PPT Bilangan Kompleks

Mata Kuliah : Aljabar Vektor dan Kompleks

BILANGAN

KOMPLEKS

Kuadran

Bentuk-bentuk

FasorKesamaan Bilangan Kompleks

Definisi

Operasi Aritmatika

Bentuk Logaritma Rangkaian AC RLC

End

Apa itu BILANGAN KOMPLEKS ???

Bilangan Kompleks adalah gabungan dari bilangan

nyata (Riil) dengan bilangan imajiner yang

berbentuk:

a + bj atau a + jb, a dan b bilangan real dan j2 = –1. Bilangan yang besaran (skalarnya) tidak terukur

secara menyeluruh.

Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian imajener (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal j yang didefinisikan sebagai :

Bilangan kompleks dinotasikan dalam bentuk a + bj dimana a dan b merupakan bilangan real dan j merupakan bilangan imajiner

Jika nilai a ≠ 0 dan b = 0 maka a+bj merupakan bilangan kompleks yang real

Jika nilai a = 0 dan b ≠ 0 maka a+bj merupakan bilangan imajiner murni

Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana, yaitu dari persamaan kuadrat

Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkan dua akar sekaligus

Home

OPERASI ARITMATIKA BILANGAN KOMPLEKS

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Perkalian Bilangan Kompleks

Pembagian Bilangan Kompleks

Penjumlahan/Pengurangan

BilaMaka

CONTOH PENJUMLAHAN

CONTOH PENGURANGAN

Contoh :

Perkalian

Perkalian dua bilangan kompleks dialksanakan seperti halnya kita

melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan

perkalian komponen per komponen.

Contoh Perkalian

Jadi perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya akan menghasilkan bilangan nyata.

1.

2.

PembagianHasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1. Dalam mencari hasil bagi dua bilangan

kompleks, kita kalikan pembagian ini dengan 1 dan bilangan 1 ini kita pilih sama dengan rasio konjugat bilangan kompleks pembagi dengan dirinya sendiri. Dengan cara demikian kita akan memperoleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah bilangan nyata.

Contoh Pembagian

Home

KESAMAAN BILANGAN KOMPLEKS

Modulus merupakan nilai mutlak.

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama, akan tetapi dengan sudut Ө yang berbeda, atau sebaliknya mempunyai nilai Ө sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun Ө yang sama besar.

Home

Bentuk Logaritma Bilangan Kompleks

Home

Bentuk-bentuk Bilangan Kompleks

Ada beberapa bentuk bilangan kompleks, yaitu:

1. Bentuk Polar

2. Bentuk Rectangular

3. Bentuk Eksponensial

Bentuk Polar Bilangan Kompleks

Dari definisi fungsi trigonometri, diketahui cosθ = dan sinθ= . Maka :

a = r cosθ ............. (1)

b = r sinθ .............. (2)

Dua persamaan yang lain tidak hanya berasal dari persamaan trigonometri saja tetapi juga dari teorema Pythagoras. Dua persamaan tersebut dinyatakan dengan :

tanθ = ................. (3)

r = ................. (4)

Dari persamaan (1) dan (2) didapatkan :

a + bj = r cosθ + j r sinθ = r (cosθ + jsinθ)

Untuk r (cosθ + jsinθ) sering disingkat menjadi r cis θ or r θ , dengan c mewakili cosine, s mewakili sine, dan i mewakili simbol matematika dari j. Simbol r θ dibaca r pada sudut θ.

Dari persamaan sebelumnya yaitu r (cosθ + jsinθ), inilah yang disebut dengan bentuk polar atau trogonometri dari bilangan kompleks.

Perkalian Bentuk Polar

z1 = r1 (cosθ1 + jsinθ1) = r1 cisθ1 = r1ejθ1

z2 = r2 (cosθ2 + jsinθ2) = r2 cisθ2 = r2ejθ2

Hasil perkalian dua bilangan kompleks dirumuskan sebagai berikut:

z1z2 = (r1 cisθ1) (r2 cisθ2)

= r1r2 cis (θ1θ2)

= r1r2ej(θ1 + θ2)

Contoh Perkalian Bentuk Polar

2(cos15˚ + j sin15˚) . 5(cos80˚ + j sin80˚)

= 2 . 5 [cos(15˚+80˚) + j sin(15˚+80˚)]

= 10(cos95˚ +j sin95˚)

Contoh Pembagian Bentuk Polar

1.) 4e2.1j ÷ 8e1.7j = e(2.1 – 1.7)j

= e0.4j

2.) 12(cos45˚ + j sin45˚) ÷ 2(cos15˚ + j sin15˚)

