Náhodný jav Náhodná veličina

VLASTNOSTIPOPIS

ZÁKON ROZDELENIA

NÁHODNÝ JAVNÁHODNÁ VELIČINA

NÁHODNÝ JAV

• Náhodný jav charakterizuje výsledok náhodného pokusu:• kvalitatívne – slovne• kvantitatívne – číselne

• Pre číselné označenie náhodného javu používame náhodnú veličinu

NÁHODNÁ VELIČINA

• Je určená výsledkom náhodného pokusu• Charakteristickým znakom je jej

premenlivosť pri opakovaní pokusu• Môže nadobúdať rôzne hodnoty alebo

hodnoty z rôznych intervalov

Diskrétna náhodná veličinaSpojitá náhodná veličina

DISKRÉTNA NÁHODNÁ VELIČINA

Môže nadobúdať konkrétnu hodnotu z otvoreného alebo uzatvoreného intervalu.Sú to izolované, väčšinou celočíselné hodnoty

Príklady:Počet narodených chlapcov zo 100 narodených detí je NV, ktorá nadobúda akúkoľvek náhodnú hodnotu od 0 po 100Počet chybných výrobkov v sklade (obmedzený počet, závisí od kapacity skladu)Počet zákazníkov, ktorý prídu do obchodu za jeden deň (je to vždy obmedzený počet)Odmeraný smer na stanoviskuAdičná konštanta

SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA

Hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu, ktorých počet je nekonečný

Príklady:Ak meriame dĺžku s presnosťou ±5 mm, potom chyba, ktorej sa pri meraní dopustíme je spojitá NV a môže nadobúdať akékoľvek hodnoty z intervalu ±5 mmDoba čakania na autobus na zastávke je spojitá NV, lebo môže nadobudnúť akékoľvek nezáporné hodnoty Časový interval medzi prichádzajúcimi vlakmi v metreDĺžka náhodne vybranej tetivy v kružnici (body A, B)

ZÁKON ROZDELENIA NV

• Je pravidlo, podľa ktorého sa priraďuje náhodnej veličine pravdepodobnosť P(x)

• Označenie náhodnej veličiny: X• Číselné hodnoty, ktoré nadobúda náhodná

veličina: xi (x)

POPIS ZÁKONA ROZDELENIA PRAVDEPODOBNOSTI NV

• Matematickým vzorcom • distribučná funkcia F(x) – u spojitej aj diskrétnej

NV

• Grafom• na osi x sú hodnoty náhodnej veličiny xi a na osi

y sú jej príslušné pravdepodobnosti P(xi)

• Pravdepodobnostnou tabuľkou• u diskrétnej náhodnej veličiny

DISTRIBUČNÁ FUNKCIA

• Slúži k popisu diskrétnej aj spojitej NV• Každému reálnemu číslu priraďuje

pravdepodobnosť, že náhodná veličina X nadobudne hodnotu menšiu než toto číslo

• Príklad distribučnej funkcie normálneho rozdelenia:

) ( )( xXPxF

dxexFx x

2

2

22

,N 2

1 )(

VLASTNOSTI DISTRIBUČNEJ FUNKCIE

• Distribučná funkcia nadobúda hodnoty od 0 do 1 vrátane

• Distribučná funkcia je neklesajúca

• Distribučná funkcia je spojitá zľava

• Každá distribučná funkcia spĺňa podmienky

)()0( xXPxF )()0( xFxF

1)(0 xF

0 )(F 1)(F

)()(x 2121 xFFxx

GRAF DISTRIBUČNEJ FUNKCIE

Zodpovedá v popisnej štatistike grafu kumulatívnych relatívnych početností

• Popisuje len diskrétnu náhodnú premennú• Je najjednoduchšou formou zákona rozdelenia

• Ku všetkým možným hodnotám diskrétnej veličiny priraďuje zodpovedajúce pravdepodobnosti

PRAVDEPODOBNOSTNÁ TABUĽKA

xi x1 x2 ,,, xn Suma

P(i) p(1) p(2) ,,, p(n) 1

VLASTNOSTI PRAVDEPODOBNOSTI DISKRÉTNEJ NV

Súčet pravdepodobností je rovný 1

Pravdepodobnosť je určená vzťahom

Pravdepodobnosť diskrétnej náhodnej veličiny v intervale je daná vzťahom

1)( xp

xx

i

i

xpxFxXP )()()(

)()()( 1221 xFxFxxxP

SPOJITÁ NÁHODNÁ VELIČINA

• Distribučná funkcia spojitej náhodnej veličiny

kde(x) je hustota pravdepodobnosti NV.

dxxxFx

)(

HUSTOTA PRAVDEPODOBNOSTI

• zobrazuje sa frekvenčnou krivkou• popisuje rozdelenie spojitej NV• má podobné vlastnosti ako

pravdepodobnosť pri diskrétnej veličine

x

xFxxF

dx

xdFxFx

x

)()(lim

)(0

VLASTNOSTI HUSTOTY PRAVDEPODOBNOSTI

1. Je nezáporná

2. Spĺňa vzťah

3. Pravdepodobnosť, že NV nadobudne hodnoty z intervalu <x1,x2>

0x

1

dxx

dxxxxxPx

x

2

1

21

DISTRIBUČNÁ FUNKCIA A HUSTOTA

PRAVDEPODOBNOSTI

CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH VELIČÍN

Číselné hodnoty, ktoré popisujú rozdelenie náhodných veličín

Popisujú hlavné vlastnosti náhodnej veličiny

• Charakteristiky polohy• Charakteristiky premenlivosti• Charakteristiky šikmosti • Charakteristiky špicatosti• Momentové charakteristiky

CHARAKTERISTIKY POLOHY

• Stredná hodnota• Medián• Modus• Harmonický priemer• Geometrický priemer• Aritmetický priemer• Kvadratický priemer• ...

