admet donc sur IR+ la densiteacute

On en deacuteduit (voir agrave nouveau Exemple 35(iii)) que la loi conditionnelle C((S1 Sn) I Sn+l = s) admet la densiteacute

PNt = 00) = limPS 5 t = lim ds n

Or An-ltn-1 t An- l tn- 1

+ o ( n - l) R ds 5 Ae-rdquods 5 (n - i)

Ainsi PNt = 00) = O et Nt est finie presque sucircrement On pose N = Ici et A lrsquoeacutevegravenement

A = Nt1 = Ici Nt - Nt = k2 Ntn - Ntn-i = Icn On conditionne par la variable SN et on peut supposer sans perdre de geacuteneacuteraliteacute que IC 2 1 (quitte agrave ltlt descendre B jusqursquoau premier i tel que

S O L c T I O N s

Ici 2 1) Par les reacutesultats obtenus preacuteceacutedemment on obtient

Dougrave le calcul

Remarque on a utiliseacute la densiteacute de la variable SN dans la deuxiegraveme eacutegaliteacute et on a poseacute t o = O dans la derniegravere

Pour obtenir la loi Nii - Nti_l il suffit de sommer sur le paveacute (lci ki-1) E Ni-

On en deacuteduit que Nti - Nti- suit une loi de Poisson de paramegravetre A( t i - t i - 1 ) puis via la loi du vecteur (N t l Nt - NtnPl) que les

O variables Nti - Nti-l sont indeacutependantes

MARTINGALES (Agrave TEMPS DISCRET)

Eacute 110 nc eacute s

VII l Soit (Xn)lgtI une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi de Bernoulli P X = O = P X = 2 = 12 Pour tout n 2 1 on deacutesigne par E la tribu engendreacutee par X I X et lrsquoon pose Z = flIISlcln X k Deacutemontrer qiie (Z)n21 est une martingale par rapport ii la filtration (FL)ngtl - qui nrsquoest pas uniformeacutement inteacutegrable

VII2 Soient c l ck des reacuteels tels que ClliSlc ci = O Soit 7r une permutation aleacuteatoire de 1 2 k uniformeacutement reacutepartie sur le groupe des permutations dc k eacuteleacutements crsquoest-agrave-dire telle que pour toute permutation 7 de k eacuteleacutements P 7r = T = i k Soit

et soit la suite de tribus F = 0(7r ( l ) 7r(n)) 1 5 n 5 IC Montrer que (X Fn)lSnlk est une martingale

l r d i c c i t i o r r r r o r t r r I que

ri 5 I 5 k C(rr() 1 ~ ( 1 ) T( - I ) ) c s f in loi T ( 1 ) T(I1 ~ 1) )

CHAPITRE VII LIARTINGALES (Agrave TEMPS DISCRET)

VII3 (Urne de Polya) Une urne contient n boules noires et b boules blanches Une boule est tireacutee au hasard selon une probabiliteacute uniforme sur les boules dans lrsquourne Elle est remise dans lrsquourne et on ajoute aussi a boules de la couleur tireacutee On itegravere cette proceacutedure de tirage-ajout Soit XO = n (n + b) la proportion de boules noires initialement dans lrsquourne et soit XI la proportion de boules noires agrave la k-iegraveme eacutetape du tirage-ajout Montrer que XI est une martingale pour la suite de tribus FI = o(X1 X) Montrer que cette martingale converge et donc que la proportion de boules noires converge vers une proportion a priori aleacuteatoire Y Note on peut montrer mais cela demande un peu de calcul que Y a pour loi une loi de densiteacute

(voir par exemple Feller (1971))

VIL4 (Lemme de Wald) Soit (X) une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes de mecircme loi et soit pour Gut n gt 1 S = XI + + X Soit en outre T un temps drsquoarrecirct inteacutegrable relatif agrave la filtration engendreacutee par cette suite Deacutemontrer que E(ST) = E(X)E(T)

V115 Sur (O A P ) soit (Xn)ngtl une suite de variables aleacuteatoires reacuteelles indeacutependantes de mecircme loi Pour t o u t n gt 1 soit F la tribu engendreacutee par Xi X On note les sommes partielles S = X1 + + X n 2 1 On convient que So = O et pour tout z E IR on deacutesigne par Erdquo lrsquoespeacuterance deacutefinie par Erdquo() = E( + x) On parle alors de la marche aleacuteatoire S partant de z au temps O

a) Soit N 2 1 un entier fixeacute et soit T un temps drsquoarrecirct agrave valeurs dans 1 N de la filtration (Fn)ll Deacutemontrer que pour tout n 2 1 S+T - ST est indeacutependant de FT et de mecircme loi que S

11) Deacuteduire de la question preacuteceacutedente que pour toute fonction boreacutelienne borneacutee q5 sur IR et tout n 2 1

E($(Sn+T) I FT) = EST(4(Sn)) ps

VII6 Soit (XnF)llnlI une martingale de carreacute inteacutegrable On deacutefinit X = maxlltltI _ _ IXl En utilisant lrsquoineacutegaliteacute maximale de Doob deacutemontrer que

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

VII7 Sur un espace probabiliseacute (O F P ) soit (Mn)llnltk une martingale par rapport agrave une filtration et soit P n ) l lt n lt k une famille de variables aleacuteatoires sur (OFP) telles que H soit mesurable par rapport agrave Fn-l pour tout n = 1 k (avec la convention Fo = 0 R )

Soit a gt O on deacutefinit T = minl 5 n 5 k - 1 IH+lI gt a et T = k s i lensemble dont on prend le minimum est vide Deacutemontrer que T est un temps darrecirct de la filtration On pose pour tout n = 1 k

x = Hampuz -Mi - l ) lltiltTAn

(M-1 = O) Deacutemontrer que (Xn)15nlk est une martingale de (Fn)lln5k

VII8 On considegravere une variable aleacuteatoire T agrave valeurs dans N de loi geacuteomeacutetrique

