Transcript
Metalne konstrukcije 1 P8-1
Bočno-torziono izvijanje
Metalne konstrukcije 1 P8-2
Metalne konstrukcije 1 P8-3
Teorijske osnove
Problem je prvi analizirao Timošenko.Linearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja.Osnovne pretpostavke su:• materijal idealno elastičan;• nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija);• sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti
oslonci);• poprečni presek nosača je obostrano simetričan i
konstantan duž raspona nosača (I presek);• poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije;• moment inercije Iz je mnogo manji od Iy;• deformacije su male (sinϕ =ϕ; cosϕ=1);
Metalne konstrukcije 1 P8-4
Deformisan oblik nosača
yy MMM =⋅= ϕξ cos
ϕϕη ⋅=⋅= yy MMM sin
dxdvMMM yT ⋅==ζ
Metalne konstrukcije 1 P8-5
Osnovne diferencijalne jednačine problema
2
2
dxxwdEIMM yy
)(⋅−==ξ
2
2
dxxvdEIMM zy
)(⋅−=⋅= ϕη
3
3
dxdEI
dxdGI
dxdvMM tyT
ϕϕω ⋅−⋅=⋅=
Savijanje oko jače y-y ose
Savijanje oko slabije z-z ose
Torzija
EIy krutost na savijanje oko jače ose,
EIz krutost na savijanje oko slabije ose,
It torzioni moment inercije,
Iw sektorski moment inercije,
v, w i ϕ nepoznata generalisana pomeranja.
Metalne konstrukcije 1 P8-6
Diferencijalna jednačina bočno-torzionogizvijanja
Granični uslovi
02
2
2
4
4
=⋅−⋅−⋅ ϕϕϕω
z
yt EI
MdxdGI
dxdEI
0)0( =ϕ 0)0()0(2
2=′′= ϕϕ
dxd 0)( =lϕ 0)()(
2
2=′′= l
l ϕϕdx
d
)()()cos()sin()( xnchDxnshCxmBxmAx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=ϕ
Pretpostavljen oblik rešenja D.J.
Metalne konstrukcije 1 P8-7
Kritičan moment bočno-torzionog izvijanjaMcr
EIz krutost na savijanje oko slabije ose,
GIt torziona krutost
Iw sektorski moment inercije,
l raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja).
z
t
zzcr EI
GIIIEIM ⋅+⋅⋅= 2
2
2
2
ππ ω l
l
Metalne konstrukcije 1 P8-8
Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja
Metalne konstrukcije 1 P8-9
Modifikovan izraz za kritičan moment Mcr
( )( ) ( ) ( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅−⋅−⋅−⋅+
⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅= jgjg
z
t
z
zcr zCzCzCzC
EIGIk
II
kk
kEICM 32
2322
2
2
2
1 ππ ω
ω
l
l
C1 C2 C3 koeficijenti koji uvode u proračun različite oblike opterećenja;
k i kw koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja;
zg rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje
zj parametar koji uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja kodmonsimetričnih poprečnih preseka;
Metalne konstrukcije 1 P8-10
KoeficijentiC1, C2 i C3
O P T E R E Ć E N J E k C1 C2 C3 1
1,0 0,5
1,000 1,000
- -
1,000 1,144
2
1,0 0,5
1,323 1,514
- -
0,992 2,271
3
1,0 0,5
1,879 2,150
- -
0,939 2,150
4
1,0 0,5
2,704 3,093
- -
0,676 1,546
5
1,0 0,5
2,752 3,149
- -
0,000 0,000
6
1,0 0,5
1,132 0,972
0,459 0,304
0,525 0,980
7
1,0 0,5
1,285 0,712
1,562 0,652
0,753 1,070
8
1,0 0,5
1,365 1,010
0,553 0,432
1,730 3,050
9
1,0 0,5
1,565 0,938
1,267 0,715
2,640 4,800
10
1,0 0,5
1,046 1,010
0,430 0,410
1,120 1,890
11
2,0 1,28/α 0,43 -
12 2,0 2,05 0,83 -
Metalne konstrukcije 1 P8-11
Monosimetrični poprečni peseci i uticajpoložaja opterećenja
∫ ⋅⋅+⋅⋅
−=Ay
gj dAzzyI
zz )( 22
21sag zzz −=
Metalne konstrukcije 1 P8-12
Veličina Obostrano simetrični nosači Monosimetrični nosači
Rastojanje između težišta preseka i centra smicanja
0=sz
2
321
31
223211
31
tbtbhtbhtbzs ⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅
=
Sektorski moment
inercije
4/2sz hII ⋅=ω
2)1( sz hII ⋅⋅−⋅= ββω
)(12 2321
31
2321
31
tbtbtbtbI⋅+⋅⋅
⋅⋅⋅≈ω
Torzioni moment inercije ( )332
31
wt tdtbI ⋅+⋅⋅⋅= ( )3322
3113
1wt tdtbtbI ⋅+⋅+⋅⋅=
Parametar jz
0=jz
⇒> 5,0β 2)12(4,0 sj hz ⋅−⋅= β
⇒≤ 5,0β 2)12(5,0 sj hz ⋅−⋅= β
ftfc
fc
III+
=β
fcI moment inercije pritisnutog pojasa oko slabije ose inercije z-z,
ftI moment inercije zategnutog pojasa oko slabije ose inercije z-z,
sh rastojanje između centara smicanja pritisnutog i zategnutog pojasa,
NAPOMENA: (1) Kod obostrano simetričnih preseka širine i debljine pojasnih lamela su jednake, pa je: bbb == 21 , odnosno ttt == 21 .
