predavanja brujic ljuske
Post on 19-Jan-2016
181 Views
Preview:
DESCRIPTION
Transcript
273
10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE
10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD
Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljenih površi, koje prihvataju
opterećenje primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske),
ali i savijanjem, posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim
izborom geometrije, sa malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni ele-
menti kad je o utoršku materijala reč.
U opštem slučaju, ljuske mogu biti različitih oblika površi koje karakteriše Gauss-
ova mera krivine, proizvod krivina glavnih pravaca (κα i κβ):
1
Kr rα βα β
κ κ= ⋅ =⋅
, .......................................................................... (10.1)
gde su rα i rβ poluprečnici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 323):
• Eliptične površi imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba polu-
prečnika glavnih krivina su sa iste strane površi. Ove ljuske ne mogu menjati
svoj oblik bez istezanja srednje površi, zbog čega su vrlo krute.
• Hiperboličke površi imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri
poluprečnika glavnih krivina su na različitim stranama površi. Karakterišu se
pravim izvodnicama.
• Parabolične površi imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprečnika gla-
vne krivine im je beskonačno velik.
Sl. 323. Površine različite Gauss-ove krivine
Kada je debljina ljuske (h) mala u poreñenju sa poluprečnikom krivine (r), ljuska se
smatra tankom, a statički tretman ovih elemenata može biti baziran na teoriji tankih
ljuski. Načelno, ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:
1
20
h
r≤ . ........................................................................................... (10.2)
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
274
Osnovne pretpostavke tehničke teorije tankih ljuski su:
• Smatra se da prava vlakna upravna na srednju površ ljuske ostaju prava i
upravna na deformisanu srednju površ, ne menjajući svoju dužinu.
• Normalni naponi u pravcu normale na srednju površ su zanemarljivi u odnosu
na ostale komponentalne napone.
Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu površi ograničenom lini-
jama glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreñeni maksimal-
nim i minimalnim poluprečnicima krivine. U opštem slučaju, postoji deset sila u pre-
sečnim površima ljuske: normalne sile Nα i Nβ, smičuće sile Nαβ i Nβα, transverzalne
sile Qα i Qβ, momenti savijanja Mα i Mβ i momenti torzije Mαβ i Mβα (Sl. 324). Ovih
deset veličina, načelno, nije moguće odrediti samo iz uslova ravnoteže (problem nije
statički odreñen), nego se moraju postaviti i dopunske veze izmeñu napona, defor-
macija i pomeranja ljuske.
Sl. 324. Sile u presečnim površinama ljuske, opšti slučaj
Opšti problem je, pod odreñenim uslovima, moguće dekomponovati na nezavisne
slučajeve membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.
Pretpostavljajući elastično ponašanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se može
analizirati na način koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj površi,
poput membrane koja ne pruža nikakav otpor savijanju. Od presečnih sila, javljaju
se samo normalne sile Nα i Nβ, smičuće sile Nαβ i Nβα, a ova vrsta naprezanja se nazi-
va membransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskmembransko naprezanje ljuskiiii, dok je odgovarajuća teorija proračuna - mem-
branska teorija (Sl. 325a). Membransko stanje naprezanja se može analizirati i kod
ljuski konačne debljine pod sledećim uslovima:
• Granični uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile naprežu ljusku
samo u njenoj srednjoj površi. Ovim, mogu biti sprečena samo pomeranja u
pravcu tangente na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 325b).
• Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se član z/r u izrazima datim na Sl.
324 može zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i
smičućih napona po visini h preseka postaje konstantna:
N hα ασ= ⋅ , N hβ βσ= ⋅ , N N hαβ βα αβτ= = ⋅ . ...................................... (10.3)
10. Armiranobetonske ljuske
275
• Srednja površ mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.
• Opterećenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisa-
nih dejstava.
Sl. 325. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja
Sada, kada je broj nepoznatih veličina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz
uslova ravnoteže.
Konturni uslovi ljuske su najčešće takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku
deformaciju kraja – ljuske su po konturi obično kruto vezane (elastično uklještene)
za druge elemente (ljuske, ploče, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi
rada na krajevima ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su „poremećeni“ fleksionim
silama. Osim konturnih uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle pro-
mene debljine ljuske, koncentrisana opterećenja, skokovi u kontinualno promenlji-
vom opterećenju ili koncentrisana opterećenja.
Sl. 326. Fleksione sile
Pored membranskih, u presečnim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i tor-
zije, te transverzalne sile (Sl. 326). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i
deformacije ljuski uključujući i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila
naziva se fleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuskifleksiona teorija ljuski.
Nije ni potrebno posebno naglašavati da je danas uobičajen proračun uticaja u ljus-
kastim elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na prime-
ni metode konačnih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao polie-
darske površine formirane od površinskih konačnih elemenata, mogućnost aplicira-
nja proizvoljnog opterećenja, mogućnost uticaja na tačnost rezultata gustinom mre-
že, mogućnost proračunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke
od nespornih prednosti ovog načina proračuna. Ipak, sa stanovišta inženjerskog
razumevanja problema, klasični pristup proračunu je od nemerljivog značaja i dalje.
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
276
10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE
Rotacione (rotaciono-simetrične) ljuske su one čija je srednja površ rotaciona površ
nastala obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 327).
Koordinatne linije ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U
ravni meridijalnih krivih meri se ugao α, a u ravni kružnica ugao φ. Poluprečnici gla-
vnih krivina su rα i rφ64.
Sl. 327. Rotaciona ljuska
Pretpostavljajući membrmembrmembrmembranski radanski radanski radanski rad, na elementarnom delu površine rotacione ljuske
opterećenom komponentama površinskog opterećenja u pravcima tangente na glav-
ne pravce, te normale na srednju površ (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnoteže
(Sl. 328): dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju
površ. Pretpostavljajući, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenja,
kada je px jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra – ugla α:
Sl. 328. Membransko stanje rotacionih ljuski
( )/zN r p N rφ φ α α= − ⋅ + , 0Nαφ = , ........................................................ (10.4)
( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C rα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫ , ...................... (10.5)
gde je sa r obeležen poluprečnik kružnice (paralele), a integraciona konstanta C se
odreñuje iz konturnih uslova.