P T = n = a ( 1 n E N

ougrave a est un reacuteel positif donneacute On appelle F la plus petite tribu rendant mesurable la variable TAn n E N Veacuterifier que la famille de tribus est une filtration Deacutemontrer que En est engendreacutee par une partition de n + 1 atomes que lon preacutecisera

a) Deacutemontrer que pour tout n

1) Deacuteduire de la question preacuteceacutedente que

c) Pour quelle valeur du paramegravetre reacuteel a le processus

est-il une martingale par rapport agrave la filtration (Fn)nEW

d) En prenant pour a la valeur trouveacutee agrave la question c) calculer lespeacuterance conditionnelle E((Xn+l - X n ) 2 I Fn) En deacuteduire que le processus

est une martingale par rapport agrave la filtration (Fn)nEN

CHAPITRE VII hIARTINGALES ( Agrave TEhlPS DISCHET)

VII9 Soient XI X des variables aleacuteatoires indeacutependantes sur (a A P ) agrave valeurs dans Rd on considegravere une norme quelconque 1 ) 1 ) sur Rd et on suppose que ~(llxi I l2) lt 00 pour tout i = I n Posons S = XI + + X

Deacutesignons par Ai 1 5 i 5 n la sous-tribu de A engendreacutee par les variables Xi X i et par A0 la tribu triviale composeacutee de 0 et 0 Pour tout i = 1 n posons

4 = F(IISnll 1 Ai) - E(((SnI1 1 Ai-i) Eacutetablir que

l s i s n

Deacutemontrer que pour tous i lt j E(dj I Ai) = O et que les variables d i i = 1 n sont orthogonales

Deacutemontrer que pour tout i = 1 n

Par lineacutegaliteacute du triangle et la question preacuteceacutedente eacutetablir que

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

En conclure agrave laide de la premiegravere question que

VII10 Soit A k = 1 2n-i n 2 1 la famille des intervalles dyadiques de lintervalle [ O 1 ] muni de la mesure de Lebesgue A Si P est une mesure de probabiliteacute sur [ O 1 ] absolument continue par rapport agrave A poser

Deacutemontrer que sur ( [ O 11 A) (Xn)ngtl est une martingale par rapport agrave la suite de tribus Fn = (An 1 5 IC 5 2 7 b - 9 n 2 1 Deacutemontrer par lrsquoabsurde qursquoelle est uniformeacutement inteacutegrable et en conclure lrsquoexistence de la densiteacute de Radon- Nikodym de P par rapport agrave A

CHAPITRE VII MARTINGALES (Agrave TEMPS DISCRET)

Solutions

VIL1 Le calcul E(Zn+l 1 Fn) donne

E(Zn+l I Fn) = E(X1 - XnXn+l I Fn) = x1 - XnE(Xn+l I Fn)

car X i X sont Fn-mesurables Puis

E(Zn+1 I Fn) = x1 XnE(Xn+l)

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

car Xn+l et En sont indeacutependants et enfin

Donc (Zn) est bien une martingale par rapport agrave la filtration Fn Drsquoautre part 2 prend les deux valeurs O et 2n avec PZn = an = amp et PZn = O = 1- 1 2

et donc quel que soit c gt O partir drsquoun certain rang on a

lZnl dP = 2nPZn = 2n = 1 6 z n gtcl

On conclut que (Zn)gtl - est une martingale L~ (car ~ ( 1 ~ ~ 1 ) = i) non uniformeacutement inteacutegrable (voir Deacutefinition V33)

Remarque en vertu du theacuteoregraveme VII21 la martingale (Zn) converge presque sucircrement Ici (Zn) converge vers O sur lrsquoeacutevegravenement nXi = 2) de probabiliteacute 1

Preacutecisons que la suite ( X n ) est deacutefinie pour 1 5 n 5 k - 1 et observons qursquoun atome de la tribu En est constitueacute des permutations qui coiumlncident sur (1 n I1 devient alors clair que X est Fn-mesurable Drsquoautre part

O n pourra auparavant srsquointeacuteresser agrave lrsquoexercice III 6

k n-l n k CC~() - IC - n + 1 c c 4 i ) x - xn-l = -

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

Pour tout n 5 i 5 k et 1 5 1 5 k lespeacuterance conditionnelle E(l(rr(i)=2 I Fn-l) est constante sur les atomes de Fn-l et plus preacuteciseacutement sur ~ ( l ) = i l n(n - 1) =

La loi conditionnelle L(n(i) I ~ ( l ) r ( n - 1)) est donc la loi uniforme sur (1 k ( ~ ( l ) T(n - 1)) Ainsi sur ( ~ ( 1 ) = i l n(n - 1) = et pour n 5 i 5 k on a

que lon notera f ( Z l ampI) Et toujours sur ( ~ ( 1 ) = i l n(n - 1) = amp-I en utilisant lidentiteacute (VIIl)

Ainsi la suite (XnFn)lltnltk-l - _ est bien une martingale O

VII3 Pour calculer E(Xk+1 I Fk) il suffit de remarquer que

et donc

La suite ( X k F k ) est bien une martingale Dautre part quel que soit k on a l X k l lt_ 1 donc pour tout IC E(lXk1) 5 1 La suite ( X k ) est donc une

O martingale LI qui converge presque sucircrement

VII4 On se restreint dans un premier temps au cas ougrave les variables Xi sont positives La suite (SnFn)n21 ougrave 3n = a(X1 X n ) est alors une sous- martingale Le processus croissant associeacute agrave la sous-martingale est

en posant So = O On en deacuteduit que SA = Sn - n E ( X 1 ) est une martingale Drsquoapregraves le theacuteoregraveme drsquoarrecirct de Doob (voir Theacuteoregraveme VII112) la suite (finie) Si SkAn SA est une martingale et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Et par convergence monotone

