PERBANDINGAN DUA ELEMEN

Perbandingan Dua Elemen 1

PERBANDINGAN DUA ELEMEN

Harni Kusniyati

Dalam relasi Partial Order, dua buah elemen x dan y yang berrelasi dapat dibandingkan (comparable). Jika semua elemen dapat dibandingkan, maka relasi Partial Order tersebut disebut Relasi Total Order

Perbandingan Dua Elemen 2

Misal ( A, ≤ ) adalah POSET (Partially Ordered Set), maka

1). Suatu elemen a A disebut Elemen Maksimal bhb (bila dan hanya bila)

a ≥ semua elemen yang comparable dengan a.( a A, a = Elemen Maksimal)

2). Suatu elemen a A disebut Elemen Terbesar bhb (bila dan hanya bila)

a ≥ semua elemen dalam A.( a A, a = Elemen Terbesar)

3). Suatu elemen a A disebut Elemen Minimal bhb (bila dan hanya bila)

a ≤ semua elemen yang comparable dengan a.( a A, a = Elemen Minimal

Perbandingan Dua Elemen 3

4). Suatu elemen a A disebut Elemen Terkecil bhb (bila dan hanya bila)

a ≤ semua elemen dalam A.( a A, a = Elemen Terkecil)

Perbandingan Dua Elemen 4

Contoh:Misal A = { a, b, c, d, e, f, g, h, i }. Relasi Partial Order didefinisikan pada himpunan A atau (A, ≤) dalam diagram Hasse di bawah ini. Carilah elemenmaksimal, minimal, terbesar dan terkecil !

Perbandingan Dua Elemen 5

Jawab:Elemen maksimal = gElemen terbesar = gElemen minimal = c, d dan iElemen terkecil tidak ada. Sebab:

c bukan elemen terkecil, karena c ≤ d

Perbandingan Dua Elemen 6

BATAS ATAS & BATAS BAWAHMisal a,b Poset (A, ≤)1). c A, c = batas atas dari a & b bhb a ≤ c & b ≤ c.

c A, c = batas atas terkecil (Least Upper Bound (LUB)) dari a & b bhb a). c batas atas dari a & b,b). Jika d batas atas dari a & b yang lain, maka c ≤ d.

2). c A, c = batas bawah dari a & b bhb c ≤ a & c ≤ bc A, c = batas bawah terbesar (Greatest Lower Bound (GLB)) dari a & b bhb a). c batas bawah dari a & b,b). Jika d batas bawah dari a & b yang lain, maka d ≤ c

Perbandingan Dua Elemen 7

Contoh 1:Diketahui himpunan A = { 2, 3, 6 } dan Poset

(A,”|”). Cari batas atas (b.a), b.a.t, batas bawah (b.b), b.b.t dari: ( 3 & 6) dan (2 & 3)

Perbandingan Dua Elemen 8

Contoh 2: Carilah batas atas (b.a), b.a.tk, batas bawah

(b.b), b.b.tb dari c & d pada diagram Hasse Poset berikut ini:

Perbandingan Dua Elemen 9

Perbandingan Dua Elemen 10

Contoh 3:Carilah batas atas (b.a), b.a.t, batas bawah (b.b), b.b.t

dari f & g pada diagram Hasse Poset berikut ini:

Perbandingan Dua Elemen 11

Perbandingan Dua Elemen 12

LATEKS ( LATTICE )

Berdasar konsep b.a.t dan b.b.t, didefinisikan LATTICE sebagai berikut:

Suatu Poset (A, ≤) disebut LATTICE apabilasetiap dua elemen Poset (A, ≤) mempunyai b.a.t & b.b.t.

Perbandingan Dua Elemen 13

Contoh:Tentukan apakah Poset yang dinyatakan dengan diagram Hasse di bawah ini merupakan Lattice !

Perbandingan Dua Elemen 14

Jawab: (a). Lattice, sebab setiap dua Titik mempunyai b.a.t

dan b.b.t.

(b). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari a & b tidak ada.

(c). Bukan Lattice, sebab b.a.t dari c & d tidak ada, ( b ≤ a ).

(d). Lattice, sebab setiap pasang titik mempunya b.a.t &

b.b.t.

Perbandingan Dua Elemen 15

Latihan 1

Perbandingan Dua Elemen 16

Perbandingan Dua Elemen 17

Perbandingan Dua Elemen 18

Perbandingan Dua Elemen 19

d). Untuk elemen 4 dan 6 :batas atas (b.a.) : 24, jadi b.a.t nya juga 24batas bawah (b.b.) : 2, jadi b.b.t nya juga 2.

Perbandingan Dua Elemen 20

Perbandingan Dua Elemen 21

LATIHAN

Perbandingan Dua Elemen 22

Perbandingan Dua Elemen 23