64 Primetiti da rφ nije poluprečnik kružnice (paralele).
10. Armiranobetonske ljuske
277
Pod dejstvom rotaciono-simetričnog opterećenja ljuska se deformiše i tačke ljuske
dobijaju odgovarajuća pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pra-
vcu normale na površ, w. Koristeći se vezama izmeñu napona i deformacija (ε), iz
teorije tankih ljuski je poznato:
( )1N N
E hα α φε ν= ⋅ − ⋅⋅
, ( )1N N
E hφ φ αε ν= ⋅ − ⋅⋅
. ................................. (10.6)
Nakon uvoñenja veza izmeñu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristična
pomeranja – izduženje poluprečnika paralele, ∆r, i promena ugla tangente na meri-
dijalnu krivu, χ – naći kao:
( )rr r N N
E hφ φ αε ν∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅⋅
............................................................ (10.7)
( ) ( )cot 1r rdN N N N N N
E h r r d E hφ φ
α φ φ α φ αα α
αχ ν ν να
= ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
. ..... (10.8)
Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno složenije od
membranskog. Za slučaj rotaciono-simetričnog opterećenja polovina presečnih sila
je identički jednaka nuli:
0N Nαφ φα= = , 0M Mαφ φα= = , 0Qφ = . ............................................... (10.9)
Sl. 329. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrično opterećenih
Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnoteže na elementu površine (Sl.
329). Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na površ,
te suma momenata, respektivno, daju:
( ) cos 0y
dr N r N r Q p r r
d α α φ α ααα
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = , ................................. (10.10)
( )sin 0z
dr N r N r Q p r r
dα α φ α ααα
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = , i ................................ (10.11)
( ) cos 0d
r M r M r r Qd α α φ α ααα
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = . .......................................... (10.12)
Veze izmeñu dilatacija i pomeranja su:
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
278
1 dv
wr dαα
εα
= ⋅ +
, cotv w
rφφ
αε ⋅ += , 1 dw
vr dα
χα
= ⋅ −
, .................... (10.13)
a veze izmeñu presečnih sila i pomeranja su date sa:
( )1cot
dvN D w v w
r d rαα φ
ν αα
= ⋅ + + ⋅ +
, 21
E hD
ν⋅=
−, ........................ (10.14)
( )1cot
dvN D w v w
r d rφα φ
ν αα
= ⋅ + + ⋅ +
, ( )3
212 1
E hK
ν⋅=
⋅ −, ................. (10.15)
1 1
cotd dw dw
M K v vr d r d r r dαα α α φ
ν αα α α
= − − + −
......................... (10.16)
1 1
cotd dw dw
M K v vr d r d r r dφα α α φ
ν αα α α
= − − + −
.......................... (10.17)
Jednačine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednačina sa deset nepo-
znatih: pet presečnih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente
deformacijskih veličina (εα, εφ i χ). Prkatična rešenja će biti razmatrana na primeru
pojedinih tipova ljuski.
U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-
simetričnim opterećenjem, ostvaruje se u većem delu ljuske, osim, najčešće, u oko-
lini konture. Ljuska je najčešće po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi ele-
ment. Zato, zbog sprečenosti membranskog deformisanja, na konturi se remeti
membransko stanje i u ljusci se javljaju uticaji od savijanja (Sl. 330).
Sl. 330. Ivični poremećaji cilindrične ljuske kruto spojene sa drugim elementima
Sl. 331. Momenti savijanja poduž izvodnice za dugu i kratku cilindričnu ljusku
Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremećajni uticaji) su takvi da se relativno brzo
prigušuju za uobičajene dimenzije ljuski. Njihova veličina se (na makro-nivou pos-
matrano) smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se može smatrati da se poremećajni
uticaji na jednom kraju ljuske „ne osećaju“ (ne utiču na deformaciju) na drugom kra-
10. Armiranobetonske ljuske
279
ju ljuske, takve ljuske nazivaju se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 331
su, za dugu i kratku cilindričnu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, opterećenu
radijalnim horizontalnim linijskim opterećenjem na obe ivice, prikazani oblici dija-
grama momenata savijanja Mα.
Presečne sile kod rotaciono-simetrično opterećenih rotacionih ljuski u sklopu slože-
nije konstrukcije mogu biti odreñene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila
odreñuju se superpozicijom membranskog rešenja i uticaja dobijenih fleksionom
analizom ivičnih poremećaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju,
konstrukcija se dekomponuje, na način da se pretpostavljaju membranski uslovi
oslanjanja pojedinih elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji
je samo analizom uslova ravnoteže moguće odrediti membransko rešenje. Na mestu
raskinute veze uvode se dve statički nepoznate veličine: horizontalna sila XH (linijsko
opterećenje, kN/m’) i moment savijanja XM (linijsko opterećenje, kNm/m’) (Sl. 332).
Sl. 332. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statički nepoznate
Veličine statički nepoznatih veličina odreñuju se iz uslova-pretpostavke da nema
meñusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meñusobne
promene nagiba tangente. Skraćeno, krajevi ljuski spojenih u čvoru imaju jednako
horizontalno pomeranje ∆r i obrtanje χ. Uslovne jednačine virtualnog rada, kojima
se sumiraju ovi uslovi imaju poznat oblik, a broj ovih jednačina, N, odgovara broju
statički nepoznatih veličina:
1 11 2 12 10
1 21 2 22 20
1 1 2 2 0
... 0
... 0
...