(2) Kada su pojasevi izrađeni od ravnih limova sh je jednako rastojanju između težišta pojasnih lamela. (3) Rastojanje između težišta i centra smicanja ( sz ) je pozitivno kada se centar smicanja nalazi između težišta i pritisnute nožice.
Metalne konstrukcije 1 P8-13
Uticaj položaja opterećenja na vrednostkritičnog momenta
L=6,00 m
q
IPE300
PrimerPoložaj opterećenja
donji pojas težište gornji pojas
M cr [kNm] 129,7 102,5 75q cr [kN/m] 28,82 22,78 16,67
Metalne konstrukcije 1 P8-14
Granična nosivost nosača na bočno-torziono izvijanje
• Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početnegeometrijske imperfekcije,...);
• Granična vrednost momenta nosivost (Mu) manjaod kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja(Mcr) ;
• Stvarno ponašanje nosača odstupa odbifurkacionog modela stabilnosti
Metalne konstrukcije 1 P8-15
Teorijske i relane veze između momenta savijana (M) i bočnog pomeranja (v)
Metalne konstrukcije 1 P8-16
Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja
σDv komponenta kritičnog napona usled Sen Venanove torzije,σDw komponenta kritičnog napona usled sprečene (ograničene)
torzije.
22
2
2
22
DwDvy
z
y
tz
y
crcr W
IIEWGIEI
WM σσππσ ω +=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
⋅+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅==
ll
Metalne konstrukcije 1 P8-17
Proračun stabilnosti na bočno-torzionoizvijaje prema JUS U.E7.101
σD,dop dopušteni napon bočno-torzionog izvijanja,σD granični napon bočno-torzionog izvijanja,ν koeficijent sigurnosti,αp koeficijent oblika poprečnog preseka,χD bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja,fy granica razvlačenja,σdop dopušten normalni napon.
dopDpy
DpD
dopD
fσχα
νχα
νσσσ ⋅⋅=⋅⋅==≤ ,max
Metalne konstrukcije 1 P8-18
Koeficijent oblika poprečnog preseka αp
Wpl,y plastični otporni moment oko y-y ose,Wel,y elastični otporni moment oko y-y ose,Sy statički moment oko y-y ose za težište poprečnog
preseka.
yel
yplp W
W
,
,=αyel
yp W
S
,
2 ⋅=α
U opštem slučaju U slučaju obostrano simetričnihpoprečnih preseka
Metalne konstrukcije 1 P8-19
Bezdimenzionalni koeficijent χD
relativna vitkost na bočno-torziono izvijanjen parametar koji zavisi od tipa nosača
n = 1,5 za zavarene profilen = 2,0 za valjane profile
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
≤=
4,0 za1
1
4,0 za1
/1
2 D
n
nD
D
D
λλ
λχ
Dλ
Metalne konstrukcije 1 P8-20
Krive bočno-torzionog izvijanjaχD
Dλ
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Valjani profili (n =1,5)
Zavareni profili (n =2,0)
Metalne konstrukcije 1 P8-21
Relativna (bezdimenzionalna) vitkost nabočno-torziono izvijanje
Mpl moment plastične nosivosti poprečnog preseka,Mcr kritični moment bočno-torzionog izvijanja,σcr kritičan napon bočno-torzionog izvijanja,fy granica razvlačenja,αp koeficijent oblika poprečnog preseka.
cr
plD M
M=λ
cr
ypD
fσ
αλ
⋅=odnosno
Metalne konstrukcije 1 P8-22
Kritičan napon bočno-torzionog izvijanja
φ koeficijent za određivanje uticaja položaja delovanjaopterećenja,
σDv komponenta kritičnog napona usled Sen Venanove torzije,σDw komponenta kritičnog napona usled sprečene (ograničene)
torzije.