E(T A n) E(T) et E(STAn) -+ E(ST)

On deacuteduit alors de (V112) que ST est inteacutegrable et que E(ST) = E ( T ) E ( X l )

Dans le cas geacuteneacuteral ougrave les Xi ne sont pas neacutecessairement positives (VII2) est encore valable mais lrsquoargument de convergence monotone pour justifier que E ( S T ~ ~ ) converge vers E ( S T ) et que ST est inteacutegrable nrsquoest plus valable ici En revanche on a toujours convergente vers ST presque sucircrement et de plus

Cette derniegravere variable aleacuteatoire eacutetant inteacutegrable (voir premier cas) on conclut par convergence domineacutee

a) Pour montrer que S n + ~ - ST est indeacutependant de FT on montre que

Vf boreacutelienne borneacutee E(f(s~+~ - ST) I FT) = constante

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

Donc quel que soit f

E(f(ST+n - ST) I -TT) = E(P(X1 + + amp))

Montrons maintenant que X T + ~ + + XT+ et S ont mecircme loi Pour tout boreacutelien B on a

XT+l++xT+n E B = U (xTS1 + + xTSn E B ) n T = I C ) ) k=l

PXT+l+ + XT+ E B N

= P (xk+l + + xk+ E B ) ri T = IC)) k=l

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

Donc X T + ~ + + XT+ et X I + + X ont mecircme loi O

b) Soit Z une variable aleacuteatoire borneacutee FT-rneSUrable quelconque Par le theacuteoregraveme de transport (voir Theacuteoregraveme 11142) et en utilisant a)

E(Z6(Sn+T)) = E(Z6(Sn+T - ST + ST))

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

ougrave Q et R deacutesignent respectivement les lois de S+T - ST (cest- agrave-dire celle de S) et du couple ST^) Dautre part si on pose

H ( u ) = Eu($(Sn)) = Fubini (voir Theacuteoregraveme 1151)

$(u + z) dQ(z) on obtient par le theacuteoregraveme de

VII6 Drsquoapregraves la Proposition 11148 on a

E ( ( X ) 2 ) = 2 t PX gt t d t = 2 1 t E(ltxgtt) d t (VII3)

Or par les ineacutegaliteacutes maximales (voir Theacuteoregraveme VII113) appliqueacute a la sous-martingale (IXnl) on a

Injectant cette derniegravere majoration dans (V113) on obtient

E ( ( x ) 2 ) I 2 E(lXkl l X gt t ) d t

= 2E(JiW )XkI Iix) d t ) par le theacuteoregraveme de Fubini O

X = 2E( l x k l d t = 2E(X IXkl)

5 2(E(X)2 )1 2 (EIXk12)12 par lrsquoineacutegaliteacute de Cauchy-Schwarz

On en deacuteduit alors E((Xgt2) 5 4E(X2)

v117 Le fait que T soit un temps drsquoarrecirct vient de

Drsquoautre part en partant de lrsquoidentiteacute

SOLUTIONS

on montre facilement que X est Fn-mesurable De plus quel que soit n X E L1 car

Enfin en eacutecrivant

xn = x n n(T5n-l) + x nTn

on obtient

En remarquant de plus que T 5 n - 1 et T 2 n sont dans Fn-l et que H est Fn-l-mesurable on obtient

VII8 La tribu F est engendreacutee par n + 1 atomes qui forment un systegraveme complet et qui sont T = i pour O 5 i 5 n - 1 et T 2 n I1 est alors clair que (En)nE~ est une filtration

On suppose que P(T = I C ) = pqk ougrave p ~ ] 0 1 [ et q = 1 - p

a) On calcule E(lpgtn+l) I En) directement agrave lrsquoaide de la deacutefinition

CHAPITRE VII h1ARTING41ES (A TEhlPS 1)ISCrsquoIIET)

b) On eacutecrit T A (n + 1) = (T A n) lT5n + (n + 1) llT+l On a alors

E(T A ( + 1) I 3) = (T A 4 E(lTSTL I Fn) + ( + 1) 4 I TZn

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

E(X+l I Fn) = ucircE(T A ( + 1) I Fn) + E(lTgtn+l I Fn)

c) Agrave lrsquoaide des calculs preacuteceacutedents on obtient

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

Pour que le processus (X) soit une martingale relativement agrave la filtration F il suffit que 4 (a + 1) = 1 crsquoest-agrave-dire que a = t

d) On remarque que

Xn+l - xn = ITgtn+l - l (T=n

et donc 2 2 (xn+l - xngt = nT2n+l + IT=n

= Q2 nT+l + lQ - BTgtn+l

I1 srsquoensuit que 2 E((X+l - a2 I 3) = Q 4 l Tgtn + l Tgtn - 4 nTn

= b 2 q +Pgt lTn = nTgtn)

car a2q + p = a On montre alors

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

E ((Xn+l - XI2 I Fn) = JW+ = E(XL+l

Et en utilisant

il suffit de veacuterifier que

x - a(T A (n - 1))

a nT2n - a ( T A TL) = -a (T A ( - i l ) ce qui ne preacutesente pas de difficulteacute

a) La somme Cdi est une somme teacuteleacutescopique On a

E(IISnll I d o ) = IlSnIl - E(IISnllgt 0

Ai) = E(IISnll I Ai) On en deacuteduit que

De la mecircme faccedilon pour i lt j on a

E(d2dj I Ai) = di E(dj 1 Ai) = o Donc E ( d i d j ) = O et les variables di sont orthogonales O

1 ) ) En suivant lrsquoindication on pose 5 = Ai-1 et 1 2 = (Xi) On a alors 7 = a() = Ai et 12 est indeacutependante de a(X1 X i Xn) 3 a(lsquoamp IlSn - Xill) On a alors