... 0N N N
X X
X X
X X
δ δ δδ δ δ
δ δ δ
⋅ + ⋅ + + =⋅ + ⋅ + + =
⋅ + ⋅ + + =
. ......................................................... (10.18)
Pri tome, svaki koeficijent δij čine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovara-
jućih pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:
ij ij ijδ δ δ′ ′′= + . .................................................................................. (10.19)
Koeficijenti δi0 se odreñuju kao odgovarajuća pomeranja u osnovnom sistemu u pra-
vcu i smeru usvojenih statički nepoznatih od spoljašnjih opterećenja. I oni predstav-
ljaju zbir odgovarajućih koeficijenata sa dva u čvoru vezana elementa.
Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreñivanja statički nepozna-
tih se znatno pojednostavljuje. Uvoñenjem pretpostavke da se ivični poremećaji na
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
280
jednom kraju ljuske „ne osećaju“ na drugom, čini odgovarajuće δij koeficijente jed-
nakima nuli. Za posledicu, umesto jednog sistema jednačina, problem se dekompo-
nuje na više manjih sistema jednačina (na primer, četiri puta statički neodreñen sis-
tem na Sl. 332, uz cilindričnu ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta
statički neodreñen – nezavisno je moguće odrediti statički nepoznate u gornjoj vezi
od onih u donjoj).
U slučaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) opterećenja na ljusku, problem
se rešava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 333. Pri tome je nebit-
no da li se samo opterećenje „pripisuje“ gornjoj ili donjoj ljuski, ili se „deli“. Slično se
postupa i u slučajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 334).
Sl. 333. Dekompozicija na mestu koncentrisanog opterećenja
Sl. 334. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske
Treba imati na umu da statički nepoznate veličine izazivaju u presecima ljuske, ne
samo momente savijanja (Mα i Mφ) i transverzalne sile (Qα), nego i aksijalne sile Nα i
Nφ, zbog čega se rezultujuće aksijalne sile odreñuju superpozicijom njihovih mem-
branskih i fleksionih vrednosti.
Ljuske se, u opštem slučaju, dimenzionišu u dva ortogonalna glavna pravca na slo-
ženo savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravou-
gaonog poprečnog preseka jedinične širine (1m) na granične vrednosti uticaja Mφ i
Nφ, dok se meridijalna armatura odreñuje iz odgovarajućih graničnih uticaja Mα i Nα.
Pri tome, treba voditi računa o različitim statičkim visinama u dva upravna pravca, te
o minimalnim količinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploče.
10.2.1.10.2.1.10.2.1.10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)
Sferne kupole su najčešće konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine.
Primenu kao armiranobetonske pronalaze još na početku XX veka, uglavnom kao
krovne konstrukcije nad kružnim osnovama, zahvaljujući sposobnosti da premošća-
vaju velike raspone sa malim debljinama. U pogledu utroška materijala ovo ih svrs-
10. Armiranobetonske ljuske
281
tava u red najracionalnijih konstrukcija. Sa druge strane, racionalnost njihove pri-
mene je limitirana pogodnošću i cenom izvoñenja (skupa oplata i skela).
Najčešće, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala kružne
osnove i većih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 335). U
konstrukcijama se javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim
nosačima, pločama, drugim ljuskama...
Sl. 335. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara
Uobičajene debljine kupola su vrlo male – za krovne konstrukcije su izmeñu 5 i
14cm, a za raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnu-
ti, ovi elementi mogu biti podložni gubitku stabilnosti, zbog čega je preporuka
usvajati debljinu ljuske na način da se membranskim radom iazazvani normalni
naponi ograniče na manju vrednost od dopuštenih (preporuka je 50% dopuštenih)65.
Još jedna preporuka u pravcu obezbeñenja od suviše malih debljina ljuske je ona
kojom bi debljinu valjalo ograničiti sa donje strane u funkciji poluprečnika krivine na
sledeći način: / 0.0015d r ≥ (približno 1/600!).
Sl. 336. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)
S obzirom da su kupole opterećene uglavnom mirnim kontinualnim opterećenjem
(sopstvena težina, izolacija, sneg, tečnost...), to one rade pretežno membranski.
Samo u području oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najčešće preko prste-
nastog nosača) javljaju se fleksioni poremećaji. Moguće neravnomerno opterećenje
vetrom redovno nije od velikog značaja budući je malo u odnosu na ostala. Otud,
kupole se mogu približno proračunavati kao rotaciono-simetrično opterećene.
65 Dopušteni naponi su „zaostatak“ ranije primenjivane „logike“ proračuna armiranobetonskih
konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktično validna.
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
282
Često se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 336). U tom
slučaju gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojačanje na koje se pričvršćuju elementi
svetlosne lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakteriše fleksionim uticajima.
Kako su kod sferne ljuske poluprečnici glavnih krivina jednaki:
r r aα φ= = , sinr a α= ⋅ , .................................................................. (10.20)
to se presečne sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)):
( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d aα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ , .................... (10.21)
( )zN a p N aφ α= − ⋅ + . ..................................................................... (10.22)
Karakteristična pomeranja su:
( )( )sin1z
ar a p N
E h αα ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅
⋅, i ................................................ (10.23)
( )1zy
dpap
E h dχ ν
α = ⋅ − + ⋅ ⋅
............................................................. (10.24)
U nastavku je, u formi specifičnog slučaja, analizirano membransko dejstvo sops-
tvene težine sferne kupole. Kako je:
sinyp g α= ⋅ i coszp g α= ⋅ ,
to se aksijalne sile dobijaju:
1 cos
a gNα α
⋅= −+
i 1
cos1 cos
N a gφ αα
= ⋅ ⋅ − + .
Raspored i veličina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 337. Primetiti da za ugao kupo-
le veći od 51.49º prstenaste sile Nφ prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoñe, intere-
santno je primetiti i da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.
Sl. 337. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine
Za ravnomerno podeljeno opterećenje po osnovi, kakvo je opterećenje snegom, na
primer, važi:
sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ i 2coszp p α= ⋅ ,
te aksijalne sile u obliku (Sl. 338):
0.5N a pα = − ⋅ ⋅ , ( )0.5 cos 2N a pφ α= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
10. Armiranobetonske ljuske
283
Sl. 338. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog opterećenja po osnovi
Za karakteristične slučajeve opterećenja (Sl. 339) izrazi za presečne sile se obično
mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za karak-
teristična pomeranja.