22DwDvDcd σσφσ +⋅=,
Metalne konstrukcije 1 P8-23
Uticaj položaja opterećenja
lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,h visina nosača,It torzioni moment inercije,Iz moment inercije za savijanje oko salbije z-z ose,ρ parametar pomoću kojeg se uzima u obzir vrsta poprečnog
opterećenja.
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+
−+
+
++
=
pojasu gornjem na ćenjeoptere za
štužite u ćenjeoptere za
pojasu donjem na ćenjeoptere za
2
2
2
2
1
ρ
ρρ
ρ
ρρ
φ
KK
KK
z
tz
II
hK
2
156,01 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+=l
Metalne konstrukcije 1 P8-24
Parametri ρ i η
Oblik momentnog dijagrama tη i zη ρ
1,12 0,46
1,35 0,55
1,00 0,00
1,30 0,00
1,77 0,00
2,35 0,00
Metalne konstrukcije 1 P8-25
Komponente kritičnog napona
ηt parametar koji zavisi od oblika dijagrama momenata,lt razmak tačaka bočnog pridržavanja,Wy otporni moment za savijanje oko y-y ose,Iz moment inercije za savijanje oko slabije z-z ose,It torzioni moment inercijeλkz zamenjujuća vitkost dela poprečnog preseka
][kN/cm 102,07 22
5
2
2
kzkzDw
Eλλ
πσ ⋅=
⋅=
][kN/cm 1041,0 25
tzyt
ttzyt
tDv IIW
GIEIW
⋅⋅⋅⋅
⋅=⋅⋅⋅
⋅=ll
ηπησ
Kritičan napon usled Sen Venanove torzije
Kritičan napon usled sprečene torzije
Metalne konstrukcije 1 P8-26
Zamenjujuća vitkost λkz
ikz poluprečnik inercije dela preseka koga čine pritisnutanožica i šestina visine rebra oko z-z ose,
lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,ηz parametar koji uzima u obzir oblik dijagrama momenata,Af površina nožice,Aw površina rebra.
zkz
zkz i η
λ⋅
=l
6/126/12/
6/12/ 23
wf
f
wf
f
wfkz AA
AbAAbA
AAtb
AIi
+⋅=
+⋅
=+⋅
==
Metalne konstrukcije 1 P8-27
Uprošćen proračun stabilnosti na bočno-torziono izvijanje
σi,dop dopušten napon izvijanja,χ bezdimenzionalni koeficijent izvijanja određen na
osnovu vitkosti pritisnutog pojasa na bočno izvijanje(λz=lz/iz) prema JUS U.E7.081 (kriva C).
lz razmak tačaka bočnog pridržavanja,iz poluprečnik inercije pritisnutog pojasa oko z-z ose.
dopdopidopD σχσσσ ⋅⋅=⋅=≤ 14,114,1 ,,max
Metalne konstrukcije 1 P8-28
Kada nije potrebno proveravati stabilnostnosača na bočno-torziono izvijanje?
• Kada je pritisnuti pojas kontinualno bočno pridržan (npr. AB pločom);
• Kod nosača sandučastog poprečnog preseka sa odnosomvisina/širina (h/b) manjim od 10;
• U slučaju savijanja oko slabije ose;• Kada je nosač dovoljno često bočno pridržan, odnosno
kada je zadovoljen uslov:
yy
y
z
zz fM
Mi
2354060max
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−≤=
lλ
yz
zz fi
23540 ⋅≤=lλ
5,01max
≤≤−y
y
MM
5,0max
>y
y
MM
za
za
Metalne konstrukcije 1 P8-29
yy MM max=yM
yMmax
1max
=y
y
MM
5,0max
−=y
y
MM
Metalne konstrukcije 1 P8-30
Bočno pridržavanje
Metalne konstrukcije 1 P8-31
Proračun nosivosti elementa na bočno-torziono izvijanje prema EC3
MEd proračunska vrednost momenta savijanja;Mb,Rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje;χLT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja;Wy odgovarajući otporni moment;fy granica razvlačenja.
1, / MyyLTRdb fWM γχ ⋅⋅=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=4 klasu za3 klasu za
2 i 1 klase za
min,,
min,,
,
yeff
yel
ypl
y
WWW
W
RdbEd MM ,≤
Metalne konstrukcije 1 P8-32
Bezdimenzionalni koeficijent χLT
αLT koeficijent imperfekcije
1122
≤−Φ+Φ
=LTLTLT
LTλ
χ
[ ]2)2,0(15,0 LTLTLT λλα +−⋅+⋅=Φ
cryyLT MfW /=λ Relativna vitkost za bočno-toriono izvijanje
Oblik poprečnog preseka nosača
Odnos visina -širina
Kriva izvijanja
h/b ≤ 2 a Valjani I profili h/b > 2 b h/b ≤ 2 c Zavareni I profili h/b > 2 d
Ostali profili - d
top related