MOZGÁSOK KINEMATIKAI LEÍRÁSA - ELTEmetal.elte.hu/aft.elte.hu/Munkatarsak/illy/fizbiol/2014osz/Kinematika.pdfA mozgás kinematikai leírása:hogyan, és milyen gyorsan változtatja
Post on 05-Mar-2021
6 Views
Preview:
Transcript
1
MOZGÁSOK KINEMATIKAI LEÍRÁSA
Az anyag természetes állapota a mozgás.
Klasszikus mechanika: mozgások leírása
•Kinematika: hogyan mozog a test
•Dinamika: két részből áll:
•Kinetika: Miért mozog
•Sztatika: Miért nem mozog
A klasszikus mechanikának alapvető szerepe van: fogalmait, törvényeit a fizika egyéb területein is alkalmazzuk.
Alapfogalmak és jelölések
Absztrakció: A jelenségek leírásánál egyszerűsítünk.
Példák:
1. anyagi pont: egy testet pontszerűnek tekintünk, ha méretei a vizsgált jelenségben szereplő lényeges távolságokhoz képest elhanyagolhatók.
A Föld tömegpontnak számít,ha a Nap körüli keringését vizsgáljuk: km6400R F millókm150r NF
2
2. Merev test: a mozgás során nem deformálódik.
Azaz: két pontjának távolsága a mozgás során állandó
állandóAB
transzláció:
forgás:
100 B'ABA
111 BAB'A
A mozgás relatív: a mozgó pont helyét mindig egy másik ponthoz képest vizsgáljuk:
vonatkoztatási pont
Például: a villamoson utazó ember a villamoshoz képest áll, de a házakhoz képest mozog.
A vonatkoztatási pont a vonatkoztatási rendszer középpontja: (origo)
Helymeghatározás: Megadjuk a mozgó tömegpont helyét a vonatkoztatási ponthoz képest minden időpillanatban az helyvektor az segítségével.A helyvektor nagysága és iránya a mozgás során változhat.
P
O
r
trr A mozgás matematikai leírása:
Keressük az alábbi függvényt:
ami megadja, hogy a helyvektor nagysága és iránya hogyan változik az időben.
3
•A pálya:
A helyvektor végpontja által leírt görbe. Az a görbe, amelyen a test a mozgás során halad.
A test az adott pályán idő alatt A pontból a B pontba jut.t
•A megtett út:
A test által idő alatt befutott pályarész hossza, skalár mennyiség.
•Az elmozdulás:
A kezdőpontból a végpontba mutató helyvektor különbsége, vektormennyiség.
rs
s s
r
ív húr
t
Szükséges fogalmak:
Görbe vonalú mozgások esetén a megtett út és az elmozdulás vektor nagysága nem egyezik meg: az előbbi a körív az utóbbi pedig a húr.
Az elmozdulás vektor a helyvektorok segítségével kifejezve:
rtrttr
A mozgás kinematikai leírása: hogyan, és milyen gyorsan változtatja a test a helyét, a mozgás hogyan zajlik le az időben:
Sebesség, gyorsulás
4
A SEBESSÉG ÁLTALÁNOS BEVEZETÉSE
Az egyszerűbb mozgások felől indulva az általános felé ( lehetne fordítva is)
1. Egyenes vonalú egyenletes mozgás – a sebesség definíciója
•Megfigyelés: Nyílt pályán mozgó autó, ha a sebességmérője áll.
Esőcseppek mozgása
•Kísérlet laborban: Mikola cső (buborék mozgása folyadékkal teli csőben)
•Mérés: Az elmozdulás mérése az időfüggvényében
Adatvétel egyenlő időközönként:
Összetartozó s-t adatpárok
hely…
időpillanat
…
1s 2s 3s ns
1t 2t
t
21 ttt
3t nt
5
•Kiértékelés: s(t) függvény megadása
s-t grafikon, független változó az idő (t)
egyenes arányosság : az út-idő függvény lineáris:
állandót
s....
t
s
t
s
n
n
2
2
1
1
A buborék egyenlő idők alatt egyenlő utakat tesz meg,
a mozgás egyenletes, a változás „gyorsasága”állandó. .áll
t
s
tt
ss
12
12
s
mvDimenziója:
s(m)
t(s)
1s
2s
1t 2t
A sebesség definíciója: „változási gyorsaság”v
t
s
t
s
t ts
tvs
s
Az út-idő függvényben az arányossági tényező a sebesség:
Egyenletes mozgás esetén a sebesség időben állandó: állv
6
Sebesség-idő grafikon:
•Képe az időtengellyel párhuzamos egyenes
•A t idő alatt megtett út a v-t grafikonon a t időtartamhoz tartozó görbe alatti terület
12 vv t(s)
s(m)
Matematika: az egyenes meredeksége más néven az iránytangense,
ahol az egyenes vízszintes tengellyel bezárt szöge.