Sl. 339. Neki karakteristični slučajevi opterećenja kupole
Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17)
se, uz odreñena zanemarenja malih veličina i konstatovanjem da je py = pz = 0,
svode na dve nezavisne diferencijalne jednačine oblika (k – koef. prigušenja):
4
44
4 0kχ χ
α∂ + ⋅ ⋅ =∂
, 44 0Q
k Qααα
∂ + ⋅ ⋅ =∂
, ( )23 1a
kh
ν= ⋅ ⋅ − . ............. (10.25)
Sl. 340. Oznake uglova na ivicama kupole
Uz oznake kao na Sl. 340, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), rešenje diferenci-
jalne jednačine se nalazi u obliku:
( )cosnk wnQ C e k wα ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , .......................................................... (10.26)
gde su C i ψ integracione konstante odreñene uslovima na konturi. Izrazi za sile u
presecima, te integracione konstante za slučajeve ivičnog opterećenja horizonztal-
nim silama i momentima, dati su na Sl. 341.
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
284
Sl. 341. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja
Dati izrazi se odnose na duge ljuske – one kod kojih je zadovoljeno:
( )2 1 6k α α⋅ − ≥ i 30nα ≥ ° . .............................................................. (10.27)
U praksi je, i za fleksione poremećaje, uobičajena primena tabulisanih izraza za sile
i pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo slučajeve prikazane na Sl. 341.
U najvećem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom
delu svodi na analizu centrično pritisnutog ili centrično zategnutog pravougaonog
preseka jedinične širine. U ivičnim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se
dimenzionišu na složeno savijanje, prema Mα i Nα. U zoni prostiranja poremećajnih
uticaja obično se ljuska kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu
je najčešće prihvaćen već podeonom armaturom.
Sl. 342. Armiranje sferne ljuske (osnova)
Sl. 343. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske
10. Armiranobetonske ljuske
285
Sl. 344. Armiranje ivičnih delova kupole
Teme ljuske se, kao kod kružnih ploča, armira ortogonalnom mrežom. Ostatak ljus-
ke se armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne
armature povećava udaljavanjem od temena (smanjuje se površina armature po
jedinici dužine), to je neophodno (čak zbog održavanja neophodnog minimuma
armature ili dopuštenog razmaka izmeñu šipki) polovljenje razmaka sve kraćim šip-
kama (Sl. 342). Ljuska se u većem delu armira mrežom u sredini debljine (za ljuske
debljine manje od 7cm) ili simetričnim mrežama na oba lica (za debljine preko 7cm)
(Sl. 343). U zoni ojačanja, obostrano armiranje se u meridijalnom pravcu najčešće
postiže šipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u obe zone ima karakter
podeone (Sl. 344).
Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivičnim elementima (prstenom)
u cilju obezbeñenja mogućnosti prijema poremećejnih momenata savijanja (Sl. 344).
10.2.2.10.2.2.10.2.2.10.2.2. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE
Konusne ljuske se najčešće koriste (Sl. 345) za levkove silosa i bunkera, kod rezer-
voarskih konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se
izvoditi kao klasične armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najčešće u
horizontalnom pravcu. Kod konusnih ljuski, glavni poluprečnik krivine rα ima besko-
načnu dužinu, izvodnica u meridijalnom pravcu je prava linija.
Sl. 345. Primeri primene konusnih ljuski
Sl. 346. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake
Uvoñenjem veza (Sl. 346):
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
286
cotr yφ α= ⋅ , dy r dα α= ⋅ , cosr y α= ⋅ , yN Nα → , ............................ (10.28)
mogu se odrediti vrednosti presečnih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:
( )cos sin cos
sin cos
y z
y
p p y dyN
y
α α αα α
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅∫
, ...................................... (10.29)
cotzN y pφ α= − ⋅ ⋅ , .......................................................................... (10.30)
( )coscotz y
yr y p N
E h
α α ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + ⋅⋅
, ................................................. (10.31)
( )2cotcoty z y
dN y p y p
E h dy
αχ α ν = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
. .................................... (10.32)
Za slučaj dejstva sopstvene težine (Sl. 347), komponente opterećenja su:
sinyp g α= ⋅ , coszp g α= ⋅ ,
a vrednosti presečnih sila su:
( )/ 2 sinyN g y α= − ⋅ ⋅ , 2sin cotN g yφ α α= − ⋅ ⋅ ⋅ .
Sl. 347. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine
Za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi (Sl. 348) biće:
sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ , 2coszp p α= ⋅ , 1
cot2yN p y α= − ⋅ ⋅ ⋅ ,
3cos
sinN p yφ
αα
= − ⋅ ⋅
Sl. 348. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi
Sl. 349. Neki karakteristični slučajevi opterećenja konusne ljuske
Za karakteristične slučajeve opterećenja (poput onih datih na Sl. 349) izrazi za pre-
sečne sile se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno
daju i izrazi za karakteristična pomeranja.
Neporemećeno membransko stanje je moguće samo ako je ivica ljuske oslonjena na
način da reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske
10. Armiranobetonske ljuske
287
završava obodnim prstenom, koji uzrokuje ivične poremećaje. Spoj ljuske i prstena
može biti zgloban ili krut (Sl. 350).