O E(IISn - Xi([ I di-1) = E(IISn - Xi11 I Ai)

di = E(IISnll - IlSn - xi11 1 Ai) - ilSn Sn II - IlSn - Xill I Ai-1)

Lrsquoidentiteacute

srsquoen deacuteduit directement par lineacuteariteacute O

CHAPITRE VII MARTINGALES (Agrave TERIPS DISCRET)

= E (( d i ) 2 ) dapregraves a) lsiln

VII10 par le systegraveme complet An k = 1 2 2-l on a

I1 est clair que X est F-mesurable La tribu Fn eacutetant engendreacutee

On calcule alors Xn+1dX en remarquant que quel que soit k E

1 2 A = Ar+ uuml Ar pour un certain i On obtient An

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

Montrons alors que cette martingale est uniformeacutement inteacutegrale La martingale est L1 car E(IXnl) = E ( X n ) = E(X1) = 1 Montrons quon a de plus

X dX = O (VII4) J lim sup c-tw n2l XgtC

On utilise le fait que P est absolument continue par rapport agrave X et plus preacuteciseacutement la proprieacuteteacute de labsolue continuiteacute suivante

Proprieacuteteacute (P) Si la probabiliteacute P est absolument continue par rapport agrave X alors quel que soit E gt O il existe q gt O tel que X(A) lt q + P ( A ) lt E

SOLUTIONS

Cette proprieacuteteacute peut se montrer par labsurde de la faccedilon suivante supposons lexistence dun e strictement positif tel que

Vq gt O 3A X(A) lt q et P ( A ) 2 E

On peut alors construire une suite deacutevegravenements (Ak) telle que pour tout k 1

k2 X(Ak) lt - et P(Ak) 2 E

On considegravere alors leacutevegravenement A = limsup Ab = nngtl - uumlkgt - Ak et on a

- X(A) = O car C X ( A k ) lt 00 et donc X(A) = X(Ak is) = O (dapregraves le lemme de Borel-Cantelli Theacuteoregraveme IV35)

- P ( A ) O En effet

et P(Uk2nAk) 2 P(An) 2 E

On obtient ainsi la contradiction X(A) = O et P ( A ) O Ceci prouve la proprieacuteteacute (P) Montrons alors (V114) On observe que

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

En effet en notant In = (1 2- et 1 = k E In P(AF) gt cX(AF) on a

De plus dapregraves lineacutegaliteacute de Markov XXn gt c lt = $ Donc pour tout E strictement positif et tout entier n P X n gt c lt E pourvu que c soit suffisamment grand (supeacuterieur agrave f avec les notations de la proprieacuteteacute (P)) Ce qui prouve que la suite ( X n ) veacuterifie (V114) On en deacuteduit alors que ( X n ) converge A-presque sucircrement vers une variable aleacuteatoire X qui veacuterifie E ( X I F) = X pour tout entier n Or

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Soit t E [O 11 Via le deacuteveloppement dyadique de t on peut eacutecrire

ougrave les A2 sont deux agrave deux disjoints En prenant lrsquoespeacuterance Ersquo associeacutee agrave P on a

P([O t ] ) = Ersquo(lpti) = Ersquo(lAn in) ) par convergence domineacutee n

Une probabiliteacute sur R eacutetant caracteacuteriseacutee par sa fonction de reacutepartition on en O deacuteduit que pour tout boreacutelien A P(A) = SA X dX

CHAIcircNES DE MARKOV (Agrave ESPACE DrsquoEacuteTATS DEacuteNOMBRABLE)

Eacutenonceacutes

VIII1 Agrave quelles conditions deux matrices

= (P i j ) ilt iltn ilt jltm et Q (Qij)i l iltrniltjltn

sont-elles les lois conditionnelles L ( X I Y ) et L(Y I X ) de deux variables aleacuteatoires X et Y prenant respectivement n et m valeurs Montrer que si lrsquoon connaicirct C ( X 1 Y ) = P et L(Y 1 X ) = Q alors on connaicirct la loi du couple ( X Y )

VIII2 Montrer que (Xrdquo X) est une chaicircne de Markov agrave valeurs daris un ensemble fini E si et seulement si il existe des fonctions gi E x E + [O 00 [ O I i 5 n - 1 telles que pour tous 20 X E E

P xo = ZO gt x = X7L = SO(Z0 X l ) g l ( X 2 ) g n - l ( ~ n - l X )

VIII3 Sur lrsquoensemble fini E = ZmZ on considegravere la chaicircne (Xn)gt de geacuteneacute- rateurs p ~ i + k = ~ i i - k = 12 Pij = O sinon ougrave 1 5 k lt rn Pour quelles valeurs de m et k la chaicircne est-elle reacutecurrente irreacuteductible Donner dans tous les cas ses classes de reacutecurrence et la mesure invariante de ses classes Lorsque la chaicircne est reacutecurrente irreacuteductible deacuteterminer quand elle est apeacuteriodique Montrer que lrsquoon peut reacutealiser la chaicircne (X) sous la forme Xn+l = ~ ( X E ) avec une fonction f et une suite (E)gt d e variables aleacuteatoires dans -1 +1 que lrsquoon deacuteterminera

CHAPITRE VIII C H A icirc N E S DE hIARKOV (Agrave ESPACE DlsquoEacuteTATS DEacuteNO~IBRABLE)

VIII4 Soit (Xn)gto une chaicircne de Markov agrave espace drsquoeacutetats fini de matrice de transition Pij avec p Z j gt O pour tout couple ( i rsquo j ) On suppose que X = i ps et lrsquoon choisit j i Soit