2
1
t
tgt
sv
Nagyobb sebesség esetén az út-idő grafikon
meredeksége nagyobb:
1v
2v
tvs
Út-idő grafikon:
• képe a tengellyel szöget bezáró egyenes,
•Az egyenes meredeksége a sebesség számértéke
t
s
s(m)
t(s)
t
7
2. Egyenes vonalú, egyenletesen változó mozgás
(átlagsebesség, pillanatnyi sebesség, gyorsulás)
•Megfigyelés: gyorsítás-lassítás, tárgyak esése
•Kísérlet laborban: szabadesés, golyó mozgása lejtőn
•Mérés: Az elmozdulás mérése az idő függvényében
Adatvétel egyenlő időközönkéntt
Összetartozó s-t adatpárok
hely…
időpillanat
…
1s 2s 3s ns
1t 2t3t nt
21 ttt
8
Kiértékelés: s(t) függvény megadása:
s-t grafikon, független változó az idő:a függvény képe parabola
Az út az időnek másodfokú függvénye:
A mozgás nem egyenletes:
A sebesség nem állandó.állandó
t
s
2ts
2
11 tks
21
2
22 ttktks
21 ttt
1t 2tt
1s
2s
Legyen k a másodfokú függvény arányossági tényezője. Az út-idő függvény ezzel kifejezve:
2kts
Határozzuk meg k értékét!t
Írjuk fel a és idők alatt megtett utakat:1t 2t
9
2
1
2
112 kt)tt(ksss
1
2
11
22
1
2
1
2
1átl kt2tk
t
)ttt2tt(k
t
kt)tt(k
t
sv
t
időtartamt
időpillanat
kt2tkvátl
Az átlagsebesség függ a mozgás időtartamától:
a valódi mozgás jellemzésére csak akkor alkalmas, ha a időtartamot csökkentjük,
Így az átlagsebesség egy adott határértékhez közelít.
t
•pillanatnyi sebesség
tHa 0, akkor, átlv pillv
átl0tpill vlimv A matematika nyelvén: (Matematika: limes/határ):
•átlagsebesség (definíció): egy adott időtartam alatt megtett út és az időtartam nagyságának hányadosa:
t
svátl
10
kt2t
slimvlimv 0tátl0tpill
kt2vpill
kt2tkvátl
0 A t időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebesség
•nem függ az időtartamtól
•Egy pontot jellemez
•Az idő lineáris függvénye: egyenes arányosság
•Gyorsulás: a sebességváltozás gyorsasága
k2t
va
pill
2s
m
s
s
m
aDimenziója:
2kts 2
ak
2t2
as Az egyenletesen változó mozgás út-idő függvénye:
Mi lesz, ha az időtartam minden határon túl csökken nullára?
A kísérleti mérésekből kapott másodfokú egyenlet arányossági tényezője a gyorsulás fele:
Egyenletesen változó mozgás esetén a megtett út az idő négyzetes függvénye, a gyorsulás állandó.