Sl. 350. Sile na spoju konusme ljuske i prstena
Sl. 351. Oznake na krajevima ljuske
Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17)
se, uz odreñena uprošćenja, svode na diferencijalnu jednačinu četvrtog reda po
nepoznatoj promeni ugla obrtanja (k – koef. prigušenja):
4
44
4 0ky
χ χ∂ + ⋅ ⋅ =∂
, ( )2tan3 1k
y h
α ν= ⋅ ⋅ −⋅
........................................ (10.33)
Uz oznake kao na Sl. 351, rešenje jednačine se može napisati u obliku:
( )cosn nk dn nC e k dχ ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , .......................................................... (10.34)
gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti presečnih sila i
karakterističnih pomeranja su date na Sl. 352. Izrazi važe za duge ljuske, kod kojih
je zadovoljeno:
( )2 1 6k y y⋅ − ≥ ................................................................................ (10.35)
Sl. 352. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja
Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentričnim krugovima. Broj
šipki koje se pružaju po izvodnicama, po jedinici dužine se smanjuje sa približava-
njem ivici, što valja nadomestiti ubacivanjem meñu-šipki. Ljuske deblje od 8cm se
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
288
armiraju u dve zone celom površinom. Uz prsten, ljuska se dimenzioniše na ekscen-
trični pritisak u pravcu izvodnice.
10.2.3.10.2.3.10.2.3.10.2.3. CILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKE
Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera
kružne osnove (Sl. 353). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kruž-
nom pločom, koja je najčešće kruto spojena s cilindrom, ali je moguće i rešenje sa
plivajućom varijantom. Sa gornje strane, cilindar se zatvara ili kružnom pločom ili
ljuskom, preko kružnog prstenastog nosača. Kod vodotornjeva, cilindri se projektu-
ju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u cilju formiranja pogodne geometrije.
Kod silosa, ćelije kružne osnove su dugački cilindri u dnu najčešće vezani s konus-
nom ljuskom levka.
U svim ovim slučajevima, opterećenje na površinu cilindra je po pravilu rotaciono
simetrično (pritisak tečnosti, zrnastog materijala ili tla).
Sl. 353. Primeni primene cilindričnih rotacionih ljuski
Kod cilindrične ljuske je glavni poluprečnik rα beskonačne dužine, a ugao α je 90º,
što meridijalnu krivu transformiše u vertikalnu pravu izvodnicu.
Sl. 354. Membranski uslovi oslanjanja cilindrične ljuske i geometrijske oznake
Uvoñenjem veza:
r aφ = , dy r dα α= ⋅ , yN Nα → , ........................................................ (10.36)
izrazi za membranske sile i pomeranja postaju:
y yN p dy= ⋅∫ , ................................................................................ (10.37)
zN a pφ = − ⋅ (kotlovska formula), .................................................... (10.38)
( )z y
ar a p N
E hν−∆ = ⋅ ⋅ + ⋅
⋅, ............................................................... (10.39)
zy
dpaa p
E h dyχ ν
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ . ............................................................... (10.40)
10. Armiranobetonske ljuske
289
Za slučaj delovanja sopstvene težine (Sl. 355a) biće:
yN g y= − ⋅ , 0Nφ = , a g y
rE h
ν ⋅ ⋅ ⋅∆ =⋅
, a g
E h
νχ − ⋅ ⋅=⋅
.
Sl. 355. Dejstvo sopstvene težine i tečnosti
Za dejstvo tečnosti (Sl. 355b) biće:
0yN = , p a y
NLφ
⋅ ⋅= , 2a p y
rE h L
⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅
, 2a p
E h Lχ − ⋅=
⋅ ⋅.
Za druge slučajeve opterećenja (poput onih na Sl. 356) izrazi za presečne sile i kara-
kteristična pomeranja se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata.
Sl. 356. Karakteristični slučajevi opterećenja
Jednačine fleksione teorije se, uz (10.36) i:
yQ Qα → , yM Mα → , .h const= , .................................................... (10.41)
svode na jednu diferencijalnu jednačinu četvrtog stepena:
4
44
4 0zpd wk w
dy K+ ⋅ ⋅ + = ,
( )23 1k
a h
ν⋅ −=
⋅. ....................................... (10.42)
U opštem slučaju, rešenje je oblika:
( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky−= + + + + , ............... (10.43)
gde je w0 partikularno rešenje, a integracione konstante se odreñuju iz konturnih
uslova. Za duge ljuske, kod kojih je:
6k L⋅ ≥ , ........................................................................................ (10.44)
ivični poremećaji se odreñuju iz rešenja homogenog dela diferencijalne jednačine,
koja se odnosi na ljusku bez površinskog opterećenja, a za opterećenje samo po
konturi:
4
44
4 0d w
k wdy
+ ⋅ ⋅ = . .......................................................................... (10.45)
Rešenje jednačine:
( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky−= + + + ....................... (10.46)
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
290
predstavlja zbir dve prigušene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jed-
nog kraja se ne prenose na drugi, pa se rešenje svodi na oblik s dve integracione
konstante:
( )1 2cos sinkyw e C ky C ky−= + . .......................................................... (10.47)
Sl. 357. Oznake na krajevima ljuske
Uz oznake sa Sl. 357, rešenje se može napisati u obliku:
( )cosnk dnw C e k d ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ............................................................ (10.48)
gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i
karakterističnih pomeranja su date na Sl. 358.
Sl. 358. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja
Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:
22
H
a kC X
E h
⋅ ⋅= ⋅⋅
, i 0ψ = , ............................................................... (10.49)
dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:
2 24
2M
a kC X
E h
⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅
, 4
πψ = . .............................................................. (10.50)
Puno uklještenje cilindričnog zida u temelj (Sl. 359a) rezultira većim poremećajnim
momentima My i manjim aksijalnim silama Nφ u odnosu na slučaj elastičnog uklješ-
tenja dna cilindra (Sl. 359b).
Sl. 359. Puno i elastično uklještenje dna cilindričnog zida
10. Armiranobetonske ljuske
291
Sl. 360. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonačkim elementima
Rotaciono simetrične cilindrične ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzionišu i
armiraju na centrični pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su opterećeni
na složeno savijanje (momenti My i aksijalne sile Ny).
Zatežuće prstenaste sile Nφ se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravi-
lu, postavlja sa unutrašnje strane, budući da ne prihvata momente savijanja. U verti-
kalnom pravcu, krak unutrašnjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne arma-
ture kao spoljašnja. Na Sl. 360 prikazan je detalj armiranja cilindra za slučaj punog i
elastičnog uklještenja.
