Notions de calcul quantique Frédéric Magniez CNRS - LRI Frédéric Magniez CNRS - LRI magniez/calcul-quantique.html.
Post on 04-Apr-2015
111 Views
Preview:
Transcript
Notions de calcul quantique
Frédéric MagniezCNRS - LRI
Frédéric MagniezCNRS - LRI
http://www.lri.fr/~magniez/calcul-quantique.html
2
Vers la nanotechnologie
Taille des composants
Nombre des composants
Vitesse
Gordon Moore 1965
Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?
Apparition de phénomènes quantiques
Limitation théorique atteinte en 2020 !!!
3
Le photon
Caractéristiques :
• la position,
• la longueur d’onde,
• la polarisation.
4
Filtre polarisant
?
Sortie d’un filtre polarisant :
Lumière polarisée selon la direction du filtre.
Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.
5
Jouons avec les photons
50%
50%
• Polarisation verticale : Photon jamais détecté.• Polarisation horizontale : Photon toujours détecté.• Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 !
Polarisation diagonale = Mélange statistique ?
100 %
Polarisation diagonale = superposition quantique ...
6
Superposition quantique
)
Etat polarisation : superposition
Filtre : mesure
Mesuredétecté
non détécté
L ’observation perturbe le système
θcos2θ
sin2θ
→
↑
θ
7
Evolution quantique
Transformations qui préservent la superposition ?
Condition nécessaire : isométrie
Une isométrie : la lame quart d’onde
Symétrie orthogonale autour de son axe
Transformations orthogonales :
telle queOrthogonale Réversible⇒
G ∈O(2)
G ∈R2×2 tGG=Id
8
Le qubit
Bit classique : élément déterministe
Bit probabiliste : distribution probabiliste
Bit quantique : superposition quantique
b∈ 0,1{ }
d =(p,q) avec p,q∈ 0,1[ ] tq p+q=1
ψ ∈C 0,1{ } tq ψ =1
ψ =α 0 +β1 avec α 2
+β 2
=1
0 = → et 1 = ↑
9
Evolution du qubit
Transformations unitaires :
G
Unitaire Réversible :⇒
G*
G ∈U(2)
G ∈C2×2 tq G*G =Id
ψ ′ ψ =Gψ
′ ψ =Gψ ψ
Mesure : Lire et Modifier
Mesureα 0 +β11
0α
2
β 2
10
Un premier exemple
Le problèmeEntrée :
Sortie : 0 ssi f est constante f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } soit constante, soit balancée
Complexité en requêtes
Contrainte : f est une boîte noire
Classique : 1+N/2 requêtes
Quantique : 1 requête
f(0) = ?
f(0) = 1
11
Solution quantique (N=2)
Implémentation de f
Sfb −1( )f(b)
bα 0 +β1 (−1) f(0)α 0 + −1( )f (1)
β 1
Attention : n’est pas nécessairement réversible ! xa f (x)
Circuit quantique
0 H Sf MesureH ?
Porte HadamardHb
12
0 + −1( )b1( )
12
Analyse (N=2)
0 H Sf MesureH ?
Initialisation : 0
0 +1( )/ 2Parallélisation :
Appel de la fonction : −1( )f (0)
0 + −1( )f(1)
1( )/ 2
Interférences : −1( )f (0)
( 0 +1) + −1( )f(1)
(0 −1 )( )/2
−1( )f (0)
+ −1( )f (1)
( )0 + −1( )f (0)
− −1( )f(1)
( )1( )/2Au final :
f constante 0
f non constante 1
H Mesure0
13
Systèmes à 2-qubit
Définition : ψ ∈C 0,1{ }2
tq ψ =1
ψ =α 00 +β 01+γ 10 +δ11 avec α 2
+β 2
+γ2
+δ2=1
C 0,1{ }2
=C 0,1{ } ⊗C 0,1{ } mais 00 + 01 = 0 ⊗ 0 +1( )
00 +11 ≠ψ 1 ⊗ ψ 2
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Transformations unitaires : ψ a Gψ avec G ∈U(4)
Mesure
Mesureαx xx∈0,1{ }2∑ x
αx
2
14
Le problème des cadenas
Le problèmeEntrée :Sortie : x tel que f(x)=1
f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } telle que ∃!x0; f(x0) =1
Contrainte : f est une boîte noire
Complexité en requêtes Classique : N requêtesQuantique : N requêtes
15
Remarques préliminaires
Implémentation de f
Sfαxx∑ x
Double porte Hadamard
Ha 0 + −1( )a1( )/ 2
αxx∑ x −2αx0x0
Hb 0 + −1( )b1( )/ 2
Hx = x1x2
H−1( )
x•y
y∑ y( )/ 2
avec x•y=x1y1 +x2y2
16
Solution quantique (N=4)
0 HSδ0
H?
0 H H
Initialisation : 00
00 + 01+10 +11( )/ 2Parallélisation :
Appel de f : −1( )f( x)
xx∑( ) /2= x
x∑( )/ 2− x0
Interférences : 00 − −1( )x0•y
y∑ y( )/ 2
Sf
H
H
Appel de :0
Regroupement :
−00 − −1( )x0•y
y∑ y −200( )/2=−H ⊗ H x0
−x0
Mesure0
0
H
H
H
H
H
HMesure x0
17
Principales applications
• Cryptographie– Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84]
Implémentation : ~ 100 km
• Information quantique– Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93]
Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Weilinger 97]
• Algorithmique– Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94]
– Recherche [Grover 96]Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]
18
Téléportation quantiqueLe problème
Alice : qubit inconnuBob : position éloignée et inconnue d’Alice.
ψBut : Transmettre à Bob
Solution
ψ
top related