11
•sebesség-idő grafikon
•A v-t grafikon képe a tengellyel szöget bezáró egyenes
•Az egyenes meredeksége a gyorsulás értéke
st
s
mv
1t 2tt t
v
vaáll
t
v
atg
•A mozgás során a t időpillanatig megtett út a v-t grafikon alatti terület számértéke (háromszög):
st
s
mv
t2t t
2
a
2
tat
2
tvs
tv
s
•Gyorsulás-idő grafikon
st
2s
ma
tav t
•A grafikon képe az időtengellyel párhuzamos egyenes
•A t idő alatt elért pillanatnyi sebesség értéke a grafikon alatti terület
tva
t
a t időpillanathoz tartozó pillanatnyi sebesség:
12
•Sebesség-idő grafikon nem nulla kezdősebesség esetén:
st
s
mv
0v
tv
t
tavv 0t
tavv 0t
ta
1s
tvs 01 2s 2
2 t2
as
A t idő alatt megtett összes út:
21 sss
2
0 t2
atvs
3. görbe vonalú mozgások
o
P
P’
Elmozdulás vektor: megmutatja, hogy a helyvektor időben hogyan változik:
a megtett út (körív)
az elmozdulás vektor (húr)
A megtett út nem egyezik meg az elmozdulás vektor abszolút értékével:
Az átlagsebesség meghatározása:
o
Az átlagsebesség iránya az elmozdulás vektor irányába mutat.P
P’
P”
a húr a P pontbeli érintő irányába megy át, ahogy az az ábrán látható.
Az átlagsebesség a pillanatnyi sebességbe „megy át”,a pillanatnyi sebesség az érintő irányába mutat.
Pillanatnyi sebesség: Az átlagsebesség határértéke, ha
A pillanatnyi sebesség helyvektor idő szerinti első deriváltja, egy idő pillanathoz tartozik. Iránya: az út-idő görbéhez az adott időpillanatban húzható érintő iránya.
A differenciál hányados (derivált) általános jelentése:
Egy függvény P pontbeli érintőjének iránytangense a függvény deriváltja abban a pontban.Megmondja, hogy ott a függvény milyen gyorsan változik.
x
F(x)
f: függvényértékx: független változó
elmozdulás esetén a függvény megváltozása:
Az ábrán látható derékszögű háromszögből:
Differenciahányados:
Differenciálhányados (f’(x):
Geometriai jelentés: a húrból érintő lesz (lásd az ábrát).
P
Egyenletes körmozgás
A sebesség irányának megváltoztatásához gyorsulás kell.
RA hozzátartozó út (körív):
Egyenletes körmozgás esetén:
3.Kerületi sebesség bevezetése:
2.Szögelfordulás t idő alatt:
Keringési idő (T): 1 teljes körbeforduláshoz szükséges idő:
Egyenletes körmozgás esetén a szögsebesség állandó.
A kerületi sebesség nagysága állandó, de az iránya megváltozik, mindig a az adott ponthoz húzott érintő irányába mutat.
Periodikus mozgás: a szögfordulás egyenletesen változik az idővel.
𝑇 =2𝜋
𝜔𝜔=
2𝜔
𝑇
4.Centripetális gyorsulás: a kerületi sebesség irányát változtatja meg.
A sebesség a P pontban:
A sebesség a P’ pontban:
A sebesség irányának megváltoztatásához is gyorsulás kell.
Gyorsulás meghatározása a PAD egyenlő szárú háromszögből (ábra):
Kis szögek esetén:
Ha
A centripetális gyorsulás meghatározása:
A kerületi sebesség mindig érintő irányú.
nagysága:
iránya: mindig a kör középpontja felé mutat
A centripetális gyorsulás a kerületi sebesség irányát változtatja meg.
Δ𝜑
Δ𝑡= 𝜔
Δ𝑣
2
Δ𝜑
2
𝑣 = 𝑣 + Δ𝑣
17
Egyenletesen változó körmozgás
A szögelfordulás az idő négyzetével arányos, a szögsebesség nem állandó, a változása egyenletes.
Szöggyorsulás: a szögsebesség idő szerinti változása: :
Kerületi sebesség: nagysága nem állandó:
Kerületi (tangenciális) gyorsulás: a kerületi sebesség nagyságának idő szerinti változása:
Δ𝜔
Δ𝑡=áll.
18
•Gyorsulás: a sebességvektor idő szerinti első deriváltja:
Általánosságban: egy függvény P pontbeli érintőjének iránytangense a függvény deriváltja abban a pontban. A függvény változási sebességét adja meg abban a pontban.
v
dt
vd
t
vlima 0t
és a helyvektor idő szerinti második deriváltja:
rdt
rd
dt
vda
2
22
Az helyvektor folytonos, kétszer deriválható függvény kell legyen. )(tr
Példa:2
2)( ta
tr
tata
dt
drv
22
adt
dva
Deriválási szabály
nxaxf )(
1nxandx
)x(df
•Sebesség: a helyvektor idő szerinti első deriváltja: vdt
rd
t
rlimv 0t
top related