10.3.10.3.10.3.10.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI
Tanke ljuske se danas uspešno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona,
kod hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omogućava značajno smanje-
nje težine. Mogu biti prizmatične (cilindrične), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti
ili naborane konstrukcije.
10.3.1.10.3.1.10.3.1.10.3.1. PRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKE
Prizmatičnim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po
dvema identičnim voñicama, najčešće u obliku elipse, parabole ili kružnice. Gauss-
ova krivina ovih ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadržale oblik pod opterećenjem,
moraju završavati krutim dijafragmama (Sl. 361a). Kako su, iz uslova na konturi,
meridijalne sile Nφ jednake nuli na podužnim ivicama, to se opterećenje ljuske može
prenositi samo savijanjem.
Sl. 361. Elementi prizmatične krovne konstrukcije i membranske presečne sile
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
292
Sl. 362. Poprečni i podužni presek kroz prizmatičnu ljuskastu krovnu konstrukciju
U podužnom pravcu, grubo, ljuska se ponaša kao gredni element raspona l1, a
savojna krutost ovakve „grede“ se uvećava projektovanjem ivičnih elemenata (Sl.
361, Sl. 362).
Ovakve ljuske se najčešće projektuju kao višetalasne, reñanjem jedne uz drugu na
način da dve susedne imaju zajednički ivilni element. Kod srednjih ivičnih elemenata
ovo rezultira poništavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila Nφ. Kod sre-
dnjih ljuski je, ovim, savijanje u poprečnom pravcu značajno redukovano, a u podu-
žnom pravcu raspodela normalnih sila Nx približno odgovara onoj kod grednih ele-
menata. Krajnje ljuske, pak, zahtevaju složeniji (momentni) proračunski tretman u
oba pravca. Alternativa je dodatno ukrućenje krajnjih ljuski poprečnim dijafragmama
u cilju smanjenja poprečnih deformacija. Na Sl. 363, za jednorasponsku ljusku, pri-
kazan je uticaj poprečnog ukrućenja na deformaciju ljuske.
Sl. 363. Deformacija ljuske, opterećene sopstvenom težinom, bez i sa poprečnim ukrućenjem
I u podužnom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao višerasponske.
Specifičan način primene cilindričnih ljuski, kod šed krovova, prikazan je na Sl. 364.
Sl. 364. Primena cilindričnih ljuski kod šed krovova
Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika većeg dela površine ljuske (bar
kad je o opterećenjima od sopstvene težine ili snega reč), na spoju ljuske sa dijafra-
gmama i ivičnim elementima ono je neminovno narušeno i, na ovim mestima, javlja-
ju se poremećajni uticaji. Njihovo proračunsko odreñivanje je moguće samo
korišćenjem klasične momentne teorije ljusaka ili, danas je to uobičajena praksa,
primenom softvera baziranih na metodi konačnih elemenata.
10. Armiranobetonske ljuske
293
Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 veći od 1 (redovno izmeñu 3 i 4) nazi-
vaju se dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podužnom pravcu je blizak grednom elementu raspona
l1 i poprečnog preseka koji formiraju ljuska i ivični elementi. Raspon dugih ljuski u
podužnom pravcu je uobičajeno izmeñu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visi-
nom ivičnog elementa, usvaja se većom od desetine podužnog i šestine poprečnog
raspona. Ivični elementi (Sl. 365; date su i uobičajene dimenzije) mogu biti projek-
tovani različitih oblika, zavisno od intenziteta pojedinih uticaja, te potrebe prijema
horizontalnih i/ili vertikalnih opterećenja s ljuske.
Sl. 365. Mogući oblici poprečnog preseka ivičnih elemenata
Oslonačke dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosači, rešetkasti, lučni
(sa zategom) ili okvirni. Na Sl. 366 prikazani su neki oblici oslonačkih dijafragmi i
poprečni preseci ivičnih elemenata višetalasnih ljuski.
Sl. 366. Dijafragme i ivični elementi višetalasnih ljuski
Približni proračun dugih ljuski, za srednja polja višetalasnih dispozicija, može odgo-
varati proračunu grednih elemenata čiji poprečni presek formiraju preseci ljuske i
ivičnih elemenata. Položaj neutralne linije odreñuje se za ovako pretpostavljeni
homogen presek. Dodatna aproksimacija može biti pretpostavka linearne raspodele
normalnih napona po visini preseka, kako je na Sl. 367 prikazano za presek ljuske
bez ivičnih elemenata.
Sl. 367. Aproksimacija raspodele normalnih i smičućih napona po visini preseka ljuske
Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i hori-
zontalno i vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne može biti efikasno primenjena.
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
294
Presek dugih ljuski se dimenzioniše prema dijagramu normalnih napona σx, glavnih
kosih napona po vrednosti jednakih smičućim τxφ i napona od poremećajnih mome-
nata savijanja. Zatežuće normalne napone u celini prihvata armatura, čija se potreb-
na površina odreñuje iz rezultantne sile zatezanja. Za kružni cilindar Sl. 367, biće:
( )0 0
2sinxg
u gg
r hZ r r y
y
σα α
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − . .......................................... (10.51)
Sl. 368. Opterećenje dijafragme
Smičući naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se
odreñuju iz globalne smičuće sile, Tu, na poznat način, usvajajući za širinu preseka
dvostruku debljinu ljuske (S – statički moment površine preseka iznad težišta):
2
ux
T S
I hτ ⋅=
⋅ ⋅. ................................................................................... (10.52)
Na dijafragme se opterećenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju
površ ljuske (Sl. 368), a odreñuju se iz smičućih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo,
dijafragme su, naravno, opterećene i sopstvenom težinom.
Podužna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentriše u dno ivičnog ele-
menta (na maksimalnom kraku) i, načelno, njena količina opada od sredine raspona
ka osloncima (Sl. 369a). Ljuska se armira mrežom, u podužnom i poprečnom prav-
cu, po celoj površini, a ljuske debljine veće od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivične
elemente i uz dijafragme, potreba za armaturom se odreñuje i na osnovu intenziteta
poremećajnih uticaja, kada je ljuska opterećena na savijanje sa aksijalnom silom.
