Transcript
Geometri Analit Ruang
Bagaimanakah cara menentukanpersamaan bidang kerucut lingkarantegak dengan puncak T(ππ, ππ, ππ),arah poros [ a, b, c] dansetengah sudut puncak πΆ
Lihat gambar di samping. Pilih titik P(π₯π, π¦π, π§π) pada kerucut arah TP =ππ-ππ, ππ β ππ, ππ-ππ
sedangkan cos πΆ =π»π· [ π,π,π]
π»π· [ π,π,π]
Dengan menjalankan V ( π₯π, π¦π, π§π )diperoleh :
{(π β ππ)π + (π β ππ)
π + (π β ππ)π }
{aΒ² + bΒ² + cΒ²} cosΒ² πΆ = {a(x- ππ) +(b(y-ππ) + c(z-ππ)}Β², merupakan persamaanyang diminta
T (ππ, ππ, ππ )
Lingkaran
πΆ
Geometri Analit Ruang
Dalam hal khusus :
1). Jika puncak kerucut T (0, 0, 0), persamaan
menjadi :
ππ + ππ + ππ 2 β (π2 + π2 + π2)(π2 + π2 + π2)
2). Jika puncak kerucut T(0, 0, 0) dan porosnya
sumbu Z (arah 0, 0, 1), persamaan menjadi :
π2 = π π2 + π2 + π2 πππ πΆ atau π±Β² + πΒ² = πΒ² ππΒ²πΆ
Geometri Analit Ruang
**Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang
puncaknya T(0, 0, 0), poros sumbu y dan setengah sudut
puncak adalah 45Β°
Jawab :
Puncak T (0, 0, 0) dan poros sumbu y ( arah [0,1,0] persamaan
kerucut :
{a( x-ππ) + π(π β ππ) + c(z-ππ)}Β²=(aΒ²+bΒ²+cΒ²)
{(x-ππ)Β²+(y-ππ)Β²+(z-ππ)Β²}cosΒ²πΆ
Geometri Analit Ruang
yΒ²=y(xΒ²+yΒ²+zΒ²)cosΒ²πΆ
yΒ²=1(xΒ²+yΒ²+zΒ²)cosΒ² 45Β°
yΒ²=(xΒ²+yΒ²+zΒ²).(π
ππ)Β²
yΒ²=(xΒ²+yΒ²+zΒ²)π
π
yΒ²=π
πxΒ²+
π
πyΒ²+
π
πzΒ²
π
πxΒ² +
π
πyΒ² - yΒ² +
π
πzΒ²= 0
π
πxΒ² -
π
πyΒ² +
π
πzΒ² = 0
xΒ² - yΒ² + zΒ² = 0
Dikali 2
Geometri Analit Ruang
Lingkaran
Garis Pelukis
M
R
Q
H
P
g
Cara menentukan persamaan silinder lingkaran tegak adalah
.....
Geometri Analit Ruang
Jika diketahui silinder lingkaran tegak merupakan :1. TK titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu garis tertentu.2. TK garis-garis yang sejajar dengan jarak yang sama terhadap suatu garis
tertentu.
Apabila jari-jari = RPoros garis : [x, y, z] = [x1,y1,z1] +
π π, π, πPerhatikan Gambar !
MR
QH
P
g
P[x0,y0,z0] pada silinder, berarti persamaan bidang H yang melalui P adalah.....
a ( x-x0 ) + b ( y-y0 ) +c ( z-z0 ) = 0Q(x1,y1,z1) ke H adalah
Qπ =a(x1 β x0) + b(y1 β y0) + c(z1 β z0)
π2+π2+πΒ²
QP = (x1 β x0)Β² + (y1 β y0)Β² + (z1 β z0)Β²
Geometri Analit Ruang
M
R
Q
H
P
g
R
Perhatikan segitiga PQRβ¦
Segitiga PQR merupakan segitigasiku β siku dengan
QPΒ² = QMΒ² + RΒ²Atau
QPΒ² - QMΒ² = RΒ²
QPΒ² - QMΒ² = RΒ²
Untuk mencari persamaan silinder maka dapat digunakan rumus diatas dengan Memasukansemua nilai qp, qm dan r
Geometri Analit Ruang
QPΒ² - QMΒ² = RΒ²
(x1 β x0)Β² + (y1 β y0)Β² + (z1 β z0)Β² Β² -a(x1 β x0) + b(y1 β y0) + c(z1 β z0)
π2+π2+πΒ²Β² = RΒ²
π2+π2+πΒ² (x1 β x0)Β² + (y1 β y0)Β² + (z1 β z0)Β²π2+π2+πΒ²
-a(x1 β x0) + b(y1 β y0) + c(z1 β z0) Β²
π2+π2+πΒ²= RΒ²
Dengan menjalankan (X0,Y0,Z0) makadiperolehβ¦