T = i n f n gt 1 X n = j

Deacutemontrer qursquoil existe p E] O l[ tel que P T gt n 5 pn pour tout n 2 1

VIII5 Soit (V euro) un graphe connexe non orienteacute drsquoensemble de sommets fini V et drsquoensemble drsquoaregravetes euro E V x V On associe agrave chaque aregravete ( i rsquo j ) un poids wij = wji gt O et lrsquoon pose wi = C j wij Deacuteterminer la mesiire invariante de la chaicircne de Markov sur V de matrice de transition Pij = wi j w i

SOLUTION s

Solutions

VIII1 On peut consideacuterer que les variables X et Y sont respectivement agrave valeurs dans (1 m et (1 n avec P X = i O et P Y = i O quel que soit i Si IP et Q repreacutesentent les lois conditionnelles L ( X I Y ) et L(Y I X ) alors

~ x = j n y = i - PY = i I X = j P X = j P X = j I Y = i = -

PY = i PY = i

et si on note (al am) la loi de X et (bl b) la loi de Y on obtient

(VIII1)

Lrsquoexistence de vecteurs (al am) et (bl b) veacuterifiant (VIIIl) avec ai 2 O bi 2 O et bi = 1 est une condition neacutecessaire et suffisante pour que P et Q repreacutesentent les lois conditionnelles L ( X I Y ) et L ( Y I X ) La loi drsquoun tel couple ( X Y ) est alors donneacutee par

P X = j n Y = i = Pji b j

VIII2 Si (Xo X) est une chaicircne de Markov alors par conditionnement successifs et en utilisant la proprieacuteteacute de Markov on obtient la relation

PXO = 2 0 f 7 x = zn = go(~o~l)gi(~l z2) gn-l(zn-1 zn) (VIII2)

Reacuteciproquement montrons que si (VIII2) est veacuterifieacutee alors ( X O X) est une chaicircne de Markov On remarque drsquoabord que pour trois variables aleacuteatoires X Y Z veacuterifiant

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

lorsque P X = zY = y O En effet drsquoune part P X = z Y = y = f(z y) ( E g(y z ) ) drsquoougrave

P Z = z I X = zY =y = P Z = x I Y = Y (VIII 3)

et drsquoautre part

et la relation (VIII3) est eacutetablie On applique alors cette proprieacuteteacute aux variables

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

On procegravede de la mecircme faccedilon pour le vecteur ( X O Xn- l ) puisque il veacuterifie

ougrave on a poseacute hn-l(xn-l) = Cxgn-l(xn-lx) Cette relation est du type (VIII2) et on peut donc ltlt passer de n agrave n - 1 D et ainsi de suite La

O suite (Xo X n ) est donc une chaicircne de Markov

VIII3 Un point de IE = ZmZ communique avec les points qui lui sont ltlt dis- tants gt) de k Ainsi le point i communique avec tous les points i + j IC mod (m) ougrave j E Z Pour qursquoil communique avec ses voisins proches i + 1 et i - 1 il faut que

il existe j et j rsquo E Z i + k j = i + 1 + jrsquom crsquoest-agrave-dire k j - j rsquo m = 1

Drsquoapregraves lrsquoidentiteacute de Bezout m et IC sont neacutecessairement premiers entre eux Et cette condition est aussi suffisante pour que le point i communique avec tous les points de ZmZ Donc

La chaicircne est irreacuteductible si et seulement si m et k sont premiers entre eux

Dans ce cas lrsquoespace drsquoeacutetats eacutetant fini la chaicircne est irreacuteductible et reacutecurrente Dans ce cas on peut voir que lrsquounique probabiliteacute invariante est la loi uniforme sur IE car (1 i)P = (1 1) Pour savoir si elle est apeacuteriodique il suffit drsquoapregraves le Theacuteoregraveme VIII66 drsquoeacutetudier les valeurs propres de module 1 de la matrice de transition P On

introduit alors la matrice noteacutee C de la permutation circulaire ( 2 3 T )

O 1 0 Les puissances n-iegraveme de C se calculent aiseacutement et la matrice P srsquoeacutecrit

La matrice C est diagonalisable et est semblable agrave gt p = (Cm+l-k + Crn f l+k

diag(1 a am-l)

ougrave a = e2Zxlm (le polynocircme caracteacuteristique de C eacutetant (-1)ldquo(Xm - 1)) La matrice P est donc semblable agrave

m+l-lc + p+l+lc 1 (a(m-l)(rn+l-lc) + a(m-l)(m+l+k) 1 5

- Cas ougrave m est impair

on a (akj)rsquo = 1 et akj eacutetant une racine m-iegraveme de lrsquouniteacute on a alcj = 1 La racine aj est drsquoordre un diviseur de k (dans le groupe des racines m-iegraveme de lrsquouniteacute) Or k et m sont premiers entre eux donc aJ = 1 et 1 est la seule racine de P de module 1 Drsquoougrave

si k et m premiers entre eux et m impair la chaicircne est irreacuteductible reacutecurrente et apeacuteriodique

Cas ougrave m est pair

le cas m = 2 se traite agrave part la matrice P vaut ( ii valeur propre de module 1 est eacutevidemment 1 Si m 2 4 observant que ak est un geacuteneacuterateur du groupe des racines m-iegraveme de 1 il existe un entier j tel que akj = -1 avec aj -1 Pour un tel j la valeur propre de P

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

est diffeacuterente de 1 Drsquoougrave lrsquoexistence drsquoune valeur propre de P distincte de 1 et de module 1

CHAPITRE VIII CHAINES DE hlARKOV (A ESPACE DrsquoEacuteTATS DEacuteNORIBRABLE)

Drsquoougrave la conclusion

la chaicircne est irreacuteductible reacutecurrente et apeacuteriodique si et seulement si IC et m premiers entre eux avec m = 2 ou m impair La loi limite est alors la loi uniforme sur E