Prelaz od ljuske prema ivičnom elementu često (posebno u slučaju vrlo tankih ljuski)
treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju sa ivičnim elementom debljina lju-
ske je 2 do 2.5 puta veća od one u središnjem delu, a dužina postepenog povećanja
debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 369b).
Sl. 369. Armiranje preseka ivičnog elementa
10. Armiranobetonske ljuske
295
KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podužnim rasponom manjim od poprečnog. Podužni rasponi
su uobičajeno u granicama izmeñu 5 i 12m, poprečni idu i do 30m, strela luka se
usvaja većom od sedmine poprečnog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u grani-
cama izmeñu 6 i 12cm.
Sl. 370. Kratka prizmatična ljuska
Ovakve ljuske prostorno prenose opterećenje i aproksimacije komentarisane kod
dugih ljuski ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smičućih napona koji tan-
giraju srednju površ prenosi opterećenje na dijafragme (samo 4-5% opterećenja lju-
ske se na dijafragme prenese preko poprečnih poremećajnih sila).
Približno, zategnuta armatura u ivičnim elementima može se odrediti usvajanjem
kraka unutrašnjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:
( ) ( )2 2
2 1 2 11
8 2 0.55 9u u
av v v v
Z M q l l q l lA
z f a f aσ σ σ σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +. ................ (10.53)
Ljuska se armira lakom mrežom (na primer prečnikom Ø6 na razmaku 12 ili 15cm),
a maksimalni razmak žica ne sme biti veći od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad
dijafragmi i na spoju ljuske sa ivičnim elementima postavlja se dopunska armatura
za prijem momenata savijanja.
DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski opterećena je smičućim silama koje deluju tangencijalno
na srednju površ ljuske. U tom, poprečnom, pravcu, ljuska je pritiskujuće napregnu-
ta, a za maksimalnu silu pritiska dovoljno je tačno odrediti:
N q rφ = − ⋅ , .................................................................................... (10.54)
gde je q ukupno opterećenje, a r poluprečnik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila priti-
ska za krajnju i za srednju dijafragmu (podužni pravac) iznosi:
1
1
2N q r l= ⋅ ⋅ ⋅ , 1N q r l= ⋅ ⋅ . .............................................................. (10.55)
Kako ivični elementi ne mogu primiti pritiskujuće sile poprečnog pravca, Nφ, to se
ove postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama.
Zakon ove promene se može aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 371):
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
296
( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ . za krajnju, i .......................................... (10.56)
( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ , za srednju dijafragmu. ........................ (10.57)
Sl. 371. Kvadratna parabola
Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:
( )122
2
42x
x
dN q r lT l x
dx l
⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ − ⋅ . ........................................................ (10.58)
Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, biće:
1max
2
2 q r lT
l
⋅ ⋅ ⋅= , i 1max
2
4 q r lT
l
⋅ ⋅ ⋅= . ................................................... (10.59)
Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za optere-
ćenje dijafragme su slični, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:
1max
22
q r lT
l
π ⋅ ⋅ ⋅=⋅
, i 1max
2
q r lT
l
π ⋅ ⋅ ⋅= . .................................................. (10.60)
10.3.2.10.3.2.10.3.2.10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI
Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojačane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola.
Rebra se pružaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tan-
kom ljuskom. Pri dnu kupole, rebra se spajaju pomoću ležišnog prstena, koji prima
razupiruće sile meridijalnih rebara. Često se izvode od montažnih elemenata (Sl.
373).
Sl. 372. Rebraste kupole
10. Armiranobetonske ljuske
297
Sl. 373. Montažni element rebraste kupole i detalj spoja rebrom
Proračun rebrastih kupola je relativno komplikovan već i za rotaciono simetrično
opterećenje, zbog visokog stepena statičke neodreñenosti.
Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili kružnice po
dvema voñicama koje su takoñe u obliku parabole, elipse ili kružnice. Mogu se
zamisliti kao isečak kupole nad ne-kružnom (pravougaonom, trougaonom...) osno-
vom. Poput ostalih ljuski s pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom
krutošću, a opterećenje prenose u dva smera. Otud, njihova primena je karakteristi-
čna za velike raspone i površine i u tom smislu su u prednosti nad prizmatičnim
(izmeñu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se nazivaju one ljuske kod kojih
odnos strele prema kraćem rasponu nije veći od 1/5.
Mogu biti jednotalasne i višetalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podužnom
pravcu najčešće naležu na dijafragme, a u poprečnom na ivične elemente (Sl. 374a).
Krajevi ljuske, uz spoj sa oslonačkim elementima, se postepeno zadebljavaju do
debljine 2 do 2.5 puta veće od one u središnjem delu, na širini od približno petna-
estine do desetine odgovarajućeg raspona.
Sl. 374. Plitke ljuske
I eksperimentalna ispitivanja potvrñuju membranski rad središnjeg dela ljuske –
središnji deo je izložen dvoosnom aksijalnom pritisku, što implicira konstruktivno
armiranje. Podužne zatežuće sile, kao i momenti savijanja u poprečnom pravcu, se
javljaju u zoni ivičnih elemenata. Smičuće sile su koncentrisane u uglovima ljuske i
prihvataju se ivičnim ojačanjima.
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
298
Sl. 375. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske opterećene sopstvenom težinom
Plitke ljuske se mogu proračunavati samo približno po teoriji ljuski, ali se danas
uspešno proračunavaju primenom numeričkih metoda (MKE). Problematičnost
egzaktnog proračunskog tretmana posebno je izražena u aspektu kontrole izboča-
vanja, zbog čega ovde valja biti oprezan i konzervativan.
Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mrežom koja se postavlja po
celoj površini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.
Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voñicama, od kojih
je prva prava, a druga je kriva. Kako kriva voñica može biti različitih oblika, to je i
velik broj mogućnosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje površina najpo-
godnije su one konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiper-
bolični paraboloid, Sl. 376a) ili parabola (konoid, Sl. 376b).