π2 + π2 + πΒ² (x1 β x0)Β² + (y1 β y0)Β² + (z1 β z0)Β² - a(x1 β x0) + b(y1 β y0) + c(z1 β z0) Β²= RΒ² π2 + π2 + πΒ²
Geometri Analit Ruang
SoalTentukan persamaansilinderlingkarantegakdenganjari β jari = 3 danporosnya : [x,y,z] =
[0,1,2] + π 2, β4, 5
a = 2 b = -4 c=5
R = 3
x1 = 0y1 = 1z1 = 2
Dengan memasukkan nilai nilai diatas ke persamaan didepan tadi maka didapat
Geometri Analit Ruang
(4 +16 + 25) { (xΒ²) +(y-1)Β² + (z-2)Β² } β {2(x) + (-4)(y-1) + 5(z-2)}Β² = (4 +16 + 25) RΒ²
45 (X2 + y2 β 2y + 1 + z2 β 4z + 4) β ( 2x β 4y +4 +5z -10)2 = 45 Γ 9
(45X2 +45 y2 β 90y + 45 + 45z2 β 180z + 180) β ( 4x2 + 16y2 + 16 + 25z2 + 100) = 405
45X2 - 4x2 + 45 y2 - 16y2 + 45z2 - 25z2 -90y β 180z + 180 β 16 β 100 β 405 = 0
41 x2 + 29 y2 + 20 z2 β 90y β 180z β 96 = 0
Jadi, Persamaan silinder lingkaran tegaknya adalah41 x2 + 29 y2 + 20 z2 β 90y β 180z β 96 = 0
π2 + π2 + πΒ² (x1 β x0)Β² + (y1 β y0)Β² + (z1 β z0)Β² - a(x1 β x0) + b(y1 β y0) + c(z1 β z0) Β²= RΒ² π2 + π2 + πΒ²
Geometri Analit Ruang
KOORDINAT HOMOGEN
koordinat homogen adalah koordinat yang memiliki satu dimensi lebih tinggi dari koordinat yang ditinjau.
Misalkan titik P berkoordinat (X,Y,Z)(koordinat kartesius). Tentukan 4 bilangan x,y,z dan w (wβ 0) sedemikian sehingga
Maka (x,y,z,w) merupakan koordinat homogen dari (X,Y,Z)
Geometri Analit Ruang
P (π ππ¨π¬πΆ , π ππ¨π¬π· , π ππ¨π¬πΈ)
P (π ππ¨π¬πΆ , π ππππ· , π ππππΈ, π)
P (ππππΆ , ππππ· , ππππΈ,1
π)
.
.
.
Jika π βΆ ~ maka titik P dititik tak berhingga, dengan koordinat (cos πΌ, cos π½, cos πΎ) ,atau (π, π, π, 0). Jadi letak titik tak berhingga tergantung dari bilangan arah garis itu.
Geometri Analit Ruang
Jika x,y,z tidak semuanya nol, maka jika w=0,
paling kurang satu dari π₯
π€,π¦
π€, π§
π€mendekati tak
berhingga.Perhatikan gambar
α΅Ξ±
πΈ
z
x
y
P(X,Y,Z)Bila X =π₯
π€, Y =
π¦
π€, Z =
π§
π€
Maka dalam koordinat homogen P(x, y, z, w)
π₯1 = π πππ πΌπ¦1 = π πππ π½π§1 = π πππ πΎ
Geometri Analit Ruang
Contoh soal :
Tentukan beberapa koordinat homogen titik P (4 , 3, -6).
Jawab :
Jika w = 1 β (4, 3, -6, 1)
Jika w = 2 β (8, 6, -12, 2)
Jika w = -3 β ( -12, -9, 18, -3) dan lain-lain
Geometri Analit Ruang
CONTOH SOAL :
β’ Ubahlah persamaan Bidang 3π₯ + 4π¦ + 5π§ + 6 = 0menjadi bentuk koordinat homogenJawab :
3π₯ + 4π¦ + 5π§ + 6 = 0
3π₯
π€+ 4
π¦
π€+ 5
π§
π€+ 6 = 0 βΆ ππππ’π ππ’ππ ππππππ π€
3π₯ + 4π¦ + 5π§ + 6π€ = 0
Jadi persamaan bidang dalam bentuk koordinat homogen 3π₯ + 4π¦ + 5π§ + 6π€ = 0
Geometri Analit Ruang
Soal :
β’ Tentukan persamaan kerucut lingkaran tegak yang puncaknya T (0, 0, 0), poros sumbu x dan setengah sudut puncak 60Β°
β’ Tentukan persamaan silinder lingkaran tegak yang jari-jarinya = 4, dan porosnya melalui titik P[1, 1, 1] dengan arah [2, -3, 6]
top related