Lorsque m et k ne sont pas premiers entre eux et que d = PGCD(rnIC) le nombre de classes est d ougrave dans chaque classe le nombre drsquoeacuteleacutements est md Agrave lrsquointeacuterieur de chaque classe la matrice de transition est du type de P ougrave m et k sont respectivement remplaccedileacutes par md et k d

En identifiant ZmZ agrave lrsquoensemble des racines rn-iegraveme de lrsquouniteacute noteacute U si (E) est une suite de variables aleacuteatoires indeacutependantes deacutefinies sur (Cl A P ) agrave valeurs dans -1 1 et si Xo est une variable (O A P ) agrave valeurs dans Urn alors la suite (X)

aleacuteatoire deacutefinie sur le mecircme deacutefinie par

2ik7r X+i = X e E n T

est une chaicircne de Markov de matrice de transition P

VIII4 Dans tout lrsquoexercice les entiers i et j sont deux entiers fixeacutes distincts On pose

Eacutetant donneacute que les coefficients de la matrice stochastique P sont tous strictement positifs on a drsquoune part O lt QI lt 1 pour tout IC et drsquoautre part O lt maxk QI lt 1 On pose alors p = maxk QI

On va montrer par reacutecurrence sur n que PiT gt n 5 pn pour tout n 2 1 Pour n = 1 on eacutecrit

T gt 1 = X i j drsquoougrave PT gt 1) = 5 p

On suppose alors la proprieacuteteacute veacuterifieacutee pour un entier n 2 1 Observant que

SOLUT IONS

on conclura en utilisant un conditionnement par la tribu En

VIII5 est irreacuteductible On pose

Le fait que le graphe soit connexe implique que la chaicircne de Markov

wi w = C w i et pi = - W

On veacuterifie alors que p est la probabiliteacute invariante en veacuterifiant que tIFp = p En effet pour tout i on a

INTRODUCTION

I THEacuteORIE DE LA MESURE

II Inteacutegration

V Convergence de suites de variables aleacuteatoires

VI Probabiliteacutes et espeacuterances conditionnelles

VII Martingales (agrave temps discret)

VIII Chaicircnes de Markov (agrave espace deacutetats deacutenombrable)

Imprimeacute en France

ISBN 978-2-7598-0006-3

Tous droits de traduction drsquoadaptation et de reproduction par tous proceacutedeacutes reacuteserveacutes pour tous pays Toute reproduction ou repreacutesentation inteacutegrale ou partielle par quelque proceacutedeacute que ce soit des pages publieacutees dans le preacutesent ouvrage faite sans lrsquoautorisation de lrsquoeacutediteur est illicite et constitue une contrefaccedilon Seules sont autoriseacutees drsquoune part les reproductions strictement reacuteserveacutees agrave lrsquousage priveacute du copiste et non destineacutees agrave une utilisation collective et drsquoautre part les courtes citations justifieacutees par le caractegravere scientifique ou drsquoinformation de lrsquoœuvre dans laquelle elles sont incorporeacutees (art L 122-4 L 122-5 et L 335-2 du Code de la proprieacuteteacute intellectuelle) Des photocopies payantes peuvent ecirctre reacutealiseacutees avec lrsquoaccord de lrsquoeacutediteur Srsquoadresser au Centre franccedilais drsquoexploitation du droit de copie 3 rue Hautefeuille 75006 Paris Teacutel O 1 43 26 95 35

2008 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar BP 112 Parc drsquoactiviteacutes de Courtabccuf 91944 Les Ulis Cedex A

Int ro d uc t ion

INTRODUCTION

Eacutenonceacutes

1 = X( [0 1 ] ) I X( u ( A + T ) ) I X ( [ - 1 2 ] ) = 3

ram] -11[

P ( W f n ( 4 7 4 f ( 4 gt) = 0

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

Int ro d uc t ion

INTRODUCTION

Eacutenonceacutes

1 = X( [0 1 ] ) I X( u ( A + T ) ) I X ( [ - 1 2 ] ) = 3

ram] -11[

P ( W f n ( 4 7 4 f ( 4 gt) = 0

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

INTRODUCTION

Eacutenonceacutes

1 = X( [0 1 ] ) I X( u ( A + T ) ) I X ( [ - 1 2 ] ) = 3

ram] -11[

P ( W f n ( 4 7 4 f ( 4 gt) = 0

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

Eacutenonceacutes

1 = X( [0 1 ] ) I X( u ( A + T ) ) I X ( [ - 1 2 ] ) = 3

ram] -11[

P ( W f n ( 4 7 4 f ( 4 gt) = 0

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

1 = X( [0 1 ] ) I X( u ( A + T ) ) I X ( [ - 1 2 ] ) = 3

ram] -11[

P ( W f n ( 4 7 4 f ( 4 gt) = 0

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

Solutions

a ( 3 ) = a(A1 u A2) = a(U)

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

++ E un K ( W rm n

15 Pour tout a E IR

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

drsquoougrave

Autrement dit

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

s O L 111 I ON S

w$A===+dp WEamp

E d EN

ougrave uNA E N car

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

K=ZU(K) _ _

INTEacuteGRATION

cxp(-~n(i - J)) O

si x E ] O 1 [

si 1 ] O 1 [

a) = 2 + sin(nt)

t E IR n E N

deacutemontrer aue

Solut ions

Le lemme de Fatou

v = a et b = - - a

m)2 + J z(1 - x) d p ( x ) = O 1 2

b = ( - -

m = i 2 et x(1 - x) dp(x) = O

dougrave

dP2 dpl (E)-rdquo

SOLTJTIONS

V n E N Ifnhl 5 Ihl

L1 c (Lrn)

et finalement

drsquoougrave

1 du = - du

1 n(b-a) 1 du

du 2rr 1 2 + sinu

du n+CO

du 1 f ( t ) d t 27r

d t d t

drsquoougrave

E+ = f 2 g et E- = f lt g = E+

On en deacuteduit

Eacutenonceacutes

1 3 4 4

P X = k = -PY = k + -PT = I C

1 - 1 -

2 - 1 2 - 1

Solut ions

P X E (1711rsquo

M = U M n ngtl

F ( x ) =

Donc a = 3 2 et

et PT=k= k k

e-22k PY = k = -

1 3 1 9 11 4 4 2 4 4 1 3 1 3

= -E(Y) + -E(T) = - + - = -

E ( X 2 ) = - IC2PY = k + - k 2 0 k 2 0

k2PT = I C = -E(Y2) + -E(T2)