= 12/2 [cos(45˚- 15˚) + j sin(45˚- 15˚)]

= 6(cos30˚ + j sin30˚)

Pembagian Bentuk Polar

Perpangkatan Bentuk Polar

z = r cisθ = rejθ

zn = (rejθ)n = rn ejθ atau

= [r(cosθ + j sinθ)]n = rn (cosnθ + j sinnθ)

Contoh :

[3(cos30˚ + j sin30˚)]6

= 36 (cos 6 . 30˚ + j sin 6 . 30˚)

= 729(cos180˚ +j sin180˚)

= -729

Home

Bentuk Rectangular Bilangan Kompleks

Bentuk dari bilangan kompleks adalah a + jb, dimana a dan b adalah bilangan riil. Jika a=0 dan b≠0, maka a+jb merupakan bilangan imajiner murni. Bentuk a+jb dikenal sebagai bentuk rectangular dari bilangan komples, dimana a adalah bagian riil dan b adalah bagian imajiner.

Contoh :

Sederhanakan dan ubah ke bentuk a+jb :

1) 7(3+2i) = 21 + 14i

2)

Home

Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks

Bentuk eksponensial dari bilangan kompleks menggunakan rumus Euler, ejθ = cosθ + jsinθ dan dinyatakan dengan z = rejθ . Dimana θ adalah radian.

Jika θ mempunyai jumlah yang banyak, dapat dinyatakan dengan 0 ≤ θ < 2π.

Ketika menggunakan bentuk eksponensial, harus diingat bahwa θ adalah radian.

Contoh :

Tulis bilangan kompleks 6(cos180˚ +jsin180˚) dalam bentuk eksponensial !

Jawab :

r=6 dan θ=180˚.

180˚= π rad , jadi θ = π.

6(cos180˚ + jsin180˚)=6ejπ

Perkalian dan Pembagian Bentuk Eksponensial

Jika ada dua bilangan kompleks yaitu

z1 = r1ejθ1 dan z2 = r2ejθ2

Maka,

Perkalian :

z1z2= (r1e jθ1)( r2ejθ2) = r1r2ej(θ1 +θ2)

Pembagian:

Contoh :

1. Kali 7e4.2j dengan 2e1.5j

Jawab :

7e4.2j x 2e1.5j = (7e4.2j)( 2e1.5j)

= 7 . 2e(4.2+1.5)j

= 14e5.7j

2. Bagi 9e3.2j oleh 2e4.3j

Jawab :

9e3.2j ÷ 2e1.5j =

Home

KUADRAN

Perlu diketahui letak posisi sudut berada pada kuadran berapa dari garis bilangan. Dimana :

Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90 Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180 Kuadran III berada pada sudut ke 180 –

270 atau (-90) – (-180) Kuadran IV berada pada sudut ke 270 –

360 atau 0 – (-90)

Home

FasorDiketahui persamaan Euler

Bila θ = ωt, maka

sinjcose j

tjte tj sincos Re ejωt = cos

ωt Im ejωt = sin

ωtBila dikalikan dengan Vm, maka

v = Vm ejωt = Vm (cos ωt + j sin ωt)

v = Vm ejωt = Vm cos ωt + j Vm sin ωt = a + j b

Dan dalam bentuk yang lebih umum :

v = Vm ej(ωt + θ) = Vm cos (ωt + θ) + j Vm sin (ωt + θ)

= a + j b Vm = amplitudo

θ = sudut fase

Vm = amplitudo

ω = kecepatan sudutØ = sudut fase

Fasor tegangan dan arus

Fasor Resistor, Induktor, Kapasitor

Resistor

Jika arus pada resistor adalah

Maka tegangannya

Dinyatakan dalam bentuk fasor

Induktor

Jika arus induktor adalah

Maka tegangannya

Dinyatakan dalam bentuk fasor

Kapasitor

Jika tegangan kapasitor adalah

Maka arus kapasitor

Dinyatakan dalam bentuk fasor

Home

Rangkaian AC RLC

Gambar Rangkaian AC RLC Seri

Jika arus yang mengalir dalam rangkaian adalah i, tegangan pada tiap komponen sebagai berikut

Tegangan totalnya

Arus bolak-balik dapat dinyatakan dengan :

Tegangan pada komponen L dan C :

Perbandingan antara v dan i disebut impedansi kompleks, diberi simbol Z, yakni :

Besar impedansi sama dengan modulus kompleksnya, yakni :

Home

Anggota Kelompok :

Kadek Ary Susiawan 1404405048Intan Aprilia Medina 1404405053I Gede Bayu Suarsa 1404405054Haksari Laksmi Bestari

1404405066