Sl. 376. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolični paraboloid i konoid
Hiperbolični paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je kon-
veksan, drugi konkavan), što je čini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu,
ali se oplata može formirati od pravih dasaka, što značajno pojednostavljuje izvoñe-
nje (Sl. 377).
Sl. 377. Konkavni i konveksni pravac hiperboličnog paraboloida i prave izvodnice
Može biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru niže uglove, potrebno
je izmeñu stubova projektovati zategu (Sl. 378b). Ako su poduprti viši uglovi, pože-
ljno je projektovati razupirač, kako je pokazano na Sl. 378a.
10. Armiranobetonske ljuske
299
Sl. 378. Hiperbolični paraboloid oslonjen na dva stuba
Krovnu konstrukciju je moguće formirati i kombinovanjem više hiperboličnih para-
boloida (Sl. 379).
Sl. 379. Kombinovani krovovi od hiperboličnih paraboloida
Sl. 380. Proračunski model hiperboličnog paraboloida
Vertikalno opterećen (ravnomerno po osnovi) hiperbolični paraboloid se može jed-
nostavno proračunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak
nuli). Jednačina srednje površi je (Sl. 380):
z C x y= ⋅ ⋅ ...................................................................................... (10.61)
Smičuće sile u presecima paralelnim s ivicama se odreñuju prema:
( ) ( )2 2xyN Z C G C= ⋅ = ⋅ , za Z G= , .............................................. (10.62)
a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:
0x yN N= = , 1 2 xyN N N= − = . ........................................................... (10.63)
Na ivicama ljuske smičuće sile moraju preuzeti ivični elementi ili dijafragme.
Hiperbolični paraboloidi su zbog svoje statičke i konstrukcijske jednostavnosti, te
zbog vizuelnog efekta, vrlo provlačne za primenu. Meñutim, valja biti oprezan kad
su njihove mane u pitanju (negativna Gauss-ova krivina čini ove ljuske vrlo osetlji-
vim na promenljiva lokalna i na koncentrisana opterećenja, kao i na promenne obli-
ka usled, na primer, izduženja zatege).
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
300
Armiraju se ortogonalnom mrežom u jednom ili dva reda, a izmeñu njih se postavlja
kosa armatura za prihvat smičućih sila.
Sl. 381. Isečak konoidne ljuske kao šed-krov
Konoid je racionalna ljuska pretežno naprezana membranskim uticajima, a pogodna
za šed krovne konstrukcije (Sl. 381). U donjem delu konoida se javljaju zatežuće sile
i potreba za zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u području
pritiska, a u zategnutoj zoni se može armirati jednostrukom mrežom. Izmeñu dva
sloja armature, u uglovima ploče treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glav-
nih kosih napona zatezanja.
10.3.3.10.3.3.10.3.3.10.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE
Poliedarske površi se formiraju od tankih ravnih ploča monolitno vezanih pod izves-
nim uglom na način da formiraju noseću strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju
susednih ploča. Zavisno od oblika pojedinih ploča (pravougaone, trapezne, trougao-
ne) razlikujemo prizmatične ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploče poliedara
su uglavnom napregnute u sopstvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savi-
janja i smičućim silama na ivicama: zbog monolitne veze izmeñu nosećih površina,
podužne deformacije u pravcu pružanja ivice moraju biti jednake, a time i normalni
naponi, zbog čega po se ivici javljaju smičuće sile. Proračun uticaja u presecima
površi je danas podrazumevan kao rezultat primene metode konačnih elemenata.
Sl. 382. Neke mogućnosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija
Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobičajeno dostižu raspone reda 20 do
30m, a kao prednapregnute – i znatno veće (do 60m). Nabori se postavljaju u pop-
rečnim pravcima i oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 382). Zbog
10. Armiranobetonske ljuske
301
jednostavnijeg izvoñenja (jednostavnija oplata) mogu biti u značajnoj prednosti u
odnosu na cilindrične ljuske (uprkos manjoj ekonomičnosti po pitanju utroška
materijala).
Širina jednog poliedarskog elementa uobičajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju
se debljine, uobičajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeñu
dvadesetine i desetine raspona. Često se izvode od montažnih elemenata, a neki od
češće korišćenih oblika poprečnih preseka su prikazani na Sl. 383. Mogu biti jedno-
rasponske ili višerasponske, a širina talasa, l2, je uobičajeno izmeñu 10 i 12m.
Sl. 383. Često korišćeni preseci montažnih elemenata poliedarskih krovova
Približni proračun prizmatičnih poliedarskih konstrukcija može biti sproveden ana-
logno cilindričnim (Sl. 384).
Sl. 384. Proračunski model – približni proračun
Neki primeri složenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploča su pri-
kazani na Sl. 385.
Sl. 385. Složeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploča
Šatoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih
trapeznih i trougaonih ploča okrenutih vrhom nagore, najčešće oslonjene u uglovi-
ma na stubove (Sl. 386).
Sl. 386. Šatorasti krovovi
Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome mini-
malno armirane. Strele šatora su uobičajeno u rasponima L/12 do L/8.
Betonske konstrukcije – radna verzija - 2. decembar 2010
302
Na Sl. 387a prikazan je karakterističan detalj armiranja u poprečnom preseku nabo-
ra. Ploče se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona slo-
žene ljuske (tačkasto prikazana armatura u ivičnoj zoni), te poprečnom armaturom
koja, načelno, obezbeñuje poprečni prenos opterećenja sa ploča na ivične elemente
(ivice). U blizini ivice i dijafragme ploče se armiraju u dva reda radi prihvatanja
negativnih momenata savijanja. Dodatno, na spoju ploče i dijafragme se postavlja
armatura za prijem smičućih sila (Sl. 387b).
Sl. 387. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova
Za maksimalne dopuštene razmake šipki armature, te za minimalne procente armi-
ranja, važe iste odredbe kao i za pune ploče.
top related