6 33 39 39 Donc E ( X 2 ) = - + - = - et Var(X) = - - ( y )2 = E 4 4 4 4

(1111)

k = l kltl n

Var(S) = (n - 1) sus 2 2

1117 on a

F Z ( t ) =

s i t gt O

et de remarquer que

E ( X 3 1 par (1112) 1 - -

d(d-1) d - 1 d2 - d - d2 E ( X S ) - (d - 1) -

d2(d - 1) l -d2E(XS) 1 ( 1 )

- - E(XS) - - - - d2(d- 1) d - 1 d2

F ( m ) = PX 5 m 2 12

si X ( w ) 2 b

si X(w) 5 a

si X ( w ) 5 a

puis que

si X 5 a

SOLCTIONS

On obtient alors

$(t) d t 2 O E(IX - a ( ) - E ( ( X - mi) =

drsquoougrave

lltkltn

(III 5)

= - H ( Q ) - ln(P) - qk kln(q) k 2 0

P - lt -H(Q) - ln(p) - 1n(q)

Drsquoougrave

OL L i T I O N S

5 ~ 2 + ~ 2 = E pour t gt t o

c n E(lXlgt = = 00

nGZ In122

par conseacutequent

(1117)

Drsquoautre part

De plus I

1 f ( t ) dt = 12

Y OLT ri- I O N s

(1119)

t H 2 1 cos(tx) f ( x ) dx = p(t)

INDEacutePENDANCE

Eacutenonceacutes

E( f (X)g(X) ) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) )

est (1 - i t ) - p

D = z = (21 z) E IRn O 5 21 5 5 2 5 1

z E R s gt o

( X Y ) E JR2

v v (B x B ) = o

O et 12

(t) = X(p(t)-1) t E R

1 lt k 5 N (w)

Solutions

n2 l k 2 0

2 ( k - 1) 2 k - 1

15lc52n-l

j euro J j euro J

IV4 couple ( i j )

( f (4 - f ( d ) ( 9 ( 4 - dd) 2 0

( f ( X ) - f ( Y ) ) ( d X ) - d Y ) ) L 0

E (f(nm) 2 E ( f ( X ) ) E ( d X ) ) El

cest-agrave-dire

P X ~ 5 tgt = P X 5 = i -e-

-e- sinon

- l lt t lt l + 1 PX3 5 t = PX 5 fi = - 2

1 t2 -dxdy = t - -

deacuteduit

F(F(z)) I z (IV2)

On a alors

S o I I JT IO N s

PN = l = PX1 5 x2 X n

P N = k Z gt t

O L Li I I O N S

( P p ( t ) ( P ( t ) = (P+q(t)-

1 up- (z - u)QP1 du

e- + r(P)r(q)

(Yp YQ) = Yp+n- O

+ A suit la loi I

Drsquoautre part

t k - 1 -t t k - 2 -t - - e - e

( k - l) ( I C - a)

si t 2 O

sinon fk(t) =

E(q5(S1 Sn)) =

( 31 = 21

ds1 dsn+l Sn+i

E((Ul U+1)) = (-+ En+i Sn+i

La transformation

o 5 un 5 1 j

(i)F(z)l - F(z))-k

on a donc

(n - i ) ( i - l) 1 - n (i - i)(n - i - i)

h(s) = i(n - i) (n - l) n

aE(X) et donc

Dautre part

PX _gt M _gt (1 - a)2(i - E )

P(UX 2 M) 2 (1 - agtyi - E )

P(nN Un X n 2 N ) = 1

SOLLITIONS

IV16 et quon a

E(S2 14) = J Si dP 2 X 2 P(Ak) IC

271 f(z y) = - euml ( 2 + y 2 ) 2 + h(z)h(y)

h(t) =

Var(2X - Y ) = (2 -1) (6 12) (-1) = O

lV20 ristique

Lrsquoapplication

+(s + t ) + +(s - t ) = 2+(s) + +(t) + +(-t) (IV11)

+i(S + t ) + + i ( S - t ) = 2+i(S) (IV 12)

cp(t) = ei ( t m ) + s p ( t )

(PX(t) =

ampO - q N = k ) et

= p(t)kPP(N = I C

Observant que

Eacutenonceacutes

si t gt 1

lim o - X k L ( k ) ( A ) = F ( z ) --a k

k i X X

(Px (4 d t

d t = signe(z)~2

P ZI 2 M = 00

ci OLT TT I O N s

Solutions

On eacutecrit

SOLUTIONS

Xn gt (1 - euro) = xn 2 221nn(1- E )

On a alors

t 2 e - 7 d t

1 P(An) - J27F v 5 G ( l - amp )

N- -K--

1 - i n n ( i + ~ ) ~ 1 1

J27 J G ( 1 + E ) Jinn N- -K--

Tout drsquoabord

= (PXi 5 (1 + E ) G ) n

Drsquoautre part

drsquoougrave

max Xi n-tm

En effet

= ( 1 - P Xz gt dzG( 1 - amp) )

