Primjeri iz svakodnevnog života

Primjeri iz Primjeri iz svakodnevnog životasvakodnevnog života

mostovi se grade tako da im lukovi mostovi se grade tako da im lukovi imaju oblik paraboleimaju oblik parabole

konstrukcija satelitske TV antene konstrukcija satelitske TV antene temelji se na geometrijskim temelji se na geometrijskim svojstvima parabolesvojstvima parabole

jata ptica selica lete u formacijama u jata ptica selica lete u formacijama u obliku luka parabole (jer tako jedna obliku luka parabole (jer tako jedna drugoj pomažu u letu)drugoj pomažu u letu)

fontanefontane

potkovapotkovaprirodne pojave prirodne pojave (duga ili komet)(duga ili komet)

ZNAČENJEZNAČENJE

Korijen riječi parabola (parabolh) potječe od grčke Korijen riječi parabola (parabolh) potječe od grčke riječi riječi parapara, prefiks koji označava , prefiks koji označava usporednost, usporednost, blizinublizinu grč. grč. parabole:parabole: stavljanje usporedo, uspoređivanje stavljanje usporedo, uspoređivanje naziv ''parabola'' nadjenuo je Apolonije u naziv ''parabola'' nadjenuo je Apolonije u 2.st.pr.Kr.2.st.pr.Kr.

Slične riječi koje su izvedene od riječi paraSlične riječi koje su izvedene od riječi para : :poučna priča u prenesenom značenju (npr. poučna priča u prenesenom značenju (npr. Kristove prispodobe) naziva se parabolaKristove prispodobe) naziva se parabolatijelo koje nastaje vrtnjom parabole oko svoje osi tijelo koje nastaje vrtnjom parabole oko svoje osi naziva se naziva se paraboloidparaboloid

KAKO KONSTRUIRATI PARABOLU?KAKO KONSTRUIRATI PARABOLU?

1. način1. način

Kao presjek Kao presjek stožaste plohe stožaste plohe (čunjosjeci) s (čunjosjeci) s ravninomravninom

Parabolu dobijemo kao presjek Parabolu dobijemo kao presjek stožaste plohe i ravnine koja ne stožaste plohe i ravnine koja ne sadrži vrh stožaste plohe, usporedna sadrži vrh stožaste plohe, usporedna je s jednom izvodnicom te presijeca je s jednom izvodnicom te presijeca sve ostale izvodnice plohesve ostale izvodnice plohe

Prva definicija parabolePrva definicija parabole

Krivulju koju vidimo u presjeku Krivulju koju vidimo u presjeku stošca, ako je kut presjeka usporedan stošca, ako je kut presjeka usporedan (paralelan) s kutom koji izvodnica (paralelan) s kutom koji izvodnica zatvara s bazom, nazivamo zatvara s bazom, nazivamo PARABOLAPARABOLA

2. način2. način

Konstrukcija Konstrukcija parabole pomoću parabole pomoću ravnala i šestararavnala i šestara

Točku F nazivamo Točku F nazivamo fokus fokus ili žarište parabole ili žarište parabole

Pravac d je Pravac d je direktrisadirektrisa ili ili ravnalicaravnalica parabole parabole

Sjecište parabole i Sjecište parabole i njezine osi naziva se njezine osi naziva se tjemetjeme parabole parabole

TetivaTetiva BB' položena kroz BB' položena kroz fokus parabole i okomito fokus parabole i okomito na x-os naziva se na x-os naziva se parametar parametar paraboleparabole

Svojstva paraboleSvojstva parabole

Sve točke na Sve točke na krivulji jednako krivulji jednako su udaljene od su udaljene od direktrise d i direktrise d i fokusa Ffokusa F

Ovisnost Ovisnost oblika oblika parabole o parabole o udaljenosti F udaljenosti F i di d

Druga definicija paraboleDruga definicija parabole

Skup svih točaka ravnine za koje je Skup svih točaka ravnine za koje je udaljenost od pravca d (direktrise) udaljenost od pravca d (direktrise) jednaka udaljenosti od točke F jednaka udaljenosti od točke F (fokusa) nazivamo (fokusa) nazivamo PARABOLAPARABOLA