STREDNÁ HODNOTA

Popisuje polohu náhodnej veličiny, teda stred celého rozdeleniaStredná hodnota diskrétnej náhodnej veličiny

Stredná hodnota spojitej náhodnej veličiny

ix

ii xpxxE )(.)(

dxxxxE )(.)(

VLASTNOSTI STREDNEJ HODNOTY

• Súčin konštanty a náhodnej veličiny

• Súčet dvoch náhodných veličín x a y

• Súčin dvoch nezávislých náhodných veličín

)(.).( xEkxkE

)()()( yExEyxE

)().().( yExEyxE

MEDIÁN

5,0)()( medmed xxPxxP

Medián je hodnota, ktorá delí súbor náhodnej veličiny na dve rovnako pravdepodobné polovice

MODUS

Modus u diskrétnej náhodnej veličiny je hodnota s najväčšou početnosťou

ARITMETICKÝ PRIEMER

• je to zvláštny prípad strednej hodnoty

• Všeobecný aritmetický priemer (vážený aritmetický priemer)

n

xxxx

nx i

nAP 21

1

i

iinn

iVAP p

xpxpxpxp

px 2211

1

• je to zvláštny prípad strednej hodnoty recipročných hodnôt

• Príklad: priemerná rýchlosť

HARMONICKÝ PRIEMER

nHP xxxnx11111

21

GEOMETRICKÝ PRIEMER

• Príklad: finančný prírastok

nnGP xxxx .. 21

KVADRATICKÝ PRIEMER

• Príklad: priemerná hodnoty výroby elektrickej energie

nxxx

x nQ

222

21

MOMENTOVÉ CHARAKTERISTIKY

• Počiatočný moment k-teho rádu

• Centrálny moment k- teho rádu

kk xE

kkk xExExE 1

MOMENTY DISKRÉTNEJ NÁHODNEJ VELIČINY

x

kk xPxEx )(

)(xPxkk

MOMENTY SPOJITEJ NÁHODNEJ VELIČINY

dxxxkk )(

dxxxEx kk )()(

CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI

• Variancia• Smerodajná odchýlka (stredná kvadratická

odchýlka)• Priemerná odchýlka• Pravdepodobná odchýlka

VARIANCIA (ROZPTYL, DISPERZIA)

je mierou variability náhodnej premennej

je definovaná ako druhý centrálny moment

222 )()()()( xExExExExV

n

iii xPxExxV

1

2 )(.)()(

dxxxExxV i )()()( 2

VLASTNOSTI VARIANCIE

• Variancia konštanty

• Variancia súčinu konštanty a náhodnej veličiny

• Variancia súčtu alebo rozdielu dvoch nezávislých NV

0)( kV

)().( 2 xVkxkV

)()()( yVxVyxV

SMERODAJNÁ ODCHÝLKA

• Základná charakteristika premenlivosti

• Štandardná odchýlka

)(xV

PRIEMERNÁ LINEÁRNA ODCHÝLKA

• Prvý absolútny centrálny moment

)(1 xExE

PRAVDEPODOBNÁ ODCHÝLKA

• medián absolútnych odchýliek od strednej hodnoty

5,0)()( xExrPxExrP

NORMOVANÁ NÁHODNÁ VELIČINA

• Normovaná (štandardizovaná) veličina

• Stredná hodnota normovanej veličiny

• Variancia normovanej veličiny

)(xEx

u

0)( uE

1)( uV

CHARAKTERISTIKY ŠIKMOSTI

• Tretí normovaný moment • Koeficient šikmosti

• Symetrické rozdelenie:

33

3

3

3

)()(

xExEuA

0)(3 u

CHARAKTERISTIKY ŠPICATOSTI

• Štvrtý normovaný moment

• Koeficient špicatosti

• Pre normálne rozdelenie je rovný 0• Pre E>0 je rozdelenie špicatejšie ako normálne • Pre E<0 je rozdelenie menej špicaté ako

normálne

44

4

4

4

)()(

xExEu

33)(44

4 uE

DVOJROZMERNÁ NÁHODNÁ VELIČINA

yx,x

• Charakteristika polohy veličiny x alebo y za podmienky, že druhá veličina nadobudla určitej hodnoty

• Diskrétna Spojitá

PODMIENENÁ STREDNÁ HODNOTA

x

jyxPxyxE )( dxyxxyxE

y

ixyPyxyE )( dyxyyxyE

•Charakteristika polohy veličiny x alebo y za podmienky, že druhá veličina nadobudla určitej hodnoty•Diskrétna

•Spojitá

PODMIENENÁ VARIANCIA

x

jjj yxPyxExyxV )(2

dxyxyxExyxVx

jjj

)(2

KOVARIANCIA

• Meria intenzitu vzťahu medzi obidvomi veličinami

• Stredná hodnota súčinu odchýliek obidvoch veličín od ich stredných hodnôt

)()(),( yEyxExEyxC

)()()( yExExyE

)()()()( yExExyEyxExyE

)()()()()()()( yExEyExEyExExyE

VIACROZMERNÁ NÁHODNÁ VELIČINA

Tkxxx ,, 21x

KOVARIANČNÁ MATICA

•Stredná hodnota vektora

•Variancie i2

•Kovariančná matica

TkxExExEE )(),(),()( 21 x

221

2222221

1122111

kkkkk

k

k

CCC

CCC

CCC

C