- o n++m

M = S U P ~ E ~ E(G(Xi)) lt 00

De mecircme

S o L I IT IONS

I1 srsquoen suit

0 5 j k 5 1 et Vx E R f k ( X ) + 1 k

SOLLITIONS

Pour x gt O on a

donc -xe (Wk e

lim L(X) = I dP(8) = F(0) X++m s

O = J = E ( p Y ( X - t ) )

SOLUTIONS

U-++CC

it ( t 4

7 1 0 t

SOL11 1 IONS

e-n - - - k n++w 2

OSkltn

xi + + x ps -f E ( X i ) = P(X1 5 t ) = F ( t )

n On note alors

PU) (EPgt = 1 et PU) ( ~ 4 ) = O

P(tgt = E( 1 - E( n X

De plus

Dautre part

Pour w E R

et donc

X Y = (Y = O n E O) u Y 2 2

et donc

En particulier

Vk E N

Eacutenonceacutes

VI4 n E W

P x 2 M + n I x 2 m = P x 2 n

N(Sn 1 - 1n)

P gtI = P Y = j I X = i Z J = 1 n

et que

1)) Montrer que n

n - 1 - _ Ln(x) = (n - 1)y I

lltiltn

en probabiliteacute

N = min i 2 N_1 cUf(X) 5 g(X) i 2 1

soi 1 1 I O N S

Solut ions

E ( X 2 ) = E ( X f ( X + Y ) ) = E(Yf(X + Y ) ) = E(Y2)

C ( X I X A a = z ) =

P X 2 m + l 1 x 1 m = P X 2 l

P X = k I s = P =

Y o I I IT I ~ N s

P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - P ( X E B n N = I C ) P N = I C

- - = PXk E B

n X - - i l A An

sachant

S E(X1 I s = s ) = -

n Drsquoautre part

Par conseacutequent

O Enfin

SOLUTIONS

si t 5 O f ( t ) =

I+ = 1rsquo j=l

donc pour tout i n

E ( 1 x = i x = i) = 1 j=l j=l

P Y = j = E(IYj)

= E(E(nY=j I X)) n

= P2j P X = i O i=l

SOLUI I O N S

i(n - i ) ( ) f ( ) f (s + )Fi-()(i - F ( s + ))n-i-l

i (7) f()Fi-()

= f( + s ) ( n - i ) ( l - F( + s))

PTi+in 2 s I X n = Y = (1 - G(Y + s ) ) ~ -

Izn = (p(Xi)

i=l i=l

Pamp = 1 Ijp = 1) = PI1n = 1 12n = 1)

et donc

I1 sensuit

2 n n2 1 - 2n (n - i ) 2

IinIjn (n -

L(z) = + C I i n + 1 (n - i ) 2

E (E = n - (n - I ) E ( L ( ~ ) ) N n( i - ~ ( z ) ) n

( 1 - F ( X ~ + zngt + ~ ( ~ 2 1 - F ( X ~ + zngt + F ( x ~ ) ) ) ~ - ~

- exP(-zf(Xi) - z f ( X 2 ) ) n

~(1 i n12 n ) --+ n E ( e x ~ ( - z f ( X i ) - z f ( X 2 ) ) )

= ( 1 - L ( 2 ) ) 2

O 2 E(Ln(2)) - 1 - 2(1 - L ( 2 ) ) + ( 1 - L ( z ) ) = n

V(L(Z)) = E ( L i ( z ) ) - E2(Ln(z)) --+ n o

VII E [ O + o o [ O 5 L(z ) I 1

(4 5 4 3 7 (Y) I E 3

PN1 = k = (1 - c-l)k-lc-1

S 01 IJTIO N s

= P X E B I Y 5 g ( X ) ) = 1 g(t )d t B

n xn-l tn (n - i) - - -

S O L c T I O N s

Dougrave le calcul

E((X)2) 5 4 E ( X 3

EacuteNONCEacuteS

P T = n = a ( 1 n E N

l s i s n

E(dS 1 Ai-1) 5 E(I IX i ( (2 ) i = l n

Solutions

E(Zn+l I Fn) = x1 - e x n = 2

2=1 k - n i=l

k n-1 IC - k - C (z - k - n + 1

(VII 1)

CcedilOLTJTIONS

et donc

E(SkAn) = E(S) = o

Pour A E FT on a

N = E ( f ( X k + l + + X+)) P ( A ri T = k )

= E ( f ( X 1 + + X))P(A)

PXT+l+ + XT+ E B N

N = P X I + +x E B C P T = k

= P X 1 + + X EB

= 11 z 4 ( ~ + Y) dQ() WY 2 )

SOLUTIONS

on obtient

= (T A 4 (1 - E(lTL(n+i) I FTJ)

+ (n + 1) 4 l Tgtn

= (T A 4 - ( (T A 4 - ( + 1) 4) nTgtn

= ( T A 4 + 4 lTgtn

= a (T A 4 + 4 (a + 1) l Tgtn

d) On remarque que

E(Xi+ - Q(T A a ) I 6)

Et en utilisant

x - a(T A (n - 1))

Lrsquoidentiteacute

= P(Ar+) + P(AY) = P(Ak)

Dougrave

SOLUTIONS

1 XgtC)

XndX = PXn gt c

I1 sensuit que

V n 2 1 et V 1 5 k 5 2-P(Ak) - XdX -LE 137

Eacutenonceacutes

SOLUTION s

Solutions

PY = i PY = i

(VIII1)

Y7 x P X = 5 y = Y z = 4 = f( Y M Y 4 on a

et drsquoautre part

x = (XO Xn-2) xn-l = Y x = 2

pour obtenir

diag(1 a am-l)

et la seule

+j(m+1-4 1 + Am+l+k)) = -j 2

SOLUT IONS

INTRODUCTION

II Inteacutegration

Probabilité - exercices corrigés - ChercheInfo

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