Tangenta i Tangenta i normala u svim normala u svim točkama na točkama na paraboli i njihova paraboli i njihova fizikalna fizikalna inerpretacija:inerpretacija:

zelena zelena crta(tangenta) -crta(tangenta) -vektor brzinevektor brzine

crvena crta -crvena crta -vektor vektor akceleracijeakceleracije

ljubicasta -ljubicasta -vektor normalevektor normale

Duljina parametra parabole iznosi 2pDuljina parametra parabole iznosi 2pUdaljenost direktrise i fokusa je jednaka pUdaljenost direktrise i fokusa je jednaka pFokus parabole ima koordinate F(p/2,0)Fokus parabole ima koordinate F(p/2,0)Jednadžba direktrise y=-p/2Jednadžba direktrise y=-p/2Tangenta i normala na parabolu simetrale su Tangenta i normala na parabolu simetrale su kutova između žarišnog radijvektora i kutova između žarišnog radijvektora i promjera kroz diralištepromjera kroz dirališteEkscentricitet parabole je jedanEkscentricitet parabole je jedanGraf funkcije nazvali smo Graf funkcije nazvali smo parabolaparabola

Jednadžba paraboleJednadžba parabole

Odaberemo li proizvoljnu točku T(x,y) Odaberemo li proizvoljnu točku T(x,y) parabole, prema definiciji parabole parabole, prema definiciji parabole izvodimo tzv. izvodimo tzv. tjemenu ili osnu tjemenu ili osnu jednadžbujednadžbu parabole parabole

pxy 22

jednadžba parabole u polarnom jednadžba parabole u polarnom sustavu ili tzv. polarna jednadžba sustavu ili tzv. polarna jednadžba

paraboleparabole::

´cos1 f

pr

““Extra” način kako konstruiratiExtra” način kako konstruirati paraboluparabolu

Pribor: trokut, T-ravnalo (može i Pribor: trokut, T-ravnalo (može i obično), klip (čavlić, špenadla), obično), klip (čavlić, špenadla), komad užeta (ili konca) i olovkakomad užeta (ili konca) i olovka

T-ravnalo postavimo u vodoravan položaj. T-ravnalo postavimo u vodoravan položaj. Uže neka je duljine srednje stranice trokuta. Uže neka je duljine srednje stranice trokuta. Čavlić neka je fokus parabole, a T-ravnalo Čavlić neka je fokus parabole, a T-ravnalo direktrisa. Uže zavežemo za čavlić, te direktrisa. Uže zavežemo za čavlić, te najkraću stranicu trokuta prislonimo na T-najkraću stranicu trokuta prislonimo na T-ravnalo.ravnalo.Vrhom olovke povučemo uže prema ravnalu.Vrhom olovke povučemo uže prema ravnalu.Klizeći trokutom uz ravnalo, olovka će Klizeći trokutom uz ravnalo, olovka će nacrtati parabolu (paziti da olovka tj. uže nacrtati parabolu (paziti da olovka tj. uže bude uz stranicu trokuta) bude uz stranicu trokuta)

Zašto je olovka nacrtala baš paraboluZašto je olovka nacrtala baš parabolu??

ZadaciZadaci1.1. Iz ishodišta je u smjeru osi x ispaljeno tane Iz ishodišta je u smjeru osi x ispaljeno tane

početnom brzinom v(0) (m/s). Dokaži da se početnom brzinom v(0) (m/s). Dokaži da se pod utjecajem sile teže tane giba po paraboli. pod utjecajem sile teže tane giba po paraboli. Odredi jednadžbu te parabole.Odredi jednadžbu te parabole.

2.2. Osni presjek reflektora ima oblik parabole, Osni presjek reflektora ima oblik parabole, promjer zrcala iznosi 120cm,promjer zrcala iznosi 120cm, a dubina 60cm. a dubina 60cm. Gdje treba staviti izvor svjetlosti da Gdje treba staviti izvor svjetlosti da reflektirane zrake budu paralelne?reflektirane zrake budu paralelne?

3.3. Iz topa kojem je cijev nagnuta prema Iz topa kojem je cijev nagnuta prema horizontalnoj ravnini pod kutom horizontalnoj ravnini pod kutom αα ispaljen je ispaljen je hitac s početnom brzinom v(0). Odrediti hitac s početnom brzinom v(0). Odrediti putanju hitca.putanju hitca.

4.4. Koje su najmanje moguće dimenzije Koje su najmanje moguće dimenzije pravokutne prizme koja sadrži satelitski pravokutne prizme koja sadrži satelitski tanjur, promjera 1.5m, uključujući i prijemnik?tanjur, promjera 1.5m, uključujući i prijemnik?

Ivana GugićIvana Gugić

Bernarda MihociBernarda Mihoci

Veronika NovakVeronika Novak

Renata Jasmina StepanecRenata Jasmina Stepanec

Željka ŠtrajnŽeljka Štrajn